TEKS PENJELASAN PELAJARAN:

Kami terus mempelajari bagian geometri padat "Tubuh revolusi".

Benda-benda revolusi meliputi: silinder, kerucut, bola.

Mari kita ingat definisi.

Tinggi badan adalah jarak dari puncak sosok atau badan ke pangkal sosok (badan). Jika tidak, segmen yang menghubungkan bagian atas dan bawah gambar dan tegak lurus terhadapnya.

Ingat, untuk mencari luas lingkaran, kalikan pi dengan kuadrat jari-jarinya.

Luas lingkaran adalah sama.

Ingat bagaimana menemukan luas lingkaran, mengetahui diameternya? Sebagai

mari kita masukkan ke dalam rumus:

Kerucut juga merupakan badan revolusi.

Kerucut (lebih tepatnya, kerucut melingkar) adalah benda yang terdiri dari lingkaran - alas kerucut, titik yang tidak terletak pada bidang lingkaran ini - bagian atas kerucut dan semua segmen yang menghubungkan bagian atas kerucut. kerucut dengan titik-titik alasnya.

Mari berkenalan dengan rumus untuk menemukan volume kerucut.

Dalil. Volume kerucut sama dengan sepertiga luas alas dikalikan tingginya.

Mari kita buktikan teorema ini.

Diketahui: sebuah kerucut, S adalah luas alasnya,

h adalah tinggi kerucut

Buktikan: V =

Bukti: Perhatikan sebuah kerucut dengan volume V, jari-jari alas R, tinggi h, dan puncak di titik O.

Mari kita perkenalkan sumbu Ox melalui OM, sumbu kerucut. Bagian sembarang kerucut oleh bidang yang tegak lurus terhadap sumbu x adalah lingkaran yang berpusat di titik

M1 - titik perpotongan bidang ini dengan sumbu Ox. Mari kita nyatakan jari-jari lingkaran ini sebagai R1, dan luas penampang sebagai S(x), di mana x adalah absis dari titik M1.

Dari persamaan segitiga siku-siku OM1A1 dan OMA (ے OM1A1 = OMA - garis lurus, MOA-umum, yang berarti bahwa segitiga-segitiga itu sebangun pada dua sudut) berikut ini

Gambar tersebut menunjukkan bahwa OM1=x, OM=h

atau dari mana dengan properti proporsi kita menemukan R1 = .

Karena bagiannya adalah lingkaran, maka S (x) \u003d R12, gantikan ekspresi sebelumnya untuk R1, luas penampang sama dengan rasio produk pi er kuadrat dengan kuadrat x dengan kuadrat tinggi:

Mari kita terapkan rumus dasarnya

menghitung volume benda, dengan a=0, b=h, kita mendapatkan ekspresi (1)

Karena alas kerucut adalah lingkaran, luas S alas kerucut akan sama dengan persegi pi er

dalam rumus untuk menghitung volume benda, kami mengganti nilai pier persegi dengan luas alas dan kami mendapatkan bahwa volume kerucut sama dengan sepertiga dari produk luas dari alas dan tinggi

Teorema telah terbukti.

Akibat wajar dari teorema (rumus untuk volume kerucut terpotong)

Volume V kerucut terpotong, yang tingginya h, dan luas alas S dan S1, dihitung dengan rumus

Ve sama dengan sepertiga abu dikalikan dengan jumlah luas alas dan akar kuadrat dari perkalian luas alas.

Penyelesaian masalah

Sebuah segitiga siku-siku dengan kaki 3 cm dan 4 cm berputar mengelilingi sisi miring. Tentukan volume tubuh yang dihasilkan.

Ketika segitiga berputar di sekitar sisi miring, kita mendapatkan kerucut. Saat memecahkan masalah ini, penting untuk dipahami bahwa dua kasus mungkin terjadi. Di masing-masing dari mereka, kami menerapkan rumus untuk menemukan volume kerucut: volume kerucut sama dengan sepertiga dari produk alas dan tinggi

Dalam kasus pertama, gambarnya akan terlihat seperti ini: sebuah kerucut diberikan. Misal radius r = 4, tinggi h = 3

Luas alasnya sama dengan hasil kali kali kuadrat jari-jarinya

Maka volume kerucut sama dengan sepertiga hasil kali kali kuadrat jari-jari dikali tinggi.

Substitusikan nilai pada rumus, ternyata volume kerucut adalah 16π.

Dalam kasus kedua, seperti ini: diberi kerucut. Misal radius r = 3, tinggi h = 4

Volume kerucut sama dengan sepertiga luas alas dikalikan tinggi:

Luas alasnya sama dengan hasil kali kali kuadrat jari-jarinya:

Maka volume kerucut sama dengan sepertiga hasil kali kali kuadrat jari-jari dikali tinggi:

Substitusikan nilai pada rumus, ternyata volume kerucut adalah 12π.

Jawab: Volume kerucut V adalah 16 atau 12

Soal 2. Diketahui sebuah kerucut berbentuk lingkaran siku-siku dengan jari-jari 6 cm, sudut BCO = 45 .

Temukan volume kerucut.

Solusi: Gambar yang sudah jadi diberikan untuk tugas ini.

Mari kita tulis rumus untuk mencari volume kerucut:

Kami menyatakannya dalam jari-jari alas R:

Kami menemukan h \u003d BO dengan konstruksi, - persegi panjang, karena sudut BOC=90 (jumlah sudut suatu segitiga), sudut alasnya sama besar, jadi segitiga BOC sama kaki dan BO=OC=6 cm.

V silinder \u003d S utama. h

Contoh 2 Diketahui sebuah kerucut siku-siku ABC sama sisi, BO = 10. Cari volume kerucut.

Keputusan

Temukan jari-jari alas kerucut. C \u003d 60 0, B \u003d 30 0,

Biarkan OS = sebuah, maka BC = 2 sebuah. Menurut teorema Pythagoras:

Menjawab: .

Contoh 3. Hitung volume gambar yang dibentuk oleh rotasi area yang dibatasi oleh garis yang ditentukan.

y2=4x; y=0; x=4.

Batas integrasi a = 0, b = 4.

V = | =32π

tugas

Pilihan 1

1. Bagian aksial silinder adalah persegi, yang diagonalnya 4 dm. Cari volume silinder.

2. Diameter luar bola berongga adalah 18 cm, tebal dinding 3 cm. Hitung volume dinding bola.

X gambar dibatasi oleh garis y 2 =x, y=0, x=1, x=2.

pilihan 2

1. Jari-jari tiga bola sama dengan 6 cm, 8 cm, 10 cm Tentukan jari-jari bola yang volumenya sama dengan jumlah volume bola-bola tersebut.

