Mononomial adalah salah satu jenis ekspresi utama yang dipelajari sebagai bagian dari kursus aljabar sekolah. Dalam materi ini, kami akan memberi tahu Anda apa ekspresi ini, menentukan bentuk standarnya dan menunjukkan contoh, serta menangani konsep terkait, seperti tingkat monomial dan koefisiennya.
Apa itu monomial?
Buku pelajaran sekolah biasanya memberikan definisi konsep ini sebagai berikut:
Definisi 1
Monomer termasuk angka, variabel, serta derajatnya dengan indikator alami, dan berbagai jenis produk yang dibuat darinya.
Berdasarkan definisi ini, kita dapat memberikan contoh ekspresi seperti itu. Jadi, semua angka 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 akan mengacu pada monomial. Semua variabel, misalnya, x , a , b , p , q , t , y , z juga akan menjadi monomial menurut definisi. Ini juga termasuk pangkat variabel dan angka, misalnya 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 dan t 15, serta ekspresi seperti 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z dll. Harap dicatat bahwa monomial dapat mencakup satu angka atau variabel, atau beberapa, dan mereka dapat disebutkan beberapa kali sebagai bagian dari satu polinomial.
Jenis bilangan seperti bilangan bulat, rasional, natural juga termasuk dalam monomial. Anda juga dapat memasukkan bilangan real dan kompleks di sini. Jadi, ekspresi seperti 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 x 3 juga akan menjadi monomial.
Apa bentuk standar dari monomial dan bagaimana mengubah ekspresi menjadi itu
Untuk kenyamanan kerja, semua monomial pertama-tama direduksi menjadi bentuk khusus, yang disebut bentuk standar. Mari kita lebih spesifik tentang apa artinya ini.
Definisi 2
Bentuk standar dari monomial mereka menyebutnya sebagai bentuk di mana itu adalah produk dari faktor numerik dan kekuatan alami dari variabel yang berbeda. Faktor numerik, juga disebut koefisien monomial, biasanya ditulis pertama dari sisi kiri.
Untuk kejelasan, kami memilih beberapa monomial dari bentuk standar: 6 (ini adalah monomial tanpa variabel), 4 · a , 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Ini juga termasuk ungkapan x y(di sini koefisien akan sama dengan 1), x 3(di sini koefisiennya adalah - 1).
Sekarang kami memberikan contoh monomial yang perlu dibawa ke bentuk standar: 4 a 2 a 3(di sini Anda perlu menggabungkan variabel yang sama), 5 x (− 1) 3 y 2(di sini Anda perlu menggabungkan faktor numerik di sebelah kiri).
Biasanya, dalam kasus ketika monomial memiliki beberapa variabel yang ditulis dalam huruf, faktor huruf ditulis dalam urutan abjad. Misalnya, entri yang disukai 6 a b 4 c z 2, bagaimana b 4 6 a z 2 c. Namun, urutannya mungkin berbeda jika tujuan komputasi mengharuskannya.
Setiap monomial dapat direduksi menjadi bentuk standar. Untuk melakukan ini, Anda perlu melakukan semua transformasi identik yang diperlukan.
Konsep derajat monomial
Gagasan yang menyertainya tentang tingkat monomial sangat penting. Mari kita tuliskan definisi dari konsep ini.
Definisi 3
Derajat monomial, ditulis dalam bentuk standar, adalah jumlah eksponen dari semua variabel yang termasuk dalam catatannya. Jika tidak ada variabel tunggal di dalamnya, dan monomial itu sendiri berbeda dari 0, maka derajatnya akan menjadi nol.
Mari kita berikan contoh derajat monomial.
Contoh 1
Jadi, monomial a memiliki derajat 1 karena a = a 1 . Jika kita memiliki monomial 7 , maka itu akan memiliki derajat nol, karena tidak memiliki variabel dan berbeda dari 0 . Dan inilah entrinya 7 a 2 x y 3 a 2 akan menjadi monomial dari derajat ke-8, karena jumlah eksponen dari semua derajat variabel yang termasuk di dalamnya akan sama dengan 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .
Monomial standar dan polinomial asli akan memiliki derajat yang sama.
Contoh 2
Mari tunjukkan cara menghitung derajat monomial 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. Dalam bentuk standar, dapat ditulis sebagai 6 x 8 y 4. Kami menghitung derajat: 8 + 4 = 12 . Oleh karena itu, derajat polinomial asli juga sama dengan 12 .
Konsep koefisien monomial
Jika kita memiliki monomial standar yang mencakup setidaknya satu variabel, maka kita membicarakannya sebagai produk dengan satu faktor numerik. Faktor ini disebut koefisien numerik, atau koefisien monomial. Mari kita tuliskan definisinya.
