Tingkat pertama

Kelipatan persekutuan terbesar dan pembagi persekutuan terkecil. Kriteria pembagian dan metode pengelompokan (2019)

Untuk JAUH menyederhanakan hidup Anda ketika Anda perlu menghitung sesuatu, untuk memenangkan waktu berharga di OGE atau PENGGUNAAN, untuk membuat lebih sedikit kesalahan bodoh - baca bagian ini!

Inilah yang akan Anda pelajari:

• cara menghitung lebih cepat, lebih mudah dan lebih akurat menggunakanpengelompokan bilangandalam penjumlahan dan pengurangan,
• cara cepat mengalikan dan membagi tanpa kesalahan menggunakan aturan perkalian dan kriteria pembagian,
• cara mempercepat perhitungan secara signifikan menggunakan kelipatan persekutuan terkecil(NOC) dan pembagi persekutuan terbesar(GCD).

Kepemilikan teknik bagian ini dapat memberi tip timbangan ke satu arah atau lainnya ... apakah Anda memasuki universitas impian Anda atau tidak, Anda atau orang tua Anda harus membayar banyak uang untuk pendidikan atau Anda akan memasukkan anggaran .

Mari selami... (Ayo!)

Catatan penting!Jika alih-alih formula Anda melihat omong kosong, kosongkan cache Anda. Untuk melakukannya, tekan CTRL+F5 (di Windows) atau Cmd+R (di Mac)

Sekelompok bilangan bulat terdiri dari 3 bagian :

1. bilangan bulat(kami akan mempertimbangkannya secara lebih rinci di bawah);
2. bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli(semuanya akan berlaku segera setelah Anda mengetahui apa itu bilangan asli);
3. nol - " " (di mana tanpanya?)

huruf Z

bilangan bulat

“Tuhan menciptakan bilangan asli, yang lainnya adalah karya tangan manusia” (c) matematikawan Jerman Kronecker.

Bilangan asli adalah angka-angka yang kita gunakan untuk menghitung objek dan di sinilah sejarah kemunculannya didasarkan - kebutuhan untuk menghitung panah, kulit, dll.

1, 2, 3, 4...n

huruf N

Dengan demikian, definisi ini tidak termasuk (bisakah Anda menghitung apa yang tidak ada?) dan terlebih lagi tidak termasuk nilai negatif (ada apel?).

Selain itu, semua bilangan pecahan tidak disertakan (kami juga tidak dapat mengatakan "Saya punya laptop", atau "Saya menjual mobil")

Setiap bilangan asli dapat ditulis menggunakan 10 digit:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Jadi 14 bukan angka. Ini adalah angka. Terdiri dari angka berapa? Itu benar, dari angka dan.

Tambahan. Pengelompokan saat menambahkan untuk penghitungan lebih cepat dan lebih sedikit kesalahan

Hal menarik apa yang dapat Anda katakan tentang prosedur ini? Tentu saja, Anda sekarang akan menjawab "nilai jumlah tidak berubah dari penataan ulang istilah." Tampaknya aturan primitif yang akrab dari kelas pertama, namun, ketika memecahkan contoh besar, itu langsung terlupakan!

Jangan lupakan diagunakan pengelompokan, untuk memudahkan proses penghitungan dan mengurangi kemungkinan kesalahan, karena Anda tidak akan memiliki kalkulator untuk ujian.

Lihat sendiri ekspresi mana yang lebih mudah ditambahkan?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

Tentu saja yang kedua! Meskipun hasilnya sama. Tetapi! Mempertimbangkan cara kedua, Anda cenderung membuat kesalahan dan Anda akan melakukan semuanya lebih cepat!

Jadi, dalam pikiran Anda, Anda berpikir seperti ini:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Pengurangan. Pengelompokan saat mengurangi untuk penghitungan lebih cepat dan lebih sedikit kesalahan

Saat mengurangkan, kita juga bisa mengelompokkan bilangan yang dikurangi, misalnya:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Bagaimana jika pengurangan disisipkan dengan penambahan dalam contoh? Anda juga dapat mengelompokkan, Anda akan menjawab, dan memang demikian. Tolong saja, jangan lupa tanda-tanda di depan angka, misalnya: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Ingat: tanda-tanda yang ditempelkan secara tidak benar akan menghasilkan hasil yang salah.

Perkalian. Bagaimana berkembang biak dalam pikiran Anda

Jelas bahwa nilai produk juga tidak akan berubah dari perubahan tempat faktor:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Saya tidak akan memberitahu Anda untuk "menggunakan ini ketika memecahkan masalah" (Anda mendapatkan petunjuknya sendiri, kan?), melainkan memberi tahu Anda cara cepat mengalikan beberapa angka di kepala Anda. Jadi, perhatikan tabel dengan cermat:

Dan sedikit lagi tentang perkalian. Tentu saja, Anda ingat dua acara khusus… Coba tebak apa yang saya maksud? Inilah tentangnya:

Oh ya, mari kita lihat tanda-tanda perpecahan. Secara total, ada 7 aturan untuk tanda-tanda dapat dibagi, di mana Anda pasti sudah tahu 3 yang pertama!