2. Luas alas kerucut adalah 9 cm 2, luas permukaan totalnya adalah 24 cm 2. Cari volume kerucut.

3. Hitung volume tubuh yang dibentuk oleh rotasi di sekitar sumbu O X gambar dibatasi oleh garis y 2 =2x, y=0, x=2, x=4.

pertanyaan tes:

1. Tuliskan sifat-sifat volume benda.

2. Tulislah rumus untuk menghitung volume benda berputar di sekitar sumbu Oy.

Pekerjaan diagnostik terdiri dari dua bagian, termasuk 19 tugas. Bagian 1 berisi 8 tugas tingkat kerumitan dasar dengan jawaban singkat. Bagian 2 berisi 4 tugas dengan tingkat kerumitan yang meningkat dengan jawaban singkat dan 7 tugas dengan tingkat kerumitan yang meningkat dan tinggi dengan jawaban yang terperinci.
3 jam 55 menit (235 menit) dialokasikan untuk melakukan pekerjaan diagnostik dalam matematika.
Jawaban untuk tugas 1-12 ditulis sebagai bilangan bulat atau pecahan desimal akhir. Tulislah angka pada kolom jawaban pada teks pekerjaan, kemudian pindahkan ke lembar jawaban No. 1. Saat menyelesaikan tugas 13-19, Anda perlu menuliskan solusi lengkap dan jawaban pada lembar jawaban No. 2.
Semua formulir diisi dengan tinta hitam cerah. Penggunaan gel, kapiler atau pulpen diperbolehkan.
Saat menyelesaikan tugas, Anda dapat menggunakan draf. Entri draft tidak diperhitungkan dalam penilaian pekerjaan.
Poin yang Anda dapatkan untuk tugas yang diselesaikan diringkas.
Kami berharap Anda sukses!

Kondisi Tugas

1. Temukan jika
2. Untuk memperoleh bayangan bola lampu yang diperbesar pada layar di laboratorium, digunakan lensa cembung dengan panjang fokus utama = 30 cm. Jarak dari lensa ke bola lampu dapat bervariasi dari 40 hingga 65 cm, dan jarak dari lensa ke layar - dalam kisaran 75 hingga 100 cm. Gambar di layar akan jelas jika rasionya terpenuhi. Tentukan jarak terjauh dari lensa tempat bola lampu dapat diletakkan sehingga bayangannya di layar terlihat jelas. Nyatakan jawaban Anda dalam sentimeter.
3. Kapal melewati sungai ke tujuan sejauh 300 km dan setelah parkir kembali ke titik keberangkatan. Carilah kecepatan arus, jika kecepatan kapal di air tenang adalah 15 km / jam, parkir berlangsung selama 5 jam, dan kapal kembali ke titik keberangkatan 50 jam setelah meninggalkannya. Berikan jawaban Anda dalam km/jam.
4. Temukan nilai terkecil dari suatu fungsi pada segmen
5. a) Selesaikan persamaan b) Temukan semua akar persamaan ini yang termasuk dalam segmen
6. Diberikan kerucut lingkaran siku-siku dengan titik sudut M. Bagian aksial kerucut - segitiga dengan sudut 120 ° di puncak M. Pembangkit kerucut adalah . Melalui titik M bagian kerucut ditarik tegak lurus terhadap salah satu generator.
   a) Buktikan bahwa segitiga yang dihasilkan adalah segitiga tumpul.
   b.cari jarak dari pusat HAI dasar kerucut ke bidang bagian.
7. Selesaikan Persamaan
8. Lingkaran dengan pusat HAI menyentuh samping AB segitiga sama kaki abc, ekstensi samping AC dan kelanjutan dari yayasan matahari pada intinya N. Dot M- tengah dasar Matahari.
   a) Buktikan bahwa MN = AC.
   b) Temukan OS, jika sisi segitiga ABC adalah 5, 5 dan 8.
9. Proyek bisnis "A" mengasumsikan peningkatan jumlah yang diinvestasikan di dalamnya sebesar 34,56% setiap tahun selama dua tahun pertama dan sebesar 44% setiap tahun selama dua tahun berikutnya. Proyek B mengasumsikan pertumbuhan dengan bilangan bulat konstan n persen per tahun. Cari nilai terkecil n, di mana selama empat tahun pertama proyek "B" akan lebih menguntungkan daripada proyek "A".
10. Temukan semua nilai parameter , , untuk masing-masing sistem persamaan memiliki satu-satunya solusi
11. Anya memainkan permainan: dua bilangan asli yang berbeda tertulis di papan dan , keduanya kurang dari 1000. Jika keduanya bilangan asli, maka Anya bergerak - dia mengganti yang sebelumnya dengan dua angka ini. Jika setidaknya salah satu dari angka-angka ini bukan bilangan asli, maka permainan berakhir.
    a) Bisakah permainan berlangsung tepat tiga langkah?
    b) Apakah ada dua angka awal sehingga permainan akan berlangsung setidaknya 9 langkah?
    c) Anya melakukan langkah pertama dalam permainan. Temukan rasio terbesar yang mungkin dari produk dari dua angka yang diperoleh dengan produk

pengantar

Relevansi topik penelitian. Bagian kerucut sudah dikenal oleh ahli matematika Yunani kuno (misalnya, Menechmus, abad ke-4 SM); dengan bantuan kurva ini, beberapa masalah konstruksi diselesaikan (menggandakan kubus, dll.), Yang ternyata tidak dapat diakses saat menggunakan alat menggambar paling sederhana - kompas dan penggaris. Dalam studi pertama yang telah sampai kepada kami, ahli geometri Yunani memperoleh bagian kerucut dengan menggambar bidang potong tegak lurus ke salah satu generator, sementara, tergantung pada sudut bukaan di bagian atas kerucut (yaitu, sudut terbesar antara generator dari satu rongga), garis perpotongan menjadi elips, jika sudut ini lancip, itu adalah parabola, jika itu siku-siku, dan hiperbola, jika tumpul. Karya paling lengkap yang ditujukan untuk kurva ini adalah "Bagian Kerucut" dari Apollonius dari Perga (sekitar 200 SM). Kemajuan lebih lanjut dalam teori irisan kerucut dikaitkan dengan penciptaan pada abad ke-17. metode geometris baru: proyektif (ahli matematika Prancis J. Desargues, B. Pascal) dan terutama koordinat (matematikawan Prancis R. Descartes, P. Fermat).

Ketertarikan pada irisan kerucut selalu didukung oleh fakta bahwa kurva-kurva ini sering ditemukan dalam berbagai fenomena alam dan aktivitas manusia. Dalam sains, bagian kerucut memperoleh makna khusus setelah astronom Jerman I. Kepler menemukan dari pengamatan, dan ilmuwan Inggris I. Newton secara teoritis memperkuat hukum gerak planet, salah satunya menyatakan bahwa planet dan komet tata surya bergerak sepanjang kerucut. bagian, di salah satu dari fokus yang adalah Matahari. Contoh berikut mengacu pada beberapa jenis bagian kerucut: proyektil atau batu yang dilemparkan miring ke cakrawala menggambarkan parabola (bentuk kurva yang benar agak terdistorsi oleh hambatan udara); dalam beberapa mekanisme, roda gigi berbentuk elips digunakan ("roda gigi elips"); hiperbola berfungsi sebagai grafik proporsionalitas terbalik, sering diamati di alam (misalnya, hukum Boyle-Mariotte).

Objektif:

Studi tentang teori irisan kerucut.

Topik penelitian:

Bagian kerucut.

Tujuan studi:

Secara teoritis mempelajari fitur bagian kerucut.

Objek studi:

Bagian kerucut.

Subyek studi:

Perkembangan sejarah bagian kerucut.

1. Pembentukan bagian kerucut dan jenisnya

Penampang kerucut adalah garis-garis yang terbentuk pada bagian kerucut berbentuk lingkaran siku-siku dengan bidang yang berbeda.

