Definisi

Sosok geometris yang terdiri dari semua titik pada bidang yang tertutup antara dua sinar yang berasal dari satu titik disebut sudut datar.

Definisi

Sudut antara dua berpotongan langsung disebut nilai sudut bidang terkecil pada perpotongan garis-garis tersebut. Jika dua garis sejajar, maka sudut di antara keduanya dianggap nol.

Sudut antara dua garis yang berpotongan (jika diukur dalam radian) dapat mengambil nilai dari nol hingga $\dfrac(\pi)(2)$.

Definisi

Sudut antara dua garis yang berpotongan disebut nilai yang sama dengan sudut antara dua garis lurus yang berpotongan sejajar dengan garis miring. Sudut antara garis $a$ dan $b$ dilambangkan dengan $\angle (a, b)$.

Kebenaran definisi yang diperkenalkan mengikuti dari teorema berikut.

Teorema sudut bidang dengan sisi sejajar

Nilai dua sudut bidang cembung dengan sisi sejajar dan berarah sama adalah sama.

Bukti

Jika sudut-sudutnya lurus, maka keduanya sama dengan $\pi$. Jika tidak dikembangkan, maka kami memplot segmen yang sama $ON=O_1ON_1$ dan $OM=O_1M_1$ pada sisi yang bersesuaian dari sudut $\angle AOB$ dan $\angle A_1O_1B_1$.

Segi empat $O_1N_1NO$ adalah jajar genjang karena sisi-sisi yang berhadapan $ON$ dan $O_1N_1$ adalah sama dan sejajar. Demikian pula, segiempat $O_1M_1MO$ ​​​​adalah jajaran genjang. Oleh karena itu $NN_1 = OO_1 = MM_1$ dan $NN_1 \parallel OO_1 \parallel MM_1$, maka $NN_1=MM_1$ dan $NN_1 \parallel MM_1$ menurut transitivitas. Segi empat $N_1M_1MN$ adalah jajar genjang karena sisi-sisinya yang berhadapan sama dan sejajar. Oleh karena itu, segmen $NM$ dan $N_1M_1$ juga sama. Segitiga $ONM$ dan $O_1N_1M_1$ adalah sama menurut kriteria persamaan segitiga ketiga, maka sudut yang bersesuaian $\angle NOM$ dan $\angle N_1O_1M_1$ juga sama.

Definisi. Jika dua garis diberikan y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , maka sudut lancip antara garis-garis ini akan didefinisikan sebagai

Dua garis sejajar jika k 1 = k 2 . Dua garis tegak lurus jika k 1 = -1/ k 2 .

Dalil. Garis lurus Ax + Vy + C \u003d 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sejajar ketika koefisien A 1 \u003d A, B 1 \u003d B proporsional. Jika juga 1 = , maka garis-garisnya berimpit. Koordinat titik potong dua garis ditemukan sebagai solusi dari sistem persamaan garis-garis ini.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu

Tegak lurus dengan garis ini

Definisi. Garis yang melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan tegak lurus terhadap garis y \u003d kx + b diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garis

Dalil. Jika diberikan titik M(x 0, y 0), maka jarak ke garis Ax + Vy + C \u003d 0 didefinisikan sebagai

.

Bukti. Biarkan titik M 1 (x 1, y 1) menjadi alas dari garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik M ke garis yang diberikan. Maka jarak antara titik M dan M 1 :

(1)

Koordinat x 1 dan y 1 dapat ditemukan sebagai solusi dari sistem persamaan:

Persamaan kedua dari sistem adalah persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu M 0 tegak lurus terhadap garis lurus tertentu. Jika kita mengubah persamaan pertama dari sistem ke bentuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Oleh 0 + C = 0,

maka, pemecahannya, kita peroleh:

Mensubstitusikan ekspresi ini ke dalam persamaan (1), kami menemukan:

Teorema telah terbukti.

Contoh. Tentukan sudut antar garis: y = -3 x + 7; y = 2x+1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; = p/4.

Contoh. Tunjukkan bahwa garis 3x - 5y + 7 = 0 dan 10x + 6y - 3 = 0 tegak lurus.

Keputusan. Kami menemukan: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, oleh karena itu, garis-garisnya tegak lurus.

Contoh. Titik sudut dari segitiga A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) diberikan. Tentukan persamaan ketinggian yang ditarik dari titik C.

Keputusan. Kami menemukan persamaan sisi AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Persamaan ketinggian yang diinginkan adalah: Ax + By + C = 0 atau y = kx + b. k = . Maka y = . Karena ketinggian melewati titik C, maka koordinatnya memenuhi persamaan ini: dimana b = 17. Jumlah: .

Jawaban: 3x + 2y - 34 = 0.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu dalam arah tertentu. Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu. Sudut antara dua garis. Kondisi paralelisme dan tegak lurus dua garis. Menentukan titik potong dua garis

1. Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu A(x 1 , kamu 1) dalam arah tertentu, ditentukan oleh kemiringan k,

kamu - kamu 1 = k(x - x 1). (1)

Persamaan ini mendefinisikan sebuah pensil dari garis-garis yang melalui sebuah titik A(x 1 , kamu 1), yang disebut pusat balok.

