Ketika kita berpikir tentang memecahkan masalah tertentu, perlu memperhatikan jumlah apa yang digunakan di dalamnya. Seluruh atau pecahan? Positif atau negatif? Bagaimanapun, detail yang tidak penting membantu tidak hanya untuk menghilangkan kesalahan dalam memecahkan masalah tertentu, tetapi juga untuk menemukan solusi itu sendiri. Mari kita lihat ini dengan sebuah contoh.
Biarkan Misha (saya minta maaf sebelumnya jika pengunjung situs adalah Mikhail) memiliki koin lima rubel dan, katakanlah, delapan rubel. Ada total tiga puluh sembilan rubel. Berapa banyak koin lima rubel dan berapa banyak koin delapan rubel yang dimiliki Misha.
Tampaknya tidak ada cukup data di sini, jika, misalnya, x menunjukkan jumlah koin 5-rubel, dan koin y - 8-rubel, maka kondisi masalahnya sendiri memungkinkan kita untuk menulis satu persamaan tunggal:
Persamaan ini dan persamaan lainnya serta sistemnya, di mana jumlah yang tidak diketahui melebihi jumlah persamaan, disebut tak tentu.
Hal ini dapat dilihat dari kondisi bahwa jumlah koin tidak dapat diukur dengan angka non-bilangan bulat atau negatif. Jadi, jika x adalah bilangan bulat non-negatif, maka:
harus non-negatif dan bilangan bulat. Ini berarti bahwa ekspresi 39 - 5x harus habis dibagi 8. Dengan bantuan seleksi, Anda dapat memastikan bahwa ini mungkin dengan x = 3. Oleh karena itu, y = 3.
Pencacahan opsi tidak nyaman ketika kita bekerja dengan jumlah besar. Jauh lebih baik menggunakan metode hamburan atau metode keturunan, yang ditemukan oleh ahli matematika India kuno. Metode penurunan akan dibahas di bawah ini.
(materi diambil dari ensiklopedia Avanta+ "Matematika")Mari kita lanjutkan pembahasan persamaan tak tentu dalam bentuk:
di mana a, b, c diketahui koefisien bilangan bulat.
Mari kita lihat ini dengan contoh yang familiar:
Kami memilih yang tidak diketahui dengan koefisien terkecil dan mengungkapkannya dalam hal lain yang tidak diketahui:
Sekarang mari kita pilih seluruh bagian:
Bilangan bulat akan menjadi bilangan bulat jika nilai (4 - 3y) / 5 ternyata bilangan bulat. Ini hanya mungkin jika bilangan (4 - 3y) habis dibagi 5 tanpa sisa. Dengan memasukkan variabel integer tambahan z, kita tulis kondisi terakhir dalam bentuk
Kami telah sampai pada persamaan dengan tipe yang sama dengan persamaan aslinya, tetapi dengan koefisien yang lebih kecil. Sekarang Anda perlu menyelesaikannya sehubungan dengan variabel y dan z.
Kami terus bertindak dengan prinsip yang sama:
Agar y menjadi bilangan bulat, angka 1 - 2z harus habis dibagi 3 tanpa sisa: 1 - 2z = 3u (variabel tambahan u telah diperkenalkan lagi, yang hanya mengambil nilai bilangan bulat) . Dari sini, sesuai dengan skema yang sudah dikerjakan, kami mendapatkan:
Mari kita lanjutkan... Angka z akan menjadi bilangan bulat jika angka 1 - u habis dibagi 2 tanpa sisa: 1 - u = 2v, di mana v adalah bilangan bulat arbitrer. Oleh karena itu u =1 - 2v. Tidak ada tembakan lagi, penurunan sudah berakhir.
Sekarang tetap aman "untuk bangkit." Mari kita nyatakan dalam variabel v pertama z, lalu y, dan akhirnya x:
Rumus x = 3 + 8v, y = 3 - 5v mewakili solusi umum dari persamaan asli dalam bilangan bulat. Dan jika kita hanya tertarik pada bilangan bulat non-negatif, maka di antara semua solusi bilangan bulat kita harus memilih solusi yang
Memecahkan persamaan ini berarti:
1) menentukan set nilai yang dapat diterima dari yang tidak diketahui dan parameter;
2) untuk setiap sistem nilai parameter yang dapat diterima, temukan himpunan solusi persamaan yang sesuai.
Persamaan paling sederhana dari derajat pertama dengan satu yang tidak diketahui memiliki bentuk ax-b=0.
Ketika persamaan memiliki solusi unik, yang akan menjadi: positif, jika atau; nol jika; negatif jika atau.
Jika a=0, maka ada banyak solusi untuk b=0, dan tidak ada solusi untuk b0.
Contoh 1. Untuk setiap nilai a, selesaikan persamaannya; temukan yang dan akarnya lebih besar dari nol.
Persamaan ini bukan persamaan linier (yaitu pecahan), tetapi untuk x-1 dan x0 diturunkan menjadi ini: atau a-1-x=0.
Kami telah mengidentifikasi nilai yang diizinkan dari x (x-1 dan x0), sekarang kami akan mengungkapkan nilai yang diizinkan dari parameter a:
a-1-x=0 a=x+1
Dari sini dapat dilihat bahwa pada x0 a1, dan pada x-1 a0.
Jadi, untuk a1 dan a0 x=a-1 dan akar ini lebih besar dari nol untuk a>1.
Jawaban: di<0 х=а-1; при решений нет, а при a>1 akar positif.
Contoh 2. Selesaikan persamaan (1).
Nilai k dan x yang valid akan menjadi nilai yang.
Mari kita bawa persamaan ke bentuk paling sederhana:
(9 - k)x =3k-12 (2)
Mari kita cari k yang persamaan aslinya tidak masuk akal:
Substitusi ke (2) , kita peroleh:
Jika kita mengganti, kita mendapatkan yang sama.
Jadi, pada , Persamaan (1) tidak memiliki arti numerik, yaitu, adalah nilai parameter k yang tidak valid untuk (1). Pada , kita hanya dapat menyelesaikan persamaan (2).