Perhatikan bahwa permukaan kerucut adalah permukaan yang dibentuk oleh pergerakan garis lurus yang melewati sepanjang waktu melalui titik tetap (bagian atas kerucut) dan berpotongan sepanjang waktu dengan kurva tetap - panduan (dalam kasus kami, lingkaran ).

Mengklasifikasikan garis-garis ini menurut sifat lokasi bidang garis potong relatif terhadap generator kerucut, diperoleh tiga jenis kurva:

I. Kurva yang dibentuk oleh bagian kerucut oleh bidang yang tidak sejajar dengan generator mana pun. Kurva seperti itu akan menjadi berbagai lingkaran dan elips. Kurva ini disebut kurva eliptik.

II. Kurva yang dibentuk oleh bagian kerucut oleh bidang, yang masing-masing sejajar dengan salah satu generatrix kerucut (Gbr. 1b). Hanya parabola yang akan menjadi kurva seperti itu.

AKU AKU AKU. Kurva yang dibentuk oleh bagian kerucut oleh bidang, yang masing-masing sejajar dengan dua generator (Gbr. 1 c). kurva seperti itu akan menjadi hiperbola.

Tidak akan ada lagi kurva tipe IV, karena tidak mungkin ada bidang yang sejajar dengan tiga generator kerucut sekaligus, karena tidak ada tiga generator kerucut itu sendiri yang terletak pada bidang yang sama.

Perhatikan bahwa kerucut dapat berpotongan dengan bidang sehingga diperoleh dua garis lurus pada bagian tersebut. Untuk melakukan ini, bidang garis potong harus ditarik melalui bagian atas kerucut.

2. Elips

Dua teorema penting untuk mempelajari sifat-sifat irisan kerucut:

Teorema 1. Diberikan sebuah kerucut lingkaran lurus, yang dipotong oleh bidang b 1, b 2, b 3, tegak lurus terhadap sumbunya. Kemudian semua segmen generator kerucut di antara setiap pasangan lingkaran (diperoleh pada bagian dengan bidang yang diberikan) sama satu sama lain, mis. A 1 B 1 \u003d A 2 B 2 \u003d, dll. dan B 1 C 1 \u003d B 2 C 2 \u003d, dll. Teorema 2. Jika permukaan bola diberikan dan beberapa titik S berada di luarnya, maka segmen garis singgung yang ditarik dari titik S ke permukaan bola akan sama satu sama lain, mis. SA 1 = SA 2 = SA 3 dst.

2.1 Sifat dasar elips

Kami memotong kerucut melingkar kanan dengan bidang yang memotong semua generatornya.Pada bagian ini, kami mendapatkan elips. Mari kita menggambar sebuah bidang yang tegak lurus terhadap bidang tersebut melalui sumbu kerucut.

Mari kita masukkan dua bola ke dalam kerucut sehingga, terletak di sisi berlawanan dari pesawat dan menyentuh permukaan kerucut, masing-masing menyentuh bidang di beberapa titik.

Biarkan satu bola menyentuh bidang di titik F 1 dan menyentuh kerucut di sepanjang lingkaran C 1, dan yang lainnya di titik F 2 dan menyentuh kerucut di sepanjang lingkaran C 2 .

Ambil titik sembarang P pada elips.

Ini berarti bahwa semua kesimpulan yang dibuat tentangnya akan valid untuk setiap titik elips. Mari kita menggambar generatrix OR kerucut dan menandai titik R 1 dan R 2 di mana ia menyentuh bola yang dibangun.

Hubungkan titik P dengan titik F 1 dan F 2 . Maka PF 1 = PR 1 dan PF 2 = PR 2, karena PF 1, PR 1 adalah garis singgung yang ditarik dari titik P ke satu bola, dan PF 2, PR 2 adalah garis singgung yang ditarik dari titik P ke bola yang lain (teorema 2 ) . Menambahkan kedua persamaan suku demi suku, kita temukan

PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2 (1)

Hubungan ini menunjukkan bahwa jumlah jarak (РF 1 dan F 2) dari sembarang titik P elips ke dua titik F 1 dan F 2 adalah nilai konstan untuk elips ini (yaitu, tidak tergantung pada posisi titik P pada elips).

Titik F 1 dan F 2 disebut titik fokus elips. Titik-titik di mana garis F 1 F 2 memotong elips disebut simpul dari elips. Segmen antara simpul disebut sumbu utama elips.

Segmen generatrix R 1 R 2 sama panjang dengan sumbu utama elips. Kemudian sifat utama elips dirumuskan sebagai berikut: jumlah jarak titik sembarang P dari elips ke fokusnya F 1 dan F 2 adalah nilai konstan untuk elips ini, sama dengan panjang sumbu utamanya.

Perhatikan bahwa jika fokus elips bertepatan, maka elips adalah lingkaran, mis. lingkaran adalah kasus khusus dari elips.

2.2 Persamaan elips

Untuk merumuskan persamaan elips, kita harus menganggap elips sebagai tempat kedudukan titik-titik yang memiliki beberapa sifat yang mencirikan lokus ini. Mari kita ambil sifat utama elips sebagai definisinya: Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang jumlah jaraknya ke dua titik tetap F 1 dan F 2 pada bidang ini, yang disebut fokus, adalah nilai konstanta yang sama dengan panjang sumbu utamanya.

Biarkan panjang segmen F 1 F 2 \u003d 2c, dan panjang sumbu utama adalah 2a. Untuk menurunkan persamaan kanonik elips, kita memilih titik asal O dari sistem koordinat Cartesian di tengah segmen F 1 F 2, dan mengarahkan sumbu Ox dan Oy seperti yang ditunjukkan pada Gambar 5. (Jika fokusnya bertepatan, maka O bertepatan dengan F 1 dan F 2, dan di luar sumbu Ox dapat diambil sebagai sumbu apa pun yang melalui O). Kemudian pada sistem koordinat yang dipilih titik F 1 (c, 0) dan F 2 (-c, 0). Jelas, 2a > 2c, yaitu. a>c. Misalkan M(x,y) adalah sebuah titik pada bidang yang termasuk ke dalam elips. Misalkan F 1 =r 1 , F 2 =r 2 . Menurut definisi elips, persamaan

r 1 +r 2 =2a (2) adalah kondisi perlu dan cukup untuk lokasi titik M (x,y) pada elips tertentu. Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, kita peroleh

r 1 =, r 2 =. Mari kita kembali ke kesetaraan (2):

Mari pindahkan satu akar ke sisi kanan persamaan dan kuadratkan:

Mengurangi, kita mendapatkan:

Kami memberikan yang serupa, kurangi 4 dan isolasi radikal:

Kami persegi

Buka tanda kurung dan persingkat menjadi:

dari mana kita mendapatkan:

(a 2 -c 2) x 2 + a 2 y 2 \u003d a 2 (a 2 -c 2). (3)

Perhatikan bahwa a 2 -c 2 >0. Memang, r 1 +r 2 adalah jumlah dari dua sisi segitiga F 1 MF 2 , dan F 1 F 2 adalah sisi ketiganya. Oleh karena itu, r 1 +r 2 > F 1 F 2 , atau 2а>2с, mis. a>c. Tunjukkan a 2 -c 2 \u003d b 2. Persamaan (3) akan terlihat seperti: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 . Mari kita lakukan transformasi yang membawa persamaan elips ke bentuk kanonik (secara harfiah: diambil sebagai sampel), yaitu, kita membagi kedua bagian persamaan dengan a 2 b 2:

(4) - persamaan kanonik elips.

