saluran terus menerus

Saluran, ketika sinyal kontinu diterima pada input yang, pada outputnya, sinyal juga akan kontinu, disebut kontinu. Mereka selalu menjadi bagian dari saluran diskrit. Saluran kontinu adalah, misalnya, saluran komunikasi telepon standar (saluran frekuensi nada - FC) dengan bandwidth 0,3 ... 3,4 kHz, saluran broadband standar dengan bandwidth 60 ... 108 kHz, sirkuit fisik, dll. Saluran model dapat direpresentasikan dalam bentuk segi empat linier (Gambar 3.4)

Gambar 3.4 - Model saluran kontinu linier

Saluran terpisah

Untuk mencocokkan encoder dan decoder saluran dengan saluran komunikasi berkelanjutan, perangkat konversi sinyal (SCD) digunakan, yang dinyalakan selama transmisi dan penerimaan. Dalam kasus tertentu, ini adalah modulator dan demodulator. Bersama dengan saluran komunikasi bentuk UPS saluran diskrit (DC), yaitu saluran yang dirancang untuk mengirimkan hanya sinyal diskrit.

Saluran diskrit dicirikan oleh kecepatan transfer informasi, diukur dalam bit per detik (bps). Karakteristik lain dari saluran diskrit adalah tingkat modulasi, diukur dalam baud. Itu ditentukan oleh jumlah elemen yang ditransfer per detik.

Saluran seimbang biner . Saluran seimbang biner(saluran simetris biner - BSC) adalah kasus khusus dari saluran tanpa memori diskrit yang abjad input dan outputnya terdiri dari elemen biner (0 dan I). Probabilitas bersyarat adalah simetris.

Persamaan (3.6) menyatakan apa yang disebut probabilitas transisi.

Model Markov dari DC. Status saluran dapat dibedakan dengan probabilitas kesalahan di masing-masing status. Perubahan dalam probabilitas kesalahan dapat, pada gilirannya, dikaitkan dengan penyebab fisik - munculnya gangguan, kebisingan impuls, memudar, dll. Urutan keadaan adalah rantai Markov sederhana. Rantai Markov sederhana adalah urutan acak keadaan ketika probabilitas keadaan tertentu dalam saya- titik waktu itu sepenuhnya ditentukan oleh negara c i-1 di ( saya- 1) saat ke. Rangkaian ekivalen dari saluran tersebut ditunjukkan pada Gambar 3.5.

Gambar 3.5 - Rangkaian ekivalen saluran simetris diskrit ketika dijelaskan oleh model berdasarkan rantai Markov

model Hilbert. Model paling sederhana berdasarkan penggunaan peralatan matematika dari rantai Markov adalah model sumber kesalahan yang diusulkan oleh Hilbert. Menurut model ini, saluran dapat berada dalam dua status - baik (status 1) dan buruk (status 2). Keadaan pertama ditandai dengan tidak adanya kesalahan. Dalam keadaan kedua, kesalahan muncul dengan probabilitas p osh (2) .

Gangguan dalam saluran komunikasi

Dalam saluran nyata, sinyal terdistorsi selama transmisi, dan pesan direproduksi dengan beberapa kesalahan. Penyebab kesalahan tersebut adalah distorsi yang ditimbulkan oleh saluran itu sendiri dan kebisingan yang mempengaruhi sinyal. Distorsi harus dipisahkan dengan jelas dari gangguan yang bersifat acak. Interferensi tidak diketahui sebelumnya dan karena itu tidak dapat sepenuhnya dihilangkan.

Di bawah halangan mengacu pada efek apa pun yang ditumpangkan pada sinyal yang berguna dan membuatnya sulit untuk menerimanya. Interferensi beragam asalnya: badai petir, interferensi dari kendaraan listrik, motor listrik, sistem pengapian mesin, dll.

Di hampir semua rentang frekuensi, ada suara internal peralatan karena pergerakan pembawa muatan yang kacau di perangkat penguat, yang disebut kebisingan termal.

Klasifikasi gangguan. Interferensi harmonik- adalah sinyal termodulasi pita sempit. Alasan terjadinya gangguan tersebut adalah pengurangan redaman crosstalk antara sirkuit kabel, pengaruh stasiun radio. Gangguan impuls adalah interferensi yang terkonsentrasi dalam waktu. Mereka adalah urutan acak dari pulsa yang memiliki interval waktu acak, dan transien yang disebabkan oleh mereka tidak tumpang tindih dalam waktu.

Pernyataan teorema utama dan sifat-sifat barisan numerik dengan batas diberikan. Berisi tentang definisi barisan dan limitnya. Operasi aritmatika dengan barisan, sifat-sifat yang berhubungan dengan pertidaksamaan, kriteria konvergensi, sifat-sifat barisan yang sangat kecil dan sangat besar dipertimbangkan.

Isi

Sifat-sifat batas hingga barisan

Sifat dasar

Titik a adalah limit suatu barisan jika dan hanya jika di luar sembarang lingkungan dari titik ini adalah jumlah elemen terbatas barisan atau himpunan kosong.

Jika bilangan a bukan limit barisan tersebut , maka ada tetangga seperti itu dari titik a , di luarnya ada jumlah elemen urutan yang tak terbatas.

Teorema keunikan limit suatu barisan bilangan. Jika suatu barisan memiliki limit, maka barisan itu unik.

Jika suatu barisan memiliki limit berhingga, maka barisan tersebut terbatas.