1. Jika, maka persamaan (2) dan persamaan (1) memiliki solusi unik, yaitu:
a) positif jika, pada 4 b) nol jika; c) negatif jika dan k>9, dengan mempertimbangkan Kami menerima. 2. Jika, maka persamaan (2) tidak memiliki solusi. Jawaban: a) untuk dan, dan x>0 untuk; x=0 untuk k=4; x<0 при; b) di , persamaan tidak memiliki solusi. Untuk memulainya, perlu diingat apa modulus suatu bilangan. Jadi, nilai mutlak atau modulus suatu bilangan adalah bilangan x itu sendiri, jika x positif, bilangan (-x), jika x negatif, atau nol, jika x = 0. Nilai modulus hanya bisa positif. Untuk memahami solusi persamaan parametrik yang mengandung tanda modulus, yang terbaik adalah mendemonstrasikan solusi secara visual, mis. berikan contoh: Contoh 1. Selesaikan persamaan |x-2|=b. Karena, menurut definisi modul, |x-2|, maka untuk b<0 данное уравнение решений не имеет. Если b=0, то уравнение имеет решение х=2. Jika b>0, maka solusi persamaan tersebut adalah bilangan x=2+b dan x=2-b. Jawaban: untuk b<0 решений нет, при b=0 х=2, при b>0 x=2+b dan x=2-b. Contoh 2. Selesaikan persamaan |x-a|=|x-4|. Paling mudah untuk menyelesaikan persamaan ini dengan metode interval, untuk dua kasus: 1. Interval pertama: Interval kedua: Itu. jika sebuah<4, то. Interval ketiga: a=4, yaitu jika a=4, maka 2. Interval pertama: Interval kedua: a>4, yaitu jika 4<а, то Interval ketiga: Jawaban: dengan \u003d 4 x-any;, dengan a<4 . Contoh 3. Untuk setiap nilai parameter a, cari semua nilai x yang memenuhi persamaan |x+3|- a| x - 1| =4. Pertimbangkan 3 interval: 1) , 2) , 3) dan selesaikan persamaan asli pada setiap interval. Untuk a=1, persamaan tidak memiliki solusi, tetapi untuk a1, persamaan memiliki akar. Sekarang kita perlu mencari tahu di mana x jatuh pada interval x< - 3, т.е. , . Следовательно, исходное уравнение на x< - 3 имеет один корень при, а на остальных а корней не имеет. Ketika a = - 1, solusi persamaannya adalah sembarang x; tapi kami memutuskan di antara. Jika a1, maka persamaan memiliki satu akar x=1. Untuk a=1, solusinya adalah bilangan berapa pun, tetapi kami memutuskan. Jika a1, maka x=1. Jawaban: di; pada a= - 1 dan pada a1 x=1; untuk a=1 dan untuk a1 x=1. Pertama-tama, izinkan saya mengingatkan Anda bahwa persamaan kuadrat adalah persamaan bentuk, di mana a, b dan c adalah angka, apalagi, a0. Kondisi persamaan kuadrat parametrik bisa berbeda, tetapi untuk solusi semuanya perlu menerapkan sifat-sifat persamaan kuadrat biasa: a) Jika D>0, a>0, maka persamaan mempunyai dua akar real yang berbeda, tanda untuk c>0 sama dan berlawanan tanda dengan koefisien b, dan untuk c<0, причем по абсолютной величине больше тот, знак которого противоположен коэффициенту b. b) Jika D=0, a>0, maka persamaan memiliki dua akar real dan sama besar, yang tandanya berlawanan dengan tanda koefisien b. c) Jika D<0, а>0, maka persamaan tersebut tidak memiliki akar real. Demikian pula, seseorang dapat mewakili sifat-sifat akar untuk a<0. Кроме того, в квадратных уравнениях справедливы следующие утверждения: 1. Jika Anda menukar koefisien a dan c, maka akar persamaan kuadrat yang dihasilkan akan terbalik dengan akar persamaan ini. 2. Jika Anda mengubah tanda koefisien b, akar persamaan kuadrat yang dihasilkan akan berlawanan dengan akar persamaan ini. 3. Jika koefisien a dan c berbeda tanda, maka persamaan tersebut memiliki akar-akar real. Contoh 1. Temukan semua nilai parameter a yang persamaan kuadratnya: a) memiliki dua akar berbeda; b) tidak memiliki akar; c.memiliki dua akar yang sama Persamaan ini kuadrat dengan syarat, jadi a-1. Pertimbangkan diskriminan dari persamaan ini: Untuk a>-1, persamaan memiliki dua akar yang berbeda, karena D>0, untuk a<-1 уравнение корней не имеет, т.к. D<0, а двух одинаковых корней это уравнение иметь не может, т.к. D=0 при а=-1, а это противоречит условию задачи. Contoh2. selesaikan persamaannya Untuk a=0, persamaannya adalah linear 2x+1=0, yang memiliki solusi unik x=-0,5. Dan pada a0, persamaannya adalah kuadratik dan diskriminannya adalah D=4-4a. Untuk a>1 D<0 поэтому уравнение корней не имеет. При а=1 D=0, поэтому уравнение имеет два совпадающих корня =-1. Untuk sebuah<1, но а0, D>0 dan persamaan ini memiliki dua akar yang berbeda Jawaban: dan untuk a<1, но а0; х=-0.5 при а=0; =-1 при а=1. Contoh3. Akar-akar persamaan sedemikian rupa sehingga. Menemukan sebuah. Menurut teorema Vieta dan. Mari kita kuadratkan kedua bagian persamaan pertama: . Mengingat bahwa, a, kita mendapatkan: atau, . Cek menunjukkan bahwa semua nilai memenuhi kondisi. Rumus kekuatan digunakan dalam proses mereduksi dan menyederhanakan ekspresi kompleks, dalam memecahkan persamaan dan pertidaksamaan. Nomor c adalah n-kekuatan suatu bilangan sebuah Kapan: Operasi dengan derajat. 1. Mengalikan derajat dengan basis yang sama, indikatornya bertambah: sayaa n = a m + n . 2. Dalam pembagian derajat dengan basis yang sama, indikatornya dikurangi: 3. Derajat perkalian 2 faktor atau lebih sama dengan perkalian derajat faktor-faktor tersebut: (abc…) n = a n b n c n … 4. Derajat pecahan sama dengan rasio derajat pembagian dan pembagi: (a/b) n = a n / b n . 5. Menaikkan pangkat ke pangkat, eksponen dikalikan: (am) n = a m n . Setiap rumus di atas benar dalam arah dari kiri ke kanan dan sebaliknya. Sebagai contoh. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4. Operasi dengan akar. 1. Akar perkalian beberapa faktor sama dengan hasil perkalian akar-akar faktor ini: 2. Akar rasio sama dengan rasio bagi hasil dan pembagi akar: 3. Saat menaikkan akar ke pangkat, cukup menaikkan nomor akar ke pangkat ini: 4. Jika kita meningkatkan derajat akar dalam n sekali dan pada saat yang sama naik ke n th power adalah nomor root, maka nilai root tidak akan berubah: 5. Jika kita menurunkan derajat akar di n root pada saat yang sama n derajat th dari bilangan radikal, maka nilai akar tidak akan berubah: Gelar dengan eksponen negatif. Derajat bilangan tertentu dengan eksponen non-positif (bilangan bulat) didefinisikan sebagai satu dibagi dengan derajat bilangan yang sama dengan eksponen yang sama dengan nilai absolut dari eksponen non-positif: Rumus saya:a n = a m - n dapat digunakan tidak hanya untuk m> n, tetapi juga di m< n. Sebagai contoh. sebuah4:a 7 = a 4 - 7 = a -3. Untuk merumuskan saya:a n = a m - n menjadi adil di m=n, Anda membutuhkan kehadiran derajat nol. Gelar dengan eksponen nol. Kekuatan dari setiap angka bukan nol dengan eksponen nol sama dengan satu. Sebagai contoh. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Gelar dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan bilangan asli sebuah sampai tingkat tertentu M N, Anda perlu mengekstrak root n derajat dari m kekuatan nomor ini sebuah. 137. Tugas. Telah ditemukan dari pengalaman bahwa batangan perak dan tembaga seberat 148 kg kehilangan 14 2/3 kg dalam air. Tentukan berapa banyak perak dan berapa banyak tembaga di dalamnya, jika diketahui bahwa 21 kg perak kehilangan 2 kg dalam air, dan 9 kg tembaga kehilangan 1 kg. Asumsikan bahwa ingot ini mengandung perak X
kg, dan tembaga pada
kg. Maka satu persamaan menjadi: x + y
=148
. Untuk menyusun persamaan lain, mari kita pertimbangkan bahwa jika 21 kg perak kehilangan 2 kg beratnya dalam air, maka ini berarti bahwa 1 kg perak kehilangan 2/21 kg dalam air. Kemudian X
kg harus hilang dalam air 2 / 21 X
berat kg. Demikian pula, jika 9 kg tembaga kehilangan 1 kg dalam air, ini berarti 1 kg tembaga kehilangan 1/9 kg; Akibatnya, pada
kg tembaga kehilangan 1 / 9 pada
kg. Jadi persamaan kedua adalah: 2 / 21 X
+ 1 / 9 pada
= 14 2 / 3 Dengan demikian kami memperoleh dua persamaan dengan 2 tidak diketahui: x + y
=148
dan 2
/ 21 X + 1 / 9 pada = 14 2 /
3
= 44 /
3
Persamaan kedua dapat disederhanakan dengan membebaskannya dari pecahan. Untuk melakukan ini, kami mengurangi semua pecahan menjadi satu penyebut: 6
/ 63 X + 7 / 63 pada = 924 /
63
Sekarang kalikan kedua ruas persamaan dengan 63; kita mendapatkan persamaan yang setara: x + y
= 924
Kami sekarang memiliki dua persamaan: x + y
=148
dan 6x + 7thn
= 924
Kita dapat menyelesaikan kedua persamaan ini dengan beberapa cara. Misalnya sebagai berikut: dari persamaan pertama kita tentukan X
tergantung pada pada
(dengan kata lain, tentukan X
sebagai fungsi dari pada
): x = 148 - y.
Karena dalam persamaan kedua huruf X
dan pada
berarti angka yang sama seperti pada persamaan pertama, maka kita dapat mengganti persamaan kedua sebagai pengganti X
perbedaan 148 - at
. 6 (148 - tahun) + 7 tahun
= 924
Mari selesaikan persamaan ini dengan satu yang tidak diketahui: 888 - 6 tahun + 7 tahun \u003d 924; y \u003d 924 - 888 \u003d 36.
Kemudian x \u003d 148 - 36 \u003d 112.
Jadi, ingot ini mengandung 112
kg perak dan 36
kg tembaga. 138. Bentuk normal persamaan derajat pertama dengan dua yang tidak diketahui. Ambil contoh persamaan dengan 2 yang tidak diketahui: 2 (2x + 3y - 5) = 5 / 8 (x + 3) + 3 / 4 (y - 4).
Untuk menyederhanakan persamaan ini, kita akan membuat deret transformasi yang sama di dalamnya, yang ditunjukkan sebelumnya untuk persamaan dengan 1 yang tidak diketahui, yaitu. 1) Perluas tanda kurung: 4x + 6y - 10 = 5/8 x + 15/8 + 3/4 y - 3
2) Singkirkan penyebut dengan mengalikan semua suku dengan 8
: 32x + 48y - 80 = 5x + 15 + 6y - 24
3) Kami mentransfer istilah yang tidak diketahui ke satu bagian persamaan, dan yang diketahui ke yang lain: 32x + 48y -5x - 6y = 15 - 24 + 80
4) Mari kita buat pengurangan anggota serupa: 27x + 42y = 71.
Jadi, setelah transformasi ini, persamaan ini menjadi bentuk di mana hanya ada dua suku di sisi kiri persamaan: satu dengan yang tidak diketahui X
(di tingkat pertama) dan satu lagi dengan yang tidak diketahui pada
(sampai derajat pertama), ruas kanan persamaan hanya terdiri dari satu suku yang tidak mengandung yang tidak diketahui. Koefisien di X
dan pada
bisa ada keduanya positif (seperti dalam contoh yang telah kita ambil), atau keduanya negatif (namun, kasus ini dapat direduksi menjadi yang sebelumnya dengan mengalikan semua suku persamaan dengan - 1), atau satu positif dan yang lainnya negatif; istilah di sisi kanan dapat berupa bilangan positif (seperti dalam contoh ini), atau bilangan negatif, dan bahkan nol. Menyatakan koefisien di X
dan pada
surat-surat sebuah
dan b
dan istilah yang tidak mengandung yang tidak diketahui, dengan huruf Dengan
, kita secara umum dapat mewakili persamaan dengan 2 tidak diketahui dari tingkat 1 sebagai berikut: kapak + oleh = c.
Jenis persamaan ini disebut bentuk normal dari persamaan derajat 1 dengan 2 tidak diketahui. 139. Ketidakpastian satu persamaan dengan 2 tidak diketahui.