Karena persamaan (4) merupakan konsekuensi aljabar dari persamaan (2*), maka koordinat x dan y dari sembarang titik M pada elips juga memenuhi persamaan (4). Karena "akar tambahan" dapat muncul selama transformasi aljabar yang terkait dengan penyingkiran radikal, perlu dipastikan bahwa setiap titik M, yang koordinatnya memenuhi persamaan (4), terletak pada elips ini. Untuk melakukan ini, cukup dibuktikan bahwa besaran r 1 dan r 2 untuk setiap titik memenuhi hubungan (2). Jadi, biarkan koordinat x dan y dari titik M memenuhi persamaan (4). Mensubstitusi nilai y 2 dari (4) ke dalam ekspresi r 1 , setelah transformasi sederhana kita menemukan bahwa r 1 =. Karena, maka r 1 =. Cukup mirip, kami menemukan bahwa r 2 =. Jadi, untuk titik yang dipertimbangkan M r 1 =, r 2 =, yaitu. r 1 + r 2 \u003d 2a, oleh karena itu titik M terletak pada elips. Besaran a dan b masing-masing disebut semiaxes mayor dan minor dari elips.

2.3 Mempelajari bentuk elips menurut persamaannya

Mari kita tentukan bentuk elips menggunakan persamaan kanoniknya.

1. Persamaan (4) hanya memuat x dan y pangkat genap, jadi jika titik (x, y) termasuk elips, maka titik-titik (x, - y), (-x, y), (-x, - y). Oleh karena itu, elips tersebut simetris terhadap sumbu Ox dan Oy, dan juga terhadap titik O (0,0), yang disebut pusat elips.

2. Tentukan titik potong elips dengan sumbu koordinat. Menempatkan y \u003d 0, kami menemukan dua titik A 1 (a, 0) dan A 2 (-a, 0), di mana sumbu Ox memotong elips. Menempatkan x=0 dalam persamaan (4), kita menemukan titik potong elips dengan sumbu Oy: B 1 (0, b) dan. B 2 (0, - b) Titik A 1 , A 2 , B 1 , B 2 disebut simpul elips.

3. Dari persamaan (4) diketahui bahwa setiap suku di ruas kiri tidak melebihi satu, yaitu ada ketidaksetaraan dan atau dan. Oleh karena itu, semua titik elips terletak di dalam persegi panjang yang dibentuk oleh garis lurus, .

4. Pada persamaan (4), jumlah suku tak negatif dan sama dengan satu. Oleh karena itu, ketika satu istilah meningkat, yang lain akan berkurang, mis. Jika x bertambah, maka y berkurang dan sebaliknya.

Dari apa yang telah dikatakan, maka elips memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar. 6 (kurva tertutup oval).

Perhatikan bahwa jika a = b, maka persamaan (4) akan berbentuk x 2 + y 2 = a 2 . Ini adalah persamaan lingkaran. Sebuah elips dapat diperoleh dari lingkaran dengan jari-jari a, jika dikompresi sekali sepanjang sumbu Oy. Dengan kontraksi seperti itu, titik (x; y) akan menuju ke titik (x; y 1), di mana. Mensubstitusikan lingkaran ke dalam persamaan, kita memperoleh persamaan elips: .

Mari kita perkenalkan satu kuantitas lagi yang mencirikan bentuk elips.

Eksentrisitas elips adalah rasio panjang fokus 2c dengan panjang 2a dari sumbu utamanya.

Eksentrisitas biasanya dilambangkan dengan e: e = Karena c< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.

Dari persamaan terakhir, mudah untuk memperoleh interpretasi geometris dari eksentrisitas elips. Untuk bilangan yang sangat kecil, a dan b hampir sama, yaitu elips dekat dengan lingkaran. Jika mendekati satu, maka angka b sangat kecil dibandingkan dengan angka a, dan elips memanjang kuat pada sumbu mayor. Dengan demikian, eksentrisitas elips mencirikan ukuran perpanjangan elips.

3. Hiperbola

3.1 Sifat utama hiperbola

Menjelajahi hiperbola dengan bantuan konstruksi yang mirip dengan konstruksi yang dilakukan untuk mempelajari elips, kami menemukan bahwa hiperbola memiliki sifat yang mirip dengan elips.

Mari kita membedah sebuah kerucut lingkaran siku-siku dengan sebuah bidang b yang memotong kedua bidangnya, yaitu. sejajar dengan dua generatornya. Penampang melintang adalah hiperbola. Mari kita menggambar melalui sumbu ST kerucut bidang ASB, tegak lurus terhadap bidang b.

Mari kita masukkan dua bola ke dalam kerucut - satu ke salah satu rongganya, yang lain ke yang lain, sehingga masing-masing menyentuh permukaan kerucut dan bidang garis potong. Biarkan bola pertama menyentuh bidang b di titik F 1 dan menyentuh permukaan kerucut di sepanjang lingkaran UґVґ. Biarkan bola kedua menyentuh bidang b di titik F 2 dan menyentuh permukaan kerucut di sepanjang lingkaran UV.

Kita memilih titik sembarang M pada hiperbola. Mari kita gambarkan generatrix kerucut MS melaluinya dan tandai titik d dan D di mana titik itu menyentuh bola pertama dan kedua. Kami menghubungkan titik M dengan titik F 1 , F 2 , yang akan kita sebut fokus hiperbola. Maka MF 1 =Md, karena kedua ruas bersinggungan dengan bola pertama, ditarik dari titik M. Demikian pula, MF 2 =MD. Mengurangi suku demi suku dari persamaan pertama dengan persamaan kedua, kita menemukan

MF 1 -MF 2 \u003d Md-MD \u003d dD,

di mana dD adalah nilai konstan (sebagai generatrix kerucut dengan basis UґVґ dan UV), tidak tergantung pada pilihan titik M pada hiperbola. Dilambangkan dengan P dan Q titik-titik di mana garis F 1 F 2 memotong hiperbola. Titik P dan Q ini disebut simpul hiperbola. Segmen PQ disebut sumbu nyata hiperbola. Dalam pelajaran geometri dasar dibuktikan bahwa dD=PQ. Oleh karena itu, MF 1 -MF 2 =PQ.

Jika titik M terletak pada cabang hiperbola tersebut, di dekat titik fokus F 1, maka MF 2 -MF 1 =PQ. Kemudian akhirnya kita mendapatkan F 1 -MF 2 =PQ.

Modulus selisih antara jarak titik sembarang M hiperbola dari fokusnya F 1 dan F 2 adalah nilai konstanta yang sama dengan panjang sumbu real hiperbola.

3.2 Persamaan hiperbola

Mari kita ambil sifat utama hiperbola sebagai definisinya: Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang modulus perbedaan jaraknya ke dua titik tetap F 1 dan F 2 pada bidang ini, yang disebut fokus, adalah konstan. nilainya sama dengan panjang sumbu realnya.

