Jika informasi tentang jarak suatu titik relatif terhadap bidang proyeksi diberikan tidak dengan menggunakan tanda numerik, tetapi dengan menggunakan proyeksi kedua dari titik yang dibangun pada bidang proyeksi kedua, maka gambar tersebut disebut dua gambar atau kompleks. Prinsip dasar pembuatan gambar tersebut diuraikan oleh G. Monge.

Metode yang digariskan oleh Monge - metode proyeksi ortogonal, di mana dua proyeksi diambil pada dua bidang proyeksi yang saling tegak lurus - memastikan ekspresi, keakuratan, dan keterukuran gambar objek pada bidang, telah dan tetap menjadi metode utama dalam menggambar gambar teknik.

Model tiga bidang proyeksi ditunjukkan pada gambar. Bidang ketiga yang tegak lurus terhadap P1 dan P2 ditandai dengan huruf P3 dan disebut profil. Proyeksi titik-titik pada bidang ini ditunjukkan dengan huruf kapital atau angka dengan indeks 3. Bidang proyeksi yang berpotongan berpasangan menentukan tiga sumbu 0x, 0y dan 0z, yang dapat dianggap sebagai sistem koordinat kartesius dalam ruang yang bermula pada titik 0. Ketiga bidang proyeksi membagi ruang menjadi delapan sudut segitiga – oktan. Seperti sebelumnya, kita asumsikan bahwa orang yang melihat suatu benda berada pada oktan pertama. Untuk memperoleh diagram, titik-titik pada sistem tiga bidang proyeksi, bidang P1 dan P3, diputar hingga sejajar dengan bidang P2. Saat menentukan sumbu pada diagram, sumbu semi negatif biasanya tidak ditunjukkan. Jika hanya bayangan benda itu sendiri yang penting, dan bukan posisinya relatif terhadap bidang proyeksi, maka sumbunya tidak diperlihatkan pada diagram. Koordinat adalah angka-angka yang ditetapkan pada suatu titik untuk menentukan posisinya dalam ruang atau pada suatu permukaan. Dalam ruang tiga dimensi, posisi suatu titik ditentukan menggunakan koordinat kartesius persegi panjang x, y dan z (absis, ordinat, dan aplikasi).

Kuliah 7, SRSP-7

2. Letak garis lurus terhadap bidang proyeksi.

3. Letak relatif suatu titik dan suatu garis, dua garis.

Memproyeksikan garis lurus

Untuk menentukan kedudukan suatu garis dalam ruang, ada cara sebagai berikut: 1. Dua titik (A dan B). Perhatikan dua titik di ruang A dan B (Gbr.). Melalui titik-titik ini Anda dapat menggambar garis lurus mempelajari suatu segmen. Untuk mencari proyeksi ruas ini pada bidang proyeksi, perlu dicari proyeksi titik A dan B dan menghubungkannya dengan garis lurus. Setiap proyeksi suatu segmen pada bidang proyeksi lebih kecil dari segmen itu sendiri:<; <; <.

2. Dua bidang (a; b). Metode pengaturan ini ditentukan oleh fakta bahwa dua bidang tidak sejajar berpotongan dalam ruang dalam satu garis lurus (metode ini dibahas secara rinci dalam mata kuliah geometri dasar).

3. Titik dan sudut kemiringan terhadap bidang proyeksi. Dengan mengetahui koordinat suatu titik yang termasuk dalam suatu garis dan sudut kemiringannya terhadap bidang proyeksi, seseorang dapat mengetahui kedudukan garis tersebut dalam ruang.

DI DALAM Tergantung pada posisi garis dalam kaitannya dengan bidang proyeksi, garis tersebut dapat menempati posisi umum dan posisi khusus. 1. Garis lurus yang tidak sejajar dengan suatu bidang proyeksi disebut garis lurus umum (Gbr.).

2. Garis yang sejajar dengan bidang proyeksi menempati posisi tertentu dalam ruang dan disebut garis datar. Bergantung pada bidang proyeksi mana garis lurus tersebut sejajar, ada:

2.1. Garis lurus yang sejajar dengan bidang proyeksi horizontal disebut horizontal atau horizontal (Gbr.).

2.2. Garis lurus yang sejajar dengan bidang proyeksi frontal disebut frontal atau frontal (Gbr.).

2.3. Proyeksi garis lurus yang sejajar dengan bidang profil disebut profil (Gbr.).

3. Garis yang tegak lurus terhadap bidang proyeksi disebut garis proyeksi. Garis yang tegak lurus terhadap salah satu bidang proyeksi sejajar dengan dua bidang proyeksi lainnya. Tergantung pada bidang proyeksi mana garis yang diteliti tegak lurus, ada:

3.1. Garis lurus yang menonjol ke depan - AB (Gbr.).

3.2. Profil yang menonjolkan garis lurus adalah AB (Gbr.).

] Terjemahan oleh V.F. Gaza. Komentar dan pengeditan oleh D.I. Kargina. Di bawah redaksi umum T.P. Kravet.
(Rumah Penerbitan Akademi Ilmu Pengetahuan Uni Soviet, 1947. - Seri “Ilmu Pengetahuan Klasik”)
Pemindaian, pemrosesan, format Djv: ???, penambahan dan koreksi: AAW, mor, 2010

• DAFTAR ISI:
  GEOMETRI DESKRIPTIF
  Program (9).
  Bagian satu
  1. Mata kuliah geometri deskriptif (13).
  2-9. Pertimbangan yang menentukan posisi suatu titik dalam ruang. Tentang metode proyeksi (Gbr. 1-3) (13).
  10. Perbandingan geometri deskriptif dengan aljabar (27).
  11-13. Konsep dasar merepresentasikan bentuk dan posisi permukaan. Aplikasi dan pesawat (28).
  14-22. Menyelesaikan beberapa masalah dasar pada garis lurus dan bidang (Gbr. 4-11) (33).
  Bagian dua
  23-26. Pada bidang singgung dan garis normal terhadap permukaan lengkung (45).
  27-31. Sebuah metode untuk membangun bidang singgung pada titik-titik tertentu pada permukaan lengkung (Gbr. 12-15) (48).
  32. Kondisi yang menentukan kedudukan suatu bidang yang bersinggungan dengan suatu permukaan lengkung; catatan pada permukaan yang dapat dikembangkan (59).
  33-34. Pada bidang yang bersinggungan dengan permukaan yang melalui titik-titik yang ditentukan di luar permukaan tersebut (62).
  35-44. Pada bidang yang bersinggungan dengan permukaan satu atau lebih bola. Sifat luar biasa dari lingkaran, bola, bagian kerucut dan permukaan lengkung orde kedua (Gbr. 16-22) (65).
  45-47. Tentang bidang yang bersinggungan dengan permukaan silinder, kerucut dan permukaan rotasi, yang ditarik melalui titik-titik yang ditentukan di luar permukaan tersebut (Gbr. 23-25) (81).
  Bagian ketiga
  48. Pada perpotongan permukaan lengkung. Definisi kurva kelengkungan ganda (89).
  49-50. Korespondensi antara operasi dalam geometri deskriptif dan eliminasi yang tidak diketahui dalam aljabar (90).
  51-56. Metode umum untuk menentukan proyeksi garis perpotongan permukaan. Modifikasi metode ini untuk beberapa kasus khusus (Gbr. 26) (92).
  57-58. Garis singgung garis perpotongan permukaan (98).
  59-83. Persimpangan permukaan: silinder, kerucut, dll. Persimpangan ini berkembang jika salah satu permukaan di mana persimpangan tersebut berada dikembangkan (Gbr. 27-35) (100).
  84-87. Metode Roberval dalam membangun garis singgung kurva yang diberikan oleh hukum gerak titik pembangkit. Penerapan metode ini pada elips dan garis perpotongan dua ellipsoid revolusi yang memiliki fokus yang sama (Gbr. 36-37) (128).
  Bagian empat
  88-102. Penerapan persimpangan permukaan untuk memecahkan berbagai masalah (Gambar 38-42) (132).
  Bagian lima
  103-109. Tentang kurva bidang dan kelengkungan ganda, tentang evolusi, involusi, dan jari-jari kelengkungannya (fng.43-45) (156).
  110-112. Tentang permukaan, yang merupakan tempat kedudukan geometri evolusi kurva kelengkungan ganda; suatu sifat luar biasa dari evolusi yang diperiksa di permukaan ini. Pembentukan setiap kurva kelengkungan ganda dengan gerakan terus menerus (163).
  113-124. Tentang permukaan melengkung. Bukti teorema: “Setiap permukaan hanya memiliki dua kelengkungan di setiap titik; setiap kelengkungan memiliki arahnya sendiri, jari-jarinya sendiri, dan dua busur yang digunakan untuk mengukur kelengkungan ini tegak lurus satu sama lain di permukaan (Gbr. 46-48) (166).
  125-129. Tentang garis kelengkungan suatu permukaan, tentang pusat kelengkungannya, dan tentang permukaan yang merupakan letak geometrisnya. Penerapan pada pembagian kubah menjadi batu baji dan pada seni ukiran (Gbr. 49) (176).
  130-131. Memotong batu kubah (180).
  TEORI BAYANGAN
  132. Tentang manfaat bayangan yang diterapkan pada diagram (187).
  133-135. Tentang konstruksi bayangan (gambar 50-52) (189).
  TEORI PERSPEKTIF
  136-139 Metode menggambarkan objek dalam perspektif (Gbr. 53) (212).
  140-142. Tentang penentuan corak dalam penggambaran objek dan perspektif udara (223).
  143. Tentang perubahan warna dalam keadaan tertentu (233).
  APLIKASI
  DI. Foto-foto. Gaspard Monge dan “Geometri Deskriptif” (245).
  SAYA. Lukomskaya. Daftar karya dan literatur tentang kehidupan dan karya Gaspard Monge (258).
  Catatan (271).