Tetapi sisanya sama sekali tidak sulit untuk diingat.

7 tanda angka yang dapat dibagi yang akan membantu Anda menghitung dengan cepat di kepala Anda!

• Anda, tentu saja, tahu tiga aturan pertama.
• Angka keempat dan kelima mudah diingat - saat membagi dengan dan kita melihat apakah jumlah angka yang membentuk angka tersebut habis dibagi.
• Saat membagi dengan, kita memperhatikan dua digit terakhir dari angka - apakah angka yang mereka buat habis dibagi?
• Saat membagi dengan angka, itu harus dibagi dengan dan pada saat yang sama. Itu semua kebijaksanaan.

Apakah Anda sekarang berpikir - "mengapa saya membutuhkan semua ini"?

Pertama, ujiannya adalah tanpa kalkulator dan aturan ini akan membantu Anda menavigasi contoh.

Dan kedua, Anda mendengar tugas tentang GCD dan NOC? Singkatan yang familiar? Mari kita mulai mengingat dan memahami.

Pembagi persekutuan terbesar (gcd) - diperlukan untuk mengurangi pecahan dan perhitungan cepat

Katakanlah Anda memiliki dua angka: dan. Berapakah bilangan terbesar yang habis dibagi kedua bilangan tersebut? Anda akan menjawab tanpa ragu-ragu, karena Anda tahu bahwa:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Berapa angka dalam ekspansi yang umum? Benar, 2 * 2 = 4. Itu jawaban Anda. Dengan mengingat contoh sederhana ini, Anda tidak akan melupakan algoritme untuk menemukan GCD. Cobalah untuk "membangunnya" di kepala Anda. Telah terjadi?

Untuk menemukan NOD yang Anda butuhkan:

1. Menguraikan bilangan menjadi faktor prima (menjadi bilangan yang tidak dapat dibagi dengan apa pun selain dirinya sendiri atau dengan, misalnya, 3, 7, 11, 13, dst.).
2. Kalikan mereka.

Apakah Anda mengerti mengapa kami membutuhkan tanda-tanda perpecahan? Sehingga Anda melihat nomor dan Anda dapat mulai membagi tanpa sisa.

Sebagai contoh, mari kita cari KPK dari bilangan 290 dan 485

Nomor pertama - .

Melihatnya, Anda dapat langsung mengetahui apa yang habis dibagi, mari kita tulis:

Anda tidak dapat membaginya menjadi hal lain, tetapi Anda dapat - dan, kami mendapatkan:

290 = 29 * 5 * 2

Mari kita ambil nomor lain - 485.

Menurut tanda-tanda dapat dibagi, itu harus dibagi tanpa sisa, karena berakhir dengan. Kita berbagi:

Mari kita menganalisis nomor aslinya.

• Tidak bisa dibagi (digit terakhir ganjil),
• - tidak habis dibagi, jadi bilangan juga tidak habis dibagi,
• juga tidak habis dibagi dan (jumlah angka-angka pada bilangan tersebut tidak habis dibagi oleh dan oleh)
• juga tidak habis dibagi, karena tidak habis dibagi dan,
• juga tidak habis dibagi dan, karena tidak habis dibagi dan.
• tidak dapat dibagi seluruhnya

Jadi bilangan tersebut hanya dapat diuraikan menjadi dan.

Dan sekarang mari kita temukan GCD angka-angka ini (dan). Nomor apa ini? Benar, .

Haruskah kita berlatih?

Tugas nomor 1. Tentukan KPK dari bilangan 6240 dan 6800

1) Saya langsung membaginya dengan, karena kedua bilangan tersebut 100% habis dibagi:

2) Saya akan membagi dengan jumlah besar yang tersisa (s), karena mereka dibagi tanpa sisa (pada saat yang sama, saya tidak akan terurai - itu sudah menjadi pembagi umum):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Saya akan pergi dan sendirian dan mulai mempertimbangkan angka dan. Kedua bilangan tersebut benar-benar habis dibagi (diakhiri dengan angka genap (dalam hal ini, kami menyajikannya sebagai, tetapi dapat dibagi dengan)):

4) Kami bekerja dengan angka dan. Apakah mereka memiliki pembagi yang sama? Ini semudah di langkah sebelumnya, dan Anda tidak bisa mengatakannya, jadi kami hanya akan menguraikannya menjadi faktor sederhana:

5) Seperti yang kita lihat, kita benar: dan tidak memiliki pembagi yang sama, dan sekarang kita perlu mengalikan.
GCD

Tugas nomor 2. Tentukan KPK dari bilangan 345 dan 324

Saya tidak dapat dengan cepat menemukan setidaknya satu pembagi umum di sini, jadi saya hanya menguraikan menjadi faktor prima (sesedikit mungkin):

Tepatnya, GCD, dan saya awalnya tidak memeriksa kriteria keterbagian untuk, dan, mungkin, saya tidak perlu melakukan begitu banyak tindakan. Tapi Anda sudah memeriksanya, kan? Sudah selesai dilakukan dengan baik! Seperti yang Anda lihat, ini cukup mudah.

