Informasi dari sejarah kemunculan turunan: Slogan banyak matematikawan abad ke-17. adalah: "Majulah, dan percaya pada kebenaran hasil untuk Anda
akan datang."
Istilah "turunan" - (berasal dari bahasa Prancis - di belakang, di belakang) diperkenalkan pada tahun 1797 oleh J. Lagrange. Dia juga memperkenalkan
sebutan modern y ", f'.
sebutan lim merupakan singkatan dari kata latin limes (batas, batas). Istilah "batas" diperkenalkan oleh I. Newton.
I. Newton menyebut turunannya sebagai fluks, dan fungsinya sendiri - fasih.
G. Leibniz berbicara tentang hubungan diferensial dan menyatakan turunannya sebagai berikut:
Lagrange Joseph Louis (1736-1813)
Matematikawan dan mekanik Prancis

Newton:

“Dunia ini diselimuti kegelapan yang dalam. Biarkan ada cahaya! Sehingga
Newton muncul. A. Pogue.
Isaac Newton (1643-1727) salah satu pendiri
kalkulus diferensial.
Karya utamanya adalah "Prinsip matematika
filsafat alam "-memiliki kolosal
pengaruhnya terhadap perkembangan ilmu pengetahuan alam
titik balik dalam sejarah ilmu alam.
Newton memperkenalkan konsep turunan saat mempelajari hukum
mekanik, dengan demikian mengungkapkan mekaniknya
berarti.

Apa turunan dari suatu fungsi?

Turunan suatu fungsi pada suatu titik tertentu disebut limit
rasio kenaikan fungsi pada titik ini ke
argumen bertambah saat argumen bertambah
cenderung nol.

Arti fisis turunan.

Kecepatan adalah turunan dari jarak terhadap waktu:
v(t) = S′(t)
Percepatan adalah turunan
kecepatan dari waktu ke waktu:
a(t) = v′(t) = S′′(t)

Arti geometris turunan:

Kemiringan garis singgung grafik
fungsi sama dengan turunan dari fungsi ini,
dihitung pada titik kontak.
f′(x) = k = tga

Turunan dalam teknik listrik:

Di rumah kita, di transportasi, di pabrik: ia bekerja di mana-mana
listrik. Yang dimaksud dengan arus listrik
gerakan terarah dari muatan listrik bebas
partikel.
Karakteristik kuantitatif dari arus listrik adalah gaya
saat ini.
PADA
rangkaian arus listrik perubahan muatan listrik dari
dari waktu ke waktu menurut hukum q = q (t). Kekuatan arus I adalah turunan
mengisi q dari waktu ke waktu.
Dalam teknik listrik, operasi AC terutama digunakan.
Arus listrik yang berubah terhadap waktu disebut
variabel. Sirkuit AC mungkin berisi berbagai:
elemen: pemanas, kumparan, kapasitor.
Memperoleh arus listrik bolak-balik didasarkan pada hukum
induksi elektromagnetik, yang formulasinya mengandung:
turunan dari fluks magnet.

Turunan dalam kimia:

Dan dalam kimia, diferensial
kalkulus untuk membangun model matematika kimia
reaksi dan deskripsi selanjutnya dari sifat-sifatnya.
Kimia adalah ilmu tentang zat, tentang transformasi kimia
zat.
Kimia mempelajari pola berbagai reaksi.
Laju reaksi kimia adalah perubahannya
konsentrasi reaktan per satuan waktu.
Karena laju reaksi v berubah terus menerus selama
proses, biasanya dinyatakan sebagai turunan dari konsentrasi
reaktan dari waktu ke waktu.

Turunan dalam geografi:

Gagasan model sosiologis Thomas Malthus adalah bahwa pertumbuhan penduduk
sebanding dengan populasi pada waktu tertentu t melalui N(t), . Model
Malthus melakukan pekerjaan yang baik untuk menggambarkan populasi AS dari tahun 1790 hingga 1860.
bertahun-tahun. Model ini tidak lagi berlaku di sebagian besar negara.

Integral dan penerapannya:

Sedikit sejarah:

Sejarah konsep integral kembali ke
untuk matematikawan Yunani Kuno dan Kuno
Roma.
Karya-karya ilmuwan Yunani Kuno, Eudoxus dari Knidos (c. 408-c. 355 SM), dikenal di
menemukan volume tubuh dan perhitungan
bidang angka pesawat.