Satu persamaan dengan 2 yang tidak diketahui memiliki jumlah akar yang tidak terbatas. Memang, jika untuk salah satu dari beberapa yang tidak diketahui kita menetapkan angka arbitrer dan mengganti angka ini ke dalam persamaan, maka kita akan mendapatkan persamaan dengan hanya satu yang tidak diketahui lainnya; dari persamaan ini seseorang dapat menemukan hal lain yang tidak diketahui ini. Jadi, jika dalam persamaan 3x-2y=-6
kami akan menerimanya y = 2
, maka persamaannya menjadi 3x - 4 = -6
dari mana kita menemukan: 3x = - 2
dan x
= -
2
/
3
. Jadi jika y = 2
, kemudian x
= -
2
/
3
. Sekarang tugaskan ke pada
beberapa nomor lain, misalnya, y = 1
. Kemudian kita mendapatkan 3x-2=-6
, 3x
= - 4
, X
= -1
1
/
3
. Jadi jika y = 1
, kemudian. X
= -1
1
/
3
. Dengan demikian, kita dapat menemukan pasangan solusi sebanyak yang kita inginkan, dan oleh karena itu persamaannya menjadi tak tentu. Ini juga dapat ditampilkan secara grafis. Dari persamaan: 3x-2y=-6
(1) mendefinisikan pada
sebagai fungsi dari X
: Hal ini diperlukan untuk membiasakan diri dengan cepat dan akurat dari persamaan yang diberikan untuk menentukan satu yang tidak diketahui sebagai fungsi dari yang lain yang tidak diketahui. Jadi, untuk menentukan dari persamaan kita pada
sebagai fungsi dari X
, perlu untuk memindahkan istilah secara mental - 2 tahun
ke kanan, dan anggota - 6
ke kiri, lalu atur ulang bagian-bagian persamaan dan bagi dengan 2
; hasil transformasi ini harus ditulis secara langsung. Fungsi ini adalah binomial derajat 1, dan binomial seperti itu digambarkan dalam sumbu koordinat dalam bentuk garis lurus, yang dapat kita bangun dari dua titik (bagian 3 118), misalnya. seperti ini: Koordinat setiap titik dari garis ini memenuhi persamaan (2) dan, oleh karena itu, juga memenuhi persamaan (1); dan karena ada jumlah titik yang tak terbatas pada garis, persamaan (1) memiliki jumlah solusi yang tak terbatas. 140. Sistem persamaan. Merupakan kebiasaan untuk mengatakan bahwa beberapa persamaan membentuk suatu sistem jika dalam semua persamaan ini masing-masing huruf x, y,
. . berarti angka yang sama untuk semua persamaan. Jika, misalnya, dua persamaan: dianggap asalkan surat tersebut X
berarti angka yang sama di kedua persamaan, begitu juga hurufnya pada
, maka persamaan tersebut membentuk suatu sistem. Ini terjadi setiap kali persamaan terdiri dari kondisi masalah yang sama. Kami menunjukkan tiga cara untuk menyelesaikan sistem 2 persamaan derajat 1 dengan 2 tidak diketahui. 141. Metode substitusi. Kami telah menggunakan metode ini1 sebelumnya, ketika kami memecahkan masalah ingot perak dan tembaga (). Mari kita ambil contoh yang lebih kompleks sekarang: 8x - 5y = - 16; 10x + 3y = 17
(kedua persamaan telah direduksi menjadi bentuk normal). Dari satu persamaan, misalnya, dari yang pertama, kami menentukan satu yang tidak diketahui, misalnya, X
, sebagai fungsi lain yang tidak diketahui: Karena persamaan kedua harus memenuhi nilai yang sama dengan yang pertama, kita dapat mensubstitusikannya sebagai ganti X
menemukan ekspresi, dari mana kita memperoleh persamaan dengan satu yang tidak diketahui pada
: Mari kita selesaikan persamaan ini: Kita bisa menentukan dari satu persamaan pada
sebagai fungsi dari X
dan ganti ekspresi yang dihasilkan pada
ke persamaan lain; maka kita akan mendapatkan persamaan dengan yang tidak diketahui X
. Metode ini sangat cocok bila koefisien untuk beberapa yang tidak diketahui adalah 1; maka yang terbaik adalah mendefinisikan yang tidak diketahui ini sebagai fungsi dari yang tidak diketahui lainnya (tidak perlu dibagi dengan faktor), dan seterusnya. Dari persamaan kedua kita menemukan: y \u003d 22-4x.
Maka persamaan pertama memberikan: 3x - 2 (22 - 4x) = 11; 3x -44 + 8x = 11; 11x = 44+ 11 = 55.
x \u003d 55 / 11 \u003d 5; y = 22 - 4 5 = 2.
Aturan. Untuk menyelesaikan sistem dua persamaan dengan 2 yang tidak diketahui dengan metode substitusi, perlu untuk menentukan satu yang tidak diketahui dari beberapa persamaan sebagai fungsi dari yang lain yang tidak diketahui dan mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan lain; ini menghasilkan persamaan dengan satu yang tidak diketahui. Setelah memecahkannya, mereka menemukan ini tidak diketahui. Dengan mengganti nomor yang ditemukan ke dalam ekspresi yang diturunkan sebelumnya untuk yang tidak diketahui pertama, yang tidak diketahui lainnya ini juga ditemukan.
142. Metode penambahan atau pengurangan. Mari kita asumsikan bahwa dalam sistem persamaan tertentu (sebelumnya direduksi menjadi bentuk normal), koefisien untuk beberapa yang tidak diketahui, misalnya, untuk pada
, akan tetap sama. Dalam hal ini, dua kasus mungkin muncul: 1) tanda-tanda di depan koefisien tersebut berbeda dan 2) tanda-tandanya sama. Mari kita pertimbangkan kedua kasus ini secara paralel. Biarkan, misalnya, dua sistem diberikan: Jika kita menjumlahkan suku demi suku persamaan sistem pertama dan mengurangkan suku demi suku persamaan sistem kedua, maka y yang tidak diketahui akan dihilangkan: Di mana: x=5 x=3
Substitusi ke salah satu persamaan ini alih-alih X
nomor yang ditemukan untuk itu, kami menemukan pada
: Mari kita sekarang mengambil sistem di mana koefisiennya berbeda, misalnya. seperti ini: Kami kemudian dapat menyamakan koefisien untuk beberapa yang tidak diketahui, misalnya, untuk X
. Untuk melakukan ini, kami menemukan kelipatan (yang terbaik dari semuanya, yang terkecil) dari koefisien 7 dan 5 (ini akan menjadi 35) dan mengalikan kedua sisi dari setiap persamaan dengan faktor tambahan yang sesuai (seperti yang dilakukan saat mengurangi pecahan menjadi persamaan penyebut): Setelah itu, tinggal menambah atau mengurangi persamaan yang ditransformasikan. Dalam contoh kita, tanda-tanda di depan koefisien X
berbagai; maka persamaannya perlu ditambahkan: Sekarang persamaan pertama memberikan: 7x + 6 2 1/2 = 29; 7x + 15 = 29; 7x = 14; x = 2.
