Pengertian bilangan rasional

Bilangan rasional adalah:

• Bilangan asli yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Misalnya, $7=\frac(7)(1)$.
• Bilangan bulat, termasuk bilangan nol, yang dapat dinyatakan sebagai pecahan positif atau negatif, atau sebagai nol. Misalnya, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
• Pecahan biasa (positif atau negatif).
• Angka campuran yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa yang tidak tepat. Misalnya, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ dan $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
• Desimal hingga dan pecahan periodik tak terbatas, yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa. Misalnya, $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

Catatan 1

Perhatikan bahwa pecahan desimal non-periodik tak terbatas tidak berlaku untuk bilangan rasional, karena itu tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa.

Contoh 1

Bilangan asli $7, 670, 21 \ 456$ adalah rasional.

Bilangan bulat $76, -76, 0, -555 \ 666$ adalah rasional.

Pecahan biasa $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ adalah bilangan rasional .

Jadi, bilangan rasional dibagi menjadi positif dan negatif. Nol adalah bilangan rasional, tetapi bukan bilangan rasional positif atau negatif.

Mari kita merumuskan definisi yang lebih pendek dari bilangan rasional.

Definisi 3

Rasional memanggil nomor yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal periodik terbatas atau tak terbatas.

Kesimpulan berikut dapat ditarik:

• bilangan bulat positif dan negatif dan bilangan pecahan milik himpunan bilangan rasional;
• bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan yang memiliki pembilang bilangan bulat dan penyebut alami dan merupakan bilangan rasional;
• bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai desimal periodik apa pun yang merupakan bilangan rasional.

Bagaimana menentukan apakah suatu bilangan rasional?

1. Bilangan diberikan sebagai ekspresi numerik, yang hanya terdiri dari bilangan rasional dan tanda-tanda operasi aritmatika. Dalam hal ini, nilai ekspresi akan menjadi bilangan rasional.
2. Akar kuadrat dari bilangan asli adalah bilangan rasional hanya jika akarnya adalah bilangan yang merupakan kuadrat sempurna dari beberapa bilangan asli. Misalnya, $\sqrt(9)$ dan $\sqrt(121)$ adalah bilangan rasional karena $9=3^2$ dan $121=11^2$.
3. Akar $n$ dari sebuah bilangan bulat adalah bilangan rasional hanya jika bilangan di bawah tanda akar adalah pangkat $n$ dari beberapa bilangan bulat. Misalnya, $\sqrt(8)$ adalah bilangan rasional, karena $8=2^3$.

Bilangan rasional padat di mana-mana pada sumbu bilangan: di antara setiap dua bilangan rasional yang tidak sama satu sama lain, setidaknya satu bilangan rasional dapat ditemukan (karenanya, bilangan rasional tak terbatas). Pada saat yang sama, himpunan bilangan rasional dicirikan oleh kardinalitas yang dapat dihitung (yaitu, semua elemen himpunan dapat diberi nomor). Orang Yunani kuno membuktikan bahwa ada bilangan yang tidak dapat ditulis sebagai pecahan. Mereka menunjukkan bahwa tidak ada bilangan rasional yang kuadratnya sama dengan $2$. Kemudian bilangan rasional tidak cukup untuk menyatakan semua besaran, yang kemudian menyebabkan munculnya bilangan real. Himpunan bilangan rasional, tidak seperti bilangan real, adalah berdimensi nol.

Siswa sekolah menengah dan siswa spesialisasi matematika cenderung dengan mudah menjawab pertanyaan ini. Tetapi bagi mereka yang jauh dari profesi ini, itu akan lebih sulit. Apa itu sebenarnya?

Esensi dan sebutan

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan. Positif, negatif, serta nol juga termasuk dalam set ini. Pembilang suatu pecahan harus bilangan bulat, dan penyebutnya harus

Himpunan ini dilambangkan dalam matematika sebagai Q dan disebut "bidang bilangan rasional". Ini mencakup semua bilangan bulat dan bilangan asli, dilambangkan masing-masing sebagai Z dan N. Himpunan Q itu sendiri termasuk dalam himpunan R. Huruf inilah yang menunjukkan apa yang disebut real atau

Pertunjukan

Seperti yang telah disebutkan, bilangan rasional adalah himpunan yang mencakup semua bilangan bulat dan nilai pecahan. Mereka dapat disajikan dalam berbagai bentuk. Pertama, dalam bentuk pecahan biasa: 5/7, 1/5, 11/15, dst. Tentu saja, bilangan bulat juga dapat ditulis dalam bentuk serupa: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2, dll. Kedua, jenis representasi lain adalah pecahan desimal dengan bagian pecahan akhir: 0,01, -15.001006, dll. Ini mungkin salah satu bentuk yang paling umum.

