sinus angka sebuah disebut ordinat titik yang menggambarkan angka ini pada lingkaran angka. Sinus sudut dalam sebuah radian disebut sinus suatu bilangan sebuah.

sinus- fungsi angka x. Dia domain

Rentang sinus- segmen dari -1 sebelum 1 , karena sejumlah segmen ini pada sumbu y adalah proyeksi dari beberapa titik pada lingkaran, tetapi tidak ada titik di luar segmen ini yang merupakan proyeksi dari salah satu titik ini.

Periode sinus

Tanda sinus:

1. sinus adalah nol di , dimana n- bilangan bulat apa pun;

2. sinus positif di , dimana n- bilangan bulat apa pun;

3. sinus negatif di

Di mana n- bilangan bulat apa pun.

sinus- fungsi aneh x dan -x, maka ordinatnya - sinus - juga akan berlawanan. Yaitu untuk siapa saja x.

1. Sinus meningkat pada segmen , di mana n- bilangan bulat apa pun.

2. Sinus berkurang pada segmen , di mana n- bilangan bulat apa pun.

Pada ;

pada .

Kosinus

kosinus angka sebuah disebut absis dari titik yang menggambarkan angka ini pada lingkaran angka. Kosinus sudut di sebuah radian disebut kosinus suatu bilangan sebuah.

Kosinus adalah fungsi bilangan. Dia domain- himpunan semua bilangan, karena untuk bilangan apa pun Anda dapat menemukan ordinat titik yang mewakilinya.

Rentang kosinus- segmen dari -1 sebelum 1 , karena sejumlah segmen ini pada sumbu x merupakan proyeksi dari beberapa titik pada lingkaran, tetapi tidak ada titik di luar segmen ini yang merupakan proyeksi dari salah satu titik ini.

periode kosinus adalah sama dengan . Lagi pula, setiap kali posisi titik yang mewakili angka diulang persis.

Tanda kosinus:

1. cosinus adalah nol di , dimana n- bilangan bulat apa pun;

2. cosinus positif di , di mana n- bilangan bulat apa pun;

3. cosinus negatif di , di mana n- bilangan bulat apa pun.

Kosinus- fungsi bahkan. Pertama, domain definisi fungsi ini adalah himpunan semua bilangan, yang berarti simetris terhadap asal. Dan kedua, jika kita menunda dua angka yang berlawanan dari awal: x dan -x, maka absis - cosinus - akan sama. Yaitu

untuk siapa saja x.

1. Cosinus meningkat pada segmen , di mana n- bilangan bulat apa pun.

2. Cosinus berkurang pada segmen , di mana n- bilangan bulat apa pun.

pada ;

pada .

Garis singgung

garis singgung nomor adalah rasio sinus dari nomor ini ke cosinus dari nomor ini:.

garis singgung sudut dalam sebuah radian disebut garis singgung suatu bilangan sebuah.

Garis singgung adalah fungsi bilangan. Dia domain- himpunan semua bilangan yang kosinusnya tidak sama dengan nol, karena tidak ada batasan lain pada definisi garis singgung. Dan karena cosinus adalah nol di , maka , di mana .

Rentang Tangen

Periode Tangen x(tidak sama), berbeda satu sama lain dengan , dan menggambar garis lurus melalui mereka, maka garis lurus ini akan melewati titik asal dan memotong garis singgung di beberapa titik t. Jadi ternyata, yaitu, angkanya adalah periode garis singgung.

Tanda singgung: tangen adalah perbandingan antara sinus dan cosinus. Jadi dia

1. adalah nol ketika sinus adalah nol, yaitu, ketika , Dimana n- bilangan bulat apa pun.

2. positif jika sinus dan cosinus memiliki tanda yang sama. Ini hanya terjadi pada kuartal pertama dan ketiga, yaitu ketika , di mana sebuah- bilangan bulat apa pun.

