Cara grafis untuk menyelesaikan sistem persamaan

(kelas 9)

Buku Teks: Aljabar, Kelas 9, diedit oleh Telyakovsky S.A.

Jenis pelajaran: pelajaran dalam penerapan pengetahuan, keterampilan, kemampuan yang kompleks.

Tujuan Pelajaran:

Pendidikan: Kembangkan kemampuan untuk menerapkan pengetahuan secara mandiri dalam kompleks, mentransfernya ke kondisi baru, termasuk bekerja dengan program komputer untuk merencanakan grafik fungsi dan menemukan jumlah akar dalam persamaan yang diberikan.

pendidikan: Membentuk kemampuan siswa untuk menonjolkan ciri-ciri utama, menetapkan persamaan dan perbedaan. Perkaya kosakata. Kembangkan pidato, memperumit fungsi semantiknya. Mengembangkan pemikiran logis, minat kognitif, budaya konstruksi grafis, memori, rasa ingin tahu.

pendidikan: Menumbuhkan rasa tanggung jawab atas hasil pekerjaannya. Belajarlah untuk berempati dengan keberhasilan dan kegagalan teman sekelas.

Sarana pendidikan : komputer, proyektor multimedia, handout.

Rencana belajar:

Mengatur waktu. Pekerjaan rumah - 2 menit.

Aktualisasi, pengulangan, koreksi pengetahuan - 8 menit.

Mempelajari materi baru - 10 menit.

Kerja praktek - 20 menit.

Menyimpulkan - 4 menit.

Refleksi - 1 menit.

SELAMA KELAS

Momen organisasi - 2 menit.

Hallo teman-teman! Hari ini adalah pelajaran tentang topik penting: "Memecahkan sistem persamaan."

Tidak ada bidang pengetahuan seperti itu dalam ilmu eksakta, di mana pun topik ini diterapkan. Prasasti untuk pelajaran kita adalah kata-kata berikut : "Pikiran tidak hanya dalam pengetahuan, tetapi juga dalam kemampuan untuk menerapkan pengetahuan dalam praktik ". (Aristoteles)

Menetapkan topik, tujuan dan sasaran pelajaran.

Guru menginformasikan kepada kelas tentang apa yang akan dipelajari dalam pelajaran dan menetapkan tugas untuk mempelajari bagaimana menyelesaikan sistem persamaan dengan dua variabel secara grafis.

Pekerjaan rumah (P.18 No. 416, 418, 419 a).

Pengulangan materi teoritis - 8 menit.

TETAPI) Guru matematika: Menurut gambar yang sudah jadi, jawab pertanyaannya dan berikan alasan untuk jawaban Anda.

1). Tentukan grafik fungsi kuadrat D =0 (Siswa menjawab soal dan menyebutkan grafik 3c).

2). Tentukan grafik fungsi berbanding terbalik untuk k > 0 (Siswa menjawab pertanyaan, panggil grafik 3sebuah ).

3). Tentukan grafik lingkaran dengan pusat O(-1; -5). (Siswa menjawab pertanyaan, panggil grafik 1b).

4). Tentukan grafik fungsi y =3x -2. (Siswa menjawab soal dan menyebutkan grafik 3b).

5). Tentukan grafik fungsi kuadrat D >0, a >0. (Siswa menjawab soal dan menyebutkan grafik 1sebuah ).

Guru matematika: – Agar berhasil memecahkan sistem persamaan, mari kita ingat:

satu). Apa itu sistem persamaan? (Sistem persamaan disebut beberapa persamaan yang diperlukan untuk menemukan nilai-nilai yang tidak diketahui yang secara bersamaan memenuhi semua persamaan ini).

2). Apa yang dimaksud dengan penyelesaian sistem persamaan? (Memecahkan sistem persamaan berarti menemukan semua solusi atau membuktikan bahwa tidak ada solusi).

3). Apa solusi dari sistem persamaan? (Penyelesaian sistem persamaan adalah pasangan bilangan (x; y), di mana semua persamaan sistem menjadi persamaan sejati).

4) Tentukan apakah solusi dari sistem persamaan
pasangan bilangan: a) x = 1, y = 2;(–) b) x = 2, y = 4; (+) c) x \u003d - 2, y \u003d - 4? (+)

III Materi baru - 10 menit.

Butir 18 buku teks disajikan dengan metode percakapan.

Guru matematika: Dalam kursus aljabar kelas 7, kami mempertimbangkan sistem persamaan tingkat pertama. Sekarang mari kita berurusan dengan solusi sistem yang terdiri dari persamaan derajat pertama dan kedua.

