Sifat dasar logaritma, grafik logaritma, domain definisi, himpunan nilai, rumus dasar, kenaikan dan penurunan diberikan. Menemukan turunan dari logaritma dipertimbangkan. Selain integral, perluasan dan representasi deret pangkat menggunakan bilangan kompleks.

Isi

Domain, kumpulan nilai, meningkat, menurun

Logaritma merupakan fungsi monotonik sehingga tidak mempunyai titik ekstrem. Properti utama logaritma disajikan dalam tabel.

Domain	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Jarak nilai	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Nada datar	meningkat secara monoton	menurun secara monoton
Nol, y = 0	x = 1	x = 1
Titik potong dengan sumbu ordinat, x = 0	TIDAK	TIDAK
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Nilai-nilai pribadi

Logaritma ke basis 10 disebut logaritma desimal dan dilambangkan sebagai berikut:

Logaritma ke basis e ditelepon logaritma natural:

Rumus dasar logaritma

Sifat-sifat logaritma yang timbul dari definisi fungsi invers:

Properti utama logaritma dan konsekuensinya

Rumus penggantian basa

Logaritma adalah operasi matematika untuk mengambil logaritma. Saat mengambil logaritma, hasil kali faktor diubah menjadi jumlah suku.
Potensiasi adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari logaritma. Selama potensiasi, basis tertentu dinaikkan ke tingkat ekspresi di mana potensiasi dilakukan. Dalam hal ini, jumlah suku diubah menjadi produk faktor.

Bukti rumus dasar logaritma

Rumus yang berkaitan dengan logaritma mengikuti rumus fungsi eksponensial dan definisi fungsi invers.

Pertimbangkan properti fungsi eksponensial
.
Kemudian
.
Mari kita terapkan properti fungsi eksponensial
:
.

Mari kita buktikan rumus penggantian basa.
;
.
Dengan asumsi c = b, kita mempunyai:

Fungsi terbalik

Kebalikan logaritma dengan basis a adalah fungsi eksponensial dengan eksponen a.

Jika kemudian

Jika kemudian

Turunan dari logaritma

Turunan dari logaritma modulus x:
.
Turunan dari orde ke-n:
.
Menurunkan rumus > > >

Untuk mencari turunan logaritma, harus direduksi menjadi basis e.
;
.

Integral

Integral logaritma dihitung dengan mengintegrasikan bagian-bagiannya: .
Jadi,

Ekspresi menggunakan bilangan kompleks

Pertimbangkan fungsi bilangan kompleks z:
.
Mari kita nyatakan bilangan kompleks z melalui modul R dan argumen φ :
.
Kemudian, dengan menggunakan properti logaritma, kita mendapatkan:
.
Atau

Namun argumennya φ tidak didefinisikan secara unik. Jika Anda menaruh
, dimana n adalah bilangan bulat,
maka itu akan menjadi angka yang sama untuk yang berbeda N.

Oleh karena itu, logaritma, sebagai fungsi dari variabel kompleks, bukanlah fungsi bernilai tunggal.

Ekspansi seri daya

Kapan perluasan terjadi:

Referensi:
DI DALAM. Bronstein, KA. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.

Lihat juga:

Bahan dari Wikipedia - ensiklopedia gratis

Definisi dan properti

Nol kompleks tidak memiliki logaritma karena eksponen kompleks tidak bernilai nol. Bukan nol $z$ dapat direpresentasikan dalam bentuk demonstratif:

$z=r\; \backslash cdot\; e^(i\; (\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k))\backslash ;\backslash ;,$ Di mana $k$- bilangan bulat sewenang-wenang

Kemudian $\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z$ ditemukan dengan rumus:

$\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\; \backslash kiri(\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k\; \backslash kanan)$

Di Sini $\backslash ln\backslash ,r=\; \backslash ln\backslash ,|z|$- logaritma nyata. Ini mengikuti dari ini:

$\backslash mathrm(Ln)\; (-x)\; =\; \backslash ln\; x\; +\; i\; \backslash pi\; (2\; k\; +\; 1)\; \backslash qquad\; (x>0,\backslash \; k\; =\; 0,\; \backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2\; \backslash titik)$

Contoh nilai logaritma kompleks

Mari kita nyatakan nilai utama logaritma ( $\backslash ln$) dan ekspresi umumnya ( $\backslash mathrm(Ln)$) untuk beberapa argumen:

$\backslash ln\; (1)\; =\; 0;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (1)\; =\; 2k\backslash pi\; i$ $\backslash ln\; (-1)\; =\; saya\; \backslash pi;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (-1)\; =\; (2k+1)i\; \backslash pi$ $\backslash ln\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(\backslash pi)\; (2);\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(4k+1)(2)\; \backslash pi$

Anda harus berhati-hati saat mengonversi logaritma kompleks, dengan mempertimbangkan bahwa logaritma tersebut bernilai banyak, dan oleh karena itu persamaan logaritma dari ekspresi apa pun tidak berarti persamaan ekspresi ini. Contoh keliru pemikiran:

$i\backslash pi\; =\; \backslash ln(-1)\; =\; \backslash ln((-i)^2)\; =\; 2\backslash ln(-i)\; =\; 2(-i\backslash pi/2)\; =\; -i\backslash pi$- sebuah kesalahan yang jelas.

Perhatikan bahwa di sebelah kiri adalah nilai utama logaritma, dan di sebelah kanan adalah nilai dari cabang yang mendasarinya ( $k=-1$). Penyebab kesalahan tersebut adalah penggunaan properti yang ceroboh $\backslash log\_a((b^p))\; =\; p~\backslash log\_a\; b$, yang, secara umum, menyiratkan dalam kasus kompleks seluruh himpunan nilai logaritma yang tak terhingga, dan bukan hanya nilai utama.

Fungsi logaritma kompleks dan permukaan Riemann

Karena keterhubungannya yang sederhana, permukaan logaritma Riemann adalah penutup universal untuk bidang kompleks tanpa titik $0$.

Kelanjutan analitis

Logaritma bilangan kompleks juga dapat didefinisikan sebagai kelanjutan analitik dari logaritma real ke seluruh bidang kompleks. Biarkan kurva $\backslash Gamma$ dimulai dari satu, tidak melewati nol dan tidak memotong bagian negatif sumbu real. Kemudian nilai pokok logaritma pada titik akhir $w$ bengkok $\backslash Gamma$ dapat ditentukan dengan rumus:

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash int\backslash limits\_\backslash Gamma\; (du\; \backslash over\; u)$

Jika $\backslash Gamma$- kurva sederhana (tanpa perpotongan sendiri), maka untuk bilangan yang terletak di atasnya dapat digunakan identitas logaritmik tanpa rasa takut, misalnya:

$\backslash ln\; (wz)\; =\; \backslash ln\; w\; +\; \backslash ln\; z,\; ~\backslash forall\; z,w\backslash in\backslash Gamma\backslash colon\; zw\backslash in\; \backslash Gamma$

Cabang utama fungsi logaritma bersifat kontinu dan terdiferensiasi pada seluruh bidang kompleks, kecuali bagian negatif sumbu real, yang bagian imajinernya tiba-tiba berubah menjadi $2\backslash pi$. Tetapi fakta ini merupakan konsekuensi dari pembatasan artifisial bagian imajiner dari besaran pokok dengan interval $(-\backslash pi,\; \backslash pi]$. Jika kita perhatikan semua cabang fungsi, maka kontinuitas terjadi di semua titik kecuali nol, di mana fungsi tersebut tidak terdefinisi. Jika Anda menyelesaikan kurva $\backslash Gamma$ melintasi bagian negatif dari sumbu nyata, maka perpotongan pertama memindahkan hasil dari cabang nilai utama ke cabang yang berdekatan, dan setiap perpotongan berikutnya menyebabkan pergeseran serupa sepanjang cabang fungsi logaritma (lihat gambar).

Dari rumus kelanjutan analitik dapat disimpulkan bahwa pada setiap cabang logaritma:

$\backslash frac(d)(dz)\; \backslash ln\; z\; =\; (1\backslash lebih\; dari\; z)$

Untuk kalangan mana pun $S$, mencakup intinya $0$:

$\backslash oint\backslash limits\_S\; (dz\; \backslash over\; z)\; =\; 2\backslash pi\; i$

Integral diambil dalam arah positif (berlawanan arah jarum jam). Identitas ini mendasari teori residu.

Kita juga dapat menentukan kelanjutan analitik dari logaritma kompleks menggunakan deret yang diketahui untuk kasus nyata:

{{{2}}}

(Baris 1)

{{{2}}}

(Baris 2)

Namun dari bentuk deret tersebut dapat disimpulkan bahwa pada satu jumlah deret tersebut sama dengan nol, yaitu deret tersebut hanya berhubungan dengan cabang utama fungsi multinilai dari logaritma kompleks. Jari-jari konvergensi kedua deret tersebut adalah 1.