Definisi 4
Koefisien monomial adalah faktor numerik dari monomial yang direduksi menjadi bentuk standar.
Ambil, misalnya, koefisien berbagai monomial.
Contoh 3
Jadi, dalam ekspresi 8 a 3 koefisien akan menjadi angka 8, dan dalam (− 2 , 3) x y z mereka akan − 2 , 3 .
Perhatian khusus harus diberikan pada koefisien yang sama dengan satu dan minus satu. Sebagai aturan, mereka tidak secara eksplisit ditunjukkan. Dipercaya bahwa dalam monomial bentuk standar, di mana tidak ada faktor numerik, koefisiennya adalah 1, misalnya, dalam ekspresi a, x z 3, a t x, karena dapat dianggap sebagai 1 a, x z 3 - sebagai 1xz 3 dll.
Demikian pula, dalam monomial yang tidak memiliki faktor numerik dan yang dimulai dengan tanda minus, kita dapat mempertimbangkan koefisien - 1.
Contoh 4
Misalnya, ekspresi x, x 3 y z 3 akan memiliki koefisien seperti itu, karena dapat direpresentasikan sebagai x = (− 1) x, x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 dst.
Jika monomial tidak memiliki pengganda literal tunggal sama sekali, maka dimungkinkan untuk berbicara tentang koefisien dalam kasus ini juga. Koefisien dari angka-angka monomial tersebut akan menjadi angka-angka ini sendiri. Jadi, misalnya, koefisien monomial 9 akan sama dengan 9.
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter
1. Koefisien bilangan bulat positif. Misalkan monomial +5a, karena bilangan positif +5 dianggap sama dengan bilangan aritmatika 5, maka
5a = a 5 = a + a + a + a + a.
Juga +7xy² = xy² ∙ 7 = xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy²; +3a³ = a³ 3 = a³ + a³ + a³; +2abc = abc 2 = abc + abc dan seterusnya.
Berdasarkan contoh-contoh ini, kita dapat menetapkan bahwa koefisien bilangan bulat positif menunjukkan berapa kali faktor literal (atau: perkalian faktor literal) dari monomial diulangi oleh suku tersebut.
Seseorang harus terbiasa dengan ini sedemikian rupa sehingga segera muncul dalam imajinasi bahwa, misalnya, dalam polinomial
3a + 4a² + 5a³
masalahnya direduksi menjadi fakta bahwa a² pertama diulang 3 kali sebagai suku, kemudian a³ diulang 4 kali sebagai suku, dan kemudian a diulang 5 kali sebagai suku.
Juga: 2a + 3b + c = a + a + b + b + b + c
x³ + 2xy² + 3y³ = x³ + xy² + xy² + y³ + y³ + y³ dll.
2. Koefisien pecahan positif. Biarkan kita memiliki monomial +a. Karena angka positif + bertepatan dengan angka aritmatika, maka +a = a , yang berarti: Anda perlu mengambil tiga perempat dari angka a, mis.
Oleh karena itu: koefisien pecahan positif menunjukkan berapa kali dan bagian mana dari pengali literal dari monomial yang diulang oleh suku tersebut.
polinomial 
harus dengan mudah direpresentasikan sebagai:
dll.
3. Koefisien negatif. Mengetahui perkalian bilangan relatif, kita dapat dengan mudah menetapkan bahwa, misalnya, (+5) (–3) = (–5) (+3) atau (–5) (–3) = (+5) (+ 3) atau secara umum a (–3) = (–a) (+3); juga a (–) = (–a) (+), dll.
Oleh karena itu, jika kita mengambil monomial dengan koefisien negatif, misalnya, -3a, maka
–3a = a (–3) = (–a) (+3) = (–a) 3 = – a – a – a (–a diambil 3 kali suku).
Dari contoh-contoh ini, kita melihat bahwa koefisien negatif menunjukkan berapa kali bagian huruf dari monomial, atau pecahan tertentunya, yang diambil dengan tanda minus, diulangi oleh suku tersebut.
Dalam pelajaran ini, kami akan memberikan definisi yang ketat tentang monomial, pertimbangkan berbagai contoh dari buku teks. Ingat aturan untuk mengalikan kekuatan dengan basis yang sama. Mari kita berikan definisi bentuk standar monomial, koefisien monomial, dan bagian literalnya. Mari kita pertimbangkan dua operasi tipikal dasar pada monomial, yaitu pengurangan ke bentuk standar dan perhitungan nilai numerik tertentu dari monomial untuk nilai tertentu dari variabel literal yang termasuk di dalamnya. Mari kita merumuskan aturan untuk mengurangi monomial ke bentuk standar. Mari kita pelajari cara menyelesaikan masalah umum dengan monomial apa pun.
