Definisi. Setiap garis pada bidang dapat diberikan oleh persamaan orde pertama

Ah + Wu + C = 0,

dan konstanta A, B tidak sama dengan nol pada waktu yang sama. Persamaan orde pertama ini disebut persamaan umum garis lurus. Bergantung pada nilai konstanta A, B dan C, kasus khusus berikut dimungkinkan:

C \u003d 0, A 0, B 0 - garis melewati titik asal

A \u003d 0, B 0, C 0 (Oleh + C \u003d 0) - garis sejajar dengan sumbu Ox

B \u003d 0, A 0, C 0 ( Ax + C \u003d 0) - garis sejajar dengan sumbu Oy

B \u003d C \u003d 0, A 0 - garis lurus bertepatan dengan sumbu Oy

A \u003d C \u003d 0, B 0 - garis lurus bertepatan dengan sumbu Ox

Persamaan garis lurus dapat disajikan dalam berbagai bentuk tergantung pada kondisi awal yang diberikan.

Persamaan garis lurus dengan titik dan vektor normal

Definisi. Dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian, sebuah vektor dengan komponen (A, B) tegak lurus terhadap garis yang diberikan oleh persamaan Ax + By + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik A(1, 2) yang tegak lurus (3, -1).

Keputusan. Pada A = 3 dan B = -1, kita buat persamaan garis lurus: 3x - y + C = 0. Untuk mencari koefisien C, kita substitusikan koordinat titik A yang diberikan ke dalam persamaan yang dihasilkan: 3 - 2 + C = 0, oleh karena itu, C = -1 . Total: persamaan yang diinginkan: 3x - y - 1 \u003d 0.

Persamaan garis yang melalui dua titik

Misalkan dua titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2) diberikan dalam ruang, maka persamaan garis lurus yang melalui titik-titik ini:

Jika salah satu penyebutnya sama dengan nol, pembilang yang sesuai harus sama dengan nol.Pada bidang datar, persamaan garis lurus yang ditulis di atas disederhanakan:

jika x 1 x 2 dan x = x 1 jika x 1 = x 2.

Pecahan = k disebut faktor kemiringan lurus.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Keputusan. Menerapkan rumus di atas, kita mendapatkan:

Persamaan garis lurus dari suatu titik dan lereng

Jika total Ax + Wu + C = 0 mengarah ke bentuk:

dan menunjuk , maka persamaan yang dihasilkan disebut persamaan garis lurus dengan kemiringank.

Persamaan garis lurus dengan vektor titik dan arah

Dengan analogi dengan paragraf yang mempertimbangkan persamaan garis lurus melalui vektor normal, Anda dapat memasukkan penetapan garis lurus melalui titik dan vektor pengarah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan nol (α 1, 2), yang komponen-komponennya memenuhi kondisi A 1 + B 2 = 0 disebut vektor pengarah garis

Ah + Wu + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Keputusan. Kami akan mencari persamaan garis lurus yang diinginkan dalam bentuk: Ax + By + C = 0. Sesuai dengan definisi, koefisien harus memenuhi kondisi:

1 * A + (-1) * B = 0, mis. A = B

Maka persamaan garis lurus berbentuk: Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0. untuk x = 1, y = 2 kita peroleh C / A = -3, yaitu. persamaan yang diinginkan:

Persamaan garis lurus dalam segmen

Jika dalam persamaan umum garis lurus Ah + Wu + C = 0 C≠0, maka, bagi dengan –C, kita dapatkan: atau

Arti geometris dari koefisien adalah bahwa koefisien sebuah adalah koordinat titik potong garis dengan sumbu x, dan b- koordinat titik potong garis lurus dengan sumbu Oy.

Contoh. Diberikan persamaan umum garis x - y + 1 = 0. Temukan persamaan garis ini dalam segmen-segmen.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Persamaan normal garis lurus

Jika kedua ruas persamaan Ax + Vy + C = 0 dikalikan dengan bilangan , yang disebut faktor normalisasi, maka kita dapatkan

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

persamaan normal garis lurus. Tanda ± dari faktor normalisasi harus dipilih sehingga *< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Contoh. Diberikan persamaan umum garis 12x - 5y - 65 = 0. Untuk garis ini diperlukan berbagai jenis persamaan.

persamaan garis lurus ini dalam segmen:

persamaan garis ini dengan kemiringan: (bagi dengan 5)

; cos = 13/12; dosa = -5/13; p=5.

Perlu dicatat bahwa tidak setiap garis lurus dapat diwakili oleh persamaan dalam segmen, misalnya, garis lurus yang sejajar dengan sumbu atau melewati titik asal.

Contoh. Garis lurus memotong segmen positif yang sama pada sumbu koordinat. Tuliskan persamaan garis lurus jika luas segitiga yang dibentuk oleh ruas-ruas tersebut adalah 8 cm2.

Keputusan. Persamaan garis lurus berbentuk: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Contoh. Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik A (-2, -3) dan titik asal.

Keputusan. Persamaan garis lurus memiliki bentuk: , di mana x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Sudut antar garis pada bidang

Definisi. Jika dua garis diberikan y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , maka sudut lancip antara garis-garis ini akan didefinisikan sebagai

.