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) - menghemat waktu, membantu memecahkan masalah di luar kotak

Katakanlah Anda memiliki dua angka - dan. Berapa bilangan terkecil yang habis dibagi tanpa jejak(yaitu sepenuhnya)? Sulit membayangkannya? Berikut petunjuk visual untuk Anda:

Apakah Anda ingat apa arti surat itu? Itu benar, hanya bilangan bulat. Jadi, berapa bilangan terkecil yang cocok dengan x? :

Pada kasus ini.

Beberapa aturan mengikuti dari contoh sederhana ini.

Aturan untuk menemukan NOC dengan cepat

Aturan 1. Jika salah satu dari dua bilangan asli habis dibagi dengan bilangan lain, maka yang lebih besar dari kedua bilangan tersebut adalah kelipatan persekutuan terkecilnya.

Temukan angka-angka berikut:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

Tentu saja, Anda dengan mudah mengatasi tugas ini dan Anda mendapatkan jawabannya -, dan.

Perhatikan bahwa dalam aturan kita berbicara tentang DUA angka, jika ada lebih banyak angka, maka aturannya tidak berfungsi.

Misalnya, KPK (7;14;21) tidak sama dengan 21, karena tidak dapat dibagi tanpa sisa oleh.

Aturan 2. Jika dua (atau lebih dari dua) bilangan koprima, maka kelipatan persekutuan terkecilnya sama dengan perkaliannya.

Temukan NOC untuk nomor berikut:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

Apakah Anda menghitung? Ini dia jawabannya - , ; .

Seperti yang Anda pahami, tidak selalu mudah untuk mengambil dan mengambil x yang sama ini, jadi untuk bilangan yang sedikit lebih kompleks ada algoritme berikut:

Haruskah kita berlatih?

Temukan kelipatan persekutuan terkecil - KPK (345; 234)

Mari kita uraikan setiap nomor:

Mengapa saya baru saja menulis? Ingat tanda-tanda habis dibagi oleh: habis dibagi (angka terakhir genap) dan jumlah angka habis dibagi. Dengan demikian, kita dapat langsung membaginya dengan, menuliskannya sebagai.

Sekarang kami menulis ekspansi terpanjang dalam satu baris - yang kedua:

Mari kita tambahkan angka-angka dari ekspansi pertama, yang tidak ada dalam apa yang kita tulis:

Catatan: kami menulis semuanya kecuali, karena kami sudah memilikinya.

Sekarang kita perlu mengalikan semua angka ini!

Temukan sendiri kelipatan persekutuan terkecil (KPK)

Apa jawaban yang Anda dapatkan?

Inilah yang terjadi pada saya:

Berapa lama waktu yang Anda butuhkan untuk menemukan NOC? Waktu saya 2 menit, saya benar-benar tahu satu trik, yang saya sarankan Anda buka sekarang!

Jika Anda sangat perhatian, maka Anda mungkin memperhatikan bahwa untuk nomor yang diberikan telah kami cari GCD dan Anda dapat mengambil faktorisasi angka-angka ini dari contoh itu, sehingga menyederhanakan tugas Anda, tetapi ini jauh dari semuanya.

Lihatlah gambarnya, mungkin beberapa pemikiran lain akan datang kepada Anda:

Sehat? Saya akan memberi Anda petunjuk: cobalah untuk mengalikan NOC dan GCD di antara mereka sendiri dan tuliskan semua faktor yang akan terjadi saat mengalikan. Apakah Anda berhasil? Anda harus berakhir dengan rantai seperti ini:

Lihatlah lebih dekat: bandingkan faktor-faktornya dengan cara dan penguraiannya.

Kesimpulan apa yang dapat Anda tarik dari ini? Benar! Jika kita mengalikan nilainya NOC dan GCD antara mereka sendiri, maka kita mendapatkan produk dari angka-angka ini.

Dengan demikian, memiliki angka dan makna GCD(atau NOC), kita dapat menemukan NOC(atau GCD) dengan cara sebagai berikut:

1. Temukan produk dari angka:

2. Kami membagi produk yang dihasilkan dengan GCD (6240; 6800) = 80:

Itu saja.

Mari kita tulis aturan dalam bentuk umum:

Mencoba untuk mencari GCD jika diketahui :

Apakah Anda berhasil? .

Angka negatif - "angka palsu" dan pengakuannya oleh umat manusia.

Seperti yang sudah Anda pahami, ini adalah angka yang berlawanan dengan angka alami, yaitu:

Bilangan negatif dapat ditambahkan, dikurangi, dikalikan, dan dibagi - sama seperti bilangan asli. Tampaknya mereka begitu istimewa? Tetapi faktanya adalah bahwa angka negatif "memenangkan" tempat yang tepat dalam matematika hingga abad ke-19 (sampai saat itu ada sejumlah besar kontroversi apakah mereka ada atau tidak).

Angka negatif itu sendiri muncul karena operasi seperti itu dengan bilangan asli sebagai "pengurangan". Memang, kurangi dari - itu angka negatif. Itulah sebabnya himpunan bilangan negatif sering disebut "perpanjangan himpunan" bilangan asli».