Tetapi ada juga yang ketiga - fraksi periodik. Jenis ini tidak terlalu umum, tetapi masih digunakan. Misalnya, pecahan 10/3 dapat ditulis sebagai 3.33333... atau 3,(3). Dalam hal ini, representasi yang berbeda akan dianggap sebagai angka yang sama. Pecahan yang sama juga akan disebut, misalnya, 3/5 dan 6/10. Tampaknya menjadi jelas apa itu bilangan rasional. Tapi mengapa istilah ini digunakan untuk menyebut mereka?

asal nama

Kata "rasional" dalam bahasa Rusia modern umumnya memiliki arti yang sedikit berbeda. Ini agak "masuk akal", "dianggap". Tapi istilah matematika dekat dengan arti langsung ini.Dalam bahasa Latin, "rasio" adalah "rasio", "pecahan" atau "pembagian". Dengan demikian, namanya mencerminkan esensi dari apa itu bilangan rasional. Namun, arti kedua

tidak jauh dari kebenaran.

Tindakan dengan mereka

Saat memecahkan masalah matematika, kita terus-menerus menemukan bilangan rasional tanpa kita sadari. Dan mereka memiliki sejumlah properti yang menarik. Semuanya mengikuti baik dari definisi himpunan atau dari tindakan.

Pertama, bilangan rasional memiliki properti relasi order. Ini berarti bahwa hanya satu rasio yang dapat ada di antara dua angka - keduanya sama satu sama lain, atau satu lebih besar atau lebih kecil dari yang lain. yaitu.:

atau a = b atau a > b atau sebuah< b.

Selain itu, properti ini juga menyiratkan transitivitas relasi. Artinya, jika sebuah lagi b, b lagi c, kemudian sebuah lagi c. Dalam bahasa matematika, terlihat seperti ini:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

Kedua, ada operasi aritmatika dengan bilangan rasional, yaitu penambahan, pengurangan, pembagian dan, tentu saja, perkalian. Pada saat yang sama, sejumlah properti juga dapat dibedakan dalam proses transformasi.

• a + b = b + a (penggantian suku, komutatif);
• 0 + a = a + 0 ;
• (a + b) + c = a + (b + c) (asosiasi);
• a + (-a) = 0;
• ab=ba;
• (ab)c = a(bc) (distribusi);
• a x 1 = 1 x a = a;
• a x (1 / a) = 1 (dalam hal ini a tidak sama dengan 0);
• (a + b)c = ac + ab;
• (a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Dalam hal biasa, dan bukan atau bilangan bulat, operasi dengan mereka dapat menyebabkan kesulitan tertentu. Jadi, penjumlahan dan pengurangan hanya mungkin jika penyebutnya sama. Jika awalnya berbeda, Anda harus menemukan yang sama, menggunakan perkalian seluruh pecahan dengan angka-angka tertentu. Perbandingan juga paling sering hanya mungkin jika kondisi ini terpenuhi.

Pembagian dan perkalian pecahan biasa dilakukan sesuai dengan aturan yang cukup sederhana. Pengurangan ke penyebut yang sama tidak diperlukan. Pembilang dan penyebut dikalikan secara terpisah, sedangkan dalam proses melakukan tindakan, jika memungkinkan, pecahan harus dikurangi dan disederhanakan sebanyak mungkin.

Adapun pembagian, tindakan ini mirip dengan yang pertama dengan sedikit perbedaan. Untuk pecahan kedua, Anda harus menemukan kebalikannya, yaitu,

"membalik" itu. Jadi, pembilang pecahan pertama harus dikalikan dengan penyebut pecahan kedua dan sebaliknya.

