Atau sebuah bola. Segmen yang menghubungkan pusat bola dengan sebuah titik pada permukaan bola disebut radius. Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada permukaan bola dan melalui pusat bola disebut diameter. Ujung-ujung diameter berapa pun disebut titik-titik yang berlawanan secara diametral dari bola.Apa pun bagian bola ada pesawat sebuah lingkaran. Pusat lingkaran ini adalah alas dari garis tegak lurus yang dijatuhkan dari pusat ke bidang potong.Bidang yang melalui pusat bola disebut bidang diameter. Penampang bola dengan bidang diametral disebut lingkaran besar, dan bagian bola - lingkaran besar. Setiap bidang diameter bola adalah bidang simetri. Pusat bola adalah pusat simetri. Bidang yang melalui suatu titik pada permukaan bola dan tegak lurus dengan jari-jari yang ditarik ke titik itu disebut bidang singgung. Titik ini disebut titik sentuh. Bidang singgung hanya memiliki satu titik yang sama dengan bola - titik kontak.Garis lurus yang melalui suatu titik tertentu dari permukaan bola yang tegak lurus dengan jari-jari yang ditarik ke titik ini disebut garis singgung. Melalui titik mana pun dari permukaan bola, ada banyak garis singgung yang tak terhingga, dan semuanya terletak pada bidang singgung bola.segmen bola disebut bagian dari bola yang dipotong oleh pesawat.lapisan bola disebut bagian dari bola, terletak di antara dua bidang sejajar yang memotong bola.Sektor bola diperoleh dari segmen bola dan kerucut.Jika segmen bola kurang dari belahan, maka segmen bola dilengkapi dengan kerucut yang titik puncaknya berada di tengah bola dan alasnya adalah alas segmen.Jika segmen lebih besar dari belahan bumi, maka kerucut yang ditunjukkan dikeluarkan darinya. Rumus Dasar Bola (R = OB - jari-jari):S b \u003d 4πR 2; V = 4πR 3 / 3.Segmen bola (R = OB - radius bola, h = SK - tinggi segmen, r = KV - radius dasar segmen):V segmen \u003d h 2 (R - j / 3)atau V segmen \u003d h (h 2 + 3r 2) / 6; Segmen S = 2πRh .Sektor bola (R = OB - radius bola, h = SK - tinggi segmen):V \u003d V segmen ± V con, "+"- jika segmennya lebih kecil, "-" - jika segmennya lebih dari satu belahan.atau V \u003d V segm + V con \u003d h 2 (R - h / 3) + r 2 (R - h) / 3. Lapisan bola (R 1 dan R 2 - jari-jari dasar lapisan bola; h \u003d SC - ketinggian lapisan bola atau jarak antara pangkalan):V w/sl \u003d h 3 / 6 + h (R 1 2 + R 2 2 ) / 2; S w/sl = 2πRh.Contoh 1Volume bola adalah 288π cm3. Cari diameter bola.KeputusanV = d 3 / 6288π = d 3/6d 3 = 1728πd3 = 1728d = 12cm.Jawaban: 12.Contoh 2Tiga bola yang sama berjari-jari r saling bersentuhan dan suatu bidang. Tentukan jari-jari bola keempat yang bersinggungan dengan tiga data yang diberikan dan bidang yang diberikan.Keputusan Biarkan O 1 , O 2 , O 3 menjadi pusat bola-bola ini dan O menjadi pusat bola keempat yang menyentuh tiga data dan bidang yang diberikan. Misalkan A, B, C, T adalah titik-titik kontak bola dengan bidang yang diberikan. Titik-titik kontak dua bola terletak pada garis pusat bola-bola ini, oleh karena itu O 1 O 2 \u003d O 2 O 3 \u003d O 3 O 1 \u003d 2r. Titik-titik tersebut berjarak sama dari bidang ABC, jadi AVO 2 O 1, AVO 2 O 3, AVO 3 O 1 adalah persegi panjang yang sama, oleh karena itu, adalah sama sisi dengan sisi 2r . Biarlah x adalah jari-jari bola keempat yang diinginkan. Maka PL = x. Oleh karena itu, serupa Jadi T adalah pusat segitiga sama sisi. Oleh karena itu Dari siniJawaban: r/3. Bola tertulis dalam piramidaSebuah bola dapat dituliskan di setiap piramida biasa. Pusat bola terletak pada ketinggian piramida di titik perpotongannya dengan garis-bagi sudut linier di tepi dasar piramida.Komentar. Jika sebuah bola