2. Persamaan garis lurus yang melalui dua titik: A(x 1 , kamu 1) dan B(x 2 , kamu 2) ditulis seperti ini:

Kemiringan garis lurus yang melalui dua titik tertentu ditentukan oleh rumus

3. Sudut antara garis lurus A dan B adalah sudut di mana garis lurus pertama harus diputar A di sekitar titik perpotongan garis-garis ini berlawanan arah jarum jam sampai bertepatan dengan garis kedua B. Jika dua garis diberikan oleh persamaan kemiringan

kamu = k 1 x + B 1 ,

kamu = k 2 x + B 2 , (4)

maka sudut di antara mereka ditentukan oleh rumus

Perlu diperhatikan bahwa dalam pembilang pecahan, kemiringan garis lurus pertama dikurangi dengan kemiringan garis lurus kedua.

Jika persamaan garis lurus diberikan dalam bentuk umum

A 1 x + B 1 kamu + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 kamu + C 2 = 0, (6)

sudut di antara mereka ditentukan oleh rumus

4. Syarat paralelisme dua garis:

a) Jika garis diberikan oleh persamaan (4) dengan kemiringan, maka kondisi yang diperlukan dan cukup untuk paralelismenya adalah persamaan kemiringannya:

k 1 = k 2 . (8)

b) Untuk kasus ketika garis diberikan oleh persamaan dalam bentuk umum (6), kondisi yang diperlukan dan cukup untuk paralelismenya adalah bahwa koefisien pada koordinat arus yang sesuai dalam persamaannya adalah proporsional, yaitu.

5. Syarat tegak lurus dua garis :

a) Dalam kasus ketika garis diberikan oleh persamaan (4) dengan kemiringan, kondisi yang diperlukan dan cukup untuk tegak lurusnya adalah bahwa kemiringannya adalah kebalikan besarnya dan berlawanan tanda, yaitu.

Kondisi ini juga dapat ditulis dalam bentuk

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Jika persamaan garis lurus diberikan dalam bentuk umum (6), maka syarat tegak lurusnya (perlu dan cukup) memenuhi persamaan

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Koordinat titik potong dua garis ditemukan dengan menyelesaikan sistem persamaan (6). Garis (6) berpotongan jika dan hanya jika

1. Tuliskan persamaan garis yang melalui titik M, salah satunya sejajar dan yang lainnya tegak lurus terhadap garis l yang diberikan.

Injeksi φ persamaan umum A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, dihitung dengan rumus:

Injeksi φ antara dua garis lurus persamaan kanonik(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 dan (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, dihitung dengan rumus:

Jarak dari titik ke garis

Setiap bidang dalam ruang dapat direpresentasikan sebagai persamaan linier yang disebut persamaan umum pesawat terbang

Kasus khusus.

o Jika pada persamaan (8), maka bidang melewati titik asal.

o Dengan (,) bidang masing-masing sejajar dengan sumbu (sumbu, sumbu).

o Ketika (,) bidang sejajar dengan bidang (bidang, bidang).

Solusi: gunakan (7)

Jawaban: persamaan umum bidang.

Contoh.

Bidang dalam sistem koordinat persegi panjang Oxyz diberikan oleh persamaan umum bidang . Tuliskan koordinat semua vektor normal pada bidang ini.

Kita tahu bahwa koefisien variabel x, y, dan z dalam persamaan umum bidang adalah koordinat yang sesuai dari vektor normal bidang itu. Oleh karena itu, vektor normal dari bidang yang diberikan memiliki koordinat. Himpunan semua vektor normal dapat diberikan sebagai.

Tulis persamaan bidang jika dalam sistem koordinat persegi panjang Oxyz di ruang angkasa melewati sebuah titik , sebuah adalah vektor normal bidang ini.

Kami menyajikan dua solusi untuk masalah ini.

Dari kondisi yang kita miliki. Kami mengganti data ini ke dalam persamaan umum bidang yang melalui titik:

Tulis persamaan umum untuk bidang yang sejajar dengan bidang koordinat Oyz dan melalui titik .

Sebuah bidang yang sejajar dengan bidang koordinat Oyz dapat diberikan oleh persamaan umum yang tidak lengkap dari bidang bentuk . Sejak titik milik pesawat dengan kondisi, maka koordinat titik ini harus memenuhi persamaan pesawat, yaitu, kesetaraan harus benar. Dari sini kita menemukan. Dengan demikian, persamaan yang diinginkan memiliki bentuk.

Keputusan. Produk vektor, menurut definisi 10.26, adalah ortogonal terhadap vektor p dan q. Oleh karena itu, ortogonal terhadap bidang yang diinginkan dan vektor dapat diambil sebagai vektor normalnya. Tentukan koordinat vektor n:

yaitu . Dengan menggunakan rumus (11.1), kita peroleh

Membuka tanda kurung dalam persamaan ini, kita sampai pada jawaban akhir.