Informasi dan metode konstruksi, yang ditentukan oleh kebutuhan akan gambar datar bentuk spasial, telah terakumulasi secara bertahap sejak zaman kuno. Untuk jangka waktu yang lama, gambar datar ditampilkan terutama sebagai gambar visual. Dengan berkembangnya teknologi, muncul pertanyaan tentang penggunaan metode yang menjamin keakuratan dan keterukuran gambar, yaitu kemampuan untuk secara akurat menetapkan lokasi setiap titik gambar relatif terhadap titik atau bidang lain dan, dengan menggunakan teknik sederhana, menentukan ukuran segmen garis dan gambar, telah menjadi hal yang sangat penting. Secara bertahap, akumulasi aturan dan teknik individu untuk membangun gambar-gambar tersebut dibawa ke dalam suatu sistem dan dikembangkan dalam karya ilmuwan Prancis Monge, yang diterbitkan pada tahun 1799 dengan judul “Géometrie déscriptive”.

Gaspard Monge (1746-1818) tercatat dalam sejarah sebagai ahli geometri utama Perancis pada akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19, insinyur, tokoh masyarakat dan negarawan selama revolusi 1789-1794. dan masa pemerintahan Napoleon I, salah satu pendiri Ecole Polytechnique yang terkenal di Paris, peserta dalam upaya pengenalan sistem metrik berat dan ukuran. Sebagai salah satu menteri dalam pemerintahan revolusioner Perancis, Monge melakukan banyak hal untuk melindunginya dari intervensi asing dan demi kemenangan pasukan revolusioner. Monge tidak segera mendapat kesempatan untuk mempublikasikan karyanya yang menguraikan metode yang dikembangkannya. Mengingat betapa pentingnya metode ini dalam membuat gambar benda-benda penting militer dan tidak ingin metode Monge dikenal di luar Perancis, pemerintahnya melarang pencetakan buku tersebut. Baru pada akhir abad ke-18 larangan ini dicabut. Setelah restorasi Bourbon, Gaspard Monge dianiaya, dipaksa bersembunyi dan mengakhiri hidupnya dalam kemiskinan. Metode yang digariskan oleh Monge adalah metode proyeksi paralel (proyeksi persegi panjang diambil pada dua bidang proyeksi yang saling tegak lurus)- memastikan ekspresi, keakuratan, dan keterukuran gambar objek di bidang, telah dan tetap menjadi metode utama pembuatan gambar teknik.

Kata persegi panjang sering diganti dengan kata ortogonal, dibentuk dari kata Yunani kuno yang berarti “lurus” dan “sudut”. Pada pemaparan berikut, istilah tersebut proyeksi ortogonal akan digunakan untuk menunjuk sistem proyeksi persegi panjang pada bidang yang saling tegak lurus.

Kursus ini berfokus terutama pada proyeksi persegi panjang. Dalam hal menggunakan proyeksi miring paralel, ini akan ditentukan setiap saat.

Geometri deskriptif (DGE) telah menjadi mata pelajaran di negara kita sejak tahun 1810, ketika kelas geometri deskriptif, bersama dengan disiplin kurikulum lainnya, dimulai di Institut Korps Insinyur Kereta Api yang baru didirikan. Hal ini disebabkan oleh kepentingan praktisnya yang semakin meningkat.

Di Institut Korps Insinyur Kereta Api 1) kegiatan mengajar Yakov Aleksandrovich Sevastyanov (1796-1849), yang lulus dari lembaga ini pada tahun 1814, berlangsung, yang namanya dikaitkan dengan kemunculan karya pertama sastra modern di Rusia. g., pertama diterjemahkan dari bahasa Perancis, dan kemudian karya asli pertama berjudul “Foundations of Descriptive Geometry” (1821), terutama ditujukan untuk presentasi metode proyeksi ortogonal.

