Halo kucing! Terakhir kali kami menganalisis secara rinci apa itu root (jika Anda tidak ingat, saya sarankan membaca). Kesimpulan utama dari pelajaran itu: hanya ada satu definisi universal tentang akar, yang perlu Anda ketahui. Sisanya adalah omong kosong dan buang-buang waktu.

Hari ini kita melangkah lebih jauh. Kita akan belajar mengalikan akar, kita akan mempelajari beberapa masalah yang berhubungan dengan perkalian (jika masalah ini tidak diselesaikan, maka bisa berakibat fatal pada ujian) dan kita akan berlatih dengan benar. Jadi siapkan popcorn, buat diri Anda nyaman - dan kita akan mulai. :)

Anda belum merokok, kan?

Pelajarannya ternyata cukup besar, jadi saya membaginya menjadi dua bagian:

1. Pertama, kita akan melihat aturan perkalian. Tutupnya tampaknya mengisyaratkan: ini adalah ketika ada dua akar, ada tanda "kalikan" di antara mereka - dan kami ingin melakukan sesuatu dengannya.
2. Kemudian kami akan menganalisis situasi sebaliknya: ada satu akar besar, dan kami tidak sabar untuk menyajikannya sebagai produk dari dua akar dengan cara yang lebih sederhana. Dengan ketakutan apa itu perlu adalah pertanyaan terpisah. Kami hanya akan menganalisis algoritma.

Bagi yang sudah tidak sabar untuk langsung masuk ke Bagian 2, sama-sama. Mari kita mulai dengan sisanya secara berurutan.

Aturan perkalian dasar

Mari kita mulai dengan yang paling sederhana - akar kuadrat klasik. Yang dilambangkan dengan $\sqrt(a)$ dan $\sqrt(b)$. Bagi mereka, semuanya umumnya jelas:

aturan perkalian. Untuk mengalikan satu akar kuadrat dengan akar kuadrat lainnya, Anda hanya perlu mengalikan ekspresi radikalnya, dan tulis hasilnya di bawah akar umum:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Tidak ada batasan tambahan yang dikenakan pada angka di kanan atau kiri: jika akar pengali ada, maka produk juga ada.

Contoh. Pertimbangkan empat contoh dengan angka sekaligus:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, arti utama dari aturan ini adalah untuk menyederhanakan ekspresi irasional. Dan jika pada contoh pertama kita akan mengekstrak akar dari 25 dan 4 tanpa aturan baru, maka kaleng dimulai: $\sqrt(32)$ dan $\sqrt(2)$ tidak dihitung sendiri, tetapi hasil kali mereka adalah kuadrat eksak, jadi akarnya sama dengan bilangan rasional.

Secara terpisah, saya ingin mencatat baris terakhir. Di sana, kedua ekspresi radikal adalah pecahan. Berkat produk, banyak faktor yang dibatalkan, dan seluruh ekspresi berubah menjadi jumlah yang memadai.

Tentu saja, tidak semuanya akan selalu begitu indah. Kadang-kadang akan ada omong kosong lengkap di bawah akar - tidak jelas apa yang harus dilakukan dengannya dan bagaimana mengubahnya setelah perkalian. Beberapa saat kemudian, ketika Anda mulai mempelajari persamaan dan pertidaksamaan irasional, akan ada berbagai macam variabel dan fungsi secara umum. Dan sangat sering, penyusun masalah hanya mengandalkan fakta bahwa Anda akan menemukan beberapa persyaratan atau faktor kontrak, setelah itu tugas akan sangat disederhanakan.

