Guru matematika cabang Shchelkovsky dari Lembaga Pendidikan Anggaran Negara Wilayah Moskow "Krasnogorsk College" Artemiev Vasily Ilyich.

Studi tentang topik "Memecahkan masalah untuk pembangunan bagian" dimulai di kelas 10 atau di tahun pertama lembaga LSM. Jika ruang kelas matematika dilengkapi dengan perangkat multimedia, maka pemecahan masalah belajar difasilitasi dengan bantuan berbagai program. Salah satu program tersebut adalah perangkat lunak matematika dinamis GeoGebra 4.0.12. Sangat cocok untuk belajar dan belajar di setiap tahap pendidikan, memfasilitasi pembuatan konstruksi dan model matematika oleh siswa, yang memungkinkan penelitian interaktif saat memindahkan objek dan mengubah parameter.

Pertimbangkan penerapan produk perangkat lunak ini pada contoh spesifik.

Tugas. Bangunlah bagian piramida menurut bidang PQR, jika titik P terletak pada garis SA, titik Q terletak pada garis SB, titik R terletak pada garis SC.

Keputusan. Mari kita pertimbangkan dua kasus. Kasus 1. Biarkan titik P milik tepi SA.

1. Menggunakan Point tool, tandai sembarang titik A, B, C, D. Klik kanan pada titik D, pilih "Rename". Ubah nama D menjadi S dan atur posisi titik ini seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.

2. Dengan menggunakan alat "Segmen dengan dua titik" kita akan membuat segmen SA, SB, SC, AB, AC, BC.

3. Klik kanan pada segmen AB dan pilih "Properties" - "Style". Mengatur garis putus-putus.

4. Tandai titik P, Q, R pada ruas SA, SB, CS.

5. Gunakan alat "Garis dengan dua titik" untuk membuat garis PQ.

6. Perhatikan garis PQ dan titik R. Pertanyaan untuk siswa: Berapa banyak bidang yang melalui garis PQ dan titik R? Membenarkan jawabannya. (Jawab. Sebuah pesawat melewati garis dan sebuah titik tidak terletak di atasnya, dan terlebih lagi, hanya satu).

7. Kami membangun PR dan QR langsung.

8. Pilih tool Polygon dan klik titik PQRP satu per satu.

9. Gunakan alat Pindah untuk mengubah posisi titik dan amati perubahan pada bagian.

Gambar 1.

10. Klik kanan pada poligon dan pilih "Properties" - "Color". Isi poligon dengan beberapa warna lembut.

11. Pada panel objek, klik penanda dan sembunyikan garis.

12. Sebagai tugas tambahan, Anda dapat mengukur luas penampang.

Untuk melakukan ini, pilih alat "Area" dan klik kiri pada poligon.

Kasus 2. Titik P terletak pada garis SA. Untuk mempertimbangkan solusi masalah untuk kasus ini, Anda dapat menggunakan gambar dari masalah sebelumnya. Mari kita sembunyikan hanya poligon dan titik P.

1. Gunakan alat "Garis dua titik" untuk membuat garis lurus SA.

2. Tandai titik P1 pada garis SA seperti pada gambar 2.

3. Gambarlah garis P1Q.

4. Pilih tool “Intersection of two objects”, dan klik kiri pada garis lurus AB dan P1Q. Mari kita cari titik potongnya K.

5. Mari kita menggambar garis P1R. Temukan titik potong M dari garis ini dengan garis AC.

Pertanyaan untuk siswa: berapa banyak bidang yang dapat digambarkan melalui garis P1Q dan P1R? Membenarkan jawabannya. (Jawab. Sebuah pesawat melewati dua garis yang berpotongan, dan terlebih lagi, hanya satu).

6. Mari menggambar KM dan QR langsung. Pertanyaan untuk siswa. Bidang manakah yang secara serempak berada di titik K, M? Perpotongan bidang manakah yang merupakan garis lurus KM?

7. Bangun poligon QRKMQ. Isi dengan warna lembut dan sembunyikan garis bantu.

Gambar 2.

Menggunakan alat "Pindah", kami memindahkan titik di sepanjang garis lurus AS. Kami mempertimbangkan berbagai posisi bidang bagian.

Tugas untuk membangun bagian:

1. Buat bagian yang didefinisikan oleh garis paralel AA1 dan CC1. Berapa banyak bidang yang melalui garis sejajar?

2. Buat bagian yang melewati garis berpotongan. Berapa banyak pesawat melewati garis berpotongan?

3. Konstruksi penampang menggunakan sifat-sifat bidang sejajar:

a) Bangunlah penampang paralelepiped oleh sebuah bidang yang melalui titik M dan garis AC.

b) Bangun bagian prisma dengan bidang yang melalui tepi AB dan tengah tepi B1C1.

c) Bangun bagian piramida dengan bidang yang melalui titik K dan sejajar dengan bidang alas piramida.

4. Konstruksi bagian dengan metode jejak:

a) Diberikan sebuah piramida SABCD. Bangun bagian piramida dengan bidang yang melalui titik P, Q dan R.

5) Gambarkan garis QF dan cari titik potong H dengan sisi SB.

6) Mari kita menggambar langsung HR dan PG.

7) Pilih bagian yang dihasilkan dengan alat "Poligon" dan ubah warna isian.

b) Buat sendiri bagian dari ABCDA1B1C1D1 parallelepiped dengan pesawat yang melewati titik P, K dan M. Daftar sumber.

1. Sumber daya elektronik http://www.geogebra.com/indexcf.php

2. Sumber daya elektronik http://geogebra.ru/www/index.php (Situs Institut GeoGebra Siberia)

3. Sumber daya elektronik http://cdn.scipeople.com/materials/16093/projective_geometry_geogebra.PDF

4. Sumber daya elektronik. http://nesmel.jimdo.com/geogebra-rus/

5. Sumber daya elektronik http://forum.sosna24k.ru/viewforum.php?f=35&sid=(Forum GeoGebra untuk guru dan anak sekolah).

6. Sumber daya elektronik www.geogebratube.org (Materi interaktif untuk bekerja dengan program)

Masalah pada konstruksi bagian polihedra menempati tempat yang signifikan baik dalam kursus geometri sekolah untuk kelas senior maupun dalam ujian di berbagai tingkatan. Solusi dari jenis masalah ini berkontribusi pada asimilasi aksioma stereometri, sistematisasi pengetahuan dan keterampilan, pengembangan representasi spasial dan keterampilan konstruktif. Kesulitan-kesulitan yang muncul dalam menyelesaikan masalah-masalah pada konstruksi bagian-bagian tersebut telah diketahui dengan baik.

Sejak kecil, kita dihadapkan pada bagian-bagian. Kami memotong roti, sosis, dan produk lainnya, memotong tongkat atau pensil dengan pisau. Bidang potong dalam semua kasus ini adalah bidang pisau. Bagian (bagian dari potongan) berbeda.

Bagian dari polihedron cembung adalah poligon cembung, yang simpulnya, dalam kasus umum, adalah titik potong bidang potong dengan tepi poligon, dan sisi-sisinya adalah garis perpotongan bidang potong dengan wajah-wajah.

Untuk membuat garis perpotongan dua bidang, cukup dengan menemukan dua titik persekutuan dari bidang-bidang ini dan menggambar garis melaluinya. Hal ini didasarkan pada pernyataan berikut:

1. jika dua titik dari suatu garis lurus termasuk dalam suatu bidang, maka seluruh garis tersebut termasuk dalam bidang tersebut;

2. jika dua bidang yang berbeda memiliki titik yang sama, maka mereka berpotongan sepanjang garis lurus yang melewati titik ini.

Seperti yang telah saya katakan, konstruksi bagian polihedra dapat dilakukan berdasarkan aksioma stereometri dan teorema pada paralelisme garis dan bidang. Pada saat yang sama, ada metode tertentu untuk membangun bagian bidang polihedra. Tiga metode berikut adalah yang paling efektif:

metode jejak

Metode desain internal

Metode gabungan.

Dalam studi geometri dan, khususnya, bagian-bagian di mana gambar-gambar bangun-bangun geometris dipertimbangkan, gambar-gambar bangun-bangun geometris membantu menggunakan presentasi komputer. Dengan bantuan komputer, banyak pelajaran geometri menjadi lebih visual dan dinamis. Aksioma, teorema, pembuktian, masalah konstruksi, masalah konstruksi bagian dapat disertai dengan konstruksi berurutan pada layar monitor. Gambar yang dihasilkan komputer dapat disimpan dan ditempelkan ke dokumen lain.

Saya ingin menunjukkan beberapa slide dengan topik: "Konstruksi bagian dalam benda geometris"

Untuk menyusun titik potong garis dan bidang, carilah garis pada bidang yang memotong garis tersebut. Kemudian titik yang diinginkan adalah titik perpotongan garis yang ditemukan dengan yang diberikan. Mari kita lihat di slide berikutnya.

Tugas 1.

Dua titik M dan N ditandai pada tepi DABC tetrahedron; M GAD, N b DC. Pilih titik potong garis MN dengan bidang alas.

Solusi: untuk mencari titik potong garis MN dengan bidang

basis kami akan melanjutkan AC dan segmen MN. Kami menandai titik potong garis-garis ini melalui X. Titik X termasuk dalam garis MN dan permukaan AC, dan AC terletak pada bidang alas, yang berarti bahwa titik X juga terletak pada bidang alas. Oleh karena itu, titik X merupakan titik potong garis MN dengan bidang alas.

Mari kita pertimbangkan masalah kedua. Mari kita memperumitnya sedikit.

Tugas 2.