Aturan. Untuk menyelesaikan sistem dua persamaan dengan 2 yang tidak diketahui dengan penambahan atau pengurangan, Anda harus terlebih dahulu menyamakan koefisien di kedua persamaan untuk beberapa yang tidak diketahui, dan kemudian menambahkan kedua persamaan jika tanda di depan koefisien ini berbeda, atau kurangi persamaan jika tanda-tandanya sama.
143. Solusi grafis. Biarkan sistem diberikan: 8x - 5 tahun \u003d - 16; 10x + 3y = 17.
Dari setiap persamaan, kita tentukan pada
sebagai fungsi dari X
: Grafik fungsi-fungsi ini harus berupa garis lurus. Mari kita membangun satu gambar masing-masing dengan dua poin, misalnya, dengan yang berikut ini: dari persamaan...... y = 1 3 / 5 x + 3 1 /
5
: dari persamaan...... y \u003d 5 2 / 3 - 3 1 / 3 x:
Gambar tersebut menunjukkan bahwa dua garis berpotongan di suatu titik yang absisnya sama dengan 1
/
2
, dan ordinatnya 4
. Nilai-nilai ini X
dan pada
, memenuhi kedua persamaan, dan akan menjadi solusi dari sistem ini. Catatan . 1) Jika terjadi bahwa garis-garis yang menyatakan persamaan ini ternyata sejajar dan, oleh karena itu, tidak akan ada titik perpotongannya, maka ini berarti bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar. 2) Kadang-kadang mungkin terjadi bahwa 2 baris bergabung menjadi satu; maka koordinat titik mana pun dari garis ini memenuhi persamaan yang diberikan, dan, oleh karena itu, sistemnya tidak terbatas. 3) Di akhir bagian ke-2 buku ini, diberikan rumus umum untuk menyelesaikan sistem dua persamaan dengan 2 yang tidak diketahui derajat pertama (§ 396 et seq.). Bagian dua. Sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui.
144. Bentuk normal persamaan derajat pertama dengan tiga yang tidak diketahui. Jika dalam persamaan derajat 1 dengan 3 tidak diketahui x, y
dan z
membuat transformasi yang sama yang kami tunjukkan sebelumnya untuk persamaan dengan 1 dan 2 tidak diketahui, maka kami akan membawa persamaan ke bentuk seperti itu (disebut normal), di mana hanya ada tiga suku di sisi kiri persamaan: satu dengan X
, lain dengan pada
dan ketiga dengan z
, dan di sebelah kanan akan ada satu istilah yang tidak mengandung yang tidak diketahui. Sebagai contoh, ini adalah persamaan: 5x - 3y - 4z = -12.
Penampilan umumnya adalah sebagai berikut: ax + by + cz = d,
di mana a, b, c
dan d
beberapa angka relatif. 145. Ketidakpastian dua dan satu persamaan dengan tiga yang tidak diketahui. Misalkan kita diberikan sistem 2 persamaan dengan 3 tidak diketahui: 5x-3y + z = 2; 2x + y-z = 6.
Tetapkan satu yang tidak diketahui, mis. z
, beberapa nomor arbitrer, menempatkan 1, dan mengganti nomor ini di tempat z
: Dengan demikian kami memperoleh sistem 2 persamaan dengan 2 tidak diketahui. Memecahkannya dalam beberapa cara, kami menemukan: x=2, y=3
; karenanya, sistem dengan 3 yang tidak diketahui ini dipenuhi untuk x = 2
, y = 3
dan z=1
. Mari kita beri nilai lain z yang tidak diketahui, misalnya. z = 0
, dan substitusikan nilai ini ke dalam persamaan berikut: 5x-3y = 2; 2x + y = 6.
Kami kembali mendapatkan sistem 2 persamaan dengan 2 tidak diketahui. Memecahkannya dalam beberapa cara, kami menemukan: x
= 20
/
11
= 1
9
/
11
kamu
= 2
4
/
11
Ini berarti bahwa sistem ini puas ketika x
= 1
9
/
11
kamu
= 2
4
/
11
dan z = 0
. Menunjuk untuk z
beberapa nilai (ketiga) lainnya, kami kembali mendapatkan sistem 2 persamaan dengan 2 tidak diketahui, dari mana kami menemukan nilai baru untuk X
dan pada
. Sejak z
kita dapat menetapkan nomor yang berbeda sebanyak yang kita suka, maka untuk X
dan pada
kita bisa mendapatkan sejumlah nilai (sesuai dengan nilai yang diambil z
). Oleh karena itu, 2 persamaan dengan 3 tidak diketahui memiliki jumlah solusi yang tak terbatas; dengan kata lain, sistem seperti itu tidak tentu. Akan ada ketidakpastian yang lebih besar lagi jika hanya ada 1 persamaan dengan 3 yang tidak diketahui. Maka dimungkinkan untuk menetapkan nomor arbitrer untuk beberapa 2 yang tidak diketahui; yang tidak diketahui ketiga ditemukan dari persamaan ini jika kita mengganti ke dalamnya nilai-nilai yang diambil secara sewenang-wenang untuk dua yang tidak diketahui. 146. Sistem 3 persamaan dengan 3 tidak diketahui. Untuk dapat menemukan nilai numerik yang pasti untuk tiga yang tidak diketahui x, y
dan z
, perlu diberikan sistem 3 persamaan. Sistem seperti itu dapat diselesaikan dengan metode substitusi, serta dengan metode penambahan atau pengurangan persamaan. Kami akan menunjukkan penerapan metode ini dalam contoh berikut (setiap persamaan sebelumnya direduksi menjadi bentuk normal): 147. Metode substitusi. Dari beberapa persamaan, misalnya, dari yang pertama, kami menentukan satu yang tidak diketahui, misalnya, X,
sebagai fungsi dari dua yang tidak diketahui lainnya: Karena dalam semua persamaan X
