Kami telah menulis tentang bagaimana teori matematis abstrak tentang chaos telah diterapkan dalam berbagai ilmu - dari fisika hingga ekonomi dan ilmu politik. Sekarang kita akan memberikan contoh serupa lainnya - teori fraktal. Tidak ada definisi ketat dari konsep "fraktal" bahkan dalam matematika. Mereka mengatakan sesuatu seperti itu, tentu saja. Tetapi “orang biasa” tidak memahami hal ini. Bagaimana Anda, misalnya, frasa seperti itu: "Fraktal adalah himpunan dengan dimensi Hausdorff pecahan, yang lebih besar dari yang topologi." Namun demikian, mereka, fraktal, mengelilingi kita dan membantu memahami banyak fenomena dari berbagai bidang kehidupan.

Bagaimana semuanya dimulai

Untuk waktu yang lama, tidak seorang pun kecuali ahli matematika profesional yang tertarik pada fraktal. Sebelum munculnya komputer dan perangkat lunak terkait. Semuanya berubah pada tahun 1982, ketika buku Benoit Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" diterbitkan. Buku ini menjadi buku terlaris, bukan karena penyajian materi yang sederhana dan mudah dipahami (walaupun pernyataan ini sangat relatif - seseorang yang tidak memiliki pendidikan matematika profesional tidak akan memahami apa pun di dalamnya), tetapi karena ilustrasi komputer fraktal yang benar-benar memesona. Mari kita lihat gambar-gambar ini. Mereka sangat berharga.

Dan ada banyak gambar seperti itu. Tapi apa semua kemegahan ini harus dilakukan dengan kehidupan nyata kita dan apa yang mengelilingi kita di alam dan dunia sehari-hari? Ternyata yang paling langsung.

Tapi pertama-tama, katakanlah beberapa kata tentang fraktal itu sendiri, sebagai objek geometris.

Apa itu fraktal, secara sederhana

Pertama. Bagaimana mereka, fraktal, dibangun. Ini adalah prosedur yang agak rumit yang menggunakan transformasi khusus pada bidang kompleks (Anda tidak perlu tahu apa itu). Satu-satunya hal yang penting adalah bahwa transformasi ini berulang (terjadi, seperti yang mereka katakan dalam matematika, iterasi). Sebagai hasil dari pengulangan inilah fraktal muncul (yang Anda lihat di atas).

Kedua. Fraktal adalah struktur self-similar (persis atau kira-kira). Ini berarti berikut ini. Jika Anda membawa mikroskop ke salah satu gambar yang disajikan, memperbesar gambar, misalnya, 100 kali, dan melihat potongan fraktal yang jatuh ke lensa mata, Anda akan menemukan bahwa itu identik dengan gambar aslinya. Jika Anda mengambil mikroskop yang lebih kuat yang memperbesar bayangan 1000 kali, Anda akan menemukan bahwa potongan potongan bayangan sebelumnya yang jatuh ke lensa mata memiliki struktur yang sama atau sangat mirip.

Ini mengarah pada kesimpulan yang sangat penting untuk apa yang berikut. Fraktal memiliki struktur yang sangat kompleks yang berulang pada skala yang berbeda. Tetapi semakin kita masuk lebih dalam ke perangkatnya, semakin kompleks secara umum. Dan perkiraan kuantitatif dari sifat-sifat gambar aslinya mungkin mulai berubah.

Sekarang kita akan meninggalkan matematika abstrak dan beralih ke hal-hal di sekitar kita - jadi, tampaknya, sederhana dan dapat dimengerti.

Objek fraktal di alam

Garis pantai

Bayangkan Anda memotret sebuah pulau, seperti Inggris, dari orbit Bumi. Anda akan mendapatkan gambar yang sama seperti pada peta geografis. Garis pantai yang halus, dari semua sisi - laut.

Menemukan panjang garis pantai sangat sederhana. Ambil utas biasa dan letakkan dengan hati-hati di sepanjang perbatasan pulau. Kemudian, ukur panjangnya dalam sentimeter dan kalikan angka yang dihasilkan dengan skala peta - ada beberapa kilometer dalam satu sentimeter. Inilah hasilnya.

Dan sekarang percobaan berikutnya. Anda terbang dengan pesawat dengan pandangan mata burung dan memotret garis pantai. Ternyata gambarnya mirip dengan foto-foto dari satelit. Tapi garis pantai ini menjorok. Teluk kecil, teluk, pecahan tanah yang menonjol ke laut muncul di foto Anda. Semua ini benar, tetapi tidak dapat dilihat dari satelit. Struktur garis pantai menjadi lebih kompleks.

Katakanlah, setelah tiba di rumah, Anda membuat peta garis pantai secara rinci berdasarkan gambar Anda. Dan kami memutuskan untuk mengukur panjangnya dengan bantuan utas yang sama, meletakkannya secara ketat sesuai dengan data baru yang Anda terima. Nilai panjang garis pantai yang baru akan melebihi yang lama. Dan signifikan. Ini jelas secara intuitif. Lagi pula, sekarang utas Anda harus mengelilingi pantai semua teluk dan teluk, dan tidak hanya menyusuri pantai.

Catatan. Kami memperkecil dan segalanya menjadi jauh lebih rumit dan membingungkan. Seperti fraktal.

Dan sekarang untuk iterasi lain. Anda berjalan di sepanjang pantai yang sama. Dan perbaiki relief garis pantai. Ternyata tepi teluk dan teluk yang Anda bidik dari pesawat sama sekali tidak semulus dan sesederhana yang Anda bayangkan dalam gambar Anda. Mereka memiliki struktur yang kompleks. Jadi, jika Anda memetakan garis pantai "pejalan kaki" ini, itu akan tumbuh lebih lama.

Ya, tidak ada ketidakterbatasan di alam. Tetapi cukup jelas bahwa garis pantai adalah fraktal yang khas. Itu tetap sama, tetapi strukturnya menjadi lebih dan lebih kompleks saat Anda melihat lebih dekat (pikirkan contoh mikroskop).

Ini benar-benar fenomena yang luar biasa. Kita terbiasa dengan kenyataan bahwa objek geometris apa pun yang ukurannya terbatas pada bidang (persegi, segitiga, lingkaran) memiliki panjang batas yang tetap dan terbatas. Tapi di sini semuanya berbeda. Panjang garis pantai di batas tersebut ternyata tak terhingga.

Kayu

Mari kita bayangkan sebuah pohon. Pohon biasa. Beberapa jenis linden longgar. Mari kita lihat kopernya. sekitar akar. Ini adalah silinder yang sedikit berubah bentuk. Itu. memiliki bentuk yang sangat sederhana.

Mari angkat mata kita. Cabang-cabang mulai muncul dari batang. Setiap cabang, pada awalnya, memiliki struktur yang sama dengan batang - silindris, dalam hal geometri. Tetapi struktur seluruh pohon telah berubah. Ini telah menjadi jauh lebih kompleks.

Sekarang mari kita lihat cabang-cabang ini. Cabang-cabang yang lebih kecil memanjang dari mereka. Pada dasarnya, mereka memiliki bentuk silinder yang sedikit berubah bentuk. Seperti batang yang sama. Dan kemudian cabang-cabang yang jauh lebih kecil berangkat dari mereka. Dll.

Pohon mereproduksi dirinya sendiri, di setiap tingkat. Pada saat yang sama, strukturnya terus menjadi lebih kompleks, tetapi tetap mirip dengan dirinya sendiri. Bukan fraktal?

Sirkulasi

Berikut adalah sistem peredaran darah manusia. Ia juga memiliki struktur fraktal. Ada arteri dan vena. Menurut salah satunya, darah datang ke jantung (pembuluh darah), menurut yang lain berasal darinya (arteri). Dan kemudian, sistem peredaran darah mulai menyerupai pohon yang sama yang kita bicarakan di atas. Kapal, sambil mempertahankan strukturnya, menjadi lebih tipis dan lebih bercabang. Mereka menembus ke area paling terpencil di tubuh kita, membawa oksigen dan komponen vital lainnya ke setiap sel. Ini adalah struktur fraktal khas yang mereproduksi dirinya sendiri pada skala yang lebih kecil dan lebih kecil.

saluran air sungai

"Dari jauh, Sungai Volga mengalir untuk waktu yang lama." Pada peta geografis, ini adalah garis berliku biru. Nah, anak sungai utama ditandai. Oke, Kama. Bagaimana jika kita memperkecil? Ternyata anak-anak sungai ini jauh lebih besar. Tidak hanya di dekat Volga itu sendiri, tetapi juga di dekat Oka dan Kama. Dan mereka memiliki anak sungai sendiri, hanya yang lebih kecil. Dan itu punya mereka. Sebuah struktur muncul yang secara mengejutkan mirip dengan sistem peredaran darah manusia. Dan lagi-lagi muncul pertanyaan. Berapa luas keseluruhan sistem air ini? Jika Anda hanya mengukur panjang saluran utama, semuanya jelas. Anda dapat membacanya di buku teks apa pun. Bagaimana jika semuanya diukur? Sekali lagi, dalam batas, tak terhingga diperoleh.

alam semesta kita

Tentu saja, dalam skala miliaran tahun cahaya, Alam Semesta tersusun secara seragam. Tapi mari kita lihat lebih dekat. Dan kemudian kita akan melihat bahwa tidak ada homogenitas di dalamnya. Di suatu tempat ada galaksi (gugus bintang), di suatu tempat ada kekosongan. Mengapa? Mengapa distribusi materi mematuhi hukum hierarkis yang tidak teratur. Dan apa yang terjadi di dalam galaksi (zoom out lainnya). Di suatu tempat ada lebih banyak bintang, di suatu tempat lebih sedikit. Di suatu tempat ada sistem planet, seperti di tata surya kita, tetapi di suatu tempat tidak.

Bukankah esensi fraktal dunia memanifestasikan dirinya di sini? Sekarang, tentu saja, ada kesenjangan besar antara teori relativitas umum, yang menjelaskan kemunculan alam semesta kita dan strukturnya, dan matematika fraktal. Tapi siapa yang tahu? Mungkin semua ini suatu hari nanti akan dibawa ke "penyebut umum", dan kita akan melihat kosmos di sekitar kita dengan mata yang sama sekali berbeda.

Untuk hal-hal praktis

Banyak contoh seperti itu dapat dikutip. Tapi mari kita kembali ke hal-hal yang lebih membosankan. Ambil contoh, ekonomi. Tampaknya, dan di sini fraktal. Ternyata, sangat. Contohnya adalah pasar saham.

Praktek menunjukkan bahwa proses ekonomi seringkali kacau dan tidak dapat diprediksi. Model matematika yang ada hingga saat ini, yang mencoba menggambarkan proses ini, tidak memperhitungkan satu faktor yang sangat penting - kemampuan pasar untuk mengatur dirinya sendiri.