Angka negatif tidak dikenali oleh orang untuk waktu yang lama. Jadi, Mesir Kuno, Babilonia, dan Yunani Kuno - lampu pada zaman mereka, tidak mengenali angka negatif, dan dalam kasus memperoleh akar negatif dalam persamaan (misalnya, seperti yang kita miliki), akarnya ditolak karena tidak mungkin.

Untuk pertama kalinya angka negatif mendapatkan haknya untuk eksis di Cina, dan kemudian pada abad ke-7 di India. Apa pendapat Anda tentang pengakuan ini? Itu benar, angka negatif mulai menunjukkan hutang (jika tidak - kekurangan). Diyakini bahwa angka negatif adalah nilai sementara, yang akibatnya akan berubah menjadi positif (yaitu, uang akan tetap dikembalikan ke kreditur). Namun, ahli matematika India Brahmagupta kemudian mempertimbangkan bilangan negatif dengan pijakan yang sama dengan bilangan positif.

Di Eropa, kegunaan angka negatif, serta fakta bahwa angka tersebut dapat menunjukkan utang, muncul jauh kemudian, yaitu, satu milenium. Penyebutan pertama terlihat pada tahun 1202 dalam "Book of the Abacus" oleh Leonard dari Pisa (saya langsung mengatakan bahwa penulis buku tersebut tidak ada hubungannya dengan Menara Miring Pisa, tetapi angka Fibonacci adalah karyanya (the nama panggilan Leonardo dari Pisa adalah Fibonacci)). Selanjutnya, orang Eropa sampai pada kesimpulan bahwa angka negatif tidak hanya berarti hutang, tetapi juga kekurangan sesuatu, namun, tidak semua orang menyadarinya.

Jadi, pada abad XVII, Pascal percaya akan hal itu. Menurut Anda bagaimana dia membenarkannya? Itu benar, "tidak ada yang kurang dari TIDAK ADA". Gema dari waktu itu tetap menjadi fakta bahwa angka negatif dan operasi pengurangan dilambangkan dengan simbol yang sama - minus "-". Dan benar: . Apakah angka " " positif, yang dikurangi, atau negatif, yang ditambahkan? ... Sesuatu dari seri "mana yang lebih dulu: ayam atau telur?" Berikut adalah semacam filosofi matematika ini.

Angka negatif mengamankan hak mereka untuk eksis dengan munculnya geometri analitik, dengan kata lain, ketika matematikawan memperkenalkan hal seperti sumbu nyata.

Dari saat inilah kesetaraan datang. Namun, masih ada lebih banyak pertanyaan daripada jawaban, misalnya:

proporsi

Proporsi ini disebut paradoks Arno. Pikirkan tentang hal itu, apa yang meragukan tentang itu?

Mari kita bicara bersama " " lebih dari " " kan? Jadi, menurut logika, sisi kiri proporsi harus lebih besar dari sisi kanan, tetapi mereka sama ... Ini dia paradoksnya.

Akibatnya, ahli matematika setuju bahwa Karl Gauss (ya, ya, ini adalah orang yang menganggap jumlah (atau) angka) pada tahun 1831 mengakhirinya - dia mengatakan bahwa angka negatif memiliki hak yang sama dengan angka positif, dan fakta bahwa mereka tidak berlaku untuk semua hal tidak berarti apa-apa, karena pecahan juga tidak berlaku untuk banyak hal (tidak terjadi bahwa penggali menggali lubang, Anda tidak dapat membeli tiket film, dll.).

Matematikawan baru tenang pada abad ke-19, ketika teori bilangan negatif diciptakan oleh William Hamilton dan Hermann Grassmann.

Begitulah kontroversialnya mereka, angka-angka negatif ini.

Munculnya "kekosongan", atau biografi nol.

Dalam matematika, nomor khusus. Pada pandangan pertama, ini bukan apa-apa: tambah, kurangi - tidak ada yang berubah, tetapi Anda hanya perlu mengaitkannya ke kanan ke "", dan jumlah yang dihasilkan akan berkali-kali lebih besar dari yang asli. Dengan mengalikan dengan nol, kita mengubah segalanya menjadi tidak ada, tetapi kita tidak dapat membagi dengan "tidak ada". Singkatnya, angka ajaib)

Sejarah nol panjang dan rumit. Jejak nol ditemukan dalam tulisan-tulisan Cina pada tahun 2000 Masehi. dan bahkan lebih awal dengan Maya. Penggunaan pertama dari simbol nol, seperti sekarang ini, terlihat di antara para astronom Yunani.

Ada banyak versi mengapa penunjukan "tidak ada" seperti itu dipilih. Beberapa sejarawan cenderung percaya bahwa ini adalah omicron, yaitu. Huruf pertama dari kata Yunani untuk tidak ada adalah ouden. Menurut versi lain, kata "obol" (koin yang hampir tidak bernilai) menghidupkan simbol nol.

