Ibu mencuci bingkai

Menjelang akhir liburan musim panas yang panjang, saatnya untuk perlahan kembali ke matematika yang lebih tinggi dan dengan sungguh-sungguh membuka file Verd yang kosong untuk mulai membuat bagian baru - . Saya akui bahwa baris pertama tidak mudah, tetapi langkah pertama adalah setengah jalan, jadi saya menyarankan semua orang untuk mempelajari artikel pengantar dengan cermat, setelah itu akan 2 kali lebih mudah untuk menguasai topik! Saya tidak melebih-lebihkan sama sekali. ... Pada malam 1 September berikutnya, saya ingat kelas satu dan sekolah dasar .... Huruf membentuk suku kata, suku kata menjadi kata, kata menjadi kalimat pendek - Ibu mencuci bingkai. Menguasai terver dan statistik matematika semudah belajar membaca! Namun, untuk ini perlu mengetahui istilah kunci, konsep dan sebutan, serta beberapa aturan khusus, yang didedikasikan untuk pelajaran ini.

Tapi pertama-tama, terimalah ucapan selamat saya atas awal (kelanjutan, penyelesaian, catatan yang sesuai) tahun akademik dan terima hadiahnya. Hadiah terbaik adalah sebuah buku, dan untuk belajar mandiri, saya merekomendasikan literatur berikut:

1) Gmurman V.E. Teori Probabilitas dan Statistik Matematika

Buku teks legendaris yang telah dicetak ulang lebih dari sepuluh kali. Ini berbeda dalam kejelasan dan presentasi materi yang paling sederhana, dan bab pertama benar-benar dapat diakses, saya pikir, sudah untuk siswa di kelas 6-7.

2) Gmurman V.E. Panduan Pemecahan Masalah dalam Probabilitas dan Statistik Matematika

Reshebnik dari Vladimir Efimovich yang sama dengan contoh dan tugas terperinci.

PERLU unduh kedua buku dari Internet atau dapatkan kertas asli mereka! Versi 60-an-70-an bisa digunakan, yang bahkan lebih baik untuk boneka. Meskipun ungkapan "teori probabilitas untuk boneka" terdengar agak konyol, karena hampir semuanya terbatas pada operasi aritmatika dasar. Namun, mereka tergelincir di beberapa tempat turunan dan integral, tapi ini hanya di beberapa tempat.

Saya akan mencoba untuk mencapai kejelasan presentasi yang sama, tetapi saya harus memperingatkan Anda bahwa kursus saya difokuskan pada penyelesaian masalah dan perhitungan teoritis dijaga agar tetap minimum. Jadi, jika Anda membutuhkan teori terperinci, bukti teorema (ya, teorema!), silakan merujuk ke buku teks.

Bagi yang mau belajar memecahkan masalah dalam hitungan hari, tercipta kursus kilat dalam format pdf (menurut situs). Nah, sekarang, tanpa menunda masalah dalam folder yang panjang, kita mulai mempelajari terver dan matstat - ikuti saya!

Cukup untuk memulai =)

Saat Anda membaca artikel, akan berguna untuk berkenalan (setidaknya secara singkat) dengan masalah tambahan dari jenis yang dipertimbangkan. Di halaman Solusi siap pakai untuk matematika tingkat tinggi pdf-ki yang sesuai dengan contoh solusi ditempatkan. Juga, bantuan yang signifikan akan diberikan IDZ 18.1-18.2 Ryabushko(lebih mudah) dan memecahkan IDZ menurut koleksi Chudesenko(lebih sulit).

1) jumlah dua peristiwa dan disebut peristiwa yang terdiri dari fakta bahwa atau peristiwa atau peristiwa atau kedua peristiwa itu sekaligus. Dalam kasus peristiwa tidak cocok, opsi terakhir menghilang, yaitu dapat terjadi atau peristiwa atau peristiwa .

Aturan ini juga berlaku untuk lebih banyak istilah, misalnya, suatu peristiwa adalah apa yang akan terjadi setidaknya satu dari acara , sebuah jika acaranya tidak sesuai – itu satu-satunya acara dari jumlah ini: atau peristiwa , atau peristiwa , atau peristiwa , atau peristiwa , atau peristiwa .

Banyak contoh:

Kejadiannya (saat melempar dadu tidak menjatuhkan 5 poin) adalah bahwa atau 1, atau 2, atau 3, atau 4, atau 6 poin.

Acara (akan turun tidak lagi dua poin) adalah bahwa 1 atau 2poin.

Peristiwa (akan ada jumlah poin genap) adalah bahwa atau 2 atau 4 atau 6 poin.

Acaranya adalah bahwa kartu jas merah (hati) akan diambil dari dek atau rebana), dan acara - bahwa "gambar" akan diekstraksi (jack atau wanita atau raja atau kartu as).

Sedikit lebih menarik adalah kasus dengan acara bersama:

Acaranya adalah bahwa sebuah klub akan diambil dari dek atau tujuh atau tujuh klub Menurut definisi di atas, setidaknya sesuatu- atau klub mana pun atau tujuh atau "penyeberangan" mereka - tujuh klub. Mudah untuk menghitung bahwa acara ini sesuai dengan 12 hasil dasar (9 kartu klub + 3 sisa tujuh).

Acaranya besok jam 12.00 SETIDAKNYA SATU dari acara gabungan yang dapat dirangkum, yaitu:

- atau hanya akan ada hujan / hanya guntur / hanya matahari;
- atau hanya beberapa peristiwa yang akan datang (hujan + badai petir / hujan + matahari / badai petir + matahari);
– atau ketiga acara akan muncul secara bersamaan.

Artinya, acara tersebut mencakup 7 kemungkinan hasil.

Pilar kedua dari aljabar peristiwa:

2) kerja dua peristiwa dan menyebut peristiwa, yang terdiri dari kemunculan bersama dari peristiwa-peristiwa ini, dengan kata lain, perkalian berarti bahwa dalam beberapa keadaan akan datang dan peristiwa , dan peristiwa . Pernyataan serupa berlaku untuk sejumlah besar peristiwa, misalnya, pekerjaan menyiratkan bahwa dalam kondisi tertentu, akan ada: dan peristiwa , dan peristiwa , dan peristiwa , …, dan peristiwa .

Pertimbangkan percobaan di mana dua koin dilempar dan acara berikut:

- kepala akan jatuh pada koin pertama;
- koin pertama akan mendarat di ekor;
- koin ke-2 akan mendarat kepala;
- koin ke-2 akan muncul ekor.

Kemudian:
dan pada tanggal 2) seekor elang akan rontok;
- acara tersebut terdiri dari fakta bahwa pada kedua koin (pada tanggal 1 dan pada tanggal 2) ekor akan rontok;
– acaranya adalah koin pertama akan mendarat dan pada ekor koin ke-2;
- acaranya adalah koin pertama akan muncul di ekor dan pada koin ke-2 seekor elang.

Sangat mudah untuk melihat bahwa peristiwa tidak cocok (karena tidak bisa, misalnya, 2 kepala dan 2 ekor rontok secara bersamaan) dan bentuk grup penuh (sejak diperhitungkan semua hasil yang mungkin dari pelemparan dua koin). Mari kita rangkum peristiwa-peristiwa ini: . Bagaimana menafsirkan entri ini? Sangat sederhana - perkalian berarti koneksi logis Dan, dan penambahannya adalah ATAU. Dengan demikian, jumlahnya mudah dibaca dalam bahasa manusia yang dapat dimengerti: “dua elang akan jatuh atau dua ekor atau kepala pada koin 1 dan di ekor ke-2 atau kepala pada koin 1 dan elang di koin ke-2 »

Ini adalah contoh ketika dalam satu ujian beberapa objek terlibat, dalam hal ini dua koin. Skema lain yang biasa digunakan dalam praktik adalah tes berulang ketika, misalnya, dadu yang sama dilempar 3 kali berturut-turut. Sebagai demonstrasi, perhatikan peristiwa berikut:

- pada lemparan pertama, 4 poin akan hilang;
- pada lemparan ke-2, 5 poin akan rontok;
- pada lemparan ke-3, 6 poin akan hilang.

Kemudian acara terdiri dari fakta bahwa pada gulungan pertama 4 poin akan jatuh dan di roll ke-2 akan turun 5 poin dan di roll ke-3, 6 poin akan jatuh. Jelas, dalam kasus dadu, akan ada kombinasi (hasil) yang jauh lebih banyak daripada jika kita melempar koin.

…Saya mengerti bahwa, mungkin, contoh-contoh yang dianalisis tidak terlalu menarik, tetapi ini adalah hal-hal yang sering ditemui dalam masalah dan tidak ada jalan keluar darinya. Selain koin, dadu, dan setumpuk kartu, ada guci dengan bola warna-warni, beberapa orang tanpa nama yang menembak sasaran, dan seorang pekerja yang tak kenal lelah yang terus-menerus mengerjakan beberapa detail =)

Probabilitas Peristiwa

Probabilitas Peristiwa adalah konsep sentral dalam teori probabilitas. ...Hal logis yang mematikan, tetapi Anda harus memulai dari suatu tempat =) Ada beberapa pendekatan untuk definisinya:

;
Definisi geometris probabilitas ;
Definisi statistik probabilitas .

Dalam artikel ini, saya akan fokus pada definisi klasik dari probabilitas, yang paling banyak digunakan dalam tugas-tugas pendidikan.

Notasi. Probabilitas dari beberapa peristiwa dilambangkan dengan huruf Latin kapital , dan peristiwa itu sendiri diambil dalam tanda kurung, bertindak sebagai semacam argumen. Sebagai contoh:

Juga, huruf kecil banyak digunakan untuk mewakili probabilitas. Secara khusus, seseorang dapat mengabaikan penunjukan peristiwa yang rumit dan probabilitasnya mendukung gaya berikut:

adalah probabilitas bahwa lemparan koin akan menghasilkan kepala;
- probabilitas bahwa 5 poin akan hilang sebagai akibat dari pelemparan dadu;
adalah peluang terambilnya kartu club suit dari deck.

Opsi ini populer dalam memecahkan masalah praktis, karena memungkinkan Anda untuk secara signifikan mengurangi entri solusi. Seperti pada kasus pertama, akan lebih mudah untuk menggunakan subskrip/superskrip “berbicara” di sini.

Semua orang telah lama menebak angka yang baru saja saya tulis di atas, dan sekarang kita akan mengetahui bagaimana hasilnya:

Definisi klasik dari probabilitas:

Probabilitas suatu peristiwa yang terjadi dalam beberapa tes adalah rasio , di mana:

adalah jumlah seluruhnya sama mungkin, dasar hasil tes ini, yang berupa kumpulan acara lengkap;

- jumlah dasar hasil baik peristiwa .

Ketika koin dilempar, kepala atau ekor bisa rontok - peristiwa ini terbentuk grup penuh, dengan demikian, jumlah total hasil ; sedangkan masing-masing dasar dan sama mungkin. Acara ini disukai oleh hasil (kepala). Menurut definisi klasik dari probabilitas: .

Demikian pula, sebagai hasil pelemparan sebuah dadu, hasil-hasil elementer yang sama mungkin muncul, membentuk kelompok yang lengkap, dan kejadian tersebut disukai oleh satu hasil (menggulung lima). Jadi: .INI TIDAK DITERIMA UNTUK DILAKUKAN (walaupun tidak dilarang untuk menghitung persentase dalam pikiran Anda).

