Lebih banyak filter

Di guru atau murid

Di tutornya

Di murid

dari jarak jauh

Harga per jam

Dari

Sebelum

menggosok

Menunjukkan

Hanya dengan foto

Hanya dengan ulasan

Hanya diverifikasi

Mahasiswa pascasarjana

guru sekolah

Profesor universitas

Guru privat

Penutur asli

Lebih dari 10 tahun

Lebih dari 50 tahun

Statistik:

500 tutor ditemukan

2246 ulasan ditinggalkan siswa

Skor rata-rata: 4,5 5 1 Peringkat rata-rata tutor ditemukan oleh filter

Ditemukan 500 tutor

Setel ulang filter

PENGGUNAAN OGE (GIA) persiapan olimpiade kursus sekolah Aljabar Geometri analitik matematika yang lebih tinggi+8 Geometri Kombinatorik Aljabar linier statistik matematika Analisis matematis Matematika Terapan Teori probabilitas Trigonometri

Anak-anak 6-7 tahun Anak sekolah kelas 1-11 Siswa Dewasa

m.Ozernaya m. Yugo-Zapadnaya m. Kuntsevskaya (Filyovskaya)

Alexander Alexandrovich

Pengalaman guru universitas 17 tahun

dari 2.000 gosok / jam

Kontak gratis

Di tutornya

Seorang tutor yang sangat efektif dan guru yang berbakat - dia tahu bagaimana menyajikan program matematika yang lebih tinggi di universitas sedemikian rupa sehingga kursus matematika dari mimpi buruk menjadi menjengkelkan Perluas kebutuhan - terlepas dari kenyataan bahwa dari kursus sekolah siswa dengan percaya diri hanya mengetahui program kelas 5-6. Semua ulasan (46)

Geometri analitik Kalkulus variasi Analisis Vektor +33 matematika yang lebih tinggi Geometri Matematika Diskrit Geometri diferensial Persamaan Diferensial Kombinatorik Aljabar linier geometri linier Pemrograman linier statistik matematika Fisika matematika Model matematika Analisis matematis Metode keputusan yang optimal Metode pengoptimalan Kontrol optimal Matematika Terapan sopromat Analisis Tensor Mekanika teoretis Teori probabilitas Teori grafik Teori permainan Teori optimasi Teori bilangan Topologi Trigonometri TFKT Persamaan diferensial parsial Persamaan fisika matematika matematika keuangan analisis fungsional ekonometrika

Anak sekolah di kelas 9-11 Siswa Dewasa

m.Dmitry Donskoy Boulevard

Alexey Vasilyevich

Pengalaman guru universitas 44 tahun

dari 1.500 gosok / jam

Kontak gratis

Guru Statistik Matematika

Di tutornya

Doktor Ilmu Fisika dan Matematika. Peneliti Terkemuka di Universitas Negeri Moskow (Fakultas Mekanika dan Matematika), Profesor di Fakultas Pendidikan Tambahan Perluas MGIMO, adalah anggota komite ujian matematika Universitas Negeri Moskow, MGIMO, MGUDT.

Alexey Vasilievich adalah guru yang telah lama kami cari. Dia tahu bagaimana menemukan pendekatan kepada siswa dan secara kompeten menyajikan materi pendidikan. Semua ulasan (29)

Anak sekolah kelas 10-11 siswa

m. Ramenki

Aleksey Aleksandrovich

Pengalaman guru privat 11 tahun

dari 1.600 gosok / jam

Kontak gratis

Guru Statistik Matematika

Pemenang hadiah Olimpiade Lomonosov 2007 dalam mata pelajaran - matematika lisan dan tulisan, komposisi. Peserta kursus khusus antar fakultas masalah Olimpiade Perluas Departemen Analisis Matematika dari Mekh-mat Universitas Negeri Moskow. Pengalaman memimpin lingkar tikar bulu kecil 2007-2012. Pilihan matematika di lyceum 1553. Guru aljabar, geometri, ilmu komputer, bahasa Inggris di lyceum 1553 tahun 2011. Mendampingi pendidikan anak-anak di kamp bahasa di Inggris dan Malta 2011-2012. Tiga tahun pengalaman dalam manajemen ritel di kantor pusat bank terbesar di CIS. Saya melakukan kelas menggunakan tablet grafis Wacom dan papan tulis online (berbayar, yang memiliki kemampuan untuk menggunakan beberapa orang secara bersamaan, pengeditan simultan, video dan suara digabungkan). Setelah pelajaran, tautan ke ruangan tetap ada - siswa selalu memiliki akses ke apa yang tertulis dalam pelajaran dan memiliki akses ke catatan untuk seluruh kursus, semua materi yang ditulis di papan tulis juga dikirim ke klien dalam format PDF. Ini digunakan untuk komunikasi baik Skype dan ruang online itu sendiri. Jumlah siswa yang dipersiapkan untuk ujian lebih dari 100, mempersiapkan OGE, Unified State Examination, masuk ke bacaan di MEPHI, Universitas Negeri Moskow. Disiapkan untuk ujian siswa dari berbagai universitas Mekanika dan Matematika Universitas Negeri Moskow, Fakultas Fisika, Fakultas Ekonomi, Universitas Pedagogis Negeri Moskow, Plekhanov, Akademi Keuangan di bawah Presiden, MGIMO, MEPhI, dll. Saya mempersiapkan anak-anak untuk Olimpiade All-Rusia, Lomonosov dan Vuzovsky di bawah Bauman dan Mifi, MIPT. Mengajar adalah kegiatan utama saya. Saya juga mempersiapkan diri untuk masuk ke perguruan tinggi Inggris dan Swiss. Lulus ujian A-level terpadu dalam bahasa Inggris dalam matematika dan fisika. Saya mempersiapkan anak-anak sekolah untuk lulus OGE Bahasa Inggris dan Ujian Negara Bersatu.