berarti angka yang sama, maka kita dapat mengganti ekspresi yang ditemukan di tempat X
ke persamaan lainnya: Dengan demikian, kita sampai pada sistem 2 persamaan dengan 2 yang tidak diketahui pada
dan z
. Setelah memecahkan sistem ini dengan salah satu metode yang ditunjukkan sebelumnya, kami akan menemukan nilai numerik untuk pada
dan G
. Dalam contoh kita, ini akan menjadi nilai: y=3, z=2
; mengganti angka-angka ini ke dalam ekspresi yang kita peroleh untuk X
, mari temukan yang tidak diketahui ini: Dengan demikian, sistem yang diusulkan memiliki solusi x=1, y=3, z=2
(yang dapat diverifikasi dengan verifikasi). 148. Metode penambahan atau pengurangan. Dari 3 persamaan yang diberikan, kita ambil dua, misalnya. 1 dan 2, dan, setelah menyamakan koefisien di dalamnya sebelum yang tidak diketahui, misalnya, sebelumnya z
, kami mengecualikan dari mereka yang tidak diketahui ini dengan metode penambahan atau pengurangan; dari ini kita mendapatkan satu persamaan dengan 2 tidak diketahui X
dan pada
. Kemudian, mari kita ambil dua persamaan lain dari 3 data, misalnya. 1 dan 3 (atau 2 dan 3), dan dengan cara yang sama kami mengecualikan dari mereka yang tidak diketahui yang sama, yaitu. z
; dari ini kita mendapatkan persamaan lain dengan X
dan pada
: Kami memecahkan dua persamaan yang dihasilkan: x=1, y=3
. Kami memasukkan angka-angka ini ke salah satu dari tiga persamaan yang diberikan, misalnya, ke yang pertama: 3 1 - 2 3 + 5z = 7; 5z = 7 -3 + 6 = 10; z=2.
Komentar. Dengan dua cara yang sama, kita dapat mereduksi sistem 4 persamaan dengan 4 tidak diketahui menjadi sistem 3 persamaan dengan 3 tidak diketahui (dan sistem ini - menjadi sistem 2 persamaan dengan 2 tidak diketahui, dll.). Sistem umum m
persamaan dengan m
tidak diketahui kita dapat membawa ke sistem m
- 1
persamaan dengan m
- 1
tidak diketahui (dan sistem ini ke sistem m
-
2
persamaan dengan m
- 2
tidak diketahui, dll). Bab tiga. Beberapa kasus khusus sistem persamaan.
149. Kasus ketika tidak semua yang tidak diketahui dimasukkan dalam setiap persamaan yang diberikan; misalnya: Dalam hal ini, sistem diselesaikan lebih cepat dari biasanya, karena hal-hal yang tidak diketahui tertentu telah dihilangkan dalam beberapa persamaan. Anda hanya perlu mencari tahu yang tidak diketahui dan dari persamaan mana yang harus dikeluarkan untuk mencapai satu persamaan dengan satu yang tidak diketahui sesegera mungkin. Dalam contoh kita, tidak termasuk z
dari persamaan 1 dan 3 dan v
dari 2 dan 1, kita mendapatkan 2 persamaan dengan X
dan pada
: Memecahkan persamaan ini, kami menemukan: x = 0, y = 1/3.
Sekarang kita akan memasukkan angka-angka ini ke dalam persamaan ke-2 dan ke-3; maka kita mendapatkan: v
= 3 / 2 ; z
= 16 / 9
= 1 7 / 9
150. Kasus ketika yang tidak diketahui masuk dalam bentuk pecahan: 1/x x" = 2, y" = 1/2, z" = 5;
1/x=2, 1/y=1/2, 1/z=5
x = 1/2 , y = 2 , z = 1 / 5 ;
151. Kasus ketika berguna untuk menjumlahkan semua persamaan ini. Misalkan kita memiliki, misalnya, sistem: Menambahkan ketiga persamaan, kami menemukan: Mengurangi setiap data dari persamaan terakhir, kita mendapatkan: ___________________
Perhatian! Apa persamaan eksponensial? Ini adalah persamaan di mana yang tidak diketahui (x) dan ekspresi dengan mereka berada di indikator beberapa derajat. Dan hanya di sana! Itu penting. Anda disana contoh persamaan eksponensial: 3 x 2 x = 8 x + 3 Catatan! Dalam basis derajat (di bawah) - hanya angka. PADA indikator derajat (atas) - berbagai ekspresi dengan x. Jika, tiba-tiba, sebuah x muncul dalam persamaan di tempat lain selain indikator, misalnya: ini akan menjadi persamaan tipe campuran. Persamaan seperti itu tidak memiliki aturan yang jelas untuk diselesaikan. Kami tidak akan mempertimbangkan mereka untuk saat ini. Di sini kita akan berurusan dengan solusi persamaan eksponensial dalam bentuknya yang paling murni. Faktanya, bahkan persamaan eksponensial murni tidak selalu diselesaikan dengan jelas. Tetapi ada beberapa jenis persamaan eksponensial yang dapat dan harus diselesaikan. Ini adalah tipe yang akan kita lihat. Mari kita mulai dengan sesuatu yang sangat mendasar. Sebagai contoh: Bahkan tanpa teori apapun, dengan seleksi sederhana jelas bahwa x = 2. Tidak lebih, kan!? Tidak ada gulungan nilai x lainnya. Dan sekarang mari kita lihat solusi dari persamaan eksponensial yang rumit ini: Apa yang telah kita lakukan? Kami, pada kenyataannya, hanya membuang pantat yang sama (tiga kali lipat). Benar-benar dibuang. Dan, apa yang menyenangkan, tepat sasaran! Memang, jika dalam persamaan eksponensial di sebelah kiri dan di sebelah kanan adalah sama angka dalam derajat apapun, angka-angka ini dapat dihapus dan eksponen yang sama. Matematika memungkinkan. Tetap menyelesaikan persamaan yang jauh lebih sederhana. Itu bagus, kan?) Namun, mari kita ingat