Selain itu, tidak perlu mengalikan tepat dua akar. Anda dapat mengalikan tiga sekaligus, empat - ya bahkan sepuluh! Ini tidak akan mengubah aturan. Lihatlah:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(sejajarkan)\]

Dan sekali lagi komentar kecil pada contoh kedua. Seperti yang Anda lihat, di pengganda ketiga, ada pecahan desimal di bawah akar - dalam proses perhitungan, kami menggantinya dengan yang biasa, setelah itu semuanya mudah dikurangi. Jadi: Saya sangat menyarankan untuk menyingkirkan pecahan desimal dalam ekspresi irasional apa pun (yaitu, mengandung setidaknya satu ikon radikal). Ini akan menghemat banyak waktu dan saraf di masa depan.

Tapi itu penyimpangan liris. Sekarang mari kita pertimbangkan kasus yang lebih umum - ketika eksponen root berisi angka arbitrer $n$, dan bukan hanya dua "klasik".

Kasus indikator arbitrer

Jadi, kami menemukan akar kuadrat. Dan apa yang harus dilakukan dengan kubus? Atau secara umum dengan akar derajat arbitrer $n$? Ya, semuanya sama. Aturannya tetap sama:

Untuk mengalikan dua akar derajat $n$, cukup dengan mengalikan ekspresi radikalnya, setelah itu hasilnya ditulis di bawah satu akar.

Secara umum, tidak ada yang rumit. Kecuali volume perhitungan bisa lebih. Mari kita lihat beberapa contoh:

Contoh. Hitung produk:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3))))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(sejajarkan)\]

Dan sekali lagi perhatikan ekspresi kedua. Kami mengalikan akar pangkat tiga, menyingkirkan pecahan desimal, dan sebagai hasilnya kami mendapatkan produk dari angka 625 dan 25 dalam penyebut Ini adalah angka yang agak besar - secara pribadi, saya tidak akan segera menghitung apa yang sama ke.

Oleh karena itu, kami hanya memilih kubus yang tepat di pembilang dan penyebut, dan kemudian menggunakan salah satu properti kunci (atau, jika Anda suka, definisi) dari akar tingkat $n$:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\benar|. \\ \end(sejajarkan)\]

"Penipuan" semacam itu dapat menghemat banyak waktu Anda dalam ujian atau ujian, jadi ingatlah:

Jangan terburu-buru mengalikan angka dalam ekspresi radikal. Pertama, periksa: bagaimana jika tingkat yang tepat dari ekspresi apa pun "dienkripsi" di sana?

Dengan semua kejelasan pernyataan ini, saya harus mengakui bahwa sebagian besar siswa yang tidak siap tidak melihat derajat yang tepat. Sebaliknya, mereka mengalikan semuanya di depan, dan kemudian bertanya-tanya: mengapa mereka mendapatkan angka yang begitu brutal? :)

Namun, semua ini adalah permainan anak-anak dibandingkan dengan apa yang akan kita pelajari sekarang.

Perkalian akar dengan pangkat yang berbeda

Nah, sekarang kita bisa mengalikan akar dengan pangkat yang sama. Bagaimana jika skornya berbeda? Katakanlah, bagaimana Anda mengalikan $\sqrt(2)$ biasa dengan beberapa omong kosong seperti $\sqrt(23)$? Apakah mungkin untuk melakukan ini?

Ya, tentu saja kamu bisa. Semuanya dilakukan sesuai dengan rumus ini:

Aturan perkalian akar. Untuk mengalikan $\sqrt[n](a)$ dengan $\sqrt[p](b)$, lakukan saja transformasi berikut:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Namun, rumus ini hanya berfungsi jika ekspresi radikal adalah non-negatif. Ini adalah komentar yang sangat penting, yang akan kami kembalikan nanti.

Untuk saat ini, mari kita lihat beberapa contoh:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit. Sekarang mari kita cari tahu dari mana persyaratan non-negatif itu berasal, dan apa yang akan terjadi jika kita melanggarnya. :)

Sangat mudah untuk mengalikan akar.

Mengapa ekspresi radikal harus non-negatif?

Tentu saja, Anda bisa menjadi seperti guru sekolah dan mengutip buku teks dengan tampilan yang cerdas:

Persyaratan non-negatif dikaitkan dengan definisi yang berbeda dari akar derajat genap dan ganjil (masing-masing, domain definisi mereka juga berbeda).