Saya belajar dengan Alexei Alexandrovich, dan dalam sebulan saya berhasil mempersiapkan diri untuk ujian ulang dalam analisis matematika. Jelas dan jelas menjelaskan subjek kepada saya, Perluas berlalu tanpa masalah berkat dia. Semua ulasan (52)

OGE (GIA) MENGGUNAKAN kursus sekolah Aljabar Geometri analitik matematika yang lebih tinggi Geometri +12 Matematika Diskrit Persamaan Diferensial Aljabar linier geometri linier statistik matematika Analisis matematis Dalam Bahasa Inggris Teori probabilitas Graph Theory Game Theory Trigonometri Ekonometrika

Anak sekolah kelas 1-11 Siswa Dewasa

m. Krasnogvardeyskaya

Maxim Alekseevich

Pengalaman guru privat 9 tahun

dari 1.500 gosok / jam

Kontak gratis

Guru Statistik Matematika

Di tutor, di siswa, dari jarak jauh

Lulusan mech-mat Universitas Negeri Moskow. Ada pengalaman di bidang perbankan sebagai analis, pengalaman sebagai analis sistem di bidang pengembangan IT. Perluas Pengetahuan pemrograman, database relasional (sql). Kategori pertama dalam catur Ada pengalaman sukses bekerja dengan semua kategori siswa: Anak sekolah (OGE, Unified State Examination, meningkatkan kinerja akademik) Siswa (hampir semua bagian matematika dan mekanik yang lebih tinggi) Dewasa (kelas "untuk diri sendiri", membantu masalah pekerjaan).

Apakah Anda ingin mencari guru statistik matematika di Moskow? Ada 164 dari mereka di database kami!

Jika Anda tidak punya waktu untuk memilih tutor statistik matematika sendiri, melihat-lihat semua profil, Anda dapat menulis tutor seperti apa yang Anda butuhkan, dan administrator gratis memilih opsi yang tepat untuk Anda.

guru statistik matematika

Guru privat statistik matematika di Moskow.
Mengajar anak sekolah 5 - 11   kelas, siswa, orang dewasa. Persiapan ujian, OGE. Bagian berkualitas tinggi dari program sekolah. Persiapan di semua sekolah fisika dan matematika terkemuka, bacaan. Membantu siswa belajar matematika sendiri. Kelas musim panas tersedia.
Pelajaran dalam kelompok kecil (2-4 orang) dimungkinkan dengan harga lebih rendah dari yang resmi.
Saya bekerja untuk hasil. Saya menggunakan metode pengajaran di mana siswa mengembangkan kemampuan kreatif dan pemikiran logis mereka sepenuhnya, serta menjadi tertarik pada matematika. Saya bekerja sesuai dengan manual dan metode khusus saya sendiri (omong-omong, diuji dalam praktik) ...
  

• Biaya pelajaran: 1500 gosok. / 60 menit
• Item:
• Kota: Moskow
• Stasiun metro terdekat: Electrozavodskaya, Aviamotornaya
• Kunjungan rumah: Tidak
• Status: guru sekolah
• Pendidikan: Ia belajar di Sekolah Fisika dan Matematika. A. N. Kolmogorova (sekarang SUNC di Universitas Negeri Moskow) pada 1986-1988. Lulus dari Fakultas Fisika Universitas Negeri Moskow. M.V. Lomonosov pada tahun 1994. Saya telah menjadi guru matematika sejak tahun 1994...

Matematika untuk siswa di kelas 2-11, pelamar, siswa. Persiapan menghadapi ujian matematika. Persiapan untuk Olimpiade SU-HSE dan ujian masuk di Universitas Negeri Moskow. Bantuan di semua bidang kurikulum sekolah, pengalaman di sekolah. Nasihat kepada siswa pada semua bidang matematika yang lebih tinggi (analisis matematika, aljabar linier, geometri analitik, teori probabilitas, statistik matematika, ekonometrika, matematika diskrit, dan lain-lain).
  

• Biaya pelajaran: 2000 gosok. / 60 menit
• Item:
• Kota: Moskow
• Stasiun metro terdekat: Kuntsevskaya
• Kunjungan rumah: tersedia
• Status: Profesor universitas
• Pendidikan: Universitas Negeri Moskow M. V. Lomonosov (MSU), Fakultas Mekanika dan Matematika, lulus pada tahun 1981. Kandidat Ilmu Fisika dan Matematika. Saya mengajar di SU-HSE.