Dua garis sejajar jika k 1 = k 2 . Dua garis tegak lurus jika k 1 = -1/ k 2 .

Dalil. Garis lurus Ax + Vy + C \u003d 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sejajar ketika koefisien A 1 \u003d A, B 1 \u003d B proporsional. Jika juga 1 = , maka garis-garisnya berimpit. Koordinat titik potong dua garis ditemukan sebagai solusi sistem persamaan garis-garis ini.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus dengan garis tertentu

Definisi. Garis yang melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan tegak lurus terhadap garis y \u003d kx + b diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garis

Dalil. Jika diberikan titik M(x 0, y 0), maka jarak ke garis Ax + Vy + C \u003d 0 didefinisikan sebagai

.

Bukti. Biarkan titik M 1 (x 1, y 1) menjadi alas dari garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik M ke garis yang diberikan. Maka jarak antara titik M dan M 1 :

(1)

Koordinat x 1 dan y 1 dapat ditemukan sebagai solusi dari sistem persamaan:

Persamaan kedua dari sistem adalah persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu M 0 tegak lurus terhadap garis lurus tertentu. Jika kita mengubah persamaan pertama dari sistem ke bentuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Oleh 0 + C = 0,

maka, pemecahannya, kita peroleh:

Mensubstitusikan ekspresi ini ke dalam persamaan (1), kami menemukan:

Teorema telah terbukti.

Contoh. Tentukan sudut antar garis: y = -3 x + 7; y = 2x+1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; = /4.

Contoh. Tunjukkan bahwa garis 3x - 5y + 7 = 0 dan 10x + 6y - 3 = 0 tegak lurus.

Keputusan. Kami menemukan: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, oleh karena itu, garis-garisnya tegak lurus.

Contoh. Titik sudut dari segitiga A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) diberikan. Tentukan persamaan ketinggian yang ditarik dari titik C.

Keputusan. Kami menemukan persamaan sisi AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Persamaan ketinggian yang diinginkan adalah: Ax + By + C = 0 atau y = kx + b. k = . Maka y = . Karena ketinggian melewati titik C, maka koordinatnya memenuhi persamaan ini: dimana b = 17. Jumlah: .

Jawaban: 3x + 2y - 34 = 0.

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik. Di dalam artikel" " Saya berjanji kepada Anda untuk menganalisis cara kedua untuk memecahkan masalah yang disajikan untuk menemukan turunan, dengan grafik fungsi yang diberikan dan garis singgung grafik ini. Kami akan mengeksplorasi metode ini di , jangan lewatkan! Mengapa Selanjutnya?

Faktanya adalah bahwa rumus persamaan garis lurus akan digunakan di sana. Tentu saja, seseorang dapat dengan mudah menunjukkan formula ini dan menyarankan Anda untuk mempelajarinya. Tetapi lebih baik untuk menjelaskan dari mana asalnya (bagaimana asalnya). Itu perlu! Jika Anda lupa, cepat pulihkantidak akan sulit. Semuanya rinci di bawah ini. Jadi, kita memiliki dua titik A pada bidang koordinat(x 1; y 1) dan B (x 2; y 2), ditarik garis lurus melalui titik-titik yang ditunjukkan:

Berikut adalah rumus langsungnya:

*Artinya, ketika mensubstitusi koordinat spesifik titik, kita mendapatkan persamaan dalam bentuk y=kx+b.

** Jika rumus ini hanya "dihafal", maka ada kemungkinan besar menjadi bingung dengan indeks ketika X. Selain itu, indeks dapat dilambangkan dengan cara yang berbeda, misalnya:

Karena itu penting untuk memahami maknanya.

Sekarang turunan dari rumus ini. Semuanya sangat sederhana!

Segitiga ABE dan ACF serupa dalam hal sudut lancip (tanda pertama kesamaan segitiga siku-siku). Dari sini dapat disimpulkan bahwa perbandingan unsur-unsur yang bersesuaian adalah sama, yaitu:

Sekarang kita cukup mengekspresikan segmen-segmen ini dalam bentuk perbedaan koordinat titik-titik:

Tentu saja, tidak akan ada kesalahan jika Anda menulis hubungan elemen dalam urutan yang berbeda (yang utama adalah menjaga korespondensi):

Hasilnya adalah persamaan garis lurus yang sama. Ini semua!

Artinya, tidak peduli bagaimana titik itu sendiri (dan koordinatnya) ditentukan, dengan memahami rumus ini, Anda akan selalu menemukan persamaan garis lurus.

Rumusnya dapat disimpulkan menggunakan sifat-sifat vektor, tetapi prinsip penurunannya akan sama, karena kita akan berbicara tentang proporsionalitas koordinatnya. Dalam hal ini, kesamaan segitiga siku-siku yang sama berfungsi. Menurut pendapat saya, kesimpulan yang dijelaskan di atas lebih bisa dimengerti)).

