Dengan layanan ini, Anda dapat tentukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi satu variabel f(x) dengan desain solusi di Word. Jika fungsi f(x,y) diberikan, oleh karena itu, perlu untuk menemukan ekstrem dari fungsi dua variabel . Anda juga dapat menemukan interval kenaikan dan penurunan fungsi.
Aturan entri fungsi:
Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem dari fungsi satu variabel
Persamaan f "0 (x *) \u003d 0 adalah kondisi yang diperlukan untuk ekstrem dari fungsi satu variabel, yaitu pada titik x * turunan pertama dari fungsi harus hilang. Ini memilih titik stasioner x c di mana fungsi tidak bertambah dan tidak berkurang.Kondisi yang cukup untuk ekstrem dari fungsi satu variabel
Misal f 0 (x) terdiferensialkan dua kali terhadap x milik himpunan D . Jika pada titik x * kondisi terpenuhi:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Maka titik x * adalah titik minimum lokal (global) dari fungsi tersebut.
Jika pada titik x * kondisi terpenuhi:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
Titik x * itu adalah maksimum lokal (global).
Contoh 1. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi: pada segmen .
Keputusan. 
Titik kritisnya adalah satu x 1 = 2 (f'(x)=0). Titik ini milik segmen. (Titik x=0 tidak kritis, karena 0∉).
Kami menghitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik kritis.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Jawaban: f min = 5 / 2 untuk x=2; f maks =9 pada x=1
Contoh #2. Dengan menggunakan turunan orde yang lebih tinggi, temukan ekstrem dari fungsi y=x-2sin(x) .
Keputusan.
Tentukan turunan dari fungsi: y’=1-2cos(x) . Mari kita cari titik kritisnya: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± / 3 +2πk, k∈Z. Kami menemukan y''=2sin(x), hitung , jadi x= / 3 +2πk, k∈Z adalah titik minimum dari fungsi; 
, jadi x=- / 3 +2πk, k∈Z adalah titik maksimum dari fungsi tersebut.
Contoh #3. Selidiki fungsi ekstrem di sekitar titik x=0.
Keputusan. Di sini perlu untuk menemukan ekstrem dari fungsi. Jika ekstrem x=0 , maka cari tahu jenisnya (minimum atau maksimum). Jika di antara titik-titik yang ditemukan tidak ada x = 0, maka hitunglah nilai fungsi f(x=0).
Perlu dicatat bahwa ketika turunan pada setiap sisi titik tertentu tidak mengubah tandanya, situasi yang mungkin tidak habis bahkan untuk fungsi terdiferensiasi: dapat terjadi bahwa untuk lingkungan kecil sewenang-wenang di satu sisi titik x 0 atau di kedua sisi, turunannya berubah tanda. Pada titik ini, seseorang harus menerapkan metode lain untuk mempelajari fungsi secara ekstrem.
Dari segi praktis, yang paling menarik adalah penggunaan turunan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi. Apa hubungannya? Memaksimalkan keuntungan, meminimalkan biaya, menentukan beban peralatan yang optimal... Dengan kata lain, di banyak bidang kehidupan, seseorang harus memecahkan masalah pengoptimalan beberapa parameter. Dan ini adalah masalah menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi.
Perlu dicatat bahwa nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi biasanya dicari pada beberapa interval X , yang merupakan domain seluruh fungsi atau bagian dari domain. Interval X itu sendiri dapat berupa segmen garis, interval terbuka 
, interval tak terbatas.
Pada artikel ini, kita akan berbicara tentang menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi yang diberikan secara eksplisit dari satu variabel y=f(x) .
Navigasi halaman.
Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi - definisi, ilustrasi.
Mari kita membahas definisi utama secara singkat.
Nilai terbesar dari fungsi 
, yang untuk setiap 
ketidaksetaraan itu benar.
Nilai terkecil dari fungsi y=f(x) pada interval X disebut nilai seperti itu 
, yang untuk setiap ketidaksetaraan itu benar.
Definisi ini intuitif: nilai terbesar (terkecil) dari suatu fungsi adalah nilai terbesar (terkecil) yang diterima dalam interval yang dipertimbangkan dengan absis.