1) Sekarang Institut Insinyur Kereta Api Leningrad dinamai demikian. Akademisi V.N.

Ya.A.Sevastyanov memberikan ceramah dalam bahasa Rusia, meskipun pengajaran pada tahun-tahun itu umumnya dilakukan dalam bahasa Prancis. Dengan demikian, Y. A. Sevastyanov meletakkan dasar bagi pengajaran dan pembentukan terminologi di zaman modern. dalam bahasa ibu mereka. Bahkan selama kehidupan Ya.A.Sevastyanov n. termasuk dalam kurikulum sejumlah lembaga pendidikan sipil dan militer.

Sebuah tanda besar dalam perkembangan zaman modern. Pada abad ke-19, Nikolai Ivanovich Makarov (1824-1904), yang mengajar mata pelajaran ini di Institut Teknologi St. Petersburg, dan Valerian Ivanovich Kurdyumov (1853-1904), yang menjadi profesor di Institut Insinyur Kereta Api St. di departemen seni konstruksi, ditinggalkan di Rusia di institut ini kursus n. d.Dalam praktik mengajarnya, V.I.Kurdyumov memberikan banyak contoh penggunaan n. untuk menyelesaikan permasalahan rekayasa.

Aktivitas dan karya V.I. Kurdyumov seolah mengakhiri periode perkembangan ilmu pengetahuan modern yang telah berlangsung hampir satu abad. dan pengajarannya di Rusia. Selama periode ini, perhatian terbesar diberikan pada organisasi pengajaran, penciptaan karya yang dimaksudkan sebagai buku teks, dan pengembangan teknik dan metode yang lebih baik untuk memecahkan sejumlah masalah. Ini adalah momen-momen penting dan perlu dalam pengembangan pengajaran n. G.; Namun, perkembangan ilmu pengetahuannya tertinggal dibandingkan kemajuan di bidang metode penyajian subjek. Hanya dalam karya V.I. Kurdyumov teori tersebut mendapat refleksi yang lebih jelas. Sedangkan di beberapa negara asing pada abad ke 19 Masehi. telah menerima perkembangan ilmiah yang signifikan. Tentunya untuk menghilangkan backlog dan untuk pengembangan lebih lanjut muatan ilmiah N. d.perlu memperluas landasan teorinya dan beralih ke pekerjaan penelitian.

Hal ini dapat dilihat dalam karya dan aktivitas Evgraf Stepanovich Fedorov (1853 - 1919), ilmuwan terkenal Rusia, ahli geometri-kristalograf, dan Nikolai Alekseevich Rynin (1877-1942), yang sudah berada di tahun-tahun terakhir sebelum Revolusi Sosialis Oktober Besar beralih ke pengembangan geometri deskriptif sebagai Ilmu. Hingga saat ini, geometri deskriptif sebagai ilmu telah mendapat perkembangan signifikan dalam karya ilmuwan Soviet N.A. Glagolev (1888-1945), A.I (1884-1963), S. M. Kolotov (1885-1965), N. F. Chetverukhin (1891-1974), I. I. Kotov (1909-1976) dan banyak lainnya.

Pertanyaan untuk Bab I

1. Bagaimana proyeksi sentral suatu titik dibangun?
2. Kapan proyeksi pusat suatu garis lurus mewakili suatu titik?
3. Apa metode proyeksi yang disebut paralel?
4. Bagaimana proyeksi paralel garis lurus dibuat?
5. Dapatkah proyeksi sejajar suatu garis lurus mewakili suatu titik?
6. Jika suatu titik termasuk dalam suatu garis tertentu, lalu bagaimana letak proyeksinya?
7. Dalam hal apa dalam proyeksi paralel suatu ruas garis lurus diproyeksikan ke ukuran aslinya?
8. Apa metode Monge?
9. Apa kepanjangan dari kata “ortogonal”?

Metode Monge, atau metode proyeksi, adalah metode proyeksi paralel, dan proyeksi persegi panjang diambil pada dua bidang proyeksi yang saling tegak lurus. Bidang yang terletak mendatar disebut bidang proyeksi horizontal (dilambangkan P1), dan bidang yang terletak vertikal disebut bidang proyeksi frontal (dilambangkan P2).

Garis perpotongan bidang proyeksi disebut sumbu proyeksi. Sumbu proyeksi membagi masing-masing bidang P1 dan P2 menjadi setengah bidang. Penunjukan X digunakan untuk sumbu ini (Gambar 3). Gambar 4 menunjukkan konstruksi proyeksi titik A tertentu pada sistem P1, P2.