Hubungan dengan fungsi trigonometri dan hiperbolik terbalik

$\backslash namaoperator(Arcsin)\; z\; =\; -i\; \backslash namaoperator(Ln)\; (i\; z\; +\; \backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash namaoperator(Arccos)\; z\; =\; -i\; \backslash namaoperator(Ln)\; (z\; +\; i\backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash namaoperator(Arctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(1+z\; i)(1-z\; i)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash namaoperator(Arcctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(z\; i-1)(z\; i+1)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash namaoperator(Arsh)z\; =\; \backslash namaoperator(Ln)(z+\backslash sqrt(z^2+1))$- sinus hiperbolik terbalik $\backslash namaoperator(Arch)z=\backslash namaoperator(Ln)\; \backslash kiri(z+\backslash sqrt(z^(2)-1)\; \backslash kanan)$- kosinus hiperbolik terbalik $\backslash namaoperator(Arth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash namaoperator(Ln)\backslash kiri(\backslash frac(1+z)(1-z)\backslash kanan)$- garis singgung hiperbolik terbalik $\backslash namaoperator(Arcth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash nama\; operator(Ln)\backslash kiri(\backslash frac(z+1)(z-1)\backslash kanan)$- kotangen hiperbolik terbalik

Sketsa sejarah

Upaya pertama untuk memperluas logaritma ke bilangan kompleks dilakukan pada pergantian abad ke-17-18 oleh Leibniz dan Johann Bernoulli, namun mereka gagal menciptakan teori holistik, terutama karena konsep logaritma belum didefinisikan dengan jelas. Diskusi mengenai masalah ini terjadi pertama kali antara Leibniz dan Bernoulli, dan pada pertengahan abad ke-18 antara D’Alembert dan Euler. Bernoulli dan D'Alembert percaya bahwa hal itu harus ditentukan $\backslash log(-x)\; =\; \backslash log(x)$, sedangkan Leibniz membuktikan bahwa logaritma suatu bilangan negatif adalah bilangan imajiner. Teori lengkap tentang logaritma bilangan negatif dan kompleks diterbitkan oleh Euler pada tahun 1747-1751 dan pada dasarnya tidak berbeda dengan teori modern. Meskipun perdebatan terus berlanjut (D'Alembert mempertahankan sudut pandangnya dan mengemukakannya secara rinci dalam sebuah artikel di Ensiklopedia dan karya lain), pendekatan Euler mendapat pengakuan universal pada akhir abad ke-18.

Tulis ulasan tentang artikel "Logaritma kompleks"

literatur

Teori logaritma

• Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 hal.
• Sveshnikov A.G., Tikhonov A.N. Teori fungsi variabel kompleks. - M.: Nauka, 1967. - 304 hal.
• Fikhtengolts G.M. Mata kuliah kalkulus diferensial dan integral. - ed. tanggal 6. - M.: Nauka, 1966. - 680 hal.

Sejarah logaritma

• Matematika abad ke-18 // / Diedit oleh A.P. Yushkevich, dalam tiga volume. - M.: Sains, 1972. - T.III.
• Kolmogorov A.N., Yushkevich A.P. (eds.). Matematika abad ke-19. Geometri. Teori fungsi analitik. - M.: Nauka, 1981. - T.II.

Catatan

1. Fungsi logaritma. // . - M.: Ensiklopedia Soviet, 1982. - T.3.
2. , Jilid II, hal.520-522..
3. , Dengan. 623..
4. , Dengan. 92-94..
5. , Dengan. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V.G., Efremovich V.A.. - M.: Nauka, 1982. - P. 112. - (Perpustakaan Kvant, edisi 21).
7. , Jilid II, hal.522-526..
8. , Dengan. 624..
9. , Dengan. 325-328..
10. Rybnikov K.A. Sejarah matematika. Dalam dua volume. - M.: Penerbitan. Universitas Negeri Moskow, 1963. - T.II. - Hal.27, 230-231..
11. , Dengan. 122-123..
12. Klein F.. - M.: Nauka, 1987. - T.II. Geometri. - hal.159-161. - 416 detik.

Kutipan yang mencirikan logaritma Kompleks

Jelas sekali bahwa pria yang kuat dan aneh ini berada di bawah pengaruh tak tertahankan yang diberikan padanya oleh gadis berkulit gelap, anggun, dan penuh kasih sayang ini.
Rostov memperhatikan sesuatu yang baru antara Dolokhov dan Sonya; tapi dia tidak menjelaskan sendiri hubungan baru macam apa ini. “Mereka semua jatuh cinta pada seseorang di sana,” pikirnya tentang Sonya dan Natasha. Namun dia merasa tidak senyaman sebelumnya dengan Sonya dan Dolokhov, dan dia mulai jarang berada di rumah.
Sejak musim gugur tahun 1806, segala sesuatu kembali membicarakan perang dengan Napoleon bahkan lebih gencar dibandingkan tahun lalu. Tidak hanya rekrutan yang ditunjuk, tetapi juga 9 prajurit lagi dari seribu. Di mana-mana mereka mengutuk Bonaparte dengan kutukan, dan di Moskow hanya ada pembicaraan tentang perang yang akan datang. Bagi keluarga Rostov, kepentingan utama dari persiapan perang ini hanya terletak pada kenyataan bahwa Nikolushka tidak akan pernah setuju untuk tinggal di Moskow dan hanya menunggu berakhirnya cuti Denisov untuk pergi bersamanya ke resimen setelah liburan. Keberangkatan yang akan datang tidak hanya tidak menghalanginya untuk bersenang-senang, tetapi juga mendorongnya untuk melakukannya. Dia menghabiskan sebagian besar waktunya di luar rumah, saat makan malam, malam hari, dan pesta.

XI
Pada hari ketiga Natal, Nikolai makan malam di rumah, hal yang jarang terjadi padanya akhir-akhir ini. Secara resmi itu adalah makan malam perpisahan, karena dia dan Denisov berangkat ke resimen setelah Epiphany. Sekitar dua puluh orang sedang makan siang, termasuk Dolokhov dan Denisov.
Belum pernah di rumah Rostov suasana cinta, suasana cinta, terasa begitu kuat seperti pada liburan ini. “Tangkap momen kebahagiaan, paksakan dirimu untuk mencintai, jatuh cinta pada dirimu sendiri! Hanya satu hal ini yang nyata di dunia - sisanya hanyalah omong kosong. Dan hanya itu yang kami lakukan di sini,” kata suasana. Nikolai, seperti biasa, setelah menyiksa dua pasang kuda dan tidak sempat mengunjungi semua tempat yang ia perlukan dan ke mana pun ia dipanggil, tiba di rumah sebelum makan siang. Begitu dia masuk, dia memperhatikan dan merasakan suasana tegang dan penuh kasih sayang di dalam rumah, tetapi dia juga melihat kebingungan aneh yang terjadi di antara beberapa anggota masyarakat. Sonya, Dolokhov, Countess tua, dan Natasha kecil sangat bersemangat. Nikolai menyadari bahwa sesuatu akan terjadi sebelum makan malam antara Sonya dan Dolokhov, dan dengan kepekaan hatinya yang khas, dia sangat lembut dan berhati-hati saat makan malam dalam menghadapi mereka berdua. Pada malam yang sama di hari ketiga liburan, salah satu pesta dansa di Yogel (guru tari) akan diadakan, yang dia berikan pada hari libur untuk semua murid dan siswinya.
- Nikolenka, maukah kamu pergi ke Yogel? Silakan pergi,” kata Natasha kepadanya, “dia secara khusus memintamu, dan Vasily Dmitrich (itu adalah Denisov) yang akan pergi.”
“Ke mana pun saya pergi atas perintah Tuan Athena!” kata Denisov, yang sambil bercanda menempatkan dirinya di rumah Rostov di kaki ksatria Natasha, “pas de chale [menari dengan selendang] siap menari.”
- Jika saya punya waktu! “Aku berjanji pada keluarga Arkharov, ini malam mereka,” kata Nikolai.
“Dan kamu?…” dia menoleh ke Dolokhov. Dan baru saja saya menanyakan hal ini, saya perhatikan bahwa hal ini seharusnya tidak ditanyakan.
“Ya, mungkin…” Dolokhov menjawab dengan dingin dan marah, menatap Sonya dan, mengerutkan kening, dengan tatapan yang persis sama saat dia memandang Pierre saat makan malam di klub, dia kembali menatap Nikolai.
“Ada sesuatu,” pikir Nikolai, dan asumsi ini semakin diperkuat oleh fakta bahwa Dolokhov segera pergi setelah makan malam. Dia menelepon Natasha dan bertanya ada apa?
"Aku sedang mencarimu," kata Natasha sambil berlari ke arahnya. “Sudah kubilang, kamu masih belum mau percaya,” katanya penuh kemenangan, “dia melamar Sonya.”
Tidak peduli seberapa kecil yang dilakukan Nikolai dengan Sonya selama ini, sepertinya ada sesuatu yang muncul dalam dirinya ketika mendengar ini. Dolokhov adalah pasangan yang baik dan dalam beberapa hal merupakan pasangan yang brilian untuk Sonya, anak yatim piatu yang bebas mahar. Dari sudut pandang Countess lama dan dunia, mustahil untuk menolaknya. Oleh karena itu, perasaan pertama Nikolai ketika mendengar ini adalah kemarahan terhadap Sonya. Dia bersiap untuk mengatakan: “Dan hebatnya, tentu saja, kita harus melupakan janji masa kecil kita dan menerima tawaran itu”; tapi dia belum punya waktu untuk mengatakannya...
– Anda bisa bayangkan! Dia menolak, sepenuhnya menolak! – Natasha berbicara. “Dia bilang dia mencintai orang lain,” tambahnya setelah hening sejenak.
“Ya, Sonya-ku tidak bisa berbuat sebaliknya!” pikir Nikolay.
“Tidak peduli seberapa banyak ibuku memintanya, dia menolak, dan aku tahu dia tidak akan mengubah perkataannya…
- Dan ibu bertanya padanya! – kata Nikolai dengan nada mencela.
“Ya,” kata Natasha. - Kamu tahu, Nikolenka, jangan marah; tapi aku tahu kamu tidak akan menikahinya. Saya tahu, Tuhan tahu kenapa, saya tahu pasti, Anda tidak akan menikah.
“Yah, kamu tidak tahu itu,” kata Nikolai; – tapi aku perlu bicara dengannya. Betapa cantiknya Sonya ini! – dia menambahkan sambil tersenyum.
- Ini sangat indah! Saya akan mengirimkannya kepada Anda. - Dan Natasha, mencium kakaknya, lari.
Semenit kemudian Sonya masuk, ketakutan, bingung dan bersalah. Nikolai mendekatinya dan mencium tangannya. Ini adalah pertama kalinya dalam kunjungan ini mereka berbicara tatap muka dan tentang cinta mereka.
“Sophie,” dia berkata dengan takut-takut pada awalnya, dan kemudian semakin berani, “jika kamu ingin menolak bukan hanya pertandingan yang cemerlang dan menguntungkan; tapi dia pria yang luar biasa dan mulia... dia adalah temanku...
Sonya memotongnya.
“Aku sudah menolak,” katanya buru-buru.
- Jika kamu menolak untukku, maka aku takut itu terjadi padaku...
Sonya memotongnya lagi. Dia menatapnya dengan mata memohon dan ketakutan.
“Nicolas, jangan katakan itu padaku,” katanya.
- Tidak, aku harus melakukannya. Mungkin ini kecukupan [kesombongan] di pihak saya, tapi lebih baik dikatakan saja. Jika Anda menolak untuk saya, maka saya harus mengatakan yang sebenarnya. Aku mencintaimu, menurutku, lebih dari siapa pun...
“Cukup bagiku,” kata Sonya sambil memerah.
- Tidak, tapi aku telah jatuh cinta ribuan kali dan akan terus jatuh cinta, meskipun aku tidak memiliki perasaan persahabatan, kepercayaan, cinta untuk siapa pun selain kamu. Kalau begitu aku masih muda. Maman tidak menginginkan ini. Yah, hanya saja aku tidak menjanjikan apa pun. Dan saya meminta Anda memikirkan lamaran Dolokhov,” katanya, kesulitan mengucapkan nama belakang temannya.
- Jangan katakan itu padaku. Aku tak ingin apapun. Aku mencintaimu seperti saudara, dan akan selalu mencintaimu, dan aku tidak membutuhkan apa pun lagi.
“Kamu adalah malaikat, aku tidak layak untukmu, tapi aku hanya takut menipu kamu.” – Nikolai mencium tangannya lagi.