Di sinilah teori fraktal datang untuk menyelamatkan, yang memiliki sifat "pengorganisasian diri", mereproduksi diri mereka sendiri pada tingkat skala yang berbeda. Tentu saja, fraktal adalah objek matematika murni. Dan di alam, dan dalam ekonomi, mereka tidak ada. Tapi ada konsep fenomena fraktal. Mereka fraktal hanya dalam arti statistik. Namun demikian, simbiosis matematika dan statistik fraktal memungkinkan untuk memperoleh perkiraan yang cukup akurat dan memadai. Pendekatan ini sangat efektif dalam analisis pasar saham. Dan ini bukan "gagasan" matematikawan. Data ahli menunjukkan bahwa banyak peserta di pasar saham menghabiskan banyak uang untuk membayar spesialis di bidang matematika fraktal.

Apa yang diberikan teori fraktal? Ini mendalilkan ketergantungan harga global yang umum pada apa yang terjadi di masa lalu. Tentu saja, secara lokal proses penetapan harga dilakukan secara acak. Tetapi lompatan dan penurunan harga secara acak, yang dapat terjadi sesaat, memiliki kekhasan berkumpul dalam kelompok. Yang direproduksi dalam skala besar waktu. Oleh karena itu, dengan menganalisis apa yang pernah terjadi, kita dapat memprediksi berapa lama tren perkembangan pasar ini atau itu (pertumbuhan atau penurunan) akan berlangsung.

Jadi, dalam skala global, pasar ini atau itu "mereproduksi" dirinya sendiri. Dengan asumsi fluktuasi acak yang disebabkan oleh massa faktor eksternal pada setiap saat tertentu dalam waktu. Tapi tren global tetap ada.

Kesimpulan

Mengapa dunia diatur menurut prinsip fraktal? Jawabannya, mungkin, adalah bahwa fraktal, sebagai model matematika, memiliki sifat pengaturan diri dan kesamaan diri. Pada saat yang sama, masing-masing bentuknya (lihat gambar yang diberikan di awal artikel) kompleks secara sewenang-wenang, tetapi menjalani kehidupannya sendiri, mengembangkan bentuk yang serupa dengan dirinya sendiri. Bukankah begitu cara dunia kita bekerja?

Dan di sini adalah masyarakat. Beberapa ide muncul. Cukup abstrak pada awalnya. Dan kemudian "menembus massa." Ya, itu berubah entah bagaimana. Tapi secara umum dipertahankan. Dan itu berubah pada tingkat kebanyakan orang menjadi penunjukan tujuan dari jalur kehidupan. Ini adalah Uni Soviet yang sama. Kongres CPSU berikutnya mengadopsi keputusan penting berikutnya, dan semuanya menurun. Dalam skala yang lebih kecil. Komite kota, komite partai. Begitu seterusnya untuk setiap orang. struktur berulang.

Tentu saja, teori fraktal tidak memungkinkan kita untuk memprediksi kejadian di masa depan. Dan ini hampir tidak mungkin. Tetapi banyak hal di sekitar kita, dan apa yang terjadi dalam kehidupan kita sehari-hari, memungkinkan kita untuk melihat dengan mata yang sama sekali berbeda. Sadar.

Kacharava A.S. satu

Kholinova O.A. satu

1 Lembaga Pendidikan Profesi Anggaran Pendapatan dan Belanja Negara Daerah "Kostroma Trade and Economic College" (OGBPOU "KTEK")

Teks karya ditempatkan tanpa gambar dan rumus.
Versi lengkap dari karya tersebut tersedia di tab "File Pekerjaan" dalam format PDF

PENGANTAR

Relevansi penelitian.

Kekuatan matematika tidak bisa diremehkan. Namun, sayangnya, banyak orang percaya bahwa matematika adalah ilmu yang "kering", dan tidak ada yang menarik di dalamnya: hanya angka dan rumus. Seseorang mungkin tidak setuju dengan ini. Bertrand Russell, seorang ahli matematika dan filsuf Inggris, mengatakan: "Matematika, jika Anda melihatnya dengan benar, tidak hanya mencerminkan kebenaran, tetapi juga keindahan yang tak tertandingi."

Penemuan paling cerdik dalam sains dapat secara radikal mengubah kehidupan manusia. Salah satu penemuan "tak terlihat" ini adalah fraktal.

Dunia fraktal adalah dunia yang menakjubkan, besar, dan beragam. Itu memikat, menaklukkan, tetapi terkadang sulit untuk memahaminya. Gambar fraktal adalah puncak inspirasi master dalam perjalanan menuju kesatuan sempurna matematika, ilmu komputer, dan seni. Baru-baru ini, model geometris benda-benda alam telah digambarkan menggunakan kombinasi bentuk sederhana seperti garis, segitiga, lingkaran, bola, polihedra. Tetapi tidak mudah untuk menggambarkan objek alam yang lebih kompleks, seperti bahan berpori, bentuk awan, tajuk pohon, dan lain-lain, dengan kumpulan figur terkenal ini. Alat komputer baru membawa matematika ke tingkat yang sangat tinggi. Ketika Anda mempelajari fraktal, Anda memahami bahwa sangat sulit untuk menarik garis antara matematika dan ilmu komputer, karena keduanya saling terkait erat, mencoba menemukan model yang unik dan unik. Fraktal membawa kita lebih dekat untuk memahami beberapa proses dan fenomena alam. Oleh karena itu, topik fraktal adalah yang paling menarik dan mengasyikkan untuk dipelajari.

Target: jelajahi cabang baru matematika - fraktal dan dasar-dasar aplikasi dalam kehidupan nyata.

Tugas:

menganalisis dan bekerja melalui literatur tentang topik penelitian.

kenalan dengan konsep, sejarah kemunculan dan penelitian B. Mandelbrot;

untuk memberikan gambaran tentang fraktal yang ditemui dalam kehidupan kita.

menemukan konfirmasi teori fraktalitas dunia sekitarnya;

menentukan ruang lingkup fraktal;

Objek studi - fraktal dalam matematika dan di dunia nyata. fraktal dan aplikasi praktisnya.

Subyek studi - geometri fraktal.

Metode penelitian dalam pekerjaan: analisis, sintesis, pencarian, pemodelan.

Sejarah konsep "fraktal"

Ide pertama geometri fraktal muncul pada abad ke-19.

Georg Cantor (Penyanyi, 1845-1918) - Matematikawan Jerman, ahli logika, teolog, pencipta teori himpunan tak terbatas, menggunakan prosedur rekursif (pengulangan) sederhana, mengubah garis menjadi himpunan titik yang tidak terhubung. Dia mengambil garis dan menghapus sepertiga tengah dan kemudian mengulangi hal yang sama dengan segmen yang tersisa. Ternyata yang disebut Debu penyanyi.

Giuseppe Peano (1858-1932) - Matematikawan Italia menggambarkan garis khusus. Dia mengambil garis lurus dan menggantinya dengan 9 segmen 3 kali lebih pendek dari panjang garis aslinya. Kemudian dia melakukan hal yang sama dengan setiap segmen. Dan seterusnya ad infinitum. Keunikan garis seperti itu adalah memenuhi seluruh bidang. Belakangan, konstruksi serupa dilakukan di ruang tiga dimensi.

Kata "fraktal" muncul berkat ilmuwan brilian Benoit Mandelbrot.

Dia menciptakan istilah itu sendiri pada 1970-an, meminjam kata fractus dari bahasa Latin, yang secara harfiah berarti "rusak" atau "hancur." Apa itu? Saat ini, kata "fraktal" paling sering digunakan untuk mengartikan representasi grafis dari struktur yang mirip dengan dirinya sendiri dalam skala yang lebih besar.

Definisi fraktal yang diberikan oleh Mandelbrot adalah sebagai berikut: "Fraktal adalah struktur yang terdiri dari bagian-bagian yang dalam beberapa hal mirip dengan keseluruhan."

Dasar matematika untuk munculnya teori fraktal diletakkan bertahun-tahun sebelum kelahiran Benoit Mandelbrot, tetapi itu hanya dapat berkembang dengan munculnya perangkat komputasi. Pada awal karir ilmiahnya, Benoit bekerja di pusat penelitian IBM. Pada saat itu, karyawan pusat sedang mengerjakan transmisi data jarak jauh. Dalam perjalanan penelitian, para ilmuwan dihadapkan pada masalah kerugian besar yang timbul dari gangguan kebisingan. Benoit menghadapi tugas yang sulit dan sangat penting - untuk memahami bagaimana memprediksi terjadinya gangguan kebisingan di sirkuit elektronik ketika metode statistik tidak efektif.

Melihat melalui hasil pengukuran kebisingan, Mandelbrot menarik perhatian pada satu pola aneh - grafik kebisingan pada skala yang berbeda tampak sama. Pola yang sama diamati terlepas dari apakah itu plot kebisingan selama satu hari, seminggu, atau satu jam. Perlu mengubah skala grafik, dan gambar itu diulang setiap saat.

Semasa hidupnya, Benoit Mandelbrot berulang kali mengatakan bahwa dia tidak berurusan dengan rumus, tetapi hanya bermain dengan gambar. Orang ini berpikir sangat kiasan, dan menerjemahkan setiap masalah aljabar ke dalam bidang geometri, di mana, menurutnya, jawaban yang benar selalu jelas.

Tidak mengherankan bahwa itu adalah seorang pria dengan imajinasi spasial yang kaya yang menjadi bapak geometri fraktal. Bagaimanapun, realisasi esensi fraktal datang tepat ketika Anda mulai mempelajari gambar dan memikirkan arti pola aneh - pusaran.

Pola fraktal tidak memiliki elemen yang identik, tetapi memiliki kesamaan pada skala apa pun. Untuk membangun gambar seperti itu dengan tingkat detail yang tinggi secara manual sebelumnya tidak mungkin, itu membutuhkan banyak perhitungan.

Salah satu gambar pertama dari fraktal adalah interpretasi grafis dari himpunan Mandelbrot, yang lahir dari penelitian Gaston Maurice Julia.

Banyak objek di alam yang memiliki sifat fraktal, seperti pantai, awan, tajuk pohon, kepingan salju, sistem peredaran darah, dan sistem alveolus manusia atau hewan.

Penerapan fraktal

Fraktal menemukan semakin banyak aplikasi dalam sains. Alasan utama untuk ini adalah bahwa mereka menggambarkan dunia nyata kadang-kadang bahkan lebih baik daripada fisika atau matematika tradisional.

Lukisan fraktal.

Lukisan fraktal adalah salah satu tren seni kontemporer yang populer di kalangan seniman digital. Lukisan fraktal memiliki efek yang tidak biasa dan menyihir bagi yang melihatnya, sehingga memunculkan gambar yang menyala terang. Abstraksi yang luar biasa diciptakan melalui rumus matematika yang membosankan, tetapi imajinasi menganggapnya hidup.