Akhirnya, properti lain yang melekat pada bilangan rasional disebut aksioma Archimedes. Istilah "asas" juga sering ditemukan dalam literatur. Ini berlaku untuk seluruh himpunan bilangan real, tetapi tidak di semua tempat. Jadi, prinsip ini tidak berlaku untuk beberapa kumpulan fungsi rasional. Intinya, aksioma ini berarti bahwa dengan adanya dua besaran a dan b, Anda selalu dapat mengambil cukup a untuk melampaui b.

Area aplikasi

Jadi, bagi mereka yang telah mempelajari atau mengingat apa itu bilangan rasional, menjadi jelas bahwa mereka digunakan di mana-mana: dalam akuntansi, ekonomi, statistik, fisika, kimia, dan ilmu lainnya. Secara alami, mereka juga memiliki tempat dalam matematika. Tidak selalu mengetahui bahwa kita berurusan dengan mereka, kita terus-menerus menggunakan bilangan rasional. Bahkan anak-anak kecil, yang belajar menghitung benda, memotong apel menjadi potongan-potongan atau melakukan tindakan sederhana lainnya, bertemu dengan mereka. Mereka benar-benar mengelilingi kita. Namun, mereka tidak cukup untuk memecahkan beberapa masalah, khususnya, dengan menggunakan teorema Pythagoras sebagai contoh, orang dapat memahami kebutuhan untuk memperkenalkan konsep

) adalah bilangan dengan tanda positif atau negatif (bilangan bulat dan pecahan) dan nol. Konsep bilangan rasional yang lebih tepat terdengar seperti ini:

bilangan rasional- angka yang diwakili oleh pecahan sederhana M N, dimana pembilangnya m adalah bilangan bulat, dan penyebutnya n- bilangan bulat, misalnya 2/3.

Pecahan non-periodik tak hingga TIDAK termasuk dalam himpunan bilangan rasional.

a/b, di mana sebuah∈ Z (sebuah termasuk bilangan bulat) b∈ N (b termasuk bilangan asli).

Menggunakan bilangan rasional dalam kehidupan nyata.

Dalam kehidupan nyata, himpunan bilangan rasional digunakan untuk menghitung bagian dari beberapa objek yang habis dibagi bilangan bulat, Sebagai contoh, kue, atau makanan lain yang dipotong-potong sebelum dikonsumsi, atau untuk perkiraan kasar hubungan spasial objek yang diperluas.

Sifat-sifat bilangan rasional.

Sifat dasar bilangan rasional.

1. ketertiban sebuah dan b ada aturan yang memungkinkan Anda untuk mengidentifikasi secara unik di antara mereka 1-tetapi dan hanya satu dari 3 relasi: “<», «>" atau "=". Aturan ini adalah - aturan pemesanan dan rumuskan seperti ini:

• 2 bilangan positif a=m a /n a dan b=m b /n b terkait dengan hubungan yang sama seperti 2 bilangan bulat saya⋅ nb dan m b⋅ tidak ada;
• 2 bilangan negatif sebuah dan b dihubungkan oleh relasi yang sama dengan 2 bilangan positif |b| dan |a|;
• Kapan sebuah positif, dan b- negatif, maka a>b.

∀ a, b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operasi penambahan. Untuk semua bilangan rasional sebuah dan b ada aturan penjumlahan, yang menempatkan mereka dalam korespondensi dengan bilangan rasional tertentu c. Namun, nomor itu sendiri c- Ini jumlah angka sebuah dan b dan disebut sebagai (a+b) penjumlahan.

Aturan penjumlahan terlihat seperti itu:

saya/n a + m b/n b =(m a⋅ nb+mb⋅ tidak)/(n a⋅ nb).

∀ a, b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. operasi perkalian. Untuk semua bilangan rasional sebuah dan b ada aturan perkalian, itu mengasosiasikannya dengan bilangan rasional tertentu c. Angka c disebut kerja angka sebuah dan b dan menunjukkan (a⋅b), dan proses menemukan bilangan ini disebut perkalian.

aturan perkalian terlihat seperti itu: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ nb.

a,b∈Q (a⋅b)∈Q

4. Transitivitas relasi orde. Untuk setiap tiga bilangan rasional sebuah, b dan c jika sebuah lebih kecil b dan b lebih kecil c, kemudian sebuah lebih kecil c, dan jika sebuah sama dengan b dan b sama dengan c, kemudian sebuah sama dengan c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ sebuah ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)

5. Komutatifitas penjumlahan. Dari perubahan tempat istilah rasional, jumlahnya tidak berubah.

∀ a, b∈ Q+b=b+a

6. Asosiatif penjumlahan. Urutan penjumlahan 3 bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.

∀ a,b,c∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. Kehadiran nol. Ada bilangan rasional 0, ia mempertahankan setiap bilangan rasional lainnya ketika ditambahkan.