Lihat output melalui koordinat vektor >>>

Misalkan sebuah garis lurus dibuat pada bidang koordinat yang melalui dua titik yang diberikan A (x 1; y 1) dan B (x 2; y 2). Mari kita tandai titik C sembarang pada garis dengan koordinat ( x; kamu). Kami juga menunjukkan dua vektor:

Diketahui bahwa untuk vektor yang terletak pada garis sejajar (atau pada satu garis), koordinat yang sesuai adalah proporsional, yaitu:

- kami menulis kesetaraan rasio koordinat yang sesuai:

Pertimbangkan sebuah contoh:

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik dengan koordinat (2;5) dan (7:3).

Anda bahkan tidak dapat membangun garis itu sendiri. Kami menerapkan rumus:

Penting bagi Anda untuk menangkap korespondensi saat menyusun rasio. Anda tidak bisa salah jika Anda menulis:

Jawaban: y=-2/5x+29/5 pergi y=-0.4x+5.8

Untuk memastikan bahwa persamaan yang dihasilkan ditemukan dengan benar, pastikan untuk memeriksanya - substitusikan koordinat data ke dalam kondisi titik. Anda harus mendapatkan persamaan yang benar.

Itu saja. Saya harap materi itu bermanfaat bagi Anda.

Hormat kami, Alexander.

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu situs ini di jejaring sosial.

Sifat-sifat garis lurus dalam geometri Euclidean.

Ada banyak garis tak terhingga yang dapat ditarik melalui titik mana pun.

Melalui dua titik yang tidak bertepatan, hanya ada satu garis lurus.

Dua garis yang tidak bertepatan pada bidang berpotongan di satu titik, atau

paralel (mengikuti dari yang sebelumnya).

Dalam ruang tiga dimensi, ada tiga opsi untuk posisi relatif dua garis:

• garis berpotongan;

• garis lurus sejajar;

• garis lurus berpotongan.

Lurus garis- kurva aljabar orde pertama: dalam sistem koordinat Cartesian, garis lurus

diberikan pada bidang dengan persamaan derajat pertama (persamaan linier).

Persamaan umum garis lurus.

Definisi. Setiap garis pada bidang dapat diberikan oleh persamaan orde pertama

Ah + Wu + C = 0,

dan konstan A, B tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan. Persamaan orde pertama ini disebut umum

persamaan garis lurus. Tergantung pada nilai konstanta A, B dan Dengan Kasus khusus berikut mungkin terjadi:

. C = 0, A 0, B 0- garis melewati titik asal

. A = 0, B 0, C 0 ( By + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu Oh

. B = 0, A 0, C 0 ( Ax + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu OU

. B = C = 0, A 0- garis bertepatan dengan sumbu OU

. A = C = 0, B 0- garis bertepatan dengan sumbu Oh

Persamaan garis lurus dapat direpresentasikan dalam berbagai bentuk tergantung pada yang diberikan

kondisi awal.

Persamaan garis lurus dengan titik dan vektor normal.

Definisi. Dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian, vektor dengan komponen (A, B)

tegak lurus terhadap garis yang diberikan oleh persamaan

Ah + Wu + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui suatu titik A(1, 2) tegak lurus terhadap vektor (3, -1).

Keputusan. Mari kita buat di A \u003d 3 dan B \u003d -1 persamaan garis lurus: 3x - y + C \u003d 0. Untuk menemukan koefisien C

kami mengganti koordinat titik A yang diberikan ke dalam ekspresi yang dihasilkan, kami mendapatkan: 3 - 2 + C = 0, oleh karena itu

C = -1. Total: persamaan yang diinginkan: 3x - y - 1 \u003d 0.

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik.

Biarkan dua poin diberikan dalam ruang M 1 (x 1 , y 1 , z 1) dan M2 (x 2, y 2 , z 2), kemudian persamaan garis lurus,

melewati titik-titik ini:

Jika salah satu penyebutnya sama dengan nol, pembilangnya harus sama dengan nol. pada

bidang, persamaan garis lurus yang ditulis di atas disederhanakan:

jika x 1 x 2 dan x = x 1, jika x 1 = x 2 .

Pecahan = k ditelepon faktor kemiringan lurus.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Keputusan. Menerapkan rumus di atas, kita mendapatkan:

Persamaan garis lurus dengan titik dan kemiringan.

Jika persamaan umum garis lurus Ah + Wu + C = 0 bawa ke formulir:

dan menunjuk , maka persamaan yang dihasilkan disebut

persamaan garis lurus dengan kemiringan k.

Persamaan garis lurus pada suatu titik dan vektor pengarah.

Dengan analogi dengan titik yang mempertimbangkan persamaan garis lurus melalui vektor normal, Anda dapat memasukkan tugas

garis lurus melalui suatu titik dan vektor arah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan nol (α 1 , 2), yang komponennya memenuhi kondisi

Aα 1 + Bα 2 = 0 ditelepon vektor arah garis lurus.

Ah + Wu + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Keputusan. Kami akan mencari persamaan garis lurus yang diinginkan dalam bentuk: Ax + By + C = 0. Menurut definisi,

koefisien harus memenuhi kondisi:

1 * A + (-1) * B = 0, mis. A = B

Maka persamaan garis lurus berbentuk : Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0.

pada x=1, y=2 kita mendapatkan C/A = -3, yaitu persamaan yang diinginkan:

x + y - 3 = 0

Persamaan garis lurus dalam segmen.