Menjawab: .

Mari kita tulis ulang vektor normal dalam bentuk dan cari panjangnya:

Menurut di atas:

Menjawab:

Bidang sejajar memiliki vektor normal yang sama. 1) Dari persamaan kita menemukan vektor normal bidang:.

2) Kami menyusun persamaan bidang sesuai dengan titik dan vektor normal:

Menjawab:

Persamaan vektor sebuah pesawat di ruang angkasa

Persamaan parametrik bidang dalam ruang

Persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap vektor tertentu

Biarkan sistem koordinat Cartesian persegi panjang diberikan dalam ruang tiga dimensi. Mari kita rumuskan masalah berikut:

Tulis persamaan untuk bidang yang melalui titik tertentu M(x 0, kamu 0, z 0) tegak lurus terhadap vektor yang diberikan n = ( A, B, C} .

Keputusan. Biarlah P(x, kamu, z) adalah titik sembarang dalam ruang. Dot P termasuk ke dalam bidang jika dan hanya jika vektor MP = {x − x 0, kamu − kamu 0, z − z 0) ortogonal ke vektor n = {A, B, C) (Gbr. 1).

Setelah menulis kondisi ortogonalitas untuk vektor-vektor ini (n, MP) = 0 dalam bentuk koordinat, kita peroleh:

A(x − x 0) + B(kamu − kamu 0) + C(z − z 0) = 0

Persamaan bidang dengan tiga titik

Dalam bentuk vektor

Dalam koordinat

Susunan bersama bidang-bidang di ruang angkasa

adalah persamaan umum dua bidang. Kemudian:

1) jika , maka pesawat bertepatan;

2) jika , maka bidang-bidang tersebut sejajar;

3) jika atau , maka bidang-bidang berpotongan dan sistem persamaan

(6)

adalah persamaan garis potong bidang-bidang yang diberikan.

Keputusan: Kami menyusun persamaan kanonik garis lurus dengan rumus: Menjawab:

Kami mengambil persamaan yang dihasilkan dan mental "pin off", misalnya, bagian kiri: . Sekarang kita samakan bagian ini ke nomor berapapun(ingat bahwa sudah ada nol), misalnya, ke satu: . Karena , maka dua "potongan" lainnya juga harus sama dengan satu. Pada dasarnya, Anda perlu menyelesaikan sistem:

Tulis persamaan parametrik untuk garis berikut:

Keputusan: Garis diberikan oleh persamaan kanonik dan pada tahap pertama seseorang harus menemukan beberapa titik milik garis dan vektor arahnya.

a) Dari persamaan menghapus titik dan vektor arah: . Anda dapat memilih poin lain (cara melakukan ini dijelaskan di atas), tetapi lebih baik mengambil yang paling jelas. Omong-omong, untuk menghindari kesalahan, selalu substitusikan koordinatnya ke dalam persamaan.

Mari kita buat persamaan parametrik dari garis lurus ini:

Kenyamanan persamaan parametrik adalah bahwa dengan bantuannya sangat mudah untuk menemukan titik lain dari garis. Misalnya, mari kita cari titik yang koordinatnya, katakanlah, sesuai dengan nilai parameter :

Jadi: b) Pertimbangkan persamaan kanonik . Pilihan titik di sini sederhana, tetapi berbahaya: (hati-hati jangan sampai salah mencampur koordinat!!!). Bagaimana cara mengeluarkan vektor panduan? Anda dapat berspekulasi dengan apa garis ini sejajar, atau Anda dapat menggunakan trik formal sederhana: proporsinya adalah "Y" dan "Z", jadi kami menulis vektor arah , dan menempatkan nol di ruang yang tersisa: .

Kami membuat persamaan parametrik dari garis lurus:

c) Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk , yaitu, "Z" bisa apa saja. Dan jika ada, maka biarkan, misalnya, . Dengan demikian, titik milik garis ini. Untuk menemukan vektor arah, kami menggunakan teknik formal berikut: dalam persamaan awal ada "x" dan "y", dan dalam vektor arah di tempat-tempat ini kami menulis nol: . Di tempat yang tersisa kami menempatkan satuan: . Alih-alih satu, nomor apa pun, kecuali nol, bisa digunakan.

Kami menulis persamaan parametrik garis lurus:

Biarkan dua garis l dan m pada bidang dalam sistem koordinat Cartesian diberikan oleh persamaan umum: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

Vektor-vektor normal ke garis-garis ini: = (A 1 , B 1) - ke garis l,

= (A 2 , B 2) ke garis m.

Misalkan j adalah sudut antara garis l dan m.

Karena sudut-sudut dengan sisi yang saling tegak lurus adalah sama atau berjumlah p, maka , yaitu cos j = .

Jadi, kami telah membuktikan teorema berikut.

Dalil. Biarkan j menjadi sudut antara dua garis lurus pada bidang, dan biarkan garis lurus ini diberikan dalam sistem koordinat Cartesian dengan persamaan umum A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Maka cos j = .