∃ 0 ∈ Q∀ sebuah∈ Q+0=a

8. Kehadiran angka yang berlawanan. Setiap bilangan rasional memiliki bilangan rasional yang berlawanan, menjumlahkannya menghasilkan 0.

∀ sebuah∈ Q∃ (−a)∈ Qa+(−a)=0

9. Komutatifitas perkalian. Dengan mengubah tempat faktor rasional, produk tidak berubah.

∀ a, b∈ Q⋅ b=b⋅ sebuah

10. Keterkaitan perkalian. Urutan perkalian 3 bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Ketersediaan unit. Ada bilangan rasional 1, ia mempertahankan setiap bilangan rasional lainnya dalam proses perkalian.

∃ 1 ∈ Q∀ sebuah∈ Q⋅ 1=a

12. Kehadiran timbal balik. Setiap bilangan rasional selain nol memiliki bilangan rasional terbalik, dikalikan dengan yang kita dapatkan 1 .

∀ sebuah∈ Q∃ a−1∈ Q⋅ a−1=1

13. Distribusi perkalian terhadap penjumlahan. Operasi perkalian berhubungan dengan penjumlahan menggunakan hukum distribusi:

∀ a,b,c∈ T(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Koneksi relasi order dengan operasi penjumlahan. Bilangan rasional yang sama ditambahkan ke ruas kiri dan kanan pertidaksamaan rasional.

∀ a,b,c∈ Q a ⇒ a+c

15. Koneksi relasi orde dengan operasi perkalian. Ruas kiri dan kanan pertidaksamaan rasional dapat dikalikan dengan bilangan rasional non-negatif yang sama.

∀ a,b,c∈ Qc>0∧ sebuah ⇒ sebuah⋅ c ⋅ c

16. Aksioma Archimedes. Berapapun bilangan rasionalnya sebuah, mudah untuk mengambil begitu banyak unit sehingga jumlahnya akan lebih besar sebuah.

Topik bilangan rasional cukup luas. Anda dapat membicarakannya tanpa henti dan menulis seluruh karya, setiap kali dikejutkan oleh chip baru.

Untuk menghindari kesalahan di masa depan, dalam pelajaran ini kita akan mempelajari sedikit topik bilangan rasional, menarik informasi yang diperlukan darinya dan melanjutkan.

Isi pelajaran

Apa itu bilangan rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan, dimana sebuah - adalah pembilang pecahan b adalah penyebut pecahan. Dan b tidak boleh nol, karena pembagian dengan nol tidak diperbolehkan.

Bilangan rasional termasuk kategori bilangan berikut:

• bilangan bulat (misalnya -2, -1, 0 1, 2, dll.)

• pecahan desimal (misalnya 0,2 dst.)

• pecahan periodik tak terbatas (misalnya, 0, (3), dll.)

Setiap angka dalam kategori ini dapat direpresentasikan sebagai pecahan.

Contoh 1 Bilangan bulat 2 dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Jadi angka 2 tidak hanya berlaku untuk bilangan bulat, tetapi juga untuk bilangan rasional.

Contoh 2 Bilangan campuran dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Pecahan ini diperoleh dengan mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa.

Jadi bilangan campuran adalah bilangan rasional.

Contoh 3 Desimal 0,2 dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Pecahan ini diperoleh dengan mengubah pecahan desimal 0,2 menjadi pecahan biasa. Jika Anda mengalami kesulitan pada saat ini, ulangi topik tersebut.

Karena pecahan desimal 0,2 dapat direpresentasikan sebagai pecahan, itu berarti bahwa itu juga berlaku untuk bilangan rasional.

Contoh 4 Pecahan periodik tak terbatas 0, (3) dapat direpresentasikan sebagai pecahan . Pecahan ini diperoleh dengan mengubah pecahan periodik murni menjadi pecahan biasa. Jika Anda mengalami kesulitan pada saat ini, ulangi topik tersebut.