ironisnya: Anda dapat menghapus basis hanya ketika nomor dasar di kiri dan kanan berada dalam isolasi yang bagus! Tanpa tetangga dan koefisien. Katakanlah dalam persamaan: 2 x +2 x + 1 = 2 3 , atau Anda tidak dapat menghapus ganda! Nah, kita telah menguasai hal yang paling penting. Bagaimana berpindah dari ekspresi eksponensial jahat ke persamaan yang lebih sederhana. "Inilah saat-saat itu!" - kamu bilang. "Siapa yang akan memberikan kontrol dan ujian primitif seperti itu!?" Terpaksa setuju. Tidak ada yang mau. Tetapi sekarang Anda tahu ke mana harus pergi ketika memecahkan contoh yang membingungkan. Penting untuk diingat, ketika nomor dasar yang sama ada di sebelah kiri - di sebelah kanan. Maka semuanya akan menjadi lebih mudah. Sebenarnya, ini adalah matematika klasik. Kami mengambil contoh asli dan mengubahnya menjadi yang diinginkan kita pikiran. Menurut aturan matematika, tentu saja. Pertimbangkan contoh-contoh yang memerlukan upaya tambahan untuk membuatnya menjadi yang paling sederhana. Mari kita panggil mereka persamaan eksponensial sederhana. Saat memecahkan persamaan eksponensial, aturan utamanya adalah tindakan dengan kekuatan. Tanpa pengetahuan tentang tindakan ini, tidak ada yang akan berhasil. Untuk tindakan dengan derajat, seseorang harus menambahkan pengamatan dan kecerdikan pribadi. Apakah kita membutuhkan bilangan dasar yang sama? Jadi kami mencarinya dalam contoh dalam bentuk eksplisit atau terenkripsi. Mari kita lihat bagaimana ini dilakukan dalam praktik? Mari kita beri contoh: 2 2x - 8 x+1 = 0 Pandangan pertama alasan. Mereka... Mereka berbeda! Dua dan delapan. Tapi terlalu dini untuk berkecil hati. Saatnya untuk mengingat itu Dua dan delapan adalah kerabat dalam derajat.) Sangat mungkin untuk menuliskan: 8 x+1 = (2 3) x+1 Jika kita mengingat rumus dari tindakan dengan kekuatan: (a n) m = a nm , umumnya berfungsi dengan baik: 8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1) Contoh aslinya terlihat seperti ini: 2 2x - 2 3(x+1) = 0 Kami mentransfer 2 3 (x+1) ke kanan (tidak ada yang membatalkan tindakan dasar matematika!), kita mendapatkan: 2 2x \u003d 2 3 (x + 1) Itu hampir semua. Menghapus basis: Kami memecahkan monster ini dan mendapatkan Ini adalah jawaban yang benar. Dalam contoh ini, mengetahui kekuatan dua membantu kami. Kita diidentifikasi di delapan, deuce terenkripsi. Teknik ini (mengkodekan basis umum di bawah angka yang berbeda) adalah trik yang sangat populer dalam persamaan eksponensial! Ya, bahkan dalam logaritma. Seseorang harus dapat mengenali kekuatan angka lain dalam angka. Ini sangat penting untuk menyelesaikan persamaan eksponensial. Faktanya adalah bahwa menaikkan angka berapa pun menjadi kekuatan apa pun bukanlah masalah. Lipat gandakan, bahkan di selembar kertas, dan itu saja. Misalnya, setiap orang dapat meningkatkan 3 pangkat lima. 243 akan berubah jika Anda mengetahui tabel perkalian.) Tetapi dalam persamaan eksponensial, lebih sering tidak perlu menaikkan pangkat, tetapi sebaliknya ... nomor berapa sampai sejauh mana bersembunyi di balik angka 243, atau, katakanlah, 343... Tidak ada kalkulator yang akan membantu Anda di sini. Anda perlu mengetahui kekuatan beberapa angka dengan melihat, ya ... Bagaimana kalau kita berlatih? Tentukan kekuatan apa dan angka apa yang merupakan angka: 2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024. Jawaban (tentu saja berantakan!): 5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 . Jika Anda melihat lebih dekat, Anda dapat melihat fakta yang aneh. Ada lebih banyak jawaban daripada pertanyaan! Nah, itu terjadi... Misalnya, 2 6 , 4 3 , 8 2 semuanya 64. Mari kita asumsikan bahwa Anda telah mencatat informasi tentang kenalan dengan angka.) Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, kami menerapkan keseluruhan stok pengetahuan matematika. Termasuk dari kalangan menengah ke bawah. Anda tidak langsung ke sekolah menengah, kan? Misalnya, ketika menyelesaikan persamaan eksponensial, sering kali membantu dengan memasukkan faktor persekutuan dari tanda kurung (halo ke kelas 7!). Mari kita lihat contohnya: 3 2x+4 -11 9 x = 210 Dan sekali lagi, tampilan pertama - dengan alasan! Dasar derajatnya berbeda... Tiga dan sembilan. Dan kami ingin mereka sama. Nah, dalam hal ini keinginan tersebut cukup layak!) Karena: 9 x = (3 2) x = 3 2x Menurut aturan yang sama untuk tindakan dengan derajat: 3 2x+4 = 3 2x 3 4 Itu bagus, Anda dapat menulis: 3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210 Kami memberikan contoh untuk alasan yang sama. Jadi, apa selanjutnya!? Bertiga tidak bisa dibuang ... Jalan buntu? Sama sekali tidak. Mengingat aturan keputusan yang paling universal dan kuat semua tugas matematika: Jika Anda tidak tahu apa yang harus dilakukan, lakukan apa yang Anda bisa!