Merupakan kebiasaan untuk menggunakan pecahan dari suatu unit, dan, jelas, probabilitas dapat bervariasi dalam . Selain itu, jika , maka kejadiannya adalah mustahil, jika - dapat diandalkan, dan jika , maka kita berbicara tentang acak peristiwa.

! Jika dalam menyelesaikan masalah apa pun Anda mendapatkan nilai probabilitas lain - cari kesalahan!

Dalam pendekatan klasik untuk definisi probabilitas, nilai ekstrem (nol dan satu) diperoleh dengan alasan yang persis sama. Diambil 1 bola secara acak dari sebuah guci yang berisi 10 bola merah. Pertimbangkan peristiwa berikut:

dalam satu percobaan, peristiwa yang tidak mungkin tidak akan terjadi.

Itulah mengapa Anda tidak akan mendapatkan Jackpot dalam lotere jika probabilitas kejadian ini, katakanlah, 0,00000001. Ya, ya, itu Anda - dengan satu-satunya tiket dalam sirkulasi tertentu. Namun, lebih banyak tiket dan lebih banyak undian tidak akan banyak membantu Anda. ... Ketika saya memberi tahu orang lain tentang ini, saya hampir selalu mendengar jawaban: "tetapi seseorang menang." Oke, kalau begitu mari kita lakukan percobaan berikut: silakan beli tiket lotere hari ini atau besok (jangan tunda!). Dan jika Anda menang ... yah, setidaknya lebih dari 10 kilo rubel, pastikan untuk berhenti berlangganan - saya akan menjelaskan mengapa ini terjadi. Untuk persentase, tentu saja =) =)

Tetapi tidak perlu sedih, karena ada prinsip yang berlawanan: jika probabilitas suatu peristiwa sangat dekat dengan kesatuan, maka dalam satu tes itu hampir yakin akan terjadi. Karena itu, sebelum terjun parasut, jangan takut, sebaliknya - tersenyumlah! Bagaimanapun, keadaan yang benar-benar tidak terpikirkan dan fantastis harus muncul agar kedua parasut gagal.

Meskipun semua ini adalah puisi, karena, tergantung pada isi acara, prinsip pertama mungkin ceria, dan yang kedua - sedih; atau bahkan keduanya sejajar.

Mungkin cukup untuk saat ini, di kelas Tugas untuk definisi klasik tentang probabilitas kami akan memeras maksimum dari formula. Di bagian akhir artikel ini, kami mempertimbangkan satu teorema penting:

Jumlah peluang kejadian-kejadian yang membentuk kelompok lengkap sama dengan satu. Secara kasar, jika peristiwa membentuk kelompok yang lengkap, maka dengan probabilitas 100% salah satunya akan terjadi. Dalam kasus yang paling sederhana, peristiwa yang berlawanan membentuk kelompok yang lengkap, misalnya:

- sebagai akibat dari lemparan koin, seekor elang akan jatuh;
- akibat pelemparan koin, ekor akan rontok.

Menurut teorema:

Jelas bahwa peristiwa-peristiwa ini sama-sama mungkin dan probabilitasnya sama. .

Karena kesamaan probabilitas, peristiwa yang sama kemungkinannya sering disebut mungkin . Dan inilah twister lidah untuk menentukan tingkat keracunan ternyata =)

Contoh dadu: kejadiannya berlawanan, jadi .

Teorema yang dipertimbangkan nyaman karena memungkinkan Anda untuk dengan cepat menemukan probabilitas dari peristiwa yang berlawanan. Jadi, jika Anda mengetahui probabilitas bahwa lima akan jatuh, mudah untuk menghitung probabilitas bahwa itu tidak akan jatuh:

Ini jauh lebih mudah daripada menjumlahkan probabilitas dari lima hasil dasar. Untuk hasil dasar, teorema ini juga valid:
. Misalnya, jika probabilitas penembak mengenai sasaran, maka peluang dia akan meleset adalah.

! Dalam teori probabilitas, tidak diinginkan untuk menggunakan huruf dan untuk tujuan lain.

Untuk menghormati Hari Pengetahuan, saya tidak akan memberikan pekerjaan rumah =), tetapi sangat penting bagi Anda untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut:

Apa saja jenis acara yang ada?
– Apa peluang dan kemungkinan yang sama dari suatu peristiwa?
– Bagaimana Anda memahami istilah kompatibilitas / ketidakcocokan acara?
– Apa yang dimaksud dengan kelompok lengkap peristiwa, peristiwa yang berlawanan?
Apa yang dimaksud dengan penjumlahan dan perkalian kejadian?
– Apa inti dari definisi klasik tentang probabilitas?
– Mengapa teorema penjumlahan untuk peluang kejadian membentuk grup lengkap berguna?

Tidak, Anda tidak perlu menjejalkan apa pun, ini hanya dasar-dasar teori probabilitas - semacam primer yang akan cocok dengan cepat di kepala Anda. Dan agar ini terjadi sesegera mungkin, saya sarankan Anda membaca pelajarannya

Banyak, dihadapkan dengan konsep "teori probabilitas", ketakutan, berpikir bahwa ini adalah sesuatu yang luar biasa, sangat kompleks. Tapi itu benar-benar tidak terlalu tragis. Hari ini kita akan mempertimbangkan konsep dasar teori probabilitas, belajar bagaimana memecahkan masalah menggunakan contoh-contoh spesifik.

Ilmu

Apa yang dipelajari oleh cabang matematika seperti "teori probabilitas"? Dia mencatat pola dan besaran. Untuk pertama kalinya, para ilmuwan menjadi tertarik pada masalah ini pada abad kedelapan belas, ketika mereka mempelajari perjudian. Konsep dasar teori probabilitas adalah suatu kejadian. Ini adalah setiap fakta yang dipastikan oleh pengalaman atau pengamatan. Tapi apa itu pengalaman? Konsep dasar lain dari teori probabilitas. Artinya komposisi keadaan ini tidak diciptakan secara kebetulan, tetapi untuk tujuan tertentu. Adapun observasi, di sini peneliti sendiri tidak berpartisipasi dalam eksperimen, tetapi hanya menjadi saksi peristiwa ini, ia tidak mempengaruhi apa yang terjadi dengan cara apapun.

Acara

Kami belajar bahwa konsep dasar teori probabilitas adalah suatu peristiwa, tetapi tidak mempertimbangkan klasifikasinya. Semuanya termasuk dalam kategori berikut:

• Dapat diandalkan.
• Mustahil.
• Acak.

Tidak peduli apa jenis peristiwa yang diamati atau dibuat dalam perjalanan pengalaman, mereka semua tunduk pada klasifikasi ini. Kami menawarkan untuk berkenalan dengan masing-masing spesies secara terpisah.

Acara yang kredibel

Ini adalah keadaan sebelum serangkaian tindakan yang diperlukan telah diambil. Untuk lebih memahami esensi, lebih baik memberikan beberapa contoh. Fisika, kimia, ekonomi, dan matematika yang lebih tinggi tunduk pada hukum ini. Teori probabilitas mencakup konsep penting seperti peristiwa tertentu. Berikut beberapa contohnya:

• Kami bekerja dan menerima balas jasa berupa upah.
• Kami lulus ujian dengan baik, lulus kompetisi, untuk ini kami menerima hadiah berupa masuk ke lembaga pendidikan.
• Kami menginvestasikan uang di bank, jika perlu, kami akan mendapatkannya kembali.

Peristiwa semacam itu dapat diandalkan. Jika kita telah memenuhi semua syarat yang diperlukan, maka kita pasti akan mendapatkan hasil yang diharapkan.

Peristiwa yang tidak mungkin

Kami sekarang mempertimbangkan elemen teori probabilitas. Kami mengusulkan untuk beralih ke penjelasan tentang jenis peristiwa berikutnya, yaitu yang tidak mungkin. Untuk memulainya, kami akan menetapkan aturan yang paling penting - probabilitas suatu peristiwa yang tidak mungkin adalah nol.

Tidak mungkin menyimpang dari rumusan ini ketika memecahkan masalah. Untuk memperjelas, berikut adalah contoh peristiwa tersebut:

• Air membeku pada suhu plus sepuluh (ini tidak mungkin).
• Kurangnya listrik tidak mempengaruhi produksi dengan cara apapun (sama tidak mungkin seperti pada contoh sebelumnya).

Lebih banyak contoh tidak boleh diberikan, karena yang dijelaskan di atas sangat jelas mencerminkan esensi dari kategori ini. Peristiwa yang mustahil tidak akan pernah terjadi selama pengalaman dalam keadaan apa pun.

kejadian acak

Saat mempelajari elemen, perhatian khusus harus diberikan pada jenis acara khusus ini. Itulah yang sedang dipelajari oleh sains. Sebagai hasil dari pengalaman, sesuatu mungkin atau mungkin tidak terjadi. Selain itu, tes dapat diulang dalam jumlah yang tidak terbatas. Contoh yang menonjol adalah:

• Melempar koin adalah pengalaman, atau ujian, heading adalah sebuah peristiwa.
• Mengeluarkan bola dari kantong secara membabi buta adalah ujian, menangkap bola merah adalah event, dan seterusnya.

Mungkin ada jumlah yang tidak terbatas dari contoh seperti itu, tetapi, secara umum, esensinya harus jelas. Untuk meringkas dan mensistematisasikan pengetahuan yang diperoleh tentang peristiwa, tabel diberikan. Teori probabilitas hanya mempelajari jenis terakhir dari semua yang disajikan.

judul	definisi
kredibel	Peristiwa yang terjadi dengan jaminan 100%, tunduk pada kondisi tertentu.	Masuk ke lembaga pendidikan dengan lulus ujian masuk yang baik.
Mustahil	Peristiwa yang tidak akan pernah terjadi dalam keadaan apapun.	Salju turun pada suhu udara ditambah tiga puluh derajat Celcius.
Acak	Suatu peristiwa yang mungkin atau mungkin tidak terjadi selama percobaan/pengujian.	Hit atau miss saat melempar bola basket ke ring.

hukum

Teori probabilitas adalah ilmu yang mempelajari kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Seperti yang lain, ia memiliki beberapa aturan. Ada hukum-hukum teori probabilitas berikut:

• Konvergensi urutan variabel acak.
• Hukum bilangan besar.

Saat menghitung kemungkinan kompleks, kompleks kejadian sederhana dapat digunakan untuk mencapai hasil dengan cara yang lebih mudah dan lebih cepat. Perhatikan bahwa hukum teori probabilitas mudah dibuktikan dengan bantuan beberapa teorema. Mari kita mulai dengan hukum pertama.

Konvergensi urutan variabel acak

Perhatikan bahwa ada beberapa jenis konvergensi:

• Urutan variabel acak adalah konvergen dalam probabilitas.
• Hampir tidak mungkin.
• konvergensi RMS.
• Konvergensi Distribusi.

Jadi, dengan cepat, sangat sulit untuk mencapai dasarnya. Berikut adalah beberapa definisi untuk membantu Anda memahami topik ini. Mari kita mulai dengan tampilan pertama. Urutannya disebut konvergen dalam probabilitas, jika kondisi berikut terpenuhi: n cenderung tak hingga, bilangan yang barisannya cenderung lebih besar dari nol dan mendekati satu.