Diberikan DABC tetrahedron dari titik M dan N, di mana M € DA, N C (DBC). Tentukan titik potong garis MN dengan bidang ABC.

Penyelesaian: Titik potong garis MN dengan bidang ABC harus terletak pada bidang yang memuat garis MN dan pada bidang alas. Kami melanjutkan segmen DN ke titik persimpangan dengan tepi DC. Kami menandai titik persimpangan melalui E. Kami melanjutkan garis AE dan MN ke titik persimpangan mereka. Catatan X. Titik X milik MN, jadi terletak pada bidang yang memuat garis MN dan X milik AE, dan AE terletak pada bidang ABC. Jadi X juga terletak pada bidang ABC. Jadi X adalah titik potong garis MN dan bidang ABC.

Mari kita memperumit tugas. Pertimbangkan bagian dari bangun geometris dengan pesawat melewati tiga titik yang diberikan.

Tugas 3

Titik M, N dan P ditandai pada tepi AC, AD dan DB dari tetrahedron DABC. Buatlah bagian dari tetrahedron dengan bidang MNP.

Solusi: buat garis lurus di mana bidang MNP. Memotong bidang muka ABC. Titik M adalah titik umum dari bidang-bidang ini. Untuk membangun titik umum lainnya, kami melanjutkan segmen AB dan NP. Kami menandai titik persimpangan melalui X, yang akan menjadi titik umum kedua dari bidang MNP dan ABC. Jadi bidang-bidang ini berpotongan di sepanjang garis lurus MX. MX memotong sisi BC di beberapa titik E. Karena E terletak pada MX dan MX adalah garis milik bidang MNP, maka PE milik MNP. MNPE segi empat adalah bagian yang diperlukan.

Tugas 4

Kami membuat bagian dari prisma lurus ABCA1B1C1 oleh sebuah bidang yang melalui titik-titik P , Q,R, di mana R milik ( A A 1C 1C), R milik PADA 1C1,

Q milik AB

Keputusan: Ketiga titik P, Q, R terletak pada permukaan yang berbeda, jadi kita belum dapat membuat garis perpotongan bidang potong dengan wajah prisma mana pun. Mari kita cari titik potong PR dengan ABC. Mari kita cari proyeksi titik P dan R pada bidang dasar PP1 yang tegak lurus BC dan RR1 tegak lurus AC. Garis P1R1 memotong garis PR di titik X. X adalah titik potong garis PR dengan bidang ABC. Itu terletak di bidang K yang diinginkan dan di bidang alas, seperti titik Q. XQ adalah garis lurus yang memotong K dengan bidang alas. XQ memotong AC di titik K. Oleh karena itu, KQ adalah segmen perpotongan bidang X dengan wajah ABC. K dan R terletak pada bidang X dan pada bidang permukaan AA1C1C. Gambarlah garis KR dan tandai titik potongnya dengan A1Q E. KE adalah garis perpotongan bidang X dengan muka ini. Temukan garis perpotongan bidang X dengan bidang wajah-wajah BB1A1A. KE berpotongan dengan A1A di titik Y. Garis QY adalah garis perpotongan bidang potong dengan bidang AA1B1B. FPEKQ - bagian yang diinginkan.

Ada 2 metode utama untuk membuat bagian polihedra:

Metode aksiomatik untuk membangun bagian

1. Metode jejak

Contoh 1

Di tepi AA" dan B"C" dari prisma ABCA"B"C" kami menetapkan titik P dan Q, masing-masing. Kami membuat bagian prisma dengan bidang (PQR), titik R yang kami tetapkan di salah satu wajah berikut:
a) BCCB "C";
b) A "B" C";
c) ABC

Keputusan.

sebuah) 1) Karena titik Q dan R terletak pada bidang (BCC"), maka garis QR terletak pada bidang ini. Gambarlah. Ini adalah jejak bidang (PQR) ke bidang (BCC"). (gbr.1)

2) Temukan titik B"" dan C", di mana garis QR masing-masing memotong garis BB" dan CC. Titik B" dan C" berturut-turut adalah jejak bidang (PQR), pada garis BB" dan CC ".

3) Karena titik B "" dan P terletak pada bidang (ABB"), maka garis B "" P terletak pada bidang ini. Mari kita gambarkan. Ruas B ** P adalah jejak bidang (PQR) di wajah ABB "A".

4) Karena titik P dan C terletak pada bidang (ACC"), maka garis PC"" terletak pada bidang ini. Gambarlah. Ini adalah jejak bidang (PQR) pada bidang (ACC").

5) Temukan titik V di mana garis lurus PC"" memotong tepi A"C". Ini adalah jejak bidang (PQR) di tepi A "C".

6) Gerobak sebagai titik Q dan V terletak pada bidang (A "B" C "), maka garis QV terletak pada bidang ini. Mari kita tarik garis QV. Ruas QV adalah jejak bidang (PQR) di wajah ABC. Jadi, kami mendapatkan poligon QB ""PV - bagian yang diperlukan.

b) 1) Karena titik Q dan R terletak pada bidang (A "B" C "), maka garis QR terletak pada bidang ini. Mari kita menggambarnya. Ini adalah jejak bidang (PQR) pada bidang (A" B "C").(Gbr. .2)

2) Temukan titik D" dan E", di mana garis QR memotong garis A"B" dan B"C", masing-masing. Karena titik D" terletak di tepi A"B", segmen QD" adalah jejak bidang (PQR) pada wajah A"B"C".

3) Karena titik D "dan P terletak pada bidang (ABB"), maka garis D "P terletak pada bidang ini. Gambarlah. Ini adalah jejak bidang (PQR) pada bidang (ABB"), dan segmen D "P adalah bidang jejak (PQR) pada wajah ABB"A".

4) Karena titik P dan E" terletak pada bidang (ACC"), maka garis PE terletak pada bidang ini. Mari kita gambarkan. Ini adalah jejak bidang (PQR) pada bidang (ACC").

5) Carilah titik C""=PE""CC". Karena titik C"" terletak pada tepi CC", maka ruas PC"" adalah jejak bidang (PQR) pada permukaan ACC"A" .

6) Karena titik Q dan C "" terletak pada bidang (BCC"), maka garis QC "" terletak pada bidang ini. Gambarlah. Ini adalah jejak bidang (PQR) pada bidang (BCC") , dan segmen QC "" - jejak bidang (PQR) pada wajah BCC"B". Jadi, kami mendapatkan poligon QD"PC"" - ini adalah bagian yang diinginkan.

di) 1) Dari tiga titik yang diberikan P, Q dan R, tidak ada dua yang terletak di salah satu bidang dari permukaan prisma, jadi kami menemukan jejak utama bidang (PQR) (yaitu, garis perpotongan dari plane (PQR) dengan plane (ABC), dipilih sebagai yang utama). Untuk melakukan ini, pertama-tama kita cari proyeksi titik P, Q dan R pada bidang (ABC) dengan arah yang sejajar dengan tepi samping prisma. Karena titik P terletak di tepi AA", maka titik P" bertepatan dengan titik A. Karena titik Q terletak pada bidang (BCC"), maka pada bidang ini melalui titik Q kita tarik garis sejajar dengan garis BB", dan cari titik Q ", di mana garis yang ditarik memotong garis BC. Karena titik R, dengan syarat, terletak pada bidang yang dipilih sebagai bidang utama, titik R" bertepatan dengan titik R. ( Gambar 3)

2) Garis paralel PP" dan QQ" menentukan bidang. Kami menggambar garis PQ dan P"Q" di bidang ini dan menemukan titik S=PQ memotong P"Q". Karena titik S" terletak pada garis PQ, maka terletak pada bidang (PQR), dan karena titik S" terletak pada garis P"Q", maka terletak pada bidang (ABC). Dengan demikian, titik S “merupakan titik persekutuan bidang (PQR) dan (ABC). Artinya, bidang (PQR) dan (ABC) berpotongan sepanjang garis lurus yang melalui titik S”.

3) Karena titik R berhimpitan dengan titik R", maka titik R merupakan titik persekutuan lain bidang (PQR) dan (ABC), sehingga garis S "R merupakan jejak utama bidang (PQR). Mari kita menggambar garis ini. Seperti yang Anda lihat dari gambar, garis lurus S "R berpotongan dengan tepi AB dan BC alas prisma, masing-masing, di titik S" "dan S" "".

4) Karena titik S""" dan Q terletak pada bidang (BCC"), maka garis S""" Q terletak pada bidang ini. Gambarlah. Ini adalah jejak bidang (PQR) pada bidang ( BCC"). Dan ruas S""" Q, adalah jejak bidang (PQR) pada muka BCC"B".

5) Demikian pula, kami menemukan segmen S "" P - jejak bidang (PQR) pada wajah ABB "A".

7) Kami menemukan titik F=PC"" berpotongan dengan A"C" dan kemudian kami mendapatkan segmen PF - jejak bidang (PQR) di muka ACC"A".

8) Titik Q dan F terletak pada bidang A"B"C", sehingga garis QF terletak pada bidang (A"B"C"). Mari kita menggambar garis lurus QF, kita mendapatkan segmen QF - jejak bidang (PQR) pada wajah A "B" C. Jadi, kita mendapat poligon QS "" "S" "PF - bagian yang diinginkan.