Yogel mengadakan pesta paling menyenangkan di Moskow. Inilah yang dikatakan para ibu ketika melihat [anak perempuan] remaja mereka melakukan langkah-langkah yang baru mereka pelajari; hal ini diucapkan oleh para remaja dan remaja itu sendiri, [perempuan dan laki-laki] yang menari sampai terjatuh; gadis-gadis dewasa dan pria muda yang datang ke pesta ini dengan gagasan untuk merendahkan mereka dan menemukan kesenangan terbaik di dalamnya. Pada tahun yang sama, dua pernikahan terjadi di pesta ini. Dua putri cantik Gorchakov menemukan pelamar dan menikah, dan terlebih lagi mereka meluncurkan bola-bola ini menuju kejayaan. Yang istimewa dari bola-bola ini adalah tidak ada tuan rumah dan nyonya rumah: yang ada adalah Yogel yang baik hati, seperti bulu terbang, berjalan-jalan sesuai aturan seni, yang menerima tiket pelajaran dari semua tamunya; adalah hanya mereka yang ingin menari dan bersenang-senang, seperti gadis berusia 13 dan 14 tahun yang baru pertama kali mengenakan gaun panjang, yang ingin pergi ke pesta dansa ini. Semua orang, dengan pengecualian yang jarang, cantik atau tampak cantik: mereka semua tersenyum begitu antusias dan mata mereka berbinar-binar. Kadang-kadang bahkan siswa terbaik pun menari pas de chale, di antaranya yang terbaik adalah Natasha, yang dibedakan oleh keanggunannya; tetapi pada pesta terakhir ini hanya ecosais, anglaise, dan mazurka, yang baru saja menjadi mode, yang ditarikan. Aula tersebut dibawa oleh Yogel ke rumah Bezukhov, dan pestanya sukses besar, seperti yang dikatakan semua orang. Ada banyak gadis cantik, dan wanita-wanita Rostov termasuk yang terbaik. Mereka berdua sangat bahagia dan ceria. Malam itu, Sonya, yang bangga dengan lamaran Dolokhov, penolakan dan penjelasannya kepada Nikolai, masih berputar-putar di rumah, tidak membiarkan gadis itu menyelesaikan kepangannya, dan sekarang dia bersinar terus menerus dengan kegembiraan yang meluap-luap.
Natasha, yang tak kalah bangga karena mengenakan gaun panjang untuk pertama kalinya di pesta sungguhan, bahkan lebih bahagia. Keduanya mengenakan gaun muslin putih dengan pita merah muda.
Natasha jatuh cinta sejak dia memasuki bola. Dia tidak jatuh cinta pada siapa pun secara khusus, tapi dia jatuh cinta pada semua orang. Orang yang dia lihat saat ini adalah orang yang dia cintai.
- Oh, bagus sekali! – dia terus berkata sambil berlari ke arah Sonya.
Nikolai dan Denisov berjalan mengitari aula, memandang para penari dengan penuh kasih sayang dan merendahkan.
“Betapa manisnya dia nanti,” kata Denisov.
- Siapa?
“Athena Natasha,” jawab Denisov.
“Dan bagaimana dia menari, sungguh luar biasa!” setelah hening sejenak, dia berkata lagi.
- Siapa yang Anda bicarakan?
“Tentang adikmu,” teriak Denisov dengan marah.
Rostov menyeringai.
– Senin cher comte; vous etes l"un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez,” kata Jogel kecil sambil mendekati Nikolai. “Voyez combien de jolies demoiselles.” [Count sayangku, kamu adalah salah satu murid terbaikku. Kamu perlu menari. Lihat betapa cantiknya gadis-gadis itu!] – Dia mengajukan permintaan yang sama kepada Denisov, juga mantan muridnya.
“Non, mon cher, je fe"ai tapisse"ie, [Tidak, sayangku, aku akan duduk di dekat dinding," kata Denisov. “Apakah kamu tidak ingat betapa buruknya aku menggunakan pelajaranmu?”
- Oh tidak! – Jogel berkata buru-buru menghiburnya. – Anda hanya lalai, tetapi Anda memiliki kemampuan, ya, Anda memiliki kemampuan.
Mazurka yang baru diperkenalkan dimainkan; Nikolai tidak bisa menolak Yogel dan mengundang Sonya. Denisov duduk di sebelah wanita tua itu dan, menyandarkan sikunya pada pedang, menghentakkan iramanya, menceritakan sesuatu dengan riang dan membuat wanita tua itu tertawa, memandangi anak-anak muda yang menari. Yogel, pada pasangan pertama, berdansa bersama Natasha, murid kebanggaan dan terbaiknya. Dengan lembut, dengan lembut menggerakkan kakinya di sepatunya, Yogel adalah orang pertama yang terbang melintasi aula bersama Natasha, yang pemalu, namun rajin melakukan langkah. Denisov tidak mengalihkan pandangan darinya dan mengetuk irama dengan pedangnya, dengan penampilan yang dengan jelas mengatakan bahwa dia sendiri tidak menari hanya karena dia tidak mau, dan bukan karena dia tidak bisa. Di tengah-tengah sosok itu, dia memanggil Rostov, yang sedang lewat, kepadanya.
“Sama sekali tidak sama,” katanya. - Apakah ini mazurka Polandia? Dan dia menari dengan sangat baik. - Mengetahui bahwa Denisov bahkan terkenal di Polandia karena keahliannya menari mazurka Polandia, Nikolai berlari ke arah Natasha:
- Pergi dan pilih Denisov. Ini dia menari! Keajaiban! - dia berkata.
Ketika giliran Natasha tiba lagi, dia berdiri dan dengan cepat meraba sepatunya dengan busur, dengan takut-takut, berlari sendirian melintasi aula ke sudut tempat Denisov duduk. Dia melihat semua orang memandangnya dan menunggu. Nikolai melihat Denisov dan Natasha sedang berdebat sambil tersenyum, dan Denisov menolak, tetapi tersenyum gembira. Dia berlari.
"Tolong, Vasily Dmitrich," kata Natasha, "ayo pergi."
“Ya, itu dia, g'athena,” kata Denisov.
“Yah, cukup, Vasya,” kata Nikolai.
“Sepertinya mereka mencoba membujuk Vaska si kucing,” kata Denisov bercanda.
“Aku akan bernyanyi untukmu sepanjang malam,” kata Natasha.
- Penyihir itu akan melakukan apa saja padaku! - kata Denisov dan melepaskan pedangnya. Dia keluar dari balik kursi, dengan erat memegang tangan istrinya, mengangkat kepalanya dan menurunkan kakinya, menunggu kebijaksanaan. Hanya saat menunggang kuda dan di mazurka, perawakan pendek Denisov tidak terlihat, dan dia tampak seperti pemuda yang sama seperti yang dia rasakan. Setelah menunggu iramanya, dia memandang dengan penuh kemenangan dan main-main ke arah istrinya dari samping, tiba-tiba menepuk satu kakinya dan, seperti bola, dengan elastis memantul dari lantai dan terbang dalam lingkaran, menyeret istrinya bersamanya. Dia diam-diam terbang melintasi setengah aula dengan satu kaki, dan sepertinya dia tidak melihat kursi-kursi yang berdiri di depannya dan bergegas menuju mereka; tetapi tiba-tiba, sambil menghentakan tajinya dan merentangkan kakinya, dia berhenti, berdiri di sana sejenak, dengan deru taji, menghentakkan kakinya di satu tempat, dengan cepat berbalik dan, menghentakkan kaki kanannya dengan kaki kirinya, kembali terbang dalam lingkaran. Natasha menebak apa yang ingin dia lakukan, dan, tanpa mengetahui caranya, dia mengikutinya - menyerahkan dirinya padanya. Sekarang dia mengitarinya, sekarang di sebelah kanannya, sekarang di tangan kirinya, lalu jatuh berlutut, dia melingkari dia di sekelilingnya, dan lagi-lagi dia melompat dan berlari ke depan dengan sangat cepat, seolah-olah dia bermaksud berlari melintasi semua ruangan. tanpa menarik napas; lalu tiba-tiba dia berhenti lagi dan lagi membuat lutut yang baru dan tak terduga. Ketika dia, dengan cepat memutar wanita di depannya, mematahkan tajinya, membungkuk di depannya, Natasha bahkan tidak memberi hormat padanya. Dia menatapnya dengan bingung, tersenyum seolah dia tidak mengenalinya. - Apa ini? - dia berkata.
Terlepas dari kenyataan bahwa Yogel tidak mengenali mazurka ini sebagai nyata, semua orang senang dengan keterampilan Denisov, mereka mulai memilihnya tanpa henti, dan orang-orang tua, sambil tersenyum, mulai berbicara tentang Polandia dan masa lalu yang indah. Denisov, memerah dari mazurka dan menyeka dirinya dengan saputangan, duduk di sebelah Natasha dan tidak meninggalkan sisinya sepanjang pesta.