Karena pecahan periodik tak hingga 0, (3) dapat direpresentasikan sebagai pecahan, itu berarti ia juga termasuk bilangan rasional.

Di masa depan, semua angka yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan, kami akan semakin memanggil satu frasa - angka rasional.

Bilangan rasional pada garis koordinat

Kami mempertimbangkan garis koordinat ketika kami mempelajari bilangan negatif. Ingatlah bahwa ini adalah garis lurus di mana banyak titik terletak. Sebagai berikut:

Gambar ini menunjukkan fragmen kecil dari garis koordinat dari 5 hingga 5.

Tidak sulit untuk menandai bilangan bulat dari bentuk 2, 0, 3 pada garis koordinat.

Hal-hal jauh lebih menarik dengan sisa angka: dengan pecahan biasa, bilangan campuran, pecahan desimal, dll. Angka-angka ini terletak di antara bilangan bulat dan ada banyak dari angka-angka ini.

Sebagai contoh, mari kita tandai bilangan rasional pada garis koordinat. Angka ini persis antara nol dan satu.

Mari kita coba memahami mengapa pecahan tiba-tiba berada di antara nol dan satu.

Seperti disebutkan di atas, di antara bilangan bulat terletak angka lain - pecahan biasa, pecahan desimal, bilangan campuran, dll. Misalnya, jika Anda meningkatkan bagian garis koordinat dari 0 menjadi 1, Anda dapat melihat gambar berikut:

Dapat dilihat bahwa di antara bilangan bulat 0 dan 1 sudah ada bilangan rasional lain, yang merupakan pecahan desimal yang akrab bagi kita. Pecahan kita juga terlihat di sini, yang terletak di tempat yang sama dengan pecahan desimal 0,5. Pemeriksaan yang cermat terhadap gambar ini memberikan jawaban atas pertanyaan mengapa pecahan itu terletak persis di sana.

Pecahan berarti membagi 1 dengan 2. Dan jika kita membagi 1 dengan 2, maka kita mendapatkan 0,5

Pecahan desimal 0,5 dapat disamarkan sebagai pecahan lainnya. Dari sifat dasar suatu pecahan, kita mengetahui bahwa jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama, maka nilai pecahan tidak akan berubah.

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan dengan bilangan apa saja, misalnya dengan angka 4, maka kita mendapatkan pecahan baru, dan pecahan ini juga sama dengan 0,5

Artinya, pada garis koordinat, pecahan dapat ditempatkan di tempat yang sama dengan tempat pecahan itu berada

Contoh 2 Mari kita coba menandai bilangan rasional pada koordinat. Angka ini terletak persis di antara angka 1 dan 2

Nilai pecahannya adalah 1,5

Jika kita memperbesar bagian garis koordinat dari 1 menjadi 2, maka kita akan melihat gambar berikut:

Dapat dilihat bahwa di antara bilangan bulat 1 dan 2 sudah ada bilangan rasional lainnya, yang merupakan pecahan desimal yang akrab bagi kita. Pecahan kita juga terlihat di sini, yang terletak di tempat yang sama dengan pecahan desimal 1,5.

Kami meningkatkan segmen tertentu pada garis koordinat untuk melihat sisa angka yang terletak di segmen ini. Hasilnya, kami menemukan pecahan desimal yang memiliki satu digit setelah titik desimal.

Tapi ini bukan satu-satunya angka yang terletak di segmen ini. Ada banyak bilangan tak terhingga yang terletak pada garis koordinat.

Mudah ditebak bahwa di antara pecahan desimal yang memiliki satu angka di belakang koma, sudah ada pecahan desimal lain yang memiliki dua angka di belakang koma. Dengan kata lain, seperseratus segmen.

Sebagai contoh, mari kita coba melihat bilangan yang terletak di antara pecahan desimal 0,1 dan 0,2

Contoh lain. Pecahan desimal yang memiliki dua digit setelah titik desimal dan terletak di antara nol dan bilangan rasional 0,1 terlihat seperti ini:

Contoh 3 Kami menandai bilangan rasional pada garis koordinat. Bilangan rasional ini akan sangat mendekati nol.