3 catatan. Mari kita tunjukkan cara lain untuk menemukan titik C"", di mana kita tidak menemukan titik potong garis S""" Q dengan garis C"C"". Kami akan berdebat sebagai berikut. Jika jejak bidang (PQR) pada garis CC" adalah suatu titik V, maka proyeksinya ke bidang (ABC) berimpit dengan titik C. Maka titik S""""= V"P" berpotongan VP terletak pada jejak utama S"R pesawat (PQR). Kami membangun titik S"""" ini sebagai titik potong garis V"P" (ini adalah garis CA) dan S"R. Dan kemudian kami menggambar garis S""""P. Ini memotong garis CC " di titik V

Contoh 2

Di tepi MB piramida MABCD, kami menetapkan titik P, di wajahnya MCD kami menetapkan titik Q. Kami membangun bagian piramida dengan bidang (PQR), titik R yang kami tetapkan:
a) di tepi MC;
b) di ambang MAD;
c) di pesawat (MAS), di luar piramida.

Keputusan.

sebuah) Jejak bidang (PQR) pada muka MBC adalah ruas PR, dan jejaknya pada muka MCD adalah ruas RD", dimana titik D" adalah titik perpotongan garis RQ dengan tepi MD. Jelas bahwa bidang (PQR) memiliki jejak pada wajah MAD dan MAB (karena bidang (PQR) memiliki titik yang sama dengan wajah-wajah ini). Cari jejak bidang (PQR) pada garis MA. Mari kita lakukan seperti ini:

1) Mari kita bangun titik P", Q" dan R" - proyeksi titik P, Q dan R dari pusat M ke bidang (ABC), sehingga diambil sebagai bidang utama (Gbr. 4)

3) Jika bidang (PQR) memotong garis MA di suatu titik V, maka titik V" bertepatan dengan titik A dan titik S"""= VQ memotong V"Q" terletak pada garis S"S"" Dengan kata lain, pada titik S""" tiga garis berpotongan: VQ, V"Q"" dan S" S"". Dua baris terakhir dari ketiganya sudah ada di gambar. Oleh karena itu, kami membangun titik S""" sebagai titik perpotongan garis V"Q" dan SS"".

4) Gambarlah garis QS""" (bertepatan dengan garis VQ, karena garis VQ harus melalui titik S""", yaitu titik V, Q dan S""" terletak pada garis yang sama).

5) Carilah titik V di mana garis QS"" "memotong garis MA, Titik V adalah jejak bidang (PQR) pada tepi MA. Selanjutnya, jelas bahwa segmen PV dan VD" adalah jejaknya bidang (PQR), masing-masing, pada permukaan MAB dan M.A.D. Jadi, poligon PRD "V adalah bagian yang diperlukan.

b) 1) Kami mengambil bidang (ABC) sebagai bidang utama dan membangun titik P", Q" dan R" - proyeksi titik P, Q dan R, masing-masing, ke bidang (ABC). proyeksi internal adalah titik M. (Gbr. 5.)

2) Kami membangun garis lurus S"S"" - jejak utama pesawat (PQR).

3) Jika bidang (PQR) memotong garis MA di titik V, maka titik V"- proyeksi titik V ke bidang (ABC) dari pusat M- bertepatan dengan titik A, dan garis S "S"", V"R" dan garis VR, titik V yang belum kita bangun, berpotongan di titik S""". Temukan titik ini S"""=V"R" berpotongan dengan S"S "" ."", dan cari titik V=RS""" memotong MA. Konstruksi lebih lanjut jelas. Bagian yang diperlukan adalah poligon PVD"T.

di)

(Gbr.6.) Biarkan titik R terletak di bidang (MAS) seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.

1) Kami mengambil bidang (ABC) sebagai bidang utama dan membangun titik P", Q" dan R" - proyeksi titik P, Q dan R, masing-masing, ke bidang (ABC).(Pusat proyeksinya adalah titik M.)

2) Kami membangun garis lurus S"S"", - jejak utama pesawat (PQR).

3) Temukan titik V - jejak bidang (PQR) pada garis MA. Titik V" - proyeksi titik V ke bidang (ABC) dari pusat M - dalam hal ini bertepatan dengan titik A.

4) Carilah titik S"""= P"V" memotong S"S"", dan kemudian titik V =PS""" memotong MA.

5) Kami mendapatkan jejak PV pesawat (PQR) di pesawat (MAB).

6) Temukan titik T - jejak bidang (PQR) pada garis MO. Jelas bahwa titik T" dalam hal ini bertepatan dengan titik D. Untuk membangun titik T, kita membangun titik S""""=Q"T" berpotongan dengan S"S"", dan kemudian titik T = QS""" "memotong MT" .

7) Kumpulan jejak PV, VT, TC", dan C "P, mis., poligon PVTC" - bagian yang diperlukan.

Metode pembagian gabungan

Inti dari metode gabungan untuk membangun bagian polihedra adalah penerapan teorema pada paralelisme garis dan bidang dalam ruang dalam kombinasi dengan metode aksiomatik.

Contoh nomor 1.

Di tepi AB dan AD dari piramida MABCD, kami menetapkan titik P dan Q, masing-masing, titik tengah dari tepi ini, dan di tepi MC, kami menetapkan titik R. Mari kita buat bagian piramida dengan sebuah bidang yang lewat melalui titik P, Q, dan R.

Keputusan

(gambar 14):

satu). Jelas bahwa jejak utama bidang PQR adalah garis PQ.

2). Temukan titik K di mana bidang MAC memotong garis PQ. Titik K dan R termasuk dalam bidang PQR dan bidang MAC. Oleh karena itu, dengan menggambar garis lurus KR, kita mendapatkan garis perpotongan bidang-bidang ini.

3). Mari kita cari titik N=AC BD, tarik garis MN dan cari titik F=KR MN.

4). Titik F merupakan titik persekutuan bidang PQR dan MDB, yaitu bidang-bidang tersebut berpotongan sepanjang garis lurus yang melalui titik F. Pada saat yang sama, karena PQ adalah garis tengah segitiga ABD, maka PQ sejajar dengan BD, yaitu, garis PQ juga sejajar dengan bidang MDB. Kemudian bidang PQR yang melalui garis PQ memotong bidang MDB sepanjang garis yang sejajar dengan garis PQ, yaitu sejajar dengan garis BD. Oleh karena itu, pada bidang MDB melalui titik F kita tarik garis yang sejajar dengan garis BD.

5). Konstruksi lebih lanjut jelas dari gambar. Hasilnya, kami mendapatkan poligon PQD"RB" - bagian yang diperlukan.

1. Konstruksi bagian yang melewati garis tertentu yang sejajar dengan garis lain yang diberikan.

Misalkan, misalnya, diperlukan untuk membuat bagian polihedron dengan bidang @ yang melalui garis tertentu p yang sejajar dengan garis kedua yang diberikan q. Dalam kasus umum, pemecahan masalah ini memerlukan beberapa konstruksi awal, yang dapat dilakukan sesuai dengan rencana berikut:

satu). Melalui garis kedua q dan beberapa titik W dari garis pertama p kita menggambar bidang cupang (Gbr.

2). Gambarlah garis q" sejajar dengan q pada bidang cupang melalui titik W.

3). Garis berpotongan p dan q". Bidang @ didefinisikan. Ini melengkapi konstruksi awal dan kita dapat melanjutkan ke konstruksi bagian langsung polihedron oleh bidang @. Dalam beberapa kasus, fitur dari masalah tertentu memungkinkan kita untuk menerapkan rencana solusi yang lebih singkat Mari kita pertimbangkan contoh.

Contoh nomor 2.

Di tepi BC dan MA dari piramida MABC, kami mendefinisikan titik P dan Q, masing-masing. Kami membangun bagian piramida dengan bidang @ melewati garis PQ sejajar dengan garis AR, titik R, yang kami definisikan sebagai berikut: a). Di tepi MB; b). Itu bertepatan dengan titik B; di). Di ambang MAB.

Keputusan:

sebuah)

.(Gambar Pesawat yang melewati garis kedua, yaitu garis AR, dan titik Q yang diambil pada garis pertama, sudah ada pada gambar. Ini adalah bidang MAB.

2). Pada bidang MAB yang melalui titik Q kita tarik garis QF sejajar dengan AR.

3). Garis berpotongan PQ dan QF menentukan bidang @ (bidang ini PQF) - bidang bagian yang diinginkan. Mari kita membangun bagian ini dengan metode jejak.

4). Titik B bertepatan dengan titik F" - proyeksi titik F ke bidang ABC (dari pusat M), dan titik A bertepatan dengan titik Q" - proyeksi titik Q ke bidang ini. Maka titik S "=FQ F"Q" terletak pada lintasan utama bidang garis potong @. Karena titik P terletak pada lintasan utama bidang garis potong, maka garis S"P adalah lintasan utama bidang @, dan segmen S""P adalah jejak bidang @ di tepi ABC. Selanjutnya, jelas bahwa titik P harus dihubungkan ke titik F. Akibatnya, kita mendapatkan PFQS segi empat"" - bagian yang diperlukan.

b)

(Gambar Bidang yang melalui garis AB dan titik P dari garis PQ telah dibuat pada gambar. Ini adalah bidang ABC. Mari kita lanjutkan konstruksi sesuai dengan rencana di atas.

2). Pada bidang ABC melalui titik P kita tarik garis PD sejajar dengan garis AB.

3). Garis berpotongan PQ dan PD menentukan bidang alfa (ini adalah bidang PQD) - bidang bagian yang diinginkan. Mari kita membangun bagian ini.

4). Jelas bahwa jejak bidang alfa pada wajah MAC adalah segmen DQ.

