Persamaan diferensial total. Persamaan Diferensial dalam Diferensial Total

Bagian kiri dari persamaan diferensial dari bentuk kadang-kadang merupakan diferensial total dari beberapa fungsi. Jika suatu fungsi direkonstruksi dari diferensial totalnya, maka integral umum persamaan diferensial akan ditemukan. Dalam artikel ini, kami akan menjelaskan metode untuk memulihkan fungsi dari diferensial totalnya; kami akan memberikan materi teoretis dengan contoh dan tugas dengan deskripsi terperinci tentang solusinya.

Ruas kiri persamaan diferensial adalah diferensial total dari beberapa fungsi U(x, y) = 0 jika kondisinya terpenuhi.

Karena diferensial total dari fungsi U(x, y) = 0 adalah , maka, jika kondisi terpenuhi, kita dapat menyatakan bahwa . Karena itu, .

Dari persamaan pertama sistem yang kita miliki . Fungsi dapat ditemukan menggunakan persamaan kedua dari sistem:

Ini akan menemukan fungsi yang diinginkan U(x, y) = 0 .

Pertimbangkan sebuah contoh.

Contoh.

Tentukan solusi umum persamaan diferensial .

Keputusan.

Dalam contoh ini. Kondisi terpenuhi karena

oleh karena itu, ruas kiri persamaan diferensial awal adalah diferensial total dari beberapa fungsi U(x, y) = 0 . Tugas kita adalah menemukan fungsi ini.

Sebagai adalah diferensial total dari fungsi U(x, y) = 0 , maka . Kami mengintegrasikan persamaan pertama dari sistem sehubungan dengan x dan membedakan hasil yang diperoleh sehubungan dengan y . Di sisi lain, dari persamaan kedua sistem yang kita miliki . Karena itu,

dimana C adalah konstanta sembarang.

Dengan demikian, dan integral umum dari persamaan awal adalah .

Ada metode lain untuk menemukan fungsi dengan diferensial totalnya. Ini terdiri dari mengambil integral lengkung dari titik tetap (x 0 , y 0) ke titik dengan koordinat variabel (x, y) : . Dalam hal ini, nilai integral tidak bergantung pada jalur integrasi. Lebih mudah untuk mengambil sebagai jalur integrasi garis putus-putus yang tautannya sejajar dengan sumbu koordinat.

Mari kita lihat sebuah contoh.

Contoh.

Tentukan solusi umum persamaan diferensial .

Keputusan.

Yuk cek kondisinya:

Jadi, ruas kiri persamaan diferensial adalah diferensial total dari beberapa fungsi U(x, y) = 0 . Mari kita cari fungsi ini dengan menghitung integral lengkung dari titik (1; 1) ke (x, y) . Sebagai jalur integrasi, kami mengambil garis putus-putus: bagian pertama dari polyline akan melewati garis lurus y = 1 dari titik (1, 1) ke (x, 1) , bagian kedua dari jalur akan mengambil ruas garis lurus dari titik (x, 1) ke (x, y) .

Dalam topik ini, kami akan mempertimbangkan metode untuk memulihkan fungsi dari diferensial totalnya, memberikan contoh masalah dengan analisis penyelesaian yang lengkap.

Kebetulan persamaan diferensial (DE) dalam bentuk P (x, y) d x + Q (x, y) d y \u003d 0 dapat berisi diferensial total dari beberapa fungsi di bagian kiri. Kemudian kita dapat menemukan integral umum DE jika kita mengembalikan fungsi dari diferensial totalnya terlebih dahulu.

Contoh 1

Perhatikan persamaan P (x , y) d x + Q (x , y) d y = 0 . Catatan sisi kirinya berisi diferensial dari beberapa fungsi U(x, y) = 0. Untuk ini, kondisi P y Q x harus dipenuhi.