Jika dalam persamaan umum garis lurus Ah + Wu + C = 0 C≠0, maka, dibagi dengan -C, diperoleh:

atau dimana

Arti geometris dari koefisien adalah bahwa koefisien a adalah koordinat titik perpotongan

lurus dengan poros Oh, sebuah b- koordinat titik potong garis dengan sumbu OU.

Contoh. Persamaan umum garis lurus diberikan x - y + 1 = 0. Temukan persamaan garis lurus ini dalam segmen.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Persamaan normal garis lurus.

Jika kedua ruas persamaan Ah + Wu + C = 0 bagi dengan angka , yang disebut

faktor normalisasi, maka kita dapatkan

xcosφ + ysinφ - p = 0 -persamaan normal garis lurus.

Tanda ± dari faktor normalisasi harus dipilih sehingga * C< 0.

R- panjang tegak lurus turun dari titik asal ke garis,

sebuah φ - sudut yang dibentuk oleh tegak lurus ini dengan arah sumbu positif Oh.

Contoh. Diberikan persamaan umum garis lurus 12x - 5y - 65 = 0. Diperlukan untuk menulis berbagai jenis persamaan

garis lurus ini.

Persamaan garis lurus ini dalam segmen:

Persamaan garis ini dengan kemiringan: (bagi 5)

Persamaan garis lurus:

cos = 13/12; dosa = -5/13; p=5.

Perlu dicatat bahwa tidak setiap garis lurus dapat diwakili oleh persamaan dalam segmen, misalnya, garis lurus,

sejajar dengan sumbu atau melewati titik asal.

Sudut antar garis pada bidang.

Definisi. Jika diberikan dua garis y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garis-garis tersebut

akan didefinisikan sebagai

Dua garis sejajar jika k1 = k2. Dua garis tegak lurus

jika k 1 \u003d -1 / k 2 .

Dalil.

Langsung Ah + Wu + C = 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sejajar jika koefisiennya proporsional

A 1 \u003d A, B 1 \u003d B. Jika juga 1 \u003d, maka garis bertepatan. Koordinat titik potong dua garis

ditemukan sebagai solusi untuk sistem persamaan garis-garis ini.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu tegak lurus terhadap garis tertentu.

Definisi. Garis yang melalui suatu titik M 1 (x 1, y 1) dan tegak lurus terhadap garis y = kx + b

diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garis.

Dalil. Jika poin diberikan M(x 0, y 0), maka jarak ke garis Ah + Wu + C = 0 didefinisikan sebagai:

Bukti. Biar intinya M 1 (x 1, y 1)- alas tegak lurus turun dari titik M untuk yang diberikan

langsung. Maka jarak antar titik M dan M 1:

(1)

Koordinat x 1 dan 1 dapat ditemukan sebagai solusi untuk sistem persamaan:

Persamaan kedua dari sistem adalah persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu M 0 tegak lurus

garis yang diberikan. Jika kita mengubah persamaan pertama dari sistem ke bentuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Oleh 0 + C = 0,

maka, pemecahannya, kita peroleh:

Mensubstitusikan ekspresi ini ke dalam persamaan (1), kami menemukan:

Teorema telah terbukti.

Artikel ini melanjutkan topik persamaan garis lurus pada bidang: pertimbangkan jenis persamaan seperti persamaan umum garis lurus. Mari kita definisikan sebuah teorema dan berikan buktinya; Mari kita cari tahu apa persamaan umum tidak lengkap dari garis lurus dan bagaimana membuat transisi dari persamaan umum ke jenis persamaan garis lurus lainnya. Kami akan mengkonsolidasikan seluruh teori dengan ilustrasi dan memecahkan masalah praktis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Misalkan sistem koordinat persegi panjang O x y diberikan pada bidang.

Teorema 1

Setiap persamaan tingkat pertama, yang memiliki bentuk A x + B y + C \u003d 0, di mana A, B, C adalah beberapa bilangan real (A dan B tidak sama dengan nol pada saat yang sama) mendefinisikan garis lurus di sistem koordinat persegi panjang pada bidang. Pada gilirannya, setiap garis dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang ditentukan oleh persamaan yang berbentuk A x + B y + C = 0 untuk himpunan nilai tertentu A, B, C.

Bukti

Teorema ini terdiri dari dua poin, kami akan membuktikannya masing-masing.

1. Mari kita buktikan bahwa persamaan A x + B y + C = 0 mendefinisikan sebuah garis pada bidang.

Misalkan ada suatu titik M 0 (x 0 , y 0) yang koordinatnya sesuai dengan persamaan A x + B y + C = 0 . Jadi: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Kurangi dari sisi kiri dan kanan persamaan A x + B y + C \u003d 0 sisi kiri dan kanan persamaan A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, kita mendapatkan persamaan baru yang terlihat seperti A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Setara dengan A x + B y + C = 0 .

Persamaan yang dihasilkan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 adalah syarat perlu dan cukup untuk tegak lurus vektor n → = (A, B) dan M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Jadi, himpunan titik M (x, y) mendefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang sebuah garis lurus yang tegak lurus terhadap arah vektor n → = (A, B) . Kita dapat berasumsi bahwa ini tidak benar, tetapi vektor n → = (A, B) dan M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) tidak akan tegak lurus, dan persamaan A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 tidak akan benar.