dapat dituliskan dalam piramida, yang belum tentu teratur, maka jari-jari r bola ini dapat dihitung dengan rumus r \u003d 3V / S pp, di mana V adalah volume piramida, S pp adalah luas permukaan keseluruhan.Contoh 3Sebuah corong berbentuk kerucut dengan jari-jari alas R dan tinggi H diisi dengan air. Sebuah bola berat dijatuhkan ke dalam corong. Berapakah jari-jari bola agar volume air yang dipindahkan dari corong oleh bagian bola yang terbenam adalah maksimum?KeputusanGambarlah bagian melalui pusat kerucut. Bagian ini membentuk segitiga sama kaki. Jika ada bola di corong, maka ukuran maksimum jari-jarinya akan sama dengan jari-jari lingkaran yang tertulis dalam segitiga sama kaki yang dihasilkan.Jari-jari lingkaran pada segitiga adalah:r = S / p, di mana S adalah luas segitiga, p adalah setengah kelilingnya.Luas segitiga sama kaki sama dengan setengah tinggi (H = SO) kali alasnya. Tetapi karena alasnya dua kali jari-jari kerucut, maka S = RH.Setengah keliling adalah p = 1/2 (2R + 2m) = R + m.m adalah panjang setiap sisi yang sama dari segitiga sama kaki;R adalah jari-jari lingkaran yang merupakan alas kerucut.Temukan m menggunakan teorema Pythagoras: , di manaSecara singkat terlihat seperti ini: Menjawab: Contoh 4Dalam piramida segitiga biasa dengan sudut dihedral di alasnya sama dengan , ada dua bola. Bola pertama menyentuh semua sisi piramida, dan bola kedua menyentuh semua sisi sisi piramida dan bola pertama. Tentukan perbandingan jari-jari bola pertama dengan jari-jari bola kedua jika tgα = 24/7 .Keputusan
Biarlah RABC adalah piramida biasa dan titik H adalah pusat ABC alasnya. Misalkan M adalah titik tengah sisi BC. Kemudian - sudut linier dari sudut dihedral, yang dengan syarat sama dengan , dan< 90° . Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой . Biarlah HH 1 adalah diameter bola pertama dan bidang yang melalui titik H 1 tegak lurus garis lurus PH memotong sisi RA, RV, PC berturut-turut di titik A 1 , B 1 , C 1 . Maka H 1 akan menjadi pusat dari A 1 B 1 C 1 yang benar, dan piramida RA 1 B 1 C 1 akan serupa dengan piramida RABC dengan koefisien kesamaan k = PH 1 / PH. Perhatikan bahwa bola kedua, berpusat di titik O 1, tertulis dalam piramida RA 1 B 1 C 1 dan oleh karena itu rasio jari-jari bola yang tertulis sama dengan koefisien kesamaan: OH / OH 1 = PH / PH 1. Dari persamaan tgα = 24/7 kita temukan: Biarlah AB = x. KemudianMaka rasio yang diinginkan OH / O 1 H 1 = 16/9.Jawaban: 16/9. Bola tertulis dalam prismaDiameter D sebuah bola yang terletak di dalam prisma sama dengan tinggi H prisma: D = 2R = H. Radius R sebuah bola yang terletak di dalam prisma sama dengan jari-jari lingkaran yang terletak di bagian tegak lurus prisma.Jika sebuah bola digoreskan pada prisma siku-siku, maka sebuah lingkaran dapat dituliskan di dasar prisma ini. Radius R sebuah bola yang terletak pada prisma lurus sama dengan jari-jari lingkaran yang terletak di alas prisma.Teorema 1Biarkan sebuah lingkaran tertulis di dasar prisma lurus, dan tinggi prisma H sama dengan diameter D lingkaran ini. Kemudian sebuah bola berdiameter D dapat dituliskan dalam prisma ini. Pusat bola bertulis ini bertepatan dengan bagian tengah segmen yang menghubungkan pusat-pusat lingkaran yang tertulis di dasar prisma.Bukti Biarkan ABC ... A 1 B 1 C 1 ... - sebuah prisma lurus dan O - pusat lingkaran yang tertulis di alasnya ABC. Maka titik O berjarak sama dari semua sisi alas ABC. Biarkan O 1 menjadi proyeksi ortogonal dari titik O ke alas A 1 B 1 C 1 . Maka O 1 berjarak sama dari semua sisi alas A 1 B 1 C 1 , dan OO 1 || AA 1 . Oleh karena itu, garis lurus OO 1 sejajar dengan setiap bidang