Diferensial total dari fungsi U (x , y) = 0 memiliki bentuk d U = U x d x + U y d y . Dengan mempertimbangkan kondisi P y Q x, kita peroleh:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = U x d x + U y d y

U x = P (x, y) U y = Q (x, y)

Dengan mentransformasikan persamaan pertama dari sistem persamaan yang dihasilkan, kita dapat memperoleh:

U (x, y) = P (x, y) d x + (y)

Kita dapat menemukan fungsi (y) dari persamaan kedua dari sistem yang diperoleh sebelumnya:
U (x, y) y = ∫ P (x, y) d x y + y "(y) = Q (x, y) φ (y) = ∫ Q (x, y) - P (x , y) d x y d y

Jadi kami menemukan fungsi yang diinginkan U (x, y) = 0.

Contoh 2

Temukan DE (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 solusi umumnya.

Keputusan

P (x, y) \u003d x 2 - y 2, Q (x, y) \u003d - 2 x y

Mari kita periksa apakah kondisi P y Q x terpenuhi:

P y = (x 2 - y 2) y = - 2 y Q x = (- 2 x y) x = - 2 y

Kondisi kami terpenuhi.

Berdasarkan perhitungan, kita dapat menyimpulkan bahwa ruas kiri DE asli adalah diferensial total dari beberapa fungsi U (x , y) = 0 . Kita perlu menemukan fungsi ini.

Karena (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y adalah diferensial total dari fungsi U (x, y) = 0, maka

U x = x 2 - y 2 U y = - 2 x y

Kami mengintegrasikan persamaan pertama dari sistem sehubungan dengan x:

U (x, y) \u003d (x 2 - y 2) d x + (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + (y)

Sekarang kita bedakan hasilnya terhadap y:

U y = x 3 3 - x y 2 + (y) y = - 2 x y + y "(y)

Mengubah persamaan kedua dari sistem, kita mendapatkan: U y = - 2 x y . Ini berarti bahwa
- 2 x y + y "(y) = - 2 x y y" (y) = 0 (y) = ∫ 0 d x = C

dimana C adalah konstanta sembarang.

Kami mendapatkan: U (x, y) \u003d x 3 3 - x y 2 + (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + C. Integral umum dari persamaan aslinya adalah x 3 3 - x y 2 + C = 0 .

Mari kita menganalisis metode lain untuk menemukan fungsi dari diferensial total yang diketahui. Ini melibatkan penerapan integral lengkung dari titik tetap (x 0, y 0) ke titik dengan koordinat variabel (x, y):

U (x , y) = (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

Dalam kasus seperti itu, nilai integral sama sekali tidak bergantung pada jalur integrasi. Kita dapat mengambil garis putus-putus sebagai jalur integrasi, yang tautannya sejajar dengan sumbu koordinat.

Contoh 3

Temukan solusi umum persamaan diferensial (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 .

Keputusan

Mari kita periksa apakah kondisi P y Q x terpenuhi:

P y = (y - y 2) y = 1 - 2 y Q x = (x - 2 x y) x = 1 - 2 y

Ternyata ruas kiri persamaan diferensial diwakili oleh diferensial total dari beberapa fungsi U (x, y) = 0. Untuk menemukan fungsi ini, perlu menghitung integral lengkung dari titik (1 ; 1) sebelum (x, y). Mari kita ambil sebagai jalur integrasi garis putus-putus, yang bagian-bagiannya akan melewati garis lurus y=1 dari titik (1 , 1) ke (x , 1) , dan kemudian dari titik (x , 1) ke (x , y) :

(1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + (x, 1) (x, y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Kami telah memperoleh solusi umum dari persamaan diferensial dalam bentuk x y - x y 2 + C = 0 .

Contoh 4

Tentukan solusi umum persamaan diferensial y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Keputusan

Mari kita periksa apakah kondisi P y Q x terpenuhi.

Karena (y cos x) y = cos x , (sin 2 x) x = 2 sin x cos x , kondisi tidak akan terpenuhi. Ini berarti bahwa ruas kiri persamaan diferensial bukanlah diferensial total dari fungsi tersebut. Ini adalah persamaan diferensial yang dapat dipisahkan dan solusi lain cocok untuk menyelesaikannya.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Definisi: Persamaan bentuk

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

di mana ruas kiri adalah diferensial total dari beberapa fungsi dua variabel, disebut persamaan dalam diferensial total.