1. Apa yang disebut sistem persamaan?

2. Apa yang dimaksud dengan penyelesaian sistem persamaan?

Kita tahu bahwa metode aljabar memungkinkan Anda untuk menemukan solusi yang tepat untuk sistem, dan metode grafis memungkinkan Anda untuk melihat secara visual berapa banyak akar yang dimiliki sistem dan menemukannya kira-kira. Oleh karena itu, kita akan terus belajar bagaimana memecahkan sistem persamaan derajat kedua dalam pelajaran berikutnya, dan hari ini tujuan utama pelajaran ini adalah aplikasi praktis dari program komputer untuk merencanakan grafik fungsi dan menemukan jumlah akar dari sistem persamaan.

IV . Kerja praktek - 20 menit. Memecahkan sistem persamaan secara grafis. Penentuan akar persamaan.(Membuat grafik di komputer.)

Tugas diselesaikan oleh siswa di komputer. Solusi diperiksa selama operasi.

y=2x2+5x+3

y=4

y \u003d -2x 2 + 5x + 3

y=-3x+4

y = -2x2 -5x-3

y=-4+2x

y=4x2+5x+3

y=2

kamu= -4 x 2 +5x+3

y=-3x+2

y = -4x2 -5x-3

y=-2+2x

kamu = 4 x 2 + 5 x+5

y=3

y = -4x2 +5x+5

y=-x+3

y = -4x2 -5x-5

y=-2+3x

Berikut adalah grafik dari dua persamaan. Tuliskan sistem yang didefinisikan oleh persamaan ini dan solusinya.

– Manakah dari berikut ini sistem dapatkah kamu menyelesaikannya dengan gambar ini?

– 4 sistem diberikan, mereka harus dikorelasikan dengan grafik. Sekarang tugasnya dibalik: ada grafik, mereka perlu dikorelasikan dengan sistem.

1. Menyimpulkan pelajaran. Penilaian - 4 menit.

* Memecahkan sistem persamaan. ( Tugas dengan tanda bintang*.)

Persamaan untuk kelompok pertama siswa:

Persamaan untuk kelompok siswa ke-2:

Persamaan untuk kelompok ketiga siswa:

x kamu = 6

x 2 + kamu = 4

x 2 + y = 3

x - y + 1= 0

x 2 - y = 3

Perhatikan persamaan berikut:

1. 2*x + 3*y = 15;

2. x2 + y2 = 4;

4. 5*x 3 + y2 = 8.

Masing-masing persamaan di atas merupakan persamaan dengan dua variabel. Himpunan titik pada bidang koordinat yang koordinatnya mengubah persamaan menjadi persamaan numerik sejati disebut grafik persamaan dalam dua yang tidak diketahui.

Grafik persamaan dengan dua variabel

Persamaan dengan dua variabel memiliki variasi plot yang luas. Misalnya untuk persamaan 2*x + 3*y = 15 grafiknya berupa garis lurus, untuk persamaan x 2 + y 2 = 4 grafiknya berupa lingkaran dengan jari-jari 2, grafiknya persamaan y*x = 1 akan menjadi hiperbola, dll.

Persamaan bilangan bulat dengan dua variabel juga memiliki yang namanya derajat. Derajat ini ditentukan dengan cara yang sama seperti untuk seluruh persamaan dengan satu variabel. Untuk melakukan ini, persamaan dibawa ke bentuk ketika sisi kiri adalah polinomial dari bentuk standar, dan sisi kanan adalah nol. Hal ini dilakukan melalui transformasi setara.

Cara grafis untuk menyelesaikan sistem persamaan

Mari kita cari tahu bagaimana menyelesaikan sistem persamaan yang akan terdiri dari dua persamaan dengan dua variabel. Pertimbangkan cara grafis untuk menyelesaikan sistem seperti itu.

Contoh 1. Memecahkan sistem persamaan:

( x 2 + y 2 = 25

(y = -x 2 + 2*x + 5.

Mari kita plot grafik persamaan pertama dan kedua dalam sistem koordinat yang sama. Grafik persamaan pertama akan berupa lingkaran yang berpusat di titik asal dan jari-jari 5. Grafik persamaan kedua akan berbentuk parabola dengan cabang ke bawah.

Semua titik dari grafik masing-masing akan memenuhi persamaan mereka sendiri. Kita perlu menemukan titik-titik yang memenuhi persamaan pertama dan kedua. Jelas, ini akan menjadi titik di mana dua grafik ini berpotongan.