Jika setiap elemen barisan sama dengan bilangan yang sama C : , maka barisan ini memiliki limit yang sama dengan bilangan C .

Jika urutannya tambahkan, jatuhkan, atau ubah m elemen pertama, maka ini tidak akan mempengaruhi konvergensinya.

Bukti sifat dasar diberikan pada halaman
Sifat dasar batas hingga barisan >>>.

Aritmatika dengan limit

Membiarkan ada batas terbatas dan urutan dan . Dan biarkan C menjadi konstanta, yaitu, angka yang diberikan. Kemudian
;
;
;
, jika .
Dalam kasus hasil bagi, diasumsikan bahwa untuk semua n .

Jika kemudian .

Bukti properti aritmatika diberikan pada halaman
Sifat aritmatika batas hingga barisan >>>.

Properti yang terkait dengan ketidaksetaraan

Jika elemen-elemen barisan tersebut, dimulai dari suatu bilangan, memenuhi pertidaksamaan , maka limit a dari barisan ini juga memenuhi pertidaksamaan .

Jika elemen-elemen barisan, mulai dari suatu bilangan, termasuk dalam interval tertutup (segmen) , maka limit a juga termasuk dalam interval ini: .

Jika dan dan elemen-elemen barisan, dimulai dari suatu bilangan, memenuhi pertidaksamaan , maka .

Jika dan, dimulai dari suatu bilangan, , maka .
Khususnya, jika, dimulai dari suatu bilangan, , maka
jika kemudian ;
jika kemudian .

Jika dan , maka .

Biarkan dan . Jika sebuah < b , maka ada bilangan asli N sedemikian rupa sehingga untuk semua n > Tidak ketidaksetaraan terpenuhi.

Bukti sifat-sifat yang berhubungan dengan pertidaksamaan diberikan pada halaman
Sifat-sifat batas barisan yang berhubungan dengan pertidaksamaan >>>.

Barisan tak hingga dan barisan tak terhingga

Barisan tak terhingga

Barisan infinitesimal adalah barisan yang limitnya nol:
.

Jumlah dan Selisih jumlah berhingga dari barisan yang sangat kecil adalah barisan yang sangat kecil.

Produk dari barisan terbatas ke infinitesimal adalah barisan infinitesimal.

Produk dari bilangan terbatas barisan infinitesimal adalah barisan infinitesimal.

Agar barisan memiliki limit a , maka diperlukan dan cukup bahwa , Dimana adalah barisan yang sangat kecil.

Bukti sifat-sifat barisan sangat kecil diberikan pada halaman
Barisan tak terhingga - definisi dan properti >>>.

Urutan besar tak terhingga

Barisan besar tak hingga adalah barisan yang memiliki batas tak hingga. Artinya, jika untuk sembarang bilangan positif ada bilangan asli N , tergantung pada , sehingga untuk semua bilangan asli pertidaksamaan
.
Dalam hal ini, tulis
.
Atau di .
Mereka mengatakan itu cenderung tak terhingga.

Jika , dimulai dari suatu bilangan N , maka
.
Jika kemudian
.

Jika barisan itu besar tak terhingga, maka mulai dari suatu bilangan N , barisan didefinisikan yang kecil tak terhingga. Jika adalah barisan sangat kecil dengan elemen bukan nol, maka barisan tersebut besar tak hingga.

Jika barisan tersebut besar tak terhingga dan barisan tersebut berbatas, maka
.

Jika nilai absolut dari elemen barisan dibatasi dari bawah oleh bilangan positif (), dan sangat kecil dengan elemen bukan nol, maka
.

Secara rinci definisi barisan besar tak berhingga beserta contohnya diberikan pada halaman
Definisi barisan besar tak berhingga >>>.
Bukti untuk sifat-sifat barisan yang besar tak terhingga diberikan pada halaman
Sifat-sifat barisan yang sangat besar >>>.

Kriteria Konvergensi Urutan

Urutan monoton

Barisan yang meningkat secara ketat adalah barisan untuk semua elemen yang memiliki pertidaksamaan berikut:
.

Pertidaksamaan serupa mendefinisikan barisan monoton lainnya.

Urutan menurun secara ketat:
.
Urutan tidak menurun:
.
Urutan tidak meningkat:
.

Oleh karena itu, urutan yang meningkat secara ketat juga tidak menurun. Urutan yang sangat menurun juga tidak meningkat.

Barisan monoton adalah barisan yang tidak bertambah atau bertambah.

Barisan monotonik dibatasi paling sedikit satu sisinya oleh . Sebuah urutan non-menurun dibatasi dari bawah: . Sebuah urutan non-meningkat dibatasi dari atas: .

teorema Weierstrass. Agar barisan tak-turun (non-naik) memiliki limit berhingga, perlu dan cukup dibatasi dari atas (dari bawah). Di sini M adalah beberapa nomor.

Karena setiap barisan tak-turun (non-naik) dibatasi dari bawah (dari atas), teorema Weierstrass dapat ditulis ulang sebagai berikut:

Agar barisan monoton memiliki limit berhingga, perlu dan cukup bahwa barisan tersebut terbatas: .

Urutan tak terbatas monoton memiliki limit tak hingga, sama untuk barisan tak turun dan tak naik.

Bukti teorema Weierstrass diberikan pada halaman
Teorema Weierstrass tentang limit barisan monoton >>>.