Nilai pecahannya adalah 0,02

Jika kita meningkatkan segmen dari 0 menjadi 0,1, kita akan melihat di mana tepatnya bilangan rasional berada

Dapat dilihat bahwa bilangan rasional kita terletak di tempat yang sama dengan pecahan desimal 0,02.

Contoh 4 Mari kita tandai bilangan rasional 0 pada garis koordinat, (3)

Bilangan rasional 0, (3) adalah pecahan periodik tak hingga. Bagian pecahannya tidak pernah berakhir, itu tidak terbatas

Dan karena angka 0, (3) memiliki bagian pecahan tak hingga, ini berarti kita tidak akan dapat menemukan tempat yang tepat pada garis koordinat tempat angka ini berada. Kami hanya dapat menunjukkan tempat ini kira-kira.

Bilangan rasional 0,333333… akan sangat dekat dengan desimal biasa 0,3

Angka ini tidak menunjukkan lokasi pasti dari angka 0,(3). Ini hanyalah ilustrasi yang menunjukkan seberapa dekat pecahan periodik 0.(3) dengan desimal biasa 0,3.

Contoh 5 Kami menandai bilangan rasional pada garis koordinat. Bilangan rasional ini akan terletak di tengah antara angka 2 dan 3

Ini adalah 2 (dua bilangan bulat) dan (satu detik). Pecahan juga disebut "setengah". Oleh karena itu, kami menandai dua segmen utuh dan setengah segmen lainnya pada garis koordinat.

Jika kita menerjemahkan bilangan campuran menjadi pecahan biasa, kita mendapatkan pecahan biasa. Pecahan ini pada garis koordinat akan ditempatkan di tempat yang sama dengan pecahan

Nilai pecahannya adalah 2,5

Jika kita memperbesar bagian garis koordinat dari 2 menjadi 3, maka kita akan melihat gambar berikut:

Dapat dilihat bahwa bilangan rasional kita terletak di tempat yang sama dengan pecahan desimal 2,5

Dikurangi sebelum bilangan rasional

Dalam pelajaran sebelumnya, yang disebut, kita belajar bagaimana membagi bilangan bulat. Dividen dan pembagi bisa berupa angka positif dan negatif.

Pertimbangkan ekspresi paling sederhana

(−6) : 2 = −3

Dalam ekspresi ini, dividen (−6) adalah angka negatif.

Sekarang perhatikan ekspresi kedua

6: (−2) = −3

Di sini, pembagi (−2) sudah menjadi bilangan negatif. Tetapi dalam kedua kasus kami mendapatkan jawaban yang sama -3.

Mengingat bahwa pembagian apa pun dapat ditulis sebagai pecahan, kita juga dapat menulis contoh yang dibahas di atas sebagai pecahan:

Dan karena dalam kedua kasus nilai pecahannya sama, kedudukan minus baik di pembilang atau penyebut dapat disamakan dengan meletakkannya di depan pecahan

Oleh karena itu, antara ekspresi dan dan Anda dapat menempatkan tanda sama dengan, karena mereka membawa nilai yang sama

Di masa depan, bekerja dengan pecahan, jika kita menemukan minus di pembilang atau penyebut, kita akan membuat minus ini umum, meletakkannya di depan pecahan.

Bilangan rasional berlawanan

Seperti bilangan bulat, bilangan rasional memiliki bilangan lawannya.

Misalnya, untuk bilangan rasional, lawannya adalah . Letaknya pada garis koordinat secara simetris terhadap lokasi relatif terhadap titik asal. Dengan kata lain, kedua bilangan ini berjarak sama dari titik asal

Ubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa

Kita tahu bahwa untuk mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa, Anda perlu mengalikan bagian bilangan bulat dengan penyebut bagian pecahan dan menambahkan pembilang bagian pecahan. Angka yang dihasilkan akan menjadi pembilang pecahan baru, sedangkan penyebutnya tetap sama.

Misalnya, mari kita ubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa

Kalikan bagian bilangan bulat dengan penyebut bagian pecahan dan tambahkan pembilang bagian pecahan:

Mari kita hitung ekspresi ini:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Angka 5 yang dihasilkan akan menjadi pembilang pecahan baru, dan penyebutnya akan tetap sama:

Seluruh proses ditulis sebagai berikut:

Untuk mengembalikan nomor campuran asli, cukup memilih bagian bilangan bulat dalam pecahan

Tetapi cara mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa ini hanya berlaku jika bilangan campurannya positif. Untuk bilangan negatif, cara ini tidak akan berhasil.