Titik stasioner adalah nilai argumen di mana turunan dari fungsi tersebut hilang.
Mengapa kita membutuhkan titik stasioner saat mencari nilai terbesar dan terkecil? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema Fermat. Dari teorema ini dapat disimpulkan bahwa jika suatu fungsi terdiferensiasi memiliki suatu ekstrem (minimum lokal atau maksimum lokal) di beberapa titik, maka titik ini stasioner. Jadi, fungsi sering kali mengambil nilai terbesar (terkecil) pada interval X di salah satu titik stasioner dari interval ini.
Juga, suatu fungsi seringkali dapat mengambil nilai terbesar dan terkecil pada titik di mana turunan pertama dari fungsi ini tidak ada, dan fungsi itu sendiri didefinisikan.
Mari kita segera menjawab salah satu pertanyaan paling umum tentang topik ini: "Apakah selalu mungkin untuk menentukan nilai terbesar (terkecil) dari suatu fungsi"? Tidak tidak selalu. Kadang-kadang batas-batas interval X bertepatan dengan batas-batas domain fungsi, atau interval X tidak terbatas. Dan beberapa fungsi pada tak hingga dan pada batas-batas domain definisi dapat mengambil nilai yang sangat besar dan sangat kecil. Dalam kasus ini, tidak ada yang bisa dikatakan tentang nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut.
Untuk kejelasan, kami memberikan ilustrasi grafis. Lihatlah gambar - dan banyak yang akan menjadi jelas.
Di segmen
Pada gambar pertama, fungsi mengambil nilai terbesar (max y ) dan terkecil (min y ) pada titik stasioner di dalam segmen [-6;6] .
Perhatikan kasus yang ditunjukkan pada gambar kedua. Ubah segmen menjadi . Dalam contoh ini, nilai fungsi terkecil dicapai pada titik stasioner, dan terbesar - pada titik dengan absis yang sesuai dengan batas kanan interval.
Pada gambar No. 3, titik-titik batas segmen [-3; 2] adalah absis dari titik-titik yang bersesuaian dengan nilai fungsi terbesar dan terkecil.
Dalam rentang terbuka
Pada gambar keempat, fungsi mengambil nilai terbesar (max y ) dan terkecil (min y ) pada titik-titik stasioner dalam interval terbuka (-6;6) .
Pada interval , tidak ada kesimpulan yang dapat ditarik tentang nilai terbesar.
di tak terhingga
Dalam contoh yang ditunjukkan pada gambar ketujuh, fungsi mengambil nilai terbesar (max y ) pada titik stasioner dengan absis x=1 , dan nilai terkecil (min y ) dicapai pada batas kanan interval. Pada minus tak terhingga, nilai-nilai fungsi secara asimtotik mendekati y=3 .
Pada interval, fungsi tidak mencapai nilai terkecil atau terbesar. Karena x=2 cenderung ke kanan, nilai fungsi cenderung minus tak terhingga (garis lurus x=2 adalah asimtot vertikal), dan karena absis cenderung plus tak terhingga, nilai fungsi mendekati y=3 . Ilustrasi grafis dari contoh ini ditunjukkan pada Gambar 8.
Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu pada segmen.
Kami menulis algoritma yang memungkinkan kami menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen.
- Kami menemukan domain fungsi dan memeriksa apakah itu berisi seluruh segmen.
- Kami menemukan semua titik di mana turunan pertama tidak ada dan yang terkandung dalam segmen (biasanya titik-titik tersebut terjadi pada fungsi dengan argumen di bawah tanda modul dan dalam fungsi pangkat dengan eksponen rasional fraksional). Jika tidak ada poin seperti itu, maka lanjutkan ke poin berikutnya.
- Kami menentukan semua titik stasioner yang termasuk dalam segmen. Untuk melakukan ini, kami menyamakannya dengan nol, menyelesaikan persamaan yang dihasilkan dan memilih akar yang sesuai. Jika tidak ada titik stasioner atau tidak ada satupun yang masuk ke dalam segmen, maka lanjutkan ke langkah berikutnya.
- Kami menghitung nilai fungsi pada titik stasioner yang dipilih (jika ada), pada titik di mana turunan pertama tidak ada (jika ada), dan juga pada x=a dan x=b .