5). Kami melakukan konstruksi lebih lanjut, dengan mempertimbangkan pertimbangan berikut. Karena garis PD sejajar dengan garis AB, maka garis PD sejajar dengan bidang MAB. Kemudian bidang alfa, yang melalui garis PD, memotong bidang MAB di sepanjang garis yang sejajar dengan garis PD, yaitu garis AB. Jadi, pada bidang MAB melalui titik Q kita menggambar garis lurus QE sejajar dengan AB. Segmen QE adalah jejak bidang alfa pada muka MAB.

6). Mari kita hubungkan titik P dengan titik E. Segmen PE adalah jejak bidang alfa di muka MBC. Dengan demikian, PEQD segi empat adalah bagian yang diperlukan. bertepatan dengan titik A, dan titik L" bertepatan dengan R"=MR BC. Kemudian titik S "=LQ L"Q" terletak pada jejak utama bidang garis potong alfa, jejak utama ini adalah garis lurus S"P, dan jejak bidang alfa pada muka ABC adalah ruas S" "P. Selanjutnya, garis lurus PL adalah jejak bidang alfa pada bidang MBC, dan segmen PN adalah jejak bidang alfa pada bidang MBC. Jadi, segiempat PS""QN adalah bagian yang diinginkan.

Contoh 3

Pada diagonal AC dan C"E" alas prisma ABCDEA"B"C"D"E" kita tentukan titik P dan Q masing-masing. Mari kita buat bagian prisma dengan bidang alfa yang melalui garis PQ sejajar dengan salah satu garis berikut: a) AB; ​​b) .ac"; di). Solusi SM:

sebuah)

(Gambar Pesawat yang melewati garis AB - garis kedua yang diberikan dan titik P, yang diambil pada garis pertama, telah dibangun. Ini adalah bidang ABC.

2). Pada bidang ABC melalui titik P kita menggambar garis sejajar dengan garis AB, dan menemukan titik K dan L di mana garis ini memotong garis BC dan AE, masing-masing. B"C" juga sejajar satu sama lain. Mengingat KL sejajar AB dan A"B" sejajar AB, maka kita tarik garis pada bidang A"B"C" melalui titik Q sejajar garis A"B", dan tentukan titik F dan T di mana garis ini berpotongan, masing-masing garis lurus C"D" dan A"E". Selanjutnya, kita mendapatkan segmen TL - jejak bidang alfa pada wajah AEE"A", titik S"=KL CD , garis lurus S"F - jejak bidang alfa pada bidang CDD", segmen FC"" - jejak bidang alfa pada permukaan CDD"C" dan, akhirnya, segmen C""K" - jejak bidang alfa pada wajah BCC"B". Hasilnya, kami mendapatkan poligon KLTFC"" - bagian yang diperlukan.

b)

(Gambar Mari kita menggambar sebuah pesawat melalui garis AC "- garis kedua yang diberikan, dan titik P diambil pada garis pertama. Ini adalah bidang ACC".

2). Pada bidang ACC" yang melalui titik P kita tarik garis yang sejajar dengan garis AC" dan cari titik C"" di mana garis ini memotong garis CC".

3). Garis berpotongan PQ dan PC"" menentukan bidang alfa (bidang C""PQ) - bidang bagian yang diinginkan. Mari kita membangun bagian ini, misalnya, dengan metode jejak. Satu titik milik jejak bidang alfa pada bidang ABC, yang kami ambil sebagai yang utama, sudah ada di gambar. Ini adalah titik P. Mari kita cari satu titik lagi dari jejak ini.

4). Proyeksi titik C "" pada bidang ABC adalah titik C, dan proyeksi titik Q adalah titik Q "- titik perpotongan garis CE dengan garis yang melewati bidang CEE" melalui titik Q sejajar dengan garis EE ". Titik S" \u003d C ""Q CQ " adalah titik kedua dari jejak utama bidang alfa. Jadi, jejak utama bidang alfa adalah garis S "P. Itu memotong sisi BC dan AE dari alas prisma, masing-masing, di titik S"" dan S"""... Maka segmen S""S""" adalah jejak bidang alfa garis potong pada menghadapi ABCDE. Dan segmen S""C"" adalah jejak bidang alfa di muka BCC"B". Sangat mudah untuk melihat bahwa garis C"" Q dan EE" terletak pada bidang yang sama. Temukan titik E"" =C""Q EE". Maka jelas untuk mendapatkan jejak lebih lanjut dari bidang alfa: S"""S"", S"""T, TF dan FC"". Akibatnya, kami mendapatkan poligon S""S"""TFC"" - bagian yang diperlukan.

di)

(menggambar Melalui garis yang diberikan kedua - garis BC "- dan, misalnya, melalui titik P, yang terletak pada garis yang diberikan pertama, mari kita pindahkan bidang. Mari kita lakukan ini dengan metode jejak. Mudah untuk menetapkannya jejak utama bidang ini BC" P adalah garis BP. Kemudian kita menemukan titik S"=BP CD dan menelusuri S"C" bidang BC"P dan bidang CDD".

2) Pada bidang BC “P melalui titik P kita tarik garis yang sejajar dengan garis BC”. Titik potong garis yang ditarik dengan garis S"C" dilambangkan dengan V.

3). Garis berpotongan PQ dan PV menentukan bidang alfa (bidang PQV) - ​​bidang bagian yang diinginkan. Mari kita membangun bagian ini.

4). Kami menemukan titik Q "dan V" - proyeksi titik Q dan V, masing-masing, ke bidang ABC, yang kami ambil sebagai bidang utama. Kemudian kita cari titik S""=QV Q"V". Ini adalah salah satu titik jejak utama bidang alfa. Dan sudah ada satu titik lagi dari jejak ini. Ini adalah titik P yang diberikan. Jadi, garis S "" P adalah jejak utama bidang alfa, dan segmen yang dihasilkan S "" "S" """ adalah jejak bidang alfa pada muka ABCDE. Arah konstruksi selanjutnya jelas: S "" "" "=S""P CD, S"""""V, titik C""=S"""""V CC" dan F=S""" ""V C"D", lalu FQ dan titik T= FQ A"E" dan terakhir TS"""". Akibatnya, kami mendapatkan poligon S"""C""FTS"""" - bagian yang diperlukan.

Catatan: Mari kita uraikan secara singkat jalannya penyelesaian contoh 3, c, di mana titik Q diambil pada garis pertama yang diberikan, dan bukan titik P (Gambar 22).

satu). Kami membangun pesawat BC"Q (ini adalah pesawat BC"E").

2). Bidang BC"Q memotong bidang ABC di sepanjang garis lurus BN yang sejajar dengan C"E" (untuk konstruksi, Anda dapat menggunakan fakta bahwa BN sejajar dengan CE).

3). Pada bidang BC"Q melalui titik Q kita tarik garis QM sejajar BC" (M=QM BN).

4). Kami membangun bagian prisma dengan bidang yang ditentukan oleh garis berpotongan PQ dan QM. Ini dapat dilakukan dalam urutan berikut: MP, S"=MP AE and S""=MP BC, S""""=MP CE, C""=S""""Q CC", S""" C" ", F=S"""C"" C"D", FQ, T=FQ A"E", TS. Polygon S""C""FTS"- bagian yang diinginkan.

2. Konstruksi bagian yang melewati titik tertentu yang sejajar dengan dua garis miring yang diberikan.

Misalkan diperlukan untuk membangun bagian polihedron oleh bidang yang melewati titik K tertentu yang sejajar dengan dua garis miring l dan m yang diberikan. Pada latar belakang:#FFCCCC; perbatasan:awal #CC33FF 1.5pt">

1. Mari kita pilih beberapa titik W. (Titik ini mungkin terletak pada salah satu garis miring yang diberikan, mungkin bertepatan dengan titik K.)

2. Tarik garis l" dan m" melalui titik W. (Tentu saja, jika titik W terletak pada salah satu garis, misalnya, pada garis l, maka garis l" bertepatan dengan garis l.)

3. Garis berpotongan l "dan m" menentukan bidang cupang - bidang bagian bantu polihedron. Kami membangun bagian polihedron dengan bidang cupang.

4. Bangun bagian polihedron dengan bidang alfa yang melewati titik K dan sejajar dengan bidang beta.

Pertimbangkan contoh penerapan rencana yang digariskan.

CONTOH 4

Di tepi AD dan C"D" prisma ABCDA"B"C"D", kami menetapkan titik P dan Q, masing-masing, dan pada tepi DD" kami menetapkan titik K. Mari kita buat bagian prisma dengan bidang alfa melewati titik K sejajar dengan garis PQ dan salah satu garis lurus berikut: a) AB; ​​b) A "B; c) BR, yang titik R diberikan pada tepi A"D".

Keputusan. sebuah)

(Gbr. 2 Biarkan titik W bertepatan dengan titik P.

2) Pada bidang ABC melalui titik P tariklah garis yang sejajar dengan garis AB. Tentukan titik E dimana garis yang ditarik memotong garis BC.

3) Garis berpotongan PQ dan PE menentukan bidang cupang - bidang bagian bantu. Mari kita buat bagian prisma dengan bidang cupang. PE langsung dan titik C"" dan D"" adalah jejak bidang cupang, masing-masing, pada garis lurus CC" dan DD". Kemudian kita buat garis lurus D "" P dan dapatkan titik F pada tepi A "D". Jadi, bagian prisma oleh bidang cupang adalah - I poligon PEC "" QF.