Oleh karena itu, persamaan A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 mendefinisikan beberapa garis dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang, dan oleh karena itu persamaan setara A x + B y + C \u003d 0 mendefinisikan baris yang sama. Jadi kami telah membuktikan bagian pertama dari teorema.

1. Mari kita buktikan bahwa setiap garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang dapat diberikan oleh persamaan derajat pertama A x + B y + C = 0 .

Mari kita atur garis lurus a dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang; titik M 0 (x 0 , y 0) yang dilalui garis ini, serta vektor normal garis ini n → = (A , B) .

Biarkan ada juga beberapa titik M (x , y) - titik mengambang dari garis. Dalam hal ini, vektor n → = (A , B) dan M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) saling tegak lurus, dan hasil kali skalarnya nol:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Mari kita tulis ulang persamaan A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , tentukan C: C = - A x 0 - B y 0 dan akhirnya dapatkan persamaan A x + B y + C = 0 .

Jadi, kami telah membuktikan bagian kedua dari teorema, dan kami telah membuktikan seluruh teorema secara keseluruhan.

Definisi 1

Persamaan yang terlihat seperti A x + B y + C = 0 - Ini persamaan umum garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjangO x y .

Berdasarkan teorema terbukti, kita dapat menyimpulkan bahwa garis lurus yang diberikan pada sebuah bidang dalam sistem koordinat persegi panjang tetap dan persamaan umumnya terkait erat. Dengan kata lain, garis asli sesuai dengan persamaan umumnya; persamaan umum garis lurus sesuai dengan garis lurus yang diberikan.

Bukti dari teorema ini juga menunjukkan bahwa koefisien A dan B untuk variabel x dan y adalah koordinat vektor normal garis lurus, yang diberikan oleh persamaan umum garis lurus A x + B y + C = 0 .

Pertimbangkan contoh spesifik dari persamaan umum garis lurus.

Biarkan persamaan 2 x + 3 y - 2 = 0 diberikan, yang sesuai dengan garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang yang diberikan. Vektor normal dari garis ini adalah vektor n → = (2 , 3) ​​. Gambarlah garis lurus yang diberikan dalam gambar.

Berikut ini juga dapat diperdebatkan: garis lurus yang kita lihat dalam gambar ditentukan oleh persamaan umum 2 x + 3 y - 2 = 0, karena koordinat semua titik dari garis lurus yang diberikan sesuai dengan persamaan ini.

Kita dapat memperoleh persamaan · A x + · B y + · C = 0 dengan mengalikan kedua ruas persamaan garis lurus umum dengan bilangan bukan nol . Persamaan yang dihasilkan setara dengan persamaan umum asli, oleh karena itu, akan menggambarkan garis yang sama pada bidang.

Definisi 2

Menyelesaikan persamaan umum garis lurus- persamaan umum garis A x + B y + C \u003d 0, di mana angka A, B, C bukan nol. Jika tidak, persamaannya adalah tidak lengkap.

Mari kita menganalisis semua variasi persamaan umum tidak lengkap dari garis lurus.

1. Ketika A \u003d 0, B 0, C 0, persamaan umumnya menjadi B y + C \u003d 0. Persamaan umum yang tidak lengkap tersebut mendefinisikan garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang O x y yang sejajar dengan sumbu O x, karena untuk setiap nilai nyata x, variabel y akan mengambil nilai - C B . Dengan kata lain, persamaan umum garis A x + B y + C \u003d 0, ketika A \u003d 0, B 0, mendefinisikan tempat kedudukan titik (x, y) yang koordinatnya sama dengan angka yang sama - C B .
2. Jika A \u003d 0, B 0, C \u003d 0, persamaan umumnya menjadi y \u003d 0. Persamaan yang tidak lengkap tersebut mendefinisikan sumbu x O x .
3. Ketika A 0, B \u003d 0, C 0, kita mendapatkan persamaan umum yang tidak lengkap A x + C \u003d 0, mendefinisikan garis lurus yang sejajar dengan sumbu y.
4. Misalkan A 0, B \u003d 0, C \u003d 0, maka persamaan umum yang tidak lengkap akan berbentuk x \u003d 0, dan ini adalah persamaan garis koordinat O y.
5. Akhirnya, ketika A 0, B 0, C \u003d 0, persamaan umum yang tidak lengkap mengambil bentuk A x + B y \u003d 0. Dan persamaan ini menggambarkan garis lurus yang melewati titik asal. Memang, pasangan angka (0 , 0) sesuai dengan persamaan A x + B y = 0 , karena A · 0 + B · 0 = 0 .

Mari kita ilustrasikan secara grafis semua jenis persamaan umum tidak lengkap dari garis lurus di atas.

Contoh 1

Diketahui bahwa garis lurus yang diberikan sejajar dengan sumbu y dan melalui titik 2 7 , - 11 . Hal ini diperlukan untuk menuliskan persamaan umum dari garis lurus yang diberikan.