Latihan.

1) Turunkan rumus untuk menghitung sudut antar garis jika:

(1) kedua garis diberikan secara parametrik; (2) kedua garis diberikan oleh persamaan kanonik; (3) satu garis lurus diberikan secara parametrik, garis lurus lainnya – dengan persamaan umum; (4) kedua garis diberikan oleh persamaan kemiringan.

2) Biarkan j menjadi sudut antara dua garis lurus pada bidang, dan biarkan garis lurus ini diberikan ke sistem koordinat Cartesian dengan persamaan y = k 1 x + b 1 dan y =k 2 x + b 2 .

Maka tan j = .

3) Jelajahi posisi relatif dua garis yang diberikan oleh persamaan umum dalam sistem koordinat Cartesian dan isi tabel:

Jarak suatu titik ke garis pada bidang datar.

Biarkan garis l pada bidang dalam sistem koordinat Cartesian diberikan oleh persamaan umum Ax + By + C = 0. Tentukan jarak dari titik M(x 0 , y 0) ke garis l.

Jarak titik M ke garis l adalah panjang garis tegak lurus HM (H l, HM^ l).

Vektor dan vektor normal pada garis l adalah kolinear, sehingga | | = | | | | dan | | = .

Misalkan koordinat titik H adalah (x,y).

Karena titik H termasuk dalam garis l, maka Ax + By + C = 0 (*).

Koordinat vektor dan: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - Oleh , lihat (*))

Dalil. Biarkan garis l diberikan dalam sistem koordinat Cartesian dengan persamaan umum Ax + By + C = 0. Kemudian jarak dari titik M(x 0 , y 0) ke garis ini dihitung dengan rumus: r (M; l) = .

Latihan.

1) Turunkan rumus untuk menghitung jarak dari titik ke garis jika: (1) garis diberikan secara parametrik; (2) garis diberikan oleh persamaan kanonik; (3) garis lurus diberikan oleh persamaan kemiringan.

2) Tulis persamaan lingkaran yang menyinggung garis 3x - y = 0 yang berpusat di Q(-2,4).

3) Tulis persamaan garis yang membagi sudut yang dibentuk oleh perpotongan garis 2x + y - 1 = 0 dan x + y + 1 = 0 menjadi dua.

27. Definisi analitik dari sebuah pesawat di ruang angkasa

Definisi. Vektor normal pada bidang kita akan memanggil vektor bukan-nol, setiap perwakilan yang tegak lurus terhadap bidang yang diberikan.

Komentar. Jelas bahwa jika setidaknya satu perwakilan vektor tegak lurus terhadap bidang, maka semua perwakilan vektor lainnya tegak lurus terhadap bidang ini.

Biarkan sistem koordinat Cartesian diberikan di ruang angkasa.

Biarkan bidang a diberikan, = (A, B, C) – vektor normal untuk bidang ini, titik M (x 0 , y 0 , z 0) milik bidang a.

Untuk sembarang titik N(x, y, z) pada bidang a, vektor-vektor dan ortogonal, yaitu, produk skalarnya sama dengan nol: = 0. Mari kita tulis persamaan terakhir dalam koordinat: A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z0) = 0.

Misalkan -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, maka Ax + By + Cz + D = 0.

Ambil titik K (x, y) sehingga Ax + By + Cz + D \u003d 0. Karena D \u003d -Ax 0 - By 0 - Cz 0, maka A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Karena koordinat segmen berarah = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0), persamaan terakhir berarti ^ , dan, oleh karena itu, K a.

Jadi, kami telah membuktikan teorema berikut:

Dalil. Setiap bidang dalam ruang dalam sistem koordinat Cartesian dapat didefinisikan dengan persamaan bentuk Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 0), di mana (A, B, C) adalah koordinat vektor normal ke bidang ini.

Kebalikannya juga benar.

Dalil. Setiap persamaan berbentuk Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 0) dalam sistem koordinat Cartesian mendefinisikan bidang tertentu, sedangkan (A, B, C) adalah koordinat normal vektor ke pesawat ini.

Bukti.

Ambil titik M (x 0 , y 0 , z 0) sehingga Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 dan vektor = (A, B, C) ( q).

Sebuah bidang (dan hanya satu) melewati titik M tegak lurus terhadap vektor. Menurut teorema sebelumnya, bidang ini diberikan oleh persamaan Ax + By + Cz + D = 0.

Definisi. Persamaan berbentuk Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 0) disebut persamaan umum bidang.

Contoh.

Mari kita tulis persamaan bidang yang melalui titik M (0.2.4), N (1,-1.0) dan K (-1.0.5).

1. Tentukan koordinat vektor normal terhadap bidang (MNK). Karena hasil kali vektor adalah ortogonal terhadap vektor-vektor yang tidak kolinear dan , vektor tersebut kolinear terhadap .

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

= (-11, 3, -5).

Jadi, sebagai vektor normal, ambil vektor = (-11, 3, -5).