Dengan menggunakan gambar kami, kami menemukan nilai perkiraan koordinat di mana titik-titik ini berpotongan. Kami mendapatkan hasil sebagai berikut:

A(-2.2;-4.5), B(0;5), C(2.2;4.5), D(4,-3).

Jadi sistem persamaan kami memiliki empat solusi.

x1 -2.2; y1 -4.5;

x2 0; y2 5;

x3 2.2; y3 4,5;

x4 4,y4 -3.

Jika kita mengganti nilai-nilai ini ke dalam persamaan sistem kita, kita dapat melihat bahwa solusi pertama dan ketiga adalah perkiraan, dan yang kedua dan keempat tepat. Metode grafis sering digunakan untuk memperkirakan jumlah akar dan batas perkiraannya. Solusi lebih sering merupakan perkiraan daripada eksak.

Tanggal: ________________

Topik: aljabar

Topik: "Metode grafik untuk menyelesaikan sistem persamaan."

Sasaran: Gunakan grafik untuk menyelesaikan sistem persamaan.

Tugas:

Pendidikan: mengajarkan bagaimana menyelesaikan sistem persamaan linier dengan dua variabel secara grafis.

Mengembangkan: pengembangan kemampuan penelitian siswa, pengendalian diri, berbicara.

Pengasuhan: menumbuhkan budaya komunikasi, akurasi.

Jenis pelajaran: gabungan

Formulir: Survei frontal, bekerja berpasangan.

Selama kelas:

tahap organisasi. Melaporkan topik pelajaran, menetapkan tujuan pelajaran.(tulis nomor, topik di buku catatan)

Pengulangan dan konsolidasi materi meliputi:

1. Memeriksa pekerjaan rumah (analisis masalah yang belum terpecahkan);

   Kontrol asimilasi materi:

Opsi nomor 1	Opsi nomor 2
Gambarkan fungsinya: (xy-1)(x+1)=0 (x-2) 2 + (y + 1) 2 \u003d 4	Gambarkan fungsinya: (xy+1)(y-1)=0 (x-1) 2 + (y + 2) 2 \u003d 4

Memperbarui pengetahuan dasar:

Definisi persamaan linear dua variabel.

Penyelesaian persamaan linear dua variabel disebut?

Grafik persamaan linear dua variabel disebut?

Bagaimana grafik persamaan linear dua variabel?

Berapa banyak titik yang menentukan garis?

Apa yang dimaksud dengan penyelesaian sistem persamaan?

Apa yang disebut penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel?

Kapan dua garis pada bidang berpotongan?

Kapan dua garis pada bidang sejajar?

Kapan dua garis lurus bertepatan di sebuah pesawat?

Mempelajari materi baru:

Mempertimbangkan sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui. Keputusan sistem persamaan disebut pasangan nilaivariabel, siapa yang berpaling? setiap persamaan sistem menjadi persamaan yang benar. Memecahkan sistem persamaan berarti menemukan semua penyelesaiannya atau membuktikan bahwa tidak ada solusi.

Salah satu cara yang efektif dan visual untuk memecahkan dan mempelajari persamaan dan sistem persamaan cara grafis.

Algoritma untuk memplot persamaan dengan dua variabel.

Nyatakan variabel y dalam bentuk x.

"Ambil" titik-titik yang menentukan grafik.

persamaan plot

Algoritma untuk memecahkan sistem persamaan dengan dua variabel secara grafis.

Buatlah grafik dari masing-masing persamaan sistem.

Cari koordinat titik potongnya.

Tuliskan jawabannya.

Contoh 1

Mari kita selesaikan sistem persamaan:

Mari kita bangun dalam satu sistem koordinat grafik yang pertama X 2 + y2 = 25
(lingkaran) dan kedua hu= 12 (hiperbola) persamaan. Sudah jelas itu
grafik persamaan berpotongan di empat titik TETAPI(3; 4), PADA(4; 3)
C(-3;-4) dan D(-4; 3), yang koordinatnya adalah solusi
satu sistem.

T
Karena solusi dapat ditemukan dengan akurasi tertentu dengan metode grafis, mereka harus diverifikasi dengan substitusi.

Pemeriksaan menunjukkan bahwa sistem benar-benar memiliki empat solusi: (3;4),(4;3),(-3;-4),(-4;-3).