Kriteria Cauchy untuk konvergensi barisan

Kondisi Cauchy
Konsistensi memuaskan Kondisi Cauchy, jika untuk sembarang ada bilangan asli sehingga untuk semua bilangan asli n dan m yang memenuhi syarat , pertidaksamaan
.

Barisan fundamental adalah barisan yang memenuhi kondisi Cauchy.

Kriteria Cauchy untuk konvergensi barisan. Agar barisan memiliki limit berhingga, perlu dan cukup agar memenuhi kondisi Cauchy.

Bukti Kriteria Konvergensi Cauchy diberikan pada halaman
Kriteria Cauchy untuk konvergensi barisan >>>.

Lanjutan

Teorema Bolzano-Weierstrass. Dari sembarang barisan berbatas, suatu barisan yang konvergen dapat dibedakan. Dan dari urutan tak terbatas - suburutan besar tak terhingga yang konvergen ke atau ke .

Bukti teorema Bolzano-Weierstrass diberikan pada halaman
Teorema Bolzano–Weierstrass >>>.

Definisi, teorema, dan sifat-sifat turunan dan batas parsial dibahas di halaman
Barisan dan batas parsial barisan >>>.

Referensi:
cm. Nikolai. Kursus analisis matematika. Jilid 1. Moskow, 1983.
L.D. Kudryavtsev. Kursus analisis matematika. Jilid 1. Moskow, 2003.
V.A. Zorich. Analisis matematika. Bagian 1. Moskow, 1997.
V.A. Ilyin, E.G. Poznyak. Dasar-dasar analisis matematika. Bagian 1. Moskow, 2005.

Lihat juga:

Pengertian limit barisan dan fungsi, sifat-sifat limit, limit luar biasa pertama dan kedua, contohnya.

bilangan konstan sebuah ditelepon membatasi urutan(x n) jika untuk sembarang bilangan positif kecil > 0 terdapat bilangan N sedemikian rupa sehingga semua nilai x n, dimana n>N memenuhi pertidaksamaan

Tulis sebagai berikut: atau x n → a.

Ketimpangan (6.1) setara dengan pertidaksamaan ganda

sebuah -< x n < a + ε которое означает, что точки x n, mulai dari beberapa nomor n>N, terletak di dalam interval (a-ε , a+ε), yaitu. jatuh ke dalam -lingkungan kecil mana pun dari titik sebuah.

Barisan yang memiliki limit disebut konvergen, sebaliknya - berbeda.

Konsep limit suatu fungsi merupakan generalisasi dari konsep limit suatu barisan, karena limit suatu barisan dapat dianggap sebagai limit dari fungsi x n = f(n) dari suatu argumen bilangan bulat n.

Misalkan fungsi f(x) diberikan dan sebuah - titik batas domain definisi fungsi ini D(f), mis. titik seperti itu, lingkungan mana pun yang berisi titik-titik himpunan D(f) yang berbeda dari sebuah. Dot sebuah mungkin atau mungkin tidak termasuk dalam himpunan D(f).

Definisi 1. Konstanta bilangan A disebut membatasi fungsi f(x) pada x→ a if untuk sembarang urutan (x n ) dari nilai argumen yang cenderung sebuah, barisan yang bersesuaian (f(x n)) memiliki limit A yang sama.

Definisi ini disebut mendefinisikan limit suatu fungsi menurut Heine, atau " dalam bahasa urutan”.

Definisi 2. Konstanta bilangan A disebut membatasi fungsi f(x) pada x→a jika, diberikan sembarang, bilangan positif kecil sembarang , seseorang dapat menemukan >0 (bergantung pada ) sedemikian sehingga untuk semua x, berbaring di -lingkungan nomor sebuah, yaitu untuk x memenuhi ketidaksetaraan
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Definisi ini disebut mendefinisikan limit suatu fungsi menurut Cauchy, atau “dalam bahasa -"

Definisi 1 dan 2 setara. Jika fungsi f(x) sebagai x → a memiliki membatasi sama dengan A, ini ditulis sebagai

Jika barisan (f(x n)) bertambah (atau berkurang) tanpa batas untuk metode aproksimasi apa pun x sampai batasmu sebuah, maka kita akan mengatakan bahwa fungsi f(x) memiliki batas tak terbatas, dan tuliskan sebagai:

Variabel (yaitu barisan atau fungsi) yang limitnya nol disebut sangat kecil.

Variabel yang limitnya sama dengan tak hingga disebut besar tak terhingga.

Untuk mencari limit dalam praktek, gunakan teorema berikut.

Teorema 1 . Jika setiap batas ada

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Komentar. Ekspresi bentuk 0/0, /∞, -∞ 0*∞ adalah tak tentu, misalnya, rasio dua kuantitas yang sangat kecil atau besar tak terhingga, dan menemukan limit semacam ini disebut "pengungkapan ketidakpastian".

Teorema 2.

itu. adalah mungkin untuk melewati batas di dasar derajat pada eksponen konstan, khususnya,

Teorema 3.

(6.11)

di mana e» 2.7 adalah basis dari logaritma natural. Rumus (6.10) dan (6.11) disebut batas luar biasa pertama dan batas luar biasa kedua.