- Dari nilai fungsi yang diperoleh, kami memilih yang terbesar dan terkecil - masing-masing akan menjadi nilai fungsi maksimum dan terkecil yang diinginkan.
Mari kita menganalisis algoritme saat memecahkan contoh untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen.
Contoh.
Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi
- pada segmen;
- pada interval [-4;-1] .
Keputusan.
Domain dari fungsi tersebut adalah seluruh himpunan bilangan real, kecuali nol, yaitu . Kedua segmen termasuk dalam domain definisi.
Kami menemukan turunan dari fungsi sehubungan dengan: 
Jelas, turunan dari fungsi ada di semua titik segmen dan [-4;-1] .
Titik stasioner ditentukan dari persamaan . Satu-satunya akar real adalah x=2 . Titik stasioner ini jatuh ke segmen pertama.
Untuk kasus pertama, kami menghitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik stasioner, yaitu untuk x=1 , x=2 dan x=4 : 
Jadi, nilai terbesar dari fungsi 
dicapai pada x=1 , dan nilai terkecil 
– pada x=2 .
Untuk kasus kedua, kami menghitung nilai fungsi hanya di ujung segmen [-4;-1] (karena tidak mengandung titik stasioner): 
Dalam praktiknya, sangat umum untuk menggunakan turunan untuk menghitung nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi. Kami melakukan tindakan ini ketika kami mencari cara untuk meminimalkan biaya, meningkatkan keuntungan, menghitung beban optimal pada produksi, dll., yaitu, dalam kasus-kasus ketika perlu untuk menentukan nilai parameter yang optimal. Untuk memecahkan masalah seperti itu dengan benar, seseorang harus memiliki pemahaman yang baik tentang nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Biasanya kami mendefinisikan nilai-nilai ini dalam beberapa interval x , yang pada gilirannya dapat sesuai dengan seluruh ruang lingkup fungsi atau bagiannya. Itu bisa berupa segmen [ a ; b ] , dan interval terbuka (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , interval tak hingga (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) atau interval tak hingga - ; a , (- ; a ] , [ a ; + ) , (- ; + ) .
Pada artikel ini, kami akan menjelaskan bagaimana nilai terbesar dan terkecil dari fungsi yang diberikan secara eksplisit dengan satu variabel y=f(x) y = f (x) dihitung.
Definisi dasar
Kami mulai, seperti biasa, dengan perumusan definisi utama.
Definisi 1
Nilai terbesar dari fungsi y = f (x) pada suatu selang x adalah nilai m a x y = f (x 0) x X , dimana untuk sembarang nilai x x X , x x 0, menjadikan pertidaksamaan f (x ) f (x 0) .
Definisi 2
Nilai terkecil dari fungsi y = f (x) pada suatu selang x adalah nilai m i n x X y = f (x 0) , yang untuk sembarang nilai x X , x x 0, menjadikan pertidaksamaan f(X f (x) f(x0) .
Definisi ini cukup jelas. Dapat lebih sederhana untuk mengatakan ini: nilai terbesar dari suatu fungsi adalah nilai terbesarnya dalam interval yang diketahui pada absis x 0, dan yang terkecil adalah nilai terkecil yang diterima dalam interval yang sama pada x 0.
Definisi 3
Titik stasioner adalah nilai argumen fungsi di mana turunannya menjadi 0.
Mengapa kita perlu mengetahui apa itu titik stasioner? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu mengingat teorema Fermat. Dari sini dapat disimpulkan bahwa titik stasioner adalah titik di mana ekstrem dari fungsi terdiferensiasi berada (yaitu, minimum atau maksimum lokalnya). Akibatnya, fungsi akan mengambil nilai terkecil atau terbesar pada interval tertentu tepat di salah satu titik stasioner.
Fungsi lain dapat mengambil nilai terbesar atau terkecil pada titik-titik di mana fungsi itu sendiri pasti, dan turunan pertamanya tidak ada.