Subjek:monomial. Operasi aritmatika pada monomial
Pelajaran:Konsep monomial. Bentuk standar dari monomial
Pertimbangkan beberapa contoh:
3. 
;
Mari kita temukan fitur umum untuk ekspresi yang diberikan. Dalam ketiga kasus, ekspresi adalah produk dari angka dan variabel yang dipangkatkan. Berdasarkan ini, kami memberikan definisi monomial : monomial adalah ekspresi aljabar yang terdiri dari produk kekuatan dan angka.
Sekarang kami memberikan contoh ekspresi yang bukan monomial:
Mari kita temukan perbedaan antara ekspresi ini dan yang sebelumnya. Ini terdiri dari fakta bahwa dalam contoh 4-7 ada operasi penambahan, pengurangan atau pembagian, sedangkan dalam contoh 1-3, yang monomial, operasi ini tidak.
Berikut adalah beberapa contoh lagi:
Ekspresi nomor 8 adalah monomial, karena merupakan produk dari kekuatan dan angka, sedangkan contoh 9 bukan monomial.
Sekarang mari kita cari tahu tindakan pada monomial .
1. Penyederhanaan. Perhatikan contoh #3 ; dan contoh #2 /
Pada contoh kedua, kita hanya melihat satu koefisien - , setiap variabel hanya muncul satu kali, yaitu variabel " sebuah” direpresentasikan dalam satu contoh, sebagai “”, demikian pula, variabel “” dan “” hanya muncul sekali.
Dalam contoh No. 3, sebaliknya, ada dua koefisien yang berbeda - dan , kita melihat variabel "" dua kali - sebagai "" dan sebagai "", demikian pula, variabel "" muncul dua kali. Artinya, ungkapan ini harus disederhanakan, jadi, kita sampai pada tindakan pertama yang dilakukan pada monomial adalah membawa monomial ke bentuk standar . Untuk melakukan ini, kami membawa ekspresi dari Contoh 3 ke bentuk standar, kemudian kami mendefinisikan operasi ini dan mempelajari cara membawa monomial apa pun ke bentuk standar.
Jadi pertimbangkan sebuah contoh:
Langkah pertama dalam operasi standardisasi adalah selalu mengalikan semua faktor numerik:
;
Hasil dari tindakan ini akan disebut koefisien monomial .
Selanjutnya, Anda perlu mengalikan derajatnya. Kami mengalikan derajat variabel " X”menurut aturan untuk mengalikan pangkat dengan basis yang sama, yang menyatakan bahwa ketika dikalikan, eksponen bertambah:
Sekarang mari kita kalikan kekuatannya pada»:
;
Jadi, inilah ekspresi yang disederhanakan:
;
Setiap monomial dapat direduksi menjadi bentuk standar. Mari kita merumuskan aturan standarisasi :
Kalikan semua faktor numerik;
Letakkan koefisien yang dihasilkan di tempat pertama;
Kalikan semua derajat, yaitu, dapatkan bagian huruf;
Artinya, setiap monomial dicirikan oleh koefisien dan bagian huruf. Ke depan, kami mencatat bahwa monomial yang memiliki bagian huruf yang sama disebut serupa.
Sekarang Anda perlu menghasilkan teknik untuk mereduksi monomial menjadi bentuk standar . Perhatikan contoh dari buku teks:
Tugas: bawa monomial ke bentuk standar, beri nama koefisien dan bagian huruf.
Untuk menyelesaikan tugas, kami menggunakan aturan membawa monomial ke bentuk standar dan sifat derajat.
1. 
;
3. 
;
Komentar pada contoh pertama: Untuk memulainya, mari kita tentukan apakah ekspresi ini benar-benar monomial, untuk ini kita periksa apakah itu berisi operasi perkalian bilangan dan pangkat dan apakah itu berisi operasi penambahan, pengurangan atau pembagian. Kita dapat mengatakan bahwa ekspresi ini adalah monomial, karena kondisi di atas terpenuhi. Selanjutnya, menurut aturan membawa monomial ke bentuk standar, kami mengalikan faktor numerik:
- kami telah menemukan koefisien monomial yang diberikan;
; ; ; yaitu, bagian literal dari ekspresi diterima:;
tuliskan jawabannya: ;
Komentar pada contoh kedua: Mengikuti aturan, kami mengeksekusi:
1) mengalikan faktor numerik:
2) kalikan pangkatnya:
Variabel dan disajikan dalam satu salinan, yaitu, tidak dapat dikalikan dengan apa pun, ditulis ulang tanpa perubahan, derajat dikalikan:
tuliskan jawabannya:
;
Dalam contoh ini, koefisien monomial sama dengan satu, dan bagian literalnya adalah .