2. Sekarang mari kita gunakan hasil teorema pertama:

persamaan bidang ini A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, di mana (A, B, C) adalah koordinat vektor normal, (x 0 , y 0 , z 0) – koordinat titik yang terletak di bidang (misalnya, titik M).

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y - 5z + 14 = 0

Jawaban: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Latihan.

1) Tulis persamaan bidang jika

(1) pesawat melewati titik M (-2,3,0) sejajar dengan bidang 3x + y + z = 0;

(2) bidang tersebut memuat sumbu (Ox) dan tegak lurus terhadap bidang x + 2y – 5z + 7 = 0.

2) Tulis persamaan untuk bidang yang melalui tiga titik yang diberikan.

28. Spesifikasi analitik ruang setengah*

Komentar*. Biarkan beberapa pesawat diperbaiki. Di bawah setengah spasi kita akan memahami himpunan titik yang terletak di satu sisi bidang tertentu, yaitu, dua titik terletak di setengah ruang yang sama jika segmen yang menghubungkannya tidak memotong bidang yang diberikan. Pesawat ini disebut batas setengah ruang ini. Gabungan bidang tertentu dan setengah ruang disebut setengah spasi tertutup.

Biarkan sistem koordinat Cartesian diperbaiki di ruang angkasa.

Dalil. Biarkan bidang a diberikan oleh persamaan umum Ax + By + Cz + D = 0. Kemudian salah satu dari dua setengah ruang di mana bidang a membagi ruang diberikan oleh pertidaksamaan Ax + By + Cz + D > 0 , dan ruang paruh kedua diberikan oleh pertidaksamaan Ax + By + Cz + D< 0.

Bukti.

Mari kita plot vektor normal = (A, B, ) ke bidang a dari titik M (x 0 , y 0 , z 0) yang terletak pada bidang ini: = , M a, MN ^ a. Pesawat membagi ruang menjadi dua setengah ruang: b 1 dan b 2 . Jelas bahwa titik N termasuk salah satu dari setengah ruang ini. Tanpa kehilangan keumuman, kita asumsikan bahwa N b 1 .

Mari kita buktikan bahwa setengah ruang b 1 didefinisikan oleh pertidaksamaan Ax + By + Cz + D > 0.

1) Ambil titik K(x,y,z) di setengah ruang b 1 . Sudut NMK adalah sudut antara vektor dan lancip, oleh karena itu produk skalar dari vektor-vektor ini adalah positif: > 0. Mari tulis pertidaksamaan ini dalam koordinat: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, yaitu Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.

Karena M b 1 , maka Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, maka -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Oleh karena itu, pertidaksamaan terakhir dapat ditulis sebagai berikut: Ax + By + Cz + D > 0.

2) Ambil titik L(x,y) sehingga Ax + By + Cz + D > 0.

Mari kita tulis ulang pertidaksamaan, ganti D dengan (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (karena M b 1, maka Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

Vektor dengan koordinat (x - x 0 ,y - y 0 , z - z 0) adalah vektor , sehingga ekspresi A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) dapat dipahami , sebagai produk skalar dari vektor dan . Karena produk skalar dari vektor dan positif, sudut di antara mereka adalah lancip dan titik L b 1 .

Demikian pula, dapat dibuktikan bahwa setengah ruang b 2 diberikan oleh pertidaksamaan Ax + By + Cz + D< 0.

Perkataan.

1) Jelas bahwa pembuktian di atas tidak bergantung pada pemilihan titik M pada bidang a.

2) Jelas bahwa setengah ruang yang sama dapat didefinisikan oleh pertidaksamaan yang berbeda.

Kebalikannya juga benar.

Dalil. Pertidaksamaan linier dalam bentuk Ax + By + Cz + D > 0 (atau Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Bukti.

Persamaan Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 0) dalam ruang mendefinisikan beberapa bidang a (lihat ...). Seperti yang dibuktikan pada teorema sebelumnya, salah satu dari dua setengah ruang tempat bidang membagi ruang diberikan oleh pertidaksamaan Ax Ax + By + Cz + D > 0.

Perkataan.

1) Jelas bahwa setengah ruang tertutup dapat didefinisikan oleh pertidaksamaan linier tak-ketat, dan setiap pertidaksamaan linear tak-ketat dalam sistem koordinat Cartesian mendefinisikan ruang-paruh tertutup.

2) Setiap polihedron cembung dapat didefinisikan sebagai perpotongan ruang-setengah tertutup (batas-batasnya adalah bidang-bidang yang memuat muka-muka polihedron), yaitu, secara analitik, dengan sistem pertidaksamaan linier tidak ketat.

Latihan.

1) Buktikan dua teorema yang disajikan untuk sistem koordinat affine arbitrer.

2) Apakah kebalikannya benar, bahwa setiap sistem pertidaksamaan linier tidak ketat mendefinisikan poligon cembung?

Sebuah latihan.

1) Jelajahi posisi relatif dua bidang yang diberikan oleh persamaan umum dalam sistem koordinat Cartesian dan isi tabelnya.