Tugas dalam pelajaran: 415 (b); 416; 419 (b); 420 (b); 421 (a,b); 422 (a); 424(b); 426 hal.115-117.

Menyimpulkan (penilaian).

Refleksi.

Mari kita ulangi algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan secara grafis.

Berapa banyak solusi yang dapat dimiliki sistem persamaan?

Siapa yang telah belajar menyelesaikan sistem persamaan l secara grafis?

Siapa yang belum belajar?

Siapa lagi yang meragukan?

Angkat tanganmu, siapa yang menyukai pelajarannya? Siapa yang tidak? Siapa yang acuh tak acuh?

Pekerjaan rumah: 18 hal. 114-115 pelajari aturannya.

17 hal.108-110 ulangi aturannya.

Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan adalah metode grafis. Hal ini didasarkan pada plotting fungsi dan menentukan titik persimpangan mereka. Pertimbangkan cara grafis untuk menyelesaikan persamaan kuadrat a*x^2+b*x+c=0.

Cara pertama untuk menyelesaikannya

Ubah persamaan a*x^2+b*x+c=0 menjadi a*x^2 =-b*x-c. Kami membuat grafik dua fungsi y= a*x^2 (parabola) dan y=-b*x-c (garis lurus). Mencari titik persimpangan. Absis titik potong akan menjadi solusi persamaan.

Mari kita tunjukkan dengan sebuah contoh: selesaikan persamaan x^2-2*x-3=0.

Mari kita ubah menjadi x^2 =2*x+3. Kami membangun grafik fungsi y= x^2 dan y=2*x+3 dalam satu sistem koordinat.

Grafik berpotongan di dua titik. Absis mereka akan menjadi akar persamaan kita.

Solusi Rumus

Untuk meyakinkan, kami memeriksa solusi ini secara analitis. Kami memecahkan persamaan kuadrat dengan rumus:

D = 4-4*1*(-3) = 16.

X1= (2+4)/2*1 = 3.

X2 = (2-4)/2*1 = -1.

Cara, solusi cocok.

Metode grafis untuk memecahkan persamaan juga memiliki kelemahan, dengan bantuan itu tidak selalu mungkin untuk mendapatkan solusi yang tepat dari persamaan. Coba selesaikan persamaan x^2=3+x.

Mari kita bangun parabola y=x^2 dan garis lurus y=3+x dalam sistem koordinat yang sama.

Lagi-lagi mendapat gambaran serupa. Sebuah garis dan parabola berpotongan di dua titik. Tetapi kami tidak dapat mengatakan nilai pasti absis titik-titik ini, hanya perkiraan: x≈-1.3 x≈2.3.

Jika kita puas dengan jawaban yang akurat, maka kita dapat menggunakan metode ini, tetapi ini jarang terjadi. Biasanya solusi yang tepat diperlukan. Oleh karena itu, metode grafis jarang digunakan, dan terutama untuk memeriksa solusi yang ada.

Butuh bantuan dengan studi Anda?

Topik sebelumnya:

Institusi pendidikan negeri kota

Sekolah Menengah Popovskaya

dinamai Pahlawan Uni Soviet N.K. Gorbanev

Pelajaran umum

guru matematika

Voronina Vera Vladimirovna,

matematika di kelas 9

pada topik: "Metode grafis untuk menyelesaikan sistem persamaan"

Jenis pelajaran: pelajaran mempelajari materi baru.

tahun ajaran 2017/2018

Cara grafis untuk memecahkan sistem persamaan. kelas 9

Voronina Vera Vladimirovna, guru matematika.

apakah pelajaran:

bersifat mendidik:

temukan, bersama dengan siswa, cara baru untuk memecahkan sistem persamaan;

menampilkan algoritma untuk memecahkan sistem persamaan secara grafis;

dapat menentukan berapa banyak solusi yang dimiliki sistem persamaan;

belajar menemukan solusi sistem persamaan secara grafis;

ulangi konstruksi grafik fungsi dasar;

menciptakan kondisi untuk pengendalian (self-control) siswa:

pendidikan:

menumbuhkan sikap bertanggung jawab dalam bekerja,

akurasi pencatatan.

Selama kelas.

I. Momen organisasi.

Apa itu fungsi? (slide 3-11)

Apa itu grafik fungsi?

Apa jenis fungsi yang Anda ketahui?

Apa rumus fungsi linier? Apa grafik fungsi linier?

Apa rumus dari proporsionalitas langsung? Apa jadwalnya?

Apa rumus perbandingan terbalik? Apa jadwalnya?