Pertanyaan pertama yang muncul ketika mempelajari topik ini adalah: dalam semua kasus, dapatkah kita menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi pada interval tertentu? Tidak, kita tidak dapat melakukan ini ketika batas-batas interval yang diberikan akan bertepatan dengan batas-batas domain definisi, atau jika kita berurusan dengan interval tak terbatas. Juga terjadi bahwa suatu fungsi dalam interval tertentu atau pada tak hingga akan mengambil nilai yang sangat kecil atau besar yang tak terhingga. Dalam kasus ini, tidak mungkin untuk menentukan nilai terbesar dan/atau terkecil.
Momen-momen ini akan menjadi lebih mudah dipahami setelah gambar pada grafik:
Gambar pertama menunjukkan kepada kita fungsi yang mengambil nilai terbesar dan terkecil (m a x y dan m i n y) pada titik-titik stasioner yang terletak pada segmen [ - 6 ; 6].
Mari kita periksa secara rinci kasus yang ditunjukkan pada grafik kedua. Mari kita ubah nilai segmen menjadi [ 1 ; 6] dan kami mendapatkan bahwa nilai terbesar dari fungsi akan dicapai pada titik dengan absis di batas kanan interval, dan yang terkecil - di titik stasioner.
Pada gambar ketiga, absis titik mewakili titik batas segmen [ - 3 ; 2]. Mereka sesuai dengan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi yang diberikan.
Sekarang mari kita lihat gambar keempat. Di dalamnya, fungsi mengambil m a x y (nilai terbesar) dan m i n y (nilai terkecil) pada titik-titik stasioner dalam interval terbuka (- 6 ; 6) .
Jika kita mengambil interval [ 1 ; 6) , maka kita dapat mengatakan bahwa nilai terkecil dari fungsi di atasnya akan dicapai pada titik stasioner. Kita tidak akan tahu nilai maksimalnya. Fungsi tersebut dapat mengambil nilai terbesar pada x sama dengan 6 jika x = 6 termasuk dalam interval. Hal inilah yang ditunjukkan pada Gambar 5.
Pada grafik 6, fungsi ini memperoleh nilai terkecil di batas kanan interval (- 3 ; 2 ] , dan kita tidak dapat menarik kesimpulan pasti tentang nilai terbesar.
Pada gambar 7, kita melihat bahwa fungsi akan memiliki m a x y pada titik stasioner, memiliki absis sama dengan 1 . Fungsi mencapai nilai minimumnya pada batas interval di sisi kanan. Pada minus tak terhingga, nilai fungsi secara asimtotik akan mendekati y = 3 .
Jika kita mengambil interval x 2 ; + , maka kita akan melihat bahwa fungsi yang diberikan tidak akan mengambil nilai terkecil atau terbesar. Jika x cenderung ke 2, maka nilai fungsi akan cenderung minus tak terhingga, karena garis lurus x = 2 adalah asimtot vertikal. Jika absis cenderung ditambah tak terhingga, maka nilai fungsi secara asimtotik akan mendekati y = 3. Ini adalah kasus yang ditunjukkan pada Gambar 8.
Dalam paragraf ini, kami akan memberikan urutan tindakan yang harus dilakukan untuk menemukan nilai terbesar atau terkecil dari suatu fungsi pada interval tertentu.
- Pertama, mari kita cari domain dari fungsi tersebut. Mari kita periksa apakah segmen yang ditentukan dalam kondisi termasuk di dalamnya.
- Sekarang mari kita hitung titik-titik yang terdapat dalam segmen ini di mana turunan pertama tidak ada. Paling sering, mereka dapat ditemukan dalam fungsi yang argumennya ditulis di bawah tanda modulus, atau dalam fungsi pangkat, yang eksponennya adalah bilangan rasional fraksional.
- Selanjutnya, kami mencari tahu titik stasioner mana yang termasuk dalam segmen tertentu. Untuk melakukan ini, Anda perlu menghitung turunan fungsi, lalu menyamakannya dengan 0 dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, lalu memilih akar yang sesuai. Jika kita tidak mendapatkan satu titik stasioner atau tidak jatuh ke segmen tertentu, maka kita lanjutkan ke langkah berikutnya.
- Mari kita tentukan nilai apa yang akan diambil fungsi pada titik stasioner yang diberikan (jika ada), atau pada titik di mana turunan pertama tidak ada (jika ada), atau kita menghitung nilai untuk x = a dan x = b .