Nol (atau nol) sebagai simbol matematika pertama kali muncul di antara orang India (perhatikan bahwa angka negatif mulai "berkembang" di sana). Bukti pertama yang dapat diandalkan untuk menulis nol berasal dari tahun 876, dan di dalamnya "" adalah komponen angka.

Nol juga datang ke Eropa terlambat - hanya pada tahun 1600, dan seperti angka negatif, ia menghadapi perlawanan (apa yang dapat Anda lakukan, mereka adalah orang Eropa).

”Nol sering kali dibenci, ditakuti, atau bahkan dilarang sejak dahulu kala,” tulis ahli matematika Amerika Charles Seif. Jadi, Sultan Turki Abdul-Hamid II pada akhir abad ke-19. memerintahkan sensornya untuk menghapus formula air H2O dari semua buku teks kimia, mengambil huruf "O" untuk nol dan tidak ingin inisial namanya dicemarkan oleh kedekatannya dengan nol tercela.

Di Internet Anda dapat menemukan frasa: “Nol adalah kekuatan paling kuat di Semesta, ia dapat melakukan apa saja! Nol menciptakan keteraturan dalam matematika, dan juga membawa kekacauan ke dalamnya. Poin yang sangat tepat :)

Ringkasan bagian dan rumus dasar

Himpunan bilangan bulat terdiri dari 3 bagian:

• bilangan asli (kami akan mempertimbangkannya secara lebih rinci di bawah);
• angka yang berlawanan dengan yang alami;
• nol - " "

Himpunan bilangan bulat dilambangkan huruf Z

1. Bilangan asli

Bilangan asli adalah bilangan yang kita gunakan untuk menghitung benda.

Himpunan bilangan asli dilambangkan huruf N

Dalam operasi dengan bilangan bulat, Anda akan memerlukan kemampuan untuk menemukan GCD dan KPK.

Pembagi Persekutuan Terbesar (PBK)

Untuk menemukan NOD yang Anda butuhkan:

1. Menguraikan bilangan menjadi faktor prima (menjadi bilangan yang tidak dapat dibagi dengan apa pun selain dirinya sendiri atau dengan, misalnya, dll.).
2. Tuliskan faktor-faktor yang merupakan bagian dari kedua bilangan tersebut.
3. Kalikan mereka.

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK)

Untuk menemukan NOC yang Anda butuhkan:

1. Faktorkan bilangan menjadi faktor prima (Anda sudah tahu cara melakukannya dengan sangat baik).
2. Tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam perluasan salah satu angka (lebih baik mengambil rantai terpanjang).
3. Tambahkan kepada mereka faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan-bilangan yang tersisa.
4. Temukan produk dari faktor-faktor yang dihasilkan.

2. Bilangan negatif

Berikut ini adalah bilangan-bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli, yaitu:

Sekarang saya ingin mendengar dari Anda ...

Saya harap Anda menghargai "trik" yang sangat berguna dari bagian ini dan memahami bagaimana trik tersebut akan membantu Anda dalam ujian.

Dan yang lebih penting, dalam hidup. Saya tidak membicarakannya, tapi percayalah, yang ini. Kemampuan untuk menghitung dengan cepat dan tanpa kesalahan menyelamatkan dalam banyak situasi kehidupan.

Sekarang giliran Anda!

Tulis, apakah Anda akan menggunakan metode pengelompokan, kriteria keterbagian, GCD dan KPK dalam perhitungan?

Mungkin Anda pernah menggunakannya sebelumnya? Dimana dan bagaimana?

Mungkin Anda memiliki pertanyaan. Atau saran.

Tulis di komentar bagaimana Anda menyukai artikel tersebut.

Dan semoga sukses dengan ujian Anda!

Sifat aljabar

Tautan

Yayasan Wikimedia. 2010 .

• mencium polisi
• Semuanya

Lihat apa itu "Bilangan Bulat" di kamus lain:

Bilangan bulat Gaussian- (bilangan gaussian, bilangan bulat kompleks) ini adalah bilangan kompleks di mana bagian real dan imajiner adalah bilangan bulat. Diperkenalkan oleh Gauss pada tahun 1825. Daftar isi 1 Definisi dan operasi 2 Teori pembagian ... Wikipedia

ISI NOMOR- dalam mekanika kuantum dan statistik kuantum, angka yang menunjukkan tingkat pengisian kuantum. menyatakan h tsami mekanika kuantum. sistem dari banyak partikel identik. Untuk sistem h c dengan putaran setengah bilangan bulat (fermion) Ch. hanya dapat mengambil dua nilai ... Ensiklopedia Fisik

Nomor Zuckerman- Bilangan Zuckerman adalah bilangan asli yang habis dibagi dengan produk digitnya. Contoh 212 adalah bilangan Zuckerman, karena dan. Urutan Semua bilangan bulat dari 1 sampai 9 adalah nomor Zuckerman. Semua angka termasuk nol bukan ... ... Wikipedia

Bilangan aljabar bilangan bulat- Bilangan aljabar bilangan bulat disebut akar kompleks (dan khususnya real) dari polinomial dengan koefisien bilangan bulat dan dengan koefisien utama sama dengan satu. Sehubungan dengan penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks, bilangan bulat aljabar ... ... Wikipedia

Bilangan kompleks bilangan bulat- Bilangan Gaussian, bilangan berbentuk a + bi, di mana a dan b adalah bilangan bulat (misalnya, 4 7i). Mereka secara geometris diwakili oleh titik-titik bidang kompleks yang memiliki koordinat bilangan bulat. C. to.h. diperkenalkan oleh K. Gauss pada tahun 1831 sehubungan dengan penelitian tentang teori ... ...