Keputusan

Garis lurus yang sejajar dengan sumbu y diberikan oleh persamaan bentuk A x + C \u003d 0, di mana A 0. Kondisi tersebut juga menentukan koordinat titik yang dilalui garis, dan koordinat titik ini sesuai dengan kondisi persamaan umum yang tidak lengkap A x + C = 0 , yaitu. persamaan benar:

A 2 7 + C = 0

Dimungkinkan untuk menentukan C darinya dengan memberi A beberapa nilai bukan nol, misalnya, A = 7 . Dalam hal ini, kita mendapatkan: 7 2 7 + C \u003d 0 C \u003d - 2. Kita mengetahui kedua koefisien A dan C, substitusikan ke dalam persamaan A x + C = 0 dan dapatkan persamaan garis yang diperlukan: 7 x - 2 = 0

Menjawab: 7 x - 2 = 0

Contoh 2

Gambar menunjukkan garis lurus, perlu untuk menuliskan persamaannya.

Keputusan

Gambar yang diberikan memungkinkan kita dengan mudah mengambil data awal untuk memecahkan masalah. Kita lihat pada gambar bahwa garis yang diberikan sejajar dengan sumbu O x dan melalui titik (0 , 3) ​​.

Garis lurus yang sejajar dengan absis ditentukan oleh persamaan umum yang tidak lengkap B y + = 0. Tentukan nilai B dan C . Koordinat titik (0, 3), karena suatu garis lurus melaluinya, akan memenuhi persamaan garis lurus B y + = 0, maka persamaan tersebut valid: · 3 + = 0. Mari kita atur B ke beberapa nilai selain nol. Katakanlah B \u003d 1, dalam hal ini, dari persamaan B · 3 + C \u003d 0 kita dapat menemukan C: C \u003d - 3. Dengan menggunakan nilai B dan C yang diketahui, kami memperoleh persamaan garis lurus yang diperlukan: y - 3 = 0.

Menjawab: y - 3 = 0 .

Persamaan umum garis lurus yang melalui suatu titik tertentu pada bidang

Biarkan garis yang diberikan melalui titik M 0 (x 0, y 0), maka koordinatnya sesuai dengan persamaan umum garis, yaitu. persamaannya benar: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Kurangi ruas kiri dan kanan persamaan ini dari ruas kiri dan kanan persamaan umum lengkap garis lurus. Kami mendapatkan: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, persamaan ini setara dengan persamaan umum asli, melewati titik M 0 (x 0, y 0) dan memiliki a vektor normal n → \u003d (A, B) .

Hasil yang diperoleh memungkinkan untuk menulis persamaan umum garis lurus untuk koordinat vektor normal garis lurus yang diketahui dan koordinat titik tertentu dari garis lurus ini.

Contoh 3

Diberikan titik M 0 (- 3, 4) yang dilalui garis, dan vektor normal garis ini n → = (1 , - 2) . Hal ini diperlukan untuk menuliskan persamaan garis lurus yang diberikan.

Keputusan

Kondisi awal memungkinkan kami memperoleh data yang diperlukan untuk menyusun persamaan: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Kemudian:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 x - 2 y + 22 = 0

Masalahnya bisa diselesaikan secara berbeda. Persamaan umum garis lurus memiliki bentuk A x + B y + C = 0 . Vektor normal yang diberikan memungkinkan Anda untuk mendapatkan nilai koefisien A dan B , lalu:

A x + B y + C = 0 1 x - 2 y + C = 0 x - 2 y + C = 0

Sekarang mari kita cari nilai C, menggunakan titik M 0 (- 3, 4) yang diberikan oleh kondisi masalah, yang dilalui garis. Koordinat titik ini sesuai dengan persamaan x - 2 · y + C = 0 , yaitu. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Jadi C = 11. Persamaan garis lurus yang diperlukan berbentuk: x - 2 · y + 11 = 0 .

Menjawab: x - 2 y + 11 = 0 .

Contoh 4

Diberikan garis 2 3 x - y - 1 2 = 0 dan sebuah titik M 0 terletak pada garis ini. Hanya absis titik ini yang diketahui, dan sama dengan - 3. Hal ini diperlukan untuk menentukan ordinat dari titik yang diberikan.

Keputusan

Mari kita atur penunjukan koordinat titik M 0 sebagai x 0 dan y 0 . Data awal menunjukkan bahwa x 0 \u003d - 3. Karena titik tersebut milik garis tertentu, maka koordinatnya sesuai dengan persamaan umum garis ini. Maka persamaan berikut akan benar:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Tentukan y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 - 5 2 - y 0 = 0 y 0 = - 5 2

Menjawab: - 5 2

Transisi dari persamaan umum garis lurus ke jenis persamaan garis lurus lainnya dan sebaliknya

Seperti yang kita ketahui, ada beberapa jenis persamaan garis lurus yang sama pada bidang. Pilihan jenis persamaan tergantung pada kondisi masalah; dimungkinkan untuk memilih salah satu yang lebih nyaman untuk solusinya. Di sinilah keterampilan mengubah persamaan satu jenis menjadi persamaan jenis lain sangat berguna.