sisi sisi prisma, dan panjang segmen OO 1 sama dengan tinggi prisma dan, dengan syarat, diameter lingkaran yang tertulis di dasar prisma. Ini berarti bahwa titik-titik segmen OO 1 berjarak sama dari sisi-sisi prisma, dan F tengah segmen OO 1, yang berjarak sama dari bidang alas prisma, akan berjarak sama dari semua sisi prisma. prisma. Artinya, F adalah pusat bola yang tertulis di prisma, dan diameter bola ini sama dengan diameter lingkaran yang tertulis di dasar prisma. Teorema telah terbukti.Teorema 2Biarkan sebuah lingkaran ditulis pada bagian tegak lurus dari prisma miring, dan tinggi prisma sama dengan diameter lingkaran ini. Kemudian sebuah bola dapat dituliskan dalam prisma miring ini. Pusat bola ini membagi dua ketinggian yang melewati pusat lingkaran yang tertulis di bagian tegak lurus.Bukti
Misalkan …А 1 1 1 … adalah prisma miring dan F adalah pusat lingkaran dengan jari-jari FK pada penampang tegak lurusnya. Karena bagian tegak lurus prisma tegak lurus terhadap setiap bidang dari sisi wajah, jari-jari lingkaran yang tertulis di bagian tegak lurus, yang ditarik ke sisi bagian ini, tegak lurus terhadap sisi sisi prisma. Oleh karena itu, titik F berjarak sama dari semua sisi sisi.Mari kita menggambar garis lurus OO 1 melalui titik F, tegak lurus terhadap bidang alas prisma, memotong alas-alas ini di titik O dan O 1. Maka OO1 adalah tinggi prisma. Karena sesuai dengan kondisi OO 1 = 2FK, maka F adalah titik tengah ruas OO 1:FK \u003d OO 1/2 \u003d F0 \u003d F0 1, mis. titik F berjarak sama dari bidang semua permukaan prisma tanpa kecuali. Ini berarti bahwa sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam prisma tertentu, yang pusatnya bertepatan dengan titik F - pusat lingkaran yang tertulis di bagian tegak lurus prisma itu, yang membagi ketinggian prisma yang melewati titik F di setengah. Teorema telah terbukti.Contoh 5Sebuah bola berjari-jari 1 berada di dalam sebuah parallelepiped persegi panjang.Temukan volume dari parallelepiped tersebut.Keputusan Gambarlah tampilan atas. Atau di samping. Atau di depan. Anda akan melihat hal yang sama - sebuah lingkaran tertulis dalam persegi panjang. Jelas, persegi panjang ini akan menjadi persegi, dan kotaknya akan menjadi kubus. Panjang, lebar, dan tinggi kubus ini adalah dua kali jari-jari bola.AB \u003d 2, dan karenanya, volume kubus adalah 8.Jawaban: 8.Contoh 6Pada prisma segitiga beraturan dengan sisi alas sama dengan , terdapat dua buah bola. Bola pertama tertulis di prisma, dan bola kedua menyentuh salah satu alas prisma, dua sisinya menghadap dan bola pertama. Temukan jari-jari bola kedua.Keputusan
Misalkan ABCA 1 B 1 C 1 merupakan prisma beraturan dan titik-titik P dan P 1 adalah pusat alasnya. Maka titik tengah bola O yang tertera pada prisma ini adalah titik tengah ruas PP 1 . Pertimbangkan pesawat 1 . Karena prisma benar, maka terletak pada ruas BN, yang merupakan garis-bagi dan tinggi . Oleh karena itu, bidang dan merupakan bidang bagi dari sudut dihedral di sisi tepi BB 1 . Oleh karena itu, setiap titik pada bidang ini berjarak sama dari sisi menghadap AA 1 BB 1 dan SS 1 B 1 B . Secara khusus, tegak lurus OK , dijatuhkan dari titik O ke permukaan ACC 1 A 1 , terletak pada bidang RVV 1 dan sama dengan segmen OR .Perhatikan bahwa KNPO adalah persegi yang sisinya sama dengan jari-jari bola yang tertulis di prisma yang diberikan. Biarlah Tentang 1 - pusat bola menyentuh bola bertulis dengan pusat O dan sisi menghadap AA 1 BB 1 dan CC 1 B 1 B prisma. Kemudian titik O 1 terletak pada bidang RVV 1, dan proyeksinya P 2 pada bidang ABC terletak pada ruas RV.Menurut kondisinya, sisi alasnya sama dengan