Materi ini dikhususkan untuk konsep seperti sudut antara dua garis lurus yang berpotongan. Di paragraf pertama, kami akan menjelaskan apa itu dan menunjukkannya dalam ilustrasi. Kemudian kami akan menganalisis bagaimana Anda dapat menemukan sinus, cosinus dari sudut ini dan sudut itu sendiri (kami akan secara terpisah mempertimbangkan kasus dengan bidang dan ruang tiga dimensi), kami akan memberikan rumus yang diperlukan dan menunjukkan dengan contoh bagaimana tepatnya mereka diterapkan dalam praktek.

Untuk memahami apa itu sudut yang terbentuk pada perpotongan dua garis, kita perlu mengingat kembali definisi sudut, tegak lurus, dan titik potong.

Definisi 1

Kami menyebut dua garis berpotongan jika mereka memiliki satu titik yang sama. Titik ini disebut titik potong kedua garis.

Setiap garis dibagi dengan titik potong menjadi sinar. Dalam hal ini, kedua garis membentuk 4 sudut, dua di antaranya vertikal dan dua bersebelahan. Jika kita mengetahui ukuran salah satunya, maka kita dapat menentukan sisa lainnya.

Katakanlah kita tahu bahwa salah satu sudutnya sama dengan . Dalam kasus seperti itu, sudut yang vertikal juga akan sama dengan . Untuk menemukan sudut yang tersisa, kita perlu menghitung selisih 180° - . Jika sama dengan 90 derajat, maka semua sudut siku-siku. Garis berpotongan di sudut kanan disebut tegak lurus (artikel terpisah dikhususkan untuk konsep tegak lurus).

Lihatlah gambarnya:

Mari kita lanjutkan ke rumusan definisi utama.

Definisi 2

Besar sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan adalah besar sudut terkecil dari 4 sudut yang membentuk kedua garis tersebut.

Sebuah kesimpulan penting harus ditarik dari definisi: ukuran sudut dalam hal ini akan dinyatakan dengan bilangan real apa pun dalam interval (0, 90]. Jika garis-garis itu tegak lurus, maka sudut di antara mereka bagaimanapun juga akan menjadi sama dengan 90 derajat.

Kemampuan untuk menemukan ukuran sudut antara dua garis yang berpotongan berguna untuk memecahkan banyak masalah praktis. Metode solusi dapat dipilih dari beberapa opsi.

Sebagai permulaan, kita dapat mengambil metode geometris. Jika kita mengetahui sesuatu tentang sudut tambahan, maka kita dapat menghubungkannya ke sudut yang kita butuhkan menggunakan sifat-sifat bentuk yang sama atau serupa. Misalnya, jika kita mengetahui sisi-sisi segitiga dan kita perlu menghitung sudut antara garis-garis di mana sisi-sisi ini berada, maka teorema kosinus cocok untuk diselesaikan. Jika kita memiliki segitiga siku-siku dalam kondisi, maka untuk perhitungan kita juga perlu mengetahui sinus, cosinus dan tangen dari sudut tersebut.

Metode koordinat juga sangat nyaman untuk memecahkan masalah jenis ini. Mari kita jelaskan cara menggunakannya dengan benar.

Kami memiliki sistem koordinat persegi panjang (kartesius) O x y dengan dua garis lurus. Mari kita tunjukkan mereka dengan huruf a dan b. Dalam hal ini, garis lurus dapat digambarkan menggunakan persamaan apa pun. Garis asli memiliki titik potong M . Bagaimana cara menentukan sudut yang diinginkan (sebutkan ) di antara garis-garis ini?

Mari kita mulai dengan perumusan prinsip dasar mencari sudut dalam kondisi tertentu.

Kita tahu bahwa konsep-konsep seperti mengarahkan dan vektor normal terkait erat dengan konsep garis lurus. Jika kita memiliki persamaan garis lurus, kita dapat mengambil koordinat vektor-vektor ini darinya. Kita bisa melakukan ini untuk dua garis berpotongan sekaligus.

Sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan dapat dicari dengan menggunakan:

• sudut antara vektor arah;
• sudut antara vektor normal;
• sudut antara vektor normal satu garis dan vektor arah garis lainnya.

Sekarang mari kita lihat setiap metode secara terpisah.

1. Misalkan kita memiliki garis a dengan vektor arah a → = (a x , a y) dan garis b dengan vektor arah b → (b x , b y) . Sekarang mari kita sisihkan dua vektor a → dan b → dari titik perpotongan. Setelah itu, kita akan melihat bahwa mereka masing-masing akan ditempatkan di jalurnya sendiri. Kemudian kami memiliki empat opsi untuk posisi relatif mereka. Lihat ilustrasi:

Jika sudut antara dua vektor tidak tumpul, maka itu akan menjadi sudut yang kita butuhkan antara garis berpotongan a dan b. Jika tumpul, maka sudut yang diinginkan akan sama dengan sudut yang berdekatan dengan sudut a → , b → ^ . Jadi, = a → , b → ^ jika a → , b → ^ 90 ° , dan = 180 ° - a → , b → ^ jika a → , b → ^ > 90 ° .