Gambar 3 Gambar 4

Proyeksi titik A pada bidang proyeksi horizontal diperoleh dengan menggunakan sinar proyeksi yang ditarik melalui titik A tegak lurus P1 hingga berpotongan dengannya. Titik potong tersebut disebut proyeksi mendatar titik A dan dilambangkan dengan A1.

Proyeksi frontal titik A diperoleh dengan menyilangkan sinar proyeksi yang ditarik melalui titik A tegak lurus P2 dan dilambangkan dengan A2.

Proyeksi profil titik dan garis lurus juga sangat sering dipertimbangkan. Bidang proyeksi profil (P3) terletak tegak lurus terhadap kedua bidang proyeksi (Gambar 5).

Garis perpotongan bidang proyeksi disebut sumbu proyeksi. Ada total tiga sumbu: sumbu OX, sumbu OU, dan sumbu OZ.

Gambar 5 Gambar 6

Jika titik A diproyeksikan ke ketiga bidang proyeksi, kita memperoleh tiga proyeksi titik A - horizontal A1, frontal A2 dan profil A3 (Gambar 6). Jika Anda perlu membuat gambar kompleks atau diagram Monge (sama saja) untuk titik A, maka gambar spasial atau visual harus diubah menjadi gambar planar. Gambar 7 menunjukkan bagaimana bidang proyeksi terbuka: bidang frontal tetap pada tempatnya, bidang horizontal diubah dengan memutar 90 derajat mengelilingi sumbu OX hingga sejajar dengan bidang frontal, dan bidang profil diputar 90 derajat ke kanan mengelilingi OZ sumbu sampai sejajar dengan bagian depan. Dalam hal ini, sumbu proyeksi op-amp tampaknya bercabang dua - ia berpartisipasi dalam pembentukan bidang proyeksi horizontal dan diperlukan untuk bidang profil proyeksi.

Gambar 7 Gambar 8

Dengan demikian, diagram titiknya akan terlihat seperti pada Gambar 8. Selain itu, perlu diperhatikan bahwa jarak titik A ke bidang P1 akan dinyatakan dengan koordinat Z, jarak titik A ke bidang P2 akan dinyatakan dengan koordinat Z. dinyatakan dengan koordinat Y, dan pada bidang P3 - koordinat X.

Selama Direktori, ia menjadi dekat dengan Napoleon, ikut serta dalam kampanyenya di Mesir dan pendirian Institut Mesir di Kairo (1798); diangkat untuk dihitung.

Monge Gaspard (10.5.1746-28.7.1818) - Ahli geometri dan tokoh masyarakat Prancis, Anggota Akademi Ilmu Pengetahuan Paris (1780). Pencipta geometri deskriptif, salah satu penyelenggara Ecole Polytechnique di Paris dan direktur jangka panjangnya. Lahir di Bon Côte d'0r. Lulus dari Sekolah Insinyur Militer di Mézières. Dari tahun 1768 ia menjadi profesor matematika, dan dari tahun 1771 juga menjadi profesor fisika di sekolah ini ). Dia terlibat dalam analisis matematika, kimia, meteorologi, mekanika praktis. Selama revolusi borjuis Perancis, dia bekerja di komisi untuk membangun sistem bobot dan ukuran baru, kemudian dia menjadi Menteri Urusan Angkatan Laut dan penyelenggara nasional. pertahanan.Selama Direktori, ia menjadi dekat dengan Napoleon, mengambil bagian dalam kampanyenya di Mesir dan pendiriannya di Kairo. Institut Mesir (1798); ia menerima pengakuan dunia, menciptakan (pada tahun 70-an) metode gambar proyeksi modern dan dasar-dasarnya - geometri deskriptif. Karya utama Monge tentang masalah ini adalah “Geometri Deskriptif”; Ia juga membuat penemuan penting dalam geometri diferensial. persamaan berbagai permukaan diterbitkan. Pada tahun 1804 buku “Penerapan Analisis dalam Geometri” diterbitkan. Di dalamnya, Monge mempertimbangkan permukaan silinder dan kerucut yang dibentuk oleh pergerakan garis horizontal yang melewati garis vertikal tetap, permukaan “saluran”, permukaan di mana garis dengan kemiringan terbesar di mana-mana membentuk sudut konstan dengan bidang horizontal; permukaan transfer, dll. Sebagai lampiran buku ini, Monge memberikan teorinya tentang integrasi persamaan diferensial parsial orde 1 dan solusinya terhadap masalah getaran tali. Untuk setiap jenis permukaan, pertama-tama saya menurunkan persamaan diferensial, kemudian persamaan berhingga. Yang pertama melambangkan huruf p dan q untuk turunan parsial z terhadap x dan y, dan huruf r, s dan t untuk turunan orde 2.