Anda lihat, semuanya terbentuk). Apa yang ada dalam persamaan eksponensial ini bisa melakukan? Ya, sisi kiri langsung meminta tanda kurung! Faktor persekutuan 3 2x dengan jelas mengisyaratkan hal ini. Mari kita coba, dan kemudian kita akan melihat: 3 2x (3 4 - 11) = 210 3 4 - 11 = 81 - 11 = 70 Contoh terus menjadi lebih baik dan lebih baik! Kita ingat bahwa untuk menghilangkan basa, kita membutuhkan derajat murni, tanpa koefisien apapun. Angka 70 mengganggu kita. Jadi kita membagi kedua sisi persamaan dengan 70, kita mendapatkan: Oppa! Semuanya telah baik-baik saja! Ini adalah jawaban terakhir. Akan tetapi, terjadi bahwa taksi dengan alasan yang sama diperoleh, tetapi likuidasi mereka tidak. Ini terjadi dalam persamaan eksponensial jenis lain. Ayo dapatkan tipe ini. Mari kita selesaikan persamaannya: 4 x - 3 2 x +2 = 0 Pertama - seperti biasa. Mari kita beralih ke pangkalan. Untuk deuce. 4 x = (2 2) x = 2 2x Kami mendapatkan persamaan: 2 2x - 3 2 x +2 = 0 Dan di sini kita akan menggantung. Trik sebelumnya tidak akan berhasil, tidak peduli bagaimana Anda mengubahnya. Kita harus keluar dari gudang senjata dengan cara lain yang kuat dan serbaguna. Ini disebut substitusi variabel. Inti dari metode ini sangat sederhana. Alih-alih satu ikon kompleks (dalam kasus kami, 2 x), kami menulis ikon lain yang lebih sederhana (misalnya, t). Penggantian yang tampaknya tidak berarti seperti itu menghasilkan hasil yang luar biasa!) Semuanya menjadi jelas dan dapat dimengerti! Jadi mari Kemudian 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2 Kami mengganti dalam persamaan kami semua kekuatan dengan x oleh t: Nah, sudah sadar?) Belum lupa persamaan kuadrat? Kami memecahkan melalui diskriminan, kami mendapatkan: Di sini, hal utama adalah tidak berhenti, seperti yang terjadi ... Ini belum jawabannya, kita perlu x, bukan t. Kami kembali ke Xs, yaitu. membuat pengganti. Pertama untuk t 1: Itu adalah, Satu akar ditemukan. Kami mencari yang kedua, dari t 2: Um... Kiri 2 x, Kanan 1... Hambatan? Ya, tidak sama sekali! Cukup diingat (dari tindakan dengan derajat, ya ...) bahwa satu kesatuan adalah setiap angka menjadi nol. Setiap. Apa pun yang Anda butuhkan, kami akan menempatkannya. Kami membutuhkan dua. Cara: Sekarang itu saja. Punya 2 akar: Ini adalah jawabannya. Pada menyelesaikan persamaan eksponensial pada akhirnya, beberapa ekspresi canggung kadang-kadang diperoleh. Jenis: Dari tujuh, deuce melalui gelar sederhana tidak berfungsi. Mereka bukan saudara ... Bagaimana saya bisa berada di sini? Seseorang mungkin bingung ... Tapi orang yang membaca di situs ini topik "Apa itu logaritma?" , hanya tersenyum tipis dan tulis dengan tangan tegas jawaban yang benar-benar tepat: Tidak ada jawaban seperti itu dalam tugas "B" pada ujian. Ada nomor tertentu yang diperlukan. Tapi dalam tugas "C" - dengan mudah. Pelajaran ini memberikan contoh penyelesaian persamaan eksponensial yang paling umum. Mari kita sorot yang utama. Kiat Praktis: 1. Pertama-tama, kita lihat alasan derajat. Mari kita lihat apakah mereka tidak bisa melakukannya sama. Mari kita coba lakukan ini dengan aktif menggunakan tindakan dengan kekuatan. Jangan lupa bahwa angka tanpa x juga dapat diubah menjadi derajat! 2. Kami mencoba membawa persamaan eksponensial ke bentuk ketika kiri dan kanan adalah sama angka untuk tingkat apa pun. Kita gunakan tindakan dengan kekuatan dan faktorisasi. Apa yang bisa dihitung dalam angka - kami menghitung. 3. Jika saran kedua tidak berhasil, kami mencoba menerapkan substitusi variabel. Hasilnya bisa berupa persamaan yang mudah dipecahkan. Paling sering - persegi. Atau pecahan, yang juga direduksi menjadi persegi. 4. Untuk berhasil memecahkan persamaan eksponensial, Anda perlu mengetahui derajat beberapa angka "dengan melihat". Seperti biasa, di akhir pelajaran Anda diundang untuk memecahkan sedikit.) Sendiri. Dari yang sederhana hingga yang kompleks. Memecahkan persamaan eksponensial: Lebih sulit: 2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48 9 x - 8 3 x = 9 2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0 Cari hasil kali akar: 2 3-x + 2x = 9 Telah terjadi? Nah, maka contoh yang paling rumit (itu dipecahkan, bagaimanapun, dalam pikiran ...): 7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3 Apa yang lebih menarik? Maka inilah contoh buruk bagi Anda. Cukup menarik pada peningkatan kesulitan. Saya akan mengisyaratkan bahwa dalam contoh ini, kecerdikan dan aturan paling universal untuk menyelesaikan semua tugas matematika disimpan.) 2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x Contohnya lebih sederhana, untuk relaksasi): 9 2 x - 4 3 x = 0 Dan untuk pencuci mulut. Tentukan jumlah akar persamaan: x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0 Ya ya! Ini adalah persamaan tipe campuran! Yang tidak kita pertimbangkan dalam pelajaran ini. Dan apa yang harus dipertimbangkan, mereka perlu dipecahkan!) Pelajaran ini cukup untuk menyelesaikan persamaan. Nah, kecerdikan dibutuhkan ... Dan ya, kelas tujuh akan membantu Anda (ini adalah petunjuk!). Jawaban (berantakan, dipisahkan oleh titik koma): satu; 2; 3; empat; tidak ada solusi; 2; -2; -5; empat; 0. Apakah semuanya berhasil? Bagus sekali. Ada masalah? Tidak masalah! Dalam Bagian Khusus 555, semua persamaan eksponensial ini diselesaikan dengan penjelasan rinci. Apa, mengapa, dan mengapa. Dan, tentu saja, ada informasi berharga tambahan tentang bekerja dengan segala macam persamaan eksponensial. Tidak hanya dengan ini.) Satu pertanyaan terakhir yang menyenangkan untuk dipertimbangkan. Dalam pelajaran ini, kami bekerja dengan persamaan eksponensial. Mengapa saya tidak mengatakan sepatah kata pun tentang ODZ di sini? Dalam persamaan, ini adalah hal yang sangat penting, omong-omong ... Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.) Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!) Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.Memecahkan persamaan linier dengan modulus
Memecahkan persamaan kuadrat dengan parameter
Solusi persamaan eksponensial. Contoh.
Ada tambahan
materi di Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")Solusi persamaan eksponensial paling sederhana.
Solusi persamaan eksponensial sederhana. Contoh.
Perubahan variabel dalam menyelesaikan persamaan eksponensial. Contoh.
Jika Anda menyukai situs ini...