1. Gambar bola. Biarlah F 0 adalah bola. Kami memilih arah proyeksi dan mempertimbangkan garis singgung bola milik arah yang dipilih. Garis singgung ini membentuk permukaan silinder dan melewati titik-titik lingkaran besar bola, yang bidangnya tegak lurus dengan arah desain.

Mari kita pilih bidang gambar. Secara umum, permukaan silinder akan memotong bidang ini dalam bentuk elips, dan proyeksi F 1 bola F 0 akan menjadi bagian dari bidang yang dibatasi oleh elips ini. Gambar bola seperti itu tidak visual (Gbr. 59). Jika bidang bayangan yang dipilih tegak lurus dengan arah desain, maka bayangan bola akan berbentuk lingkaran F. Lingkaran, tentu saja, memberikan representasi bola yang lebih visual, tetapi lingkaran yang sama dengannya dan silinder dapat diproyeksikan ke dalam lingkaran (jika proyeksi dilakukan sejajar dengan generatornya).

Sebelum melanjutkan percakapan tentang cara membuat gambar visual bola, mari kita ingat kembali konsep-konsep yang terkait dengan bola yang dikenal di sekolah. Bagian bola oleh bidang yang melalui pusat bola disebut lingkaran besar, dan kelilingnya adalah khatulistiwa. Titik potong garis lurus yang tegak lurus bidang ekuator dengan permukaan bola disebut tiang, sesuai dengan ekuator ini, dan diameter yang menghubungkannya adalah sumbu kutub.

Jika ada ekuator dan kutub yang sesuai digambarkan pada gambar proyeksi bola, maka gambar tersebut akan memiliki tiga dimensi. Ini akan menjadi terlihat.

Ekuator mana yang harus diwakili? Pertama, diinginkan bahwa segmen yang menghubungkan gambar kutub menjadi vertikal dalam gambar. Keinginan ini akan terpenuhi jika gambar pesawat p akan vertikal dan pesawat sebuah melewati kutub N 0 ,S 0 bola, - tegak lurus dan juga vertikal. (Ingat bahwa kita setuju untuk menggunakan proyeksi ortogonal.) Selain itu, kita dapat mengasumsikan bahwa bidang gambar p melewati pusat bola, dan, oleh karena itu, melintasinya di sepanjang keliling lingkaran besar. Lingkaran ini biasa disebut karangan keliling bola.

Mari kita tunjukkan titik potong garis lurus dengan permukaan bola dengan huruf P 0 dan Q 0 . Jika bidang ekuator juga dipilih tegak lurus terhadap bidang tersebut p, maka garis khatulistiwa dan diameter yang menghubungkan kutub akan digambarkan sebagai diameter lingkaran yang tegak lurus (Gbr. 60) dan bayangan bola tidak akan semakin jelas. Oleh karena itu, bidang ekuator tidak boleh tegak lurus terhadap bidang bayangan. pada gambar. 61 diberikan bagian bola oleh pesawat sebuah. Dalam gambar ini P 0 Q 0 - garis perpotongan bidang sebuah dan p; C 0 D 0 - persimpangan sebuah dan lingkaran khatulistiwa N 0 S 0 adalah diameter yang menghubungkan kutub. Saat mendesain di pesawat p tiang N 0 dan S 0 diproyeksikan menjadi poin N dan S masing-masing diameter C 0 D 0 ekuator - di sumbu minor elips yang menggambarkan ekuator ini.

Sumbu utama elips (Gbr. 62) akan menjadi proyeksi diameter ekuator, tegak lurus terhadap diameter dan, oleh karena itu, sejajar dengan bidang.

Untuk menunjukkan posisi kutub, mari kita kembali ke Gambar. 61. Segitiga siku-siku dan pada gambar ini sama besar pada sisi miring dan sudut lancip (sudut dengan masing-masing sisi tegak lurus). Jadi . Tetapi pada gilirannya, di mana adalah segmen garis singgung elips yang mewakili khatulistiwa (Gbr. 62).

Jadi, gambar visual bola dapat dibangun sebagai berikut:

1) Kami membangun elips, yang kami ambil sebagai gambar khatulistiwa, dan sumbunya.

2) Kami menggambar lingkaran yang berpusat di tengah elips, yang jari-jarinya sama dengan setengah sumbu utama elips.

3) Kami membangun segmen garis singgung elips, sejajar dengan sumbu utama, dan kemudian gambar kutub.

pada gambar. 63 menunjukkan kesalahan yang cukup khas ketika kutub digambarkan pada lingkaran sketsa, sedangkan khatulistiwa digambarkan sebagai elips.

2. Gambar paralel dan meridian. Perhatikan gambar kutub dan meridian bola, yang merupakan permukaan bola. Ingatlah bahwa kesejajaran bola adalah bagian-bagiannya oleh bidang-bidang yang sejajar dengan bidang ekuator. Bagian bola oleh bidang yang melewati sumbu kutub disebut meridian.

Melalui setiap titik bola, selain kutub, melewati tepat satu meridian dan satu paralel. Setiap meridian melewati kedua kutub.

Paralel dan meridian adalah lingkaran, sehingga mereka juga digambarkan sebagai elips.

Mari kita mulai dengan menggambar paralel. Sebuah paralel akan ditentukan dengan menentukan titik di mana bidangnya memotong sumbu kutub. Karena bidang sejajar adalah sejajar dengan bidang ekuator, bayangan paralel akan menjadi elips, mirip dengan elips yang mewakili khatulistiwa.