Fraktal dalam grafik

Penggunaan fraktal yang paling berguna dalam ilmu komputer adalah kompresi data fraktal. Jenis kompresi ini didasarkan pada fakta bahwa dunia nyata digambarkan dengan baik oleh geometri fraktal. Pada saat yang sama, gambar dikompresi jauh lebih baik daripada yang dilakukan dengan metode konvensional (seperti jpeg atau gif). Keuntungan lain dari kompresi fraktal adalah ketika gambar diperbesar, tidak ada efek pikselasi (menambah ukuran titik ke ukuran yang mendistorsi gambar). Dengan kompresi fraktal, setelah di-zoom, gambar sering kali terlihat lebih baik dari sebelumnya. Fraktal banyak digunakan dalam grafik komputer - saat membuat gambar pohon, semak, permukaan laut, lanskap gunung, dan objek alami lainnya. Berkat grafik fraktal, cara efektif ditemukan untuk mengimplementasikan objek non-Euclidean kompleks yang gambarnya mirip dengan gambar alami: ini adalah algoritme untuk mensintesis koefisien fraktal yang memungkinkan Anda mereproduksi salinan gambar apa pun sedekat mungkin dengan aslinya. Menariknya, selain "lukisan" fraktal, ada juga musik fraktal dan animasi fraktal. Dalam seni visual, ada arah yang berkaitan dengan memperoleh gambar fraktal acak - "monotipe fraktal" atau "stochaty".

Dasar matematika grafik fraktal adalah geometri fraktal, di mana metode untuk membangun "penerus gambar" didasarkan pada prinsip pewarisan dari "objek-orang tua" asli. Konsep geometri fraktal dan grafik fraktal sendiri muncul hanya sekitar 30 tahun yang lalu, tetapi telah menjadi mapan dalam kehidupan sehari-hari desainer komputer dan matematikawan.

Konsep dasar grafik komputer fraktal adalah:

Segitiga fraktal - sosok fraktal - objek fraktal (hierarki dalam urutan menurun)

garis fraktal

komposisi fraktal

"Objek Induk" dan "Objek Penerus"

Sama seperti dalam grafik vektor dan 3D, pembuatan gambar fraktal dapat dihitung secara matematis. Perbedaan utama dari dua jenis grafik pertama adalah bahwa gambar fraktal dibangun menurut persamaan atau sistem persamaan - tidak lebih dari rumus yang perlu disimpan dalam memori komputer untuk melakukan semua perhitungan - dan matematika yang kompak seperti itu. aparat memungkinkan penggunaan ide ini dalam grafik komputer. Dengan hanya mengubah koefisien persamaan, Anda dapat dengan mudah mendapatkan gambar fraktal yang sama sekali berbeda - dengan bantuan beberapa koefisien matematika, permukaan dan garis dari bentuk yang sangat kompleks ditentukan, yang memungkinkan Anda untuk menerapkan teknik komposisi seperti horizontal dan vertikal , simetri dan asimetri, arah diagonal dan banyak lagi.

Fraktal dalam jaringan terdesentralisasi

Prinsip kompresi informasi fraktal untuk penyimpanan informasi yang ringkas tentang node jaringan Netsukuku menggunakan sistem penetapan alamat IP. Masing-masing node menyimpan 4 kilobyte informasi tentang keadaan node tetangga. Setiap node baru terhubung ke Internet publik tanpa memerlukan regulasi pusat distribusi alamat IP. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa prinsip kompresi informasi fraktal memastikan operasi terdesentralisasi dari seluruh jaringan, dan oleh karena itu pekerjaan di dalamnya sestabil mungkin.

Fraktal dalam teknik radio

antena fraktal. Untuk mengirimkan data jarak jauh, antena berbentuk fraktal digunakan, yang sangat mengurangi ukuran dan beratnya.

Penggunaan geometri fraktal dalam desain perangkat antena pertama kali diterapkan oleh insinyur Amerika Nathan Cohen, yang tinggal di pusat kota Boston, di mana dilarang memasang antena eksternal pada misi. Untuk menghindari larangan pihak berwenang Boston memasang antena luar ruangan di rumah, ia menyamarkan antena stasiun radionya sebagai sosok dekoratif berdasarkan garis putus-putus fraktal yang dijelaskan oleh ahli matematika Swedia Helge von Koch pada tahun 1904. Nathan memotong sebuah gambar berbentuk kurva Koch dari aluminium foil dan menempelkannya pada selembar kertas, lalu menempelkannya pada receiver. Cohen mendirikan perusahaannya sendiri dan meluncurkan produksi serial mereka.

Hasil studi tentang karakteristik desain antena baru yang diterbitkan oleh Cohen menarik perhatian para spesialis. Berkat upaya banyak peneliti, hari ini teori antena fraktal telah menjadi perangkat independen yang cukup berkembang untuk sintesis dan analisis EMA.

Antena fraktal adalah kelas antena kecil elektrik (ESA) yang relatif baru, yang secara fundamental berbeda dalam geometri dari solusi yang diketahui. Faktanya, evolusi tradisional antena didasarkan pada geometri Euclidean, beroperasi dengan objek berdimensi integer (garis, lingkaran, elips, paraboloid, dll.).

Perbedaan utama antara bentuk-bentuk geometri fraktal adalah dimensi fraksionalnya, yang secara lahiriah memanifestasikan dirinya dalam pengulangan rekursif pada skala yang meningkat atau menurun dari pola deterministik atau acak asli. Teknologi fraktal telah menyebar luas dalam pembentukan alat penyaringan sinyal, sintesis model komputer tiga dimensi dari lanskap alam, dan kompresi gambar.

Sangat wajar bahwa "mode" fraktal tidak melewati teori antena. Selain itu, prototipe teknologi fraktal modern dalam teknologi antena adalah konstruksi log-periodik dan spiral yang diusulkan pada pertengahan 60-an abad terakhir. Benar, dalam pengertian matematis yang ketat, konstruksi seperti itu pada saat pengembangan tidak ada hubungannya dengan geometri fraktal, karena sebenarnya hanya fraktal jenis pertama. Sekarang para peneliti, terutama dengan coba-coba, mencoba menggunakan fraktal yang dikenal dalam geometri dalam solusi antena.

Antena fraktal memungkinkan Anda mendapatkan penguatan yang hampir sama dengan antena konvensional, tetapi dengan dimensi yang lebih kecil, yang penting untuk aplikasi seluler. Mari kita pertimbangkan hasil yang diperoleh di bidang pembuatan antena fraktal dari berbagai jenis.

Publikasi pertama tentang elektrodinamika struktur fraktal berasal dari tahun 80-an abad terakhir. Dalam publikasi tentang sejarah antena fraktal, karya ilmuwan Universitas Negeri Pennsylvania Y. Kim dan D. L. Jaggard biasanya disebutkan. Keunggulan dalam studi teoretis tentang kemungkinan penggunaan bentuk fraktal untuk pembentukan antena frekuensi multiband dikaitkan dengan ilmuwan dari Universitas Teknologi Catalonia, C. Puente. Desain pertama antena fraktal dengan sifat elektromagnetik dan arah yang paling banyak dipelajari adalah antena berdasarkan kurva Koch prefractal.

Fraktal dalam teknologi digital

Geometri fraktal telah memberikan kontribusi yang tak ternilai bagi pengembangan teknologi baru di bidang musik digital, dan juga memungkinkan untuk mengompresi gambar digital. Algoritma kompresi gambar fraktal yang ada didasarkan pada prinsip menyimpan gambar yang dikompresi, bukan gambar digital itu sendiri. Untuk citra kompresi, citra utama tetap berupa titik tetap. Microsoft menggunakan salah satu varian dari algoritme ini ketika menerbitkan ensiklopedianya, tetapi karena satu dan lain alasan, ide ini tidak digunakan secara luas.

Fraktal dalam ilmu alam.

Dalam fisika, fraktal muncul secara alami ketika memodelkan proses nonlinier, seperti aliran fluida turbulen, proses difusi-adsorpsi kompleks, api, awan, dll. fraktal digunakan untuk memodelkan bahan berpori, misalnya, dalam petrokimia. Studi turbulensi dalam aliran beradaptasi dengan sangat baik untuk fraktal. Aliran turbulen kacau dan oleh karena itu sulit untuk dimodelkan secara akurat. Dan di sini transisi ke representasi fraktal membantu, yang sangat memudahkan pekerjaan para insinyur dan fisikawan, memungkinkan mereka untuk lebih memahami dinamika aliran kompleks. Dalam biologi, mereka digunakan untuk memodelkan populasi dan untuk menggambarkan sistem organ dalam. Saat ini, fraktal sedang, dan mungkin akan digunakan dalam pengobatan. Tubuh manusia itu sendiri terdiri dari banyak struktur seperti fraktal: sistem peredaran darah, otot, bronkus, dll.

Sangat sering fraktal digunakan dalam geologi dan geofisika. Bukan rahasia lagi bahwa pantai pulau dan benua memiliki dimensi fraktal tertentu, mengetahui yang mana Anda dapat menghitung panjang pantai dengan sangat akurat.

Interpretasi fisik fraktal

Untuk memahami fraktal aljabar, pertimbangkan eksperimen sederhana. Sebuah bola yang tergantung pada seutas benang dibelokkan dari vertikal dan dilepaskan. Ada fluktuasi. Jika bola dibelokkan sedikit, maka geraknya digambarkan dengan persamaan linier. Jika simpangan dibuat cukup besar, persamaan tidak lagi linier. Apa yang akan berubah dengan ini? Dalam kasus pertama, frekuensi osilasi (dan, karenanya, periode) tidak bergantung pada tingkat deviasi awal. Yang kedua - ketergantungan seperti itu terjadi. Sebuah analog lengkap dari pendulum mekanik sebagai sistem osilasi adalah sirkuit osilasi, atau "bandul listrik". Dalam kasus paling sederhana, ini terdiri dari induktor, kapasitor (kapasitansi) dan resistor (resistansi). Jika ketiga elemen ini linier, maka osilasi pada rangkaian tersebut setara dengan osilasi bandul linier. Tetapi jika, misalnya, kapasitansi tidak linier, periode osilasi akan bergantung pada amplitudonya.

Dinamika rangkaian osilasi ditentukan oleh dua variabel, misalnya, arus dalam rangkaian dan tegangan melintasi kapasitansi. Jika kita memplot jumlah ini di sepanjang sumbu X dan kamu, maka setiap keadaan sistem akan sesuai dengan titik tertentu pada bidang koordinat yang dihasilkan. Bidang seperti itu disebut bidang fase. (Dengan demikian, jika sistem dinamis didefinisikan oleh n variabel, maka alih-alih bidang fase dua dimensi, itu dapat diberikan ruang fase n-dimensi).

Sekarang mari kita mulai bekerja pada bandul kita dengan sinyal periodik eksternal. Respon sistem linier dan nonlinier akan berbeda. Dalam kasus pertama, osilasi periodik reguler secara bertahap akan ditetapkan dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi sinyal penggerak. Pada bidang fase, gerakan seperti itu sesuai dengan kurva tertutup yang disebut penarik (dari kata kerja bahasa Inggris untuk menarik- tarik), - satu set lintasan yang mencirikan proses mantap. Dalam kasus pendulum nonlinier, osilasi kompleks dan non-periodik dapat muncul ketika lintasan pada bidang fase tidak menutup dalam waktu yang lama. Dalam hal ini, perilaku sistem deterministik secara lahiriah akan menyerupai proses yang benar-benar acak.