Mari kita lanjutkan ke yang berikutnya, hampir pasti. Barisan tersebut dikatakan konvergen hampir pasti ke variabel acak dengan n cenderung tak terhingga, dan P cenderung ke nilai yang mendekati satu.

Jenis selanjutnya adalah konvergensi RMS. Saat menggunakan konvergensi-SC, studi tentang proses acak vektor direduksi menjadi studi tentang proses acak koordinatnya.

Jenis terakhir tetap, mari kita analisis secara singkat untuk melanjutkan langsung ke pemecahan masalah. Konvergensi distribusi memiliki nama lain - "lemah", kami akan menjelaskan alasannya di bawah ini. Konvergensi lemah adalah konvergensi fungsi distribusi di semua titik kontinuitas fungsi distribusi pembatas.

Kami pasti akan memenuhi janji: konvergensi lemah berbeda dari semua hal di atas karena variabel acak tidak didefinisikan pada ruang probabilitas. Hal ini dimungkinkan karena kondisi dibentuk secara eksklusif menggunakan fungsi distribusi.

Hukum Bilangan Besar

Pembantu yang sangat baik dalam membuktikan hukum ini akan teorema teori probabilitas, seperti:

• Pertidaksamaan Chebyshev.
• teorema Chebyshev.
• Teorema Chebyshev Umum.
• teorema Markov.

Jika kita mempertimbangkan semua teorema ini, maka pertanyaan ini dapat berlarut-larut selama beberapa puluh lembar. Tugas utama kita adalah menerapkan teori probabilitas dalam praktik. Kami mengundang Anda untuk melakukan ini sekarang. Tapi sebelum itu, mari kita pertimbangkan aksioma teori probabilitas, mereka akan menjadi asisten utama dalam memecahkan masalah.

aksioma

Kami sudah bertemu yang pertama ketika kami berbicara tentang peristiwa yang mustahil. Mari kita ingat: probabilitas suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol. Kami memberikan contoh yang sangat jelas dan mudah diingat: salju turun pada suhu udara tiga puluh derajat Celcius.

Yang kedua adalah sebagai berikut: peristiwa tertentu terjadi dengan probabilitas sama dengan satu. Sekarang mari kita tunjukkan bagaimana menuliskannya menggunakan bahasa matematika: P(B)=1.

Ketiga: Suatu peristiwa acak mungkin atau mungkin tidak terjadi, tetapi kemungkinannya selalu berkisar dari nol hingga satu. Semakin dekat nilainya dengan satu, semakin besar peluangnya; jika nilainya mendekati nol, probabilitasnya sangat rendah. Mari kita tulis dalam bahasa matematika: 0<Р(С)<1.

Pertimbangkan aksioma terakhir, keempat, yang berbunyi seperti ini: peluang jumlah dua peristiwa sama dengan jumlah peluangnya. Kami menulis dalam bahasa matematika: P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Aksioma teori probabilitas adalah aturan paling sederhana yang mudah diingat. Mari kita coba memecahkan beberapa masalah, berdasarkan pengetahuan yang sudah diperoleh.

Tiket lotere

Untuk memulainya, pertimbangkan contoh paling sederhana - lotere. Bayangkan Anda membeli satu tiket lotre untuk keberuntungan. Berapa probabilitas Anda akan memenangkan setidaknya dua puluh rubel? Secara total, seribu tiket berpartisipasi dalam sirkulasi, salah satunya memiliki hadiah lima ratus rubel, sepuluh seratus rubel, lima puluh dua puluh rubel, dan seratus lima. Masalah dalam teori probabilitas didasarkan pada penemuan kemungkinan keberuntungan. Mari kita lihat solusi dari masalah di atas bersama-sama.

Jika kita menyatakan dengan huruf A kemenangan lima ratus rubel, maka probabilitas mendapatkan A adalah 0,001. Bagaimana kami mendapatkannya? Anda hanya perlu membagi jumlah tiket "bahagia" dengan jumlah totalnya (dalam hal ini: 1/1000).

B adalah kemenangan seratus rubel, probabilitasnya akan sama dengan 0,01. Sekarang kami bertindak dengan prinsip yang sama seperti pada tindakan sebelumnya (10/1000)

C - kemenangannya sama dengan dua puluh rubel. Kami menemukan probabilitas, itu sama dengan 0,05.

Tiket yang tersisa tidak menarik bagi kami, karena dana hadiahnya kurang dari yang ditentukan dalam ketentuan. Mari kita terapkan aksioma keempat: Probabilitas memenangkan setidaknya dua puluh rubel adalah P(A)+P(B)+P(C). Huruf P menunjukkan kemungkinan terjadinya peristiwa ini, kami telah menemukannya di langkah sebelumnya. Tetap hanya menambahkan data yang diperlukan, dalam jawaban kita mendapatkan 0,061. Nomor ini akan menjadi jawaban untuk pertanyaan tugas.

tumpukan kartu

Masalah dalam teori probabilitas juga lebih kompleks, misalnya, ambil tugas berikut. Di hadapan Anda ada setumpuk tiga puluh enam kartu. Tugas Anda adalah menggambar dua kartu berturut-turut tanpa mencampur tumpukan, kartu pertama dan kedua harus ace, suit tidak masalah.

Untuk memulainya, kami menemukan probabilitas bahwa kartu pertama adalah kartu as, untuk ini kami membagi empat dengan tiga puluh enam. Mereka mengesampingkannya. Kami mengeluarkan kartu kedua, itu akan menjadi kartu as dengan probabilitas tiga tiga puluh lima. Probabilitas kejadian kedua tergantung pada kartu mana yang kita ambil pertama, kita tertarik apakah itu kartu As atau bukan. Maka kejadian B bergantung pada kejadian A.

Langkah selanjutnya adalah menemukan probabilitas implementasi simultan, yaitu, kita mengalikan A dan B. Produk mereka ditemukan sebagai berikut: kita mengalikan probabilitas satu peristiwa dengan probabilitas bersyarat yang lain, yang kita hitung, dengan asumsi bahwa yang pertama peristiwa terjadi, yaitu, kami menggambar ace dengan kartu pertama.

Untuk memperjelas semuanya, mari kita beri penunjukan pada elemen seperti peristiwa. Ini dihitung dengan asumsi bahwa peristiwa A telah terjadi. Dihitung sebagai berikut: P(B/A).

Mari kita lanjutkan solusi dari masalah kita: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) atau P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B). Probabilitasnya adalah (4/36) * ((3/35)/(4/36). Hitung dengan pembulatan ke ratusan. Kita mendapatkan: 0,11 * (0,09/0,11)=0,11 * 0, 82 = 0,09 Probabilitas bahwa kita akan menarik dua ace berturut-turut adalah sembilan ratus. Nilainya sangat kecil, maka kemungkinan terjadinya peristiwa tersebut sangat kecil.

nomor yang terlupakan

Kami mengusulkan untuk menganalisis beberapa opsi lagi untuk tugas-tugas yang dipelajari oleh teori probabilitas. Anda telah melihat contoh penyelesaian beberapa di antaranya di artikel ini, mari kita coba selesaikan masalah berikut: bocah itu lupa digit terakhir nomor telepon temannya, tetapi karena panggilan itu sangat penting, dia mulai memutar semuanya secara bergantian. Kita perlu menghitung probabilitas bahwa dia akan menelepon tidak lebih dari tiga kali. Penyelesaian masalah adalah yang paling sederhana jika aturan, hukum, dan aksioma teori probabilitas diketahui.

Sebelum melihat solusinya, coba selesaikan sendiri. Kita tahu bahwa digit terakhir bisa dari nol hingga sembilan, yaitu ada sepuluh nilai total. Peluang terambil yang benar adalah 1/10.

Selanjutnya, kita perlu mempertimbangkan opsi untuk asal usul acara tersebut, misalkan anak laki-laki itu menebak dengan benar dan segera mencetak yang benar, probabilitas kejadian tersebut adalah 1/10. Opsi kedua: panggilan pertama meleset, dan yang kedua tepat sasaran. Kami menghitung probabilitas peristiwa seperti itu: kalikan 9/10 dengan 1/9, sebagai hasilnya kami juga mendapatkan 1/10. Opsi ketiga: panggilan pertama dan kedua ternyata di alamat yang salah, hanya dari yang ketiga bocah itu sampai di tempat yang diinginkannya. Kami menghitung probabilitas peristiwa seperti itu: kami mengalikan 9/10 dengan 8/9 dan dengan 1/8, kami mendapatkan 1/10 sebagai hasilnya. Sesuai dengan kondisi masalahnya, kami tidak tertarik dengan opsi lain, jadi kami tinggal menjumlahkan hasilnya, sehingga kami memiliki 3/10. Jawaban: Peluang anak laki-laki itu menelepon tidak lebih dari tiga kali adalah 0,3.

Kartu dengan angka

Ada sembilan kartu di depan Anda, yang masing-masing berisi angka dari satu hingga sembilan, angkanya tidak berulang. Mereka ditempatkan dalam kotak dan dicampur secara menyeluruh. Anda perlu menghitung probabilitas bahwa

• nomor genap akan muncul;
• dua digit.

Sebelum beralih ke solusi, mari kita tentukan bahwa m adalah jumlah kasus yang berhasil, dan n adalah jumlah opsi. Tentukan peluang munculnya bilangan genap. Tidak akan sulit untuk menghitung bahwa ada empat angka genap, ini akan menjadi m kami, ada sembilan opsi total, yaitu, m = 9. Maka peluangnya adalah 0,44 atau 4/9.

Kami mempertimbangkan kasus kedua: jumlah opsi adalah sembilan, dan tidak ada hasil yang berhasil sama sekali, yaitu, m sama dengan nol. Probabilitas bahwa kartu yang ditarik akan berisi nomor dua digit juga nol.

Apa itu probabilitas?

Dihadapkan dengan istilah ini untuk pertama kalinya, saya tidak akan mengerti apa itu. Jadi saya akan mencoba menjelaskan dengan cara yang bisa dimengerti.

Probabilitas adalah peluang terjadinya peristiwa yang diinginkan.

Misalnya, Anda memutuskan untuk mengunjungi seorang teman, mengingat pintu masuk dan bahkan lantai tempat dia tinggal. Tapi saya lupa nomor dan lokasi apartemennya. Dan sekarang Anda berdiri di tangga, dan di depan Anda ada pintu untuk dipilih.

Berapa peluang (probabilitas) bahwa jika Anda membunyikan bel pintu pertama, teman Anda akan membukakannya untuk Anda? Seluruh apartemen, dan seorang teman tinggal hanya di belakang salah satu dari mereka. Dengan kesempatan yang sama, kita bisa memilih pintu mana saja.

Tapi apa kesempatan ini?

Pintu, pintu kanan. Peluang menebak dengan membunyikan pintu pertama: . Artinya, satu dari tiga kali Anda akan menebak dengan pasti.

Kami ingin tahu dengan menelepon sekali, seberapa sering kami akan menebak pintu? Mari kita lihat semua opsi:

1. kamu menelepon untuk 1 sebuah pintu
2. kamu menelepon untuk ke-2 sebuah pintu
3. kamu menelepon untuk 3 sebuah pintu

Dan sekarang pertimbangkan semua opsi di mana seorang teman dapat menjadi:

sebuah. Di belakang 1 pintu
b. Di belakang ke-2 pintu
di. Di belakang 3 pintu

Mari kita bandingkan semua opsi dalam bentuk tabel. Tanda centang menunjukkan opsi saat pilihan Anda cocok dengan lokasi teman, tanda silang - saat tidak cocok.