3. negatif jika sinus dan kosinus memiliki tanda yang berbeda. Ini hanya terjadi pada kuarter kedua dan keempat, yaitu ketika , di mana sebuah- bilangan bulat apa pun.

Garis singgung- fungsi aneh. Pertama, domain definisi fungsi ini simetris terhadap asal. Dan kedua, . Karena keanehan sinus dan kemerataan cosinus, pembilang dari pecahan yang dihasilkan sama dengan, dan penyebutnya sama dengan, yang berarti bahwa pecahan ini sendiri sama dengan.

Jadi ternyata.

Cara, tangen meningkat di setiap bagian dari domain definisinya, yaitu, pada semua interval bentuk , di mana sebuah- bilangan bulat apa pun.

Kotangens

Kotangens nomor adalah rasio cosinus dari nomor ini ke sinus dari nomor ini: . Kotangens sudut dalam sebuah radian disebut kotangen suatu bilangan sebuah. Kotangens adalah fungsi bilangan. Dia domain- himpunan semua bilangan yang sinusnya tidak sama dengan nol, karena tidak ada batasan lain pada definisi kotangen. Dan karena sinus adalah nol di , maka , Dimana

Rentang Kotangen adalah himpunan semua bilangan real.

Periode kotangen adalah sama dengan . Lagi pula, jika kita mengambil dua nilai yang mungkin x(tidak sama), berbeda satu sama lain dengan , dan menggambar garis lurus melalui mereka, maka garis lurus ini akan melewati titik asal dan memotong garis kotangen di beberapa titik t. Jadi ternyata, yaitu, bilangan itu adalah periode kotangen.

Dalam artikel ini, tiga sifat utama fungsi trigonometri akan dipertimbangkan: sinus, kosinus, tangen, dan kotangen.

Sifat pertama adalah tanda fungsi, tergantung pada seperempat dari satuan lingkaran yang dimiliki sudut . Sifat kedua adalah periodisitas. Menurut sifat ini, fungsi tigonometri tidak berubah nilainya ketika sudut berubah dengan jumlah putaran bilangan bulat. Properti ketiga menentukan bagaimana nilai fungsi sin, cos, tg, ctg berubah pada sudut yang berlawanan dan - .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Seringkali dalam teks matematika atau dalam konteks masalah, Anda dapat menemukan frasa: "sudut dari seperempat koordinat pertama, kedua, ketiga atau keempat." Apa itu?

Mari kita lihat lingkaran satuan. Itu dibagi menjadi empat perempat. Kami menandai titik awal A 0 (1, 0) pada lingkaran dan, memutarnya di sekitar titik O dengan sudut , kami sampai ke titik A 1 (x, y) . Bergantung pada kuartal mana titik A 1 (x, y) akan terletak, sudut masing-masing akan disebut sudut kuadran pertama, kedua, ketiga dan keempat.

Untuk lebih jelasnya, kami berikan ilustrasi.

Sudut = 30° terletak di kuadran pertama. Sudut - 210 ° adalah sudut seperempat kedua. Sudut 585 ° adalah sudut seperempat ketiga. Sudut - 45° adalah sudut seperempat keempat.

Dalam hal ini, sudut ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° tidak termasuk dalam seperempat mana pun, karena terletak pada sumbu koordinat.

Sekarang perhatikan tanda-tanda yang mengambil sinus, cosinus, tangen dan kotangen, tergantung pada kuartal mana sudut itu berada.

Untuk menentukan tanda-tanda sinus dalam seperempat, ingat definisinya. Sinus adalah ordinat dari titik A 1 (x , y) . Gambar tersebut menunjukkan bahwa pada kuartal pertama dan kedua positif, dan pada kuartal ketiga dan empat kali negatif.

Kosinus adalah absis dari titik A 1 (x, y) . Sesuai dengan ini, kami menentukan tanda-tanda kosinus pada lingkaran. Kosinus positif pada kuartal pertama dan keempat dan negatif pada kuartal kedua dan ketiga.