Dengan demikian, ruang fase sistem dibagi menjadi daerah-daerah daya tarik atraktor. Jika ruang fase adalah dua dimensi, maka dengan mewarnai daerah tarik-menarik dengan warna yang berbeda, seseorang dapat memperoleh potret fase warna dari sistem ini (proses berulang). Dengan mengubah algoritme pemilihan warna, Anda bisa mendapatkan pola fraktal kompleks dengan pola multiwarna yang mewah.

Fraktal digunakan untuk menggambarkan kelengkungan permukaan. Permukaan yang tidak rata dicirikan oleh kombinasi dua fraktal yang berbeda.

Fraktal di alam.

Alam sering kali menciptakan fraktal-fraktal yang menakjubkan dan indah dengan geometri yang sempurna dan harmoni yang sedemikian rupa sehingga Anda hanya membeku dengan kekaguman.

Fraktal di alam sering terjadi. Alam menciptakan fraktal yang menakjubkan dan indah, dengan geometri yang sempurna dan harmoni yang membuat Anda membeku karena kagum. Ini adalah kilat yang menembus langit hingga ke cakrawala; garis pantai daratan dan pegunungan yang menjorok; karang bawah laut, di alam ada lebih dari 3500 varietas, dan kerang laut; gurita dengan struktur tubuh fraktal dan pengisap pada kedelapan tentakelnya, dan nudibranch gastropoda; kubis karang kembang kol dengan relief cembung non-standar; pohon daun bunga; sistem peredaran darah manusia dan banyak lagi. Dalam gambar seniman Jepang Hokusai "Gelombang Besar", Anda dapat melihat bahwa seniman, menggambar puncak gelombang, menggunakan fraktal yang diperhatikan di alam, seolah-olah terdiri dari banyak air pemangsa cakar.

Fraktal banyak digunakan dalam grafik komputer untuk membangun gambar objek alam, seperti pohon, semak, lanskap gunung, permukaan laut, dll. Peran fraktal dalam grafik komputer saat ini cukup besar. Mereka datang untuk menyelamatkan, misalnya, ketika diperlukan untuk mendapatkan garis dan permukaan dengan bentuk yang sangat kompleks. Fraktal digunakan untuk menggambarkan kelengkungan permukaan. Permukaan yang tidak rata dicirikan oleh kombinasi dua fraktal yang berbeda. Dari sudut pandang grafik komputer, geometri fraktal sangat diperlukan untuk menghasilkan awan buatan, pegunungan relief tiga dimensi, dan permukaan laut. Faktanya, telah ditemukan cara untuk merepresentasikan objek non-Euclidean yang kompleks dengan mudah, yang gambarnya sangat mirip dengan yang alami. Grafik komputer fraktal banyak digunakan dalam pembuatan kartun dan film fiksi ilmiah. Antena dengan bentuk fraktal digunakan, yang sangat mengurangi ukuran dan beratnya. Jika kita mempertimbangkan fraktal dari sudut pandang biologi, maka ini adalah pemodelan dari setiap proses kacau, khususnya, dalam deskripsi model populasi.

Menggunakan Fraktal dalam Perdagangan Forex

Fraktal digunakan dalam perdagangan oleh banyak pedagang valas. Bill Williams mulai aktif menggunakannya dalam perdagangan, tetapi perlu dicatat bahwa mereka digunakan jauh sebelum dia, meskipun dengan nama yang berbeda. Dr. Williams, sebagai hasil dari karya ilmiahnya, sampai pada kesimpulan bahwa pasar bergerak dengan cara yang sama seperti sistem yang kacau. Dengan kata lain, aliran darah di jantung, garis pantai dan harga kapas bergerak dengan cara yang sama dengan struktur yang sama. Penelitian Bill Williams menunjukkan bahwa pasar bukanlah sistem linier, tetapi sistem yang kacau. Dengan demikian, penggunaan indikator standar berdasarkan fungsi linier untuk analisisnya tidak akan membawa hasil yang memadai. Dari sini juga dapat disimpulkan bahwa stabilitas pasar bersifat sementara, dan yang permanen justru kekacauan. Fraktal forex ditemukan dalam proses simulasi komputer, pada saat yang sama ditemukan umpan balik, yang menggambarkan struktur pasar. Fraktal secara inheren adalah formasi berulang yang melekat pada stop loss apa pun. Di Forex, ini adalah pasar apa pun, kerangka waktu apa pun. Dan asalnya, fraktal komoditas dan pasar saham, fraktal garis pantai, memiliki sifat yang sama.

Fraktal adalah indikator yang dikembangkan oleh Bill Williams. Ini sederhana dan sekaligus beragam. Ini dapat digunakan baik sebagai indikator mandiri dan dalam kombinasi dengan alat analisis teknis lainnya.

Trading menggunakan fraktal menurut "Teori Chaos" oleh Bill Williams

Indikator fraktal adalah salah satu dari lima indikator sistem perdagangan oleh Bill Williams. Menurut sistem, sinyal yang berasal dari fraktal harus disaring menggunakan indikator yang disebut Alligator.

Berikut adalah cara berdagang dengan fraktal:

· Jika fraktal memberikan sinyal beli di atas gigi Alligator (garis merah), pedagang harus menempatkan order beli tertunda beberapa pips di atas fraktal.

· Jika fraktal memberikan sinyal jual di bawah gigi Alligator, pedagang harus menempatkan order jual tertunda beberapa pips di bawah fraktal.

Dalam kasus lain, Anda tidak boleh mempercayai sinyal perdagangan yang disediakan oleh indikator fraktal.

Saat Anda berdagang menggunakan metode Bill Williams, Anda harus mengikuti aturan yang paling penting: jangan pernah mempercayai sinyal perdagangan dari indikator lain (indikator Gator, Awesome Oscillator, MFI, dll.) jika fraktal bullish / bearish pertama tidak terbentuk di luar Alligator. gigi (kemudian berada di sisi lain dari garis merah)

Sinyal tetap relevan hingga pending order dipicu atau sinyal baru muncul (dalam hal ini, Anda perlu mengubah level pending order). Setiap fraktal tren baru dapat digunakan untuk membangun posisi perdagangan.

antena fraktal.

Perkembangan teknologi telekomunikasi seluler, radar dan sensor gerak gelombang mikro menuntut perlunya mengembangkan sistem antena multi-elemen baru yang terdiri dari emitor dengan dimensi kecil dan konfigurasi optimal. Antena adalah bagian integral dari setiap perangkat teknik radio yang dirancang untuk mengirim atau menerima informasi menggunakan gelombang radio melalui ruang sekitarnya. Seperti disebutkan di atas, antena fraktal memiliki geometri yang berbeda dari semua jenis antena lainnya. Fitur utama bentuk geometris fraktal adalah dimensi fraksionalnya. Di antara berbagai macam struktur fraktal, fraktal Minkowski adalah salah satu yang paling nyaman untuk membuat antena. "Inisiator" dari fraktal adalah segmen, dan "generator" adalah garis putus-putus dari delapan tautan (dua tautan yang sama saling menyambung).

Dalam solusi antena, bukan fraktal asli yang digunakan, tetapi hanya beberapa dari bentuk iteratif pertamanya, yang dalam geometri disebut kurva pengisian ruang (SFC) atau bidang (Kurva Pengisian Pesawat, PFC). Istilah "prefractals" kurang umum digunakan. Semua konsep ini dalam kaitannya dengan struktur antena dapat digunakan sebagai sinonim. Ini adalah terminologi historis dari teori antena fraktal, meskipun tidak sesuai dengan definisi matematika yang diterima.

SFC dapat digunakan sebagai template untuk pembuatan monopole dan lengan dipol, membentuk topologi antena cetak, permukaan selektif frekuensi (Frequency Selection Surfaces, FSS) atau cangkang reflektor cermin, membangun kontur antena loop dan profil bukaan klakson, dan juga alur penggilingan di antena slot. Dalam literatur bahasa Inggris, antena yang sesuai sering disebut "antena pengisi ruang" (SFA) (antena pengisi ruang).

Dalam hal antena kawat, penyeberangan sendiri SFC hanya diperbolehkan pada titik awal (atau akhir). Dengan kata lain, garis fraktal dapat terlihat seperti kontur tertutup, tetapi tidak ada bagian yang dapat menjadi fragmen tertutup. Tidak adanya titik kontak diri dalam objek SFC memungkinkan kita untuk menyebutnya sebagai kurva "menghindari diri sendiri". Omong-omong, dari sini, muncul nama lain untuk garis putus-putus ini - Kurva FASS (Kesamaan Penghindaran diri Pengisi-ruang Kesederhanaan - kurva penghindaran diri dari segmen serupa yang mengisi ruang).

Ada batasan lain dari semua jenis antena fraktal: segmen garis SFC yang digunakan di dalamnya harus lebih pendek dari sepersepuluh panjang gelombang operasi antena di ruang bebas. Dalam hal ini, diinginkan bahwa jumlah total segmen SFC yang terhubung dalam topologi antena melebihi 10.

Data eksperimental yang diperoleh oleh spesialis Cushcraft untuk kurva Koch, empat iterasi berliku-liku dan antena heliks memungkinkan untuk membandingkan sifat listrik antena Koch dengan emitor lain dengan struktur periodik. Semua radiator yang dibandingkan memiliki sifat multifrekuensi, yang memanifestasikan dirinya dengan adanya resonansi periodik dalam grafik impedansi. Namun, untuk aplikasi multi-rentang, fraktal Koch paling cocok, yang dengan meningkatnya frekuensi, nilai puncak resistensi reaktif dan aktif berkurang, sedangkan untuk berliku dan spiral meningkat.

Secara umum, perlu dicatat bahwa sulit untuk secara teoritis menyajikan mekanisme interaksi antara antena penerima fraktal dan gelombang elektromagnetik yang datang di atasnya karena kurangnya deskripsi analitis tentang proses gelombang dalam konduktor dengan topologi yang kompleks. Dalam situasi seperti itu, disarankan untuk menentukan parameter utama antena fraktal dengan pemodelan matematis. Cukup banyak pekerjaan telah dikhususkan untuk studi numerik dari proses elektromagnetik yang terjadi di antena fraktal dan selama interaksinya dengan objek lingkungan. Tinjauan dan analisis terperinci mereka berada di luar cakupan artikel ini. Kelemahan umum dari semua publikasi yang diketahui tentang hasil studi antena fraktal adalah kurangnya indikasi untuk pemrosesan statistik hasil eksperimen. Secara khusus, mereka tidak memberikan informasi tentang interval kepercayaan untuk parameter yang diukur, yang tidak memungkinkan seseorang untuk menilai keakuratan hubungan empiris yang dihasilkan. Secara umum, teori statistik antena fraktal, jika dihitung dengan metode numerik, masih menunggu pengembangnya.