Biarkan panjang segmen F 1 F 2 \u003d 2c, dan panjang sumbu nyata adalah 2a. Untuk menurunkan persamaan kanonik hiperbola, kita memilih asal O dari sistem koordinat Cartesian di tengah segmen F 1 F 2 , dan mengarahkan sumbu Ox dan Oy seperti yang ditunjukkan pada Gambar 5. Kemudian pada sistem koordinat yang dipilih titik F 1 (c, 0) dan F 2 ( -s, 0). Jelas 2a<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 \u003d 2a (5) adalah kondisi perlu dan cukup untuk lokasi titik M (x, y) pada hiperbola ini. Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, kita peroleh

r 1 =, r 2 =. Mari kita kembali ke kesetaraan (5):

Mari kita kuadratkan kedua sisi persamaan

(x + s) 2 + y 2 \u003d 4a 2 ± 4a + (x-c) 2 + y 2

Mengurangi, kita mendapatkan:

2 =4а 2 ±4а-2

±4a=4a 2 -4 xs

a 2 x 2 -2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 \u003d a 4 -2a 2 xc + x 2 c 2

x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 \u003d a 2 (c 2 -a 2) (6)

Perhatikan bahwa c 2 -a 2 >0. Dilambangkan c 2 -a 2 =b 2 . Persamaan (6) akan terlihat seperti: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2 . Kami melakukan transformasi yang membawa persamaan hiperbola ke bentuk kanonik, yaitu, kami membagi kedua bagian persamaan dengan a 2 b 2: (7) - persamaan kanonik hiperbola, besaran a dan b berturut-turut adalah semiaksis real dan imajiner hiperbola.

Kita harus memastikan bahwa persamaan (7), yang diperoleh dari transformasi aljabar persamaan (5*), tidak memperoleh akar baru. Untuk melakukan ini, cukup dibuktikan bahwa untuk setiap titik M, koordinat x dan y yang memenuhi persamaan (7), nilai r 1 dan r 2 memenuhi hubungan (5). Melakukan argumen yang serupa dengan yang dibuat saat menurunkan rumus elips, kami menemukan ekspresi berikut untuk r 1 dan r 2:

Jadi, untuk titik M yang dipertimbangkan kita memiliki r 1 -r 2 =2a, dan karena itu terletak di hiperbola.

3.3 Studi persamaan hiperbola

Sekarang mari kita coba, berdasarkan pertimbangan persamaan (7), untuk mendapatkan gambaran tentang lokasi hiperbola.
1. Pertama-tama, persamaan (7) menunjukkan bahwa hiperbola simetris terhadap kedua sumbu. Ini dijelaskan oleh fakta bahwa hanya derajat koordinat genap yang dimasukkan dalam persamaan kurva. 2. Sekarang kita tandai daerah bidang di mana kurva akan terletak. Persamaan hiperbola, diselesaikan terhadap y, memiliki bentuk:

Ini menunjukkan bahwa y selalu ada ketika x 2? sebuah 2 . Ini berarti bahwa untuk x? a dan untuk x? - dan koordinat y akan nyata, dan untuk - a

Selanjutnya, dengan meningkatnya x (dan semakin besar a), koordinat y juga akan bertambah sepanjang waktu (khususnya, dapat dilihat dari sini bahwa kurva tidak boleh bergelombang, yaitu sedemikian rupa sehingga dengan pertumbuhan absis x, koordinat y naik atau turun).

3. Pusat hiperbola adalah titik di mana setiap titik hiperbola memiliki titik yang simetris dengan dirinya sendiri. Titik O(0,0), titik asal, seperti untuk elips, adalah pusat hiperbola yang diberikan oleh persamaan kanonik. Ini berarti bahwa setiap titik hiperbola memiliki titik simetris pada hiperbola terhadap titik O. Ini mengikuti simetri hiperbola terhadap sumbu Ox dan Oy. Tali pusat hiperbola yang melalui pusatnya disebut diameter hiperbola.

4. Titik potong hiperbola dengan garis yang menjadi fokusnya disebut simpul hiperbola, dan ruas di antara keduanya disebut sumbu real hiperbola. Dalam hal ini, sumbu nyata adalah sumbu x. Perhatikan bahwa sumbu nyata hiperbola sering disebut segmen 2a dan garis lurus itu sendiri (sumbu Ox) di mana ia berada.

Tentukan titik potong hiperbola dengan sumbu Oy. Persamaan sumbu y adalah x=0. Dengan mensubstitusikan x = 0 ke dalam persamaan (7), diperoleh bahwa hiperbola tidak memiliki titik potong dengan sumbu Oy. Hal ini dapat dimengerti, karena tidak ada titik hiperbola pada strip dengan lebar 2a, yang menutupi sumbu Oy.

Garis yang tegak lurus terhadap sumbu real hiperbola dan melalui pusatnya disebut sumbu imajiner hiperbola. Dalam hal ini, itu bertepatan dengan sumbu y. Jadi, dalam penyebut suku dengan x 2 dan y 2 dalam persamaan hiperbola (7) adalah kuadrat dari setengah sumbu real dan imajiner hiperbola.

5. Hiperbola memotong garis y = kx untuk k< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Bukti

Untuk menentukan koordinat titik potong hiperbola dan garis lurus y = kx, perlu diselesaikan sistem persamaan

Menghilangkan y, kita dapatkan

atau Untuk b 2 -k 2 a 2 0, yaitu, untuk k, persamaan yang dihasilkan, dan karena itu sistem solusi, tidak memiliki.

Garis lurus dengan persamaan y= dan y= - disebut asimtot hiperbola.

Untuk b 2 -k 2 a 2 >0, yaitu untuk k< система имеет два решения:

Oleh karena itu, setiap garis lurus yang melalui titik asal, dengan kemiringan k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы.

6. Sifat optik hiperbola: sinar optik yang memancar dari satu fokus hiperbola, yang dipantulkan darinya, tampaknya memancar dari fokus kedua.

Eksentrisitas hiperbola adalah perbandingan antara jarak fokus 2c dengan panjang 2a dari sumbu realnya?
itu. dari sisi cekungannya.

3.4 Konjugasi hiperbola

Seiring dengan hiperbola (7), yang disebut hiperbola konjugasi sehubungan dengan itu dipertimbangkan. Hiperbola konjugasi didefinisikan oleh persamaan kanonik.

pada gambar. 10 menunjukkan hiperbola (7) dan hiperbola konjugasinya. Hiperbola konjugasi memiliki asimtot yang sama dengan yang diberikan, tetapi F 1 (0, c),

4. Parabola

4.1 Sifat dasar parabola

Mari kita tentukan sifat dasar parabola. Mari kita potong kerucut lingkaran siku-siku dengan simpul S oleh bidang yang sejajar dengan salah satu generatornya. Di bagian ini kita mendapatkan parabola. Mari kita menggambar melalui sumbu ST kerucut bidang ASB, tegak lurus terhadap bidang (Gbr. 11). Generatrix SA yang terletak di dalamnya akan sejajar dengan bidang. Mari kita tuliskan di dalam kerucut sebuah permukaan bola yang bersinggungan dengan kerucut di sepanjang lingkaran UV dan bersinggungan dengan bidang di titik F. Gambarlah garis melalui titik F yang sejajar dengan generator SA. Mari kita nyatakan titik perpotongannya dengan generatrix SB dengan P. Titik F disebut fokus parabola, titik P adalah titik puncaknya, dan garis PF melalui titik dan fokus (dan sejajar dengan generatrix SA) disebut sumbu parabola. Parabola tidak akan memiliki simpul kedua - titik perpotongan sumbu PF dengan generatrix SA: titik ini "menuju tak terhingga". Mari kita sebut direktriks (dalam terjemahan berarti "panduan") garis q 1 q 2 dari perpotongan bidang dengan bidang di mana lingkaran UV terletak. Ambil sembarang titik M pada parabola dan hubungkan ke titik sudut kerucut S. Garis MS menyentuh bola di titik D yang terletak pada lingkaran UV. Kami menghubungkan titik M dengan fokus F dan menjatuhkan tegak lurus MK dari titik M ke direktriks. Kemudian ternyata jarak titik sewenang-wenang M dari parabola ke fokus (MF) dan ke directrix (MK) sama satu sama lain (properti utama parabola), mis. MF = MK.