Akibat wajar dari rumus (6.11) juga digunakan dalam praktik:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

khususnya batas

Jika x → a dan pada saat yang sama x > a, maka tulis x →a + 0. Jika, khususnya, a = 0, maka tulislah +0 sebagai ganti simbol 0+0. Demikian pula, jika x→a dan pada saat yang sama x dan diberi nama yang sesuai. batas kanan dan batas kiri fungsi f(x) pada intinya sebuah. Agar limit fungsi f(x) ada sebagai x→ a, perlu dan cukup bahwa . Fungsi f(x) disebut kontinu pada intinya x 0 jika batas

(6.15)

Kondisi (6.15) dapat ditulis ulang sebagai:

yaitu, perjalanan ke limit di bawah tanda suatu fungsi dimungkinkan jika kontinu pada suatu titik tertentu.

Jika persamaan (6.15) dilanggar, maka kita katakan bahwa pada x = xo fungsi f(x) Memiliki celah. Pertimbangkan fungsi y = 1/x. Domain dari fungsi ini adalah himpunan R, kecuali untuk x = 0. Titik x = 0 adalah titik limit dari himpunan D(f), karena di salah satu tetangganya, yaitu, setiap interval terbuka yang berisi titik 0 berisi titik-titik dari D(f), tetapi interval itu sendiri tidak termasuk dalam himpunan ini. Nilai f(x o)= f(0) tidak terdefinisi, sehingga fungsi memiliki diskontinuitas di titik x o = 0.

Fungsi f(x) disebut kontinu di sebelah kanan pada suatu titik x o jika batas

dan terus menerus di sebelah kiri pada suatu titik x o jika batas

Kontinuitas suatu fungsi di suatu titik x o ekuivalen dengan kontinuitasnya pada titik ini baik di kanan maupun di kiri.

Agar suatu fungsi kontinu di suatu titik x o, misalnya, di sebelah kanan, perlu, pertama, ada batas hingga , dan kedua, batas ini sama dengan f(x o). Oleh karena itu, jika setidaknya salah satu dari dua kondisi ini tidak terpenuhi, maka fungsi tersebut akan memiliki celah.

1. Jika limit ada dan tidak sama dengan f(x o), maka dikatakan bahwa fungsi f(x) pada intinya xo punya istirahat jenis pertama, atau melompat.

2. Jika limitnya adalah +∞ atau -∞ atau tidak ada, maka dikatakan bahwa dalam titik x o fungsi memiliki jeda jenis kedua.

Misalnya, fungsi y = ctg x as x → +0 memiliki limit yang sama dengan +∞ , yang berarti pada titik x=0 memiliki diskontinuitas jenis kedua. Fungsi y = E(x) (bagian bilangan bulat dari x) di titik-titik dengan absis bilangan bulat memiliki diskontinuitas jenis pertama, atau melompat.

Fungsi yang kontinu di setiap titik interval disebut kontinu di . Fungsi kontinu diwakili oleh kurva padat.

Banyak masalah yang terkait dengan pertumbuhan terus menerus dari beberapa kuantitas mengarah ke batas luar biasa kedua. Tugas-tugas tersebut, misalnya, meliputi: pertumbuhan kontribusi menurut hukum bunga majemuk, pertumbuhan populasi negara, pembusukan zat radioaktif, penggandaan bakteri, dll.

Mempertimbangkan contoh Ya. I. Perelman, yang memberikan interpretasi nomor e dalam masalah bunga majemuk. Nomor e ada batasnya . Di bank tabungan, uang bunga ditambahkan ke modal tetap setiap tahun. Jika koneksi dibuat lebih sering, maka modal tumbuh lebih cepat, karena sejumlah besar terlibat dalam pembentukan bunga. Mari kita ambil contoh yang murni teoretis dan sangat disederhanakan. Biarkan bank menempatkan 100 sarang. unit dengan tarif 100% per tahun. Jika uang berbunga ditambahkan ke modal tetap hanya setelah satu tahun, maka pada saat ini 100 sarang. unit akan berubah menjadi 200 sarang. Sekarang mari kita lihat apa yang akan berubah menjadi 100 sarang. unit, jika uang bunga ditambahkan ke modal tetap setiap enam bulan. Setelah setengah tahun 100 sarang. unit akan tumbuh sebesar 100 × 1,5 = 150, dan dalam enam bulan berikutnya - sebesar 150 × 1,5 = 225 (unit uang). Jika aksesi dilakukan setiap 1/3 tahun, maka setelah satu tahun 100 sarang. unit akan berubah menjadi 100 × (1 + 1/3) 3 237 (unit den.). Kami akan meningkatkan jangka waktu untuk menambahkan uang bunga menjadi 0,1 tahun, 0,01 tahun, 0,001 tahun, dan seterusnya. Kemudian dari 100 sarang. unit setahun kemudian:

100×(1 +1/10) 10 259 (unit ruang),

100×(1+1/100) 100 270 (unit ruang),

100×(1+1/1000) 1000 271 (unit ruang).

Dengan pengurangan tak terbatas dalam hal bunga bergabung, akumulasi modal tidak tumbuh tanpa batas, tetapi mendekati batas tertentu yang sama dengan kira-kira 271. Modal ditempatkan pada 100% per tahun tidak dapat meningkat lebih dari 2,71 kali, bahkan jika bunga yang masih harus dibayar ditambahkan ke modal setiap detik karena batasnya

Contoh 3.1. Dengan menggunakan definisi limit suatu barisan bilangan, buktikan bahwa barisan x n =(n-1)/n mempunyai limit yang sama dengan 1.