- 5. Kami memiliki serangkaian nilai fungsi, dari mana kami sekarang harus memilih yang terbesar dan terkecil. Ini akan menjadi nilai terbesar dan terkecil dari fungsi yang perlu kita cari.
Mari kita lihat bagaimana menerapkan algoritma ini dengan benar saat memecahkan masalah.
Contoh 1
Kondisi: fungsi y = x 3 + 4 x 2 diberikan. Tentukan nilai terbesar dan terkecilnya pada ruas-ruas tersebut [1]; 4 ] dan [ - 4 ; - satu ] .
Keputusan:
Mari kita mulai dengan mencari domain dari fungsi ini. Dalam hal ini, itu akan menjadi himpunan semua bilangan real kecuali 0 . Dengan kata lain, D (y) : x (- ; 0) 0 ; + . Kedua segmen yang ditentukan dalam kondisi akan berada di dalam area definisi.
Sekarang kita menghitung turunan fungsi sesuai dengan aturan diferensiasi pecahan:
y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3
Kami belajar bahwa turunan dari fungsi akan ada di semua titik segmen [ 1 ; 4 ] dan [ - 4 ; - satu ] .
Sekarang kita perlu menentukan titik-titik stasioner dari fungsi tersebut. Mari kita lakukan ini dengan persamaan x 3 - 8 x 3 = 0. Ini hanya memiliki satu akar nyata, yaitu 2. Ini akan menjadi titik stasioner dari fungsi dan akan jatuh ke segmen pertama [ 1 ; 4 ] .
Mari kita hitung nilai fungsi di ujung segmen pertama dan pada titik yang diberikan, mis. untuk x = 1 , x = 2 dan x = 4:
y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4
Kami memperoleh bahwa nilai terbesar dari fungsi m a x y x [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 akan dicapai pada x = 1 , dan m i n y x terkecil [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – pada x = 2 .
Segmen kedua tidak termasuk titik stasioner, jadi kita perlu menghitung nilai fungsi hanya di ujung segmen yang diberikan:
y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3
Jadi, m a x y x [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Menjawab: Untuk segmen [ 1 ; 4 ] - m a x y x [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , untuk ruas [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Lihat gambar:
Sebelum mempelajari metode ini, kami menyarankan Anda untuk meninjau cara menghitung dengan benar limit satu sisi dan limit pada tak hingga, serta mempelajari metode dasar untuk menemukannya. Untuk menemukan nilai terbesar dan / atau terkecil dari suatu fungsi pada interval terbuka atau tak terbatas, kami melakukan langkah-langkah berikut secara berurutan.
- Pertama, Anda perlu memeriksa apakah interval yang diberikan akan menjadi subset dari domain dari fungsi yang diberikan.
- Mari kita tentukan semua titik yang terdapat dalam interval yang diperlukan dan di mana turunan pertama tidak ada. Biasanya mereka muncul dalam fungsi di mana argumen diapit oleh tanda modul, dan dalam fungsi pangkat dengan eksponen rasional fraksional. Jika poin-poin ini hilang, maka Anda dapat melanjutkan ke langkah berikutnya.
- Sekarang kita tentukan titik stasioner mana yang termasuk dalam interval tertentu. Pertama, kita samakan turunan dengan 0, selesaikan persamaan dan temukan akar yang sesuai. Jika kita tidak memiliki satu titik stasioner atau tidak berada dalam interval yang ditentukan, maka kita segera melanjutkan ke tindakan lebih lanjut. Mereka ditentukan oleh jenis interval.
- Jika interval terlihat seperti [ a ; b) , maka kita perlu menghitung nilai fungsi pada titik x = a dan limit satu sisi lim x → b - 0 f (x) .
- Jika intervalnya berbentuk (a ; b ] , maka kita perlu menghitung nilai fungsi pada titik x = b dan limit satu sisi lim x → a + 0 f (x) .
- Jika intervalnya berbentuk (a ; b) , maka kita perlu menghitung limit satu sisi lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
- Jika interval terlihat seperti [ a ; + ) , maka perlu dihitung nilai pada titik x = a dan limit hingga tak terhingga lim x → + f (x) .