Pertama, pertimbangkan transisi dari persamaan umum bentuk A x + B y + C = 0 ke persamaan kanonik x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Jika A 0, maka kita pindahkan suku B y ke ruas kanan persamaan umum. Di sisi kiri, kami mengambil A dari tanda kurung. Hasilnya, kita mendapatkan: A x + C A = - B y .

Persamaan ini dapat ditulis sebagai proporsi: x + C A - B = y A .

Jika B 0, kami hanya meninggalkan istilah A x di sisi kiri persamaan umum, kami mentransfer yang lain ke sisi kanan, kami mendapatkan: A x \u003d - B y - C. Kami mengeluarkan - B dari tanda kurung, lalu: A x \u003d - B y + C B.

Mari kita tulis ulang persamaan sebagai proporsi: x - B = y + C B A .

Tentu saja, tidak perlu menghafal rumus yang dihasilkan. Cukup mengetahui algoritme tindakan selama transisi dari persamaan umum ke persamaan kanonik.

Contoh 5

Persamaan umum dari garis 3 y - 4 = 0 diberikan. Itu perlu dikonversi ke persamaan kanonik.

Keputusan

Kami menulis persamaan aslinya sebagai 3 y - 4 = 0 . Selanjutnya, kami bertindak sesuai dengan algoritme: suku 0 x tetap di sisi kiri; dan di sisi kanan kami mengeluarkan - 3 dari tanda kurung; kita peroleh: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Mari kita tulis persamaan yang dihasilkan sebagai proporsi: x - 3 = y - 4 3 0 . Dengan demikian, kami telah memperoleh persamaan bentuk kanonik.

Jawaban: x - 3 = y - 4 3 0.

Untuk mengubah persamaan umum garis lurus menjadi persamaan parametrik, pertama, transisi ke bentuk kanonik dilakukan, dan kemudian transisi dari persamaan kanonik garis lurus ke persamaan parametrik.

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan 2 x - 5 y - 1 = 0 . Tuliskan persamaan parametrik dari garis ini.

Keputusan

Mari kita buat transisi dari persamaan umum ke persamaan kanonik:

2 x - 5 y - 1 = 0 2 x = 5 y + 1 2 x = 5 y + 1 5 x 5 = y + 1 5 2

Sekarang mari kita ambil kedua bagian dari persamaan kanonik yang dihasilkan sama dengan , maka:

x 5 = y + 1 5 2 = ⇔ x = 5 y = - 1 5 + 2 , R

Menjawab:x = 5 y = - 1 5 + 2 , R

Persamaan umum dapat diubah menjadi persamaan garis lurus dengan kemiringan y = k x + b, tetapi hanya jika B 0. Untuk transisi di ruas kiri, kita tinggalkan suku B y , sisanya dipindahkan ke kanan. Kami mendapatkan: B y = - A x - C . Mari kita bagi kedua bagian dari persamaan yang dihasilkan dengan B , yang berbeda dari nol: y = - A B x - C B .

Contoh 7

Persamaan umum garis lurus diberikan: 2 x + 7 y = 0 . Anda perlu mengubah persamaan itu menjadi persamaan kemiringan.

Keputusan

Mari kita lakukan tindakan yang diperlukan sesuai dengan algoritme:

2 x + 7 y = 0 7 y - 2 x y = - 2 7 x

Menjawab: y = - 2 7 x .

Dari persamaan umum garis lurus, cukup dengan mendapatkan persamaan dalam bentuk segmen x a + y b \u003d 1. Untuk membuat transisi seperti itu, kami mentransfer angka C ke sisi kanan persamaan, membagi kedua bagian dari persamaan yang dihasilkan dengan - dan, akhirnya, mentransfer koefisien untuk variabel x dan y ke penyebut:

A x + B y + C = 0 A x + B y = - C ⇔ A - C x + B - C y = 1 x - C A + y - C B = 1

Contoh 8

Persamaan umum garis lurus x - 7 y + 1 2 = 0 diubah menjadi persamaan garis lurus dalam segmen-segmen.

Keputusan

Mari pindahkan 1 2 ke ruas kanan: x - 7 y + 1 2 = 0 x - 7 y = - 1 2 .

Bagi dengan -1/2 kedua ruas persamaan: x - 7 y = - 1 2 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Menjawab: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Secara umum, transisi terbalik juga mudah: dari jenis persamaan lain ke persamaan umum.

Persamaan garis lurus dalam segmen dan persamaan dengan kemiringan dapat dengan mudah diubah menjadi persamaan umum hanya dengan mengumpulkan semua suku di ruas kiri persamaan:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 A x + B y + C = 0 y = k x + b y - k x - b = 0 A x + B y + C = 0

Persamaan kanonik diubah menjadi persamaan umum menurut skema berikut:

x - x 1 a x = y - y 1 a y a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 A x + B y + C = 0

Untuk beralih dari parametrik, pertama-tama transisi ke kanonik dilakukan, dan kemudian ke yang umum:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y A x + B y + C = 0

Contoh 9

Persamaan parametrik dari garis lurus x = - 1 + 2 · y = 4 diberikan. Hal ini diperlukan untuk menuliskan persamaan umum dari garis ini.