Jasa tutor statistik matematika.
Persiapan ujian, GIA. Mempersiapkan siswa di bidang matematika apa pun, menghilangkan kesenjangan pada anak sekolah dan siswa. Persiapan pelamar untuk ujian masuk ke universitas mana pun. Informatika dan pemrograman.
  

• Biaya pelajaran: 1500 gosok. / 60 menit
• Item: Matematika, Kalkulus, Teori Probabilitas, Ilmu Komputer
• Kota: Moskow, Krasnogorsk
• Stasiun metro terdekat: Pemuda, Strogino
• Kunjungan rumah: tersedia
• Status: Guru privat
• Pendidikan: Universitas Negeri Moskow M. V. Lomonosov, Fakultas Mekanika dan Matematika, lulus pada tahun 1996.

Guru individu dalam statistik matematika.
Matematika: persiapan Unified State Examination dan GIA, aljabar (termasuk trigonometri, aritmatika, logika matematika), geometri (planimetri, stereometri), analisis matematika, matematika tingkat tinggi, teori probabilitas, aljabar linier, matematika diskrit dan disiplin matematika lainnya, persiapan untuk memasuki universitas untuk ujian universitas. Fisika: kurikulum sekolah, persiapan ujian, GIA.
Geografi: kurikulum sekolah, persiapan ujian, GIA.
Pendekatan kepada setiap siswa bersifat individual. Anda memberi tahu saya hasil yang ingin Anda dapatkan dari kelas-kelas ini, dan bersama-sama kita mencapainya.
Pendekatan untuk setiap siswa adalah individu ...
  

• Biaya pelajaran: 60 menit / 2200-2900 rubel (tergantung pada lokasi pelajaran dan tingkat pelatihan);
  90 menit / 3200 - 4000 rubel (tergantung pada lokasi pelajaran dan tingkat pelatihan);
  120 menit/410...
• Item: Matematika, Fisika, Geografi, Teori Probabilitas
• Kota: Moskow, Odintsovo
• Stasiun metro terdekat: Krylatskoye
• Kunjungan rumah: tersedia
• Status: Guru privat
• Pendidikan: Universitas Negeri Moskow M. V. Lomonosov, Fakultas Mekanika dan Matematika, lulus pada tahun 2010. Nilai rata-rata adalah 4,5. Menyelesaikan sekolah dengan medali.

Guru privat statistik matematika.
Mempersiapkan anak sekolah untuk Unified State Examination dan ujian internal, untuk masuk ke sekolah asing, membantu siswa mengisi kesenjangan dalam analisis matematika, TFKP, matematika yang lebih tinggi (aljabar linier, geometri analitik, matematika yang lebih tinggi).
Ahli USE bersertifikat dalam matematika, 12 tahun pengalaman dalam mempersiapkan USE, lebih dari 30 tahun pengalaman mengajar. Siswa memasukkan anggaran di Fakultas Ekonomi Universitas Negeri Moskow, di Universitas Negeri-Sekolah Tinggi Ekonomi, FA. Ada pengalaman sukses dalam mempersiapkan GSCE, A-Level.
  

• Biaya pelajaran: 60 menit / 2000 rubel;
  120 menit/4000 gosok.
• Item: Matematika, Kalkulus, Teori Probabilitas, Aljabar Linier
• Kota: Moskow
• Stasiun metro terdekat: Kitay-gorod, Lubyanka
• Kunjungan rumah: tersedia
• Status: Profesor universitas
• Pendidikan: Institut Pedagogis Ural, Fakultas Fisika dan Matematika, lulus pada tahun 1982, diploma dengan pujian. Kandidat Ilmu Fisika dan Matematika, Associate Professor Universitas Negeri.

• Biaya pelajaran: 1500 r.-2000 r./60 mnt. tergantung kelasnya.
• Item: Matematika, Kalkulus, Aljabar Linier, Teori Probabilitas
• Kota: Moskow
• Stasiun metro terdekat: Novogireevo
• Kunjungan rumah: tersedia
• Status: guru sekolah
• Pendidikan: Institut Pedagogis Sverdlovsk, spesialisasi: matematika, ilmu komputer dan ilmu komputer, lulus pada tahun 1991.

Guru berpengalaman dalam statistik matematika.
Persiapan profesional dan berkualitas tinggi untuk kelas 9 HSE Lyceum tahun 2019. Pekerjaan intensif pada varian Tes Komprehensif HSE, serta pada tugas yang benar-benar sesuai dengan varian ujian! Pengembangan metode yang cermat untuk menyelesaikan semua tugas Tes Komprehensif! Siswa akan dipersiapkan dengan baik!
Sistematisasi pengetahuan untuk kelas 5 - 11. Pull-up yang efektif dan signifikan dalam program (aljabar dan geometri). Memastikan kinerja akademik yang tinggi secara konsisten (untuk "4" dan "5"). Persiapan matang untuk OGE - 2019. Belajar memecahkan masalah bagian 1 dan 2 dari opsi OGE ...
  