Untuk menentukan tanda-tanda tangen dan kotangen dengan seperempat, kita juga mengingat definisi fungsi trigonometri ini. Tangen - rasio ordinat titik ke absis. Artinya, menurut aturan pembagian bilangan yang berbeda tandanya, jika ordinat dan absisnya sama tandanya, maka tanda garis singgung lingkaran akan positif, dan jika ordinat dan absisnya berbeda tandanya, maka tandanya negatif. . Demikian pula, tanda-tanda kotangen di perempat ditentukan.

Penting untuk diingat!

1. Sinus sudut memiliki tanda plus di kuartal 1 dan 2, tanda minus di kuartal 3 dan 4.
2. Kosinus sudut memiliki tanda plus di kuartal 1 dan 4, tanda minus di kuartal 2 dan 3.
3. Garis singgung sudut memiliki tanda plus di kuartal 1 dan 3, tanda minus di kuartal 2 dan 4.
4. Kotangen dari sudut memiliki tanda plus di kuartal 1 dan 3, tanda minus di kuartal 2 dan 4.

Sifat periodisitas

Sifat periodisitas adalah salah satu sifat yang paling jelas dari fungsi trigonometri.

Sifat periodisitas

Ketika sudut berubah dengan jumlah putaran penuh bilangan bulat, nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari sudut yang diberikan tetap tidak berubah.

Memang, ketika mengubah sudut dengan bilangan bulat jumlah putaran, kita akan selalu mendapatkan dari titik awal A pada lingkaran satuan ke titik A 1 dengan koordinat yang sama. Dengan demikian, nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen tidak akan berubah.

Secara matematis, sifat ini ditulis sebagai berikut:

sin + 2 π z = sin cos + 2 z = cos t g α + 2 z = t g c t g + 2 π z = c t g

Apa aplikasi praktis dari properti ini? Sifat periodisitas, seperti rumus reduksi, sering digunakan untuk menghitung nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari sudut besar.

Mari kita beri contoh.

dosa 13 5 \u003d dosa 3 5 + 2 \u003d dosa 3 5

t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)

Mari kita lihat lingkaran satuan lagi.

Titik A 1 (x, y) adalah hasil dari memutar titik awal A 0 (1, 0) di sekitar pusat lingkaran dengan sudut α. Titik A 2 (x, - y) adalah hasil putaran titik awal dengan sudut - .

Titik A 1 dan A 2 simetris terhadap sumbu x. Dalam kasus ketika = 0 ° , ± 180 ° , ± 360 ° titik A 1 dan A 2 bertepatan. Biarkan satu titik memiliki koordinat (x , y) , dan yang kedua - (x , - y) . Ingat definisi sinus, cosinus, tangen, kotangen dan tulis:

sin = y , cos = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - = - y , cos - = x , t g - = - y x , c t g - = x - y

Ini menyiratkan properti sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen dari sudut yang berlawanan.

Sifat-sifat sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari sudut yang berlawanan

sin - = - sin cos - = cos α t g - = - t g α c t g - α = - c t g

Menurut properti ini, persamaan

sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - 9 , cos 18 ° = cos - 18 °

Properti yang dipertimbangkan sering digunakan dalam memecahkan masalah praktis dalam kasus di mana perlu untuk menghilangkan tanda negatif sudut dalam argumen fungsi trigonometri.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Jika Anda sudah akrab dengan lingkaran trigonometri , dan Anda hanya ingin menyegarkan elemen individu dalam memori Anda, atau Anda benar-benar tidak sabar, maka ini dia, :

Di sini kita akan menganalisis semuanya secara rinci langkah demi langkah.

Lingkaran trigonometri bukanlah kemewahan, tetapi kebutuhan

Trigonometri banyak yang berhubungan dengan semak belukar yang tidak bisa dilewati. Tiba-tiba, begitu banyak nilai fungsi trigonometri menumpuk, begitu banyak rumus ... Tapi, bagaimanapun, itu tidak berhasil pada awalnya, dan ... terus-menerus ... kesalahpahaman belaka .. .