Untuk membuat elips ini, pertimbangkan bagian bola (bola) oleh sebuah bidang yang melewati sumbu kutub yang tegak lurus terhadap bidang gambar (sisi kanan Gambar 64). Bagian bantu yang dibangun memudahkan untuk menemukan sumbu minor elips yang mewakili ekuator dan gambar kutub yang sesuai.

Biarkan paralel diberikan oleh sebuah titik, maka bidang paralel memotong bola sepanjang segmen yang tegak lurus terhadap sumbu. Segmen ini sama dengan sumbu utama elips, yang merupakan bayangan paralel. Sumbu minor ditemukan dengan memproyeksikan titik ke garis lurus. Akhirnya, dengan bantuan garis lurus, ditemukan titik-titik yang menyentuh gambar paralel dengan garis besar lingkaran. Titik memisahkan bagian yang terlihat dan tidak terlihat dari gambar paralel.

Saat membangun elips, yang merupakan gambar paralel, sama sekali tidak perlu membangun elips, yang merupakan gambar khatulistiwa, yang serupa. Selain itu, dimungkinkan untuk tidak melakukan konstruksi bagian tambahan secara terpisah (Gbr. 65).

Seperti yang dapat dilihat dari gambar. 66, di masing-masing belahan, dimungkinkan untuk membuat elips-paralel yang menyentuh lingkaran garis hanya pada satu titik. Di belahan bumi atas, gambar paralel yang terletak di utara paralel semacam itu akan sepenuhnya terlihat, dan di belahan bumi bawah, gambar paralel yang terletak di selatan paralel semacam itu akan sama sekali tidak terlihat.

Tugas. Buatlah gambar sebuah silinder yang terletak pada sebuah bola jika tinggi silinder sama dengan jari-jari bola.

Keputusan. Mari kita buat gambar lingkaran garis besar bola dan tandai gambar kutub pada diameter vertikalnya (Gbr. 67).

Pada diameter yang sama, kami membuat gambar pusat dan dasar silinder. Dari kondisi soal , dimana jari-jari bola sama dengan jari-jari garis besar lingkaran. Jadi . Ini mengatur posisi paralel. Sesuai dengan aturan yang dipertimbangkan, kami membangun gambar elips dari alas atas. Sebuah elips yang menggambarkan alas bawah dapat diperoleh dengan menggunakan translasi paralel oleh sebuah vektor.

Sebagai kesimpulan, mari kita pertimbangkan bagaimana gambar meridian dibangun jika gambar bola, ekuatornya, dan kutub yang sesuai diberikan.

Biarkan gambar titik diberikan melalui ekuator yang digambarkan (Gbr. 68). Dalam aslinya, diameter tegak lurus terhadap sumbu kutub , sehingga segmen , adalah diameter konjugasi dari elips yang mewakili meridian tersebut. Ini berarti bahwa elips - gambar meridian - dapat dibangun dari diameter konjugat ini.

Saat membuat meridian "dengan tangan", mereka biasanya juga mencari titik, menyentuh elips dengan lingkaran garis besar (Gbr. 68). Diameter lingkaran garis untuk elips akan menjadi sumbu utama, dan , yang berarti bahwa diameter bola sejajar dengan bidang proyeksi.

Poin dan dapat ditemukan dari pertimbangan berikut. Mari kita buat diameter konjugat elips-khatulistiwa dengan diameter . Dalam aslinya, , , Jadi diameter tegak lurus terhadap bidang meridian yang dipertimbangkan. Ini menyiratkan bahwa , tetapi kemudian dan (proyeksinya ortogonal). Arahkan dan pisahkan bagian gambar meridian yang terlihat dan tidak terlihat.

Gambar bayangan

Terkadang bayangan digunakan untuk membuat gambar lebih terlihat. Selain itu, konstruksi bayangan adalah masalah geometris yang menarik yang berkontribusi pada pengembangan pemikiran spasial, yang intinya adalah sebagai berikut.

Biarkan sinar cahaya merambat dari titik bercahaya ke segala arah dalam garis lurus. Jika sebuah sinar bertemu dengan benda buram dalam perjalanannya, maka sinar itu akan tetap berada di atasnya dan tidak mencapai layar tertentu. Pada saat yang sama, daerah gelap terbentuk pada yang terakhir, yang disebut bayangan jatuh dari tubuh (Gbr. 69).

Bodinya sendiri juga terbagi menjadi dua bagian: iluminasi dan gelap (unlit). Bagian tubuh yang gelap disebut itu bayangan sendiri.