Nah, menjadi lebih jelas? Secara pribadi, ketika saya membaca omong kosong ini di kelas 8, saya memahami sendiri sesuatu seperti ini: "Persyaratan non-negatif terhubung dengan *#&^@(*#@^#)~%" - singkatnya, saya tidak mengerti apa-apa pada waktu itu. :)

Jadi sekarang saya akan menjelaskan semuanya dengan cara biasa.

Pertama, mari kita cari tahu dari mana rumus perkalian di atas berasal. Untuk melakukan ini, izinkan saya mengingatkan Anda tentang satu properti penting dari root:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Dengan kata lain, kita dapat dengan aman menaikkan ekspresi root ke kekuatan alami $k$ - dalam hal ini, indeks root harus dikalikan dengan kekuatan yang sama. Oleh karena itu, kita dapat dengan mudah mengurangi akar apa pun menjadi indikator umum, setelah itu kita mengalikannya. Dari sinilah rumus perkalian berasal:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Tetapi ada satu masalah yang sangat membatasi penerapan semua formula ini. Pertimbangkan nomor ini:

Menurut rumus yang baru saja diberikan, kita dapat menambahkan derajat apa pun. Mari kita coba menambahkan $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2))))\]

Kami menghapus minus justru karena kotak membakar minus (seperti derajat genap lainnya). Dan sekarang mari kita lakukan transformasi terbalik: "kurangi" keduanya dalam eksponen dan derajat. Bagaimanapun, kesetaraan apa pun dapat dibaca dari kiri ke kanan dan kanan ke kiri:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](sebuah); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Panah kanan \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(sejajarkan)\]

Tapi kemudian sesuatu yang gila terjadi:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Ini tidak mungkin karena $\sqrt(-5) \lt 0$ dan $\sqrt(5) \gt 0$. Ini berarti bahwa untuk pangkat genap dan bilangan negatif, rumus kita tidak lagi berfungsi. Setelah itu kami memiliki dua opsi:

1. Berjuang melawan tembok untuk menyatakan bahwa matematika adalah ilmu yang bodoh, di mana "ada beberapa aturan, tetapi ini tidak akurat";
2. Perkenalkan batasan tambahan di mana formula akan menjadi 100% berfungsi.

Pada opsi pertama, kita harus terus-menerus menangkap kasus "tidak berfungsi" - ini sulit, panjang, dan umumnya fu. Oleh karena itu, matematikawan lebih memilih opsi kedua. :)

Tapi jangan khawatir! Dalam praktiknya, pembatasan ini tidak mempengaruhi perhitungan dengan cara apa pun, karena semua masalah yang dijelaskan hanya menyangkut akar tingkat ganjil, dan minus dapat dihilangkan darinya.

Oleh karena itu, kami merumuskan aturan lain yang berlaku secara umum untuk semua tindakan dengan akar:

Sebelum mengalikan akar-akarnya, pastikan bahwa ekspresi radikal adalah non-negatif.

Contoh. Di nomor $\sqrt(-5)$, Anda dapat mengambil minus dari bawah tanda root - maka semuanya akan baik-baik saja:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Rasakan perbedaan nya? Jika Anda meninggalkan minus di bawah root, maka ketika ekspresi radikal dikuadratkan, itu akan hilang, dan omong kosong akan dimulai. Dan jika Anda pertama kali mengambil minus, maka Anda bahkan dapat menaikkan / menghapus kotak sampai wajah Anda membiru - angkanya akan tetap negatif. :)

Jadi, cara yang paling benar dan paling dapat diandalkan untuk mengalikan akar adalah sebagai berikut:

1. Hapus semua minus dari bawah radikal. Minus hanya ada di akar multiplisitas ganjil - mereka dapat ditempatkan di depan root dan, jika perlu, dikurangi (misalnya, jika ada dua minus ini).
2. Lakukan perkalian menurut aturan yang dibahas di atas dalam pelajaran hari ini. Jika indeks akarnya sama, cukup kalikan ekspresi akarnya. Dan jika berbeda, kita menggunakan rumus jahat \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Kami menikmati hasil dan nilai bagus. :)

Sehat? Haruskah kita berlatih?