Dengan demikian, kemungkinan memilih satu set berbagai parameter sistem antena berdasarkan garis putus-putus Koch memungkinkan desain untuk memenuhi berbagai persyaratan untuk nilai resistansi internal dan distribusi frekuensi resonansi. Namun, karena interdependensi dimensi rekursif dan karakteristik antena hanya dapat diperoleh untuk geometri tertentu, validitas sifat yang dipertimbangkan untuk konfigurasi rekursif lainnya memerlukan studi tambahan.

KESIMPULAN

Ilmu fraktal masih sangat muda, karena mulai muncul seiring dengan perkembangan teknologi komputer. Oleh karena itu, banyak yang belum dipelajari dan masih banyak yang harus ditemukan. Alasan utama penggunaan fraktal dalam berbagai ilmu adalah bahwa mereka menggambarkan dunia nyata kadang-kadang bahkan lebih baik daripada fisika atau matematika tradisional. Kami menemukan bahwa fraktal dapat digunakan tidak hanya dalam ilmu pasti, tetapi juga di hampir semua hal di sekitar kita: pakaian, elemen dekorasi interior, desain kartu pos, gorden, dan banyak lagi.

Selain peran bermanfaat yang dimainkan geometri fraktal dalam menggambarkan kompleksitas objek alami, ini juga menawarkan peluang bagus untuk mempopulerkan pengetahuan matematika. Konsep geometri fraktal jelas dan intuitif. Bentuknya menarik dari sudut pandang estetika dan memiliki berbagai aplikasi. Oleh karena itu, geometri fraktal dapat membantu untuk menyangkal pandangan matematika sebagai disiplin yang kering dan tidak dapat diakses dan akan menjadi insentif tambahan bagi siswa untuk menguasai ilmu yang menarik dan mempesona ini.

Dalam segala hal di sekitar kita, kita sering melihat kekacauan, tetapi sebenarnya ini bukan kebetulan, tetapi bentuk ideal, yang membantu kita membedakan fraktal. Alam adalah arsitek terbaik, pembangun dan insinyur yang ideal. Itu diatur dengan sangat logis, dan jika di suatu tempat kita tidak melihat pola, ini berarti kita perlu mencarinya dalam skala yang berbeda. Orang-orang memahami ini dengan lebih baik dan lebih baik, mencoba meniru bentuk-bentuk alami dengan banyak cara. Insinyur merancang sistem speaker dalam bentuk cangkang, membuat antena dengan geometri kepingan salju, dan sebagainya. Kami yakin bahwa fraktal masih menyimpan banyak rahasia, dan banyak di antaranya yang belum ditemukan oleh manusia.

Setelah penemuan fraktal, menjadi jelas bagi banyak orang bahwa bentuk lama yang baik dari geometri Euclidean jauh lebih rendah daripada kebanyakan objek alami karena kurangnya beberapa ketidakteraturan, ketidakteraturan dan ketidakpastian di dalamnya. Ada kemungkinan bahwa ide-ide baru geometri fraktal akan membantu mempelajari banyak fenomena misterius di alam sekitarnya.

Kami berhasil menunjukkan bahwa segala sesuatu yang ada di dunia nyata adalah fraktal. Kami memastikan bahwa mereka yang berurusan dengan fraktal menemukan dunia yang indah dan menakjubkan di mana matematika, alam, dan seni berkuasa. Kami berharap setelah berkenalan dengan pekerjaan kami, Anda, seperti kami, akan diyakinkan bahwa matematika itu indah dan menakjubkan.

Selain fungsionalitas yang luar biasa, kemungkinan menggunakan fraktal di berbagai bidang kehidupan, ini adalah gambar yang sangat cerah, berair, luar biasa indah yang menghadirkan kesenangan estetika yang luar biasa dan memungkinkan Anda untuk menikmatinya. Siapapun dapat membuat fraktal mereka sendiri menggunakan program grafis yang tersedia. Dari proses menciptakan sesuatu yang benar-benar baru bagi kami dan pada saat yang sama sangat indah, terkadang fantastis, Anda mendapatkan banyak kesenangan. Fraktal sangat beragam, begitu pula aplikasinya. Dengan mempelajari model fraktal untuk aplikasi praktis, setiap orang akan dapat memilih arah yang sesuai dengan mereka.

Cakupan antena fraktal tidak terbatas pada penerimaan / transmisi sinyal TV. Mereka berhasil digunakan untuk mengatur jaringan wi-fi, komunikasi seluler, termasuk saluran radio militer tertutup. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa menguasai teknik untuk membangun fraktal dan mengetahui area penerapannya berkontribusi pada peningkatan efisiensi mempelajari banyak objek dan proses alam hidup dan mati. Pada gilirannya, ini, di satu sisi, memotivasi untuk mempelajari bidang praktis penerapan geometri, fisika, ilmu komputer dan mata pelajaran lain dari siklus ilmu alam, di sisi lain, memungkinkan kita untuk melacak hubungan antara sains dan kehidupan nyata. dan antar bagian individu

Dapat dikatakan bahwa, pada kenyataannya, telah ditemukan cara untuk representasi yang mudah dan nyaman dari objek non-Euclidean yang kompleks, yang gambarnya mirip dengan yang alami.

Fraktal memungkinkan Anda untuk melihat matematika dari perspektif yang sama sekali berbeda. Tampaknya perhitungan biasa dibuat dengan angka biasa, tetapi ini memberikan hasil yang unik dan tak ada bandingannya yang membuat Anda merasa seperti pencipta alam. Fraktal memperjelas bahwa matematika juga merupakan ilmu keindahan.

Pentingnya penemuan fraktal untuk sains hampir tidak dapat ditaksir terlalu tinggi. Penciptaan model lingkungan yang praktis dan akurat akan memungkinkan kita untuk lebih akurat mempertimbangkan dan mengevaluasi faktor-faktor yang mempengaruhi keadaan dan perkembangannya.

Di balik fraktal terletak prospek praktis yang besar untuk pengembangan. Fraktal ternyata menjadi penemuan baru yang fundamental dalam geometri, yang mampu mengubah gagasan kuno, yang ada hingga saat ini, tentang struktur geometris dunia.

Saat ini, teori fraktal banyak digunakan di berbagai bidang aktivitas manusia. Selain objek ilmiah murni untuk penelitian dan lukisan fraktal yang telah disebutkan, fraktal digunakan dalam teori informasi untuk mengompresi data grafik (di sini, sifat kesamaan diri fraktal terutama digunakan - lagi pula, untuk mengingat fragmen kecil dari gambar dan transformasi yang dengannya Anda bisa mendapatkan sisa bagian, dibutuhkan memori yang jauh lebih sedikit daripada menyimpan seluruh file). Dengan menambahkan gangguan acak ke rumus yang mendefinisikan fraktal, seseorang dapat memperoleh fraktal stokastik yang sangat masuk akal menyampaikan beberapa objek nyata - elemen relief, permukaan badan air, beberapa tanaman, yang berhasil digunakan dalam fisika, geografi, dan grafik komputer untuk mencapai kesamaan yang lebih besar dari objek simulasi dengan nyata. Dalam elektronik radio, dalam satu dekade terakhir, mereka mulai memproduksi antena yang memiliki bentuk fraktal. Mengambil sedikit ruang, mereka memberikan penerimaan sinyal yang cukup berkualitas tinggi. Ekonom menggunakan fraktal untuk menggambarkan kurva fluktuasi mata uang (properti ini ditemukan oleh Mandelbrot lebih dari 30 tahun yang lalu). Ini mengakhiri perjalanan singkat ke dunia fraktal, yang menakjubkan dalam keindahan dan keragamannya.

Selama pekerjaan penelitian ini, tugas yang ditetapkan diselesaikan, tujuan tercapai, dan hipotesis dikonfirmasi.

Bibliografi

Keindahan permukaan matematika. - M.: Kub, 2005;

Leontiev VP, Ensiklopedia Internet terbaru. - M.: OLMA-PRESS, 2003;

Mandelbrot B. Geometri fraktal alam. - M .: "Lembaga Penelitian Komputer", 2002;

Marshak S.Ya. , Ed.: Fiksi. 1985;

Shlyakhtina S., "Di dunia grafis fraktal". - St. Petersburg, Harga Komputer, 2005;

Surat Kabar “Informatika”, No. 24 Tahun 2008;

Paytgen H.-O., Richter P. H. Keindahan fraktal. - M.: "Mir", 1993;

Kronover R. M. Fraktal dan kekacauan dalam sistem dinamis. Dasar-dasar teori;

Mandelbrot B. Himpunan fraktal self-affine, "Fraktal dalam Fisika". M.: Mir 1988;

Morozov A.D. Pengantar teori fraktal. Nizhny Novgorod: Rumah Penerbitan Nizhegorod. Universitas 1999;

Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktal dan multifraktal. RHD 2001

J. Milnor Dinamika Holomorfik. RHD 2000

Vitolin D. Penggunaan fraktal dalam grafik komputer. // Computerworld-Rusia.-1995.

Paytgen H.-O., Richter P. H. Keindahan fraktal. - M.: "Mir", 1993.

Kronover R. M. Fraktal dan kekacauan dalam sistem dinamis. Dasar-dasar teori

Mandelbrot B. Himpunan fraktal self-affine, "Fraktal dalam Fisika". M.: Mir 1988

Mandelbrot B. Geometri fraktal alam.

Morozov A.D. Pengantar teori fraktal. Nizhny Novgorod: Rumah Penerbitan Nizhegorod. Universitas 1999.

sumber daya internet

http://elementy.ru;

http://ru.wikipedia.org;

http://www.deviantart.com

http://fractals.nsu.ru;

http://fraktals.ucoz.ru;

http://www.bsu.burnet.ru/library/berson/index.html;

http://www.uni-dubna.ru/kafedr/mazny/page11.htm;

http://robots.ural.net/fractals/;

Mereka justru berasal dari dasar-dasar analisis matematis. Teori fraktal dalam konsep matematika didasarkan pada kenyataan bahwa semua fenomena yang mengelilingi kita sering terdiri dari semacam angka yang berulang sendiri.

Misalnya, garis pantai atau daun pohon bisa disebut bentuk fraktal. Dalam teori matematika, sebuah fraktal memiliki kemiripan diri yang tak terhingga, di mana, ketika skalanya diperkecil, setiap fragmen diulang.

Jika Anda melihat garis pantai mana pun, dari sisi pesawat, Anda dapat melihat garis tanpa satu pun tikungan, tetapi begitu kita mulai turun, semakin banyak tikungan akan muncul di garis pantai, dengan kata lain, gambar akan mulai mengambil garis yang lebih jelas.

Fitur utama dari teori fraktal

Teori fraktal mempelajari pola pembentukan fenomena acak tersebut. Pasar adalah sosok sempurna, yang terdiri dari berbagai dimensi. Dalam hal ini, menemukan titik-titik penting pada grafik dapat dilakukan dengan menggunakan metode berdasarkan analisis fraktal.