Guru privat statistik matematika.
Anak sekolah di kelas 5-11, pelamar (Persiapan di Universitas Negeri Moskow atau untuk tugas C5 dan C6 di Unified State Examination), siswa (kelas dalam kursus umum matematika yang lebih tinggi: analisis matematika, geometri analitik, aljabar linier, teori probabilitas) .
Saya memberikan kelas yang cukup serius tentang materi penulis, tugas yang dipilih secara individual untuk setiap siswa. Selain itu, saya menganalisis nomor Olimpiade kompleks dan C6 dengan Unified State Examination.
Harga minimum untuk pelajaran adalah 90 menit. 3300 gosok.
Jika persiapan di Universitas Negeri Moskow atau untuk tugas C5 dan C6 pada Ujian Negara Bersatu - dalam 3800-4000 rubel.
Guru matematika profesional. Kualitas pekerjaan terjamin. Pendekatan individual dan pemilihan metode untuk setiap siswa...
  

• Biaya pelajaran: 2200 gosok. / 60 menit
• Item: Matematika, Kalkulus, Teori Probabilitas, Aljabar Linier
• Kota: Moskow
• Stasiun metro terdekat: Schukinskaya
• Kunjungan rumah: Tidak
• Status: Guru privat
• Pendidikan: Pendidikan pedagogis yang lebih tinggi: Fakultas Matematika, Universitas Pedagogis Negeri Moskow. Lulus tahun 1996.

Tutor berkualitas dalam statistik matematika.
Mata pelajaran: Matematika (sekolah dan lebih tinggi, OGE dan EGE), Fisika (sekolah, OGE dan EGE), Teori probabilitas, statistik matematika, Kombinatorik.
Murid, pelamar, siswa. Persiapan untuk setiap universitas, USE, Olympiad. Mata pelajaran: matematika, fisika, analisis matematika, aljabar linier, geometri analitik, teori probabilitas, statistik matematika, proses acak.
Guru kursus persiapan di universitas.
  

• Biaya pelajaran: Tarif saya di rumah di Dolgoprudny adalah 3000 rubel/60 menit. , di rumah siswa - 3700 rubel / 60 menit. , kelas jarak jauh (Skype) - 2700 rubel / 60 mnt.
• Item: Matematika, Fisika, Teori Probabilitas, Kalkulus
• Kota: Moskow, Lobnya, Dolgoprudny, Dmitrov
• Stasiun metro terdekat: Altufievo, Stasiun Sungai
• Kunjungan rumah: tersedia
• Status: Profesor universitas
• Pendidikan: Institut Fisika dan Teknologi Moskow (MIPT), Fakultas Kontrol dan Matematika Terapan, Ph.D.

Guru matematika berpengalaman.
Matematika dan fisika untuk siswa SMP dan SMA, pelajar, dewasa, persiapan OGE dan USE. Kelas dengan pelamar universitas. Pelajaran individu adalah yang paling efektif. Pengalaman mengajar yang hebat menjamin keberhasilan studi tentang masalah yang paling kompleks.
  

• Biaya pelajaran: Matematika dan Fisika: 90 menit / 900 rubel untuk anak sekolah.
  Pelajar dan orang dewasa 90 menit / 1200 rubel.
• Item: Matematika, Kalkulus, Fisika
• Kota: Moskow, Zhukovsky, Zhukovsky, Zhukovsky, Zhukovsky
• Stasiun metro terdekat: Kotelniki, Vykhino
• Kunjungan rumah: tersedia
• Status: Guru privat
• Pendidikan: Universitas Negeri Moskow M. V. Lomonosov, Fakultas Fisika, Jurusan Matematika untuk Fakultas Fisika, 1976. Akademi Kewirausahaan Rusia, 1994

Kementerian Federasi Rusia untuk Komunikasi dan Informatisasi

Universitas Telekomunikasi dan Informatika Negeri Siberia

N.I. Chernova

MATEMATIS

STATISTIK

tutorial

Novosibirsk

Associate Professor, Cand. Fisika.-Matematika. Ilmu N. I. Chernova. Statistik matematika: Buku Teks / SibGUTI - Novosibirsk, 2009. - 90 hal.

Buku teks berisi kursus enam bulan kuliah tentang statistik matematika untuk mahasiswa spesialisasi ekonomi. Buku teks ini memenuhi persyaratan Standar Pendidikan Negara untuk program pendidikan profesional dalam spesialisasi 080116 - "Metode Matematika dalam Ekonomi".

Ketua MMBP Tab. 7, gambar - 9, daftar menyala. - 8 nama

Pengulas: A.P. Kovalevsky, Ph.D. Fisika.-Matematika. Sci., Associate Professor dari Departemen Matematika Tinggi, NSTU V. I. Lotov, Doktor Fisika dan Matematika. Sains, Profesor Departemen

teori probabilitas dan statistik matematika NSU

Untuk spesialisasi 080116 - "Metode Matematika dalam Ekonomi"

Disetujui oleh dewan redaksi dan penerbitan SibGUTI sebagai buku teks

c Universitas Negeri Siberia

telekomunikasi dan informatika, 2009

Kata pengantar. . . . . . . . . .
	I. Konsep dasar statistik matematika. . . . . . . .
	Soal statistik matematika . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Sampel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Karakteristik yang dipilih. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Sifat-sifat fungsi distribusi empiris. . . . . . . . .