Apa rumus fungsi kuadrat? Apa jadwal nya?

Apa persamaan lingkaran?

Apa yang disebut grafik persamaan dengan dua variabel; (slide 12)

Kenalan dengan persamaan yang digunakan dalam matematika yang lebih tinggi dan grafiknya (strophoid, Lemniscate Bernoulli, astroid, cardioid) diatur. (slide 13-16)

Cerita guru disertai dengan tayangan slide dengan grafik tersebut.

Nyatakan variabel y dalam bentuk x:
a) y - x² = 0
b) x + y + 2 = 0
c) 2x - y + 3 = 0
d) xy = -12

Apakah pasangan bilangan (1; 0) merupakan solusi dari persamaan
a) x² + y \u003d 1;
b) xy + 3 = x;
c) y(x +2) = 0.

Apa solusi dari sistem persamaan dengan dua variabel?

Manakah dari pasangan bilangan yang merupakan penyelesaian sistem persamaan tersebut?
a) (6; 3)
b) (- 3; - 6)
pada 21)
d) (3; 0)

Persamaan apa yang dapat digunakan untuk menyusun sistem persamaan, yang solusinya adalah pasangan bilangan (2; 1)
a) 2x - y \u003d 3
b) 3x - 2 tahun \u003d 5
c) x² + y² = 4
d) xy = 2

AKU AKU AKU. Aktualisasi pengetahuan siswa terhadap materi yang dipelajari. (slide 20, 21)

Hari ini kita akan mengulangi dan mengkonsolidasikan salah satu cara untuk menyelesaikan sistem persamaan. Konsolidasi bahan yang dipelajari dilakukan dengan bantuan persepsi visual (slide menunjukkan solusi grafis dari sistem persamaan):

Grafik persamaan dengan dua variabel adalah himpunan titik-titik pada bidang koordinat yang koordinatnya mengubah persamaan menjadi persamaan sejati. Grafik persamaan dengan dua yang tidak diketahui sangat beragam.

Pertanyaan untuk slide ini:

Berapa grafik persamaan x² + y²=25?

Berapa grafik persamaan y = - x² +2x +5?

Koordinat titik mana pun pada lingkaran akan memenuhi persamaan x² + y²=25, koordinat titik mana pun pada parabola akan memenuhi persamaan y = - x² +2x +5.

Koordinat titik mana yang memenuhi persamaan pertama dan kedua?

Berapa banyak titik potong yang dimiliki grafik-grafik tersebut?

Berapa banyak solusi yang dimiliki sistem ini?

Sebutkan solusi-solusi ini?

Apa yang perlu dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan dua variabel secara grafis?

Sebuah slide diusulkan, yang menunjukkan algoritma untuk metode grafis untuk memecahkan sistem persamaan dengan dua yang tidak diketahui.

cara grafis dapat diterapkan untuk solusi sistem apa pun, tetapi dengan bantuan grafik persamaan, dimungkinkan untuk menemukan solusi sistem secara mendekati. Hanya beberapa solusi yang ditemukan dari sistem yang bisa menjadi tepat. Ini dapat diverifikasi dengan mensubstitusikan koordinatnya ke dalam persamaan sistem.

IV. Penerapan metode yang dipelajari untuk memecahkan sistem persamaan.

1. Memecahkan secara grafis sistem persamaan (slide 23)

Berapakah grafik persamaan xy = 3?

Berapakah grafik persamaan 3x - y = 0?

2. Tuliskan sistem yang didefinisikan oleh persamaan ini dan solusinya. (slide 24)

Mengajukan pertanyaan yang mengarah:

Tuliskan sistem yang didefinisikan oleh persamaan ini?

Berapa banyak titik potong yang dimiliki grafik-grafik tersebut?

Berapa banyak solusi yang dimiliki sistem persamaan ini?

Apa solusi dari sistem persamaan ini?

3. Menyelesaikan tugas dari GIA (slide 25).

4. Memecahkan secara grafis sistem persamaan (slide 26)

Tugas diselesaikan oleh siswa di buku catatan. Solusinya diperiksa.

V. Hasil pelajaran.

Apa yang dimaksud dengan penyelesaian sistem persamaan dua variabel?

Metode penyelesaian sistem persamaan dengan dua variabel apa yang Anda kenal?

Apa esensinya?

Apakah metode ini memberikan hasil yang akurat?

Kapan sistem persamaan tidak memiliki solusi?

VI. Pekerjaan rumah.

Butir 18, No. 420 (237), 425 (240)