- Jika intervalnya seperti (- ; b ] , kita hitung nilai di titik x = b dan limit di minus tak hingga lim x → - f (x) .
- Jika - ; b , maka kita mempertimbangkan limit satu sisi lim x → b - 0 f (x) dan limit pada minus tak hingga lim x → - f (x)
- Jika - ; + , maka kita pertimbangkan batas-batas minus dan plus tak hingga lim x → + f (x) , lim x → - f (x) .
- Pada akhirnya, Anda perlu menarik kesimpulan berdasarkan nilai fungsi dan limit yang diperoleh. Ada banyak pilihan di sini. Jadi, jika limit satu sisi sama dengan minus tak hingga atau plus tak hingga, maka segera jelas bahwa tidak ada yang bisa dikatakan tentang nilai terkecil dan terbesar dari fungsi tersebut. Di bawah ini kami akan mempertimbangkan satu contoh tipikal. Deskripsi rinci akan membantu Anda memahami apa itu apa. Jika perlu, Anda dapat kembali ke angka 4 - 8 di bagian pertama materi.
Kondisi: diberikan fungsi y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Hitung nilai terbesar dan terkecil dalam interval - ; - 4 , - ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + , [ 4 ; +∞).
Keputusan
Pertama-tama, kita cari domain dari fungsi tersebut. Penyebut pecahan adalah trinomial bujur sangkar, yang tidak boleh bernilai 0:
x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 D (y) : x (- ; - 3) (- 3 ; 2) (2 ; + )
Kami telah memperoleh ruang lingkup fungsi, yang menjadi milik semua interval yang ditentukan dalam kondisi.
Sekarang mari kita bedakan fungsinya dan dapatkan:
y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2
Akibatnya, turunan dari suatu fungsi ada di seluruh domain definisinya.
Mari kita beralih ke mencari titik stasioner. Turunan fungsi menjadi 0 pada x = - 1 2 . Ini adalah titik stasioner yang berada dalam interval (- 3 ; 1 ] dan (- 3 ; 2) .
Mari kita hitung nilai fungsi pada x = - 4 untuk interval (- ; - 4 ] , serta limit pada minus tak terhingga:
y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 - 0. 456 lim x → - 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1
Karena 3 e 1 6 - 4 > - 1 , maka m a x y x (- ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Ini tidak memungkinkan kita untuk secara unik menentukan nilai fungsi terkecil. Kita hanya dapat menyimpulkan bahwa ada limit di bawah - 1 , karena pada nilai inilah fungsi mendekati asimtotik pada minus tak terhingga.
Sebuah fitur dari interval kedua adalah bahwa ia tidak memiliki satu titik stasioner dan tidak satu batas yang ketat. Oleh karena itu, kita tidak dapat menghitung nilai terbesar atau terkecil dari fungsi tersebut. Dengan mendefinisikan limit pada minus tak terhingga dan karena argumen cenderung ke - 3 di sisi kiri, kita hanya mendapatkan rentang nilai:
lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + - 4 = + lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Artinya nilai fungsi akan ditempatkan pada interval - 1 ; +∞
Untuk mencari nilai maksimum fungsi pada interval ketiga, kita menentukan nilainya di titik stasioner x = - 1 2 jika x = 1 . Kita juga perlu mengetahui limit satu sisi untuk kasus ketika argumen cenderung - 3 di sisi kanan:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Ternyata fungsi tersebut akan mengambil nilai terbesar pada titik stasioner m a x y x (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Sedangkan untuk nilai terkecil tidak dapat kita tentukan. tahu , adalah adanya batas bawah ke - 4 .
Untuk interval (- 3 ; 2), mari kita ambil hasil perhitungan sebelumnya dan sekali lagi menghitung berapa batas satu sisi sama dengan ketika cenderung ke 2 dari sisi kiri:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Oleh karena itu, m a x y x (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , dan nilai terkecil tidak dapat ditentukan, dan nilai fungsi dibatasi dari bawah oleh angka - 4 .
Berdasarkan apa yang kita lakukan pada dua perhitungan sebelumnya, kita dapat menyatakan bahwa pada interval [ 1 ; 2) fungsi akan mengambil nilai terbesar pada x = 1, dan tidak mungkin menemukan yang terkecil.