Bagaimana Anda melihat semuanya? mungkin pilihan lokasi teman dan pilihan pintu mana yang Anda pilih.

TETAPI hasil yang menguntungkan dari semua . Artinya, Anda akan menebak waktu dengan membunyikan pintu sekali, yaitu. .

Ini adalah probabilitas - rasio hasil yang menguntungkan (ketika pilihan Anda bertepatan dengan lokasi teman) dengan jumlah kemungkinan peristiwa.

Definisi adalah rumusnya. Probabilitas biasanya dilambangkan p, jadi:

Sangat tidak nyaman untuk menulis formula seperti itu, jadi mari kita ambil untuk - jumlah hasil yang menguntungkan, dan untuk - jumlah total hasil.

Probabilitas dapat ditulis sebagai persentase, untuk ini Anda perlu mengalikan hasil yang dihasilkan dengan:

Mungkin, kata "hasil" menarik perhatian Anda. Karena ahli matematika menyebut berbagai tindakan (bagi kami, tindakan seperti itu adalah bel pintu) eksperimen, biasanya menyebut hasil eksperimen semacam itu sebagai hasil.

Nah, hasilnya menguntungkan dan tidak menguntungkan.

Mari kita kembali ke contoh kita. Katakanlah kita menelepon di salah satu pintu, tetapi orang asing membukanya untuk kita. Kami tidak menduga. Berapa probabilitas bahwa jika kita membunyikan salah satu pintu yang tersisa, teman kita akan membukanya untuk kita?

Jika Anda berpikir demikian, maka ini adalah kesalahan. Mari kita cari tahu.

Kami memiliki dua pintu tersisa. Jadi kami memiliki langkah-langkah yang mungkin:

1) Telepon ke 1 sebuah pintu
2) Panggilan ke-2 sebuah pintu

Seorang teman, dengan semua ini, pasti berada di belakang salah satu dari mereka (bagaimanapun, dia tidak berada di belakang yang kita panggil):

a) seorang teman 1 pintu
b) teman untuk ke-2 pintu

Mari kita menggambar tabel lagi:

Seperti yang Anda lihat, ada semua opsi, di antaranya - menguntungkan. Artinya, kemungkinannya sama.

Kenapa tidak?

Situasi yang telah kami pertimbangkan adalah contoh kejadian dependen. Acara pertama adalah bel pintu pertama, acara kedua adalah bel pintu kedua.

Dan mereka disebut dependen karena mempengaruhi tindakan berikut. Lagi pula, jika seorang teman membuka pintu setelah dering pertama, berapa peluang dia berada di belakang salah satu dari dua lainnya? Benar, .

Tetapi jika ada kejadian yang bergantung, maka pasti ada mandiri? Benar, ada.

Contoh buku teks adalah melempar koin.

1. Kami melempar koin. Berapa probabilitas bahwa, misalnya, kepala akan muncul? Itu benar - karena opsi untuk semuanya (baik kepala atau ekor, kami akan mengabaikan kemungkinan koin untuk berdiri di tepi), tetapi hanya cocok untuk kami.
2. Tapi ekornya jatuh. Oke, mari kita lakukan lagi. Berapa probabilitas muncul kepala sekarang? Tidak ada yang berubah, semuanya sama. Berapa banyak pilihan? Dua. Seberapa puas kita? Satu.

Dan biarkan ekornya rontok setidaknya seribu kali berturut-turut. Probabilitas jatuh kepala sekaligus akan sama. Selalu ada pilihan, tetapi yang menguntungkan.

Membedakan peristiwa dependen dari peristiwa independen itu mudah:

1. Jika percobaan dilakukan satu kali (sekali sebuah koin dilempar, bel pintu berbunyi satu kali, dll.), maka kejadiannya selalu independen.
2. Jika percobaan dilakukan beberapa kali (sebuah koin dilempar sekali, bel pintu dibunyikan beberapa kali), maka kejadian pertama selalu independen. Dan kemudian, jika jumlah yang menguntungkan atau jumlah semua hasil berubah, maka kejadiannya tergantung, dan jika tidak, mereka independen.

Mari kita berlatih sedikit untuk menentukan probabilitas.

Contoh 1

Uang logam dilempar dua kali. Berapa peluang mendapatkan kepala dua kali berturut-turut?

Keputusan:

Pertimbangkan semua opsi yang memungkinkan:

1. elang elang
2. ekor elang
3. ekor-elang
4. Ekor-ekor

Seperti yang Anda lihat, semua opsi. Dari jumlah tersebut, kami hanya puas. Itu adalah kemungkinannya:

Jika kondisi hanya meminta untuk menemukan probabilitas, maka jawabannya harus diberikan sebagai pecahan desimal. Jika ditunjukkan bahwa jawabannya harus diberikan dalam persentase, maka kita akan mengalikannya dengan.

Menjawab:

Contoh 2

Dalam sekotak coklat, semua permen dikemas dalam bungkus yang sama. Namun, dari permen - dengan kacang, cognac, ceri, karamel, dan nougat.

Berapa peluang mengambil satu permen dan mendapatkan permen dengan kacang. Berikan jawaban Anda dalam persentase.

Keputusan:

Ada berapa hasil yang mungkin? .

Artinya, mengambil satu permen, itu akan menjadi salah satu dari yang ada di dalam kotak.

Dan berapa banyak hasil yang menguntungkan?

Karena kotak itu hanya berisi cokelat dengan kacang.

Menjawab:

Contoh 3

Dalam kotak bola. diantaranya berwarna putih dan hitam.

1. Berapa peluang terambilnya bola putih?
2. Kami menambahkan lebih banyak bola hitam ke dalam kotak. Berapa peluang terambilnya bola putih sekarang?

Keputusan:

a) Hanya ada bola di dalam kotak. di antaranya berwarna putih.

Kemungkinannya adalah:

b) Sekarang ada bola di dalam kotak. Dan ada banyak orang kulit putih yang tersisa.

Menjawab:

Probabilitas Penuh

Peluang semua kejadian yang mungkin adalah ().

Misalnya, dalam kotak bola merah dan hijau. Berapa peluang terambilnya bola merah? bola hijau? Bola merah atau hijau?

Peluang terambilnya bola merah

bola hijau:

Bola merah atau hijau:

Seperti yang Anda lihat, jumlah semua kejadian yang mungkin sama dengan (). Memahami poin ini akan membantu Anda memecahkan banyak masalah.

Contoh 4

Ada pulpen felt-tip di dalam kotak: hijau, merah, biru, kuning, hitam.

Berapa peluang terambilnya spidol merah BUKAN?

Keputusan:

Mari kita hitung jumlahnya hasil yang menguntungkan.

BUKAN penanda merah, yang berarti hijau, biru, kuning, atau hitam.

Probabilitas semua kejadian. Dan peluang kejadian yang kita anggap tidak menguntungkan (ketika kita mengeluarkan spidol merah) adalah .

Jadi, peluang terambilnya pulpen merah BUKAN adalah -.

Menjawab:

Peluang suatu peristiwa tidak akan terjadi dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Aturan untuk mengalikan peluang kejadian independen

Anda sudah tahu apa itu acara independen.

Dan jika Anda perlu menemukan probabilitas bahwa dua (atau lebih) peristiwa independen akan terjadi berturut-turut?

Katakanlah kita ingin tahu berapa peluang bahwa dengan melempar koin sekali, kita akan melihat elang dua kali?

Kami telah mempertimbangkan - .

Bagaimana jika kita melempar koin? Berapa peluang melihat elang dua kali berturut-turut?

Total opsi yang mungkin:

1. Elang-elang-elang
2. Elang-kepala-ekor
3. Kepala-ekor-elang
4. Kepala-ekor-ekor
5. ekor-elang-elang
6. Ekor-kepala-ekor
7. Ekor-ekor-kepala
8. Ekor-ekor-ekor

Saya tidak tahu tentang Anda, tetapi saya pernah membuat daftar ini salah. Wow! Dan hanya pilihan (yang pertama) yang cocok untuk kita.

Untuk 5 gulungan, Anda dapat membuat daftar kemungkinan hasil sendiri. Tetapi ahli matematika tidak seserius Anda.

Oleh karena itu, mereka pertama-tama memperhatikan, dan kemudian membuktikan, bahwa probabilitas suatu urutan peristiwa independen tertentu berkurang setiap kali oleh probabilitas satu peristiwa.

Dengan kata lain,

Pertimbangkan contoh koin yang sama, bernasib buruk.

Probabilitas muncul kepala dalam percobaan? . Sekarang kita sedang melempar koin.

Berapa probabilitas mendapatkan ekor berturut-turut?

Aturan ini tidak hanya berfungsi jika kita diminta untuk mencari peluang kejadian yang sama akan terjadi beberapa kali berturut-turut.

Jika kita ingin menemukan urutan TAIL-EAGLE-TAILS pada flip yang berurutan, kita akan melakukan hal yang sama.

Probabilitas mendapatkan ekor - , kepala - .

Peluang terambilnya barisan TAILS-EAGLE-TAILS-TAILS:

Anda dapat memeriksanya sendiri dengan membuat tabel.

Aturan untuk menambahkan probabilitas peristiwa yang tidak kompatibel.

Jadi berhenti! Definisi baru.

Mari kita cari tahu. Mari kita ambil koin usang kita dan balikkan sekali.
Opsi yang memungkinkan:

1. Elang-elang-elang
2. Elang-kepala-ekor
3. Kepala-ekor-elang
4. Kepala-ekor-ekor
5. ekor-elang-elang
6. Ekor-kepala-ekor
7. Ekor-ekor-kepala
8. Ekor-ekor-ekor

Jadi di sini ada peristiwa yang tidak kompatibel, ini adalah urutan peristiwa tertentu yang diberikan. adalah peristiwa yang tidak kompatibel.

Jika kita ingin menentukan berapa peluang dari dua (atau lebih) kejadian yang tidak sesuai, maka kita tambahkan peluang kejadian tersebut.

Perlu Anda pahami bahwa hilangnya elang atau ekor adalah dua peristiwa yang berdiri sendiri.

Jika kita ingin menentukan berapa probabilitas suatu barisan) (atau yang lainnya) jatuh, maka kita menggunakan aturan mengalikan probabilitas.
Berapa peluang mendapatkan kepala pada lemparan pertama dan ekor pada lemparan kedua dan ketiga?

Tetapi jika kita ingin mengetahui berapa probabilitas untuk mendapatkan salah satu dari beberapa urutan, misalnya, ketika kepala muncul tepat satu kali, yaitu. opsi dan, maka kita harus menambahkan probabilitas dari urutan ini.

Pilihan total cocok untuk kita.

Kita bisa mendapatkan hal yang sama dengan menjumlahkan peluang kemunculan setiap barisan:

Jadi, kita menambahkan probabilitas ketika kita ingin menentukan probabilitas dari beberapa urutan kejadian yang tidak sesuai.

Ada aturan bagus untuk membantu Anda agar tidak bingung kapan harus mengalikan dan kapan harus menambahkan:

Mari kita kembali ke contoh di mana kita melempar koin berkali-kali dan ingin mengetahui kemungkinan melihat kepala sekali.
Apa yang akan terjadi?