Batas bayangan jatuh dibentuk oleh titik-titik perpotongan dengan layar sinar yang menyentuh permukaan tubuh dan membentuk kerucut cahaya dengan titik teratas. Garis di mana sinar-sinar ini menyentuh permukaan tubuh disebut garis pemisah cahaya dan bayangan.

Dalam kasus yang ditunjukkan pada Gambar. 69, pencahayaan disebut obor, bayangan yang sesuai memiliki nama yang sama. Jenis pencahayaan ini terjadi ketika menggunakan sumber pencahayaan buatan: bola lampu listrik di dalam ruangan, lampu jalan, nyala lilin, dll.

Kita dapat berasumsi bahwa sumber-sumber alam (matahari, bulan) berada pada tak terhingga dan sinar dari mereka sejajar. Oleh karena itu, penerangan yang dihasilkan oleh seberkas sinar sejajar disebut matahari. Penerangan matahari ditunjukkan pada gambar. 70.

Untuk melanjutkan ke tugas membangun bayangan, kami akan menyepakati bagaimana kami akan mengatur sinar cahaya dalam gambar proyeksi. Di bawah sinar matahari, berkas cahaya seperti itu dapat diatur dengan garis lurus dan proyeksinya ke bidang utama (Gbr. 71). Biarkan diperlukan untuk membangun bayangan jatuh dari titik pada bidang utama (layar). Agar titik itu sendiri dapat didefinisikan, perlu untuk menentukan proyeksinya ke bidang utama. Konstruksi bayangan direduksi menjadi mencari titik potong garis yang melalui titik sejajar , dan garis yang melalui titik sejajar . Perhatikan bahwa dalam hal ini segmen adalah bayangan jatuh dari segmen tersebut.

Dengan penerangan obor pada gambar proyeksi, Anda harus menentukan titik yang merupakan sumber cahaya. Itu ditentukan oleh sebuah titik dan proyeksinya ke bidang utama (Gbr. 72). Di sini bayangan jatuh dari titik adalah titik perpotongan garis dan .
Jelas bahwa tidak hanya bidang utama yang dapat dipilih sebagai layar. Kasus yang paling menarik dari bayangan bangunan terjadi tepat ketika Anda harus membangun bayangan jatuh di pesawat lain. (Misalnya, bayangan jatuh dari satu polihedron pada permukaan polihedron lainnya.)

Tugas 1. Dalam gambar. 73 menunjukkan piramida segitiga, tinggi dan paralelepiped. Bangun bayangan sendiri dan jatuhkan bentuk buram ini di bawah pencahayaan yang diberikan.

Keputusan. Kita berurusan dengan pencahayaan matahari. Pertama-tama, mari kita temukan bayangan jatuh dari parallelepiped pada bidang utama. Drop shadow dari tepi adalah segmen , Dimana , . Demikian pula, ada bayangan jatuh, tepi, masing-masing. Berikut ini adalah drop shadow dari wajah , dan merupakan drop shadow dari wajah (sebagian tertutup oleh gambar parallelepiped). Secara sepintas, kami mencatat bahwa itu adalah bayangan sendiri dari parallelepiped.

Untuk menemukan bayangan jatuh piramida pada permukaan paralelepiped, pertama-tama kita menemukan bayangan jatuhnya di bidang utama. Ini adalah segitiga ( , ), segitiga tersebut akan menjadi bayangan piramida itu sendiri. Bidang proyeksi garis lurus memotong wajah parallelepiped sepanjang segmen. Menggambar garis lurus sejajar , kita menemukan bayangan jatuh dari simpul di dasar atas parallelepiped. Garis , , melewati titik sejajar dengan garis , masing-masing, menentukan bayangan jatuh piramida di dasar atas parallelepiped.

Tetap menemukan bayangan jatuh di sisi wajah paralelepiped. Untuk melakukan ini, perhatikan bahwa itu adalah jejak pesawat di bidang utama. Wajah memotong jejak di titik , dan titik milik pesawat dan . Oleh karena itu kami menyimpulkan bahwa bidang memotong tepi lateral paralelepiped pada titik tersebut , dan kami membangun bayangan piramida yang jatuh di wajah .

Mewakili kurva bidang - lingkaran yang termasuk dalam bidang pemotongan.
Membangun bagian bola oleh bidang posisi umum β

Karena bidang potong berada pada posisi umum, lingkaran ini diproyeksikan ke bidang proyeksi dalam bentuk elips. Untuk membuat elips, Anda perlu mengetahui dimensi elips di sepanjang sumbu mayor dan minornya.
Untuk benda-benda revolusi, yang meliputi silinder, kerucut, dan bola, garis penampang dapat dibuat dengan titik-titik karakteristik kurva, yang meliputi:
- titik di mana tanda visibilitas berubah;
- titik di mana koordinatnya mengambil nilai maksimum dan minimum:
- x maks ; x menit;
- y maks ; y menit ;
- z maks ; z menit ;
Penggunaan titik karakteristik memungkinkan Anda untuk melakukan konstruksi garis perpotongan permukaan revolusi dan bidang yang lebih akurat.