Yang paling mudah diakses, tesis teori fraktal dikemukakan oleh pedagang terkenal pada masanya, Bill Gilms.

Dialah yang mengatur fraktal dalam bentuk terendah dan tertinggi lima batang pada grafik. Ide utama dari hipotesis ini adalah bahwa tingkat harga selama 5 interval waktu yang terpisah tidak boleh naik lebih tinggi atau turun lebih rendah dari maksimum waktu tertentu (misalnya, satu menit, satu jam atau satu hari).

Direkomendasikan: Fraktal yang digunakan oleh spesialis dalam perdagangan:

Tidak begitu penting jadwal seperti apa ini, tetapi bagaimanapun, dalam praktiknya, di bidang pasar Rusia, mereka memberikan efisiensi terbesar. Dalam banyak kasus, harga terendah dan tertinggi membentuk garis support dan resistance. Dan setelah harga melewati level tersebut, biasanya harga terus bergerak ke arah yang sama untuk sementara waktu.

Sebagian besar di pasar yang sedang tren, ketika melewati level di atas, (biarkan saja) menjual atau membeli, seringkali memberi pedagang penghasilan yang baik.

Tetapi jika ada jeda di pasar, komisi dapat memblokir seluruh pendapatan investor, dan untuk mencegah hal ini terjadi, masuk akal untuk memasukkan pendapatan tambahan ke dalam strategi perdagangan Anda.

Matematika,
jika Anda melihatnya dengan benar,
tidak hanya mencerminkan kebenaran,
tetapi juga keindahan yang tiada tara.
Bertrand Russell.

Anda tentu pernah mendengar tentang fraktal. Anda pasti pernah melihat gambar-gambar menakjubkan dari Bryce3d yang lebih nyata daripada kenyataan itu sendiri. Gunung, awan, kulit pohon - semua ini melampaui geometri Euclidean yang biasa. Kita tidak bisa menggambarkan batu atau batas pulau dengan garis, lingkaran dan segitiga. Di sinilah fraktal datang untuk menyelamatkan. Apa orang asing yang akrab ini? Kapan mereka muncul?

Sejarah penampilan.

Ide pertama geometri fraktal muncul pada abad ke-19. Kantor, menggunakan prosedur rekursif (pengulangan) sederhana, mengubah garis menjadi satu set titik yang tidak terhubung (yang disebut Debu Cantor). Dia mengambil garis dan menghapus sepertiga tengah dan kemudian mengulangi hal yang sama dengan segmen yang tersisa. Peano menggambar jenis garis khusus (menggambar #1). Peano menggunakan algoritma berikut untuk menggambarnya.

Pada langkah pertama, ia mengambil garis lurus dan menggantinya dengan 9 segmen yang 3 kali lebih pendek dari panjang garis aslinya (Bagian 1 dan 2 Gambar 1). Kemudian dia melakukan hal yang sama dengan setiap segmen dari garis yang dihasilkan. Dan seterusnya ad infinitum. Keunikannya terletak pada kenyataan bahwa ia memenuhi seluruh pesawat. Dibuktikan bahwa untuk setiap titik pada bidang dapat ditemukan sebuah titik yang termasuk dalam garis Peano. Kurva Peano dan debu Cantor melampaui objek geometris biasa. Mereka tidak memiliki dimensi yang jelas. Debu Cantor tampaknya dibangun berdasarkan garis lurus satu dimensi, tetapi terdiri dari titik-titik (dimensi 0). Dan kurva Peano dibangun atas dasar garis satu dimensi, dan hasilnya adalah sebuah bidang. Di banyak bidang ilmu pengetahuan lainnya, muncul masalah yang menyebabkan hasil yang aneh, seperti yang dijelaskan di atas (gerakan Brown, harga saham).

Bapak fraktal

Sampai abad ke-20, ada akumulasi data tentang benda-benda aneh tersebut, tanpa ada upaya untuk mensistematisasikannya. Begitulah sampai mereka diambil oleh Benoit Mandelbrot - bapak geometri fraktal modern dan kata fraktal. Saat bekerja di IBM sebagai analis matematika, ia mempelajari kebisingan di sirkuit elektronik yang tidak dapat dijelaskan menggunakan statistik. Secara bertahap membandingkan fakta, ia sampai pada penemuan arah baru dalam matematika - geometri fraktal.

Apa itu fraktal. Mandelbrot sendiri menurunkan kata fraktal dari kata latin fractus, yang artinya pecah (terbagi menjadi beberapa bagian). Dan salah satu definisi fraktal adalah sosok geometris yang terdiri dari bagian-bagian dan dapat dibagi menjadi beberapa bagian, yang masing-masing akan menjadi salinan yang lebih kecil dari keseluruhan (setidaknya kira-kira).

Untuk membayangkan fraktal dengan lebih jelas, mari kita pertimbangkan contoh yang diberikan dalam buku oleh B. Mandelbrot "Geometri Fraktal Alam" ("Geometri Fraktal Alam"), yang telah menjadi klasik - "Berapa panjang pantai Britania?". Jawaban atas pertanyaan ini tidak sesederhana kelihatannya. Itu semua tergantung dari panjang alat yang akan kita gunakan. Setelah mengukur pantai dengan bantuan penggaris kilometer, kita akan mendapatkan panjangnya. Namun, kita akan kehilangan banyak teluk kecil dan semenanjung yang jauh lebih kecil dari jangkauan kita. Dengan mengurangi ukuran penggaris menjadi, katakanlah, 1 meter, kami akan memperhitungkan detail lanskap ini, dan, karenanya, panjang pantai akan menjadi lebih panjang. Mari kita lanjutkan dan ukur panjang pantai dengan penggaris milimeter, kami akan memperhitungkan detail yang lebih dari satu milimeter, panjangnya akan lebih panjang lagi. Akibatnya, jawaban atas pertanyaan yang tampaknya sederhana seperti itu dapat membingungkan siapa pun - panjang pantai Inggris tidak terbatas.

Sedikit tentang dimensi.

Dalam kehidupan kita sehari-hari, kita terus-menerus menemukan dimensi. Kami memperkirakan panjang jalan (250 m), mencari tahu luas apartemen (78 m2) dan mencari volume sebotol bir (0,33 dm3) pada stiker. Konsep ini cukup jelas secara intuitif dan, tampaknya, tidak memerlukan klarifikasi. Garis memiliki dimensi 1. Ini berarti bahwa dengan memilih titik acuan, kita dapat menentukan titik mana pun pada garis ini menggunakan 1 angka - positif atau negatif. Dan ini berlaku untuk semua garis - lingkaran, persegi, parabola, dll.

Dimensi 2 berarti bahwa kita dapat mendefinisikan setiap titik secara unik dengan dua angka. Jangan berpikir bahwa dua dimensi berarti datar. Permukaan bola juga dua dimensi (dapat didefinisikan menggunakan dua nilai - sudut seperti lebar dan bujur).

Jika Anda melihat dari sudut pandang matematika, maka dimensi didefinisikan sebagai berikut: untuk objek satu dimensi - menggandakan ukuran liniernya mengarah pada peningkatan ukuran (dalam hal ini, panjang) dua kali (2 ^ 1).

Untuk objek dua dimensi, menggandakan dimensi linier menghasilkan peningkatan ukuran empat kali lipat (2^2) (misalnya, luas persegi panjang).

Untuk objek 3 dimensi, peningkatan dua kali lipat dalam dimensi linier menyebabkan peningkatan volume delapan kali lipat (2^3), dan seterusnya.

Dengan demikian, dimensi D dapat dihitung berdasarkan ketergantungan peningkatan "ukuran" objek S pada peningkatan dimensi linier L. D=log(S)/log(L). Untuk baris D=log(2)/log(2)=1. Untuk bidang D=log(4)/log(2)=2. Untuk volume D=log(8)/log(2)=3. Ini bisa sedikit membingungkan, tetapi secara umum ini sederhana dan dapat dimengerti.

Mengapa saya menceritakan semua ini? Dan untuk memahami cara memisahkan fraktal dari, katakanlah, sosis. Mari kita coba menghitung dimensi untuk kurva Peano. Jadi, kita memiliki garis asli, yang terdiri dari tiga ruas dengan panjang X, diganti dengan 9 ruas yang panjangnya tiga kali lebih pendek. Jadi, ketika segmen minimum bertambah 3 kali, panjang seluruh garis bertambah 9 kali dan D=log(9)/log(3)=2 adalah objek dua dimensi!!!

Jadi, ketika dimensi suatu bangun yang diperoleh dari beberapa objek sederhana (segmen) lebih besar dari dimensi objek tersebut, kita berhadapan dengan fraktal.

Fraktal dibagi menjadi beberapa kelompok. Kelompok terbesar adalah:

Fraktal geometris.

Bersama merekalah sejarah fraktal dimulai. Jenis fraktal ini diperoleh dengan konstruksi geometris sederhana. Biasanya, ketika membangun fraktal ini, seseorang melanjutkan sebagai berikut: "benih" diambil - aksioma - satu set segmen, atas dasar mana fraktal akan dibangun. Selanjutnya, seperangkat aturan diterapkan pada "benih" ini, yang mengubahnya menjadi beberapa sosok geometris. Selanjutnya, seperangkat aturan yang sama diterapkan lagi pada setiap bagian dari gambar ini. Dengan setiap langkah, sosok itu akan menjadi semakin kompleks, dan jika kita melakukan (setidaknya dalam pikiran) jumlah transformasi yang tak terbatas, kita akan mendapatkan fraktal geometris.

Kurva Peano yang dipertimbangkan di atas adalah fraktal geometris. Gambar di bawah ini menunjukkan contoh lain dari fraktal geometris (dari kiri ke kanan, Koch Snowflake, Liszt, Segitiga Sierpinski).

Koch Kepingan Salju

Lembaran

segitiga sierpinski

Dari fraktal geometris ini, yang pertama sangat menarik dan cukup terkenal - kepingan salju Koch. Itu dibangun atas dasar segitiga sama sisi. Setiap baris yang ___ diganti dengan 4 baris masing-masing 1/3 dari panjang _/\_ asli. Jadi, dengan setiap iterasi, panjang kurva bertambah sepertiga. Dan jika kita membuat jumlah iterasi yang tak terbatas, kita mendapatkan fraktal - kepingan salju Koch dengan panjang tak terbatas. Ternyata kurva tak terbatas kami mencakup area terbatas. Cobalah untuk melakukan hal yang sama dengan metode dan gambar dari geometri Euclidean.

Dimensi kepingan salju Koch (bila kepingan salju bertambah 3 kali panjangnya bertambah 4 kali lipat) D=log(4)/log(3)=1,2619...