Harus turun:
(kepala DAN ekor DAN ekor) OR (ekor DAN kepala DAN ekor) OR (ekor DAN ekor DAN kepala).
Dan ternyata:

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 5

Ada pensil di dalam kotak. merah, hijau, oranye dan kuning dan hitam. Berapa peluang terambilnya pensil merah atau pensil hijau?

Keputusan:

Apa yang akan terjadi? Kita harus cabut (merah ATAU hijau).

Sekarang sudah jelas, kami menambahkan probabilitas peristiwa ini:

Menjawab:

Contoh 6

Sebuah dadu dilempar dua kali, berapa peluang munculnya 8 dadu?

Keputusan.

Bagaimana kita bisa mendapatkan poin?

(dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan).

Probabilitas jatuh dari satu (apa saja) wajah adalah .

Kami menghitung probabilitas:

Menjawab:

Bekerja.

Saya pikir sekarang telah menjadi jelas bagi Anda ketika Anda perlu bagaimana menghitung probabilitas, kapan harus menambahkannya, dan kapan harus mengalikannya. Bukankah begitu? Mari kita berolahraga.

Tugas:

Mari kita ambil setumpuk kartu yang kartunya adalah sekop, hati, 13 tongkat dan 13 rebana. Dari ke Ace masing-masing setelan.

1. Berapa peluang terambilnya tongkat secara berurutan (kami memasukkan kartu pertama yang ditarik kembali ke dalam dek dan mengocoknya)?
2. Berapa peluang terambilnya kartu hitam (sekop atau tongkat)?
3. Berapa peluang terambilnya gambar (jack, queen, king, atau ace)?
4. Berapa peluang terambilnya dua gambar secara berurutan (kami mengeluarkan kartu pertama yang diambil dari tumpukan)?
5. Berapa probabilitas, mengambil dua kartu, untuk mengumpulkan kombinasi - (Jack, Queen atau King) dan As Urutan di mana kartu akan diambil tidak masalah.

Jawaban:

1. Dalam setumpuk kartu dari setiap nilai, itu berarti:
2. Kejadiannya tergantung, karena setelah kartu pertama ditarik, jumlah kartu di dek berkurang (begitu juga jumlah "gambar"). Total jack, queen, king, dan ace di dek awalnya, yang berarti peluang terambilnya “gambar” dengan kartu pertama:

   Karena kami mengeluarkan kartu pertama dari dek, itu berarti sudah ada kartu yang tersisa di dek, yang ada gambarnya. Peluang terambilnya gambar dengan kartu kedua:

   Karena kita tertarik dengan situasi ketika kita mendapatkan dari dek: "gambar" DAN "gambar", maka kita perlu mengalikan probabilitas:

   Menjawab:

3. Setelah kartu pertama ditarik, jumlah kartu di dek akan berkurang, sehingga kita memiliki dua opsi:
   1) Dengan kartu pertama kami mengeluarkan Ace, yang kedua - jack, ratu atau raja
   2) Dengan kartu pertama kami mengeluarkan jack, ratu atau raja, yang kedua - kartu as. (ace dan (jack atau ratu atau raja)) atau ((jack atau ratu atau raja) dan ace). Jangan lupa tentang mengurangi jumlah kartu di dek!

Jika Anda mampu menyelesaikan semua masalah sendiri, maka Anda adalah orang yang hebat! Sekarang tugas tentang teori probabilitas dalam ujian Anda akan mengklik seperti kacang!

TEORI PROBABILITAS. TINGKAT TENGAH

Pertimbangkan sebuah contoh. Katakanlah kita melempar dadu. Tulang macam apa ini, Anda tahu? Ini adalah nama sebuah kubus dengan angka di wajah. Berapa banyak wajah, begitu banyak angka: dari sampai berapa banyak? Sebelum.

Jadi kita melempar dadu dan menginginkannya menghasilkan or. Dan kita jatuh.

Dalam teori probabilitas mereka mengatakan apa yang terjadi acara yang menguntungkan(jangan bingung dengan baik).

Jika jatuh, acaranya juga akan menguntungkan. Secara total, hanya dua peristiwa yang menguntungkan yang dapat terjadi.

Berapa banyak yang buruk? Karena semua kemungkinan peristiwa, maka yang tidak menguntungkan adalah peristiwa (ini jika jatuh atau).

Definisi:

Probabilitas adalah rasio jumlah kejadian yang menguntungkan dengan jumlah semua kejadian yang mungkin.. Artinya, probabilitas menunjukkan berapa proporsi dari semua kemungkinan kejadian yang menguntungkan.

Mereka menunjukkan probabilitas dengan huruf Latin (tampaknya, dari kata bahasa Inggris probabilitas - probabilitas).

Merupakan kebiasaan untuk mengukur probabilitas sebagai persentase (lihat topik dan). Untuk melakukan ini, nilai probabilitas harus dikalikan. Dalam contoh dadu, probabilitas.

Dan dalam persentase: .

Contoh (putuskan sendiri):

1. Berapa peluang bahwa pelemparan sebuah koin akan mendarat di kepala? Dan berapa probabilitas ekor?
2. Berapa peluang munculnya angka genap ketika sebuah dadu dilempar? Dan dengan apa - aneh?
3. Dalam laci pensil polos, biru dan merah. Kami menggambar satu pensil secara acak. Berapa probabilitas menarik yang sederhana?

Solusi:

1. Ada berapa pilihan? Kepala dan ekor - hanya dua. Dan berapa banyak dari mereka yang menguntungkan? Hanya satu yang elang. Jadi kemungkinan

   Sama dengan ekor: .

2. Opsi total: (berapa banyak sisi kubus, begitu banyak opsi berbeda). Yang menguntungkan: (ini semua bilangan genap :).
   Kemungkinan. Dengan aneh, tentu saja, hal yang sama.
3. Jumlah: . Menguntungkan: . Kemungkinan: .

Probabilitas Penuh

Semua pensil di laci berwarna hijau. Berapa peluang terambilnya pensil merah? Tidak ada peluang: probabilitas (bagaimanapun juga, peristiwa yang menguntungkan -).

Peristiwa seperti itu disebut mustahil.

Berapa peluang terambilnya pensil hijau? Ada persis banyak peristiwa yang menguntungkan karena ada total peristiwa (semua peristiwa menguntungkan). Jadi peluangnya adalah atau.

Peristiwa semacam itu disebut pasti.

Jika ada pensil hijau dan merah di dalam kotak, berapa peluang terambilnya pensil hijau atau merah? Namun lagi. Perhatikan hal berikut: peluang terambilnya hijau adalah sama, dan merah adalah .

Singkatnya, probabilitas ini persis sama. Yaitu, jumlah peluang semua kejadian yang mungkin sama dengan atau.

Contoh:

Dalam kotak pensil, di antaranya adalah biru, merah, hijau, sederhana, kuning, dan sisanya oranye. Berapa peluang tidak terambilnya warna hijau?

Keputusan:

Ingatlah bahwa semua probabilitas bertambah. Dan peluang terambilnya hijau adalah sama. Ini berarti peluang tidak terambilnya hijau adalah sama.

Ingat trik ini: Peluang suatu peristiwa tidak akan terjadi dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Peristiwa independen dan aturan perkalian

Anda melempar koin dua kali dan Anda ingin koin itu muncul dua kali. Berapa probabilitas ini?

Mari kita lihat semua opsi yang mungkin dan tentukan berapa banyak yang ada:

Elang-Elang, Ekor-Elang, Ekor-Elang, Ekor-Ekor. Apa lagi?

Seluruh varian. Dari jumlah tersebut, hanya satu yang cocok untuk kita: Elang-Elang. Jadi, kemungkinannya sama.

Bagus. Sekarang mari kita melempar koin. Hitung sendiri. Telah terjadi? (menjawab).

Anda mungkin telah memperhatikan bahwa dengan penambahan setiap lemparan berikutnya, kemungkinannya berkurang satu faktor. Aturan umum disebut aturan perkalian:

Probabilitas peristiwa independen berubah.

Apa itu acara independen? Semuanya logis: ini adalah mereka yang tidak bergantung satu sama lain. Misalnya, ketika kita melempar koin beberapa kali, setiap kali ada lemparan baru, hasilnya tidak tergantung pada semua lemparan sebelumnya. Dengan keberhasilan yang sama, kita dapat melempar dua koin yang berbeda secara bersamaan.

Contoh lainnya:

1. Sebuah dadu dilempar dua kali. Berapa probabilitas bahwa itu akan muncul kedua kali?
2. Sebuah koin dilempar berkali-kali. Berapa probabilitas mendapatkan kepala lebih dulu dan kemudian ekor dua kali?
3. Pemain melempar dua dadu. Berapa peluang bahwa jumlah angka pada mereka akan sama?

Jawaban:

1. Peristiwanya independen, yang berarti aturan perkalian berfungsi: .
2. Probabilitas seekor elang adalah sama. Kemungkinan ekor juga. Kami mengalikan:
3. 12 hanya dapat diperoleh jika dua -ki rontok: .

Acara yang tidak kompatibel dan aturan penambahan

Peristiwa yang tidak kompatibel adalah peristiwa yang saling melengkapi dengan probabilitas penuh. Seperti namanya, mereka tidak bisa terjadi pada saat yang bersamaan. Misalnya, jika kita melempar koin, kepala atau ekornya bisa rontok.

Contoh.

Dalam kotak pensil, di antaranya adalah biru, merah, hijau, sederhana, kuning, dan sisanya oranye. Berapa peluang terambilnya warna hijau atau merah?

Keputusan .

Peluang terambilnya pensil hijau adalah sama. Merah - .

Acara keberuntungan semua: hijau + merah. Jadi peluang terambilnya hijau atau merah adalah sama.

Probabilitas yang sama dapat direpresentasikan dalam bentuk berikut: .

Ini adalah aturan penambahan: probabilitas peristiwa yang tidak kompatibel bertambah.

Tugas campuran

Contoh.

Uang logam dilempar dua kali. Berapa peluang hasil pelemparan akan berbeda?

Keputusan .

Ini berarti bahwa jika kepala muncul lebih dulu, ekor harus di urutan kedua, dan sebaliknya. Ternyata ada dua pasang kejadian independen di sini, dan pasangan ini tidak cocok satu sama lain. Bagaimana agar tidak bingung di mana harus mengalikan dan di mana harus menambahkan.

Ada aturan sederhana untuk situasi seperti itu. Coba gambarkan apa yang seharusnya terjadi dengan menghubungkan kejadian dengan serikat pekerja "DAN" atau "ATAU". Misalnya, dalam hal ini:

Harus berguling (kepala dan ekor) atau (ekor dan kepala).

Di mana ada persatuan "dan", akan ada perkalian, dan di mana "atau" adalah penambahan:

Cobalah sendiri:

1. Berapa peluang munculnya dua pelemparan mata uang logam dengan sisi yang sama pada kedua kali?
2. Sebuah dadu dilempar dua kali. Berapa probabilitas bahwa jumlah tersebut akan kehilangan poin?

Solusi:

1. (Kepala ke atas dan kepala ke atas) atau (ekor ke atas dan ekor ke atas): .
2. Apa saja pilihannya? dan. Kemudian:
   Digulung (dan) atau (dan) atau (dan): .