Nyatakan fungsi dua variabel ini dengan F(x,y). Kemudian persamaan (9) dapat ditulis ulang menjadi dF(x,y) = 0, dan persamaan ini memiliki solusi umum F(x,y) = C.

Biarkan persamaan bentuk (9) diberikan. Untuk mengetahui apakah itu adalah persamaan dalam diferensial total, Anda perlu memeriksa apakah ekspresinya adalah

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

diferensial total dari beberapa fungsi dua variabel. Untuk melakukan ini, perlu untuk memeriksa pemenuhan kesetaraan

Mari kita asumsikan bahwa untuk suatu ekspresi (10) persamaan (11) terpenuhi dalam beberapa domain terhubung sederhana (S) dan, oleh karena itu, ekspresi (10) adalah diferensial total dari beberapa fungsi F(x,y) di (S) .

Pertimbangkan cara berikut untuk menemukan antiturunan ini. Kita perlu mencari fungsi F(x,y) sedemikian rupa sehingga

di mana fungsi (y) akan didefinisikan di bawah ini. Dari rumus (12) maka berikut ini

di semua titik di area (S). Sekarang kita pilih fungsi (y) agar persamaan terjadi

Untuk melakukan ini, kami menulis ulang persamaan (14) yang kami butuhkan, menggantikan ekspresinya sebagai ganti F(x, y) menurut rumus (12):

Mari kita bedakan terhadap y di bawah tanda integral (ini dapat dilakukan karena P(x, y) dan merupakan fungsi kontinu dari dua variabel):

Karena dengan (11) , maka, menggantikan dengan di bawah tanda integral pada (16), kami memiliki:

Setelah terintegrasi pada y, kami menemukan fungsi (y) itu sendiri, yang dibangun sedemikian rupa sehingga persamaan (14) berlaku. Menggunakan persamaan (13) dan (14), kita melihat bahwa

di daerah (S). (delapan belas)

Contoh 5. Periksa apakah persamaan diferensial yang diberikan merupakan persamaan diferensial total dan selesaikan.

Ini adalah persamaan diferensial dalam diferensial total. Memang, menunjukkan, kami memastikan bahwa

dan ini adalah kondisi yang diperlukan dan cukup untuk ekspresi

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

adalah diferensial total dari beberapa fungsi U(x,y). Selain itu, adalah fungsi kontinu dalam R.

Oleh karena itu, untuk mengintegrasikan persamaan diferensial yang diberikan, perlu untuk menemukan fungsi yang ruas kiri persamaan diferensialnya adalah diferensial total. Misalkan U(x,y) adalah fungsi seperti itu, maka

Mengintegrasikan sisi kiri dan kanan atas x, kita mendapatkan:

Untuk mencari u(y), kita menggunakan fakta bahwa

Substitusikan nilai yang ditemukan dari u(y) ke (*), kita akhirnya mendapatkan fungsi U(x, y):

Integral umum dari persamaan asli memiliki bentuk

Jenis utama persamaan diferensial orde pertama (lanjutan).

Persamaan diferensial linier

Definisi: Persamaan linier orde pertama adalah persamaan berbentuk

y" + P(x)y = f(x), (21)

di mana P(x) dan f(x) adalah fungsi kontinu.

Nama persamaan dijelaskan oleh fakta bahwa turunan y "adalah fungsi linier dari y, yaitu, jika kita menulis ulang persamaan (21) sebagai y" = - P (x) + f (x), maka kanan sisi berisi y hanya untuk tingkat pertama.

Jika f(x) = 0, maka persamaan

yґ+ P(x) y = 0 (22)

disebut persamaan linier homogen. Jelas, persamaan linier homogen adalah persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan:

y" + P(x)y = 0; ,

Jika f(x) ? 0, maka persamaan

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

disebut persamaan linier tak homogen.

Secara umum, variabel-variabel dalam persamaan (21) tidak dapat dipisahkan.

Persamaan (21) diselesaikan sebagai berikut: kita akan mencari solusi dalam bentuk produk dari dua fungsi U(x) dan V(x):

Mari kita cari turunannya:

y" = U"V + UV" (25)

dan substitusikan ekspresi ini ke persamaan (1):

U"V + UV" + P(x)UV = f(x).