Memecahkan masalah di bagian bola oleh bidang sangat disederhanakan jika bidang pemotongan menempati posisi proyeksi.

Menggunakan metode mengubah bidang proyeksi, kami menerjemahkan bidang β dari posisi umum ke posisi tertentu - memproyeksikan secara frontal. Pada bidang proyeksi frontal V 1 membangun jejak pesawat β dan proyeksi bola. Di jalur pesawat V mengambil titik sewenang-wenang 3" ukur jaraknya dari bidang proyeksi H dan tunda di sepanjang jalur komunikasi yang sudah ada di pesawat V 1, mendapatkan poin 3" 1 . Sebuah jejak akan melewatinya. Garis bagian bola - poin A" 1, B" 1 bertepatan di sini dengan jejak pesawat. Lebih jauh pada bidang proyeksi frontal V 1 membangun pusat lingkaran bagian - sebuah titik C" 1 yang kita peroleh dengan mengembalikan tegak lurus dari pusat bola (titik 0" 1 ) ke [ A" 1 B" 1] di persimpangan mereka. Selanjutnya, nyalakan proyeksi belakang: melalui poin A" 1, B" 1 dan C" 1 menggambar garis horizontal h milik pesawat β , dan pada bidang proyeksi H melalui pusat bola kami menggambar bidang bantu yang diproyeksikan secara horizontal 1. Jejak bidang horizontal 1 akan menghentikan proyeksi horizontal h dan tentukan titik pada titik ini C`- pusat keliling bagian. Horisontal h` memotong proyeksi bola di titik-titik D' dan E`, sehingga menentukan nilai sebenarnya dari segmen [ DE] - sumbu utama elips. Poin dibangun dengan cara yang sama. A` dan B`, mendefinisikan nilai segmen [ A`B`] - sumbu minor elips.

Proyeksi sumbu mayor dan minor elips ke bidang proyeksi horizontal H ditemukan, yang berarti bahwa elips adalah proyeksi bagian lingkaran ke H dapat dibangun, lihat artikel: Lingkaran

Ulangi langkah yang sama untuk bidang proyeksi frontal V dan buat elips lain - proyeksi lingkaran bagian ke V.

Untuk menemukan titik yang menunjukkan batas visibilitas proyeksi horizontal lingkaran bagian

kita menggambar bidang proyeksi depan melalui pusat bola 2 ⊥ V β mendatar h(h`, h"). Garis h` berpotongan dengan proyeksi horizontal lingkaran bagian dengan poin 5,6 menunjukkan batas jarak pandang. Titik-titik lingkaran bagian yang terletak pada proyeksi frontal di bawah jejak bidang 2, pada bidang proyeksi horizontal H 5`, 6` ] - dan tidak akan terlihat di atasnya.

Untuk menemukan titik-titik yang menunjukkan batas-batas visibilitas proyeksi frontal lingkaran bagian. Kami menggambar bidang yang diproyeksikan secara horizontal melalui pusat bola 1 ⊥ H, yang memotong bidang β frontal f(f`, f"). Garis f" berpotongan dengan proyeksi frontal lingkaran bagian dengan poin 7", 8" menunjukkan batas jarak pandang. Titik-titik lingkaran bagian yang terletak pada proyeksi horizontal di atas jejak bidang 1, pada bidang proyeksi frontal V akan ditempatkan di sebelah kiri segmen [ 7", 8" ] - dan tidak akan terlihat di atasnya.

pengantar

Bola adalah benda yang terdiri dari semua titik di ruang angkasa yang jaraknya tidak lebih besar dari jarak tertentu dari titik tertentu. Titik ini disebut pusat bola, dan jarak ini disebut jari-jari bola.

Batas bola disebut permukaan bola, atau bola. Jadi, titik-titik bola adalah semua titik bola yang jaraknya dari pusat sama dengan jari-jarinya. Setiap ruas garis yang menghubungkan pusat bola ke suatu titik di permukaan bola, disebut juga jari-jari.

Ruas yang menghubungkan dua titik permukaan bola yang melalui pusat bola disebut diameter. Ujung-ujung diameter berapa pun disebut titik-titik yang berlawanan secara diametral dari bola.

Bola, seperti silinder dan kerucut, adalah benda revolusi. Itu diperoleh dengan memutar setengah lingkaran di sekitar diameternya sebagai sumbu.

Bagian bola oleh bidang

Setiap bagian dari bola oleh pesawat adalah lingkaran. Pusat lingkaran ini adalah alas dari garis tegak lurus yang dijatuhkan dari pusat bola ke bidang pemotongan.