Contoh lain:

Kami melempar koin sekali. Berapa probabilitas bahwa kepala akan muncul setidaknya sekali?

Keputusan:

Oh, betapa saya tidak ingin memilah-milah opsi ... Ekor-kepala, Ekor-elang, ... Tapi Anda tidak harus melakukannya! Mari kita bicara tentang probabilitas penuh. Ingat? Berapa peluang elang tersebut tidak akan pernah jatuh? Sederhana saja: ekor terbang sepanjang waktu, itu artinya.

TEORI PROBABILITAS. SINGKAT TENTANG UTAMA

Probabilitas adalah rasio jumlah kejadian yang menguntungkan dengan jumlah semua kejadian yang mungkin.

Acara independen

Dua peristiwa adalah independen jika terjadinya satu tidak mengubah probabilitas yang lain terjadi.

Probabilitas Penuh

Peluang semua kejadian yang mungkin adalah ().

Peluang suatu peristiwa tidak akan terjadi dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Aturan untuk mengalikan peluang kejadian independen

Peluang suatu barisan kejadian bebas tertentu sama dengan hasil kali peluang masing-masing kejadian tersebut

Acara yang tidak kompatibel

Peristiwa yang tidak sesuai adalah peristiwa yang tidak mungkin terjadi secara bersamaan sebagai hasil dari percobaan. Sejumlah peristiwa yang tidak kompatibel membentuk kelompok peristiwa yang lengkap.

Probabilitas peristiwa yang tidak kompatibel bertambah.

Setelah menjelaskan apa yang harus terjadi, menggunakan serikat pekerja "DAN" atau "ATAU", alih-alih "DAN", kami menempatkan tanda perkalian, dan bukannya "ATAU" - penambahan.

2/3 ARTIKEL SISA HANYA TERSEDIA UNTUK SISWA KAMU!

Menjadi siswa YouClever,

Siapkan OGE atau GUNAKAN dalam matematika dengan harga "secangkir kopi per bulan",

Dan juga dapatkan akses tak terbatas ke buku teks "YouClever", program pelatihan "100gia" (buku solusi), USE dan OGE percobaan tak terbatas, 6000 tugas dengan analisis solusi dan layanan YouClever dan 100gia lainnya.

Ketika sebuah koin dilempar, dapat dikatakan bahwa koin tersebut akan mendarat dengan kepala tegak, atau kemungkinan dari ini adalah 1/2. Tentu saja, ini tidak berarti bahwa jika sebuah koin dilempar 10 kali, koin itu pasti akan mendarat di kepala sebanyak 5 kali. Jika koin itu "adil" dan jika dilempar berkali-kali, maka kepala akan muncul sangat dekat separuh waktu. Jadi, ada dua jenis probabilitas: eksperimental dan teoretis .

Probabilitas eksperimental dan teoretis

Jika kita melempar koin berkali-kali - katakanlah 1.000 - dan hitung berapa kali muncul kepala, kita dapat menentukan probabilitas munculnya kepala. Jika kepala muncul 503 kali, kita dapat menghitung peluang munculnya:
503/1000, atau 0,503.

Ini eksperimental definisi probabilitas. Definisi probabilitas ini berasal dari pengamatan dan studi data dan cukup umum dan sangat berguna. Misalnya, berikut adalah beberapa probabilitas yang ditentukan secara eksperimental:

1. Peluang seorang wanita terkena kanker payudara adalah 1/11.

2. Jika kamu mencium seseorang yang sedang pilek, maka kemungkinan kamu juga akan terkena flu adalah 0,07.

3. Seseorang yang baru saja dibebaskan dari penjara memiliki kemungkinan 80% untuk kembali ke penjara.

Jika kita mempertimbangkan pelemparan sebuah koin dan memperhitungkan kemungkinan munculnya kepala atau ekor yang sama, kita dapat menghitung peluang munculnya kepala: 1 / 2. Ini adalah definisi teoretis tentang probabilitas. Berikut adalah beberapa probabilitas lain yang telah ditentukan secara teoritis menggunakan matematika:

1. Jika dalam sebuah ruangan terdapat 30 orang, peluang dua orang di antaranya memiliki tanggal lahir yang sama (tidak termasuk tahun) adalah 0,706.

2. Selama perjalanan, Anda bertemu seseorang dan selama percakapan Anda menemukan bahwa Anda memiliki kenalan yang sama. Reaksi khas: "Itu tidak mungkin!" Faktanya, frasa ini tidak cocok, karena kemungkinan peristiwa semacam itu cukup tinggi - lebih dari 22%.

Oleh karena itu, probabilitas eksperimen ditentukan dengan observasi dan pengumpulan data. Probabilitas teoretis ditentukan oleh penalaran matematis. Contoh probabilitas eksperimental dan teoritis, seperti yang dibahas di atas, dan terutama yang tidak kita harapkan, membawa kita pada pentingnya mempelajari probabilitas. Anda mungkin bertanya, "Apakah probabilitas yang sebenarnya?" Sebenarnya, tidak ada. Secara eksperimental dimungkinkan untuk menentukan probabilitas dalam batas-batas tertentu. Mereka mungkin atau mungkin tidak bertepatan dengan probabilitas yang kita peroleh secara teoritis. Ada situasi di mana lebih mudah untuk mendefinisikan satu jenis probabilitas daripada yang lain. Misalnya, akan cukup untuk menemukan probabilitas terkena flu menggunakan probabilitas teoretis.

Perhitungan probabilitas eksperimental

Pertimbangkan dulu definisi eksperimental probabilitas. Prinsip dasar yang kami gunakan untuk menghitung probabilitas tersebut adalah sebagai berikut.

Prinsip P (eksperimental)

Jika dalam suatu percobaan yang dilakukan n pengamatan, situasi atau peristiwa E terjadi m kali dalam n pengamatan, maka peluang percobaan peristiwa tersebut dikatakan P (E) = m/n.

Contoh 1 Survei sosiologis. Sebuah studi eksperimental dilakukan untuk menentukan jumlah kidal, tangan kanan dan orang-orang di mana kedua tangan sama-sama berkembang.Hasilnya ditunjukkan pada grafik.

a) Tentukan peluang bahwa orang tersebut tidak kidal.

b) Tentukan peluang bahwa orang tersebut kidal.

c) Tentukan peluang bahwa orang tersebut sama-sama fasih dalam kedua tangannya.

d) Kebanyakan turnamen PBA memiliki 120 pemain. Berdasarkan percobaan ini, berapa banyak pemain yang kidal?

Keputusan

a) Banyaknya orang yang tidak kidal adalah 82, yang kidal adalah 17, dan yang sama-sama fasih menggunakan kedua tangan adalah 1. Banyaknya pengamatan adalah 100. Jadi, peluang bahwa seseorang tidak kidal adalah P
P = 82/100, atau 0,82, atau 82%.

b) Peluang seseorang kidal adalah P, dimana
P = 17/100 atau 0,17 atau 17%.

c. Peluang seseorang sama-sama fasih menggunakan kedua tangannya adalah P, dimana
P = 1/100 atau 0,01 atau 1%.

d) 120 bowler dan dari (b) kita dapat mengharapkan 17% kidal. Dari sini
17% dari 120 = 0,17.120 = 20,4,
yaitu, kita dapat mengharapkan sekitar 20 pemain menjadi kidal.

Contoh 2 Kontrol kualitas . Sangat penting bagi produsen untuk menjaga kualitas produk mereka pada tingkat yang tinggi. Bahkan, perusahaan mempekerjakan inspektur kontrol kualitas untuk memastikan proses ini. Tujuannya adalah untuk melepaskan produk cacat seminimal mungkin. Tetapi karena perusahaan memproduksi ribuan item setiap hari, ia tidak dapat memeriksa setiap item untuk menentukan apakah itu cacat atau tidak. Untuk mengetahui berapa persen produk yang cacat, perusahaan menguji produk yang jauh lebih sedikit.
USDA mengharuskan 80% benih yang dijual petani berkecambah. Untuk mengetahui kualitas benih yang dihasilkan oleh perusahaan pertanian tersebut, ditanam 500 benih dari benih yang telah dihasilkan. Setelah itu, dihitung 417 biji yang berkecambah.

a) Berapa peluang benih tersebut berkecambah?

b) Apakah benih memenuhi standar pemerintah?

Keputusan a) Kita tahu bahwa dari 500 benih yang ditanam, 417 bertunas. Probabilitas perkecambahan biji P, dan
P = 417/500 = 0,834, atau 83,4%.

b) Karena persentase benih yang berkecambah melebihi 80% dari permintaan, benih tersebut memenuhi standar negara bagian.

Contoh 3 peringkat TV. Menurut statistik, ada 105.500.000 rumah tangga TV di Amerika Serikat. Setiap minggu, informasi tentang program menonton dikumpulkan dan diproses. Dalam satu minggu, 7.815.000 rumah tangga menonton serial komedi hit CBS, Everyone Loves Raymond dan 8.302.000 rumah tangga menonton Law & Order NBC (Sumber: Nielsen Media Research). Berapa probabilitas bahwa TV satu rumah disetel ke "Everybody Loves Raymond" selama minggu tertentu? ke "Law & Order"?

Larutan Probabilitas bahwa TV dalam satu rumah tangga diatur ke "Semua Orang Mencintai Raymond" adalah P, dan
P = 7.815.000/105.500.000 0,074 7,4%.
Kemungkinan TV rumah tangga disetel ke "Hukum & Ketertiban" adalah P, dan
P = 8.302.000/105.500.000 0,079 7,9%.
Persentase ini disebut peringkat.

probabilitas teoretis

Misalkan kita sedang melakukan eksperimen, seperti melempar koin atau anak panah, menggambar kartu dari dek, atau menguji kualitas produk di jalur perakitan. Setiap hasil yang mungkin dari percobaan semacam itu disebut Keluaran . Himpunan semua hasil yang mungkin disebut ruang hasil . Peristiwa itu adalah satu set hasil, yaitu, bagian dari ruang hasil.

Contoh 4 Melempar anak panah. Misalkan dalam eksperimen "melempar anak panah", anak panah itu mengenai sasaran. Temukan masing-masing dari berikut ini:

b) Ruang hasil

Keputusan
a) Hasil: memukul hitam (H), memukul merah (K) dan memukul putih (B).

b) Ada ruang hasil (pukul hitam, tekan merah, tekan putih), yang dapat ditulis secara sederhana sebagai (B, R, B).

Contoh 5 Melempar dadu. Sebuah dadu adalah kubus dengan enam sisi, yang masing-masing memiliki satu hingga enam titik.


Misalkan kita melempar dadu. Menemukan
a) Hasil
b) Ruang hasil

Keputusan
a) Hasil: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Ruang hasil (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Kami menyatakan probabilitas bahwa suatu peristiwa E terjadi sebagai P(E). Misalnya, "koin akan mendarat di ekor" dapat dilambangkan dengan H. Maka P(H) adalah probabilitas bahwa koin akan mendarat di ekor. Jika semua hasil dari suatu eksperimen memiliki peluang yang sama untuk terjadi, maka semua hasil tersebut dikatakan memiliki peluang yang sama. Untuk melihat perbedaan antara kejadian yang kemungkinannya sama dan kejadian yang kemungkinannya tidak sama, pertimbangkan target yang ditunjukkan di bawah ini.