Contoh 1. Sederhanakan ekspresi:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \kanan)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ kuadrat(64)=-4; \end(sejajarkan)\]

Ini adalah opsi paling sederhana: indikator akarnya sama dan ganjil, masalahnya hanya di minus pengali kedua. Kami menanggung minus nafig ini, setelah itu semuanya dengan mudah dipertimbangkan.

Contoh 2. Sederhanakan ekspresi:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \kanan))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \kanan))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( meluruskan)\]

Di sini, banyak yang akan dibingungkan oleh fakta bahwa keluarannya ternyata merupakan bilangan irasional. Ya, itu terjadi: kami tidak dapat sepenuhnya menghilangkan root, tetapi setidaknya kami menyederhanakan ekspresi secara signifikan.

Contoh 3. Sederhanakan ekspresi:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \kanan))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Inilah yang saya ingin menarik perhatian Anda. Ada dua poin di sini:

1. Di bawah akar bukanlah angka atau derajat tertentu, tetapi variabel $a$. Sepintas, ini agak tidak biasa, tetapi pada kenyataannya, ketika memecahkan masalah matematika, Anda paling sering harus berurusan dengan variabel.
2. Pada akhirnya, kami berhasil "mengurangi" eksponen akar dan derajat dalam ekspresi radikal. Ini cukup sering terjadi. Dan ini berarti dimungkinkan untuk menyederhanakan perhitungan secara signifikan jika Anda tidak menggunakan rumus utama.

Misalnya, Anda dapat melakukan ini:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt((\left(((a)^( 4)) \kanan))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(sejajarkan)\]

Faktanya, semua transformasi dilakukan hanya dengan radikal kedua. Dan jika Anda tidak melukis secara rinci semua langkah perantara, maka pada akhirnya jumlah perhitungan akan berkurang secara signifikan.

Sebenarnya, kita telah menemukan tugas serupa di atas saat menyelesaikan contoh $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Sekarang dapat ditulis lebih mudah:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \kanan))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \kanan))^(2))) =\sqrt(75). \end(sejajarkan)\]

Nah, kami menemukan perkalian dari akar-akarnya. Sekarang pertimbangkan operasi terbalik: apa yang harus dilakukan ketika ada pekerjaan di bawah root?

Saya melihat lagi ke piring ... Dan, ayo pergi!

Mari kita mulai dengan yang sederhana:

Tunggu sebentar. ini, yang berarti kita dapat menulisnya seperti ini:

Mengerti? Berikut ini untuk Anda:

Akar dari angka yang dihasilkan tidak persis diekstraksi? Jangan khawatir, berikut beberapa contohnya:

Tetapi bagaimana jika tidak ada dua pengganda, tetapi lebih? Sama! Rumus perkalian akar bekerja dengan sejumlah faktor:

Sekarang sepenuhnya independen:

Jawaban: Sudah selesai dilakukan dengan baik! Setuju, semuanya sangat mudah, yang utama adalah mengetahui tabel perkalian!

Pembagian akar

Kami menemukan perkalian akarnya, sekarang mari kita lanjutkan ke sifat pembagian.

Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa rumus secara umum terlihat seperti ini:

Dan itu berarti akar hasil bagi sama dengan hasil bagi akar-akarnya.

Nah, mari kita lihat contohnya:

Itu semua ilmu. Dan inilah contohnya:

Semuanya tidak semulus pada contoh pertama, tetapi seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit.