§ 5. Sifat momen sampel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

§ 6. Histogram sebagai perkiraan kepadatan. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

§ 7. Pertanyaan dan latihan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

BAB II. Estimasi Poin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

§ 1. Estimasi titik dan propertinya. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

§ 2. Metode momen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

	Sifat estimasi metode momen. . . . . . . . . . . . . . . . .
	Metode Kemungkinan Maksimum. . . . . . . . . . . . . . .
	Normalitas Asimtotik dari Estimasi. . . . . . . . . . . . . .
	Soal dan latihan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Perbandingan Kelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Pendekatan Root Mean Square untuk Membandingkan Estimasi. . . . . . . . .
	Ketidaksetaraan Rao-Cramer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Soal dan latihan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	IV. estimasi interval. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Interval kepercayaan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Prinsip untuk membangun interval kepercayaan. . . . . . . .
	Soal dan latihan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Distribusi yang berhubungan dengan normal. . . . . . . . . .
	Distribusi statistik dasar. . . . . . . . . . . . . .
	Transformasi sampel normal. . . . . . . . . . . . . . .
	Interval kepercayaan untuk distribusi normal. . .

§ 1. Hipotesis dan Kriteria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

§ 2. Soal dan latihan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Bab VII. Kriteria Persetujuan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

§ 1. Pandangan umum tentang kriteria kecocokan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

§ 2. Menguji hipotesis sederhana tentang parameter. . . . . . . . . . . . . . 53

§ 3. Kriteria pengujian hipotesis distribusi. . . . . . . . 56

4. Kriteria untuk menguji hipotesis parametrik. . . . . . . . 59

§ 5. Kriteria untuk menguji homogenitas. . . . . . . . . . . . . . . 61

6. Kriteria 2 untuk menguji independensi. . . . . . . . . . . . . 70

§ 7. Pertanyaan dan latihan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

§ 2. Metode kemungkinan maksimum.. . . . . . . . . . . . . . . 74

§ 3. Metode kuadrat terkecil.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

KATA PENGANTAR

Buku teks berisi kursus lengkap kuliah tentang statistik matematika untuk siswa yang belajar di spesialisasi "Metode Matematika dalam Ekonomi" dari Universitas Telekomunikasi dan Informatika Negeri Siberia. Isi kursus sepenuhnya konsisten dengan standar pendidikan untuk persiapan sarjana dalam spesialisasi yang ditentukan.

Kursus dalam statistik matematika didasarkan pada kursus semester dalam teori probabilitas dan merupakan dasar untuk kursus tahunan di bidang ekonometrika. Sebagai hasil dari mempelajari mata pelajaran, siswa harus menguasai metode matematika dalam mempelajari berbagai model statistik matematika.

Kursus ini terdiri dari delapan bab. Bab pertama adalah yang utama untuk memahami subjek. Ini memperkenalkan pembaca pada konsep dasar statistik matematika. Bab kedua dikhususkan untuk metode estimasi titik parameter distribusi yang tidak diketahui: momen dan kemungkinan maksimum.

Bab ketiga membahas perbandingan perkiraan dalam arti akar rata-rata kuadrat. Di sini, ketidaksetaraan Rao-Cramer juga dipelajari sebagai sarana untuk memeriksa efektivitas perkiraan.

Bab keempat membahas estimasi interval parameter, yang berakhir di bab berikutnya dengan konstruksi interval untuk parameter distribusi normal. Untuk melakukan ini, distribusi statistik khusus diperkenalkan, yang kemudian digunakan dalam uji kecocokan di bab kedelapan. Bab enam memberikan konsep dasar yang diperlukan dari teori pengujian hipotesis, sehingga pembaca harus mempelajarinya dengan sangat hati-hati.

Akhirnya, bab tujuh dan delapan memberikan daftar kriteria persetujuan yang paling umum digunakan dalam praktik. Pada bab kesembilan, model sederhana dan metode analisis regresi dipertimbangkan dan sifat utama dari perkiraan yang diperoleh dibuktikan.

Hampir setiap bab diakhiri dengan daftar latihan dalam teks bab. Aplikasi ini berisi tabel dengan daftar karakteristik utama dari distribusi diskrit dan benar-benar kontinu, tabel distribusi statistik dasar.

KATA PENGANTAR

Ada indeks rinci di akhir buku. Daftar referensi berisi daftar buku teks yang dapat digunakan selain kursus, dan kumpulan tugas untuk latihan praktis.

Penomoran paragraf pada setiap bab terpisah. Rumus, contoh, pernyataan, dll diberi nomor urut. Ketika merujuk ke suatu objek dari bab lain, untuk kenyamanan pembaca, nomor halaman di mana objek tersebut berada ditunjukkan. Ketika mengacu pada objek dari bab yang sama, hanya nomor rumus, contoh, pernyataan yang diberikan. Akhir dari pembuktian ditandai dengan .