Untuk target A, peristiwa hit hitam, merah, dan putih memiliki kemungkinan yang sama, karena sektor hitam, merah, dan putih adalah sama. Namun, untuk target B, zona dengan warna-warna ini tidak sama, yaitu kemungkinan mengenainya tidak sama.

Prinsip P (Teoretis)

Jika suatu kejadian E dapat terjadi dalam m cara dari n hasil yang mungkin dari ruang hasil S, maka: probabilitas teoretis kejadian, P(E) adalah
P(E) = m/n.

Contoh 6 Berapa peluang pelemparan sebuah dadu 3 dengan pelemparan sebuah dadu?

Keputusan Ada 6 kemungkinan hasil yang sama pada dadu dan hanya ada satu kemungkinan pelemparan angka 3. Maka peluang P adalah P(3) = 1/6.

Contoh 7 Berapa peluang munculnya angka genap pada dadu?

Keputusan Acaranya adalah pelemparan bilangan genap. Ini bisa terjadi dalam 3 cara (jika Anda menggulung 2, 4 atau 6). Banyaknya hasil yang mungkin sama adalah 6. Maka peluang P(genap) = 3/6, atau 1/2.

Kami akan menggunakan sejumlah contoh yang terkait dengan dek 52 kartu standar. Dek semacam itu terdiri dari kartu yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Contoh 8 Berapa peluang terambilnya sebuah kartu as dari setumpuk kartu yang telah dikocok dengan baik?

Keputusan Ada 52 hasil (jumlah kartu di geladak), kemungkinannya sama (jika geladak tercampur rata), dan ada 4 cara untuk menarik kartu as, jadi menurut prinsip P, peluang
P(menggambar kartu As) = 4/52, atau 1/13.

Contoh 9 Misalkan kita memilih tanpa melihat satu kelereng dari kantong yang berisi 3 kelereng merah dan 4 kelereng hijau. Berapa peluang terambilnya bola merah?

Keputusan Ada 7 kemungkinan yang sama untuk mendapatkan bola, dan karena banyak cara untuk mengambil bola merah adalah 3, kita peroleh
P(memilih bola merah) = 3/7.

Pernyataan berikut merupakan hasil dari prinsip P.

Properti Probabilitas

a) Jika kejadian E tidak mungkin terjadi, maka P(E) = 0.
b) Jika peristiwa E pasti terjadi maka P(E) = 1.
c) Peluang terjadinya kejadian E adalah bilangan antara 0 dan 1: 0 P(E) 1.

Sebagai contoh, dalam pelemparan sebuah koin, kejadian dimana koin tersebut mendarat di tepinya memiliki peluang nol. Probabilitas bahwa sebuah koin adalah salah satu kepala atau ekor memiliki probabilitas 1.

Contoh 10 Misalkan 2 kartu diambil dari setumpuk dengan 52 kartu. Berapa peluang keduanya adalah sekop?

Keputusan Banyaknya n cara pengambilan 2 kartu dari tumpukan 52 kartu yang telah dikocok dengan baik adalah 52 C 2 . Karena 13 dari 52 kartu adalah sekop, banyaknya m cara pengambilan 2 sekop adalah 13 C 2 . Kemudian,
P(meregangkan 2 puncak) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

Contoh 11 Misalkan 3 orang dipilih secara acak dari kelompok yang terdiri dari 6 pria dan 4 wanita. Berapa peluang terpilihnya 1 pria dan 2 wanita?

Keputusan Banyaknya cara memilih tiga orang dari kelompok 10 orang 10 C 3 . Seorang pria dapat dipilih dengan cara 6 C 1 dan 2 wanita dapat dipilih dengan cara 4 C 2 . Menurut prinsip dasar menghitung, banyak cara untuk memilih pria pertama dan 2 wanita adalah 6 C 1 . 4C2. Maka peluang terpilihnya 1 pria dan 2 wanita adalah
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

Contoh 12 Melempar dadu. Berapa peluang pelemparan total 8 pada dua dadu?

Keputusan Ada 6 kemungkinan hasil pada setiap dadu. Hasilnya digandakan, yaitu, ada 6,6 atau 36 kemungkinan cara jatuhnya angka pada dua dadu. (Lebih baik jika kubusnya berbeda, katakan yang satu merah dan yang lainnya biru - ini akan membantu memvisualisasikan hasilnya.)

Pasangan bilangan yang berjumlah 8 ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Ada 5 cara yang mungkin untuk mendapatkan jumlah yang sama dengan 8, maka peluangnya adalah 5/36.

PENGANTAR

Banyak hal yang tidak dapat kita pahami, bukan karena konsep kita lemah;
tetapi karena hal-hal ini tidak masuk ke dalam lingkaran konsep kita.
Kozma Prutkov

Tujuan utama mempelajari matematika di lembaga pendidikan khusus menengah adalah untuk memberi siswa seperangkat pengetahuan dan keterampilan matematika yang diperlukan untuk mempelajari disiplin ilmu program lain yang menggunakan matematika sampai tingkat tertentu, untuk kemampuan melakukan perhitungan praktis, untuk pembentukan dan pengembangan. dari pemikiran logis.

Dalam makalah ini, semua konsep dasar dari bagian matematika "Dasar-dasar Teori Probabilitas dan Statistik Matematika", disediakan oleh program dan Standar Pendidikan Negara untuk Pendidikan Kejuruan Menengah (Kementerian Pendidikan Federasi Rusia. M., 2002 ), secara konsisten diperkenalkan, teorema utama dirumuskan, yang sebagian besar tidak terbukti . Tugas utama dan metode untuk solusi mereka dan teknologi untuk menerapkan metode ini untuk memecahkan masalah praktis dipertimbangkan. Presentasi disertai dengan komentar rinci dan banyak contoh.

Instruksi metodis dapat digunakan untuk pengenalan awal dengan materi yang dipelajari, saat membuat catatan kuliah, untuk mempersiapkan latihan praktis, untuk mengkonsolidasikan pengetahuan, keterampilan, dan kemampuan yang diperoleh. Selain itu, manual ini akan berguna bagi mahasiswa sarjana sebagai alat referensi yang memungkinkan Anda dengan cepat mengembalikan apa yang telah dipelajari sebelumnya dalam ingatan.

Di akhir pekerjaan, diberikan contoh dan tugas yang dapat dilakukan siswa dalam mode pengendalian diri.

Instruksi metodologis ditujukan untuk siswa korespondensi dan bentuk pendidikan penuh waktu.

KONSEP DASAR

Teori probabilitas mempelajari keteraturan objektif dari peristiwa acak massal. Ini adalah dasar teoritis untuk statistik matematika, berurusan dengan pengembangan metode untuk mengumpulkan, menggambarkan dan memproses hasil pengamatan. Melalui observasi (tes, eksperimen), yaitu pengalaman dalam arti luas, ada pengetahuan tentang fenomena dunia nyata.

Dalam kegiatan praktis kita, kita sering menjumpai fenomena, yang hasilnya tidak dapat diprediksi, yang hasilnya tergantung pada kebetulan.

Fenomena acak dapat dicirikan oleh rasio jumlah kemunculannya dengan jumlah percobaan, di mana masing-masing, di bawah kondisi yang sama dari semua percobaan, itu bisa terjadi atau tidak.

Teori probabilitas adalah cabang matematika di mana fenomena acak (peristiwa) dipelajari dan keteraturan terungkap ketika mereka diulang secara besar-besaran.

Statistika matematika adalah cabang matematika yang sebagai pokok bahasannya mempelajari metode untuk mengumpulkan, mensistematisasikan, mengolah, dan menggunakan data statistik untuk memperoleh kesimpulan berdasarkan ilmiah dan membuat keputusan.

Pada saat yang sama, data statistik dipahami sebagai sekumpulan angka yang mewakili karakteristik kuantitatif dari fitur-fitur objek yang dipelajari yang menarik bagi kita. Data statistik diperoleh sebagai hasil eksperimen dan pengamatan yang dirancang khusus.

Data statistik pada hakikatnya bergantung pada banyak faktor acak, sehingga statistik matematika erat kaitannya dengan teori probabilitas yang menjadi landasan teorinya.

I. PROBABILITAS. TEOREMA TAMBAHAN DAN MULTIPLIKASI PROBABILITAS

1.1. Konsep dasar kombinatorik

Di bagian matematika yang disebut kombinatorik, beberapa masalah diselesaikan terkait dengan pertimbangan himpunan dan kompilasi berbagai kombinasi elemen himpunan ini. Misalnya, jika kita mengambil 10 angka berbeda 0, 1, 2, 3,:, 9 dan membuat kombinasinya, kita akan mendapatkan angka yang berbeda, misalnya 143, 431, 5671, 1207, 43, dst.

Kami melihat bahwa beberapa kombinasi ini hanya berbeda dalam urutan digit (misalnya, 143 dan 431), yang lain dalam jumlah yang termasuk di dalamnya (misalnya, 5671 dan 1207), dan yang lain juga berbeda dalam jumlah digit ( misalnya, 143 dan 43).

Dengan demikian, kombinasi yang diperoleh memenuhi berbagai kondisi.

Tergantung pada aturan kompilasi, tiga jenis kombinasi dapat dibedakan: permutasi, penempatan, kombinasi.

Yuk kenalan dulu dengan konsepnya faktorial.

Hasil kali semua bilangan asli dari 1 sampai n disebut n-faktorial dan tulis.

Hitung: a) ; b) ; di) .

Keputusan. sebuah) .

b) juga , maka Anda dapat mengeluarkannya dari tanda kurung

Kemudian kita mendapatkan

di) .

Permutasi.

Kombinasi dari n elemen yang berbeda satu sama lain hanya dalam urutan elemen disebut permutasi.

Permutasi dilambangkan dengan simbol P n , di mana n adalah jumlah elemen dalam setiap permutasi. ( R- huruf pertama dari kata Perancis permutasi- permutasi).

Banyaknya permutasi dapat dihitung dengan menggunakan rumus

atau dengan faktorial:

Mari kita ingat itu 0!=1 dan 1!=1.

Contoh 2. Dalam berapa cara enam buku berbeda dapat disusun dalam satu rak?

Keputusan. Banyaknya cara yang diinginkan sama dengan banyaknya permutasi dari 6 elemen, yaitu

Akomodasi.

Penempatan dari m elemen dalam n di masing-masing, senyawa tersebut disebut yang berbeda satu sama lain baik oleh unsur-unsur itu sendiri (setidaknya satu), atau berdasarkan urutan lokasi.

Lokasi dilambangkan dengan simbol , dimana m adalah jumlah semua elemen yang tersedia, n adalah jumlah elemen dalam setiap kombinasi. ( TETAPI- huruf pertama dari kata Perancis pengaturan, yang berarti "penempatan, penertiban").

Pada saat yang sama, diasumsikan bahwa nm.

Jumlah penempatan dapat dihitung menggunakan rumus

,

itu. jumlah semua kemungkinan penempatan dari m elemen oleh n sama dengan produk n bilangan bulat berurutan, yang lebih besar adalah m.

Kami menulis rumus ini dalam bentuk faktorial:

Contoh 3. Berapa banyak pilihan untuk pembagian tiga voucher ke sanatorium dari berbagai profil yang dapat dibuat untuk lima pelamar?

Keputusan. Jumlah opsi yang diinginkan sama dengan jumlah penempatan 5 elemen dengan 3 elemen, mis.