Bagaimana jika ekspresinya seperti ini:

Anda hanya perlu menerapkan rumus secara terbalik:

Dan inilah contohnya:

Anda juga dapat melihat ekspresi ini:

Semuanya sama, hanya di sini Anda perlu mengingat cara menerjemahkan pecahan (jika Anda tidak ingat, lihat topiknya dan kembalilah!). Ingat? Sekarang kita putuskan!

Saya yakin Anda telah mengatasi segalanya, segalanya, sekarang mari kita coba membangun akar dalam satu gelar.

Eksponen

Apa yang terjadi jika akar kuadrat dikuadratkan? Sederhana saja, ingat arti akar kuadrat dari suatu angka - ini adalah angka yang akar kuadratnya sama dengan.

Jadi, jika kita mengkuadratkan suatu bilangan yang akar kuadratnya sama, lalu apa yang kita peroleh?

Yah, tentu saja, !

Mari kita lihat contohnya:

Semuanya sederhana, bukan? Dan jika akarnya dalam derajat yang berbeda? Tidak apa-apa!

Tetap pada logika yang sama dan ingat properti dan kemungkinan tindakan dengan kekuatan.

Baca teori tentang topik "" dan semuanya akan menjadi sangat jelas bagi Anda.

Misalnya, inilah ekspresi:

Dalam contoh ini, derajatnya genap, tetapi bagaimana jika ganjil? Sekali lagi, terapkan properti daya dan faktorkan semuanya:

Dengan ini, semuanya tampak jelas, tetapi bagaimana cara mengekstrak akar dari angka dalam satu derajat? Di sini, misalnya, adalah ini:

Cukup sederhana, bukan? Bagaimana jika derajatnya lebih besar dari dua? Kami mengikuti logika yang sama menggunakan sifat derajat:

Nah, apakah semuanya jelas? Kemudian selesaikan contoh Anda sendiri:

Dan inilah jawabannya:

Pendahuluan di bawah tanda akar

Apa yang belum kita pelajari untuk dilakukan dengan akarnya! Tetap hanya berlatih memasukkan nomor di bawah tanda root!

Ini cukup mudah!

Katakanlah kita punya nomor

Apa yang bisa kita lakukan dengannya? Yah, tentu saja, sembunyikan rangkap tiga di bawah akar, sambil mengingat bahwa rangkap tiga adalah akar kuadrat dari!

Mengapa kita membutuhkannya? Ya, hanya untuk memperluas kemampuan kami saat memecahkan contoh:

Bagaimana Anda menyukai properti akar ini? Membuat hidup jauh lebih mudah? Bagi saya, itu benar! Hanya kita harus ingat bahwa kita hanya dapat memasukkan bilangan positif di bawah tanda akar kuadrat.

Coba contoh ini untuk diri Anda sendiri:
Apakah Anda berhasil? Mari kita lihat apa yang harus Anda dapatkan:

Sudah selesai dilakukan dengan baik! Anda berhasil memasukkan nomor di bawah tanda root! Mari kita beralih ke sesuatu yang sama pentingnya - pertimbangkan bagaimana membandingkan angka yang mengandung akar kuadrat!

Perbandingan akar

Mengapa kita harus belajar membandingkan bilangan yang mengandung akar kuadrat?

Sangat sederhana. Seringkali, dalam ekspresi besar dan panjang yang ditemui dalam ujian, kami mendapatkan jawaban yang tidak rasional (apakah Anda ingat apa itu? Kami sudah membicarakannya hari ini!)

Kita perlu menempatkan jawaban yang diterima pada garis koordinat, misalnya, untuk menentukan interval mana yang cocok untuk menyelesaikan persamaan. Dan di sinilah hambatan muncul: tidak ada kalkulator pada ujian, dan tanpanya, bagaimana membayangkan angka mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil? Itu dia!

Misalnya, tentukan mana yang lebih besar: atau?

Anda tidak akan langsung mengatakannya. Nah, mari kita gunakan properti parsing untuk menambahkan angka di bawah tanda root?