Definisi dan properti

Nol kompleks tidak memiliki logaritma karena eksponen kompleks tidak bernilai nol. Bukan nol teksvc dapat direpresentasikan dalam bentuk demonstratif:

Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README - bantuan pengaturan.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, Di mana Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README untuk bantuan pengaturan.): k- bilangan bulat sewenang-wenang

Kemudian Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan pengaturan.): \mathrm(Ln)\,z ditemukan dengan rumus:

Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README - bantuan pengaturan.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

Di Sini Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan pengaturan.): \ln\,r= \ln\,|z|- logaritma nyata. Ini mengikuti dari ini:

Dari rumus tersebut jelas bahwa hanya satu nilai yang mempunyai bagian imajiner dalam intervalnya Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc . Nilai ini disebut kepentingan utama logaritma natural yang kompleks. Fungsi yang sesuai (sudah tidak ambigu) dipanggil cabang utama logaritma dan dilambangkan Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan pengaturan.): \ln\,z. Terkadang melalui Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan pengaturan.): \ln\, z juga menunjukkan nilai logaritma yang tidak terletak pada cabang utama. Jika Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README untuk bantuan pengaturan.): z adalah bilangan real, maka nilai pokok logaritmanya sama dengan logaritma real biasa.

Dari rumus di atas juga dapat disimpulkan bahwa bagian real dari logaritma ditentukan sebagai berikut melalui komponen argumennya:

Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan pengaturan.): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

Gambar tersebut menunjukkan bahwa bagian real sebagai fungsi dari komponen-komponennya simetris terpusat dan hanya bergantung pada jarak ke titik asal. Hal ini diperoleh dengan memutar grafik logaritma real di sekitar sumbu vertikal. Ketika mendekati nol, fungsinya cenderung Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README - bantuan untuk pengaturan.): -\infty.

Logaritma bilangan negatif dicari dengan rumus:

Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan pengaturan.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 ,\ sore 2\titik)

Contoh nilai logaritma kompleks

Mari kita nyatakan nilai utama logaritma ( Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan pengaturan.): \ln) dan ekspresi umumnya ( Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan pengaturan.): \mathrm(Ln)) untuk beberapa argumen:

Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan pengaturan.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan pengaturan.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README - bantuan pengaturan.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Anda harus berhati-hati saat mengonversi logaritma kompleks, dengan mempertimbangkan bahwa logaritma tersebut bernilai banyak, dan oleh karena itu persamaan logaritma dari ekspresi apa pun tidak berarti persamaan ekspresi ini. Contoh keliru pemikiran:

Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README - bantuan pengaturan.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi- sebuah kesalahan yang jelas.

Perhatikan bahwa di sebelah kiri adalah nilai utama logaritma, dan di sebelah kanan adalah nilai dari cabang yang mendasarinya ( Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README - bantuan pengaturan.): k=-1). Penyebab kesalahan tersebut adalah penggunaan properti yang ceroboh Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README untuk bantuan pengaturan.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, yang, secara umum, menyiratkan dalam kasus kompleks seluruh himpunan nilai logaritma yang tak terhingga, dan bukan hanya nilai utama.

Fungsi logaritma kompleks dan permukaan Riemann

Karena keterhubungannya yang sederhana, permukaan logaritma Riemann adalah penutup universal untuk bidang kompleks tanpa titik Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc .

Kelanjutan analitis

Logaritma bilangan kompleks juga dapat didefinisikan sebagai kelanjutan analitik dari logaritma real ke seluruh bidang kompleks. Biarkan kurva Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc dimulai dari satu, tidak melewati nol dan tidak memotong bagian negatif sumbu real. Kemudian nilai pokok logaritma pada titik akhir Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README untuk bantuan pengaturan.): w bengkok Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README untuk bantuan pengaturan.): \Gamma dapat ditentukan dengan rumus:

Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan pengaturan.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Jika Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README untuk bantuan pengaturan.): \Gamma- kurva sederhana (tanpa perpotongan sendiri), maka untuk bilangan yang terletak di atasnya dapat digunakan identitas logaritmik tanpa rasa takut, misalnya:

Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan pengaturan.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Cabang utama fungsi logaritma bersifat kontinu dan terdiferensiasi pada seluruh bidang kompleks, kecuali bagian negatif sumbu real, yang bagian imajinernya tiba-tiba berubah menjadi Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README - bantuan pengaturan.): 2\pi. Tetapi fakta ini merupakan konsekuensi dari pembatasan artifisial bagian imajiner dari besaran pokok dengan interval Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README untuk bantuan pengaturan.): (-\pi, \pi]. Jika kita perhatikan semua cabang fungsi, maka kontinuitas terjadi di semua titik kecuali nol, di mana fungsi tersebut tidak terdefinisi. Jika Anda menyelesaikan kurva Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README untuk bantuan pengaturan.): \Gamma melintasi bagian negatif dari sumbu nyata, maka perpotongan pertama memindahkan hasil dari cabang nilai utama ke cabang yang berdekatan, dan setiap perpotongan berikutnya menyebabkan pergeseran serupa sepanjang cabang fungsi logaritma (lihat gambar).

Dari rumus kelanjutan analitik dapat disimpulkan bahwa pada setiap cabang logaritma:

Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan pengaturan.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\over z)

Untuk kalangan mana pun Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README untuk bantuan pengaturan.): S, mencakup intinya Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README untuk bantuan pengaturan.): 0 :

Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan pengaturan.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

Integral diambil dalam arah positif (berlawanan arah jarum jam). Identitas ini mendasari teori residu.

Kita juga dapat menentukan kelanjutan analitik dari logaritma kompleks menggunakan deret yang diketahui untuk kasus nyata:

Namun dari bentuk deret tersebut dapat disimpulkan bahwa pada satu jumlah deret tersebut sama dengan nol, yaitu deret tersebut hanya berhubungan dengan cabang utama fungsi multinilai dari logaritma kompleks. Jari-jari konvergensi kedua deret tersebut adalah 1.