Pada interval (2 ; + ), fungsi tidak akan mencapai nilai terbesar atau terkecil, mis. itu akan mengambil nilai dari interval - 1; + .
lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + - 4 = + lim x → + 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Setelah menghitung berapa nilai fungsi yang akan sama dengan di x = 4 , kita menemukan bahwa m a x y x [ 4 ; + ) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , dan fungsi yang diberikan pada plus tak terhingga akan mendekati garis y = - 1 secara asimtotik.
Mari kita bandingkan apa yang kita dapatkan dalam setiap perhitungan dengan grafik fungsi yang diberikan. Pada gambar, asimtot ditunjukkan oleh garis putus-putus.
Itu saja yang ingin kita bicarakan tentang menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi. Urutan tindakan yang telah kami berikan akan membantu Anda membuat perhitungan yang diperlukan secepat dan sesederhana mungkin. Tetapi ingat bahwa seringkali berguna untuk terlebih dahulu mencari tahu di interval mana fungsi akan berkurang dan di mana ia akan meningkat, setelah itu kesimpulan lebih lanjut dapat ditarik. Sehingga Anda dapat lebih akurat menentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi dan membenarkan hasilnya.
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter
Seringkali dalam fisika dan matematika diperlukan untuk menemukan nilai terkecil dari suatu fungsi. Bagaimana melakukan ini, sekarang kami akan memberi tahu.
Bagaimana menemukan nilai terkecil dari suatu fungsi: instruksi
- Untuk menghitung nilai terkecil dari fungsi kontinu pada interval tertentu, Anda harus mengikuti algoritma ini:
- Menemukan turunan dari suatu fungsi.
- Temukan pada segmen tertentu titik-titik di mana turunannya sama dengan nol, serta semua titik kritis. Kemudian cari tahu nilai fungsi di titik-titik ini, yaitu selesaikan persamaan di mana x sama dengan nol. Cari tahu nilai mana yang paling kecil.
- Cari tahu apa nilai fungsi pada titik akhir. Tentukan nilai terkecil dari fungsi di titik-titik tersebut.
- Bandingkan data yang diterima dengan nilai terkecil. Semakin kecil angka yang diterima akan menjadi nilai terkecil dari fungsi tersebut.
Perhatikan bahwa jika suatu fungsi pada segmen tidak memiliki titik terkecil, ini berarti fungsi tersebut bertambah atau berkurang pada segmen ini. Oleh karena itu, nilai terkecil harus dihitung pada segmen hingga fungsi.
Dalam semua kasus lain, nilai fungsi dihitung sesuai dengan algoritma yang diberikan. Pada setiap langkah algoritme, Anda harus menyelesaikan persamaan linier sederhana dengan satu akar. Selesaikan persamaan menggunakan gambar untuk menghindari kesalahan.
Bagaimana menemukan nilai terkecil dari suatu fungsi pada segmen setengah terbuka? Pada periode fungsi setengah terbuka atau terbuka, nilai terkecil harus ditemukan sebagai berikut. Pada titik akhir nilai fungsi, hitung batas satu sisi dari fungsi tersebut. Dengan kata lain, selesaikan persamaan di mana titik-titik tendensi diberikan oleh nilai a+0 dan b+0, di mana a dan b adalah nama-nama titik kritis.
Sekarang Anda tahu bagaimana menemukan nilai terkecil dari suatu fungsi. Hal utama adalah melakukan semua perhitungan dengan benar, akurat dan tanpa kesalahan.
Biarkan fungsinya y=f(X) kontinu pada segmen [ a, b]. Seperti diketahui, fungsi seperti itu mencapai nilai maksimum dan minimumnya pada segmen ini. Fungsi dapat mengambil nilai-nilai ini baik pada titik interior segmen [ a, b], atau pada batas segmen.
Untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada interval [ a, b] diperlukan:
1) temukan titik kritis fungsi dalam interval ( a, b);
2) menghitung nilai fungsi pada titik kritis yang ditemukan;
3) hitung nilai fungsi di ujung segmen, yaitu untuk x=sebuah dan x = b;
4) dari semua nilai fungsi yang dihitung, pilih yang terbesar dan terkecil.