Berdasarkan fakta bahwa cosinus dari sudut yang sama adalah sama, kita dapat menulis ulang persamaan yang dihasilkan sebagai berikut: cos = cos a → , b → ^ if a → , b → ^ 90 ° ; cos = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ jika a → , b → ^ > 90 ° .

Dalam kasus kedua, rumus reduksi digunakan. Dengan demikian,

cos cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Mari kita tulis rumus terakhir dengan kata-kata:

Definisi 3

Cosinus sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan akan sama dengan modulus cosinus sudut antara vektor arahnya.

Bentuk umum dari rumus kosinus sudut antara dua vektor a → = (a x, a y) dan b → = (b x, b y) terlihat seperti ini:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Dari sini kita dapat memperoleh rumus untuk kosinus sudut antara dua garis yang diberikan:

cos = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Maka sudut itu sendiri dapat ditemukan dengan menggunakan rumus berikut:

= a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Di sini a → = (a x , a y) dan b → = (b x , b y) adalah vektor arah dari garis yang diberikan.

Mari kita beri contoh penyelesaian masalah.

Contoh 1

Dalam sistem koordinat persegi panjang, dua garis berpotongan a dan b diberikan pada bidang. Mereka dapat dijelaskan dengan persamaan parametrik x = 1 + 4 · y = 2 + λ ∈ R dan x 5 = y - 6 - 3 . Hitung sudut antara garis-garis ini.

Keputusan

Kami memiliki persamaan parametrik dalam kondisi, yang berarti bahwa untuk garis ini kita dapat segera menuliskan koordinat vektor arahnya. Untuk melakukan ini, kita perlu mengambil nilai koefisien pada parameter, mis. garis x = 1 + 4 y = 2 + λ ∈ R akan memiliki vektor arah a → = (4 , 1) .

Garis lurus kedua digambarkan menggunakan persamaan kanonik x 5 = y - 6 - 3 . Di sini kita dapat mengambil koordinat dari penyebut. Dengan demikian, garis ini memiliki vektor arah b → = (5 , - 3) .

Selanjutnya, kita lanjutkan langsung ke mencari sudutnya. Untuk melakukannya, cukup substitusikan koordinat yang tersedia dari kedua vektor ke dalam rumus di atas = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Kami mendapatkan yang berikut:

= a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Menjawab: Garis-garis ini membentuk sudut 45 derajat.

Kita dapat memecahkan masalah serupa dengan mencari sudut antara vektor-vektor normal. Jika kita memiliki garis a dengan vektor normal n a → = (n a x , n a y) dan garis b dengan vektor normal n b → = (n b x , n b y) , maka sudut antara keduanya akan sama dengan sudut antara n a → dan n b → atau sudut yang akan berbatasan dengan n a → , n b → ^ . Metode ini ditunjukkan pada gambar:

Rumus untuk menghitung kosinus sudut antara garis berpotongan dan sudut ini sendiri menggunakan koordinat vektor normal terlihat seperti ini:

cos = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Di sini n a → dan n b → menunjukkan vektor normal dari dua garis yang diberikan.

Contoh 2

Dua garis lurus diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang menggunakan persamaan 3 x + 5 y - 30 = 0 dan x + 4 y - 17 = 0 . Temukan sinus, cosinus sudut di antara keduanya, dan besar sudut itu sendiri.

Keputusan

Garis lurus asli diberikan menggunakan persamaan garis lurus normal dalam bentuk A x + B y + C = 0 . Nyatakan vektor normal n → = (A , B) . Mari kita cari koordinat vektor normal pertama untuk satu garis lurus dan tuliskan: n a → = (3 , 5) . Untuk garis kedua x + 4 y - 17 = 0 vektor normal akan memiliki koordinat n b → = (1 , 4) . Sekarang tambahkan nilai yang diperoleh ke rumus dan hitung totalnya:

cos = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Jika kita mengetahui kosinus suatu sudut, maka kita dapat menghitung sinusnya menggunakan identitas trigonometri dasar. Karena sudut yang dibentuk oleh garis lurus tidak tumpul, maka sin \u003d 1 - cos 2 \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

Dalam hal ini, = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Jawaban: cos = 23 2 34 , sin = 7 2 34 , = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Mari kita menganalisis kasus terakhir - menemukan sudut antara garis, jika kita mengetahui koordinat vektor arah dari satu garis dan vektor normal dari yang lain.

Asumsikan bahwa garis a memiliki vektor arah a → = (a x , a y) , dan garis b memiliki vektor normal n b → = (n b x , n b y) . Kita perlu menunda vektor-vektor ini dari titik persimpangan dan mempertimbangkan semua opsi untuk posisi relatifnya. Lihat gambar:

Jika sudut antara vektor yang diberikan tidak lebih dari 90 derajat, ternyata itu akan melengkapi sudut antara a dan b dengan sudut siku-siku.

a → , n b → ^ = 90 ° - jika a → , n b → ^ 90 ° .