Nomor Cullen- Dalam matematika, bilangan Cullen adalah bilangan asli berbentuk n 2n + 1 (ditulis Cn). Bilangan Cullen pertama kali dipelajari oleh James Cullen pada tahun 1905. Bilangan Cullen adalah jenis khusus dari bilangan Proth. Properti Pada tahun 1976, Christopher Huley (Christopher ... ... Wikipedia

Nomor Poin Tetap- Format angka titik tetap untuk mewakili bilangan real dalam memori komputer sebagai bilangan bulat. Selain itu, bilangan x itu sendiri dan representasi bilangan bulatnya x′ dihubungkan dengan rumus, di mana z adalah nilai dari digit paling signifikan. Contoh aritmatika paling sederhana dengan ... ... Wikipedia

Isi nomor- dalam mekanika kuantum dan statistik kuantum, angka yang menunjukkan tingkat pengisian keadaan kuantum oleh partikel sistem mekanika kuantum dari banyak partikel identik (Lihat Partikel identitas). Untuk sistem partikel dengan Spin setengah bilangan bulat ... ... Ensiklopedia Besar Soviet

nomor Leyland- Bilangan Leyland adalah bilangan asli yang dinyatakan sebagai xy + yx, di mana x dan y adalah bilangan bulat yang lebih besar dari 1. 15 bilangan Leyland pertama adalah: 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368 , 512, 593, 945, 1124, 1649 urutan A076980 di OEIS. ... ... Wikipedia

Bilangan aljabar bilangan bulat- bilangan yang merupakan akar persamaan bentuk xn + a1xn ​​1 +... + an = 0, dimana a1,..., an adalah bilangan bulat rasional. Misalnya, x1 = 2 + C. a. jam, karena x12 4x1 + 1 = 0. Teori C. a. jam muncul dalam 30 40 x tahun. abad ke-19 sehubungan dengan penelitian K. ... ... Ensiklopedia Besar Soviet

Buku

• Aritmatika: Bilangan bulat. Tentang pembagian bilangan. Pengukuran besaran. Sistem pengukuran metrik. Biasa, Kiselev, Andrey Petrovich. Pembaca ditawari sebuah buku oleh guru dan matematikawan Rusia yang luar biasa A.P. Kiselev (1852-1940), yang berisi kursus aritmatika yang sistematis. Buku ini terdiri dari enam bagian...

Ke bilangan bulat termasuk bilangan asli, nol, dan bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli.

bilangan bulat adalah bilangan bulat positif.

Contoh: 1, 3, 7, 19, 23, dst. Kami menggunakan angka-angka seperti itu untuk menghitung (ada 5 apel di atas meja, mobil memiliki 4 roda, dll.)

Huruf Latin \mathbb(N) - dilambangkan himpunan bilangan asli.

Bilangan asli tidak boleh termasuk negatif (kursi tidak boleh memiliki jumlah kaki negatif) dan bilangan pecahan (Ivan tidak bisa menjual 3,5 sepeda).

Bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli adalah bilangan bulat negatif: -8, -148, -981, ....

Operasi aritmatika dengan bilangan bulat

Apa yang dapat Anda lakukan dengan bilangan bulat? Mereka dapat dikalikan, ditambahkan dan dikurangi satu sama lain. Mari kita menganalisis setiap operasi pada contoh spesifik.

penjumlahan bilangan bulat

Dua bilangan bulat dengan tanda yang sama ditambahkan sebagai berikut: modul angka-angka ini ditambahkan dan jumlah yang dihasilkan didahului oleh tanda akhir:

(+11) + (+9) = +20

Pengurangan bilangan bulat

Dua bilangan bulat dengan tanda yang berbeda ditambahkan sebagai berikut: modulus bilangan yang lebih kecil dikurangi modulus bilangan yang lebih besar, dan tanda bilangan modulo yang lebih besar diletakkan di depan jawaban:

(-7) + (+8) = +1

Perkalian bilangan bulat

Untuk mengalikan satu bilangan bulat dengan bilangan bulat lainnya, Anda perlu mengalikan modul angka-angka ini dan meletakkan tanda "+" di depan jawaban yang diterima jika angka aslinya memiliki tanda yang sama, dan tanda "-" jika angka aslinya adalah dengan tanda yang berbeda:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Anda harus ingat yang berikut ini aturan perkalian bilangan bulat:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

Ada aturan untuk mengalikan beberapa bilangan bulat. Mari kita mengingatnya:

Tanda perkaliannya adalah "+" jika banyaknya faktor yang bertanda negatif genap dan "-" jika banyaknya faktor yang bertanda negatif ganjil.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Pembagian bilangan bulat

Pembagian dua bilangan bulat dilakukan sebagai berikut: modulus satu angka dibagi dengan modulus yang lain, dan jika tanda-tanda angkanya sama, maka tanda "+" ditempatkan di depan hasil bagi yang dihasilkan , dan jika tanda bilangan aslinya berbeda, maka diberi tanda “−”.

(-25) : (+5) = -5

Sifat-sifat penjumlahan dan perkalian bilangan bulat

Mari kita menganalisis sifat dasar penjumlahan dan perkalian untuk sembarang bilangan bulat a , b dan c :

1. a + b = b + a - sifat komutatif penjumlahan;
2. (a + b) + c \u003d a + (b + c) - sifat asosiatif penjumlahan;
3. a \cdot b = b \cdot a - sifat komutatif perkalian;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- sifat asosiatif perkalian;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c adalah sifat distributif perkalian.

Pada artikel ini, kita akan mendefinisikan himpunan bilangan bulat, pertimbangkan bilangan bulat mana yang disebut positif dan mana yang negatif. Kami juga akan menunjukkan bagaimana bilangan bulat digunakan untuk menggambarkan perubahan dalam beberapa kuantitas. Mari kita mulai dengan definisi dan contoh bilangan bulat.

Yandex.RTB R-A-339285-1

bilangan bulat. Definisi, contoh

Pertama, mari mengingat kembali bilangan asli . Nama itu sendiri menunjukkan bahwa ini adalah angka yang secara alami telah digunakan untuk menghitung sejak dahulu kala. Untuk membahas konsep bilangan bulat, kita perlu memperluas definisi bilangan asli.

Definisi 1. Bilangan bulat

Bilangan bulat adalah bilangan asli, lawannya, dan bilangan nol.

Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan huruf .

Himpunan bilangan asli adalah himpunan bagian dari bilangan bulat . Setiap bilangan asli adalah bilangan bulat, tetapi tidak setiap bilangan bulat adalah bilangan asli.

Ini mengikuti dari definisi bahwa salah satu angka 1 , 2 , 3 adalah bilangan bulat. . , angka 0, serta angka - 1 , - 2 , - 3 , . .

Oleh karena itu, kami memberikan contoh. Angka 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 adalah bilangan bulat.

Biarkan garis koordinat ditarik secara horizontal dan diarahkan ke kanan. Mari kita lihat untuk memvisualisasikan lokasi bilangan bulat pada garis lurus.

Titik referensi pada garis koordinat sesuai dengan angka 0, dan titik-titik yang terletak di kedua sisi nol sesuai dengan bilangan bulat positif dan negatif. Setiap titik sesuai dengan satu bilangan bulat.

Setiap titik pada garis lurus yang koordinatnya adalah bilangan bulat dapat dicapai dengan menyisihkan sejumlah segmen unit tertentu dari titik asal.

Bilangan bulat positif dan negatif

Dari semua bilangan bulat, logis untuk membedakan antara bilangan bulat positif dan negatif. Mari kita berikan definisi mereka.

Definisi 2. Bilangan bulat positif

Bilangan bulat positif adalah bilangan bulat dengan tanda tambah.

Misalnya, angka 7 adalah bilangan bulat dengan tanda tambah, yaitu bilangan bulat positif. Pada garis koordinat, angka ini terletak di sebelah kanan titik referensi, di mana angka 0 diambil. Contoh lain dari bilangan bulat positif: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .

Definisi 3. Bilangan bulat negatif

Bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat dengan tanda minus.

Contoh bilangan bulat negatif: - 528 , - 2568 , - 1 .

Angka 0 memisahkan bilangan bulat positif dan negatif dan itu sendiri tidak positif atau negatif.

Setiap nomor yang merupakan kebalikan dari bilangan bulat positif, menurut definisi, bilangan bulat negatif. Kebalikannya juga benar. Kebalikan dari setiap bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif.

Dimungkinkan untuk memberikan formulasi lain dari definisi bilangan bulat negatif dan positif, menggunakan perbandingannya dengan nol.

Definisi 4. Bilangan bulat positif

Bilangan bulat positif adalah bilangan bulat yang lebih besar dari nol.

Definisi 5. Bilangan bulat negatif

Bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat yang kurang dari nol.

Dengan demikian, bilangan positif terletak di sebelah kanan titik asal pada garis koordinat, dan bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol.

Sebelumnya kami mengatakan bahwa bilangan asli adalah himpunan bagian dari bilangan bulat. Mari kita perjelas poin ini. Himpunan bilangan asli adalah bilangan bulat positif. Sebaliknya, himpunan bilangan bulat negatif adalah himpunan bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli.

Penting!

Setiap bilangan asli dapat disebut bilangan bulat, tetapi bilangan bulat apa pun tidak dapat disebut bilangan asli. Menjawab pertanyaan apakah bilangan negatif itu alami, seseorang harus dengan berani mengatakan - tidak, tidak.

Bilangan bulat non-positif dan non-negatif

Mari kita beri definisi.

Definisi 6. Bilangan bulat non-negatif

Bilangan bulat non-negatif adalah bilangan bulat positif dan bilangan nol.

Definisi 7. Bilangan bulat non-positif

Bilangan bulat non-positif adalah bilangan bulat negatif dan bilangan nol.

Seperti yang Anda lihat, angka nol tidak positif atau negatif.

Contoh bilangan bulat non-negatif: 52 , 128 , 0 .

Contoh bilangan bulat non-positif: - 52 , - 128 , 0 .

Bilangan bukan negatif adalah bilangan yang lebih besar atau sama dengan nol. Dengan demikian, bilangan bulat non-positif adalah angka yang kurang dari atau sama dengan nol.

Istilah "bilangan non-positif" dan "bilangan non-negatif" digunakan untuk singkatnya. Misalnya, alih-alih mengatakan bahwa angka a adalah bilangan bulat yang lebih besar dari atau sama dengan nol, Anda dapat mengatakan: a adalah bilangan bulat non-negatif.

Menggunakan Bilangan Bulat Saat Menggambarkan Perubahan Nilai

Untuk apa bilangan bulat digunakan? Pertama-tama, dengan bantuan mereka akan lebih mudah untuk menggambarkan dan menentukan perubahan jumlah objek apa pun. Mari kita ambil contoh.

Biarkan sejumlah poros engkol disimpan di gudang. Jika 500 poros engkol lagi dibawa ke gudang, jumlahnya akan bertambah. Angka 500 hanya menyatakan perubahan (kenaikan) jumlah bagian. Jika kemudian 200 suku cadang diambil dari gudang, maka jumlah ini juga akan menjadi ciri perubahan jumlah poros engkol. Kali ini, ke arah reduksi.

Jika tidak ada yang diambil dari gudang, dan tidak ada yang dibawa masuk, maka angka 0 akan menunjukkan invarian jumlah suku cadang.

Kemudahan penggunaan bilangan bulat, tidak seperti bilangan asli, adalah bahwa tandanya dengan jelas menunjukkan arah perubahan besaran (naik atau turun).

Penurunan suhu sebesar 30 derajat dapat ditandai dengan angka negatif - 30, dan peningkatan sebesar 2 derajat - dengan bilangan bulat positif 2.

Berikut adalah contoh lain menggunakan bilangan bulat. Kali ini, bayangkan kita harus memberikan 5 koin kepada seseorang. Kemudian, kita dapat mengatakan bahwa kita memiliki - 5 koin. Angka 5 menggambarkan jumlah hutang, dan tanda minus menunjukkan bahwa kita harus mengembalikan koin.

Jika kita berhutang 2 koin kepada satu orang dan 3 kepada orang lain, maka total hutang (5 koin) dapat dihitung dengan aturan penjumlahan angka negatif:

2 + (- 3) = - 5

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Nomor adalah abstraksi yang digunakan untuk mengukur objek. Angka muncul dalam masyarakat primitif sehubungan dengan kebutuhan orang untuk menghitung benda. Seiring waktu, dengan perkembangan ilmu pengetahuan, bilangan telah menjadi konsep matematika yang paling penting.

Untuk memecahkan masalah dan membuktikan berbagai teorema, Anda perlu memahami apa itu jenis bilangan. Jenis utama bilangan meliputi: bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real.

bilangan bulat- ini adalah angka yang diperoleh dengan penghitungan alami objek, atau lebih tepatnya, dengan penomorannya ("pertama", "kedua", "ketiga" ...). Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan huruf latin N (dapat diingat berdasarkan kata bahasa Inggris natural). bisa dibilang N ={1,2,3,....}

Bilangan bulat adalah angka dari himpunan (0, 1, -1, 2, -2, ....). Himpunan ini terdiri dari tiga bagian - bilangan asli, bilangan bulat negatif (kebalikan dari bilangan asli) dan angka 0 (nol). Bilangan bulat dilambangkan dengan huruf latin Z . bisa dibilang Z ={1,2,3,....}.

Angka rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan, di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Huruf latin digunakan untuk menyatakan bilangan rasional Q . Semua bilangan asli dan bilangan bulat adalah rasional. Juga, sebagai contoh bilangan rasional, Anda dapat memberikan: ,,.

Bilangan nyata (nyata) adalah bilangan yang digunakan untuk mengukur besaran kontinu. Himpunan bilangan real dilambangkan dengan huruf latin R. Bilangan real meliputi bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan irasional adalah bilangan yang diperoleh sebagai hasil dari melakukan berbagai operasi pada bilangan rasional (misalnya, mengekstrak akar, menghitung logaritma), tetapi tidak rasional. Contoh bilangan irasional adalah ,,.

Setiap bilangan real dapat ditampilkan pada garis bilangan:

Untuk himpunan bilangan di atas, pernyataan berikut ini benar:

Artinya, himpunan bilangan asli termasuk dalam himpunan bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat termasuk dalam himpunan bilangan rasional. Dan himpunan bilangan rasional termasuk dalam himpunan bilangan real. Pernyataan ini dapat diilustrasikan dengan menggunakan lingkaran Euler.