Keputusan. Kita perlu membuktikan bahwa berapa pun > 0 yang kita ambil, ada bilangan asli N untuk itu, sehingga untuk semua n > N pertidaksamaan |x n -1|< ε

Ambil sembarang > 0. Karena x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, maka untuk mencari N cukup dengan menyelesaikan pertidaksamaan 1/n<ε. Отсюда n>1/ε dan, oleh karena itu, N dapat diambil sebagai bagian bilangan bulat dari 1/ε N = E(1/ε). Dengan demikian kami membuktikan bahwa limit .

Contoh 3.2. Temukan limit barisan yang diberikan oleh suku umum .

Keputusan. Terapkan teorema jumlah limit dan temukan limit setiap suku. Karena n → , pembilang dan penyebut setiap suku cenderung tak hingga, dan teorema limit hasil bagi tidak dapat diterapkan secara langsung. Oleh karena itu, pertama-tama kita ubah x n, membagi pembilang dan penyebut suku pertama dengan n 2, dan yang kedua n. Kemudian, dengan menerapkan teorema limit hasil bagi dan teorema limit jumlah, kita menemukan:

Contoh 3.3. . Mencari .

Keputusan.

Di sini kita telah menggunakan teorema batas derajat: batas derajat sama dengan derajat batas alas.

Contoh 3.4. Mencari ( ).

Keputusan. Teorema limit perbedaan tidak mungkin diterapkan, karena kita memiliki ketidakpastian dalam bentuk -∞. Mari kita ubah rumus istilah umum:

Contoh 3.5. Diberikan sebuah fungsi f(x)=2 1/x . Buktikan bahwa limit tidak ada.

Keputusan. Kami menggunakan definisi 1 dari limit suatu fungsi dalam bentuk barisan. Ambil barisan ( x n ) yang konvergen ke 0, mis. Mari kita tunjukkan bahwa nilai f(x n)= berperilaku berbeda untuk barisan yang berbeda. Misalkan x n = 1/n. Jelas, maka batasnya Ayo pilih sekarang sebagai x n barisan dengan suku yang sama x n = -1/n, juga cenderung nol. Oleh karena itu, tidak ada batasan.

Contoh 3.6. Buktikan bahwa limit tidak ada.

Keputusan. Misalkan x 1 , x 2 ,..., x n ,... adalah barisan yang
. Bagaimana barisan (f(x n)) = (sin x n ) berperilaku untuk x n yang berbeda →

Jika x n \u003d p n, maka sin x n \u003d sin (p n) = 0 untuk semua n dan batasi jika
xn=2 p n+ p /2, maka sin x n = sin(2 p n+ p/2) = sin p /2 = 1 untuk semua n dan karenanya batasnya. Dengan demikian tidak ada.

Matematika adalah ilmu yang membangun dunia. Baik ilmuwan maupun orang biasa - tidak ada yang bisa melakukannya tanpanya. Pertama, anak-anak kecil diajari berhitung, lalu menambah, mengurangi, mengalikan, dan membagi, di sekolah menengah, penunjukan huruf ikut bermain, dan di yang lebih besar tidak bisa lagi dihilangkan.

Tetapi hari ini kita akan berbicara tentang apa yang menjadi dasar semua matematika yang dikenal. Tentang komunitas angka yang disebut "batas urutan".

Apa itu barisan dan di mana batasnya?

Arti kata "urutan" tidak sulit untuk ditafsirkan. Ini adalah konstruksi sesuatu, di mana seseorang atau sesuatu berada dalam urutan atau antrian tertentu. Misalnya antrian tiket ke kebun binatang berurutan. Dan hanya ada satu! Jika, misalnya, Anda melihat antrian ke toko, ini adalah satu urutan. Dan jika satu orang tiba-tiba meninggalkan antrian ini, maka ini adalah antrian yang berbeda, urutan yang berbeda.

Kata "batas" juga mudah ditafsirkan - ini adalah akhir dari sesuatu. Namun, dalam matematika, batas barisan adalah nilai-nilai pada garis bilangan yang cenderung dimiliki oleh barisan bilangan. Mengapa berusaha dan tidak berakhir? Sederhana saja, garis bilangan tidak memiliki akhir, dan sebagian besar barisan, seperti sinar, hanya memiliki awal dan terlihat seperti ini:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Oleh karena itu definisi barisan adalah fungsi dari argumen natural. Dengan kata sederhana, itu adalah serangkaian anggota dari beberapa set.

Bagaimana urutan nomor dibangun?

Contoh paling sederhana dari barisan bilangan mungkin terlihat seperti ini: 1, 2, 3, 4, …n…

Dalam kebanyakan kasus, untuk tujuan praktis, urutan dibangun dari angka, dan setiap anggota berikutnya dari seri, sebut saja X, memiliki namanya sendiri. Sebagai contoh:

x 1 - anggota pertama dari urutan;

x 2 - anggota kedua dari urutan;

x 3 - anggota ketiga;

x n adalah anggota ke-n.

Dalam metode praktis, urutan diberikan oleh rumus umum di mana ada beberapa variabel. Sebagai contoh:

X n \u003d 3n, maka rangkaian angka itu sendiri akan terlihat seperti ini:

Perlu diingat bahwa dalam notasi umum barisan, Anda dapat menggunakan huruf Latin apa pun, dan bukan hanya X. Misalnya: y, z, k, dll.

Deret aritmatika sebagai bagian dari barisan

Sebelum mencari batas barisan, disarankan untuk mempelajari lebih dalam konsep barisan bilangan seperti itu, yang ditemui setiap orang ketika mereka berada di kelas menengah. Deret aritmatika adalah barisan bilangan yang selisih suku-suku bertetangganya tetap.