Bukti: F=MD (sebagai garis singgung bola dari satu titik). Mari kita nyatakan sudut antara salah satu generatrix kerucut dan sumbu ST sebagai q. Mari kita proyeksikan segmen MD dan MK ke sumbu ST. Segmen MD membentuk proyeksi ke sumbu ST, sama dengan MDcosc, karena MD terletak pada generatrix kerucut; segmen MK membentuk proyeksi ke sumbu ST, sama dengan MKsoc, karena segmen MK sejajar dengan generatrix SA. (Memang direktriks q 1 q 1 tegak lurus bidang ASB. Oleh karena itu, garis PF memotong direktriks di titik L siku-siku. Tetapi garis MK dan PF terletak pada bidang yang sama, dan MK juga tegak lurus ke direktriks). Proyeksi kedua segmen MK dan MD ke sumbu ST sama satu sama lain, karena salah satu ujungnya - titik M - adalah umum, dan dua D dan K lainnya terletak pada bidang yang tegak lurus terhadap sumbu ST (Gbr. ). Maka Dcosц= MKsоsц atau D= MK. Oleh karena itu, MF = MK.

Properti 1.(Sifat fokus parabola).

Jarak dari sembarang titik parabola ke tengah tali busur utama sama dengan jaraknya ke garis direktriks.

Bukti.

Titik F - titik perpotongan garis QR dan akord utama. Titik ini terletak pada sumbu simetri Oy. Memang, segitiga RNQ dan ROF kongruen, seperti segitiga siku-siku

segitiga dengan kaki awal (NQ=OF, OR=RN). Oleh karena itu, tidak peduli titik N mana yang kita ambil, garis QR yang dibuat sepanjang itu akan memotong tali busur utama di F tengahnya. Sekarang jelas bahwa segitiga FMQ adalah sama kaki. Memang, segmen MR adalah median dan tinggi segitiga ini. Ini menyiratkan bahwa MF = MQ.

Properti 2.(Sifat optik parabola).

Setiap garis singgung parabola membuat sudut yang sama dengan jari-jari fokus yang ditarik ke titik singgung dan sinar yang datang dari titik singgung dan searah dengan sumbu (atau, sinar yang keluar dari satu fokus, dipantulkan dari parabola, akan pergi sejajar sumbu).

Bukti. Untuk titik N yang terletak pada parabola itu sendiri, persamaan |FN|=|NH| adalah benar, dan untuk titik N" yang terletak di daerah bagian dalam parabola, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

|FM"|=|M"K"|>|M"K"|, yaitu, titik M" terletak di daerah luar parabola. Jadi, seluruh garis l, kecuali titik M, terletak di daerah luar, yaitu daerah dalam parabola terletak pada salah satu sisi l, yang berarti bahwa l bersinggungan dengan parabola. Ini memberikan bukti sifat optik parabola: sudut 1 sama dengan sudut 2, karena l adalah garis bagi sudut FMK.

4.2 Persamaan parabola

Berdasarkan sifat utama parabola, kami merumuskan definisinya: parabola adalah himpunan semua titik pada bidang, yang masing-masing berjarak sama dari titik tertentu, yang disebut fokus, dan garis lurus tertentu, yang disebut direktriks. . Jarak dari fokus F ke direktriks disebut parameter parabola dan dilambangkan dengan p (p > 0).

Untuk menurunkan persamaan parabola, kita memilih sistem koordinat Oxy sehingga sumbu Oxy melewati fokus F tegak lurus terhadap direktriks dalam arah dari direktrix ke F, dan titik asal O terletak di tengah antara fokus dan direktriks (Gbr. 12). Dalam sistem yang dipilih, fokusnya adalah F(, 0), dan persamaan direktriks berbentuk x=-, atau x+=0. Misalkan m (x, y) adalah titik sembarang dari parabola. Hubungkan titik M dengan F. Gambarkan ruas MH tegak lurus dengan direktriks. Menurut definisi parabola, MF = MH. Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, kita peroleh:

Oleh karena itu, mengkuadratkan kedua sisi persamaan, kita mendapatkan

itu. (8) Persamaan (8) disebut persamaan kanonik parabola.

4.3 Mempelajari bentuk-bentuk parabola menurut persamaannya

1. Pada persamaan (8), variabel y termasuk derajat genap, artinya parabola simetris terhadap sumbu Ox; sumbu x adalah sumbu simetri parabola.

2. Karena c > 0, maka dari (8) bahwa x>0. Oleh karena itu, parabola terletak di sebelah kanan sumbu y.

3. Biarkan x \u003d 0, lalu y \u003d 0. Oleh karena itu, parabola melewati titik asal.

4. Dengan peningkatan x yang tidak terbatas, modul y juga meningkat tanpa batas. Parabola y 2 \u003d 2 px memiliki bentuk (bentuk) yang ditunjukkan pada Gambar 13. Titik O (0; 0) disebut puncak parabola, segmen FM \u003d r disebut jari-jari fokus titik M Persamaan y 2 \u003d -2 px, x 2 \u003d - 2 py, x 2 =2 py (p>0) juga mendefinisikan parabola.

1.5. Properti direktori dari bagian kerucut .

Di sini kami membuktikan bahwa setiap bagian kerucut yang tidak melingkar (tidak merosot) dapat didefinisikan sebagai himpunan titik-titik M, rasio jarak MF yang dari titik tetap F dengan jarak MP dari garis tetap d tidak melewati titik F sama dengan nilai konstanta e: di mana F - fokus bagian kerucut, garis lurus d adalah directrix, dan rasio e adalah eksentrisitas. (Jika titik F termasuk ke dalam garis d, maka syarat menentukan himpunan titik-titik tersebut, yaitu sepasang garis, yaitu bagian kerucut yang mengalami degenerasi; untuk e = 1, pasangan garis ini bergabung menjadi satu garis. Untuk membuktikan ini, perhatikan kerucut yang dibentuk oleh rotasi garis l di sekitar perpotongannya di titik O dari garis lurus p, yang merupakan l sudut b< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности).

Mari kita tulis sebuah bola K di kerucut yang menyentuh bidang p di titik F dan menyentuh kerucut di sepanjang lingkaran S. Kami menyatakan garis perpotongan bidang p dengan bidang y dari lingkaran S dengan d.

Sekarang mari kita hubungkan titik sembarang M, yang terletak pada garis A dari perpotongan bidang p dan kerucut, dengan puncak O kerucut dan dengan titik F, dan turunkan MP tegak lurus dari M ke garis d; juga dilambangkan dengan E titik perpotongan generator MO kerucut dengan lingkaran S.