Mari kita kelompokkan istilah di sisi kiri:

U "V + U \u003d f (x). (26)

Mari kita terapkan kondisi pada salah satu faktor (24), yaitu, misalkan fungsi V(x) sedemikian rupa sehingga mengubah ekspresi dalam tanda kurung siku di (26) menjadi nol identik, yaitu. bahwa itu adalah solusi untuk persamaan diferensial

V" + P(x)V = 0. (27)

Ini adalah persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan, kami menemukan V (x) darinya:

Sekarang mari kita cari fungsi U(x) sedemikian rupa sehingga, untuk fungsi V(x) yang sudah ditemukan, produk U V adalah solusi untuk Persamaan (26). Untuk ini, U(x) harus menjadi solusi dari persamaan

Ini adalah persamaan variabel yang dapat dipisahkan, jadi

Mensubstitusikan fungsi yang ditemukan (28) dan (30) ke dalam rumus (4), kita memperoleh solusi umum persamaan (21):

Jadi, metode yang dipertimbangkan (metode Bernoulli) mereduksi solusi persamaan linier (21) menjadi solusi dua persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan.

Contoh 6. Tentukan integral umum dari persamaan tersebut.

Persamaan ini tidak linier terhadap y dan y", tetapi ternyata linier jika kita mengambil x sebagai fungsi yang diinginkan dan y sebagai argumen. Memang, lewat ke, kita memperoleh

Untuk menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, kami menggunakan metode substitusi (Bernoulli). Kami akan mencari solusi untuk persamaan dalam bentuk x(y)=U(y)V(y), kemudian. Kami mendapatkan persamaan:

Kami memilih fungsi V(y) sehingga. Kemudian

Memiliki bentuk standar $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, di mana ruas kiri adalah diferensial total dari beberapa fungsi $F \left( x,y\right)$ disebut persamaan dalam diferensial total.

Persamaan diferensial total selalu dapat ditulis ulang sebagai $dF\left(x,y\right)=0$, di mana $F\left(x,y\right)$ adalah fungsi sedemikian rupa sehingga $dF\left(x, y \kanan)=P\kiri(x,y\kanan)\cdot dx+Q\kiri(x,y\kanan)\cdot dy$.

Kita integrasikan kedua ruas persamaan $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; integral dari ruas kanan nol sama dengan konstanta arbitrer $C$. Jadi, solusi umum persamaan ini dalam bentuk implisit memiliki bentuk $F\left(x,y\right)=C$.

Agar persamaan diferensial yang diberikan menjadi persamaan dalam diferensial total, perlu dan cukup bahwa kondisi $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ dipenuhi . Jika kondisi ini terpenuhi, maka terdapat fungsi $F\left(x,y\right)$ yang dapat kita tulis: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\frac( \partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, dari mana kita mendapatkan dua relasi: $\ frac(\ parsial F)(\parsial x) =P\kiri(x,y\kanan)$ dan $\frac(\parsial F)(\parsial y) =Q\kiri(x,y\kanan)$.

Kita integrasikan relasi pertama $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ di atas $x$ dan dapatkan $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, di mana $U\left(y\right)$ adalah fungsi arbitrer dari $y$.

Mari kita pilih sehingga relasi kedua $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ terpenuhi. Untuk melakukannya, kita bedakan hasil relasi untuk $F\left(x,y\right)$ terhadap $y$ dan samakan hasilnya dengan $Q\left(x,y\right)$. Kita peroleh: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\kanan)$.

Solusi selanjutnya adalah:

dari persamaan terakhir kita menemukan $U"\left(y\right)$;
integrasikan $U"\left(y\right)$ dan temukan $U\left(y\right)$;
substitusikan $U\left(y\right)$ menjadi $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ dan akhirnya kita mendapatkan fungsi $F\left(x,y\right)$.

Kami menemukan perbedaannya:

Kami mengintegrasikan $U"\left(y\right)$ melalui $y$ dan menemukan $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Temukan hasilnya: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Kami menulis solusi umum sebagai $F\left(x,y\right)=C$, yaitu:

Temukan solusi tertentu $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, di mana $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Solusi tertentu memiliki bentuk: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

Definisi 8.4. persamaan diferensial bentuk

di mana
disebut persamaan diferensial total.