Tugas: “Biarkan a 1 \u003d 15, dan langkah perkembangan seri angka d \u003d 4. Bangun 4 anggota pertama dari baris ini"

Solusi: a 1 = 15 (berdasarkan syarat) adalah anggota pertama dari deret (deret angka).

dan 2 = 15+4=19 adalah anggota kedua dari progresi.

dan 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 adalah suku ketiga.

dan 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 adalah suku keempat.

Namun, dengan metode ini sulit untuk mencapai nilai yang besar, misalnya hingga 125. . Khusus untuk kasus seperti itu, formula yang nyaman untuk latihan diturunkan: a n \u003d a 1 + d (n-1). Dalam hal ini, a 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Jenis urutan

Sebagian besar urutannya tidak ada habisnya, perlu diingat seumur hidup. Ada dua jenis seri angka yang menarik. Yang pertama diberikan oleh rumus a n =(-1) n . Matematikawan sering menyebut urutan flasher ini. Mengapa? Mari kita periksa nomornya.

1, 1, -1 , 1, -1, 1, dll. Dengan contoh ini, menjadi jelas bahwa angka dalam barisan dapat dengan mudah diulang.

urutan faktorial. Mudah ditebak bahwa ada faktorial dalam rumus yang mendefinisikan barisan. Misalnya: dan n = (n+1)!

Maka urutannya akan terlihat seperti ini:

dan 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

dan 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24, dll.

Barisan yang diberikan oleh barisan aritmatika disebut menurun tak hingga jika pertidaksamaan -1 diamati untuk semua anggotanya

dan 3 \u003d - 1/8, dll.

Bahkan ada barisan yang terdiri dari angka yang sama. Jadi, dan n \u003d 6 terdiri dari jumlah enam yang tak terbatas.

Menentukan Batas Urutan

Batas barisan telah lama ada dalam matematika. Tentu saja, mereka pantas mendapatkan desain kompeten mereka sendiri. Jadi, saatnya mempelajari definisi limit barisan. Pertama, pertimbangkan limit untuk fungsi linier secara rinci:

1. Semua batas disingkat sebagai lim.
2. Entri batas terdiri dari singkatan lim, beberapa variabel yang cenderung ke angka tertentu, nol atau tak terhingga, serta fungsi itu sendiri.

Sangat mudah untuk memahami bahwa definisi limit suatu barisan dapat dirumuskan sebagai berikut: suatu bilangan tertentu, yang didekati oleh semua anggota barisan tersebut secara tak terhingga. Contoh sederhana: dan x = 4x+1. Kemudian urutannya sendiri akan terlihat seperti ini.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Dengan demikian, barisan ini akan meningkat tanpa batas, yang berarti batasnya sama dengan tak hingga sebagai x→∞, dan ini harus ditulis sebagai berikut:

Jika kita mengambil urutan yang sama, tetapi x cenderung ke 1, kita mendapatkan:

Dan rangkaian angka akan menjadi seperti ini: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, dll. Setiap kali Anda perlu mengganti angka lebih dan lebih dekat dengan satu (0,1, 0.2, 0.9, 0.986). Dari deret tersebut dapat diketahui bahwa limit dari fungsi tersebut adalah lima.

Dari bagian ini, perlu diingat apa batas barisan numerik, definisi dan metode untuk menyelesaikan tugas-tugas sederhana.

Notasi umum untuk limit barisan

Setelah menganalisis batas urutan numerik, definisi dan contohnya, kita dapat melanjutkan ke topik yang lebih kompleks. Secara mutlak semua limit barisan dapat dirumuskan dengan satu rumus, yang biasanya dianalisis pada semester pertama.

Jadi, apa arti dari kumpulan huruf, modul, dan tanda ketidaksetaraan ini?

adalah quantifier universal, menggantikan frasa "untuk semua", "untuk semuanya", dll.

adalah kuantor keberadaan, dalam hal ini berarti ada beberapa nilai N yang termasuk dalam himpunan bilangan asli.

Tongkat vertikal panjang yang mengikuti N berarti himpunan N yang diberikan adalah "sedemikian rupa". Dalam praktiknya, itu bisa berarti "sehingga", "seperti itu", dll.

Untuk mengkonsolidasikan materi, baca rumus dengan keras.

Ketidakpastian dan kepastian batas

Metode menemukan limit barisan, yang dibahas di atas, meskipun mudah digunakan, tidak begitu rasional dalam praktiknya. Coba temukan batas untuk fungsi ini:

Jika kita mengganti nilai x yang berbeda (setiap kali bertambah: 10, 100, 1000, dll.), maka kita mendapatkan di pembilangnya, tetapi juga di penyebutnya. Ternyata pecahan yang agak aneh:

Tapi benarkah demikian? Menghitung limit barisan numerik dalam hal ini tampaknya cukup mudah. Dimungkinkan untuk membiarkan semuanya apa adanya, karena jawabannya sudah siap, dan diterima dengan syarat yang wajar, tetapi ada cara lain khusus untuk kasus-kasus seperti itu.

Pertama, mari kita cari derajat tertinggi dalam pembilang pecahan - ini adalah 1, karena x dapat direpresentasikan sebagai x 1.

Sekarang mari kita cari derajat tertinggi dalam penyebutnya. Juga 1.