4) Sekarang kita membangun bagian prisma dengan bidang alfa yang melewati titik K sejajar dengan bidang beta. Hasilnya, kami mendapatkan segitiga KLN - bagian yang diperlukan.

b)

(Gbr. Biarkan titik W bertepatan dengan titik Q. Untuk menggambar garis sejajar dengan garis A "B" melalui titik Q, pertama menggambar bidang gamma melalui garis A "B dan titik Q. Mari kita lakukan ini cara. Temukan titik Q" - proyeksi titik Q ke bidang ABC dan tarik garis AQ". Jelas bahwa AQ" sejajar dengan A"Q. Sekarang melalui titik B pada bidang ABC kita menggambar garis l" sejajar AQ". Garis berpotongan A"B dan l" mendefinisikan bidang gamma. Pada bidang gamma melalui titik Q, buat garis l"" sejajar dengan A"B.

3) Garis lurus berpotongan PQ dan l "", bidang cupang ditentukan - bidang bagian bantu prisma. Mari kita membangun bagian ini. Untuk melakukan ini, kami menemukan titik S"=l" memotong l"", dan kemudian garis PS" - jejak utama bidang cupang. Selanjutnya kami menemukan titik s""=PS" memotong CD dan menggambar garis S""Q - jejak bidang cupang pada bidang CDD ". Kami mendapatkan titik D"" - jejak bidang cupang pada garis DD". Titik D"" dan titik P terletak pada bidang ADD". Oleh karena itu, garis PD"" adalah jejak bidang cupang pada bidang ADD", dan ruas PF adalah jejak bidang cupang pada bidang TAMBAH SEBUAH". Jadi, bagian prisma oleh bidang cupang adalah segi empat PS "" QF. (Harap diperhatikan: QF sejajar dengan PS "". Dan ini, tentu saja, demikian. Lagi pula, alas prisma terletak pada bidang paralel. Keadaan ini dapat digunakan ketika membangun bagian prisma dengan bidang betta .)

4) Sekarang kita membangun bagian prisma dengan bidang alfa yang melewati titik K sejajar dengan bidang beta. Membangun ini mudah dilakukan. Hasilnya, kami mendapatkan segitiga KLN - bagian yang diperlukan.

di)

(Gbr. Mari kita pilih titik Q sebagai titik W.

2) Gambarkan bidang gamma melalui garis BR dan titik Q. Bidang gamma memotong bidang ABC sepanjang garis lurus l "sejajar dengan QR. Untuk membangun garis lurus l" kita membangun titik R "dan Q" - proyeksi titik R dan Q, masing-masing, ke bidang ABC - dan tarik garis lurus Q "R", lalu pada bidang ABC melalui titik In kita tarik garis l" sejajar dengan Q"R". Pada bidang gamma yang melalui titik Q kita tarik garis l"" sejajar dengan BR. Kita dapatkan titik S"=l" berpotongan dengan l"".

3) Garis berpotongan PQ dan l "" menentukan bidang cupang - bidang bagian bantu prisma. Mari kita membangun bagian ini. Jelas bahwa garis PS" adalah jejak utama dari pesawat cupang. Selanjutnya, kita menemukan titik-titik S""= PS" memotong CD, S"""= PS" memotong BC dan C"" = QS"" berpotongan CC". Kami memperoleh segmen PS"" ", S""C"" dan C""Q- jejak bidang cupang, masing-masing, pada wajah ABCD, BCC"B dan CDD"C". Selanjutnya, kita menggambar garis di bidang A "B" C "sejajar dengan jejak PS", dan mendapatkan titik F, atau kita menemukan titik D "" \u003d S" "Q memotong DD" dan menggambar garis D "" P. Garis ini memotong garis A "D" di titik F. Jadi, kita mendapatkan dua jejak lagi dari bidang cupang: QF n FP. Jadi, poligon PS"""C""QF adalah bagian prisma oleh bidang cupang.

4) Sekarang mari kita bangun bagian prisma dengan bidang alfa yang melewati titik K yang sejajar dengan bidang beta. Hasilnya, kami mendapatkan segitiga KLN - bagian yang diperlukan.

CONTOH 5.

Di tepi MB dan MA piramida MABCD, kami menetapkan titik P dan K, masing-masing, dan pada segmen AC, kami menetapkan titik Q. Kami membangun bagian piramida dengan bidang alfa yang melewati titik K paralel ke jalur PQ dan salah satu jalur berikut: a) CD; b) MS; c) RV, titik R dan V yang kita atur masing-masing pada tepi AB dan MC piramida.

Keputusan.

sebuah)

(Gbr. 2Pada bidang ABC melalui titik Q kita menggambar garis sejajar dengan garis CD, dan menemukan titik S". S"" dan S""", di mana garis ini memotong garis BC, AD dan AB, masing-masing.

2) Garis berpotongan PQ dan S"S"" menentukan bidang cupang - bidang bagian tambahan piramida. Mari kita buat bagian ini. Jejak utama bidang cupang adalah garis S"S"". Segmen PS" adalah jejak bidang cupang pada muka MBC, garis lurus PS""" adalah jejaknya pada bidang MAB, segmen PA" pada muka MAB, segmen A"S"" pada wajah MAD.

b)

(Gbr. 27.) Mari kita buat bagian yang diberikan dalam urutan berikut:

1) Di bidang MAC melalui
titik Q kita tarik garis QA sejajar MC

2) Kami membangun bagian tambahan piramida dengan bidang, yang ditentukan oleh. Untuk tujuan ini, kami menemukan titik S"=PA" memotong AB, menggambar garis S"Q, yang merupakan jejak utama bidang PQA", dapatkan titik S""=S"Q memotong AD dan S"" "=S"Q memotong BC dan menghubungkan titik A" dengan titik S"", dan titik P dengan titik S""". Segi empat PA"S""S""" adalah bagian bantu dari piramida. Bidang ini penampang sejajar dengan garis PQ dan MC, tetapi tidak melalui titik K .

3) Sekarang mari kita buat bagian piramida dengan bidang yang melewati titik K sejajar dengan bidang PQA ". Hasilnya, kita mendapatkan segi empat B" KFE - bagian yang diinginkan.

sebuah)

(Gbr. 28.) Mari kita buat bagian tertentu dari piramida, pertama-tama buat bagian tambahan dengan bidangnya yang melewati garis PQ sejajar dengan garis RV. Mari kita lakukan dengan urutan sebagai berikut:

1) Buatlah titik S "=PV berpotongan dengan BC dan buat garis S" R.

2) Garis berpotongan S "V dan S" R menentukan bidang. Pada bidang ini, tarik garis PS"" melalui titik P yang sejajar dengan RV.

3) Garis berpotongan PQ dan PS"" menentukan bidang bagian tambahan piramida. Mari kita membangun bagian ini. Kami menemukan garis lurus berturut-turut S "" Q - jejak utama bidang bagian bantu, kemudian titik T "=S" "Q memotong BC, T" "= S" "Q memotong AB dan T" "" \u003d S" "Q memotong CD, Mari kita tarik garis T"P dan temukan titik E \u003d T"P berpotongan "MC. Kami menghubungkan titik P dengan titik T"", dan titik E dengan T" "". Segi empat PT ""T" "" E adalah bagian tambahan dari piramida. Bidang bagian ini sejajar dengan garis PQ dan RV, tetapi tidak melewati titik K. Sekarang kita akan membangun bagian dari piramida dengan bidang yang melewati titik K sejajar dengan bidang bagian bantu.Akibatnya, kami memperoleh segiempat KV "C" D" - bagian yang diinginkan.

Menemukan luas penampang dalam polihedra.

Tugas nomor 1.

Tugas #2

Tugas nomor 3.

Tugas nomor 4.

Tugas nomor 5.

Tugas nomor 6.

Tugas #7

Tugas nomor 8.

Menggunakan sifat-sifat segitiga sebangun.

Oleh karena itu, di bawah ini adalah beberapa masalah sederhana di mana segitiga sebangun memainkan peran utama, terutama karena mereka juga perlu dibangun (dan dilihat!!!) menggunakan teknik stereometrik standar: potong satu bidang dengan bidang lain dan buat garis perpotongannya sepanjang dua titik umum untuk pesawat.

Tugas nomor 1.

Tugas #2

Tugas #3

Tugas #4

Tugas #5

Ada empat cara utama untuk menemukan jarak antara garis miring:

1) Menemukan panjang tegak lurus umum dari dua garis yang berpotongan, yaitu segmen dengan ujung-ujungnya pada garis-garis ini dan tegak lurus terhadap keduanya.

2) Mencari jarak dari salah satu garis berpotongan ke bidang yang sejajar dengannya melalui garis lainnya.

3) Mencari jarak antara dua bidang sejajar yang melalui garis miring yang diberikan.

4) Menemukan jarak dari suatu titik - yang merupakan proyeksi salah satu garis yang berpotongan ke bidang yang tegak lurus terhadapnya - ke proyeksi garis lain ke bidang yang sama.

Tugas #18

Tugas #19

Sajikan 4 opsi untuk menyelesaikan masalah ini dan pilih yang paling rasional. Membenarkan pilihan Anda.

Tugas #20

Tugas #21

Tugas #22

Menemukan jarak dan sudut antara garis miring dalam polihedron.

Tugas nomor 1.

Tugas nomor 2.

Tugas nomor 3.

melewati tepi samping dan median alas yang berpotongan dengannya, dan sebuah bidang yang melalui median yang sama dan tengah setiap tepi sisi lainnya.

Bagian.

Tugas nomor 1.

Tugas nomor 2.

Tugas nomor 3.

Dua sisi yang berhadapan dari suatu tetrahedron tegak lurus, dan panjangnya sama dengan a dan b, jarak antara keduanya sama dengan c. Sebuah kubus tertulis di dalam tetrahedron, empat sisinya tegak lurus terhadap dua sisi tetrahedron ini, dan tepat dua simpul kubus terletak di setiap sisi tetrahedron. Temukan tepi kubus.