Selain itu, MF = ME, sebagai segmen dari dua garis singgung bola K, ditarik dari satu titik M.

Selanjutnya, segmen ME terbentuk dengan sumbu p kerucut suatu konstanta (yaitu, tidak tergantung pada pilihan titik M) sudut 6, dan segmen MP membentuk sudut konstan ; oleh karena itu, proyeksi kedua segmen ini ke sumbu p masing-masing sama dengan ME cos b dan MP cos c.

Tetapi proyeksi ini bertepatan, karena segmen ME dan MP memiliki asal yang sama M, dan ujungnya terletak pada bidang y yang tegak lurus terhadap sumbu p.

Oleh karena itu, ME cos b = MP cos c, atau, karena ME = MF, MF cos b = MP cos c, maka

Juga mudah untuk menunjukkan bahwa jika titik M pada bidang p bukan milik kerucut, maka. Dengan demikian, setiap bagian kerucut lingkaran siku-siku dapat digambarkan sebagai himpunan titik-titik pada bidang, yang untuknya. Di sisi lain, dengan mengubah nilai sudut b dan c, kita dapat memberikan nilai eksentrisitas apa pun e > 0; Selanjutnya, dari pertimbangan kesamaan, tidak sulit untuk memahami bahwa jarak FQ dari fokus ke direktriks berbanding lurus dengan jari-jari r bola K (atau jarak d bidang p dari titik O kerucut). Dapat ditunjukkan bahwa, dengan demikian, dengan memilih jarak d secara tepat, kita dapat memberikan jarak FQ nilai berapa pun. Oleh karena itu, setiap himpunan titik M, yang perbandingan jaraknya dari M ke titik tetap F dan garis tetap d memiliki nilai konstan, dapat digambarkan sebagai kurva yang diperoleh pada bagian kerucut lingkaran siku-siku oleh a pesawat terbang. Ini membuktikan bahwa penampang kerucut (tidak merosot) juga dapat ditentukan oleh sifat yang dibahas dalam subbagian ini.

Properti bagian kerucut ini disebut mereka properti direktori. Jelas bahwa jika c > b, maka e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. Di sisi lain, mudah untuk melihat bahwa jika s > 6, maka bidang p memotong kerucut sepanjang garis terbatas tertutup; jika c = b, maka bidang p memotong kerucut sepanjang garis tak terbatas; jika di< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17).

Bagian kerucut yang e< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 disebut hiperbola. Elips juga menyertakan lingkaran, yang tidak dapat ditentukan oleh properti direktori; karena untuk sebuah lingkaran rasionya berubah menjadi 0 (karena dalam hal ini pada = 90º), secara kondisional dianggap bahwa lingkaran adalah bagian kerucut dengan eksentrisitas 0.

6. Elips, hiperbola dan parabola sebagai bagian kerucut

irisan kerucut elips hiperbola

Matematikawan Yunani kuno Menechmus, yang menemukan elips, hiperbola, dan parabola, mendefinisikannya sebagai bagian kerucut melingkar oleh bidang yang tegak lurus terhadap salah satu generator. Dia menyebut kurva yang dihasilkan bagian dari kerucut lancip, persegi panjang dan tumpul, tergantung pada sudut aksial kerucut. Yang pertama, seperti yang akan kita lihat di bawah, adalah elips, yang kedua adalah parabola, yang ketiga adalah salah satu cabang hiperbola. Nama "elips", "hiperbola" dan "parabola" diperkenalkan oleh Apollonius. Hampir seluruhnya (7 dari 8 buku) karya Apollonius "Pada Bagian Kerucut" telah sampai kepada kita. Dalam karya ini, Apollonius mempertimbangkan kedua lantai kerucut dan memotong kerucut dengan bidang yang tidak harus tegak lurus dengan salah satu generator.

Dalil. Bagian kerucut melingkar lurus apa pun oleh bidang (tidak melewati titik puncaknya) mendefinisikan kurva, yang hanya dapat berupa hiperbola (Gbr. 4), parabola (Gbr. 5), atau elips (Gbr. 6). Selain itu, jika bidang hanya memotong satu bidang kerucut dan sepanjang kurva tertutup, maka kurva ini adalah elips; jika sebuah bidang hanya memotong satu bidang di sepanjang kurva terbuka, maka kurva ini adalah parabola; jika bidang potong memotong kedua bidang kerucut, maka hiperbola terbentuk di bagian tersebut.

Bukti elegan dari teorema ini diusulkan pada tahun 1822 oleh Dandelin menggunakan bola, yang sekarang disebut bola Dandelin. Mari kita lihat bukti ini.

Mari kita tulis dalam sebuah kerucut dua bola yang menyentuh bidang penampang dari sisi yang berbeda. Dilambangkan dengan F1 dan F2 titik kontak antara bidang ini dan bola. Mari kita ambil titik M sewenang-wenang pada garis bagian kerucut oleh bidang P. Pada generatrix kerucut yang melewati M, kita menandai titik P1 dan P2 yang terletak pada lingkaran k1 dan k2, di mana bola menyentuh kerucut.

Jelas bahwa MF1=MP1 sebagai segmen dari dua garis singgung ke bola pertama yang keluar dari M; sama, MF2=MP2. Oleh karena itu, MF1+MF2=MP1+MP2=P1P2. Panjang segmen P1P2 adalah sama untuk semua titik M dari bagian kami: itu adalah generatrix kerucut terpotong yang dibatasi oleh bidang paralel 1 dan 11, di mana lingkaran k1 dan k2 terletak. Oleh karena itu, penampang kerucut oleh bidang P adalah elips dengan fokus F1 dan F2. Validitas teorema ini juga dapat ditetapkan atas dasar posisi umum bahwa perpotongan permukaan orde kedua oleh sebuah bidang adalah garis orde kedua.

literatur

1. Atanasyan L.S., Bazylev V.T. Geometri. Dalam 2 jam Bagian 1. Buku teks untuk siswa fisika dan matematika. ped. in-comrade-M.: Pencerahan, 1986.

2. Bazylev V.T. dll. Geometri. Prok. tunjangan untuk siswa tahun pertama fisika. - tikar. fakta ped. di. - kawan-M.: Pendidikan, 1974.