.

kombinasi.

Kombinasi adalah semua kemungkinan kombinasi dari m elemen oleh n, yang berbeda satu sama lain oleh setidaknya satu elemen (di sini m dan n- bilangan asli, dan nm).

Jumlah kombinasi dari m elemen oleh n dilambangkan ( Dengan- huruf pertama dari kata Perancis kombinasi- kombinasi).

Secara umum, jumlah m elemen oleh n sama dengan jumlah penempatan dari m elemen oleh n dibagi dengan banyaknya permutasi dari n elemen:

Menggunakan rumus faktorial untuk penempatan dan nomor permutasi, kita mendapatkan:

Contoh 4. Dalam sebuah tim yang terdiri dari 25 orang, Anda perlu mengalokasikan empat orang untuk bekerja di area tertentu. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?

Keputusan. Karena urutan empat orang yang dipilih tidak masalah, ini bisa dilakukan dengan cara.

Kami menemukan dengan rumus pertama

.

Selain itu, saat menyelesaikan masalah, rumus berikut digunakan yang menyatakan sifat utama kombinasi:

(menurut definisi, dan diasumsikan);

.

1.2. Memecahkan masalah kombinatorial

Tugas 1. 16 mata pelajaran dipelajari di fakultas. Pada hari Senin, Anda harus memasukkan 3 mata pelajaran ke dalam jadwal. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?

Keputusan. Ada banyak cara untuk menjadwalkan tiga item dari 16 karena ada penempatan 16 elemen masing-masing 3 item.

Tugas 2. Dari 15 objek, 10 objek harus dipilih. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?

Tugas 3. Empat tim berpartisipasi dalam kompetisi. Berapa banyak pilihan untuk pembagian kursi di antara mereka yang mungkin?

.

Soal 4. Dalam berapa cara patroli yang terdiri dari tiga prajurit dan satu perwira dapat dibentuk jika ada 80 prajurit dan 3 perwira?

Keputusan. Prajurit yang berpatroli dapat dipilih

cara, dan cara petugas. Karena setiap perwira dapat pergi dengan setiap tim tentara, hanya ada satu cara.

Tugas 5. Cari jika diketahui bahwa .

Karena , kita dapatkan

,

,

Dengan definisi kombinasi berikut bahwa , . Itu. .

1.3. Konsep peristiwa acak. Jenis acara. Probabilitas Peristiwa

Setiap tindakan, fenomena, pengamatan dengan beberapa hasil berbeda, yang diwujudkan dalam serangkaian kondisi tertentu, akan disebut uji.

Hasil dari tindakan atau pengamatan ini disebut peristiwa .

Jika suatu peristiwa dalam kondisi tertentu dapat terjadi atau tidak terjadi, maka itu disebut acak . Jika suatu peristiwa pasti terjadi, itu disebut dapat diandalkan , dan jika hal itu tidak mungkin terjadi, - mustahil.

Peristiwa tersebut disebut tidak cocok jika hanya satu dari mereka yang dapat muncul setiap saat.

Peristiwa tersebut disebut persendian jika, di bawah kondisi yang diberikan, terjadinya salah satu peristiwa ini tidak mengecualikan terjadinya yang lain dalam tes yang sama.

Peristiwa tersebut disebut di depan , jika di bawah kondisi pengujian mereka, sebagai satu-satunya hasil, tidak kompatibel.

Peristiwa biasanya dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin: A, B, C, D, : .

Sistem lengkap kejadian A 1 , A 2 , A 3 , : , A n adalah himpunan kejadian yang tidak kompatibel, kemunculan setidaknya satu di antaranya adalah wajib untuk tes yang diberikan.

Jika suatu sistem lengkap terdiri dari dua peristiwa yang tidak kompatibel, maka peristiwa tersebut disebut berlawanan dan dilambangkan dengan A dan .

Contoh. Dalam sebuah kotak terdapat 30 bola bernomor. Tentukan mana dari peristiwa berikut yang tidak mungkin, pasti, berlawanan:

mendapat bola bernomor (TETAPI);

menggambar bola bernomor genap (PADA);

mengambil bola bernomor ganjil (DENGAN);

mendapat bola tanpa nomor (D).

Manakah dari mereka yang membentuk kelompok lengkap?

Keputusan . TETAPI- peristiwa tertentu; D- peristiwa yang tidak mungkin;

di dan Dengan- peristiwa yang berlawanan.

Kelompok acara yang lengkap adalah TETAPI dan D, V dan Dengan.

Probabilitas suatu peristiwa dianggap sebagai ukuran kemungkinan objektif terjadinya peristiwa acak.

1.4. Definisi klasik dari probabilitas

Bilangan yang merupakan ekspresi dari ukuran kemungkinan objektif terjadinya suatu peristiwa disebut kemungkinan peristiwa ini dan dilambangkan dengan simbol P(A).

Definisi. Peluang suatu kejadian TETAPI adalah rasio jumlah hasil m yang mendukung terjadinya peristiwa tertentu TETAPI, ke nomor n semua hasil (tidak kompatibel, unik dan sama-sama mungkin), yaitu. .

Oleh karena itu, untuk menemukan peluang suatu kejadian, perlu, setelah mempertimbangkan berbagai hasil tes, untuk menghitung semua kemungkinan hasil yang tidak sesuai. n, pilih jumlah hasil yang kita minati m dan hitung rasionya m ke n.

Properti berikut mengikuti dari definisi ini:

Probabilitas percobaan apa pun adalah angka non-negatif yang tidak melebihi satu.

Memang, jumlah m dari peristiwa yang diinginkan terletak di dalam . Membagi kedua bagian menjadi n, kita mendapatkan

2. Peluang suatu kejadian tertentu sama dengan satu, karena .

3. Probabilitas suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol karena .

Soal 1. Ada 200 pemenang dari 1000 tiket dalam lotere. Satu tiket diambil secara acak. Berapa probabilitas bahwa tiket ini menang?

Keputusan. Banyaknya hasil yang berbeda adalah n= 1000. Banyaknya hasil yang mendukung kemenangan adalah m=200. Menurut rumus, kita mendapatkan

.

Tugas 2. Dalam batch 18 bagian, ada 4 yang rusak. 5 buah dipilih secara acak. Tentukan peluang bahwa dua dari 5 bagian ini rusak.

Keputusan. Jumlah semua hasil independen yang sama mungkin n sama dengan jumlah kombinasi dari 18 hingga 5 yaitu.

Mari kita hitung bilangan m yang mendukung kejadian A. Di antara 5 bagian yang dipilih secara acak, harus ada 3 yang berkualitas tinggi dan 2 yang rusak. Banyaknya cara untuk memilih dua bagian yang rusak dari 4 bagian yang cacat yang tersedia sama dengan jumlah kombinasi dari 4 hingga 2:

Banyaknya cara untuk memilih tiga suku cadang berkualitas dari 14 suku cadang berkualitas yang tersedia sama dengan

.

Setiap kelompok suku cadang berkualitas dapat digabungkan dengan sekelompok suku cadang yang rusak, sehingga jumlah total kombinasi m adalah

Probabilitas yang diinginkan dari kejadian A sama dengan rasio jumlah hasil m yang mendukung kejadian ini dengan jumlah n dari semua kemungkinan hasil independen yang sama:

.

Jumlah dari sejumlah kejadian berhingga adalah kejadian yang terdiri dari terjadinya setidaknya satu dari mereka.

Jumlah dua peristiwa dilambangkan dengan simbol A + B, dan jumlah n simbol peristiwa A 1 +A 2 + : +A n .

Teorema penjumlahan peluang.

Probabilitas jumlah dua kejadian yang tidak sesuai sama dengan jumlah peluang kejadian tersebut.

Akibat wajar 1. Jika kejadian 1 , 2 , : , n membentuk suatu sistem yang lengkap, maka jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut sama dengan satu.

Akibat wajar 2. Jumlah peluang kejadian yang berlawanan dan sama dengan satu.

.

Soal 1. Ada 100 tiket lotere. Diketahui bahwa 5 tiket mendapatkan kemenangan 20.000 rubel, 10 - 15.000 rubel, 15 - 10.000 rubel, 25 - 2.000 rubel. dan tidak ada untuk sisanya. Temukan probabilitas bahwa tiket yang dibeli akan memenangkan setidaknya 10.000 rubel.

Keputusan. Biarkan A, B, dan C menjadi peristiwa yang terdiri dari fakta bahwa hadiah yang sama dengan 20.000, 15.000 dan 10.000 rubel jatuh pada tiket yang dibeli. karena kejadian A, B, dan C tidak sesuai, maka

Tugas 2. Departemen korespondensi sekolah teknik menerima tes matematika dari kota A, B dan Dengan. Probabilitas penerimaan pekerjaan kontrol dari kota TETAPI sama dengan 0,6, dari kota PADA- 0,1. Temukan probabilitas bahwa pekerjaan kontrol berikutnya akan datang dari kota Dengan.

Contoh paling sederhana dari hubungan antara dua peristiwa adalah hubungan kausal, ketika terjadinya salah satu peristiwa tentu mengarah pada terjadinya yang lain, atau sebaliknya, ketika terjadinya satu mengecualikan kemungkinan terjadinya yang lain.

Untuk mengkarakterisasi ketergantungan beberapa peristiwa pada orang lain, konsep ini diperkenalkan probabilitas bersyarat.

Definisi. Biarlah TETAPI dan PADA- dua peristiwa acak dari tes yang sama. Maka peluang bersyarat dari kejadian tersebut TETAPI atau peluang kejadian A, asalkan kejadian B telah terjadi, disebut bilangan.

Menunjukkan probabilitas bersyarat , kami memperoleh rumus

, .

Tugas 1. Hitung probabilitas bahwa anak laki-laki kedua akan lahir dalam keluarga dengan satu anak laki-laki.

Keputusan. Biarkan acara TETAPI terdiri dari fakta bahwa ada dua anak laki-laki dalam keluarga, dan acara PADA- anak laki-laki itu.

Pertimbangkan semua kemungkinan hasil: anak laki-laki dan anak laki-laki; anak laki-laki dan anak perempuan; perempuan dan laki-laki; gadis dan gadis.

Kemudian , dan dengan rumus kita temukan

.

Peristiwa TETAPI ditelepon mandiri dari acara PADA jika terjadinya peristiwa PADA tidak berpengaruh pada peluang terjadinya suatu peristiwa TETAPI.

Teorema perkalian peluang

Probabilitas terjadinya simultan dari dua peristiwa independen sama dengan produk dari probabilitas dari peristiwa ini:

Probabilitas terjadinya beberapa peristiwa yang independen secara agregat dihitung dengan rumus

Soal 2. Guci pertama berisi 6 bola hitam dan 4 bola putih, wadah kedua berisi 5 bola hitam dan 7 bola putih. Satu bola diambil dari setiap guci. Berapa peluang terambilnya kedua bola berwarna putih.

A dan PADA ada acara AB. Karena itu,

b) Jika elemen pertama bekerja, maka suatu peristiwa terjadi (kebalikan dari peristiwa tersebut) TETAPI- kegagalan elemen ini); jika elemen kedua berfungsi - acara PADA. Tentukan peluang kejadian dan :

Maka peristiwa yang terdiri dari fakta bahwa kedua elemen akan bekerja adalah, dan, oleh karena itu,