Bukti: Biarkan - potong bidang dan O - pusat bola (Gbr. 1) Mari kita jatuhkan tegak lurus dari pusat bola ke bidang dan dilambangkan dengan O "dasar tegak lurus ini.

Biarkan X menjadi titik sewenang-wenang dari bola milik pesawat. Menurut teorema Pythagoras, OX2 \u003d OO "2 + O" X2. Karena OX tidak lebih besar dari jari-jari R bola, maka O "X?, yaitu setiap titik bagian bola oleh sebuah pesawat dari titik O" pada jarak yang tidak lebih besar, oleh karena itu, termasuk dalam lingkaran dengan pusat O” dan jari-jari. Sebaliknya: sembarang titik X lingkaran ini milik bola, yang berarti bahwa bagian bola oleh bidang adalah lingkaran yang berpusat di titik O”. Teorema telah terbukti.

Daerah yang melalui pusat bola disebut bidang diametris. Penampang bola dengan bidang diametral disebut lingkaran besar, dan penampang bola disebut lingkaran besar.

pada gambar. 11 menunjukkan konstruksi proyeksi beberapa titik.

Proyeksi C" dan D" dibangun di atas proyeksi horizontal paralel jari-jari 0"1", dibangun dengan

proyeksi 1 ".Proyeksi C"" dan D"" dibangun di atas proyeksi profil lingkaran yang digambar pada bola melalui proyeksi C"(D") sehingga bidang lingkaran sejajar dengan bidang proyeksi.

Proyeksi E" adalah titik singgung elips (proyeksi horizontal lingkaran irisan) dan ekuator bola. Itu dibangun dalam koneksi proyeksi pada proyeksi horizontal khatulistiwa pada proyeksi frontal E".

Proyeksi horizontal M" titik sewenang-wenang pada garis potong dibangun menggunakan radius paralel Tentang "2", proyeksi frontal yang melewati proyeksi M"dan 2 " . Proyeksi F adalah titik kontak elips (proyeksi profil lingkaran yang dipotong) dan proyeksi profil garis luar bola.

Jika bidang yang memotong bola adalah bidang pada posisi umum, maka masalah diselesaikan dengan mengubah bidang proyeksi. Bidang proyeksi tambahan dipilih untuk memastikan bahwa bidang itu tegak lurus terhadap bidang pemotongan. Ini memungkinkan Anda untuk menyederhanakan konstruksi garis persimpangan.

12. Konstruksi bagian torus

Dalam contoh pada gambar. 12 menunjukkan penggunaan bidang bantu 1 (γ 1 ") dan 2 (γ 2 "), tegak lurus terhadap sumbu torus, untuk membuat garis perpotongan dan tampilan alami dari sosok bagian permukaan dari torus oleh pesawat (α ""). Torus pada Gambar 12 memiliki dua gambar - proyeksi frontal dan proyeksi setengah profil.

Jari-jari setengah lingkaran R 2 (proyeksi profil garis perpotongan torus bantu

pesawat terbang γ 2 ) menyentuh proyeksi bidang (jejak ""). Ini mendefinisikan proyeksi profil 3"" dan di sepanjang itu proyeksi frontal 3"" salah satu titik proyeksi dari garis perpotongan yang diinginkan. Jari-jari setengah lingkaran R 1 - proyeksi profil garis perpotongan torus dengan bidang bantu γ 1 . Ini memotong proyeksi profil bidang (jejak "") di dua titik 5"" dan 7"" - proyeksi profil titik-titik dari garis persimpangan. Melakukan konstruksi serupa, Anda bisa mendapatkan jumlah proyeksi titik yang diperlukan untuk garis persimpangan yang diinginkan. Kami menggunakan poin yang ditemukan untuk membangun tampilan alami dari gambar penampang. Gambar bagian torus oleh bidang yang sejajar dengan sumbunya memiliki sumbu dan pusat simetri. Saat membangunnya, jarak l 1 dan l 2 pada proyeksi frontal digunakan untuk memplot titik 5 0 , 7 0 dan 3 0 .

Titik 6 0 , 8 0 dan 4 0 disusun secara simetris. Kurva yang dibangun dari perpotongan permukaan torus dengan bidang dinyatakan oleh persamaan aljabar orde ke-4.

Kurva perpotongan torus dengan bidang yang sejajar dengan sumbu ditunjukkan pada Gambar 12 di bawah ini. Mereka memiliki nama yang sama - kurva Perseus. (Perseus- Geometer Yunani Kuno). Ini adalah kurva dari urutan keempat. Bentuk kurva tergantung pada jarak dari bidang potong ke sumbu torus.