Yang disebut L-Systems sangat cocok untuk membangun fraktal geometris. Inti dari sistem ini adalah bahwa ada seperangkat simbol tertentu dari sistem, yang masing-masing menunjukkan tindakan tertentu dan seperangkat aturan untuk mengubah simbol. Misalnya, deskripsi kepingan salju Koch menggunakan L-Systems dalam program Fractint

; Adrian Mariano dari Geometri Fraktal Alam oleh Mandelbrot Koch1 ( ;atur sudut rotasi 360/6=60 derajat Sudut 6 ; Gambar awal untuk membangun Aksioma F--F--F ; Aturan konversi karakter F=F+F--F+F )

Dalam uraian ini, makna geometris dari simbol adalah sebagai berikut:

F berarti tarik garis + putar searah jarum jam - putar berlawanan arah jarum jam

Sifat kedua dari fraktal adalah kesamaan diri. Ambil contoh, segitiga Sierpinski. Untuk membangunnya dari pusat segitiga sama sisi, kami "memotong" segitiga. Kami mengulangi prosedur yang sama untuk tiga segitiga yang terbentuk (dengan pengecualian yang di tengah) dan seterusnya tanpa batas. Jika sekarang kita mengambil salah satu segitiga yang terbentuk dan memperbesarnya, kita akan mendapatkan salinan yang tepat dari keseluruhannya. Dalam hal ini, kita berurusan dengan kesamaan diri yang lengkap.

Saya akan segera membuat reservasi bahwa sebagian besar gambar fraktal dalam artikel ini diperoleh dengan menggunakan program Fractint. Jika Anda tertarik dengan fraktal, maka ini adalah program yang harus Anda miliki. Dengan bantuannya, Anda dapat membuat ratusan fraktal yang berbeda, mendapatkan informasi lengkap tentangnya, dan bahkan mendengarkan bagaimana suara fraktal;).

Mengatakan bahwa programnya bagus berarti tidak mengatakan apa-apa. It's great kecuali untuk satu hal - versi terbaru 20.0 hanya tersedia dalam versi DOS :(. Anda dapat menemukan program ini (versi terbaru 20.0) di http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html .

Tinggalkan komentar

Komentar

Nah, untuk camilan, contoh menarik dari Microsoft Excel. Di sel A2 dan B2, nilai yang sama adalah antara 0 dan 1. Dengan nilai 0,5, tidak ada efeknya.

Halo semua yang berhasil membuat program dari gambar frat. Siapa yang dapat memberi tahu saya metode siklus mana yang harus saya gunakan untuk membangun padang rumput fraktal pakis dengan dukungan maksimum 3d dengan 100.000 iterasi di atas batu dengan 2800 mH

Ada sumber dengan program untuk menggambar kurva Naga, juga fraktal.

Artikelnya luar biasa. Dan Excel mungkin adalah kesalahan koprosesor (pada bit rendah terakhir)

Bagaimana fraktal ditemukan

Bentuk matematika yang dikenal sebagai fraktal milik jenius ilmuwan terkemuka Benoit Mandelbrot. Untuk sebagian besar hidupnya ia mengajar matematika di Universitas Yale di Amerika Serikat. Pada tahun 1977 - 1982, Mandelbrot menerbitkan karya ilmiah yang didedikasikan untuk studi "geometri fraktal" atau "geometri alam", di mana ia memecah bentuk-bentuk matematika yang tampaknya acak menjadi elemen-elemen penyusunnya, yang ternyata berulang setelah pemeriksaan lebih dekat, yang terbukti adanya pola tertentu untuk penyalinan. . Penemuan Mandelbrot memiliki konsekuensi yang signifikan dalam perkembangan fisika, astronomi, dan biologi.

fraktal di alam

Di alam, banyak objek memiliki sifat fraktal, misalnya: mahkota pohon, kembang kol, awan, sistem peredaran darah dan alveolus manusia dan hewan, kristal, kepingan salju, elemen-elemen yang berbaris dalam satu struktur kompleks, pantai (konsep fraktal diperbolehkan ilmuwan untuk mengukur garis pantai Kepulauan Inggris dan objek lain yang sebelumnya tidak terukur).

Pertimbangkan struktur kembang kol. Jika Anda memotong salah satu bunga, jelas bahwa kembang kol yang sama tetap ada di tangan, hanya berukuran lebih kecil. Kita dapat terus memotong berulang-ulang, bahkan di bawah mikroskop - tetapi yang kita dapatkan hanyalah salinan kecil dari kembang kol. Dalam kasus paling sederhana ini, bahkan sebagian kecil dari fraktal berisi informasi tentang seluruh struktur akhir.

Fraktal dalam teknologi digital

Geometri fraktal telah memberikan kontribusi yang tak ternilai bagi pengembangan teknologi baru di bidang musik digital, dan juga memungkinkan untuk mengompresi gambar digital. Algoritma kompresi gambar fraktal yang ada didasarkan pada prinsip menyimpan gambar yang dikompresi, bukan gambar digital itu sendiri. Untuk citra kompresi, citra utama tetap berupa titik tetap. Microsoft menggunakan salah satu varian dari algoritme ini ketika menerbitkan ensiklopedianya, tetapi karena satu dan lain alasan, ide ini tidak digunakan secara luas.

Dasar matematika grafik fraktal adalah geometri fraktal, di mana metode untuk membangun "penerus gambar" didasarkan pada prinsip pewarisan dari "objek-orang tua" asli. Konsep geometri fraktal dan grafik fraktal sendiri muncul hanya sekitar 30 tahun yang lalu, tetapi telah menjadi mapan dalam kehidupan sehari-hari desainer komputer dan matematikawan.

Konsep dasar grafik komputer fraktal adalah:

• Segitiga fraktal - sosok fraktal - objek fraktal (hierarki dalam urutan menurun)
• garis fraktal
• komposisi fraktal
• "Objek Induk" dan "Objek Penerus"

Sama seperti dalam grafik vektor dan 3D, pembuatan gambar fraktal dapat dihitung secara matematis. Perbedaan utama dari dua jenis grafik pertama adalah bahwa gambar fraktal dibangun menurut persamaan atau sistem persamaan - tidak lebih dari rumus yang perlu disimpan dalam memori komputer untuk melakukan semua perhitungan - dan matematika yang kompak seperti itu. aparat memungkinkan penggunaan ide ini dalam grafik komputer. Dengan hanya mengubah koefisien persamaan, Anda dapat dengan mudah mendapatkan gambar fraktal yang sama sekali berbeda - dengan bantuan beberapa koefisien matematika, permukaan dan garis dari bentuk yang sangat kompleks ditentukan, yang memungkinkan Anda untuk menerapkan teknik komposisi seperti horizontal dan vertikal , simetri dan asimetri, arah diagonal dan banyak lagi.

Bagaimana cara membangun fraktal?

Pencipta fraktal melakukan peran seorang seniman, fotografer, pematung, dan ilmuwan-penemu pada saat yang sama. Apa saja tahapan membuat gambar dari awal?

• atur bentuk gambar dengan rumus matematika
• jelajahi konvergensi proses dan variasikan parameternya
• pilih jenis gambar
• pilih palet warna

Di antara editor grafis fraktal dan program grafis lainnya adalah:

• "Penggemar Seni"
• "Pelukis" (tanpa komputer, tidak ada seniman yang akan mencapai kemungkinan yang ditetapkan oleh pemrogram hanya dengan bantuan pensil dan pena kuas)
• "Adobe Photoshop" (tetapi di sini gambar tidak dibuat dari awal, tetapi, sebagai aturan, hanya diproses)

Pertimbangkan pengaturan sosok geometris fraktal sewenang-wenang. Di tengahnya adalah elemen paling sederhana - segitiga sama sisi, yang menerima nama yang sama: "fraktal". Di segmen tengah sisi, kami membuat segitiga sama sisi dengan sisi yang sama dengan sepertiga sisi segitiga fraktal asli. Dengan prinsip yang sama, bahkan segitiga yang lebih kecil - pewaris generasi kedua dibangun - dan seterusnya tanpa batas. Objek yang dihasilkan disebut "gambar fraktal", dari urutannya kita memperoleh "komposisi fraktal".

Sumber: http://www.iknowit.ru/

Fraktal dan mandala kuno

Ini adalah mandala untuk menarik uang. Merah dikatakan bekerja seperti magnet uang. Apakah pola hiasannya mengingatkan Anda pada sesuatu? Mereka tampak sangat akrab bagi saya dan saya mulai mempelajari mandala sebagai fraktal.

Pada prinsipnya, mandala adalah simbol geometris dari struktur kompleks, yang ditafsirkan sebagai model Semesta, "peta kosmos". Inilah tanda pertama dari fraktalitas!

Mereka disulam di atas kain, dicat di atas pasir, dibuat dengan bubuk berwarna dan terbuat dari logam, batu, dan kayu. Penampilannya yang cerah dan memesona menjadikannya dekorasi yang indah untuk lantai, dinding, dan langit-langit kuil di India. Dalam bahasa India kuno, "mandala" berarti lingkaran mistik dari hubungan antara energi spiritual dan material Semesta, atau dengan cara lain bunga kehidupan.

Saya ingin menulis ulasan yang sangat singkat tentang mandala fraktal, dengan paragraf minimal, menunjukkan bahwa hubungan itu jelas ada. Namun, mencoba menemukan dan menghubungkan informasi tentang fraktal dan mandala menjadi satu kesatuan, saya merasakan lompatan kuantum ke ruang yang tidak diketahui.

Saya menunjukkan besarnya topik ini dengan kutipan: "Komposisi fraktal atau mandala seperti itu dapat digunakan baik dalam bentuk lukisan, elemen desain tempat tinggal dan tempat kerja, jimat yang dapat dikenakan, dalam bentuk kaset video, program komputer ... ” Secara umum, topik untuk mempelajari fraktal sangat besar.

Satu hal yang dapat saya katakan dengan pasti, dunia jauh lebih beragam dan lebih kaya daripada gagasan menyedihkan dari pikiran kita tentangnya.

Hewan laut fraktal

Dugaan saya tentang hewan laut fraktal tidak berdasar. Berikut adalah perwakilan pertama. Gurita adalah hewan dasar laut dari ordo Cephalopoda.

Melihat foto ini, menjadi jelas bagi saya struktur fraktal tubuhnya dan pengisap pada kedelapan tentakel hewan ini. Pengisap pada tentakel gurita dewasa mencapai hingga 2000.

Fakta yang menarik adalah bahwa gurita memiliki tiga hati: satu (utama) mengalirkan darah biru ke seluruh tubuh, dan dua lainnya - insang - mendorong darah melalui insang. Beberapa jenis fraktal laut dalam ini beracun.

Dengan beradaptasi dan menyamarkan dirinya dengan lingkungannya, gurita memiliki kemampuan yang sangat berguna untuk berubah warna.

Gurita dianggap paling "pintar" di antara semua invertebrata. Mereka mengenali orang, terbiasa dengan orang yang memberi mereka makan. Akan menarik untuk melihat gurita, yang mudah dilatih, memiliki ingatan yang baik dan bahkan membedakan bentuk geometris. Namun usia hewan fraktal ini tidak lama – maksimal 4 tahun.