Tugas nomor 4.

Tugas nomor 5.

Tugas nomor 6.

Tugas nomor 7.

Tugas nomor 8.

Tugas nomor 9.

Rasio volume bagian-bagian polihedron.

Tugas nomor 1.

Tugas nomor 2.

Tugas nomor 3.

Tugas nomor 4.

Proyeksi dan bagian dari polyhedra biasa.

Tugas nomor 1.

Tunjukkan bahwa proyeksi dodecahedron dan icosahedron pada bidang yang sejajar dengan wajah mereka adalah poligon beraturan.

Tugas nomor 2.

Tunjukkan bahwa proyeksi sebuah dodecahedron ke sebuah bidang yang tegak lurus terhadap garis lurus yang melewati pusatnya dan titik tengah sebuah tepi adalah segi enam (bukan sebuah dekagon).

Tugas nomor 3.

a) tunjukkan bahwa proyeksi ikosahedron ke bidang. tegak lurus terhadap garis yang melalui pusatnya dan titik puncaknya adalah dekagon beraturan. b). Buktikan bahwa penonjolan dodecahedron ke bidang yang tegak lurus terhadap garis lurus yang melalui pusat dan titik sudutnya adalah dodecahedron tidak beraturan.

Tugas nomor 4.

Apakah ada bagian kubus yang berbentuk segi enam beraturan?

Tugas nomor 5.

Apakah ada bagian segi delapan yang merupakan segi enam biasa?

Tugas nomor 6.

Apakah ada bagian dari dodecahedron yang merupakan segi enam biasa?

Tugas nomor 7.

Semua wajah ABC dan ABD dari ikosahedron memiliki tepi yang sama AB. Sebuah bidang yang sejajar dengan bidang ABC ditarik melalui titik sudut D. Benarkah bagian ikosahedron pada bidang ini adalah segi enam beraturan?

Jawaban untuk tugas berdasarkan topik:

4. Sudut antar bidang.

5. Bagian

6. Rasio volume bagian-bagian polihedron.

7. Proyeksi dan bagian dari polyhedra biasa.

1. Mencari luas penampang dalam polihedra.

Solusi dari masalah

№1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8

Tugas nomor 1.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image040_59.gif" width="597" height="292 src=">

Tugas nomor 2.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image042_56.gif" width="577" height="277 src=">

Tugas nomor 3.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image044_53.gif" width="630" height="275 src=">

Tugas nomor 4.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image046_49.gif" width="641" height="332 src=">

Tugas nomor 5.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image048_46.gif" width="642" height="245 src=">

Tugas nomor 6.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image050_46.gif" width="680" height="340 src=">

Tugas nomor 7.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image052_47.gif" width="659" height="340 src=">kiri" style="margin-left: 6.75pt; margin-right: 6.75 pt">

2. Menggunakan sifat-sifat segitiga sebangun.

Solusi dari masalah

№1 №2 №3 №4 №5

Tugas nomor 1.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image055_46.gif" width="605" height="254">

kasus ke-2

Tugas nomor 2.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image058_41.gif" width="683" height="260 src=">

Tugas nomor 3.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image061_42.gif" width="536" height="203">

https://pandia.ru/text/78/375/images/image063_41.gif" width="341" height="107 src=">MsoNormalTable">

Titik C termasuk dalam bidang CB"A"D (karena CD" tegak lurus dengan C"D sebagai diagonal bujur sangkar, dan karena B"C" tegak lurus dengan bidang CC"D"D, yang menyiratkan bahwa B "C" tegak lurus CE), kita peroleh CE tegak lurus B"C" dan CE tegak lurus C"D). Kemudian kita gambarkan EF tegak lurus B"D dan kita dapatkan B"D tegak lurus CF (dengan teorema tiga tegak lurus: CF miring terhadap bidang AB"C"D, CE - tegak lurus dan EF - proyeksi miring CF; maka itu juga tegak lurus terhadap miring CF itu sendiri.) Karena EF dan CF milik masing-masing untuk kedua bidang, sudut phi (sudut CFE) adalah yang diperlukan.

Pembenaran ini diikuti oleh bagian komputasi sederhana.

"B" EF dan D ""C" EF), akibatnya tegak lurus A "" M dan D "" M, yang ditarik pada kedua gambar ke garis perpotongannya, akan jatuh ke satu titik M, apalagi, di dalam dan bukan di luar prisma , karena sudut B"A""D dan C"D""A tumpul (B"D dan lebih BD=AC=A""C"" dan C"A lebih dari AC=BD=B ""D"" ). Selanjutnya, setelah menemukan diagonal dan sisi belah ketupat, Anda dapat menemukan segmen A "" M dan D "" M menggunakan, misalnya, dua rumus untuk luas belah ketupat

Catatan: Tentu saja, dalam masalah ini dan yang serupa, tidak diperlukan dimensi polihedron (misalnya, "a"), oleh karena itu, ketika memilih nilai numerik dari parameter "k" untuk berbagai varian masalah, isi dari kondisinya di tempat yang tepat harus dirumuskan, misalnya, sebagai berikut: "... dalam prisma yang tingginya berkali-kali lebih besar dari sisi alasnya ... ", dll.

3. Mencari jarak dan sudut antara garis miring pada polihedron.

Solusi dari masalah

№1 №2 №3 №4 №5

Tugas nomor 1.

MsoNormalTable">

№1 Memecahkan masalah dengan cara pertama menyarankan:
- pembenaran yang sulit bahwa tegak lurus yang diperlukan (h skr.) dengan ujung pada dua garis berpotongan yang diberikan terletak di dalam kubus (dan bukan di luarnya);
- perkiraan penentuan lokasi tegak lurus ini;
- tebak untuk menemukan panjang segmen h skr. perlu, menggunakan teorema pada tiga tegak lurus, untuk memproyeksikannya ke permukaan kubus yang berdekatan, tempat garis berpotongan (diagonal), dan hanya kemudian mendekati solusi sederhana:

2. Memecahkan masalah dengan cara kedua melibatkan tindakan berikut: - konstruksi dalam kubus bidang garis potong sejajar dengan salah satu garis lurus A"C"; karena AC sejajar dengan A "C", maka A "C" sejajar dengan bidang ACD "berdasarkan kesejajaran bidang lurus; - menemukan garis lurus di dalam kubus, tegak lurus terhadap bidang garis potong; di sini diperlukan dugaan dan pembenaran bahwa garis lurus tersebut adalah diagonal utama B "D (AC tegak lurus terhadap VD dan, karena VD adalah proyeksi kemiringan B" D ke bidang alas ABCD, maka oleh teorema tiga tegak lurus kita memperoleh AC tegak lurus terhadap B "D; demikian pula, ditetapkan bahwa CD" tegak lurus terhadap B"D dan, karena kita memperoleh tegak lurus diagonal utama B"D terhadap dua garis tak sejajar AC dan CD " milik bidang penampang ACD", maka dengan tanda tegak lurus garis dan bidang: B"D tegak lurus bidang ACD");

Konstruksi bidang potong lain yang melewati diagonal B "D" dan memotong kedua garis miring A "C"; bidang ini nyaman untuk memilih bagian diagonal BB "D" D untuk tanda tegak lurus dua bidang ini dari bidang BB "D" D tegak lurus terhadap bidang ACD ", karena bidang BB"D"D melewati garis lurus (B"D) yang tegak lurus terhadap bidang lain (ACD"). Selanjutnya, garis perpotongan kedua bidang dibangun di sepanjang 2 titik persekutuannya (D "O) dan ditetapkan oleh perpotongan garis ini dengan diagonal B" D (titik N);
-dan akhirnya, sesuai dengan teorema bahwa jika sebuah bidang tegak lurus dengan salah satu garis sejajar, maka itu juga tegak lurus terhadap yang lain, dari titik O "milik A"C kita menggambar pada bidang penampang BB"D "D ke perpotongan dengan D"O segmen O "M sejajar dengan B"D; dalam hal ini, O "M akan tegak lurus terhadap bidang ACD" dan karenanya O "M \u003d h crt.;
- kemudian di bagian komputasi dari solusi, setelah mempertimbangkan bagian BB "D'D dan di dalamnya - segitiga siku-siku OO'D', kami menemukan: Seperti yang Anda lihat, kedua metode pertama tidak banyak digunakan untuk tugas-tugas yang mewakili setidaknya beberapa kompleksitas

3. Memecahkan masalah dengan cara ketiga melibatkan : - konstruksi dua bidang garis potong sejajar yang berisi dua garis berpotongan yang diberikan - menggunakan pasangan garis sejajar yang saling berpotongan (BC' sejajar dengan AD' u AC sejajar dengan A'C' => bidang A'BC' sejajar dengan bidang ACD' ) - menemukan dan membuat garis lurus yang tegak lurus terhadap salah satu dari dua bidang garis potong yang dibuat (diagonal utama B'D tegak lurus terhadap bidang ACD' - bukti diberikan dalam metode sebelumnya untuk menyelesaikan masalah - menemukan dan membangun titik potong garis yang ditentukan (B'D) dengan kedua bidang sejajar garis potong, yang untuk itu perlu untuk membuat bidang garis potong ketiga (dalam hal ini, misalnya, BB'D'D) yang berisi garis tertentu (B'D), dan kemudian - konstruksi garis perpotongan bidang pemotongan ketiga dengan dua yang pertama (BO' u D'O); titik M dan N t tetap dengan cara ini menentukan segmen MN=h scr.

Dan, akhirnya, di bagian komputasi dari solusi, Anda dapat menggunakan trik dari metode solusi sebelumnya atau menggunakan kesamaan segitiga:

4. Memecahkan masalah dengan cara keempat melibatkan: - menemukan dan membuat bidang potong seperti itu (dalam hal ini - BB'D'D), yang tegak lurus dengan salah satu garis yang berpotongan (A'C' tegak lurus BB'D'D - karena A'C' tegak lurus terhadap B'D' dan DD ' tegak lurus bidang A'B'C'D' => DD' tegak lurus terhadap A'C', yaitu A'C' tegak lurus terhadap dua garis yang tidak sejajar milik garis potong bidang) dan ke mana garis yang ditunjukkan (A'C') diproyeksikan titik (O'); selain itu, ketika memilih bidang garis potong, diinginkan bahwa setidaknya salah satu ujung segmen garis lurus kedua termasuk dalam bidang garis potong ini; - konstruksi proyeksi garis lurus kedua pada bidang potong ini, - mengapa dari ujung ruas garis lurus ini (dalam hal ini dari titik A) tegak lurus terhadap bidang ini (dalam hal ini AO) digambar sejajar dengan pertama dari garis berpotongan (AO sejajar dengan A'C'); - setelah membuat proyeksi D'O padanya di bidang penampang BB'D'D, sebuah O'M tegak lurus ditarik dari titik awal yang diperoleh O' - proyeksi garis lurus pertama ke bidang pemotongan yang sama; kita dapatkan O'M = h skr.; - dan, akhirnya, di bagian komputasi dari solusi, Anda dapat menggunakan metode yang sudah diketahui untuk menemukan tinggi sisi miring dari segitiga siku-siku (OO'D'): h cr

Tugas nomor 3.

Dalam soal ini, untuk memilih metode penyelesaian, faktor penentunya adalah tegak lurus garis AC terhadap bidang diagonal B'D'D (karena AC tegak lurus D dan AC tegak lurus BB'), terhadap garis B yang lain. 'F termasuk, yaitu, bidang garis potong BB' D'D nyaman untuk memilihnya sebagai bidang proyeksi. Dan kemudian bagian perhitungan sederhana berikut:
satu). Dari persamaan segitiga DFT dan segitiga D'FB' didapatkan DT = kd;
2). Dari kesamaan segitiga NOT dan segitiga BB'T kita temukan ON:

Tugas nomor 4.

Masalah ini disajikan di sini untuk mendemonstrasikan penerapan metode kedua (membangun tegak lurus dari garis pertama ke bidang paralel yang memuat garis kedua) ke situasi paling sederhana untuk menemukan garis miring dalam polihedron yang kompleks seperti prisma heksagonal biasa.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image077_33.gif" width="186" height="87 src=">

Tugas nomor 5.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image079_29.gif" width="347" height="326 src=">

5. Bagian.

Solusi dari masalah

№1 №2 №3 №4 №5 №6

Tugas nomor 1.

Bagaimanapun, titik A, B, dan C terletak pada bidang yang sama, dan oleh karena itu kita dapat mempertimbangkan penampang bidang yang memuat titik-titik ini. Karena bidang penampang melewati titik kontak bola (bola bidang), dan bagian tersebut ternyata bersinggungan dengan lingkaran (lingkaran dan garis). Biarkan O' dan 0'' menjadi pusat lingkaran pertama dan kedua. Sejak O'A || 0''B dan titik O', C dan 0'' terletak pada satu garis lurus, sudut AO'C = sudut BO''C. Oleh karena itu, sudut ACO' = sudut BCO'' yaitu titik A, B dan C terletak pada satu garis lurus.

Tugas nomor 2.

Bagian aksial kerucut terpotong ini adalah trapesium ABCD berbatas dengan alas AD = 2R dan BC = 2r. Misalkan P adalah titik singgung lingkaran bertulisan dengan sisi AB, O menjadi pusat lingkaran bertulis. Pada segitiga ABO, jumlah sudut di titik A dan B adalah 90°, jadi siku-siku. Oleh karena itu, AP: RO - RO: BP, yaitu, PO'2 = AP * BP. Juga jelas bahwa AP = R dan BP = r. Oleh karena itu, jari-jari RO dari bola yang terdapat dalam kerucut sama dengan akar kuadrat dari produk R dan r, dan karenanya S = 4п(R2 + Rr+ r2). Mengekspresikan volume kerucut terpotong ini dengan rumus, kami memperoleh bahwa luas permukaan totalnya sama dengan 2n(R2 + Rr + r2) = S/2 (harus diperhitungkan bahwa ketinggian kerucut terpotong sama dengan dua kali jari-jari bola di sekitar yang dijelaskan).

Tugas nomor 3.

Garis tegak lurus yang sama terhadap tepi-tepi ini dibagi dengan bidang-bidang permukaan kubus yang sejajar dengannya menjadi segmen-segmen dengan panjang y, x dan r (x adalah panjang tepi kubus; segmen dengan panjang y berbatasan dengan tepi a). Bidang-bidang permukaan kubus, sejajar dengan tepi-tepi ini, berpotongan dengan tetrahedron dalam dua persegi panjang. Sisi yang lebih kecil dari persegi panjang ini sama dengan tepi kubus x. Karena sisi-sisi persegi panjang ini mudah dihitung, kita mendapatkan x = bu/c dan x = az/c. Oleh karena itu, c=x+y+r=x+cx/b + ex/a, yaitu x=abc/(ab + bc + ca).

Tugas nomor 4.

Setiap sisi poligon yang dihasilkan termasuk ke dalam salah satu sisi kubus, sehingga jumlah sisinya tidak melebihi 6. Selain itu, sisi-sisi yang termasuk ke dalam sisi yang berlawanan dari kubus adalah sejajar, karena garis perpotongan dari kubus bidang dengan dua bidang sejajar adalah sejajar. Oleh karena itu, bagian kubus tidak dapat berupa segi lima biasa, karena tidak memiliki sisi yang sejajar. Sangat mudah untuk memeriksa bahwa segitiga biasa, persegi, dan segi enam biasa dapat menjadi bagian dari kubus.

Tugas nomor 5.

Pertimbangkan lingkaran yang merupakan bagian dari tubuh tertentu dan tarik garis l melalui pusatnya tegak lurus terhadap bidangnya. Garis ini memotong tubuh yang diberikan sepanjang beberapa segmen AB. Semua bagian yang melalui garis l adalah lingkaran dengan diameter AB.

Tugas nomor 6.

Perhatikan penampang sembarang yang melalui titik A. Bagian ini adalah segitiga ABC, dan sisi-sisinya AB dan AC adalah generator kerucut, yaitu, memiliki panjang yang konstan. Oleh karena itu, luas penampang sebanding dengan sinus sudut BAC. Sudut BAC berubah dari 0° menjadi ,

MsoNormalTable">

Tugas nomor 2.

Pertimbangkan sebuah kubus yang simpulnya terletak di simpul dari dodecahedron. Dalam masalah kita, kita berbicara tentang proyeksi pada bidang yang sejajar dengan muka kubus ini. Sekarang mudah untuk memverifikasi bahwa proyeksi dodecahedron memang segi enam (Gbr. 70).

Tugas nomor 3.

a) Proyeksi ikosahedron yang dipertimbangkan masuk ke dirinya sendiri pada saat rotasi sebesar 36° (dalam hal ini, proyeksi wajah atas masuk ke proyeksi wajah bawah). Oleh karena itu, ini adalah 10-batubara biasa (Gbr. 71, a).

b) Proyeksi dodecahedron yang dipertimbangkan adalah 12-gon, berubah menjadi dirinya sendiri ketika diputar 60 ° (Gbr. 71. b). Separuh sisinya merupakan penonjolan sisi-sisi yang sejajar dengan bidang proyeksi, dan separuh sisi lainnya merupakan penonjolan sisi-sisi yang tidak sejajar dengan bidang proyeksi. Oleh karena itu, 12-gon ini tidak beraturan.

MsoNormalTable">

Tugas nomor 4.

Ada. Bagian tengah yang ditunjukkan pada Gambar. 72 rusuk kubus adalah titik sudut segi enam beraturan. Ini mengikuti dari fakta bahwa sisi-sisi segi enam ini sejajar dengan sisi-sisi segitiga beraturan PQR, dan panjangnya adalah setengah dari panjang sisi-sisi segitiga ini.

Tugas nomor 6. Ada. Mari kita ambil tiga wajah pentagonal dengan simpul umum A dan pertimbangkan bagian oleh bidang yang memotong wajah-wajah ini dan sejajar dengan bidang di mana tiga simpul umum berpasangan dari wajah yang dipertimbangkan terletak (Gbr. 74). Bagian ini adalah segi enam dengan sisi berhadapan sejajar berpasangan. Ketika diputar 120 ° tentang sumbu yang melewati titik A dan tegak lurus terhadap bidang pemotongan, dodecahedron dan bidang pemotongan masuk ke dalam dirinya sendiri. Oleh karena itu, bagian tersebut adalah segi enam cembung dengan sudut 120 °, yang panjangnya, bergantian, mengambil dua nilai. Agar segi enam ini teratur, kedua nilai ini cukup sama. Saat bidang potong bergerak dari salah satu posisi ekstremnya ke posisi ekstrem lainnya, menjauh dari titik A, nilai pertama meningkat dari 0 ke d, dan yang kedua menurun dari d ke a, di mana a adalah panjang tepi dodecahedron. (d adalah panjang diagonal wajah (d lebih besar dari a). Oleh karena itu, pada titik tertentu, nilai-nilai ini sama, yaitu, bagiannya adalah segi enam biasa.

Tugas nomor 7.