BAB I

KONSEP DASAR STATISTIK MATEMATIKA

Statistik matematika didasarkan pada metode teori probabilitas, tetapi memecahkan masalah lain. Dalam teori probabilitas, variabel acak dengan distribusi tertentu atau eksperimen acak dipertimbangkan, yang sifat-sifatnya diketahui sepenuhnya. Tapi dari mana datangnya pengetahuan tentang distribusi dalam eksperimen praktis? Berapa probabilitas, misalnya, bahwa lambang muncul pada koin yang diberikan? Untuk menentukan probabilitas ini, kita bisa melempar koin berkali-kali. Tetapi bagaimanapun juga, kesimpulan harus ditarik dari hasil sejumlah pengamatan yang terbatas. Jadi, mengamati 5.035 lambang setelah 10.000 pelemparan koin, tidak mungkin untuk menarik kesimpulan yang akurat tentang kemungkinan sebuah lambang jatuh: bahkan jika probabilitas ini berbeda dari 0,5, lambang dapat rontok 5035 kali . Kesimpulan yang akurat tentang distribusi hanya dapat dibuat ketika jumlah pengujian yang tidak terbatas telah dilakukan, yang tidak layak. Statistik matematis memungkinkan, berdasarkan hasil sejumlah eksperimen yang terbatas, untuk menarik kesimpulan yang kurang lebih akurat tentang distribusi variabel acak yang diamati dalam eksperimen ini.

1. Soal statistik matematika

Misalkan kita mengulangi eksperimen acak yang sama di bawah kondisi yang sama. Sebagai hasil dari setiap pengulangan percobaan, satu set data tertentu (numerik atau lainnya) diamati.

Hal ini menimbulkan pertanyaan berikut.

1. Jika satu variabel acak diamati, bagaimana seseorang dapat membuat kesimpulan yang paling akurat tentang distribusinya berdasarkan serangkaian nilainya dalam beberapa percobaan?

2. Jika manifestasi dari dua atau lebih tanda diamati, apa yang dapat dikatakan tentang jenis dan kekuatan ketergantungan variabel acak yang diamati?

Seringkali dimungkinkan untuk membuat beberapa asumsi tentang distribusi yang diamati atau tentang sifat-sifatnya. Dalam hal ini, menurut data eksperimen, diperlukan untuk mengkonfirmasi atau menyangkal asumsi ini ("hipotesis"). Pada saat yang sama, kita harus ingat bahwa jawaban "ya" atau "tidak" hanya dapat diberikan dengan tingkat kepastian tertentu, dan semakin lama kita dapat melanjutkan eksperimen, semakin akurat kesimpulannya. Terkadang dimungkinkan untuk menegaskan terlebih dahulu kehadirannya

8 BAB I. KONSEP DASAR STATISTIK MATEMATIKA

beberapa sifat dari percobaan yang diamati - misalnya, tentang ketergantungan fungsional antara besaran yang diamati, tentang normalitas distribusi, tentang simetrinya, tentang keberadaan kerapatan dalam distribusi atau tentang sifat diskritnya, dll.

Jadi, statistik matematika bekerja di mana ada eksperimen acak, yang sifat-sifatnya sebagian atau seluruhnya tidak diketahui, dan di mana kita dapat mereproduksi eksperimen ini di bawah kondisi yang sama beberapa kali (atau lebih baik, apa saja).

Hasil eksperimen bisa kuantitatif atau kualitatif. Hasil kuantitatif dapat, misalnya, diringkas. Dengan demikian, salah satu karakteristik yang bermakna adalah rata-rata aritmatika pengamatan. Tidak ada gunanya menjumlahkan hasil kualitatif, meskipun hasil tersebut dapat dimasukkan ke dalam bentuk numerik. Katakanlah bulan kelahiran orang yang diwawancarai adalah pengamatan kualitatif, bukan kuantitatif: meskipun dapat diberikan sebagai angka, rata-rata aritmatika dari angka-angka ini membawa informasi yang masuk akal sebanyak pesan bahwa, rata-rata, seseorang lahir antara bulan Juni dan Juli.

Dalam bab pertama, kita akan mempelajari bekerja dengan hasil pengamatan kuantitatif.

2. Seleksi

Misalkan : → R menjadi variabel acak yang diamati dalam percobaan acak. Melakukan percobaan ini n kali dalam kondisi yang sama, kita akan mendapatkan angka X1 , X2 , . . . , Xn - nilai variabel acak yang diamati dalam percobaan pertama, kedua, dll. Variabel acak memiliki beberapa distribusi F, yang sebagian atau seluruhnya tidak kita ketahui.

Mari kita perhatikan secara lebih rinci himpunan X = (X1 , . . , Xn ), yang disebut sampel.

Dalam serangkaian percobaan yang telah dilakukan, sampel adalah sekumpulan angka. Tetapi sebelum eksperimen dilakukan, masuk akal untuk mempertimbangkan sampel sebagai sekumpulan variabel acak (independen dan terdistribusi dengan cara yang sama seperti ). Memang, sebelum melakukan eksperimen, kita tidak dapat mengatakan nilai apa yang akan diambil oleh elemen sampel: ini akan menjadi beberapa nilai dari variabel acak . Oleh karena itu, masuk akal untuk mempertimbangkan bahwa sebelum percobaan Xi adalah variabel acak yang didistribusikan secara merata dengan , dan setelah percobaan itu adalah angka yang kita amati dalam percobaan ke-i, yaitu salah satu nilai yang mungkin dari acak variabel Xi.

Definisi 1. Sebuah sampel X = (X1 , . . , Xn ) berukuran n dari suatu distribusi F adalah himpunan n variabel acak independen dan terdistribusi identik yang memiliki distribusi F.