Komentar pada contoh ketiga: a mirip dengan contoh sebelumnya, kami melakukan tindakan berikut:
1) mengalikan faktor numerik:
;
2) kalikan pangkatnya:
;
tuliskan jawabannya: ;
Dalam hal ini, koefisien monomial sama dengan "", dan bagian literal 
.
Sekarang pertimbangkan operasi standar kedua pada monomial . Karena monomial adalah ekspresi aljabar yang terdiri dari variabel literal yang dapat mengambil nilai numerik tertentu, kami memiliki ekspresi numerik aritmatika yang harus dihitung. Artinya, operasi polinomial berikut adalah: menghitung nilai numerik spesifiknya .
Pertimbangkan sebuah contoh. Monomial diberikan:
monomial ini telah direduksi menjadi bentuk standar, koefisiennya sama dengan satu, dan bagian literalnya
Sebelumnya kami mengatakan bahwa ekspresi aljabar tidak selalu dapat dihitung, yaitu, variabel yang masuk mungkin tidak memiliki nilai apa pun. Dalam kasus monomial, variabel yang termasuk di dalamnya dapat berupa apa saja, ini adalah fitur dari monomial.
Jadi, dalam contoh yang diberikan, diperlukan untuk menghitung nilai monomial untuk , , , .
Mononomial adalah ekspresi yang merupakan produk dari dua atau lebih faktor, yang masing-masing adalah angka yang dinyatakan dengan huruf, angka, atau pangkat (dengan eksponen bilangan bulat non-negatif):
2sebuah, sebuah 3 x, 4abc, -7x
Karena produk dari faktor-faktor identik dapat ditulis sebagai derajat, maka satu derajat (dengan eksponen bilangan bulat non-negatif) juga merupakan monomial:
(-4) 3 , x 5 ,
Karena suatu bilangan (utuh atau pecahan), yang dinyatakan dengan huruf atau angka, dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan ini dengan satu, maka bilangan tunggal apa pun juga dapat dianggap sebagai monomial:
x, 16, -sebuah,
Bentuk standar dari monomial
Bentuk standar dari monomial- ini adalah monomial, yang hanya memiliki satu faktor numerik, yang harus ditulis terlebih dahulu. Semua variabel dalam urutan abjad dan terkandung dalam monomial hanya sekali.
Angka, variabel, dan derajat variabel juga mengacu pada monomial dari bentuk standar:
7, b, x 3 , -5b 3 z 2 - monomial dari bentuk standar.
Faktor numerik dari bentuk standar monomial disebut koefisien monomial. Koefisien monomial sama dengan 1 dan -1 biasanya tidak ditulis.
Jika tidak ada faktor numerik dalam monomial bentuk standar, maka diasumsikan bahwa koefisien monomial adalah 1:
x 3 = 1 x 3
Jika tidak ada faktor numerik dalam monomial bentuk standar dan didahului oleh tanda minus, maka diasumsikan bahwa koefisien monomial adalah -1:
-x 3 = -1 x 3
Pengurangan bentuk monomial menjadi standar
Untuk membawa monomial ke bentuk standar, Anda perlu:
- Kalikan faktor numerik, jika ada beberapa. Naikkan faktor numerik ke pangkat jika memiliki eksponen. Letakkan pengganda angka di tempat pertama.
- Kalikan semua variabel identik sehingga setiap variabel hanya muncul satu kali dalam monomial.
- Atur variabel setelah faktor numerik dalam urutan abjad.
Contoh. Nyatakan monomial dalam bentuk standar:
a) 3 yx 2 (-2) kamu 5 x; b) 6 SM 0,5 ab 3
Keputusan:
a) 3 yx 2 (-2) kamu 5 x= 3 (-2) x 2 xkamukamu 5 = -6x 3 kamu 6
b) 6 SM 0,5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 c = 3ab 4 c
Derajat monomial
Derajat monomial adalah jumlah pangkat dari semua huruf di dalamnya.
Jika monomial adalah angka, yaitu, tidak mengandung variabel, maka derajatnya dianggap sama dengan nol. Sebagai contoh:
5, -7, 21 - monomial nol derajat.
Oleh karena itu, untuk menemukan derajat monomial, Anda perlu menentukan eksponen dari setiap huruf yang termasuk di dalamnya dan menambahkan eksponen ini. Jika eksponen surat tidak ditentukan, maka itu sama dengan satu.
Contoh:
Jadi bagaimana kabarmu? x eksponen tidak ditentukan, yang berarti sama dengan 1. Monomial tidak mengandung variabel lain, yang berarti derajatnya sama dengan 1.
Monomial hanya berisi satu variabel pada derajat kedua, yang berarti bahwa derajat monomial ini adalah 2.
3) ab 3 c 2 d
Indikator sebuah sama dengan 1, indikator b- 3, indikator c- 2, indikator d- 1. Derajat monomial ini sama dengan jumlah dari indikator-indikator ini.