Sangat penting untuk tidak melambaikan tangan Anda pada nilai fungsi trigonometri, - kata mereka, Anda selalu dapat melihat taji dengan tabel nilai.

Jika Anda terus-menerus melihat tabel dengan nilai-nilai rumus trigonometri, mari kita hilangkan kebiasaan ini!

Akan menyelamatkan kita! Anda akan bekerja dengannya beberapa kali, dan kemudian itu akan muncul di kepala Anda dengan sendirinya. Mengapa lebih baik dari meja? Ya, di tabel Anda akan menemukan sejumlah nilai, tetapi pada lingkaran - SEMUANYA!

Misalnya, katakanlah, melihat tabel nilai standar rumus trigonometri , yang merupakan sinus dari, katakanlah, 300 derajat, atau -45.

Tidak mungkin? .. Anda tentu saja dapat terhubung rumus pengurangan... Dan melihat lingkaran trigonometri, Anda dapat dengan mudah menjawab pertanyaan seperti itu. Dan Anda akan segera tahu caranya!

Dan ketika memecahkan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri tanpa lingkaran trigonometri - tidak ada sama sekali.

Pengenalan lingkaran trigonometri

Mari kita pergi secara berurutan.

Pertama, tuliskan barisan bilangan berikut:

Dan sekarang ini:

Dan akhirnya yang ini:

Tentu saja, jelas bahwa, pada kenyataannya, di tempat pertama adalah, di tempat kedua, dan terakhir -. Artinya, kita akan lebih tertarik pada rantai.

Tapi ternyata sangat indah! Dalam hal ini, kami akan mengembalikan "tangga yang luar biasa" ini.

Dan mengapa kita membutuhkannya?

Rantai ini adalah nilai utama sinus dan cosinus pada kuartal pertama.

Mari kita menggambar lingkaran dengan jari-jari satuan dalam sistem koordinat persegi panjang (yaitu, kita mengambil jari-jari apa pun sepanjang panjangnya, dan menyatakan panjangnya sebagai satuan).

Dari balok "0-Start", kami menyisihkan ke arah sudut panah (lihat Gambar.).

Kami mendapatkan poin yang sesuai pada lingkaran. Jadi, jika kita memproyeksikan titik ke masing-masing sumbu, maka kita akan mendapatkan nilai persis dari rantai di atas.

Mengapa demikian, Anda bertanya?

Jangan sampai semuanya terpisah. Mempertimbangkan prinsip, yang akan memungkinkan Anda untuk mengatasi situasi serupa lainnya.

Segitiga AOB adalah segitiga siku-siku dengan . Dan kita tahu bahwa di seberang sudut di terletak kaki dua kali lebih kecil dari sisi miring (sisi miring kita = jari-jari lingkaran, yaitu 1).

Oleh karena itu, AB= (dan karenanya OM=). Dan dengan teorema Pythagoras

Saya harap ada sesuatu yang jelas sekarang.

Jadi titik B akan sesuai dengan nilainya, dan titik M akan sesuai dengan nilainya

Begitu pula dengan sisa nilai kuartal pertama.

Seperti yang Anda pahami, sumbu yang kita kenal (lembu) adalah sumbu kosinus, dan sumbu (oy) - sumbu sinus . nanti.

Di sebelah kiri nol pada sumbu cosinus (di bawah nol pada sumbu sinus), tentu saja akan ada nilai negatif.

Jadi, ini dia, YANG SANGAT KUAT, yang tanpanya tidak ada tempat dalam trigonometri.

Tapi bagaimana menggunakan lingkaran trigonometri, kita akan bicara.

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja ketika Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk alasan keamanan, penegakan hukum, atau kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja ketika Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk alasan keamanan, penegakan hukum, atau kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.