Manusia menggunakan tinta dari fraktal hidup ini dan cephalopoda lainnya. Mereka dicari oleh para seniman karena daya tahan dan warna cokelatnya yang indah. Dalam masakan Mediterania, gurita merupakan sumber vitamin B3, B12, kalium, fosfor dan selenium. Tapi saya pikir fraktal laut ini harus bisa dimasak untuk menikmati penggunaannya sebagai makanan.

Omong-omong, perlu dicatat bahwa gurita adalah predator. Dengan tentakel fraktalnya, mereka menahan mangsa berupa moluska, krustasea, dan ikan. Sangat disayangkan jika moluska yang begitu cantik menjadi makanan fraktal laut ini. Menurut pendapat saya, itu juga merupakan perwakilan khas dari fraktal kerajaan laut.

Ini adalah kerabat siput, gastropoda nudibranch moluska Glaucus, alias Glaucus, alias Glaucus atlanticus, alias Glaucilla marginata. Fraktal ini juga tidak biasa karena ia hidup dan bergerak di bawah permukaan air, ditahan oleh tegangan permukaan. Karena moluska adalah hermaprodit, kemudian setelah kawin, kedua "pasangan" bertelur. Fraktal ini ditemukan di semua lautan di zona tropis.

Fraktal alam laut

Masing-masing dari kita setidaknya sekali dalam hidup kita memegang tangan kita dan memeriksa kerang laut dengan minat kekanak-kanakan yang tulus.

Biasanya kerang menjadi oleh-oleh yang indah, mengingatkan kita pada perjalanan ke laut. Ketika Anda melihat formasi spiral moluska invertebrata ini, tidak ada keraguan tentang sifat fraktalnya.

Kita manusia agak seperti moluska bertubuh lunak ini, tinggal di rumah beton fraktal yang nyaman, menempatkan dan menggerakkan tubuh kita di mobil cepat.

Perwakilan khas lain dari dunia bawah laut fraktal adalah karang.
Di alam, lebih dari 3.500 varietas karang diketahui, di mana paletnya dibedakan hingga 350 corak warna.

Karang merupakan bahan penyusun kerangka koloni polip karang, juga dari famili invertebrata. Akumulasi besar mereka membentuk seluruh terumbu karang, cara pembentukan fraktalnya jelas.

Karang dengan penuh percaya diri bisa disebut fraktal dari kerajaan laut.

Hal ini juga digunakan oleh manusia sebagai suvenir atau bahan baku perhiasan dan ornamen. Tetapi sangat sulit untuk mengulangi keindahan dan kesempurnaan sifat fraktal.

Untuk beberapa alasan, saya tidak ragu bahwa banyak hewan fraktal juga akan ditemukan di dunia bawah laut.

Sekali lagi, melakukan ritual di dapur dengan pisau dan talenan, dan kemudian, mencelupkan pisau ke dalam air dingin, saya menangis sekali lagi mencari cara untuk mengatasi fraktal air mata yang muncul hampir setiap hari di depan mata saya.

Prinsip fraktalitas sama dengan boneka bersarang yang terkenal - bersarang. Itulah sebabnya fraktalitas tidak segera diperhatikan. Selain itu, warna seragam cahaya dan kemampuan alaminya untuk menyebabkan sensasi yang tidak menyenangkan tidak berkontribusi pada pengamatan dekat alam semesta dan identifikasi pola matematika fraktal.

Tetapi bawang salad berwarna ungu, karena warnanya dan tidak adanya phytoncides air mata, membuat saya berpikir tentang frakalitas alami sayuran ini. Tentu saja, ini adalah fraktal sederhana, lingkaran biasa dengan diameter berbeda, bahkan bisa dikatakan fraktal paling primitif. Tetapi tidak ada salahnya untuk mengingat bahwa bola dianggap sebagai sosok geometris yang ideal di alam semesta kita.

Banyak artikel telah diterbitkan di Internet tentang khasiat bawang bombay yang bermanfaat, tetapi entah bagaimana tidak ada yang mencoba mempelajari spesimen alami ini dari sudut pandang fraktalitas. Saya hanya bisa menyatakan kegunaan penggunaan fraktal dalam bentuk bawang di dapur saya.

P.S. Dan saya sudah membeli pemotong sayur untuk memotong fraktal. Sekarang Anda harus memikirkan seberapa fraktal sayuran sehat seperti kol putih biasa. Prinsip bersarang yang sama.

Fraktal dalam seni rakyat

Perhatian saya tertuju pada kisah mainan terkenal di dunia "Matryoshka". Melihat lebih dekat, kita dapat mengatakan dengan yakin bahwa mainan suvenir ini adalah fraktal yang khas.

Prinsip fraktalitas terlihat jelas ketika semua figur mainan kayu berjajar, dan tidak bersarang satu sama lain.

Penelitian kecil saya tentang sejarah kemunculan fraktal mainan ini di pasar dunia menunjukkan bahwa keindahan ini berakar dari Jepang. Matryoshka selalu dianggap sebagai suvenir asli Rusia. Tapi ternyata dia adalah prototipe patung Jepang bijak tua Fukurum, yang pernah dibawa ke Moskow dari Jepang.

Tapi itu adalah kerajinan mainan Rusia yang membawa ketenaran dunia ke patung Jepang ini. Dari mana ide bersarang fraktal mainan berasal, bagi saya pribadi, tetap menjadi misteri. Kemungkinan besar, pembuat mainan ini menggunakan prinsip figur bersarang satu sama lain. Dan cara termudah untuk berinvestasi adalah angka serupa dengan ukuran berbeda, dan ini sudah menjadi fraktal.

Objek studi yang sama menariknya adalah lukisan mainan fraktal. Ini adalah lukisan dekoratif - Khokhloma. Unsur tradisional Khokhloma adalah pola herbal bunga, buah dan cabang.

Sekali lagi, semua tanda-tanda fraktalitas. Lagi pula, elemen yang sama dapat diulang beberapa kali dalam versi dan proporsi yang berbeda. Hasilnya adalah lukisan fraktal rakyat.

Dan jika Anda tidak akan mengejutkan siapa pun dengan lukisan mouse komputer, penutup laptop, dan telepon bermodel baru, maka penyetelan fraktal mobil dengan gaya rakyat adalah sesuatu yang baru dalam desain mobil. Tetap hanya untuk terkejut dengan manifestasi dunia fraktal dalam hidup kita dengan cara yang tidak biasa dalam hal-hal biasa bagi kita.

fraktal di dapur

Setiap kali saya memotong kembang kol menjadi kuntum kecil untuk direbus dalam air mendidih, saya tidak pernah memperhatikan tanda-tanda fraktalitas yang jelas sampai saya memiliki spesimen ini di tangan saya.

Perwakilan khas fraktal dari dunia tumbuhan dipamerkan di meja dapur saya.

Dengan semua kecintaan saya pada kembang kol, saya selalu menemukan spesimen dengan permukaan yang seragam tanpa tanda-tanda fraktal yang terlihat, dan bahkan sejumlah besar perbungaan yang bersarang satu sama lain tidak memberi saya alasan untuk melihat fraktal dalam sayuran yang bermanfaat ini.

Tetapi permukaan spesimen khusus ini dengan geometri fraktal yang menonjol tidak meninggalkan keraguan tentang asal fraktal dari jenis kubis ini.

Perjalanan lain ke hypermarket hanya mengkonfirmasi status fraktal kubis. Di antara sejumlah besar sayuran eksotis, ada satu kotak penuh fraktal. Itu adalah Romanescu, atau brokoli Romawi, kembang kol karang.

Ternyata para desainer dan seniman 3D mengagumi bentuknya yang seperti fraktal yang eksotis.

Tunas kubis tumbuh dalam spiral logaritmik. Penyebutan pertama kubis Romanescu berasal dari Italia pada abad ke-16.

Dan brokoli sama sekali tidak sering menjadi tamu dalam diet saya, meskipun berkali-kali lebih unggul daripada kembang kol dalam hal kandungan nutrisi dan elemen pelacak. Tetapi permukaan dan bentuknya begitu seragam sehingga tidak pernah terpikir oleh saya untuk melihat fraktal nabati di dalamnya.

Fraktal dalam quilling

Melihat kerajinan kerawang menggunakan teknik quilling, saya tidak pernah meninggalkan perasaan bahwa mereka mengingatkan saya pada sesuatu. Pengulangan elemen yang sama dalam ukuran yang berbeda - tentu saja, ini adalah prinsip fraktalitas.

Setelah menonton kelas master quilling berikutnya, tidak ada keraguan tentang fraktalitas quilling. Memang, untuk pembuatan berbagai elemen untuk kerajinan dari quilling, digunakan penggaris khusus dengan lingkaran dengan diameter berbeda. Dengan semua keindahan dan orisinalitas produk, ini adalah teknik yang sangat sederhana.

Hampir semua elemen dasar kerajinan quilling terbuat dari kertas. Untuk menyimpan kertas quilling gratis, periksa rak buku Anda di rumah. Tentunya, di sana Anda akan menemukan beberapa majalah mengkilap yang cerah.

Alat quilling sederhana dan murah. Semua yang Anda butuhkan untuk melakukan pekerjaan quilling amatir, dapat Anda temukan di antara alat tulis rumah Anda.

Dan sejarah quilling dimulai pada abad ke-18 di Eropa. Pada masa Renaisans, para biarawan dari biara-biara Prancis dan Italia menggunakan quilling untuk menghias sampul buku dan bahkan tidak menyadari kecanggihan teknik penggulungan kertas yang mereka ciptakan. Gadis-gadis dari masyarakat kelas atas bahkan mengambil kursus quilling di sekolah khusus. Beginilah cara teknik ini mulai menyebar ke seluruh negara dan benua.

Video kelas master quilling tentang membuat bulu mewah ini bahkan bisa disebut "fraktal do-it-yourself". Dengan bantuan fraktal kertas, kartu valentine eksklusif yang indah dan banyak hal menarik lainnya diperoleh. Bagaimanapun, fantasi, seperti alam, tidak ada habisnya.

Bukan rahasia lagi bahwa orang Jepang dalam kehidupan sangat terbatas dalam ruang, dan karena itu, mereka harus unggul dalam segala cara yang mungkin dalam penggunaan yang efektif. Takeshi Miyakawa menunjukkan bagaimana hal ini dapat dilakukan secara efektif dan estetis pada saat yang bersamaan. Lemari fraktalnya menegaskan bahwa penggunaan fraktal dalam desain tidak hanya penghargaan untuk fashion, tetapi juga solusi desain yang harmonis dalam ruang terbatas.

Contoh penggunaan fraktal dalam kehidupan nyata, dalam kaitannya dengan desain furnitur, menunjukkan kepada saya bahwa fraktal nyata tidak hanya di atas kertas dalam rumus matematika dan program komputer.

Dan sepertinya alam menggunakan prinsip fraktalitas di mana-mana. Anda hanya perlu melihatnya lebih dekat, dan itu akan memanifestasikan dirinya dalam semua kelimpahan dan ketidakterbatasan keberadaannya yang luar biasa.