Perhatikan bahwa ruas kiri persamaan tersebut adalah diferensial total dari beberapa fungsi
.

Dalam kasus umum, persamaan (8.4) dapat direpresentasikan sebagai

Alih-alih persamaan (8.5), seseorang dapat mempertimbangkan persamaan

yang solusinya adalah integral umum dari persamaan (8.4). Jadi, untuk menyelesaikan persamaan (8.4) perlu dicari fungsinya
. Sesuai dengan definisi persamaan (8.4), kita memiliki

(8.6)

Fungsi
kita akan mencari, sebagai fungsi yang memenuhi salah satu kondisi berikut (8.6):

di mana adalah fungsi arbitrer yang tidak bergantung pada .

Fungsi
didefinisikan sehingga kondisi kedua dari ekspresi (8.6) terpenuhi

(8.7)

Dari ekspresi (8.7) fungsi ditentukan
. Menggantinya ke dalam ekspresi untuk
dan dapatkan integral umum dari persamaan asli.

Soal 8.3. Integralkan Persamaan

Di Sini
.

Oleh karena itu, persamaan ini termasuk dalam jenis persamaan diferensial dalam diferensial total. Fungsi
kami akan mencari dalam bentuk

Di sisi lain,

Dalam beberapa kasus, kondisi
tidak boleh dilakukan.

Kemudian persamaan tersebut direduksi menjadi jenis yang sedang dipertimbangkan dengan mengalikan dengan apa yang disebut faktor pengintegrasian, yang, dalam kasus umum, merupakan fungsi dari hanya atau .

Jika beberapa persamaan memiliki faktor integrasi yang hanya bergantung pada , maka ditentukan dengan rumus

dimana rasionya seharusnya hanya fungsi .

Demikian pula, faktor integrasi hanya bergantung pada , ditentukan oleh rumus

dimana rasionya
seharusnya hanya fungsi .

Tidak adanya rasio di atas, dalam kasus pertama, dari variabel , dan yang kedua - variabel , adalah tanda adanya faktor integrasi untuk persamaan yang diberikan.

Soal 8.4. Bawa persamaan ini ke persamaan diferensial total.

Pertimbangkan hubungannya:

Topik 8.2. Persamaan diferensial linier

Definisi 8.5. persamaan diferensial
disebut linier jika linier terhadap fungsi yang diinginkan , turunannya dan tidak mengandung produk dari fungsi yang diinginkan dan turunannya.

Bentuk umum persamaan diferensial linier diwakili oleh hubungan berikut:

(8.8)

Jika dalam relasi (8.8) ruas kanan
, maka persamaan tersebut disebut homogen linier. Dalam kasus di mana sisi kanan
, maka persamaan tersebut disebut linier tidak homogen.

Mari kita tunjukkan bahwa persamaan (8.8) dapat diintegralkan dalam kuadratur.

Pada tahap pertama, kami mempertimbangkan persamaan homogen linier.

Persamaan seperti itu adalah persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan. Betulkah,

;

Hubungan terakhir menentukan solusi umum dari persamaan linier homogen.

Untuk mencari solusi umum persamaan linier tak homogen, digunakan metode variasi turunan dari suatu konstanta. Ide dari metode ini adalah bahwa solusi umum persamaan linier tidak homogen dalam bentuk yang sama dengan solusi persamaan homogen yang sesuai, tetapi konstanta sewenang-wenang digantikan oleh beberapa fungsi
untuk ditentukan. Jadi kita punya:

(8.9)

Mensubstitusikan ke dalam relasi (8.8) ekspresi yang sesuai dengan
dan
, kita mendapatkan

Dengan mensubstitusikan ekspresi terakhir ke dalam relasi (8.9), diperoleh integral umum dari persamaan linear tak homogen.

Dengan demikian, solusi umum persamaan linier tidak homogen ditentukan oleh dua kuadratur: solusi umum persamaan linier homogen dan solusi khusus persamaan linier tidak homogen.

Soal 8.5. Integralkan Persamaan