Kemudian maju:

Jelas, semakin besar angka di bawah tanda akar, semakin besar akar itu sendiri!

Itu. jika berarti.

Dari sini kami dengan tegas menyimpulkan bahwa Dan tidak ada yang akan meyakinkan kita sebaliknya!

Mengekstrak akar dari jumlah besar

Sebelum itu, kami memperkenalkan faktor di bawah tanda root, tetapi bagaimana cara menghilangkannya? Anda hanya perlu memfaktorkannya dan mengekstrak apa yang diekstraksi!

Dimungkinkan untuk pergi ke arah lain dan terurai menjadi faktor-faktor lain:

Tidak buruk, kan? Salah satu dari pendekatan ini benar, putuskan bagaimana Anda merasa nyaman.

Anjak sangat berguna saat menyelesaikan tugas non-standar seperti ini:

Kami tidak takut, kami bertindak! Kami menguraikan setiap faktor di bawah akar menjadi faktor-faktor terpisah:

Dan sekarang coba sendiri (tanpa kalkulator! Tidak akan ada di ujian):

Apakah ini akhirnya? Kami tidak berhenti di tengah jalan!

Itu saja, tidak terlalu menakutkan, kan?

Telah terjadi? Bagus sekali, Anda benar!

Sekarang coba contoh ini:

Dan contohnya adalah kacang yang sulit untuk dipecahkan, sehingga Anda tidak dapat langsung mencari cara untuk mendekatinya. Tapi kita, tentu saja, berada di gigi.

Baiklah, mari kita mulai memfaktorkan, ya? Segera, kami mencatat bahwa Anda dapat membagi angka dengan (ingat tanda-tanda pembagian):

Dan sekarang, coba sendiri (sekali lagi, tanpa kalkulator!):

Nah, apakah itu berhasil? Bagus sekali, Anda benar!

Menyimpulkan

1. Akar kuadrat (akar kuadrat aritmatika) dari bilangan non-negatif adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama.
   .
2. Jika kita hanya mengambil akar kuadrat dari sesuatu, kita selalu mendapatkan satu hasil non-negatif.
3. Sifat akar aritmatika:
4. Saat membandingkan akar kuadrat, harus diingat bahwa semakin besar angka di bawah tanda akar, semakin besar akar itu sendiri.

Bagaimana Anda menyukai akar kuadrat? Semua jelas?

Kami mencoba menjelaskan kepada Anda tanpa air semua yang perlu Anda ketahui dalam ujian tentang akar kuadrat.

Ini giliran Anda. Tulis kepada kami apakah topik ini sulit bagi Anda atau tidak.

Apakah Anda mempelajari sesuatu yang baru atau semuanya sudah begitu jelas.

Tulis di komentar dan semoga berhasil dalam ujian!

Materi artikel ini harus dipertimbangkan sebagai bagian dari transformasi topik ekspresi irasional. Di sini, menggunakan contoh, kami akan menganalisis semua seluk-beluk dan nuansa (yang ada banyak) yang muncul saat melakukan transformasi berdasarkan sifat-sifat akar.

Navigasi halaman.

Ingat sifat-sifat akar

Karena kita akan berurusan dengan transformasi ekspresi menggunakan sifat-sifat akar, tidak ada salahnya untuk mengingat yang utama, atau bahkan lebih baik, menuliskannya di atas kertas dan meletakkannya di depan Anda.

Pertama, akar kuadrat dan sifat-sifat berikut dipelajari (a, b, a 1, a 2, ..., a k adalah bilangan real):

Dan kemudian, ide akar diperluas, definisi akar derajat ke-n diperkenalkan, dan sifat-sifat seperti itu dipertimbangkan (a, b, a 1, a 2, ..., a k adalah bilangan real, m, n, n 1, n 2, ... , n k - bilangan asli):

Mengonversi ekspresi dengan angka di bawah tanda akar

Seperti biasa, pertama-tama mereka belajar bekerja dengan ekspresi numerik, dan baru setelah itu mereka beralih ke ekspresi dengan variabel. Kami akan melakukan hal yang sama, dan pertama-tama kami akan berurusan dengan transformasi ekspresi irasional yang hanya berisi ekspresi numerik di bawah tanda-tanda akar, dan lebih jauh di paragraf berikutnya kami akan memperkenalkan variabel di bawah tanda-tanda akar.