Mari kita pertimbangkan pecahan. Mari kita ambil bagian bilangan bulat dari pecahan ini. Mendapatkan

Untuk mengembalikan pecahan asli, Anda perlu mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa. Tetapi jika kita menggunakan aturan lama, yaitu mengalikan bagian bilangan bulat dengan penyebut bagian pecahan dan menambahkan pembilang bagian pecahan ke angka yang dihasilkan, maka kita mendapatkan kontradiksi berikut:

Kami mendapat pecahan, tapi kami seharusnya menerima pecahan.

Kami menyimpulkan bahwa nomor campuran diterjemahkan secara tidak benar ke dalam pecahan yang tidak tepat

Untuk menerjemahkan angka campuran negatif dengan benar menjadi pecahan yang tidak wajar, Anda perlu mengalikan bagian bilangan bulat dengan penyebut bagian pecahan, dan dari angka yang dihasilkan mengurangi pembilang pecahan. Dalam hal ini, semuanya akan jatuh pada tempatnya

Bilangan campuran negatif adalah kebalikan dari bilangan campuran. Jika bilangan campuran positif terletak di sisi kanan dan terlihat seperti ini

Angka rasional

perempat

1. Ketertiban. sebuah dan b ada aturan yang memungkinkan Anda untuk mengidentifikasi secara unik di antara mereka satu dan hanya satu dari tiga hubungan: “< », « >' atau ' = '. Aturan ini disebut aturan pemesanan dan dirumuskan sebagai berikut: dua bilangan non-negatif dan dihubungkan oleh hubungan yang sama sebagai dua bilangan bulat dan ; dua bilangan bukan positif sebuah dan b terkait dengan hubungan yang sama sebagai dua angka non-negatif dan ; jika tiba-tiba sebuah non-negatif, dan b- negatif, maka sebuah > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   penjumlahan pecahan

2. operasi penambahan. Untuk sembarang bilangan rasional sebuah dan b ada yang disebut aturan penjumlahan c. Namun, nomor itu sendiri c ditelepon jumlah angka sebuah dan b dan dilambangkan , dan proses menemukan bilangan tersebut disebut penjumlahan. Aturan penjumlahan memiliki bentuk sebagai berikut: .
3. operasi perkalian. Untuk sembarang bilangan rasional sebuah dan b ada yang disebut aturan perkalian, yang menempatkan mereka dalam korespondensi dengan beberapa bilangan rasional c. Namun, nomor itu sendiri c ditelepon kerja angka sebuah dan b dan dilambangkan , dan proses menemukan bilangan tersebut juga disebut perkalian. Aturan perkaliannya adalah sebagai berikut: .
4. Transitivitas relasi orde. Untuk setiap rangkap tiga bilangan rasional sebuah , b dan c jika sebuah lebih kecil b dan b lebih kecil c, kemudian sebuah lebih kecil c, dan jika sebuah sama dengan b dan b sama dengan c, kemudian sebuah sama dengan c. 6435">Komutatifitas penjumlahan. Jumlahnya tidak berubah dari perubahan tempat suku-suku rasional.
5. Asosiatif penjumlahan. Urutan penambahan tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
6. Kehadiran nol. Ada bilangan rasional 0 yang mempertahankan setiap bilangan rasional lainnya ketika dijumlahkan.
7. Kehadiran angka yang berlawanan. Setiap bilangan rasional memiliki bilangan rasional yang berlawanan, yang jika dijumlahkan menghasilkan 0.
8. Komutatifitas perkalian. Dengan mengubah tempat faktor rasional, produk tidak berubah.
9. Asosiatif perkalian. Urutan perkalian tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
10. Kehadiran satu kesatuan. Ada bilangan rasional 1 yang mempertahankan setiap bilangan rasional lainnya ketika dikalikan.
11. Kehadiran timbal balik. Setiap bilangan rasional memiliki bilangan rasional terbalik, yang, ketika dikalikan, menghasilkan 1.
12. Distribusi perkalian terhadap penjumlahan. Operasi perkalian konsisten dengan operasi penjumlahan melalui hukum distribusi:
13. Koneksi relasi order dengan operasi penjumlahan. Bilangan rasional yang sama dapat ditambahkan ke ruas kiri dan kanan pertidaksamaan rasional. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Aksioma Archimedes. Berapapun bilangan rasionalnya sebuah, Anda dapat mengambil begitu banyak unit sehingga jumlahnya akan melebihi sebuah. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Properti tambahan