Elemen sampel sering diubah untuk kenyamanan bekerja dengan kumpulan data besar - mereka diurutkan atau dikelompokkan.

Jika elemen sampel adalah X1 , . . . , Xn mengurutkan dalam urutan menaik, kami mendapatkan satu set variabel acak baru, yang disebut deret variasi:

X(1) 6 X(2) 6 . . . 6 X(n−1) 6 X(n) .

Di sini X(1) = min(X1 , . . . , Xn ), X(n) = maks(X1 , . . , Xn ). Unsur X(k) disebut anggota ke-k dari deret variasi atau statistik orde ke-k.

Saat mengelompokkan data, beberapa kelompok nilai elemen sampel dibedakan, jumlah elemen dalam setiap kelompok dihitung, dan kemudian hanya kumpulan data baru ini yang ditangani. Pengelompokan dan pengurutan data membuang beberapa informasi yang terkandung dalam sampel.

Tugas statistik matematika adalah menarik kesimpulan dari sampel tentang distribusi F yang tidak diketahui, dari mana ia diekstraksi. Distribusi dicirikan oleh fungsi distribusi, kerapatan atau tabel, seperangkat karakteristik numerik: E = E X1 , Dξ = D X1 , Eξ k = E X1 k . Berdasarkan sampel, seseorang harus dapat membangun perkiraan untuk semua karakteristik ini. Perkiraan seperti itu disebut perkiraan. Istilah "skor" tidak ada hubungannya dengan ketidaksetaraan. Estimasi untuk beberapa karakteristik yang tidak diketahui dari suatu distribusi adalah variabel acak yang dibangun dari sampel, yang dalam beberapa hal merupakan perkiraan dari karakteristik distribusi yang tidak diketahui ini.

Contoh 1. Sebuah dadu bersisi enam dilempar 100 kali. Wajah pertama jatuh 25 kali, yang kedua dan kelima - masing-masing 14 kali, yang ketiga - 21 kali, yang keempat - 15 kali, yang keenam - 11 kali. Kita berurusan dengan sampel numerik, yang, untuk kenyamanan, dikelompokkan berdasarkan jumlah poin yang dijatuhkan.

Menurut hasil percobaan, tidak mungkin untuk menentukan probabilitas p1 , . . . , p6 tetes wajah. Kami hanya dapat mengatakan bahwa perkiraan numerik telah diperoleh untuk probabilitas ini: 0,25 untuk p1, 0,14 untuk p2 dan untuk p5, dll.

Bahkan tanpa melakukan eksperimen seperti itu, kita dapat mengatakan sebelumnya bahwa perkiraan untuk probabilitas yang tidak diketahui p1 akan menjadi variabel acak

dan perkiraan untuk probabilitas p2 adalah variabel acak

Dalam rangkaian percobaan ini, variabel acak ini masing-masing mengambil nilai 0,25 dan 0,14. Di seri lain, artinya akan berubah.

BAB I. KONSEP DASAR STATISTIK MATEMATIKA

3. Karakteristik yang dipilih

Dari teori probabilitas, kita mengetahui alat universal untuk perhitungan perkiraan semua jenis harapan matematis: hukum bilangan besar. Hukum ini menjamin bahwa sarana aritmatika dari suku-suku yang independen dan terdistribusi secara identik dalam beberapa hal mendekati ekspektasi suku tipikal (jika, tentu saja, ekspektasi matematis ini ada).

Oleh karena itu, sebagai aproksimasi (perkiraan) untuk ekspektasi matematis yang tidak diketahui E X1, Anda dapat menggunakan mean aritmatika dari semua elemen sampel: mean sampel

X1 + . . . +Xn

Sebagai perkiraan untuk E X1 k, sampel momen ke-k

X1k+ . . . + Xn k

Xi k =

dan sebagai taksiran untuk varians D X1 = E (X1 E X1 )2 = E X1 2 (E X1 )2

varians sampel yang digunakan

S2 = n 1

(Xi X)2 = X2 X

Secara umum, nilai

g(X1 ) + . . . + g(Xn )

g(Xi ) =

dapat digunakan untuk memperkirakan kuantitas E g(X1).

Demikian pula, hukum bilangan besar Bernoulli memungkinkan kita untuk memperkirakan probabilitas yang berbeda. Misalnya, peluang suatu kejadian (X1< 3} можно заменить на долю успешных испытаний в схеме Бернулли: если для каждого элемента выборки успехом считать событие {Xi < 3}, то доля успехов

p = jumlah Xi< 3n

akan konvergen (dalam probabilitas) dengan probabilitas sukses P(X1< 3). Оценивать неизвестную функцию распределения F (y) = P(X1 < y) мож-

tetapi dengan bantuan fungsi distribusi empiris

Kursus Teori Probabilitas dan Statistik Matematika. Sevastyanov B.A.

M.: Ilmu. Bab ed. Fisika.-Matematika. lit., 1982.- 256 hal.

Buku ini didasarkan pada kursus satu tahun kuliah yang diberikan oleh penulis selama beberapa tahun di Departemen Matematika Fakultas Mekanika dan Matematika Universitas Negeri Moskow. Konsep dasar dan fakta teori probabilitas diperkenalkan pada awalnya untuk skema yang terbatas. Ekspektasi matematis umumnya didefinisikan dengan cara yang sama seperti integral Lebesgue, tetapi pembaca tidak diharapkan memiliki pengetahuan sebelumnya tentang integrasi Lebesgue.