Keputusan

Mari kita buat transisi dari persamaan parametrik ke kanonik:

x = - 1 + 2 y = 4 x = - 1 + 2 y = 4 + 0 ⇔ = x + 1 2 = y - 4 0 x + 1 2 = y - 4 0

Mari kita beralih dari kanonik ke umum:

x + 1 2 = y - 4 0 0 (x + 1) = 2 (y - 4) y - 4 = 0

Menjawab: y - 4 = 0

Contoh 10

Persamaan garis lurus pada segmen x 3 + y 1 2 = 1 diberikan. Hal ini diperlukan untuk melakukan transisi ke bentuk umum persamaan.

Keputusan:

Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk yang diperlukan:

x 3 + y 1 2 = 1 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Menjawab: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Membuat persamaan umum garis lurus

Di atas, kami mengatakan bahwa persamaan umum dapat ditulis dengan koordinat yang diketahui dari vektor normal dan koordinat titik yang dilalui garis. Garis lurus tersebut didefinisikan oleh persamaan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Di tempat yang sama kami menganalisis contoh yang sesuai.

Sekarang mari kita lihat contoh yang lebih kompleks di mana, pertama, perlu untuk menentukan koordinat vektor normal.

Contoh 11

Diketahui sebuah garis yang sejajar dengan garis 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Juga dikenal adalah titik M 0 (4 , 1) yang melaluinya garis yang diberikan. Hal ini diperlukan untuk menuliskan persamaan garis lurus yang diberikan.

Keputusan

Kondisi awal memberi tahu kita bahwa garis-garis itu sejajar, sedangkan, sebagai vektor normal dari garis yang persamaannya perlu ditulis, kita ambil vektor pengarah garis n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Sekarang kita tahu semua data yang diperlukan untuk menyusun persamaan umum garis lurus:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 2 x - 3 y - 5 = 0

Menjawab: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Contoh 12

Garis yang diberikan melalui titik asal tegak lurus terhadap garis x - 2 3 = y + 4 5 . Hal ini diperlukan untuk menulis persamaan umum dari garis lurus yang diberikan.

Keputusan

Vektor normal dari garis yang diberikan akan menjadi vektor pengarah dari garis x - 2 3 = y + 4 5 .

Maka n → = (3 , 5) . Garis lurus melewati titik asal, mis. melalui titik O (0,0) . Mari kita buat persamaan umum dari garis lurus yang diberikan:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 3 x + 5 y = 0

Menjawab: 3 x + 5 y = 0 .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Garis yang melalui titik K(x 0; y 0) dan sejajar dengan garis y = kx + a ditemukan dengan rumus:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Dimana k adalah kemiringan garis lurus.

Rumus alternatif:
Garis yang melalui titik M 1 (x 1 ; y 1) dan sejajar dengan garis Ax+By+C=0 diwakili oleh persamaan

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik K( ;) sejajar dengan garis y = x + .

Contoh 1. Buatlah persamaan garis lurus yang melalui titik M 0 (-2.1) dan pada saat yang sama:
a) sejajar dengan garis lurus 2x+3y -7 = 0;
b) tegak lurus garis 2x+3y -7 = 0.
Keputusan . Mari kita nyatakan persamaan kemiringan sebagai y = kx + a . Untuk melakukan ini, kami akan mentransfer semua nilai kecuali y ke sisi kanan: 3y = -2x + 7 . Kemudian kita membagi ruas kanan dengan koefisien 3 . Kita peroleh: y = -2/3x + 7/3
Tentukan persamaan NK yang melalui titik K(-2;1) sejajar garis lurus y = -2 / 3 x + 7 / 3
Mengganti x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 kita dapatkan:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
atau
y = -2 / 3 x - 1 / 3 atau 3y + 2x +1 = 0

Contoh #2. Tulis persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis lurus 2x + 5y = 0 dan membentuk, bersama-sama dengan sumbu koordinat, segitiga yang luasnya 5.
Keputusan . Karena garisnya sejajar, maka persamaan garis yang diinginkan adalah 2x + 5y + C = 0. Luas segitiga siku-siku, di mana a dan b adalah kaki-kakinya. Temukan titik potong garis yang diinginkan dengan sumbu koordinat:
;
.
Jadi, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Substitusi ke rumus luas: . Kami mendapatkan dua solusi: 2x + 5y + 10 = 0 dan 2x + 5y - 10 = 0 .

Contoh #3. Tulis persamaan garis yang melalui titik (-2; 5) dan garis sejajar 5x-7y-4=0 .
Keputusan. Garis lurus ini dapat diwakili oleh persamaan y = 5/7 x – 4/7 (di sini a = 5/7). Persamaan garis yang diinginkan adalah y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), yaitu 7(y-5)=5(x+2) atau 5x-7y+45=0 .

Contoh #4. Memecahkan contoh 3 (A=5, B=-7) menggunakan rumus (2), kita menemukan 5(x+2)-7(y-5)=0.

Contoh nomor 5. Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik (-2;5) dan garis lurus sejajar 7x+10=0.
Keputusan. Di sini A=7, B=0. Rumus (2) memberikan 7(x+2)=0, mis. x+2=0. Rumus (1) tidak dapat diterapkan, karena persamaan ini tidak dapat diselesaikan terhadap y (garis lurus ini sejajar dengan sumbu y).