Bagilah pembilang dan penyebut dengan variabel hingga derajat tertinggi. Dalam hal ini, kita membagi pecahan dengan x 1.

Selanjutnya, mari kita cari nilai yang cenderung dimiliki oleh setiap suku yang mengandung variabel. Dalam hal ini, pecahan dianggap. Sebagai x→∞, nilai setiap pecahan cenderung nol. Saat membuat makalah secara tertulis, ada baiknya membuat catatan kaki berikut:

Ekspresi berikut diperoleh:

Tentu saja, pecahan yang mengandung x tidak menjadi nol! Tetapi nilainya sangat kecil sehingga cukup diperbolehkan untuk tidak memperhitungkannya dalam perhitungan. Faktanya, x tidak akan pernah sama dengan 0 dalam kasus ini, karena Anda tidak dapat membagi dengan nol.

Apa itu lingkungan?

Misalkan profesor memiliki urutan kompleks yang dimilikinya, jelas diberikan oleh formula yang tidak kalah rumitnya. Profesor menemukan jawabannya, tetapi apakah itu cocok? Lagi pula, semua orang membuat kesalahan.

Auguste Cauchy menemukan cara yang bagus untuk membuktikan batas barisan. Metodenya disebut operasi lingkungan.

Misalkan ada beberapa titik a, lingkungannya di kedua arah pada garis nyata sama dengan ("epsilon"). Karena variabel terakhir adalah jarak, nilainya selalu positif.

Sekarang mari kita tentukan suatu barisan x n dan misalkan suku kesepuluh dari barisan tersebut (x 10) termasuk dalam lingkungan a. Bagaimana cara menulis fakta ini dalam bahasa matematika?

Misalkan x 10 berada di sebelah kanan titik a, maka jarak x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Sekarang saatnya menjelaskan secara praktis rumus yang disebutkan di atas. Adalah adil untuk menyebut suatu bilangan sebagai titik akhir suatu barisan jika pertidaksamaan >0 berlaku untuk salah satu limitnya, dan seluruh lingkungan memiliki bilangan asli N, sehingga semua anggota barisan dengan bilangan yang lebih tinggi akan menjadi di dalam barisan |x n - a|< ε.

Dengan pengetahuan seperti itu, mudah untuk memecahkan batas-batas barisan, untuk membuktikan atau menyangkal jawaban yang siap.

Teorema

Teorema tentang batas barisan merupakan komponen penting dari teori, yang tanpanya praktik tidak mungkin dilakukan. Hanya ada empat teorema utama, mengingat yang mana, Anda dapat secara signifikan memfasilitasi proses pemecahan atau pembuktian:

1. Keunikan limit suatu barisan. Urutan apa pun hanya dapat memiliki satu batas atau tidak sama sekali. Contoh yang sama dengan antrian yang hanya dapat memiliki satu ujung.
2. Jika suatu barisan bilangan mempunyai limit, maka barisan bilangan tersebut dibatasi.
3. Batas jumlah (selisih, hasil kali) barisan sama dengan jumlah (selisih, hasil kali) dari batas-batasnya.
4. Batas hasil bagi dua barisan sama dengan hasil bagi batas jika dan hanya jika penyebutnya tidak hilang.

Bukti Urutan

Kadang-kadang diperlukan untuk memecahkan masalah invers, untuk membuktikan batas tertentu dari urutan numerik. Mari kita lihat sebuah contoh.

Buktikan bahwa limit barisan yang diberikan oleh rumus sama dengan nol.

Menurut aturan di atas, untuk sembarang barisan pertidaksamaan |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Mari kita nyatakan n dalam istilah "epsilon" untuk menunjukkan keberadaan bilangan tertentu dan membuktikan keberadaan limit barisan.

Pada tahap ini, penting untuk diingat bahwa "epsilon" dan "en" adalah bilangan positif dan tidak sama dengan nol. Sekarang Anda dapat melanjutkan transformasi lebih lanjut menggunakan pengetahuan tentang ketidaksetaraan yang diperoleh di sekolah menengah.

Dari mana ternyata n > -3 + 1/ε. Karena perlu diingat bahwa kita berbicara tentang bilangan asli, hasilnya dapat dibulatkan dengan memasukkannya ke dalam tanda kurung siku. Dengan demikian, terbukti bahwa untuk setiap nilai lingkungan "epsilon" dari titik a = 0, sebuah nilai ditemukan sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan awal terpenuhi. Dari sini kita dapat dengan aman menyatakan bahwa bilangan a adalah limit dari barisan yang diberikan. Q.E.D.

Dengan metode yang mudah digunakan, Anda dapat membuktikan batas barisan numerik, tidak peduli betapa rumitnya kelihatannya pada pandangan pertama. Hal utama adalah jangan panik saat melihat tugas.

Atau mungkin dia tidak ada?

Keberadaan batas urutan tidak diperlukan dalam praktek. Sangat mudah untuk menemukan rangkaian angka yang benar-benar tidak ada habisnya. Misalnya, flasher yang sama x n = (-1) n . jelas bahwa barisan yang hanya terdiri dari dua digit yang berulang secara siklis tidak dapat memiliki batas.

Cerita yang sama diulangi dengan barisan yang terdiri dari satu angka, pecahan, yang dalam perhitungannya memiliki ketidakpastian urutan apa pun (0/0, /∞, /0, dll.). Namun, harus diingat bahwa perhitungan yang salah juga terjadi. Terkadang memeriksa ulang solusi Anda sendiri akan membantu Anda menemukan batas suksesi.

urutan monoton

Di atas, kami mempertimbangkan beberapa contoh barisan, metode untuk menyelesaikannya, dan sekarang mari kita coba mengambil kasus yang lebih spesifik dan menyebutnya "urutan monoton".