Kalkulus integral menjadi tersebar luas pada abad ke-17. Ilmuwan:
G. Leibniz (1646-1716) dan I. Newton (1643-1727) ditemukan secara independen
sobat dan hampir bersamaan rumusnya, kemudian disebut rumus
Newton - Leibniz, yang kami gunakan. Itu rumus matematikanya
dibawa filsuf dan fisikawan tidak mengejutkan siapa pun, karena matematika adalah bahasa di mana
alam itu sendiri yang berbicara.

Simbol dimasukkan
Leibniz (1675). Tanda ini adalah
perubahan huruf latin S
(huruf pertama dari kata sum). Kata integral
ditemukan
J. Bernoulli (1690). Itu mungkin berasal dari
Latin integero, yang diterjemahkan sebagai
mengembalikan ke keadaan semula.
Batas integrasi sudah ditunjukkan oleh L. Euler
(1707-1783). Pada tahun 1697 nama itu muncul
cabang baru matematika - integral
kalkulus. Ini diperkenalkan oleh Bernoulli.

Dalam analisis matematis, integral suatu fungsi disebut
perluasan dari konsep penjumlahan. Proses mencari integral
disebut integrasi. Proses ini biasanya digunakan untuk
menemukan besaran-besaran seperti luas, volume, massa, perpindahan, dll.
ketika laju atau distribusi perubahan dalam kuantitas ini diberikan
sehubungan dengan beberapa kuantitas lain (posisi, waktu, dll.).

Apa itu integral?

Integral adalah salah satu konsep analisis matematika yang paling penting, yang
muncul ketika memecahkan masalah menemukan area di bawah kurva, jarak yang ditempuh ketika
gerak tidak rata, massa benda tidak homogen, dll., serta dalam masalah
memulihkan fungsi dari turunannya

Ilmuwan mencoba segalanya secara fisik
fenomena untuk diungkapkan dalam bentuk
rumus matematika. bagaimana
hanya kami yang punya formula, lanjut
sudah mungkin dengan itu
menghitung apa saja. Dan integralnya
adalah salah satu yang utama
alat untuk bekerja dengan
fungsi.

Metode integrasi:

1. Tabel.
2. Pengurangan ke transformasi tabular integran
ekspresi untuk jumlah atau perbedaan.
3. Integrasi menggunakan perubahan variabel (substitusi).
4. Integrasi per bagian.

Penerapan integral:

Matematika
Hitung bentuk S.
Panjang busur kurva.
Benda V pada S paralel
bagian.
V badan revolusi, dll.
Fisika
Kerja Sebuah gaya variabel.
S - (jalur) gerakan.
Perhitungan massa.
Perhitungan momen inersia garis,
lingkaran, silinder.
Koordinat pusat komputasi
gravitasi.
Jumlah panas, dll.
◦
◦
◦
◦

Belum ada versi HTML dari karya tersebut.

Dokumen serupa

Berkenalan dengan sejarah konsep integral. Distribusi kalkulus integral, penemuan rumus Newton-Leibniz. simbol jumlah; perluasan dari konsep penjumlahan. Deskripsi kebutuhan untuk mengungkapkan semua fenomena fisik dalam bentuk rumus matematika.

presentasi, ditambahkan 26 01/2015


Ide kalkulus integral dalam karya matematikawan kuno. Fitur metode kelelahan. Sejarah penemuan rumus volume torus Kepler. Pembuktian teori prinsip kalkulus integral (prinsip Cavalieri). Konsep integral tertentu.

presentasi, ditambahkan 07/05/2016


Sejarah kalkulus integral. Pengertian dan sifat integral rangkap. Interpretasi geometrisnya, perhitungan dalam koordinat Cartesian dan kutub, pengurangannya menjadi berulang. Aplikasi di bidang ekonomi dan geometri untuk menghitung volume dan luas.

makalah, ditambahkan 16/10/2013


Definisi integral lengkung atas koordinat, sifat-sifat utamanya dan perhitungannya. Kondisi independensi integral lengkung dari jalur integrasi. Menghitung luas bangun datar menggunakan integral ganda. Menggunakan rumus Green.

tes, ditambahkan 23/02/2011


Syarat adanya integral tertentu. Penerapan kalkulus integral. Kalkulus integral dalam geometri. Aplikasi mekanik integral tertentu. Kalkulus integral dalam biologi. Kalkulus integral dalam ekonomi.

makalah, ditambahkan 21/01/2008


Sejarah kalkulus integral dan diferensial. Aplikasi integral tertentu untuk penyelesaian beberapa masalah mekanika dan fisika. Momen dan pusat massa kurva bidang, teorema Gulden. persamaan diferensial. Contoh pemecahan masalah di MatLab.