Semua sifat-sifat lain yang melekat pada bilangan rasional tidak dipilih sebagai sifat dasar, karena, secara umum, mereka tidak lagi didasarkan secara langsung pada sifat-sifat bilangan bulat, tetapi dapat dibuktikan berdasarkan sifat-sifat dasar yang diberikan atau langsung dengan definisi dari beberapa objek matematika. Ada banyak properti tambahan seperti itu. Masuk akal di sini untuk mengutip hanya beberapa dari mereka.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Setel keterhitungan

Penomoran bilangan rasional

Untuk memperkirakan jumlah bilangan rasional, Anda perlu menemukan kardinalitas himpunannya. Sangat mudah untuk membuktikan bahwa himpunan bilangan rasional dapat dihitung. Untuk melakukan ini, cukup memberikan algoritma yang menghitung bilangan rasional, yaitu, menetapkan bijeksi antara himpunan bilangan rasional dan bilangan asli.

Yang paling sederhana dari algoritma ini adalah sebagai berikut. Sebuah tabel tak terbatas dari pecahan biasa dikompilasi, pada masing-masing saya-baris ke-th di masing-masing j kolom ke- merupakan pecahan. Untuk kepastian, diasumsikan bahwa baris dan kolom tabel ini diberi nomor dari satu. Sel tabel dilambangkan , di mana saya- nomor baris tabel tempat sel berada, dan j- nomor kolom.

Tabel yang dihasilkan dikelola oleh "ular" sesuai dengan algoritma formal berikut.

Aturan-aturan ini dipindai dari atas ke bawah dan posisi berikutnya dipilih berdasarkan pertandingan pertama.

Dalam proses bypass seperti itu, setiap bilangan rasional baru ditetapkan ke bilangan asli berikutnya. Artinya, pecahan 1 / 1 diberi nomor 1, pecahan 2 / 1 - nomor 2, dll. Perlu dicatat bahwa hanya pecahan yang tidak dapat direduksi yang diberi nomor. Tanda formal ireduksibilitas adalah persamaan dengan salah satu pembagi persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebut suatu pecahan.

Mengikuti algoritma ini, seseorang dapat menghitung semua bilangan rasional positif. Ini berarti himpunan bilangan rasional positif dapat dihitung. Sangat mudah untuk menetapkan bijeksi antara himpunan bilangan rasional positif dan negatif, cukup dengan menetapkan lawannya pada setiap bilangan rasional. Itu. himpunan bilangan rasional negatif juga dapat dihitung. Persatuan mereka juga dapat dihitung oleh properti set yang dapat dihitung. Himpunan bilangan rasional juga dapat dihitung sebagai gabungan dari himpunan yang dapat dihitung dengan yang terbatas.

Pernyataan tentang keterhitungan himpunan bilangan rasional dapat menyebabkan beberapa kebingungan, karena pada pandangan pertama orang mendapat kesan bahwa itu jauh lebih besar daripada himpunan bilangan asli. Faktanya, ini bukan masalahnya, dan ada cukup banyak bilangan asli untuk menghitung semua bilangan rasional.

Ketidakcukupan bilangan rasional

Hipotenusa segitiga seperti itu tidak dinyatakan oleh bilangan rasional apa pun

Bilangan rasional bentuk 1 / n pada umumnya n jumlah kecil yang sewenang-wenang dapat diukur. Fakta ini menciptakan kesan yang menyesatkan bahwa bilangan rasional dapat mengukur jarak geometris apa pun secara umum. Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa ini tidak benar.

Catatan

literatur

• I. Kusnir. Buku pegangan matematika untuk anak sekolah. - Kyiv: ASTARTA, 1998. - 520 hal.
• P.S. Alexandrov. Pengantar teori himpunan dan topologi umum. - M.: kepala. ed. Fisika.-Matematika. menyala. ed. "Ilmu", 1977
• I. L. Khmelnitsky. Pengantar teori sistem aljabar

Tautan

Yayasan Wikimedia. 2010 .