Bagaimana ini bisa digunakan untuk mengubah ekspresi? Sangat sederhana: misalnya, kita dapat mengganti ekspresi irasional dengan ekspresi, atau sebaliknya. Artinya, jika ekspresi yang dikonversi berisi ekspresi yang cocok dengan ekspresi dari bagian kiri (kanan) dari salah satu properti akar yang terdaftar, maka ekspresi tersebut dapat diganti dengan ekspresi yang sesuai dari bagian kanan (kiri). Ini adalah transformasi ekspresi menggunakan sifat-sifat akar.

Mari kita ambil beberapa contoh lagi.

Mari kita sederhanakan ekspresinya . Angka 3 , 5 dan 7 adalah positif, sehingga kita dapat menerapkan sifat-sifat akar dengan aman. Di sini Anda dapat bertindak secara berbeda. Misalnya, root berbasis properti dapat direpresentasikan sebagai , dan root berbasis properti dengan k=3 sebagai , dengan pendekatan ini, solusinya akan terlihat seperti ini:

Dimungkinkan untuk melakukan sebaliknya, mengganti dengan , dan kemudian dengan , dalam hal ini solusinya akan terlihat seperti ini:

Solusi lain dimungkinkan, misalnya:

Mari kita lihat contoh lain. Mari kita ubah ekspresinya. Melihat daftar properti akar, kami memilih darinya properti yang kami butuhkan untuk menyelesaikan contoh, jelas bahwa dua di antaranya dan berguna di sini, yang valid untuk a . Kita punya:

Atau, pertama-tama seseorang dapat mengubah ekspresi di bawah tanda akar menggunakan

dan kemudian menerapkan sifat-sifat akar

Sampai saat ini, kami telah mengonversi ekspresi yang hanya berisi akar kuadrat. Saatnya bekerja dengan root yang memiliki indikator lain.

Contoh.

Ubah Ekspresi Irasional .

Keputusan.

Berdasarkan properti faktor pertama dari produk yang diberikan dapat diganti dengan angka 2:

Pindah. Berdasarkan properti, faktor kedua dapat direpresentasikan sebagai, dan tidak ada salahnya untuk mengganti 81 dengan pangkat empat tiga, karena angka 3 muncul di faktor yang tersisa di bawah tanda akar:

Dianjurkan untuk mengganti akar pecahan dengan rasio akar bentuk , yang dapat diubah lebih lanjut: . Kita punya

Ekspresi yang dihasilkan setelah melakukan operasi dengan dua akan mengambil bentuk , dan tetap mengubah produk akar.

Untuk mengubah produk akar, mereka biasanya direduksi menjadi satu indikator, yang disarankan untuk mengambil indikator semua akar. Dalam kasus kami, KPK(12, 6, 12)=12 , dan hanya akar yang harus direduksi ke indikator ini, karena dua akar lainnya sudah memiliki indikator seperti itu. Untuk mengatasi tugas ini memungkinkan kesetaraan, yang diterapkan dari kanan ke kiri. Jadi . Mempertimbangkan hasil ini, kami memiliki

Sekarang produk akar dapat diganti dengan akar produk dan transformasi yang tersisa, sudah jelas, dapat dilakukan:

Mari kita buat versi singkat dari solusinya:

Menjawab:

.

Secara terpisah, kami menekankan bahwa untuk menerapkan sifat-sifat akar, perlu untuk mempertimbangkan pembatasan yang dikenakan pada angka di bawah tanda akar (a≥0, dll.). Mengabaikannya dapat menyebabkan hasil yang salah. Misalnya, kita tahu bahwa properti berlaku untuk a non-negatif. Berdasarkan itu, kita dapat dengan aman pergi, misalnya, dari ke, karena 8 adalah bilangan positif. Tetapi jika kita mengambil akar makna dari bilangan negatif, misalnya , , dan, berdasarkan sifat di atas, menggantikannya dengan , maka kita akan mengganti 2 dengan 2 . Memang, , a. Artinya, untuk a negatif, persamaannya mungkin salah, sama seperti sifat-sifat akar lainnya mungkin salah tanpa memperhitungkan kondisi yang ditentukan untuknya.

Tetapi apa yang dikatakan dalam paragraf sebelumnya tidak berarti sama sekali bahwa ekspresi dengan bilangan negatif di bawah tanda akar tidak dapat ditransformasikan menggunakan sifat-sifat akar. Mereka hanya perlu "dipersiapkan" terlebih dahulu dengan menerapkan aturan operasi dengan angka atau menggunakan definisi akar derajat ganjil dari angka negatif, yang sesuai dengan persamaan , di mana a adalah angka negatif (sementara a positif) . Misalnya, tidak dapat langsung digantikan oleh , karena 2 dan 3 adalah bilangan negatif, tetapi memungkinkan kita untuk berpindah dari akar ke , dan kemudian menerapkan properti akar dari produk: . Dan dalam salah satu contoh sebelumnya, perlu untuk berpindah dari akar ke akar derajat kedelapan belas tidak seperti ini, tetapi seperti ini .

Jadi, untuk mengubah ekspresi menggunakan properti akar, Anda perlu

• pilih properti yang sesuai dari daftar,
• pastikan bahwa angka-angka di bawah root memenuhi kondisi untuk properti yang dipilih (jika tidak, Anda perlu melakukan transformasi awal),
• dan melakukan transformasi yang diinginkan.

Mengonversi ekspresi dengan variabel di bawah tanda akar

Untuk mengubah ekspresi irasional yang tidak hanya berisi angka, tetapi juga variabel di bawah tanda akar, sifat-sifat akar yang tercantum dalam paragraf pertama artikel ini harus diterapkan dengan hati-hati. Hal ini disebabkan sebagian besar kondisi yang harus dipenuhi oleh angka-angka yang terlibat dalam rumus. Misalnya, berdasarkan rumus , ekspresi dapat diganti dengan ekspresi hanya untuk nilai x yang memenuhi kondisi x≥0 dan x+1≥0 , karena rumus yang ditentukan ditetapkan untuk a≥0 dan b≥ 0 .

Apa bahayanya mengabaikan kondisi ini? Jawaban atas pertanyaan ini ditunjukkan dengan jelas oleh contoh berikut. Katakanlah kita perlu menghitung nilai ekspresi ketika x=−2 . Jika kita segera mengganti angka 2 dengan variabel x, maka kita mendapatkan nilai yang kita butuhkan . Dan sekarang mari kita bayangkan bahwa, berdasarkan beberapa pertimbangan, kita mengonversi ekspresi yang diberikan ke bentuk , dan hanya setelah itu kita memutuskan untuk menghitung nilainya. Kami mengganti angka 2 alih-alih x dan sampai pada ekspresi , yang tidak masuk akal.

Mari kita lihat apa yang terjadi pada rentang nilai valid (ODV) dari variabel x saat kita berpindah dari ekspresi ke ekspresi. Kami menyebutkan ODZ bukan secara kebetulan, karena ini adalah alat yang serius untuk mengontrol diterimanya transformasi yang dilakukan, dan mengubah ODZ setelah transformasi ekspresi setidaknya harus waspada. Tidak sulit untuk menemukan ODZ untuk ekspresi ini. Untuk ekspresi, ODZ ditentukan dari pertidaksamaan x (x+1)≥0 , solusinya memberikan himpunan numerik (−∞, 1]∪∪∪)