abstrak, ditambahkan 09/07/2009


Konsep integral Stieltjes. Kondisi umum untuk keberadaan integral Stieltjes, kelas kasus keberadaannya, dan perjalanan ke batas di bawah tandanya. Mengurangi integral Stieltjes ke integral Riemann. Aplikasi dalam teori probabilitas dan mekanika kuantum.

tesis, ditambahkan 20/07/2009


Definisi integral tak tentu, antiturunan fungsi kontinu, diferensial integral tak tentu. Turunan rumus untuk penggantian variabel dalam integral tak tentu dan integrasi dengan bagian. Definisi fungsi rasional pecahan.

lembar contekan, ditambahkan 21/08/2009


Mengetahui konsep dan sifat dasar integral tertentu. Representasi rumus untuk menghitung jumlah integral untuk fungsi y=f(x) pada segmen [a, b]. Persamaan dengan nol integral dengan syarat batas bawah dan batas atas integrasi sama.

presentasi, ditambahkan 18/09/2013


Beberapa aplikasi turunan. Menggunakan teorema dasar kalkulus diferensial untuk membuktikan pertidaksamaan. Antiturunan dan integral dalam masalah matematika dasar. Monotonisitas integral. Beberapa ketidaksetaraan klasik.

Topik penelitian

Penerapan kalkulus integral dalam perencanaan pengeluaran keluarga

Relevansi masalah

Di bidang sosial dan ekonomi, ketika menghitung tingkat ketimpangan dalam distribusi pendapatan, matematika digunakan, yaitu, kalkulus integral. Dengan mempelajari aplikasi praktis integral, kita belajar:

• Bagaimana integral dan menghitung luas menggunakan integral membantu dalam mengalokasikan biaya material?

• Bagaimana integral akan membantu dalam menghemat uang untuk liburan.

Target

rencanakan pengeluaran keluarga menggunakan perhitungan integral

tugas

• Pelajari arti geometris integral.
• Pertimbangkan metode integrasi dalam bidang kehidupan sosial dan ekonomi.
• Buat perkiraan biaya material keluarga saat memperbaiki apartemen menggunakan integral.
• Hitung volume konsumsi energi keluarga selama setahun, dengan mempertimbangkan perhitungan integral.
• Hitung jumlah setoran tabungan di Sberbank untuk liburan.

Hipotesa

kalkulus integral membantu dalam perhitungan ekonomis ketika merencanakan pendapatan dan pengeluaran keluarga.

Tahapan penelitian

• Kami mempelajari makna geometris integral dan metode integrasi dalam bidang kehidupan sosial dan ekonomi.
• Kami menghitung biaya material yang diperlukan untuk perbaikan apartemen menggunakan integral.
• Kami menghitung volume konsumsi listrik di apartemen dan biaya listrik untuk keluarga selama setahun.
• Kami mempertimbangkan salah satu opsi untuk mengumpulkan pendapatan keluarga melalui deposito di Sberbank menggunakan integral.

Objek studi

kalkulus integral dalam bidang kehidupan sosial dan ekonomi.

Metode

• Analisis literatur dengan topik "Aplikasi praktis dari kalkulus integral"
• Kajian tentang metode integrasi dalam menyelesaikan masalah pada perhitungan luas dan volume bangun-bangun dengan menggunakan integral.
• Analisis pengeluaran dan pendapatan keluarga menggunakan perhitungan integral.

Proses kerja

• Tinjauan Pustaka dengan topik "Aplikasi praktis kalkulus integral"
• Memecahkan sistem masalah untuk menghitung luas dan volume gambar menggunakan integral.
• Perhitungan pengeluaran dan pendapatan keluarga menggunakan perhitungan integral: renovasi kamar, volume listrik, setoran di Sberbank untuk liburan.

Hasil kami

Bagaimana integral dan menghitung volume dengan bantuan integral membantu dalam memprediksi volume konsumsi listrik?

temuan

• Perhitungan ekonomi dana yang diperlukan untuk perbaikan apartemen dapat dilakukan lebih cepat dan lebih akurat dengan menggunakan perhitungan integral.

• Lebih mudah dan cepat untuk menghitung konsumsi listrik keluarga dengan menggunakan perhitungan integral dan Microsoft Office Excel, yang berarti memprediksi biaya listrik keluarga selama setahun.