Contoh. Menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi
pada segmen.
Menemukan titik kritis:
Titik-titik ini terletak di dalam segmen; kamu(1) = ‒ 3; kamu(2) = ‒ 4; kamu(0) = ‒ 8; kamu(3) = 1;
pada intinya x= 3 dan pada titik x= 0.
Penyelidikan fungsi kecembungan dan titik belok.
Fungsi kamu = f (x) ditelepon cembung diantara (sebuah, b) , jika grafiknya terletak di bawah garis singgung yang ditarik pada sembarang titik dari interval ini, dan disebut cembung ke bawah (cekung) jika grafiknya terletak di atas garis singgung.
Titik transisi dimana kecembungan digantikan oleh kecekungan atau sebaliknya disebut titik belok.
Algoritma untuk mempelajari konveksitas dan titik belok:
1. Temukan titik kritis jenis kedua, yaitu titik di mana turunan kedua sama dengan nol atau tidak ada.
2. Letakkan titik-titik kritis pada garis bilangan, pecah menjadi beberapa interval. Temukan tanda turunan kedua pada setiap interval; jika , maka fungsi tersebut cembung ke atas, jika, maka fungsi tersebut cembung ke bawah.
3. Jika pada saat melewati titik kritis jenis kedua berubah tanda dan pada titik ini turunan kedua sama dengan nol, maka titik tersebut merupakan absis dari titik belok. Temukan ordinatnya.
Asimtot dari grafik suatu fungsi. Penyelidikan fungsi menjadi asimtot.
Definisi. Asimtot dari grafik suatu fungsi disebut lurus, yang memiliki sifat bahwa jarak dari sembarang titik grafik ke garis ini cenderung nol dengan penghilangan titik grafik yang tidak terbatas dari titik asal.
Ada tiga jenis asimtot: vertikal, horizontal dan miring.
Definisi. Panggilan langsung asimtot vertikal grafik fungsi y = f(x), jika setidaknya salah satu batas satu sisi fungsi pada titik ini sama dengan tak terhingga, yaitu
di mana adalah titik diskontinuitas fungsi, yaitu, tidak termasuk dalam domain definisi.
Contoh.
D( kamu) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
x= 2 - titik putus.
Definisi. Lurus y=A ditelepon asimtot horizontal grafik fungsi y = f(x) di , jika
Contoh.
|
x | |||
|
kamu |
Definisi. Lurus y=kx +b (k 0) disebut asimtot miring grafik fungsi y = f(x) dimana
Skema umum untuk mempelajari fungsi dan plot.
Algoritma penelitian fungsiy = f(x) :
1. Temukan domain dari fungsi D (kamu).
2. Temukan (jika mungkin) titik potong grafik dengan sumbu koordinat (dengan x= 0 dan di kamu = 0).
3. Selidiki fungsi genap dan ganjil ( kamu (‒ x) = kamu (x) ‒ keseimbangan; kamu(‒ x) = ‒ kamu (x) ‒ aneh).
4. Temukan asimtot dari grafik fungsi tersebut.
5. Temukan interval kemonotonan fungsi tersebut.
6. Temukan ekstrem dari fungsi tersebut.
7. Carilah interval kecembungan (concavity) dan titik belok dari grafik fungsi tersebut.
8. Berdasarkan penelitian yang dilakukan, buatlah grafik fungsi tersebut.
Contoh. Selidiki fungsi dan plot grafiknya.
1) D (kamu) =
x= 4 - titik putus.
2) Kapan x = 0,
(0; – 5) – titik perpotongan dengan oy.
Pada kamu = 0,
3)
kamu(‒
x)=
fungsi umum (tidak genap maupun ganjil).
4) Kami menyelidiki asimtot.
a) vertikal
b) mendatar
c) temukan asimtot miring di mana
persamaan asimtot miring
5) Dalam persamaan ini, tidak diperlukan untuk mencari interval kemonotonan fungsi.
6)
Titik-titik kritis ini mempartisi seluruh domain fungsi pada interval (˗∞; 2), (˗2; 4), (4; 10) dan (10; +∞). Lebih mudah untuk menyajikan hasil yang diperoleh dalam bentuk tabel berikut.