Hubungan dengan fungsi trigonometri dan hiperbolik terbalik

Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan pengaturan.): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan pengaturan.): \operatorname(Arccos) z = -i \operatorname(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README - bantuan pengaturan.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README - bantuan pengaturan.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan pengaturan.): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- sinus hiperbolik terbalik Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README - bantuan pengaturan.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- kosinus hiperbolik terbalik Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan pengaturan.): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- garis singgung hiperbolik terbalik Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat math/README untuk bantuan pengaturan.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- kotangen hiperbolik terbalik

Sketsa sejarah

Upaya pertama untuk memperluas logaritma ke bilangan kompleks dilakukan pada pergantian abad ke-17-18 oleh Leibniz dan Johann Bernoulli, namun mereka gagal menciptakan teori holistik, terutama karena konsep logaritma belum didefinisikan dengan jelas. Diskusi mengenai masalah ini terjadi pertama kali antara Leibniz dan Bernoulli, dan pada pertengahan abad ke-18 antara D’Alembert dan Euler. Bernoulli dan D'Alembert percaya bahwa hal itu harus ditentukan Tidak dapat mengurai ekspresi (File yang dapat dieksekusi teksvc tidak ditemukan; Lihat matematika/README untuk bantuan pengaturan.): \log(-x) = \log(x), sedangkan Leibniz membuktikan bahwa logaritma suatu bilangan negatif adalah bilangan imajiner. Teori lengkap tentang logaritma bilangan negatif dan kompleks diterbitkan oleh Euler pada tahun 1747-1751 dan pada dasarnya tidak berbeda dengan teori modern. Meskipun perdebatan terus berlanjut (D'Alembert mempertahankan sudut pandangnya dan mengemukakannya secara rinci dalam sebuah artikel di Ensiklopedia dan karya lain), pendekatan Euler mendapat pengakuan universal pada akhir abad ke-18.

Tulis ulasan tentang artikel "Logaritma kompleks"

literatur

Teori logaritma

• Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 hal.
• Sveshnikov A.G., Tikhonov A.N. Teori fungsi variabel kompleks. - M.: Nauka, 1967. - 304 hal.
• Fikhtengolts G.M. Mata kuliah kalkulus diferensial dan integral. - ed. tanggal 6. - M.: Nauka, 1966. - 680 hal.

Sejarah logaritma

• Matematika abad ke-18 // / Diedit oleh A.P. Yushkevich, dalam tiga volume. - M.: Sains, 1972. - T.III.
• Kolmogorov A.N., Yushkevich A.P. (eds.). Matematika abad ke-19. Geometri. Teori fungsi analitik. - M.: Nauka, 1981. - T.II.

Catatan

1. Fungsi logaritma. // . - M.: Ensiklopedia Soviet, 1982. - T.3.
2. , Jilid II, hal.520-522..
3. , Dengan. 623..
4. , Dengan. 92-94..
5. , Dengan. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V.G., Efremovich V.A.. - M.: Nauka, 1982. - P. 112. - (Perpustakaan Kvant, edisi 21).
7. , Jilid II, hal.522-526..
8. , Dengan. 624..
9. , Dengan. 325-328..
10. Rybnikov K.A. Sejarah matematika. Dalam dua volume. - M.: Penerbitan. Universitas Negeri Moskow, 1963. - T.II. - Hal.27, 230-231..
11. , Dengan. 122-123..
12. Klein F.. - M.: Nauka, 1987. - T.II. Geometri. - hal.159-161. - 416 detik.

Kutipan yang mencirikan logaritma Kompleks

Dari kengerian liar yang mencengkeram kami, kami bergegas seperti peluru melintasi lembah yang luas, bahkan tidak berpikir bahwa kami dapat segera pergi ke “lantai” lain... Kami tidak punya waktu untuk memikirkannya - kami terlalu takut.
Makhluk itu terbang tepat di atas kami, dengan keras mengklik paruhnya yang bergigi menganga, dan kami bergegas secepat yang kami bisa, memercikkan percikan berlendir ke samping, dan dalam hati berdoa agar sesuatu yang lain tiba-tiba menarik perhatian “burung ajaib” yang menyeramkan ini... Itu terasa bahwa dia jauh lebih cepat dan kami tidak punya kesempatan untuk melepaskan diri darinya. Untung saja, tidak ada satu pohon pun yang tumbuh di dekatnya, tidak ada semak-semak, atau bahkan batu yang bisa digunakan untuk bersembunyi, hanya batu hitam yang tidak menyenangkan yang terlihat di kejauhan.
- Di sana! – Stella berteriak sambil mengarahkan jarinya ke batu yang sama.
Namun tiba-tiba, tanpa disangka-sangka, tepat di depan kami, sesosok makhluk muncul dari suatu tempat, pemandangan yang benar-benar membekukan darah kami di pembuluh darah kami... Tampaknya seolah-olah “langsung dari udara tipis” dan benar-benar menakutkan… bangkai hitam besar ditutupi seluruhnya dengan rambut panjang dan kasar, membuatnya tampak seperti beruang berperut buncit, hanya saja "beruang" ini setinggi rumah tiga lantai... Kepala monster yang kental itu "dimahkotai" dengan dua lengkungan besar tanduk, dan mulutnya yang menakutkan dihiasi dengan sepasang taring yang sangat panjang, setajam pisau, hanya dengan melihatnya, karena ketakutan, kaki kami lemas... Dan kemudian, yang sangat mengejutkan kami, monster itu dengan mudah melompat dan. .. mengambil "kotoran" terbang di salah satu taringnya yang besar... Kami membeku karena terkejut.
- Ayo lari!!! – Stella menjerit. – Ayo lari selagi dia “sibuk”!..
Dan kami siap untuk bergegas lagi tanpa menoleh ke belakang, ketika tiba-tiba sebuah suara tipis terdengar di belakang kami:
- Gadis-gadis, tunggu!!! Tidak perlu lari!.. Dean menyelamatkanmu, dia bukan musuh!
Kami berbalik dengan tajam - seorang gadis kecil bermata hitam yang sangat cantik berdiri di belakang kami... dan dengan tenang membelai monster yang mendekatinya!... Mata kami membelalak karena terkejut... Sungguh luar biasa! Tentu saja - ini adalah hari yang penuh kejutan!.. Gadis itu, melihat ke arah kami, tersenyum ramah, sama sekali tidak takut pada monster berbulu yang berdiri di samping kami.
- Tolong jangan takut padanya. Dia sangat baik. Kami melihat Ovara mengejar Anda dan memutuskan untuk membantu. Dean hebat, dia berhasil tepat waktu. Benar sayangku?
Mendengkur “Bagus”, yang terdengar seperti gempa kecil, dan sambil menundukkan kepalanya, menjilat wajah gadis itu.
– Siapa Owara, dan mengapa dia menyerang kita? - Saya bertanya.
“Dia menyerang semua orang, dia adalah predator.” Dan sangat berbahaya,” jawab gadis itu dengan tenang. – Bolehkah saya bertanya apa yang kamu lakukan di sini? Kamu bukan dari sini, gadis-gadis?
- Tidak, bukan dari sini. Kami baru saja berjalan. Tapi pertanyaan yang sama untukmu - apa yang kamu lakukan di sini?
“Aku akan menemui ibuku…” gadis kecil itu menjadi sedih. “Kami mati bersama, tapi entah kenapa dia berakhir di sini.” Dan sekarang saya tinggal di sini, tetapi saya tidak mengatakan hal ini kepadanya, karena dia tidak akan pernah menyetujuinya. Dia pikir aku baru saja datang...
– Bukankah lebih baik datang saja? Mengerikan sekali di sini!.. – Stella mengangkat bahunya.
“Saya tidak bisa meninggalkannya sendirian di sini, saya mengawasinya agar tidak terjadi apa-apa padanya.” Dan di sini Dean bersamaku... Dia membantuku.
Aku tidak bisa mempercayainya... Gadis kecil pemberani ini dengan sukarela meninggalkan “lantai” cantik dan baik hati untuk hidup di dunia yang dingin, mengerikan dan asing ini, melindungi ibunya, yang dalam beberapa hal sangat “bersalah”! Saya tidak berpikir akan ada banyak orang yang begitu berani dan tidak mementingkan diri sendiri (bahkan orang dewasa!) yang berani melakukan hal seperti itu... Dan saya langsung berpikir - mungkin dia tidak mengerti apa yang akan dia lakukan pada dirinya sendiri. ?!
– Sudah berapa lama kamu di sini, Nak, jika itu bukan rahasia?
“Baru-baru ini…” jawab bayi bermata hitam itu dengan sedih, sambil menarik-narik seikat rambut hitam keritingnya dengan jari-jarinya. – Saya menemukan diri saya berada di dunia yang begitu indah ketika saya meninggal!.. Dia sangat baik dan cerdas!.. Dan kemudian saya melihat ibu saya tidak bersama saya dan bergegas mencarinya. Awalnya sangat menakutkan! Untuk beberapa alasan dia tidak bisa ditemukan... Dan kemudian aku jatuh ke dunia yang mengerikan ini... Dan kemudian aku menemukannya. Aku sangat takut di sini... Sangat kesepian... Ibu menyuruhku pergi, dia bahkan memarahiku. Tapi aku tidak bisa meninggalkannya... Sekarang aku punya teman, Dekanku yang baik, dan entah bagaimana aku sudah bisa eksis di sini.
“Teman baiknya” menggeram lagi, yang membuat Stella dan saya merinding… Setelah menenangkan diri, saya mencoba untuk sedikit tenang dan mulai melihat lebih dekat keajaiban berbulu ini… Dan dia, segera merasa bahwa dia diperhatikan, dia sangat memamerkan mulutnya yang bertaring... Aku melompat mundur.
- Oh, tolong jangan takut! “Dia tersenyum padamu,” gadis itu “meyakinkan.”
Ya... Kamu akan belajar berlari cepat dari senyuman seperti itu... - pikirku dalam hati.
- Bagaimana kamu bisa berteman dengannya? – Stella bertanya.
– Ketika saya pertama kali datang ke sini, saya sangat takut, terutama ketika monster seperti Anda menyerang hari ini. Dan suatu hari, ketika aku hampir mati, Dean menyelamatkanku dari sekumpulan “burung” terbang yang menyeramkan. Aku juga takut padanya pada awalnya, tapi kemudian aku menyadari betapa berhati emasnya dia... Dia adalah sahabat terbaik! Saya tidak pernah mengalami hal seperti ini, bahkan ketika saya tinggal di Bumi.
- Bagaimana kamu bisa terbiasa begitu cepat? Penampilannya tidak terlalu, katakanlah, familier...
– Dan di sini saya memahami satu kebenaran yang sangat sederhana, yang karena alasan tertentu tidak saya sadari di Bumi - penampilan tidak masalah jika seseorang atau makhluk memiliki hati yang baik... Ibuku sangat cantik, tapi terkadang dia sangat marah juga. Dan kemudian semua kecantikannya menghilang entah kemana... Dan Dean, meskipun menakutkan, selalu sangat baik, dan selalu melindungiku, aku merasakan kebaikannya dan tidak takut pada apa pun. Tapi Anda bisa membiasakan diri dengan penampilan...
– Tahukah Anda bahwa Anda akan berada di sini untuk waktu yang sangat lama, lebih lama daripada manusia hidup di Bumi? Apakah kamu benar-benar ingin tinggal di sini?..
“Ibuku ada di sini, jadi aku harus membantunya.” Dan ketika dia “pergi” untuk hidup di Bumi lagi, saya juga akan pergi… Ke tempat yang lebih banyak kebaikannya. Di dunia yang mengerikan ini, manusia sangatlah aneh - seolah-olah mereka tidak hidup sama sekali. Mengapa demikian? Apakah Anda tahu sesuatu tentang ini?
– Siapa yang memberitahumu bahwa ibumu akan pergi untuk hidup kembali? – Stella menjadi tertarik.
- Dekan, tentu saja. Dia tahu banyak, dia sudah lama tinggal di sini. Dia juga mengatakan bahwa ketika kami (saya dan ibu) hidup kembali, keluarga kami akan berbeda. Dan kemudian aku tidak akan memiliki ibu ini lagi... Itu sebabnya aku ingin bersamanya sekarang.
- Bagaimana caramu berbicara dengannya, Dekanmu? – Stella bertanya. – Dan mengapa kamu tidak mau memberi tahu kami namamu?
Tapi itu benar – kami masih belum tahu namanya! Dan mereka juga tidak tahu dari mana asalnya...
– Nama saya Maria... Tapi apakah itu penting di sini?
- Tentu saja! – Stella tertawa. - Bagaimana aku bisa berkomunikasi denganmu? Ketika Anda pergi, mereka akan memberi Anda nama baru, tetapi selama Anda di sini, Anda harus hidup dengan nama lama. Apakah kamu berbicara dengan orang lain di sini, gadis Maria? – Stella bertanya, melompat dari satu topik ke topik lain karena kebiasaan.
“Ya, aku bicara…” kata gadis kecil itu ragu-ragu. “Tapi mereka sangat aneh di sini.” Dan sangat tidak bahagia... Mengapa mereka begitu tidak bahagia?
– Apakah yang Anda lihat di sini membawa kebahagiaan? – Saya terkejut dengan pertanyaannya. – Bahkan “realitas” lokal sendiri membunuh harapan sebelumnya!.. Bagaimana Anda bisa bahagia di sini?
- Tidak tahu. Saat aku bersama ibuku, sepertinya aku juga bisa bahagia di sini... Benar, di sini sangat menakutkan, dan dia sangat tidak suka di sini... Saat aku bilang begitu, aku setuju untuk tinggal bersama dia, dia meneriaki saya dan mengatakan bahwa saya adalah "kemalangan yang tidak punya otak"... Tapi saya tidak tersinggung... Saya tahu dia hanya takut. Sama seperti saya...
– Mungkin dia hanya ingin melindungi Anda dari keputusan “ekstrim” Anda, dan hanya ingin Anda kembali ke “lantai” Anda? – Stella bertanya dengan hati-hati, agar tidak menyinggung perasaan.
– Tidak, tentu saja... Tapi terima kasih atas kata-kata baiknya. Ibu sering memanggilku dengan nama yang tidak terlalu bagus, bahkan di Bumi... Tapi aku tahu ini bukan karena marah. Dia sungguh tidak bahagia karena saya dilahirkan, dan sering mengatakan kepada saya bahwa saya telah menghancurkan hidupnya. Tapi itu bukan salahku, kan? Aku selalu berusaha membuatnya bahagia, tapi entah kenapa aku tidak terlalu berhasil... Dan aku tidak pernah punya ayah. – Maria sangat sedih, dan suaranya bergetar, seolah dia hendak menangis.
Stella dan saya saling berpandangan, dan saya hampir yakin bahwa pemikiran serupa mengunjunginya... Saya sudah benar-benar tidak menyukai “ibu” manja dan egois ini, yang bukannya mengkhawatirkan anaknya sendiri, malah tidak mempedulikannya. pengorbanan heroiknya sama sekali aku mengerti dan, selain itu, aku juga menyakitinya dengan menyakitkan.
“Tapi Dean bilang aku baik-baik saja, dan aku membuatnya sangat bahagia!” – gadis kecil itu mengoceh lebih riang. “Dan dia ingin berteman denganku.” Dan orang lain yang saya temui di sini sangat dingin dan acuh tak acuh, dan terkadang bahkan jahat... Terutama mereka yang memiliki monster yang melekat...
“Monster—apa?..” kami tidak mengerti.
- Ya, mereka memiliki monster mengerikan yang duduk di punggung mereka dan memberi tahu mereka apa yang harus mereka lakukan. Dan jika mereka tidak mendengarkan, monster-monster itu akan mengejek mereka dengan kejam... Saya mencoba berbicara dengan mereka, tetapi monster-monster ini tidak mengizinkan saya.
Kami sama sekali tidak memahami apa pun dari “penjelasan” ini, namun fakta bahwa beberapa makhluk astral sedang menyiksa manusia tidak dapat terus kami “eksplorasi”, jadi kami segera bertanya kepadanya bagaimana kami dapat melihat fenomena menakjubkan ini.
- Oh, ya dimana-mana! Terutama di “gunung hitam”. Itu dia, di balik pepohonan. Apakah kamu ingin kami ikut bersamamu juga?
- Tentu saja, kami akan sangat senang! – Stella yang gembira segera menjawab.
Sejujurnya, saya juga tidak terlalu tersenyum melihat kemungkinan berkencan dengan orang lain, yang “menyeramkan dan tidak dapat dipahami”, terutama sendirian. Tapi ketertarikan mengalahkan rasa takut, dan kami, tentu saja, akan pergi, meskipun faktanya kami sedikit takut... Tapi ketika pembela seperti Dean berjalan bersama kami, itu langsung menjadi lebih menyenangkan...
Dan kemudian, setelah beberapa saat, Neraka sesungguhnya terbentang di depan mata kita, terbuka lebar karena takjub... Penglihatan itu mengingatkan pada lukisan Bosch (atau Bosc, tergantung bahasa apa yang Anda terjemahkan), seorang seniman “gila” yang pernah menggemparkan seluruh dunia dengan dunia seninya... Dia, tentu saja, tidak gila, tetapi hanyalah seorang peramal yang karena alasan tertentu hanya bisa melihat Astral yang lebih rendah. Tapi kita harus memberikan haknya - dia menggambarkannya dengan luar biasa... Saya melihat lukisannya di sebuah buku yang ada di perpustakaan ayah saya, dan saya masih ingat perasaan menakutkan yang dibawa sebagian besar lukisannya...
“Mengerikan sekali!..” bisik Stella yang terkejut.
Orang mungkin bisa mengatakan bahwa kita telah melihat banyak hal di sini, di “lantai”... Tetapi bahkan kami tidak dapat membayangkan ini dalam mimpi buruk kami yang paling mengerikan!.. Di balik “batu hitam” ada sesuatu yang benar-benar terbuka yang tidak terpikirkan. .. Itu tampak seperti "kuali" datar besar yang diukir di batu, di bagian bawahnya ada "lava" merah yang menggelegak... Udara panas "meledak" di mana-mana dengan gelembung kemerahan yang berkedip-kedip, dari mana uap panas keluar. dan jatuh dalam jumlah besar ke tanah, atau ke orang-orang yang terjatuh di bawahnya pada saat itu... Jeritan memilukan terdengar, tapi langsung terdiam, saat makhluk paling menjijikkan duduk di punggung orang yang sama, yang dengan a puas terlihat “mengendalikan” korbannya, tidak memperhatikan penderitaan mereka sedikitpun... Di bawah kaki telanjang manusia, batu panas berubah menjadi merah, tanah merah tua, meledak karena panas, menggelembung dan “meleleh”… Percikan panas uap keluar melalui celah-celah besar dan, membakar kaki manusia yang menangis tersedu-sedu, terbawa ke ketinggian, menguap dengan asap tipis ... Dan di tengah-tengah "lubang" itu mengalir sungai api lebar berwarna merah terang, di mana, dari waktu ke waktu, monster menjijikkan yang sama secara tak terduga melemparkan satu atau beberapa entitas tersiksa, yang, jatuh, hanya menyebabkan percikan singkat bunga api oranye, dan kemudian, sesaat berubah menjadi awan putih halus, ia menghilang. .. selamanya... Itu benar-benar Neraka, dan Stella serta saya ingin "menghilang" dari sana secepat mungkin...
"Apa yang akan kita lakukan?" Stella berbisik dengan ngeri. - Apakah kamu ingin pergi ke sana? Adakah yang bisa kita lakukan untuk membantu mereka? Lihat berapa jumlahnya!..
Kami berdiri di atas tebing berwarna hitam kecokelatan yang dikeringkan dengan panas, menyaksikan “tumpukan” rasa sakit, keputusasaan, dan kekerasan yang dipenuhi kengerian yang membentang di bawah, dan kami merasa sangat tidak berdaya secara kekanak-kanakan sehingga bahkan Stella saya yang suka berperang kali ini dengan pasti melipat “sayapnya” yang acak-acakan. .” “dan sudah siap pada panggilan pertama untuk segera menuju ke “lantai” atas miliknya, yang sangat disayangi dan dapat diandalkan...

Bukti rumusnya .

=

= =

karena sinus dan kosinus tidak bergantung pada penjumlahan sudut yang merupakan kelipatan

Dan persamaan ini sudah jelas, karena ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks.

Jadi, logaritma ada untuk semua titik pada bidang kecuali nol. Untuk bilangan real positif, argumennya adalah 0, sehingga himpunan titik tak terhingga ini mempunyai bentuk , yaitu salah satu nilai yaitu di , akan jatuh pada sumbu real. Jika kita menghitung logaritma suatu bilangan negatif, kita memperoleh , yaitu himpunan titik-titik digeser ke atas dan tidak ada satupun yang jatuh pada sumbu real.

Jelas dari rumusnya bahwa hanya jika argumen bilangan asli adalah nol, salah satu nilai logaritma jatuh pada sumbu real. Dan ini sesuai dengan semi-sumbu kanan, dan itulah sebabnya dalam pelajaran matematika sekolah hanya logaritma bilangan positif yang dipertimbangkan. Logaritma bilangan negatif dan bilangan imajiner juga ada, namun tidak mempunyai nilai tunggal pada sumbu real.

Gambar berikut menunjukkan letak semua nilai logaritma bilangan positif pada bidang. Salah satunya berada pada sumbu nyata, sisanya berada di atas dan di bawah pada , , dan seterusnya. Untuk bilangan negatif atau kompleks, argumennya bukan nol, sehingga barisan titik ini digeser secara vertikal sehingga tidak ada titik pada sumbu real.

Contoh. Menghitung.

Larutan. Mari kita definisikan modulus bilangan (sama dengan 2) dan argumen 180 0, yaitu. Maka = .

Lampiran 1. Pertanyaan untuk bukti (untuk tiket).

Kuliah No.1

1. Buktikan rumus integrasi per bagian.

Kuliah No.2

1. Buktikan bahwa penggantian , di mana r = KPK (r 1 ,...,rk) mereduksi integral menjadi integral pecahan rasional.

2. Buktikan bahwa penggantian tersebut mereduksi integral bentuk ke integral pecahan rasional.

3. Turunkan rumus untuk mengubah sinus dan cosinus

Untuk substitusi trigonometri universal.

4. Buktikan bahwa jika fungsinya ganjil terhadap kosinus, penggantian tersebut mereduksi integral menjadi pecahan rasional.

5. Buktikan dalam kasus kapan

substitusi: mereduksi integral menjadi pecahan rasional.

6. Buktikan bahwa untuk suatu integral bentuk

7. Buktikan rumusnya

8. Buktikan bahwa untuk suatu integral bentuk penggantian tersebut menghasilkan integral ke pecahan rasional.

9. Buktikan bahwa untuk suatu integral bentuk penggantian tersebut mereduksi integral menjadi pecahan rasional.

Kuliah No.3

1. Buktikan fungsinya merupakan antiturunan dari fungsi tersebut.

2. Buktikan rumus Newton-Leibniz: .

3. Buktikan rumus panjang kurva yang diberikan secara eksplisit:

.

4. Buktikan rumus panjang kurva yang diberikan dalam koordinat kutub

Kuliah nomor 4

Buktikan teorema: konvergen, konvergen.

Kuliah nomor 5

1. Turunkan (buktikan) rumus luas permukaan yang diberikan secara eksplisit .

2. Penurunan rumus transisi ke koordinat kutub.

3. Penurunan determinan koordinat kutub Jacobian.

4. Penurunan rumus transisi ke koordinat silinder.

5. Penurunan determinan Jacobian koordinat silinder.

6. Penurunan rumus transisi ke koordinat bola:

.

Kuliah nomor 6

1. Buktikan bahwa substitusi mereduksi persamaan homogen menjadi persamaan yang variabel-variabelnya dapat dipisahkan.

2. Turunkan bentuk umum penyelesaian persamaan linier homogen.

3. Turunkan bentuk umum penyelesaian persamaan linier tak homogen dengan metode Lagrange.

4. Buktikan bahwa substitusi tersebut mereduksi persamaan Bernoulli menjadi persamaan linier.

Kuliah nomor 7.

1. Buktikan bahwa penggantian tersebut mengurangi orde persamaan sebesar k.

2. Buktikan bahwa penggantian tersebut mengurangi orde persamaan tersebut sebanyak satu .

3. Buktikan teorema: Fungsi tersebut merupakan penyelesaian persamaan diferensial linier homogen dan mempunyai akar karakteristik.

4. Buktikan teorema bahwa kombinasi linier dari solusi mempunyai perbedaan linier yang homogen. persamaan tersebut juga merupakan solusinya.

5. Buktikan teorema pembebanan penyelesaian: Jika merupakan penyelesaian persamaan diferensial linier tak homogen yang bersisi kanan, dan merupakan penyelesaian persamaan diferensial yang sama, tetapi bersisi kanan, maka jumlahnya adalah penyelesaian persamaan dengan ruas kanan.

Kuliah nomor 8.

1. Buktikan teorema bahwa sistem fungsi bergantung linier.

2. Buktikan teorema bahwa terdapat n solusi bebas linier terhadap persamaan diferensial homogen linier berorde n.

3. Buktikan jika 0 adalah akar multiplisitas , maka sistem solusi yang bersesuaian dengan akar tersebut berbentuk .

Kuliah nomor 9.

1. Buktikan dengan menggunakan bentuk eksponensial bahwa ketika mengalikan bilangan kompleks, modulnya dikalikan dan argumennya ditambahkan.

2. Buktikan rumus Moivre untuk derajat n

3. Buktikan rumus akar suatu bilangan kompleks orde n

4. Buktikan itu Dan

adalah generalisasi sinus dan kosinus, mis. untuk bilangan real, rumus ini akan menghasilkan sinus (kosinus).

5. Buktikan rumus logaritma bilangan kompleks:

Lampiran 2.

Pertanyaan kecil dan lisan tentang pengetahuan teori (untuk kolokium).

Kuliah No.1

1. Apa yang dimaksud dengan antiturunan dan integral tak tentu, apa perbedaannya?

2. Jelaskan mengapa ia juga merupakan antiturunan.

3. Tuliskan rumus integrasi per bagian.

4. Penggantian apa yang diperlukan dalam bentuk integral dan bagaimana cara menghilangkan akar-akarnya?

5. Tuliskan jenis penguraian integran suatu pecahan rasional menjadi pecahan paling sederhana jika semua akarnya berbeda dan real.

6. Tuliskan jenis penguraian integran suatu pecahan rasional menjadi pecahan paling sederhana jika semua akarnya real dan terdapat satu akar kelipatan dari multiplisitas k.

Kuliah No.2.

1. Tulislah penguraian pecahan rasional menjadi pecahan paling sederhana jika penyebutnya memiliki faktor 2 derajat dengan diskriminan negatif.

2. Substitusi apa yang mereduksi integral menjadi pecahan rasional?

3. Apa yang dimaksud dengan substitusi trigonometri universal?

4. Penggantian apa yang dilakukan jika fungsi di bawah tanda integral ganjil terhadap sinus (kosinus)?

5. Penggantian apa yang dilakukan jika integran berisi ekspresi , , atau .

Kuliah No.3.

1. Pengertian integral tertentu.

2. Sebutkan beberapa sifat dasar integral tertentu.

3. Tuliskan rumus Newton-Leibniz.

4. Tuliskan rumus volume suatu benda yang berotasi.

5. Tuliskan rumus panjang kurva yang diberikan secara eksplisit.

6. Tuliskan rumus panjang kurva yang ditentukan secara parametrik.

Kuliah nomor 4.

1. Pengertian integral tak wajar (menggunakan limit).

2. Apa perbedaan integral tak wajar jenis ke-1 dan ke-2.

3. Berikan contoh sederhana integral konvergen jenis ke-1 dan ke-2.

4. Pada nilai berapa integral (T1) konvergen?

5. Bagaimana hubungan konvergensi dengan limit berhingga antiturunan (T2)

6. Apa kriteria konvergensi yang diperlukan, rumusannya.

7. Uji perbandingan dalam bentuk akhir

8. Tanda perbandingan dalam bentuk ekstrim.

9. Pengertian integral berganda.

Kuliah nomor 5.

1. Mengubah urutan integrasi, tunjukkan dengan contoh sederhana.

2. Tuliskan rumus luas permukaan.

3. Apa yang dimaksud dengan koordinat kutub, tuliskan rumus transisinya.

4. Berapakah Jacobian dari sistem koordinat kutub?

5. Apa yang dimaksud dengan koordinat silinder dan bola, apa perbedaannya.

6. Berapakah koordinat Jacobian dari silinder (bola)?

Kuliah nomor 6.

1. Apa yang dimaksud dengan persamaan diferensial orde 1 (pandangan umum).

2. Apa yang dimaksud dengan persamaan diferensial orde 1 yang diselesaikan terhadap turunannya. Berikan beberapa contoh.

3. Apa yang dimaksud dengan persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan.

4. Apa yang dimaksud dengan penyelesaian umum dan khusus, kondisi Cauchy.

5. Apa yang dimaksud dengan persamaan homogen, bagaimana cara umum penyelesaiannya.

6. Apa yang dimaksud dengan persamaan linier, apa algoritma penyelesaiannya, apa yang dimaksud dengan metode Lagrange.

7. Apa yang dimaksud dengan persamaan Bernoulli, algoritma penyelesaiannya.

Kuliah nomor 7.

1. Penggantian apa yang diperlukan untuk persamaan bentuk .

2. Penggantian apa yang diperlukan untuk suatu persamaan bentuk .

3. Tunjukkan dengan contoh bagaimana hal itu dapat dinyatakan dalam bentuk .

4. Apa yang dimaksud dengan persamaan diferensial linier orde n.

5. Apa yang dimaksud dengan polinomial karakteristik, persamaan karakteristik.

6. Merumuskan teorema tentang berapa r fungsi tersebut merupakan solusi persamaan diferensial homogen linier.

7. Merumuskan teorema bahwa kombinasi linier dari solusi persamaan linier homogen juga merupakan solusinya.

8. Merumuskan teorema tentang pembebanan keputusan dan akibat-akibatnya.

9. Apa yang dimaksud dengan sistem fungsi bergantung linier dan sistem fungsi bebas linier, berikan beberapa contohnya.

10. Berapakah determinan Wronski dari sistem yang mempunyai n fungsi, berikan contoh determinan Wronski untuk sistem LZS dan LNS.

Kuliah nomor 8.

1. Sifat apa yang dimiliki determinan Wronski jika fungsi sistem bergantung linier.

2. Berapa banyak solusi bebas linier yang ada pada persamaan diferensial homogen linier berorde n.

3. Penentuan FSR (sistem dasar penyelesaian) persamaan orde homogen linier n.

4. Berapa banyak fungsi yang dimiliki FSR?

5. Tuliskan bentuk sistem persamaan pencarian metode Lagrange untuk n=2.

6. Tuliskan jenis penyelesaian tertentu pada kasus kapan

7. Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan diferensial linier, tuliskan beberapa contohnya.

8. Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan diferensial otonom.

9. Arti fisis suatu sistem persamaan diferensial.

10. Tuliskan apa saja fungsi FSR dari sistem persamaan tersebut, jika nilai eigen dan vektor eigen dari matriks utama sistem tersebut diketahui.

Kuliah nomor 9.

1. Apa yang dimaksud dengan satuan imajiner.

2. Apa yang dimaksud dengan bilangan konjugasi dan apa yang terjadi jika dikalikan dengan bilangan aslinya.

3. Sebutkan bentuk trigonometri eksponensial suatu bilangan kompleks.

4. Tuliskan rumus Euler.

5. Apa yang dimaksud dengan modulus, argumen bilangan kompleks.

6. apa yang terjadi pada modul dan argumen pada saat perkalian (pembagian).

7. Tuliskan rumus Moivre untuk derajat n.

8. Tuliskan rumus akar orde n.

9. Tuliskan rumus umum sinus dan cosinus untuk argumen kompleks.

10. Tuliskan rumus logaritma bilangan kompleks.

Lampiran 3. Soal-soal perkuliahan.

Kuliah No.1

Contoh. . Contoh. .

Contoh. . Contoh. .

Contoh. Contoh. .

Contoh. . Contoh. .

Kuliah No.2

Contoh. . Contoh. .

Contoh. . Contoh. .

Contoh. . Contoh.. , dimana, nomor .

Contoh. Bagilah secara eksponensial.

Contoh. Temukan menggunakan rumus Moivre.

Contoh. Temukan semua nilai root.

Fungsi eksponensial suatu variabel riil (dengan basis positif) ditentukan dalam beberapa langkah. Pertama, untuk nilai alami - sebagai produk dari faktor yang sama. Definisi tersebut kemudian diperluas ke bilangan bulat negatif dan nilai bukan nol menurut aturan. Selanjutnya, kita pertimbangkan eksponen pecahan yang nilai fungsi eksponensialnya ditentukan menggunakan akar: . Untuk nilai-nilai irasional, definisi tersebut sudah dikaitkan dengan konsep dasar analisis matematika - dengan perjalanan ke batas, karena alasan kontinuitas. Semua pertimbangan ini sama sekali tidak berlaku untuk upaya memperluas fungsi eksponensial ke nilai kompleks dari indikator, dan apa itu, misalnya, sama sekali tidak jelas.

Untuk pertama kalinya, pangkat dengan eksponen kompleks dengan basis natural diperkenalkan oleh Euler berdasarkan analisis sejumlah konstruksi kalkulus integral. Terkadang ekspresi aljabar yang sangat mirip, jika diintegrasikan, memberikan jawaban yang sangat berbeda:

Pada saat yang sama, di sini integral kedua secara formal diperoleh dari integral pertama ketika diganti dengan

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa dengan definisi yang tepat dari fungsi eksponensial dengan eksponen kompleks, fungsi trigonometri invers berhubungan dengan logaritma dan dengan demikian fungsi eksponensial berhubungan dengan fungsi trigonometri.

Euler mempunyai keberanian dan imajinasi untuk memberikan definisi yang masuk akal untuk fungsi eksponensial dengan basis, yaitu,

Ini adalah sebuah definisi, dan oleh karena itu rumusan ini tidak dapat dibuktikan, kita hanya dapat mencari argumen yang mendukung kewajaran dan kemanfaatan definisi tersebut. Analisis matematis memberikan banyak argumen semacam ini. Kami akan membatasi diri pada satu saja.

Diketahui bahwa nyata ada hubungan yang membatasi: . Di sisi kanan terdapat polinomial yang juga masuk akal untuk nilai kompleks . Limit suatu barisan bilangan kompleks ditentukan secara alami. Suatu barisan dianggap konvergen jika barisan bagian real dan imajinernya bertemu dan diterima

Mari kita temukan. Untuk melakukan ini, mari kita beralih ke bentuk trigonometri dan untuk argumennya kita akan memilih nilai dari interval. Dengan pilihan ini jelas bahwa untuk . Lebih jauh,

Untuk mencapai batas tersebut, Anda perlu memverifikasi keberadaan batas dan dan menemukan batas tersebut. Hal ini jelas bahwa

Jadi, dalam ekspresi

bagian nyata cenderung , bagian imajiner cenderung demikian

Argumen sederhana ini memberikan salah satu argumen yang mendukung definisi fungsi eksponensial Euler.

Sekarang mari kita tentukan bahwa ketika mengalikan nilai fungsi eksponensial, eksponennya bertambah. Benar-benar:

2. Rumus Euler.

Mari kita masukkan definisi fungsi eksponensial. Kita mendapatkan:

Mengganti b dengan -b, kita dapatkan

Dengan menjumlahkan dan mengurangkan persamaan ini suku demi suku, kita menemukan rumusnya

disebut rumus Euler. Mereka membangun hubungan antara fungsi trigonometri dan fungsi eksponensial dengan eksponen imajiner.

3. Logaritma natural bilangan kompleks.

Suatu bilangan kompleks yang diberikan dalam bentuk trigonometri dapat ditulis dalam bentuk tersebut. Bentuk penulisan bilangan kompleks ini disebut eksponensial. Ia mempertahankan semua sifat baik bentuk trigonometri, tetapi bahkan lebih ringkas. Oleh karena itu, wajar untuk berasumsi bahwa bagian real dari logaritma suatu bilangan kompleks adalah logaritma modulusnya, dan bagian imajinernya adalah argumennya. Hal ini sampai batas tertentu menjelaskan sifat “logaritmik” dari argumen - argumen hasil kali sama dengan jumlah argumen faktor-faktornya.