• Keuntungan dari simpanan di bank tabungan dapat dihitung dengan menggunakan perhitungan integral, yaitu merencanakan liburan keluarga.

Daftar sumber daya

Edisi cetak:

• Buku pelajaran. Aljabar dan analisis awal kelas 10-11. A.G. Mordkovich. Mnemosin. L: 2007
• Buku pelajaran. Aljabar dan analisis awal kelas 10-11. A. Pencerahan Kolmogorov. L: 2007
• Matematika untuk sosiolog dan ekonom. Akhtyamov A.M. M.: FIZMATLIT, 2004. - 464 hal.
• Perhitungan integral Buku Pegangan Matematika Tinggi oleh M. Ya. Vygodsky, Pencerahan, 2000

Moto pelajaran: "Matematika adalah bahasa yang digunakan semua ilmu eksakta" N.I. Lobachevsky

Tujuan pelajaran: untuk menggeneralisasi pengetahuan siswa tentang topik "Integral", "Penerapan integral"; untuk memperluas wawasan mereka, pengetahuan tentang kemungkinan penerapan integral untuk perhitungan berbagai kuantitas; mengkonsolidasikan keterampilan menggunakan integral untuk memecahkan masalah terapan; menanamkan minat kognitif dalam matematika, mengembangkan budaya komunikasi dan budaya berbicara matematis; dapat belajar berbicara kepada siswa dan guru.

Jenis pelajaran: generalisasi berulang.

Jenis pelajaran: pelajaran - pembelaan proyek "Penerapan integral".

Peralatan: papan magnet, poster "Penerapan integral", kartu dengan rumus dan tugas untuk pekerjaan mandiri.

Rencana belajar:

1. Perlindungan proyek:

1. dari sejarah kalkulus integral;
2. sifat integral;
3. penerapan integral dalam matematika;
4. penerapan integral dalam fisika;

2. Solusi latihan.

Selama kelas

Guru: Alat penelitian yang kuat dalam matematika, fisika, mekanika, dan disiplin ilmu lainnya adalah integral tertentu - salah satu konsep dasar analisis matematika. Arti geometris integral adalah luas trapesium lengkung. Arti fisis integral adalah 1) massa batang tidak homogen dengan massa jenis, 2) perpindahan suatu titik yang bergerak lurus dengan kecepatan selama periode waktu tertentu.

Guru: Orang-orang di kelas kami melakukan pekerjaan dengan baik, mereka mengambil tugas di mana integral tertentu diterapkan. Mereka punya kata.

2 siswa: Sifat-sifat integral

3 siswa: Penerapan integral (meja di papan magnet).

4 siswa: Kami mempertimbangkan penggunaan integral dalam matematika untuk menghitung luas angka.

Luas bangun datar apa pun, yang dipertimbangkan dalam sistem koordinat persegi panjang, dapat terdiri dari luas trapesium lengkung yang berdekatan dengan sumbu Oh dan kapak OU. Luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu Oh dan dua lurus x=a dan x = b, di mana a x b, f(x) 0 dihitung dengan rumus cm. Nasi. Jika trapesium lengkung berdekatan dengan sumbu OU, maka luasnya dihitung dengan rumus , cm. Nasi. Saat menghitung luas gambar, kasus-kasus berikut mungkin muncul: a) Gambar terletak di atas sumbu Ox dan dibatasi oleh sumbu Ox, kurva y \u003d f (x) dan dua garis lurus x \u003d a dan x \u003d b. (Lihat. Nasi.) Luas gambar ini ditemukan dengan rumus 1 atau 2. b) Gambar tersebut terletak di bawah sumbu Ox dan dibatasi oleh sumbu Ox, kurva y \u003d f (x) dan dua garis lurus x \u003d a dan x \u003d b (lihat. Nasi.). Luasnya dicari dengan rumus . c) Gambar tersebut terletak di atas dan di bawah sumbu Ox dan dibatasi oleh sumbu Ox, kurva y \u003d f (x) dan dua garis lurus x \u003d a dan x \u003d b ( Nasi.). d) Area dibatasi oleh dua kurva berpotongan y \u003d f (x) dan y \u003d (x) ( Nasi.)

5 siswa: Selesaikan masalahnya

x-2y+4=0 dan x+y-5+0 dan y=0

7 siswa: Integral banyak digunakan dalam fisika. Sebuah kata untuk fisikawan.

1. PERHITUNGAN JALAN YANG DIJALANI OLEH TITIK

Lintasan yang ditempuh suatu titik selama gerakan tidak seragam dalam garis lurus dengan kecepatan variabel untuk selang waktu dari ke dihitung dengan rumus .

Contoh:

1. Kecepatan gerakan titik MS. Tentukan lintasan yang ditempuh titik tersebut dalam waktu 4 sekon.

Solusi: sesuai dengan kondisi, . Karena itu,

2. Dua benda mulai bergerak secara bersamaan dari titik yang sama ke arah yang sama dalam garis lurus. Tubuh pertama bergerak dengan kecepatan m / s, yang kedua - dengan kecepatan v = (4t+5) MS. Berapa jarak mereka setelah 5 detik?

Solusi: jelas bahwa nilai yang diinginkan adalah perbedaan antara jarak yang ditempuh oleh benda pertama dan kedua dalam 5 s:

3. Sebuah benda dilemparkan vertikal ke atas dari permukaan bumi dengan kecepatan u = (39,2-9,8^) m/s. Cari tinggi maksimum tubuh.

Solusi: tubuh akan mencapai ketinggian angkat tertinggi pada waktu t ketika v = 0, yaitu. 39.2- 9.8t = 0, dari mana I= 4 detik Dengan rumus (1), kita temukan

2. PERHITUNGAN TENAGA KERJA

Usaha yang dilakukan oleh gaya variabel f(x) ketika bergerak sepanjang sumbu Oh titik material dari x = sebuah sebelum x = b, ditemukan sesuai dengan rumus Saat memecahkan masalah untuk menghitung kerja gaya, hukum G y k a sering digunakan: F=kx, (3) dimana F - kekuatan N; X-perpanjangan mutlak pegas, m, disebabkan oleh gaya F, sebuah k- koefisien proporsionalitas, N/m.

Contoh:

1. Sebuah pegas dalam keadaan diam memiliki panjang 0,2 m. Sebuah gaya 50 N meregangkan pegas sebesar 0,01 m. Berapa usaha yang harus dilakukan untuk meregangkannya dari 0,22 menjadi 0,32 m?

Solusi: menggunakan persamaan (3), kita mendapatkan 50=0,01k, yaitu kK = 5000 N/m. Kami menemukan batas integrasi: a = 0,22 - 0,2 = 0,02 (m), b = 0,32- 0,2 = 0,12(m). Sekarang, menurut rumus (2), kita peroleh

3. PERHITUNGAN PEKERJAAN YANG DILAKUKAN SAAT MENGANGKAT BEBAN

Tugas. Sebuah tangki berbentuk silinder dengan jari-jari alas 0,5 m dan tinggi 2 m diisi air. Hitung usaha yang perlu dilakukan untuk memompa air keluar dari tangki.

Solusi: pilih layer horizontal pada kedalaman x dengan tinggi dx ( Nasi.). Usaha A yang harus dilakukan untuk menaikkan lapisan air yang beratnya P ke ketinggian x sama dengan Px.

Perubahan kedalaman x sebesar dx akan menyebabkan perubahan volume V sebesar dV = pr 2 dx dan perubahan berat sebesar * dР = 9807 r 2 dх; dalam hal ini, pekerjaan yang dilakukan A akan berubah dengan nilai dА=9807пr 2 xdх. Mengintegrasikan persamaan ini ketika x berubah dari 0 ke H, kita peroleh

4. PERHITUNGAN GAYA TEKANAN CAIR

Arti dari kekuatan R tekanan cairan pada platform horizontal tergantung pada kedalaman perendaman X situs ini, yaitu, dari jarak situs ke permukaan cairan.

Gaya tekanan (N) pada platform horizontal dihitung dengan rumus P = 9807seks,

di mana - massa jenis cairan, kg/m 3 ; S - area situs, m 2; X - kedalaman perendaman platform, m

Jika luas daerah di bawah tekanan fluida tidak mendatar, maka tekanan di atasnya berbeda pada kedalaman yang berbeda, oleh karena itu, gaya tekanan pada daerah tersebut merupakan fungsi dari kedalaman perendamannya. P(x).

5. PANJANG BUSUR

Biarkan kurva datar AB(Nasi.) diberikan oleh persamaan y \u003d f (x) (axb) dan f(x) dan f?(x) adalah fungsi kontinu dalam interval [а,b]. Maka diferensial dl panjang busur AB dinyatakan dengan rumus atau , dan panjang busur AB dihitung dengan rumus (4)

di mana a dan b adalah nilai variabel bebas X di titik A dan B. Jika kurva diberikan oleh persamaan x =(y)(dengan yd) maka panjang busur AB dihitung dengan rumus (5) dimana dengan dan d nilai variabel independen pada di titik-titik TETAPI dan V

6. PUSAT MASSA

Saat menemukan pusat massa, aturan berikut digunakan:

1) koordinat x ? pusat massa sistem titik material 1 , 2 ,..., n dengan massa m 1 , m 2 , ..., m n terletak pada garis lurus di titik-titik dengan koordinat x 1 , x 2 , ..., x n , ditemukan dengan rumus

(*); 2) Saat menghitung koordinat pusat massa, bagian mana pun dari gambar dapat diganti dengan titik material, menempatkannya di pusat massa bagian ini, dan memberinya massa yang sama dengan massa bagian yang dipertimbangkan. dari gambar. Contoh. Biarkan sepanjang sumbu segmen batang [a;b] Ox - massa didistribusikan dengan kepadatan (x), di mana (x) adalah fungsi kontinu. Mari kita tunjukkan itu a) massa total batang M sama dengan; b) koordinat pusat massa x " adalah sama dengan .

Mari kita bagi segmen [a; b] menjadi n bagian yang sama dengan titik a= x 0< х 1 < х 2 < ... <х n = b (Nasi.). Pada masing-masing n segmen ini, kerapatan dapat dianggap konstan untuk n besar dan kira-kira sama dengan (x k - 1) pada segmen ke-k (karena kontinuitas (x). Maka massa segmen ke-k kira-kira sama dengan dan massa seluruh batang adalah

Konsep integral dapat diterapkan secara luas dalam kehidupan. Integral digunakan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Tugas utama yang dihitung menggunakan integral adalah tugas untuk:

1. Menemukan volume tubuh

2. Menemukan pusat massa tubuh.

Mari kita pertimbangkan masing-masing secara lebih rinci. Di sini dan di bawah, untuk menyatakan integral tertentu dari beberapa fungsi f(x), dengan batas integrasi dari a ke b, kita akan menggunakan notasi berikut a b f(x).

Menemukan volume tubuh

Perhatikan gambar berikut. Misalkan ada suatu benda yang volumenya sama dengan V. Ada juga garis lurus sehingga jika kita mengambil bidang tertentu yang tegak lurus terhadap garis lurus ini, luas penampang S benda ini oleh bidang ini akan diketahui.

Setiap bidang tersebut akan tegak lurus terhadap sumbu x, dan karena itu akan berpotongan di beberapa titik x. Artinya, setiap titik x dari segmen akan diberi nomor S (x) - luas penampang tubuh, bidang yang melewati titik ini.

Ternyata beberapa fungsi S(x) akan diberikan pada segmen tersebut. Jika fungsi ini kontinu pada segmen ini, maka rumus berikut akan berlaku:

V = a b S(x)dx.

Bukti pernyataan ini berada di luar cakupan kurikulum sekolah.

Menghitung pusat massa suatu benda

Pusat massa paling sering digunakan dalam fisika. Misalnya, ada tubuh yang bergerak dengan kecepatan berapa pun. Tetapi tidak nyaman untuk mempertimbangkan benda besar, dan karena itu dalam fisika benda ini dianggap sebagai pergerakan suatu titik, dengan asumsi bahwa titik ini memiliki massa yang sama dengan seluruh tubuh.

Dan tugas menghitung pusat massa tubuh adalah yang utama dalam hal ini. Karena benda itu besar, dan titik mana yang harus diambil sebagai pusat massa? Mungkin yang di tengah tubuh? Atau mungkin titik terdekat ke ujung tombak? Di sinilah integrasi masuk.

Dua aturan berikut digunakan untuk menemukan pusat massa:

1. Koordinat x' dari pusat massa beberapa sistem titik material A1, A2,A3, … An dengan massa m1, m2, m3, … mn, masing-masing, terletak pada garis lurus di titik-titik dengan koordinat x1, x2, x3, … xn ditemukan dengan rumus berikut:

x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. Saat menghitung koordinat pusat massa, setiap bagian dari gambar yang dipertimbangkan dapat diganti dengan titik material, sambil menempatkannya di pusat massa dari bagian gambar yang terpisah ini, dan massa dapat dianggap sama dengan massa bagian gambar ini.

Misalnya, jika massa densitas p(x) didistribusikan sepanjang batang - segmen sumbu Ox, di mana p(x) adalah fungsi kontinu, maka koordinat pusat massa x' akan sama dengan.