Tidak, tidak benar. Perhatikan proyeksi ikosahedron pada bidang ABC. Ini adalah segi enam biasa (lihat Gambar 69). Oleh karena itu, bagian yang dipertimbangkan akan menjadi segi enam beraturan hanya jika semua 6 simpul yang dihubungkan oleh tepi ke titik A, B dan C (dan berbeda dari A, B dan C) terletak pada bidang yang sama. Tetapi, seperti yang dapat Anda lihat dengan mudah, ini tidak benar (jika tidak, ternyata semua simpul ikosahedron terletak di tiga bidang paralel).

TUGAS

2. Menggunakan sifat-sifat segitiga sebangun.

Solusi dari masalah

№1 №2 №3 №4 №5

Tugas nomor 1.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image055_46.gif" width="605" height="254">

kasus ke-2

Tugas nomor 2.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image058_41.gif" width="683" height="260 src=">

Tugas nomor 3.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image060_43.gif" width="570" height="264 src=">

Tugas nomor 4.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image063_41.gif" width="341" height="107 src=">kanan">

Selama pelajaran, semua orang akan bisa mendapatkan ide tentang topik "Masalah untuk membangun bagian dalam parallelepiped. Pertama, kami akan mengulangi empat properti pendukung utama kotak. Kemudian, dengan menggunakannya, kami akan memecahkan beberapa masalah khas untuk membangun bagian dalam paralelepiped dan untuk menentukan luas penampang paralelepiped.

Topik: Paralelisme garis dan bidang

Pelajaran: Tugas untuk membuat bagian dalam paralelepiped

Selama pelajaran, semua orang akan bisa mendapatkan ide tentang topik tersebut. "Masalah untuk membangun bagian dalam parallelepiped".

Pertimbangkan ABCDА 1 B 1 C 1 D 1 paralelepiped (Gbr. 1). Mari kita ingat sifat-sifatnya.

Beras. 1. Sifat-sifat paralelepiped

1) Wajah yang berlawanan (jajar genjang sama) terletak pada bidang paralel.

Misalnya, jajaran genjang ABCD dan A 1 B 1 C 1 D 1 adalah sama (yaitu, mereka dapat ditumpangkan) dan terletak pada bidang paralel.

2) Panjang rusuk sejajar sama panjang.

Misalnya, AD = BC = A 1 D 1 = B 1 C 1 (Gbr. 2).

Beras. 2. Panjang sisi yang berlawanan dari parallelepiped adalah sama

3) Diagonal dari parallelepiped berpotongan di satu titik dan membagi dua titik ini.

Misalnya, diagonal dari BD 1 dan B 1 D berpotongan paralel di satu titik dan membagi dua titik ini (Gbr. 3).

4) Di bagian parallelepiped bisa ada segitiga, segi empat, segi lima, segi enam.

Masalah pada bagian paralelepiped

Sebagai contoh, pertimbangkan untuk memecahkan masalah berikut. Diberikan ABCDА 1 B 1 C 1 D 1 parallelepiped dan titik M, N, K di tepi AA 1 , A 1 D 1 , A 1 B 1, masing-masing (Gbr. 4). Bangun bagian dari parallelepiped oleh bidang MNK. Titik M dan N secara bersamaan terletak pada bidang AA 1 D 1 dan pada bidang potong. Oleh karena itu, MN adalah garis perpotongan dari dua bidang yang ditunjukkan. Demikian pula, kami memperoleh MK dan KN. Artinya, bagian tersebut akan menjadi segitiga MKN.

1. Geometri. Kelas 10-11: buku teks untuk siswa lembaga pendidikan (tingkat dasar dan profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Edisi ke-5, dikoreksi dan ditambah - M.: Mnemozina, 2008. - 288 hal.: sakit.

Tugas 13, 14, 15 hal 50

2. Diketahui ABCDА 1 B 1 C 1 D 1 paralelepiped. M dan N adalah titik tengah sisi DC dan A 1 B 1 .

a) Buatlah titik potong garis AM dan AN dengan bidang muka BB 1 C 1 C.

b) Buatlah garis perpotongan bidang AMN dan BB 1 C 1

3. Bangun bagian-bagian dari ABCDА 1 B 1 C 1 D 1 yang diparalel dengan bidang yang melewati BC 1 dan titik tengah M dari tepi DD 1 .

Dalam metode ini, langkah pertama (setelah menemukan proyeksi sekunder dari titik-titik ini) adalah membuat jejak bidang pemotongan pada bidang dasar atas atau bawah prisma atau piramida terpotong atau pada dasar piramida.

pantat 2. Diberikan gambaran prisma segitiga ABCA 1 B 1 C 1 dan tiga poinM, N, P, yang terletak masing-masing di tepi CC 1 dan wajah ABB 1 A 1 , SM 1 B 1 . Bangun bagian prisma dengan bidang, melewati M, N, P.

Keputusan. Kami sudah memiliki satu titik di alas atas prisma, jadi kami akan membuat jejak di alas atas. Kami membangun proyeksi poin sekunder N dan P ke dasar atas. Kemudian: 1 .NPN 3 P 3 =X; 2 .MX=p-melacak; 3 .pB 1 C 1 =D.

Langkah lebih lanjut telah ditunjukkan di atas dalam gambar.

pantat 3. Desember Kami akan membangun jejak bidang pemotongan di dasar prisma yang lebih rendah.

Bangunan:1. MNED=X, MPEP 3 =kamu;

2. p=XY- jejak; 3. pBC=G, pDC=H.

Kita perlu menemukan titik di tepi BB 1 atau di tepi A A 1 .

PADA segi ABB 1 A 1 kita sudah punya satu poin P. Oleh karena itu, tepi bawah wajah ini, mis. AB, kita lanjutkan sampai perpotongan dengan jejak.

4. ABp=Z.

5. PZA A 1 =F; PZBB 1 =K.Tindakan lebih lanjut sudah ditunjukkan di atas.

Jika ternyata garis itu AB tidak bersinggungan dengan jejak, maka yang diinginkan FK juga akan sejajar. pantat 4. Desember 1. PNP Hai N o = X;

2. MNCN o = kamu;3. p=XY- jejak;

3. CBp=Z;4. ZMSB=E;

5. ENSA=G 6. PERMATA- klaim bagian.

17. Konstruksi bagian silinder.

Jika bidang potong diberikan oleh tiga titik, maka kita selalu dapat menemukan jejaknya pada bidang alas silinder atau kerucut dan titik ( P, HAI) pada porosnya. Oleh karena itu, kami menganggap bahwa bidang pemotongan diberikan oleh elemen-elemen ini.

Dengan awal balapan adalah kasus ketika pesawat hanya memotong permukaan lateral silinder. Kemudian bagian silinder akan menjadi elips (;¯ dan gambarnya juga elips. Kita tahu cara membuat elips jika dua diameter konjugatnya diketahui. Sekarang kita akan menunjukkan cara menemukan gambar utama diameter elips (;¯.

Biarkan dan 1 menjadi elips yang mewakili alas bawah dan atas silinder, HAI dan HAI 1 - pusat mereka. Mari menggambar diameter A 3 B 3 alas bawah, sejajar dengan jejak dan diameter konjugasinya C 3 D 3 . Untuk bangunan C 3 D 3 kami menggunakan akord K 3 L 3 , salah satu ujungnya termasuk dalam generatrix kontur. Ingat itu A 3 B 3 dan C 3 D 3 menggambarkan diameter tegak lurus. Ayo lanjutkan C 3 D 3 ke persimpangan dengan jejak. Mari kita dapatkan intinya X. Lurus PX menyebutnya sumbu bagian.

Ayo naikkan poin C 3 dan D 3 ke sumbu bagian. Mendapatkan C dan D. Segmen garis CD adalah gambar bagian berdiameter besar. Ayo naikkan segmennya A 3 B 3 ke ketinggian OP. Kami mendapatkan segmen AB, yang merupakan gambar bagian berdiameter kecil. Negatif AB dan CD - dia kawin elips .

H Temukan lebih banyak titik di mana elips lewat dari sisi silinder yang terlihat ke sisi yang tidak terlihat, yang berarti bahwa garis padat berubah menjadi garis putus-putus. Ini adalah titik potong bidang potong dengan generator kontur. Biarlah kamu 3 =K 3 L 3 C 3 D 3 . Mari kita tingkatkan kamu 3 ke sumbu bagian. Ayo dapatkan poin kamu. Ayo naikkan nadanya K 3 L 3 ke ketinggian Y Y 3 . Kami mendapatkan segmen KL. Kami telah menemukan poin yang diperlukan K, dan di sepanjang jalan, satu poin tambahan lagi L. Dot M, menggambarkan perpotongan bidang garis potong dan dengan generatrix kontur kedua adalah simetris terhadap titik K relatif terhadap titik P.Selain itu, kita akan membangun sebuah titik N, simetris L hubungan-poin P

Mari tunjukkan cara bagaimana Anda dapat menemukan sejumlah titik pada suatu bagian tanpa menggunakan diameter ini.

memilih apapun. titik V 3 pada elips . Kami membawa diameter V 3 T 3 dan teruskan sampai perpotongan dengan jejak, kita mendapatkan poin kamu. Kami menaikkan poin V 3 dan T 3 lurus KE ATAS.. Kami mendapatkan dua poin V dan T pada bagian. Memilih sebagai gantinya V 3 poin lain, kami mendapatkan 2 poin lagi per bagian. Jika Anda memilih satu poin K 3 berbaring di generatrix kontur, kita akan menemukan poin K dan M, di mana garis padat pada bagian harus berubah menjadi garis putus-putus.