3. Pogorelov A.V. Geometri. Prok. untuk 7-11 sel. rata-rata sekolah - Edisi ke-4.-M.: Pencerahan, 1993.

4. Sejarah matematika dari zaman kuno hingga awal abad ke-19. Yushkevich A.P. - M.: Nauka, 1970.

5. Boltyansky V.G. Sifat optik elips, hiperbola dan parabola. // kuantum. - 1975. - No. 12. - dengan. 19 - 23.

6. Efremov N.V. Kursus singkat dalam geometri analitik. - M: Nauka, edisi ke-6, 1967. - 267 hal.

Dokumen serupa

Konsep bagian kerucut. Bagian kerucut - persimpangan bidang dan kerucut. Jenis potongan kerucut. Konstruksi bagian kerucut. Bagian kerucut adalah tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi persamaan orde kedua.

abstrak, ditambahkan 05.10.2008


"Bagian kerucut" dari Apollonius. Derivasi persamaan kurva untuk bagian kerucut revolusi persegi panjang. Turunan persamaan parabola, elips, dan hiperbola. Invarian bagian kerucut. Pengembangan lebih lanjut dari teori bagian kerucut dalam karya-karya Apollonius.

abstrak, ditambahkan 02/04/2010


Konsep dan informasi sejarah tentang kerucut, karakteristik elemen-elemennya. Fitur pembentukan kerucut dan jenis bagian kerucut. Konstruksi bola Dandelin dan parameternya. Penerapan sifat-sifat penampang kerucut. Perhitungan luas permukaan kerucut.

presentasi, ditambahkan 04/08/2012


Konsep matematika dari kurva. Persamaan umum kurva orde kedua. Persamaan lingkaran, elips, hiperbola dan parabola. Sumbu simetri hiperbola. Mempelajari bentuk parabola. Kurva orde ketiga dan keempat. Anjesi curl, lembaran Cartesian.

tesis, ditambahkan 14/10/2011


Tinjau dan karakterisasi berbagai metode untuk membangun bagian polihedra, penentuan kekuatan dan kelemahannya. Metode bagian bantu sebagai metode universal untuk membangun bagian polihedra. Contoh pemecahan masalah pada topik penelitian.

presentasi, ditambahkan 19/01/2014


Persamaan umum kurva orde kedua. Menyusun persamaan elips, lingkaran, hiperbola, dan parabola. eksentrisitas hiperbola. Fokus dan direktriks parabola. Transformasi persamaan umum ke bentuk kanonik. Ketergantungan jenis kurva pada invarian.

presentasi, ditambahkan 11/10/2014


Elemen geometri segitiga: konjugasi isogonal dan isotomik, titik dan garis yang luar biasa. Kerucut terkait dengan segitiga: sifat bagian kerucut; kerucut dibatasi tentang segitiga dan tertulis di dalamnya; aplikasi untuk pemecahan masalah.

makalah, ditambahkan 17/06/2012


Elips, hiperbola, parabola sebagai kurva orde kedua yang digunakan dalam matematika tingkat tinggi. Konsep kurva orde kedua adalah garis pada bidang, yang dalam beberapa sistem koordinat kartesius ditentukan oleh persamaan. Teorema Pascaml dan Teorema Brianchon.

abstrak, ditambahkan 26/01/2011


Tentang asal usul masalah penggandaan kubus (salah satu dari lima masalah kuno yang terkenal). Upaya pertama yang diketahui untuk memecahkan masalah, solusi dari Archit of Tarentum. Pemecahan masalah di Yunani kuno setelah Archytas. Solusi menggunakan bagian kerucut Menechmus dan Eratosthenes.

abstrak, ditambahkan 13/04/2014


Jenis utama bagian kerucut. Bagian yang dibentuk oleh bidang yang melewati sumbu kerucut (aksial) dan melalui puncaknya (segitiga). Pembentukan penampang oleh bidang yang sejajar (parabola), tegak lurus (lingkaran) dan tidak tegak lurus (elips) terhadap sumbu.

Biarkan silinder melingkar kanan diberikan, bidang proyeksi horizontal sejajar dengan alasnya. Ketika sebuah silinder berpotongan dengan sebuah bidang pada posisi umum (dianggap bahwa bidang tersebut tidak memotong alas silinder), garis perpotongannya adalah elips, bagian itu sendiri berbentuk elips, proyeksi horizontalnya bertepatan dengan proyeksi dasar silinder, dan bagian depan juga berbentuk elips. Tetapi jika bidang potong membentuk sudut sebesar 45 ° dengan sumbu silinder, maka bagian yang berbentuk elips diproyeksikan oleh lingkaran ke bidang proyeksi yang bagian tersebut miring pada sudut yang sama.

Jika bidang potong memotong permukaan sisi silinder dan salah satu alasnya (Gbr. 8.6), maka garis potong tersebut berbentuk elips tidak lengkap (bagian dari elips). Proyeksi horizontal bagian dalam hal ini adalah bagian dari lingkaran (proyeksi alas), dan bagian depan adalah bagian dari elips. Bidang dapat ditempatkan tegak lurus terhadap bidang proyeksi apa pun, kemudian bagian tersebut akan diproyeksikan ke bidang proyeksi ini dengan garis lurus (bagian dari jejak bidang garis potong).

Jika silinder berpotongan dengan bidang yang sejajar dengan generatrix, maka garis perpotongan dengan permukaan lateral adalah lurus, dan bagian itu sendiri berbentuk persegi panjang jika silinder lurus, atau jajar genjang jika silinder miring.

Seperti yang Anda ketahui, baik silinder dan kerucut dibentuk oleh permukaan yang diatur.

Garis potong (line of cut) dari permukaan yang digariskan dan bidang pada umumnya merupakan suatu kurva tertentu, yang dibangun dari titik-titik perpotongan generator dengan bidang potong.

Biar dikasih kerucut melingkar lurus. Saat melintasinya dengan bidang, garis potong dapat berbentuk: segitiga, elips, lingkaran, parabola, hiperbola (Gbr. 8.7), tergantung pada lokasi bidang.

Segitiga diperoleh ketika bidang pemotongan, melintasi kerucut, melewati titik puncaknya. Dalam hal ini, garis perpotongan dengan permukaan lateral adalah garis lurus yang berpotongan di bagian atas kerucut, yang, bersama dengan garis perpotongan alas, membentuk segitiga yang diproyeksikan ke bidang proyeksi dengan distorsi. Jika bidang memotong sumbu kerucut, maka segitiga diperoleh di bagian, di mana sudut dengan simpul yang bertepatan dengan puncak kerucut akan maksimum untuk bagian segitiga dari kerucut yang diberikan. Dalam hal ini, bagian diproyeksikan ke bidang proyeksi horizontal (sejajar dengan alasnya) oleh segmen garis lurus.

Garis perpotongan bidang dan kerucut akan menjadi elips jika bidang tersebut tidak sejajar dengan salah satu generator kerucut. Ini setara dengan fakta bahwa bidang memotong semua generator (seluruh permukaan lateral kerucut). Jika bidang potong sejajar dengan dasar kerucut, maka garis potongnya adalah lingkaran, bagian itu sendiri diproyeksikan ke bidang proyeksi horizontal tanpa distorsi, dan ke bidang depan - sebagai segmen garis lurus.

Garis perpotongan akan menjadi parabola ketika bidang potong sejajar dengan hanya satu generatrix kerucut. Jika bidang potong sejajar dengan dua generator sekaligus, maka garis potongnya adalah hiperbola.

Kerucut terpotong diperoleh jika kerucut lingkaran siku-siku berpotongan dengan bidang yang sejajar dengan alas dan tegak lurus terhadap sumbu kerucut, dan bagian atasnya dibuang. Dalam kasus ketika bidang proyeksi horizontal sejajar dengan alas kerucut terpotong, alas ini diproyeksikan ke bidang proyeksi horizontal tanpa distorsi oleh lingkaran konsentris, dan proyeksi depan adalah trapesium. Ketika kerucut terpotong berpotongan dengan sebuah bidang, tergantung pada lokasinya, garis potong dapat berbentuk trapesium, elips, lingkaran, parabola, hiperbola, atau bagian dari salah satu kurva ini, yang ujungnya dihubungkan oleh a garis lurus.