Definisi: wajar untuk menyebut sembarang barisan naik secara monoton jika memenuhi pertidaksamaan ketat x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >xn+1.

Selain kedua kondisi tersebut, juga terdapat ketidaksetaraan non-ketat yang serupa. Dengan demikian, x n x n +1 (urutan tidak turun) dan x n x n +1 (urutan tidak naik).

Tetapi lebih mudah untuk memahami ini dengan contoh.

Barisan yang diberikan oleh rumus x n \u003d 2 + n membentuk barisan bilangan berikut: 4, 5, 6, dst. Ini adalah barisan yang naik secara monoton.

Dan jika kita mengambil x n \u003d 1 / n, maka kita mendapatkan deret: 1/3, , 1/5, dll. Ini adalah deret yang menurun secara monoton.

Batas barisan konvergen dan terbatas

Barisan berbatas adalah barisan yang memiliki limit. Barisan konvergen adalah barisan bilangan yang memiliki limit yang sangat kecil.

Jadi, limit suatu barisan berbatas adalah sembarang bilangan real atau kompleks. Ingatlah bahwa hanya ada satu batasan.

Limit barisan konvergen adalah besaran yang sangat kecil (nyata atau kompleks). Jika Anda menggambar diagram urutan, maka pada titik tertentu itu akan, seolah-olah, bertemu, cenderung berubah menjadi nilai tertentu. Oleh karena itu namanya - barisan konvergen.

Batas urutan monoton

Urutan seperti itu mungkin atau mungkin tidak memiliki batas. Pertama, berguna untuk memahami kapan itu, dari sini Anda bisa mulai saat membuktikan tidak adanya batas.

Di antara barisan monoton, konvergen dan divergen dibedakan. Konvergen - ini adalah barisan yang dibentuk oleh himpunan x dan memiliki batas nyata atau kompleks dalam himpunan ini. Divergen - barisan yang tidak memiliki batas dalam himpunannya (tidak nyata maupun kompleks).

Selain itu, barisan tersebut konvergen jika batas atas dan batas bawahnya konvergen dalam representasi geometrik.

Limit dari barisan konvergen dalam banyak kasus dapat sama dengan nol, karena setiap barisan infinitesimal memiliki limit yang diketahui (nol).

Apa pun barisan konvergen yang Anda ambil, semuanya berbatas, tetapi jauh dari semua barisan berbatas konvergen.

Jumlah, selisih, hasil kali dua barisan konvergen juga merupakan barisan konvergen. Namun, hasil bagi juga dapat konvergen jika terdefinisi!

Berbagai tindakan dengan batasan

Batas urutan sama pentingnya (dalam banyak kasus) seperti angka dan angka: 1, 2, 15, 24, 362, dll. Ternyata beberapa operasi dapat dilakukan dengan batasan.

Pertama, seperti halnya angka dan angka, batas-batas barisan apa pun dapat ditambahkan dan dikurangkan. Berdasarkan teorema ketiga tentang limit barisan, persamaan berikut adalah benar: limit jumlah barisan sama dengan jumlah limitnya.

Kedua, berdasarkan teorema keempat tentang batas-batas barisan, persamaan berikut ini benar: hasil kali jumlah barisan ke-n sama dengan hasil kali batas-batasnya. Hal yang sama berlaku untuk pembagian: batas hasil bagi dua barisan sama dengan hasil bagi batasnya, asalkan batasnya tidak sama dengan nol. Lagi pula, jika batas urutan sama dengan nol, maka pembagian dengan nol akan menjadi, yang tidak mungkin.

Properti Nilai Urutan

Tampaknya batas deret numerik telah dianalisis secara rinci, tetapi frasa seperti angka "sangat kecil" dan "besar tak terhingga" disebutkan lebih dari satu kali. Jelasnya, jika ada barisan 1/x, di mana x→∞, maka pecahan tersebut kecil tak terhingga, dan jika barisan itu sama, tetapi limitnya cenderung nol (x→0), maka pecahan tersebut menjadi nilai besar tak terhingga . Dan nilai-nilai seperti itu memiliki karakteristiknya sendiri. Sifat-sifat limit suatu barisan yang memiliki nilai kecil atau besar yang berubah-ubah adalah sebagai berikut:

1. Jumlah dari sejumlah kuantitas kecil yang sewenang-wenang juga akan menjadi kuantitas kecil.
2. Jumlah dari sejumlah nilai besar akan menjadi nilai yang sangat besar.
3. Produk dari jumlah kecil yang sewenang-wenang adalah sangat kecil.
4. Produk dari bilangan besar yang sewenang-wenang adalah jumlah yang sangat besar.
5. Jika barisan asal cenderung bilangan tak hingga, maka kebalikannya akan sangat kecil dan cenderung nol.

Faktanya, menghitung limit suatu barisan bukanlah tugas yang sulit jika Anda mengetahui algoritma sederhana. Tetapi batasan urutan adalah topik yang membutuhkan perhatian dan ketekunan maksimal. Tentu saja, cukup dengan memahami esensi dari solusi dari ekspresi seperti itu. Mulai dari yang kecil, seiring waktu, Anda bisa mencapai ketinggian yang besar.