Buku ini berisi bagian-bagian berikut: tes independen dan rantai Markov, teorema limit de Moivre-Laplace dan Poisson, variabel acak, fungsi karakteristik dan pembangkit, hukum bilangan besar, teorema limit pusat, konsep dasar statistik matematika, pengujian hipotesis statistik, perkiraan statistik, interval kepercayaan.

Untuk mahasiswa sarjana universitas dan perguruan tinggi teknik yang mempelajari teori probabilitas.

Format: djvu/zip

Ukuran: 2.5 7 Mb

/ Unduh berkas

DAFTAR ISI
Kata Pengantar 7
Bab 1 Ruang Probabilitas 9
1. Pokok bahasan teori probabilitas 9
2. Acara 12
3. Ruang peluang 16
4. Ruang probabilitas terbatas. Definisi klasik dari probabilitas 19
5 Probabilitas geometrik 23
Tugas 24
Bab 2. Probabilitas bersyarat. Kemerdekaan 26
6. Probabilitas bersyarat 26
7. Total rumus probabilitas 28
8. Rumus Bayes 29
9. Kemandirian acara 30
10. Independensi partisi, aljabar, dan aljabar a.... 33
11. Tes independen 35
Tugas 39
Bab 3. Variabel Acak (Skema Akhir). 41
12. Variabel acak. Indikator 41
13. Ekspektasi matematis 45
14. Hukum distribusi multidimensi 50
15. Independensi variabel acak 53
10. Ruang Euclidean dari variabel acak. . . . tanggal 5
17. Harapan bersyarat 5E
18. Pertidaksamaan Chebyshev. Hukum bilangan besar.... 61
Tugas 64
Bab 4. Teorema limit dalam skema Bernoulli. 65
19. Distribusi Binomial 65
20. Teorema Poisson 66
21. Teorema limit lokal De Moivre - Laplace. . 70
22. Teorema limit integral dari De Moivre - Laplace 71
23. Penerapan teorema limit. 73
Tugas 76
Bab 5. Rantai Markov 77
24. Tes ketergantungan Markov 77
25. Probabilitas transisi 78
26. Teorema pembatasan peluang 80
Tugas 83
Bab 6. Variabel acak (kasus umum) 84
27. Variabel acak dan distribusinya 84
28. Distribusi multivariat 92
29. Independensi variabel acak 96
Tugas 98
Bab 7. Harapan 100
30. Definisi ekspektasi matematis 100
31. Rumus untuk menghitung ekspektasi matematis 108
Tugas 115
Bab 8 Menghasilkan Fungsi 117
32. Variabel acak bilangan bulat dan fungsi pembangkitnya 117
33. Momen faktorial 118
34. Sifat perkalian 120
35. Teorema kontinuitas 123
36. Proses percabangan 125
Tugas 127
Bab 9 Karakteristik Fungsi 129
37. Definisi dan sifat dasar dari fungsi karakteristik 129
38. Rumus inversi untuk fungsi karakteristik 136
39. Teorema korespondensi kontinu antara himpunan fungsi karakteristik dan himpunan fungsi distribusi 140
Tugas 145
Bab 10. Teorema Limit Pusat 146
40. Teorema limit pusat untuk suku bebas yang terdistribusi identik 146
41. Teorema Lyapunov 147
42. Penerapan teorema limit pusat 150
Tugas 153
Bab 11
43. Definisi dan sifat dasar 154
44. Rumus konversi 158
45. Teorema limit untuk fungsi karakteristik 159
46. ​​Distribusi normal multivariat dan distribusi terkait 164
Tugas 173
Bab 12
47. Borel-Cantelli Lemma. Hukum "0 atau 1" Kolmogorov 174
48 Berbagai jenis konvergensi variabel acak. . . 177
49. Hukum kuat bilangan besar 181
Tugas 188
Bab 13. Statistik 189
50. Tugas utama statistik matematika .... 189
51. Metode pengambilan sampel 190
Tugas 194
Bab 14. Tes statistik 195
52. Hipotesis statistik 195
53. Tingkat signifikansi dan kekuatan tes 197
54. Kriteria Neumann-Pearson optimal .... 199
55. Kriteria optimal untuk menguji hipotesis tentang parameter distribusi normal dan binomial 201
56. Kriteria untuk menguji hipotesis kompleks 2E4
57. Tes non-parametrik 206
Tugas 211
Bab 15 Estimasi Parameter 213
58. Estimasi statistik dan propertinya 213
59. Hukum distribusi bersyarat 216
60. Statistik yang memadai 220
61. Efisiensi penilaian 223
62. Metode untuk menemukan perkiraan 228
Tugas 232
Bab 16. Interval kepercayaan 234
63. Penentuan interval kepercayaan 234
64. Interval kepercayaan untuk parameter distribusi normal 236
65. Interval kepercayaan untuk probabilitas keberhasilan dalam skema Bernoulli 240
Tugas 244
Jawaban untuk masalah 245
Tabel distribusi normal 251
Sastra 253
Indeks 254