Jika kurang dari 90 derajat, maka kita mendapatkan yang berikut:

a → , n b → ^ > 90 ° , lalu a → , n b → ^ = 90 ° +

Menggunakan aturan persamaan cosinus sudut yang sama, kami menulis:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - ) = sin untuk a → , n b → ^ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + = - sin pada a → , n b → ^ > 90 ° .

Dengan demikian,

sin = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° sin = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Mari kita merumuskan kesimpulan.

Definisi 4

Untuk menemukan sinus sudut antara dua garis yang berpotongan pada bidang, Anda perlu menghitung modulus cosinus sudut antara vektor arah garis pertama dan vektor normal garis kedua.

Mari kita tuliskan rumus-rumus yang diperlukan. Mencari sinus sudut:

sin = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Menemukan sudut itu sendiri:

= a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Di sini a → adalah vektor arah garis pertama, dan n b → adalah vektor normal garis kedua.

Contoh 3

Dua garis berpotongan diberikan oleh persamaan x - 5 = y - 6 3 dan x + 4 y - 17 = 0 . Temukan sudut persimpangan.

Keputusan

Kami mengambil koordinat vektor pengarah dan normal dari persamaan yang diberikan. Ternyata a → = (- 5 , 3) ​​dan n → b = (1 , 4) . Kami mengambil rumus α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 dan pertimbangkan:

= a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Perhatikan bahwa kami mengambil persamaan dari masalah sebelumnya dan mendapatkan hasil yang sama persis, tetapi dengan cara yang berbeda.

Menjawab:= a r c sin 7 2 34

Berikut adalah cara lain untuk menemukan sudut yang diinginkan menggunakan koefisien kemiringan garis yang diberikan.

Kami memiliki garis a , yang didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang menggunakan persamaan y = k 1 · x + b 1 , dan garis b , didefinisikan sebagai y = k 2 · x + b 2 . Ini adalah persamaan garis dengan kemiringan. Untuk mencari sudut potong, gunakan rumus:

= a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , di mana k 1 dan k 2 adalah gradien garis yang diberikan. Untuk mendapatkan catatan ini, rumus untuk menentukan sudut melalui koordinat vektor normal digunakan.

Contoh 4

Ada dua garis lurus yang berpotongan pada bidang tersebut, diberikan oleh persamaan y = - 3 5 x + 6 dan y = - 1 4 x + 17 4 . Hitung sudut potong.

Keputusan

Kemiringan garis kami sama dengan k 1 = - 3 5 dan k 2 = - 1 4 . Mari kita tambahkan ke rumus = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 dan hitung:

= a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Menjawab:= a r c cos 23 2 34

Dalam kesimpulan paragraf ini, perlu dicatat bahwa rumus untuk menemukan sudut yang diberikan di sini tidak harus dipelajari dengan hati-hati. Untuk melakukan ini, cukup mengetahui koordinat pemandu dan/atau vektor normal dari garis yang diberikan dan dapat menentukannya menggunakan berbagai jenis persamaan. Tetapi rumus untuk menghitung kosinus suatu sudut lebih baik diingat atau ditulis.

Bagaimana cara menghitung sudut antara garis yang berpotongan di ruang angkasa?

Perhitungan sudut tersebut dapat direduksi menjadi perhitungan koordinat vektor-vektor arah dan penentuan besarnya sudut yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut. Untuk contoh seperti itu, kami menggunakan alasan yang sama yang telah kami berikan sebelumnya.

Katakanlah kita memiliki sistem koordinat persegi panjang yang terletak di ruang 3D. Ini berisi dua garis a dan b dengan titik potong M . Untuk menghitung koordinat vektor arah, kita perlu mengetahui persamaan garis-garis ini. Nyatakan vektor arah a → = (a x , a y , a z) dan b → = (b x , b y , b z) . Untuk menghitung kosinus sudut di antara mereka, kami menggunakan rumus:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Untuk mencari sudut itu sendiri, kita membutuhkan rumus ini:

= a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Contoh 5

Kami memiliki garis lurus yang didefinisikan dalam ruang 3D menggunakan persamaan x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Diketahui bahwa ia berpotongan dengan sumbu O z. Hitung sudut perpotongan dan kosinus sudut tersebut.

Keputusan

Mari kita tunjukkan sudut yang akan dihitung dengan huruf . Mari kita tuliskan koordinat vektor arah untuk garis lurus pertama - a → = (1 , - 3 , - 2) . Untuk sumbu aplikasi, kita dapat mengambil vektor koordinat k → = (0 , 0 , 1) sebagai panduan. Kami telah menerima data yang diperlukan dan dapat menambahkannya ke formula yang diinginkan:

cos = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Hasilnya, kami mendapatkan bahwa sudut yang kami butuhkan akan sama dengan a r c cos 1 2 = 45 °.

Menjawab: cos = 1 2 , = 45 ° .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter