Pada artikel ini, kami akan menganalisis secara komprehensif salah satu bentuk geometris utama - sudut. Mari kita mulai dengan konsep dan definisi tambahan yang akan membawa kita ke definisi sudut. Setelah itu, kami memberikan metode yang diterima untuk menunjuk sudut. Selanjutnya, kita akan membahas secara rinci proses pengukuran sudut. Sebagai kesimpulan, kami akan menunjukkan bagaimana Anda dapat menandai sudut pada gambar. Kami menyediakan semua teori dengan gambar dan ilustrasi grafis yang diperlukan untuk menghafal materi dengan lebih baik.

Navigasi halaman.

Definisi sudut.

Sudut adalah salah satu angka terpenting dalam geometri. Definisi sudut diberikan melalui definisi sinar. Pada gilirannya, gagasan tentang sinar tidak dapat diperoleh tanpa pengetahuan tentang angka-angka geometris seperti titik, garis lurus, dan bidang. Oleh karena itu, sebelum berkenalan dengan definisi sudut, kami sarankan menyegarkan teori dari bagian dan.

Jadi, kita akan mulai dari konsep titik, garis lurus pada bidang dan bidang.

Pertama-tama mari kita berikan definisi sinar.

Mari kita diberikan beberapa garis lurus di pesawat. Mari kita tunjukkan dengan huruf a. Biarkan O menjadi beberapa titik dari garis a . Titik O membagi garis a menjadi dua bagian. Masing-masing bagian ini bersama-sama dengan titik O disebut balok, dan titik O disebut awal balok. Anda juga dapat mendengar bahwa sinar itu disebut setengah langsung.

Untuk singkatnya dan kenyamanan, notasi berikut untuk sinar diperkenalkan: sinar dilambangkan baik dengan huruf Latin kecil (misalnya, ray p atau ray k), atau dengan dua huruf Latin besar, yang pertama sesuai dengan awal sinar, dan yang kedua menunjukkan beberapa titik dari sinar ini (misalnya, sinar OA atau sinar CD). Mari kita tunjukkan gambar dan penunjukan sinar dalam gambar.

Sekarang kita dapat memberikan definisi pertama dari sebuah sudut.

Definisi.

Injeksi- ini adalah sosok geometris datar (yaitu, terletak seluruhnya di bidang tertentu), yang terdiri dari dua sinar yang tidak cocok dengan asal yang sama. Masing-masing sinar disebut sisi sudut, awal yang sama dari sisi-sisi sudut disebut pojok atas.

Ada kemungkinan bahwa sisi-sisi suatu sudut membentuk garis lurus. Sudut ini memiliki nama sendiri.

Definisi.

Jika kedua sisi suatu sudut terletak pada satu garis yang sama, maka sudut tersebut disebut dikerahkan.

Kami memberi Anda ilustrasi grafis dari sudut yang dikembangkan.

Simbol sudut digunakan untuk menyatakan sudut. Jika sisi sudut ditunjukkan dalam huruf Latin kecil (misalnya, satu sisi sudut adalah k, dan sisi lainnya adalah h), maka untuk menunjuk sudut ini, setelah ikon sudut, huruf yang sesuai dengan sisi ditulis dalam berturut-turut, dan urutan perekaman tidak masalah (yaitu, atau). Jika sisi sudut dilambangkan dengan dua huruf latin besar (misalnya, satu sisi sudut OA, dan sisi kedua sudut OB), maka sudut dilambangkan sebagai berikut: setelah tanda sudut, tiga huruf adalah tertulis yang berpartisipasi dalam penunjukan sisi sudut, dan huruf yang sesuai dengan titik sudut, yang terletak di tengah (dalam kasus kami, sudut akan ditunjukkan sebagai atau ). Jika titik sudut suatu sudut bukanlah titik sudut dari sudut lain, maka sudut tersebut dapat dilambangkan dengan huruf yang sesuai dengan titik sudut sudut tersebut (misalnya, ). Terkadang Anda dapat melihat bahwa sudut-sudut dalam gambar ditandai dengan angka (1, 2, dll.), Sudut-sudut ini dilambangkan sebagai dan seterusnya. Untuk kejelasan, kami menyajikan gambar di mana sudut-sudutnya ditunjukkan dan ditunjukkan.

Setiap sudut membagi bidang menjadi dua bagian. Selain itu, jika sudut tidak dikembangkan, maka salah satu bagian dari pesawat disebut area sudut dalam, Dan lainnya area sudut luar. Gambar berikut menjelaskan bagian pesawat mana yang sesuai dengan sudut bagian dalam dan bagian luar mana.

Salah satu dari dua bagian di mana sudut gepeng membagi bidang dapat dianggap sebagai daerah interior dari sudut gepeng.

Definisi bagian dalam suatu sudut membawa kita ke definisi kedua tentang sudut.

Definisi.

Injeksi- ini adalah sosok geometris, yang terdiri dari dua sinar yang tidak cocok dengan asal yang sama dan daerah sudut yang sesuai.

Perlu dicatat bahwa definisi kedua dari sudut lebih ketat daripada yang pertama, karena mengandung lebih banyak kondisi. Namun, seseorang tidak boleh mengabaikan definisi pertama dari sudut, dan juga tidak boleh mempertimbangkan definisi pertama dan kedua dari sudut secara terpisah. Mari kita jelaskan poin ini. Ketika datang ke sudut sebagai sosok geometris, maka sudut dipahami sebagai sosok yang terdiri dari dua sinar dengan asal yang sama. Jika perlu untuk melakukan tindakan apa pun dengan sudut ini (misalnya, mengukur sudut), maka sudut harus sudah dipahami sebagai dua sinar dengan asal yang sama dan daerah internal (jika tidak, situasi dua kali lipat akan muncul karena keberadaan daerah internal dan eksternal sudut ).

Mari kita berikan lebih banyak definisi tentang sudut yang berdekatan dan vertikal.

Definisi.

Sudut yang berdekatan- ini adalah dua sudut di mana satu sisi sama, dan dua lainnya membentuk sudut lurus.

Ini mengikuti dari definisi bahwa sudut yang berdekatan saling melengkapi hingga sudut lurus.

Definisi.

Sudut vertikal adalah dua sudut yang sisi salah satu sudutnya merupakan perpanjangan dari sisi yang lain.

Gambar tersebut menunjukkan sudut vertikal.

Jelas, dua garis berpotongan membentuk empat pasang sudut yang berdekatan dan dua pasang sudut vertikal.

Perbandingan sudut.

Dalam paragraf artikel ini, kita akan membahas definisi sudut yang sama dan tidak sama, dan juga dalam kasus sudut yang tidak sama, kami akan menjelaskan sudut mana yang dianggap besar dan mana yang lebih kecil.

Ingatlah bahwa dua bangun geometris disebut sama jika mereka dapat ditumpangkan.

Mari kita diberikan dua sudut. Mari kita berikan alasan yang akan membantu kita mendapatkan jawaban atas pertanyaan: “Apakah kedua sudut ini sama besar atau tidak”?

Jelas, kita selalu dapat mencocokkan simpul dari dua sudut, serta satu sisi sudut pertama dengan salah satu sisi sudut kedua. Mari kita gabungkan sisi sudut pertama dengan sisi sudut kedua itu sehingga sisi sudut yang tersisa berada di sisi yang sama dari garis lurus di mana sisi gabungan dari sudut berada. Kemudian, jika dua sisi sudut lainnya sejajar, maka sudut tersebut disebut setara.

Jika dua sisi sudut yang lain tidak sama, maka sudut tersebut disebut tidak setara, dan lebih kecil sudut dianggap sebagai bagian dari yang lain ( besar adalah sudut yang seluruhnya memuat sudut lain).

Jelas, dua sudut lurus adalah sama. Juga jelas bahwa sudut yang dikembangkan lebih besar daripada sudut yang tidak dikembangkan.

Pengukuran sudut.

Pengukuran sudut didasarkan pada perbandingan sudut yang diukur dengan sudut yang diambil sebagai satuan ukuran. Proses pengukuran sudut terlihat seperti ini: mulai dari salah satu sisi sudut yang diukur, area dalamnya diisi secara berurutan dengan sudut tunggal, menumpuknya dengan erat satu sama lain. Pada saat yang sama, jumlah sudut yang ditumpuk diingat, yang memberikan ukuran sudut yang diukur.

Sebenarnya, setiap sudut dapat diambil sebagai satuan ukuran untuk sudut. Namun, ada banyak unit yang diterima secara umum untuk mengukur sudut yang terkait dengan berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi, mereka telah menerima nama khusus.

Salah satu satuan untuk mengukur sudut adalah derajat.

Definisi.

satu derajat adalah sudut yang besarnya sama dengan seratus delapan puluh sudut yang diluruskan.

Gelar dilambangkan dengan simbol "", oleh karena itu, satu derajat dilambangkan sebagai.

Jadi, dalam sudut yang dikembangkan, kita dapat memasukkan 180 sudut menjadi satu derajat. Ini akan terlihat seperti setengah pai bundar yang dipotong menjadi 180 bagian yang sama. Sangat penting: "potongan pai" saling menempel (yaitu, sisi sudut sejajar), dengan sisi sudut pertama sejajar dengan satu sisi sudut rata, dan sisi sudut unit terakhir bertepatan dengan sisi lain dari sudut yang rata.

Saat mengukur sudut, diketahui berapa kali derajat (atau unit pengukuran sudut lainnya) cocok dengan sudut yang diukur sampai area bagian dalam dari sudut yang diukur benar-benar tertutup. Seperti yang telah kita lihat, dalam sudut yang dikembangkan, derajatnya tepat 180 kali. Di bawah ini adalah contoh sudut di mana sudut satu derajat tepat 30 kali (sudut seperti itu adalah seperenam dari sudut lurus) dan tepat 90 kali (setengah sudut lurus).

Untuk mengukur sudut kurang dari satu derajat (atau satuan pengukuran sudut lainnya) dan dalam kasus di mana sudut tidak dapat diukur dengan bilangan bulat derajat (satuan pengukuran yang diambil), Anda harus menggunakan bagian derajat (bagian dari diambil satuan pengukuran). Bagian tertentu dari gelar menerima nama khusus. Yang paling umum adalah apa yang disebut menit dan detik.

Definisi.

Menit adalah seperenam puluh derajat.

Definisi.

Kedua adalah seperenam puluh menit.

Dengan kata lain, ada enam puluh detik dalam satu menit, dan enam puluh menit (3600 detik) dalam satu derajat. Simbol "" digunakan untuk menunjukkan menit, dan simbol "" digunakan untuk menunjukkan detik (jangan bingung dengan tanda turunan dan turunan kedua). Kemudian, dengan definisi dan notasi yang diperkenalkan, kami memiliki , dan sudut di mana 17 derajat 3 menit dan 59 detik cocok dapat dilambangkan sebagai .

Definisi.

Besaran derajat suatu sudut angka positif disebut, yang menunjukkan berapa kali derajat dan bagian-bagiannya masuk ke dalam sudut tertentu.

Misalnya, besar sudut yang diluruskan adalah seratus delapan puluh, dan besar sudut adalah .

Untuk mengukur sudut, ada alat ukur khusus, yang paling terkenal adalah busur derajat.

Jika penunjukan sudut (misalnya,) dan ukuran derajatnya (biarkan 110) diketahui, maka gunakan notasi singkat dari bentuk dan katakan: "Sudut AOB adalah seratus sepuluh derajat."

Dari definisi sudut dan besaran derajat sudut, maka dalam geometri ukuran sudut dalam derajat dinyatakan dengan bilangan real dari interval (0, 180] (dalam trigonometri, sudut dengan ukuran derajat sembarang dianggap, mereka disebut).Sudut sembilan puluh derajat memiliki nama khusus, itu disebut sudut kanan. Sudut yang besarnya kurang dari 90 derajat disebut sudut lancip. Sudut yang besarnya lebih dari sembilan puluh derajat disebut sudut tumpul. Jadi, ukuran sudut lancip dalam derajat dinyatakan dengan angka dari interval (0, 90), ukuran sudut tumpul - dengan angka dari interval (90, 180), sudut siku-siku sama dengan sembilan puluh derajat. Berikut adalah ilustrasi sudut lancip, sudut tumpul, dan sudut siku-siku.

Dari prinsip mengukur sudut, maka besar sudut yang sama adalah sama, besar sudut yang lebih besar lebih besar dari besar yang lebih kecil, dan besar sudut yang terdiri dari beberapa sudut. sama dengan jumlah ukuran derajat dari sudut-sudut komponen. Gambar di bawah menunjukkan sudut AOB, yang terdiri dari sudut AOC, COD dan DOB, sedangkan .

Dengan demikian, jumlah sudut yang berdekatan adalah seratus delapan puluh derajat, karena membentuk sudut lurus.

Ini mengikuti dari pernyataan ini bahwa . Memang, jika sudut AOB dan COD adalah vertikal, maka sudut AOB dan BOC berdekatan dan sudut COD dan BOC juga berdekatan, oleh karena itu, persamaan dan valid, dari mana persamaan berikut.

Bersamaan dengan derajat, satuan yang sesuai untuk mengukur sudut disebut radian. Ukuran radian banyak digunakan dalam trigonometri. Mari kita definisikan radian.

Definisi.

Satu sudut radian- Ini sudut tengah, yang sesuai dengan panjang busur, sama dengan panjang jari-jari lingkaran yang sesuai.

Mari kita berikan ilustrasi grafis dari sudut satu radian. Dalam gambar, panjang jari-jari OA (serta jari-jari OB ) sama dengan panjang busur AB , oleh karena itu, menurut definisi, sudut AOB sama dengan satu radian.

Singkatan "rad" digunakan untuk menunjukkan radian. Misalnya, menulis 5 rad berarti 5 radian. Namun, dalam penulisan, sebutan "rad" sering dihilangkan. Misalnya, ketika ditulis bahwa sudutnya sama dengan pi, itu berarti pi rad.

Perlu dicatat secara terpisah bahwa nilai sudut, yang dinyatakan dalam radian, tidak bergantung pada panjang jari-jari lingkaran. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa angka-angka yang dibatasi oleh sudut tertentu dan busur lingkaran yang berpusat pada titik sudut tertentu adalah serupa satu sama lain.

Mengukur sudut dalam radian dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti mengukur sudut dalam derajat: cari tahu berapa kali sudut satu radian (dan bagian-bagiannya) masuk ke dalam sudut tertentu. Dan Anda dapat menghitung panjang busur dari sudut pusat yang sesuai, dan kemudian membaginya dengan panjang jari-jarinya.

Untuk keperluan latihan, perlu diketahui bagaimana hubungan derajat dan radian satu sama lain, karena cukup banyak yang harus dilakukan. Dalam artikel ini, hubungan dibuat antara derajat dan ukuran radian suatu sudut, dan contoh-contoh konversi derajat ke radian dan sebaliknya diberikan.

Penunjukan sudut dalam gambar.

Dalam gambar, untuk kenyamanan dan kejelasan, sudut dapat ditandai dengan busur, yang biasanya digambar di bagian dalam sudut dari satu sisi sudut ke sisi lainnya. Sudut yang sama ditandai dengan jumlah busur yang sama, sudut yang tidak sama dengan jumlah busur yang berbeda. Sudut siku-siku dalam gambar dilambangkan dengan simbol bentuk "", yang digambarkan di bagian dalam sudut kanan dari satu sisi sudut ke sisi lainnya.

Jika Anda harus menandai banyak sudut berbeda dalam gambar (biasanya lebih dari tiga), maka ketika menunjuk sudut, selain busur biasa, diperbolehkan menggunakan busur dari beberapa jenis khusus. Misalnya, Anda dapat menggambarkan busur bergerigi, atau yang serupa.

Perlu dicatat bahwa Anda tidak boleh terbawa oleh penunjukan sudut dalam gambar dan jangan mengacaukan gambar. Kami merekomendasikan untuk menandai hanya sudut-sudut yang diperlukan dalam proses pemecahan atau pembuktian.

Bibliografi.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometri. Kelas 7 - 9: buku teks untuk lembaga pendidikan.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri. Buku teks untuk kelas 10-11 sekolah menengah.
• Pogorelov A.V., Geometri. Buku teks untuk kelas 7-11 lembaga pendidikan.

Sudut adalah sosok geometris, yang terdiri dari dua sinar berbeda yang berasal dari satu titik. Dalam hal ini, sinar-sinar ini disebut sisi-sisi sudut. Titik awal sinar disebut titik sudut. Pada gambar Anda dapat melihat sudut dengan titik di titik HAI, dan pihak k dan m.

Titik A dan C ditandai pada sisi sudut, sudut ini dapat dinyatakan sebagai sudut AOC. Di tengah harus ada nama titik di mana titik sudut berada. Ada juga sebutan lain, sudut O atau sudut km. Dalam geometri, alih-alih sudut kata, ikon khusus sering ditulis.

Sudut putar dan sudut tidak berputar

Jika kedua sisi suatu sudut terletak pada satu garis lurus yang sama, maka sudut tersebut disebut dikerahkan sudut. Artinya, satu sisi sudut merupakan kelanjutan dari sisi sudut lainnya. Gambar di bawah menunjukkan sudut O.

Perlu dicatat bahwa setiap sudut membagi bidang menjadi dua bagian. Jika sudut tersebut tidak diperluas, maka salah satu bagiannya disebut bagian dalam dari sudut tersebut, dan bagian lainnya adalah bagian luar dari sudut tersebut. Gambar di bawah menunjukkan sudut yang tidak rata dan menandai area luar dan dalam dari sudut ini.

Dalam kasus sudut yang dikembangkan, salah satu dari dua bagian yang membagi bidang dapat dianggap sebagai wilayah luar sudut. Kita dapat berbicara tentang posisi suatu titik relatif terhadap suatu sudut. Titik mungkin terletak di luar sudut (di wilayah luar), mungkin di salah satu sisinya, atau mungkin terletak di dalam sudut (di wilayah dalam).

Pada gambar di bawah, titik A terletak di luar sudut O, titik B terletak di salah satu sisi sudut, dan titik C terletak di dalam sudut.

Pengukuran sudut

Untuk mengukur sudut, ada alat yang disebut busur derajat. Satuan sudut adalah derajat. Perlu dicatat bahwa setiap sudut memiliki ukuran derajat tertentu, yang lebih besar dari nol.

Tergantung pada ukuran derajat, sudut dibagi menjadi beberapa kelompok.

Siswa diperkenalkan dengan konsep sudut di sekolah dasar. Tetapi sebagai sosok geometris dengan sifat-sifat tertentu, mereka mulai mempelajarinya sejak kelas 7 dalam geometri. Sepertinya, bentuknya cukup sederhana apa yang bisa dikatakan tentang dia. Tetapi, memperoleh pengetahuan baru, anak-anak sekolah semakin memahami bahwa Anda dapat mempelajari fakta-fakta yang cukup menarik tentang dia.

dalam kontak dengan

Kapan dipelajari

Kursus geometri sekolah dibagi menjadi dua bagian: planimetri dan geometri padat. Masing-masing dari mereka memiliki banyak perhatian. diberikan ke sudut:

• Dalam planimetri, konsep dasarnya diberikan, berkenalan dengan jenis ukurannya. Sifat-sifat masing-masing jenis segitiga dipelajari secara lebih rinci. Definisi baru untuk siswa muncul - ini adalah bentuk geometris yang terbentuk di persimpangan dua garis satu sama lain dan persimpangan beberapa garis garis potong.
• Dalam stereometri, sudut spasial dipelajari - dihedral dan trihedral.

Perhatian! Artikel ini membahas semua jenis dan sifat sudut dalam planimetri.

Definisi dan pengukuran

Mulai belajar, tentukan dulu, apa itu sudut dalam planimetri.

Jika kita mengambil titik tertentu pada bidang dan menggambar dua sinar sewenang-wenang darinya, kita mendapatkan sosok geometris - sudut, yang terdiri dari elemen-elemen berikut:

• simpul - titik dari mana sinar ditarik, ditunjukkan dengan huruf kapital alfabet Latin;
• sisi-sisinya ditarik setengah garis dari atas.

Semua elemen yang membentuk gambar yang kita pertimbangkan membagi bidang menjadi dua bagian:

• internal - dalam planimetri tidak melebihi 180 derajat;
• luar.

Prinsip pengukuran sudut dalam planimetri dijelaskan secara intuitif. Untuk memulainya, siswa diperkenalkan dengan konsep sudut yang dikembangkan.

Penting! Suatu sudut dikatakan berkembang jika setengah garis yang berasal dari titik sudutnya membentuk garis lurus. Sudut yang tidak dilipat adalah semua kasus lainnya.

Jika dibagi menjadi 180 bagian yang sama, maka biasanya mempertimbangkan ukuran satu bagian sama dengan 10. Dalam hal ini, mereka mengatakan bahwa pengukuran dilakukan dalam derajat, dan ukuran derajat dari angka tersebut adalah 180 derajat.

Jenis utama

Jenis sudut dibagi lagi menurut kriteria seperti ukuran derajat, sifat pembentukannya dan kategori di bawah ini.

Berdasarkan ukuran

Berdasarkan besarnya, sudut dibagi menjadi:

• dikerahkan;
• lurus;
• tumpul;
• pedas.

Sudut apa yang disebut dikerahkan disajikan di atas. Mari kita definisikan konsep garis lurus.

Itu dapat diperoleh dengan membagi yang dikerahkan menjadi dua bagian yang sama. Dalam hal ini, mudah untuk menjawab pertanyaan: sudut siku-siku, berapa derajat?

Bagi 180 derajat dengan 2 untuk mendapatkan sudut siku-siku adalah 90 derajat. Ini adalah angka yang luar biasa, karena banyak fakta dalam geometri terkait dengannya.

Ia juga memiliki ciri khas tersendiri dalam sebutannya. Untuk menunjukkan sudut siku-siku pada gambar, itu tidak ditunjukkan oleh busur, tetapi oleh persegi.

Sudut yang diperoleh dengan membagi sinar sembarang dari garis lurus disebut lancip. Menurut logika benda, maka sudut lancip lebih kecil dari sudut siku-siku, tetapi ukurannya berbeda dari 0 derajat. Artinya, ia memiliki nilai dari 0 hingga 90 derajat.

Sudut tumpul lebih besar dari sudut siku-siku, tetapi lebih kecil dari sudut lurus. Ukuran derajatnya bervariasi dari 90 hingga 180 derajat.

Elemen ini dapat dibagi menjadi berbagai jenis angka yang dipertimbangkan, tidak termasuk yang diperluas.

Terlepas dari bagaimana sudut yang tidak diputar rusak, aksioma dasar planimetri selalu digunakan - "sifat utama pengukuran".

Pada membagi sudut dengan satu balok atau beberapa, besaran derajat suatu bangun sama dengan jumlah besar sudut-sudut yang membaginya.

Pada tingkat kelas 7, jenis sudut dalam besarnya berakhir di sana. Tetapi untuk menambah pengetahuan, dapat ditambahkan bahwa ada varietas lain yang memiliki ukuran derajat lebih dari 180 derajat, yang disebut cembung.

Angka di persimpangan garis

Jenis sudut selanjutnya yang dikenalkan siswa adalah unsur-unsur yang terbentuk ketika dua garis berpotongan. Angka-angka yang ditempatkan saling berhadapan disebut vertikal. Ciri khas mereka adalah bahwa mereka setara.

Unsur-unsur yang bersebelahan dengan garis yang sama disebut bertetangga. Teorema yang memetakan properti mereka mengatakan bahwa Sudut yang berdekatan bertambah hingga 180 derajat.

Unsur dalam segitiga

Jika kita menganggap gambar sebagai elemen dalam segitiga, maka sudut dibagi menjadi internal dan eksternal. Segitiga dibatasi oleh tiga segmen dan terdiri dari tiga simpul. Sudut-sudut yang terletak di dalam segitiga di setiap titik sudut, disebut internal.

Jika kita mengambil elemen internal di sembarang titik dan memperpanjang sisi mana pun, maka sudut yang dibentuk dan berbatasan dengan sudut internal disebut eksternal. Sepasang elemen ini memiliki properti berikut: jumlah mereka adalah 180 derajat.

Perpotongan dua garis lurus

Persimpangan garis

Ketika dua garis lurus berpotongan, sudut juga terbentuk, yang biasanya didistribusikan berpasangan. Setiap pasangan elemen memiliki namanya sendiri. Ini terlihat seperti ini:

• letak silang internal: 4 dan 6, 3 dan 5;
• satu sisi internal: 4 dan 5, 3 dan 6;
• sesuai: 1 dan 5, 2 dan 6, 4 dan 8, 3 dan 7.

Ketika sebuah garis potong memotong dua

Ukuran sudut

Sudut dalam diukur dalam derajat (derajat, menit, detik), dalam putaran - rasio panjang busur s dengan keliling L, dalam radian - rasio panjang busur s dengan jari-jari r; secara historis, ukuran hujan es untuk mengukur sudut juga digunakan; saat ini, hampir tidak pernah digunakan.

1 putaran = 2π radian = 360° = 400 derajat.

Dalam terminologi bahari, sudut ditunjukkan dengan titik.

Jenis sudut

Sudut-sudut yang bersebelahan adalah lancip (a) dan tumpul (b). Sudut terbalik (c)

Selain itu, sudut antara kurva halus pada titik singgung dipertimbangkan: menurut definisi, nilainya sama dengan sudut antara garis singgung ke kurva.

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Lihat apa itu "Sudut yang dikembangkan" di kamus lain:

Sudut yang sama dengan dua sudut siku-siku. * SCAN permukaan adalah gambar yang diperoleh pada bidang ketika titik-titik dari permukaan tertentu digabungkan dengan bidang ini sedemikian rupa sehingga panjang garis tetap tidak berubah. Perkembangan kurva lihat Involute ... Kamus Ensiklopedis Besar

injeksi- perbedaan arah (dalam ruang) tingkat sudut belokan dari satu arah ke arah lain; perbedaan arah; bagian dari putaran penuh (kemiringan #. bentuk #). lereng. cenderung. deviasi. menyimpang (jalan menyimpang ke kanan). ... ...

Injeksi- Sudut: 1 pemandangan umum; 2 berdekatan; 3 berdekatan; 4 vertikal; 5 dikerahkan; 6 lurus, tajam dan tumpul; 7 antara kurva; 8 antara garis lurus dan bidang; 9 antara garis lurus yang berpotongan (tidak terletak pada bidang yang sama) garis lurus. SUDUT, geometris…… Kamus Ensiklopedis Bergambar

Sosok geometris yang terdiri dari dua sinar berbeda yang memancar dari titik yang sama. Sinar disebut sisi U., dan awal yang sama adalah titik U. Biarkan [ BA), [ BC) sisi sudut, B titik sudutnya, bidang yang ditentukan oleh sisi U. Gambar membagi bidang ... ... Ensiklopedia Matematika

Sudut yang sama dengan dua sudut siku-siku. * * * SUDUT SUDUT SUDUT SUDUT, sudut yang besarnya sama dengan dua sudut siku-siku ... kamus ensiklopedis

Cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat berbagai bentuk (titik, garis, sudut, benda dua dimensi dan tiga dimensi), ukuran dan posisi relatifnya. Untuk kenyamanan mengajar, geometri dibagi menjadi planimetri dan geometri padat. PADA… … Ensiklopedia Collier

1) Garis putus-putus tertutup, yaitu: jika titik-titik yang berbeda, tidak ada tiga titik yang berurutan terletak pada garis lurus yang sama, maka disebut himpunan segmen. poligon (lihat Gambar 1). M. bisa spasial atau datar (di bawah ... ... Ensiklopedia Matematika

lintas- pada sudut maksimum, sudut miring melintang. melintang di sudut kanan. . sudut siku-siku dari defleksi maksimum; sudut yang sama dengan sudut yang berdekatan; seperempat putaran. tegak lurus. tegak lurus pada sudut siku-siku. tegak lurus ... ... Kamus Ideografis Bahasa Rusia

derajat- a, m 1) Satuan ukuran sudut datar, sama dengan 1/90 sudut siku-siku atau, masing-masing, 1/360 lingkaran. Sudut 90 derajat disebut sudut siku-siku. Sudut yang diperluas adalah 180 derajat. 2) Satuan ukuran untuk selang suhu yang memiliki ... ... Kamus populer bahasa Rusia

Teorema Schwartz Christoffel, sebuah teorema penting dalam teori fungsi variabel kompleks, menyandang nama matematikawan Jerman Karl Schwartz dan Alvin Christoffel. Sangat penting dari sudut pandang praktis adalah masalah konformal ... ... Wikipedia

Sudut adalah sosok geometris utama, yang akan kami analisis di seluruh topik. Pengertian, metode pengaturan, notasi dan pengukuran sudut. Mari kita menganalisis prinsip-prinsip pemilihan sudut dalam gambar. Seluruh teori diilustrasikan dan memiliki sejumlah besar gambar visual.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definisi 1

Injeksi- sosok penting sederhana dalam geometri. Sudut secara langsung tergantung pada definisi sinar, yang pada gilirannya terdiri dari konsep dasar titik, garis, dan bidang. Untuk studi menyeluruh, Anda perlu mempelajari topiknya garis lurus di pesawat - informasi yang diperlukan dan pesawat - informasi yang diperlukan.

Konsep sudut dimulai dengan konsep titik, bidang, dan garis lurus yang digambarkan pada bidang ini.

Definisi 2

Diberikan garis a pada suatu bidang. Tunjukkan beberapa titik O di atasnya. Garis tersebut dibagi oleh sebuah titik menjadi dua bagian yang masing-masing memiliki nama sinar, dan titik O adalah balok mulai.

Dengan kata lain, balok atau setengah garis - itu adalah bagian dari garis, yang terdiri dari titik-titik dari garis tertentu, yang terletak di sisi yang sama relatif terhadap titik awal, yaitu titik O.

Penunjukan balok diperbolehkan dalam dua variasi: satu huruf kecil atau dua huruf besar alfabet Latin. Bila dilambangkan dengan dua huruf, maka balok memiliki nama yang terdiri dari dua huruf. Mari kita lihat lebih dekat gambarnya.

Mari kita beralih ke konsep mendefinisikan sudut.

Definisi 3

Injeksi- ini adalah sosok yang terletak di bidang tertentu, dibentuk oleh dua sinar yang tidak cocok yang memiliki asal yang sama. sudut samping adalah balok puncak- awal yang sama dari para pihak.

Ada kasus ketika sisi-sisi suatu sudut dapat bertindak sebagai garis lurus.

Definisi 4

Jika kedua sisi suatu sudut terletak pada satu garis lurus yang sama atau sisi-sisinya merupakan tambahan setengah garis dari satu garis lurus, maka sudut yang demikian disebut dikerahkan.

Gambar di bawah menunjukkan sudut yang rata.

Titik pada garis lurus adalah titik sudut. Paling sering, dilambangkan dengan titik O.

Sudut dalam matematika dilambangkan dengan tanda "∠". Ketika sisi-sisi suatu sudut dilambangkan dengan bahasa Latin kecil, maka untuk definisi sudut yang benar, huruf-huruf ditulis berturut-turut, masing-masing, menurut sisi-sisinya. Jika dua sisi dilambangkan k dan h, maka sudut dilambangkan sebagai k h atau h k .

Bila ada penunjukan dengan huruf kapital, maka masing-masing sisi sudutnya diberi nama O A dan O B. Dalam hal ini, sudut memiliki nama tiga huruf alfabet Latin, ditulis dalam satu baris, di tengah dengan titik sudut - A O B dan B O A . Ada sebutan berupa angka bila sudut-sudutnya tidak memiliki nama atau huruf. Di bawah ini adalah gambar di mana sudut ditunjukkan dengan cara yang berbeda.

Sebuah sudut membagi bidang menjadi dua bagian. Jika sudut tidak dikembangkan, maka salah satu bagian dari pesawat memiliki nama area sudut dalam, yang lain - area sudut luar. Di bawah ini adalah gambar yang menjelaskan bagian mana dari pesawat yang eksternal dan mana yang internal.

Ketika dibagi dengan sudut lurus pada bidang, setiap bagiannya dianggap sebagai bagian dalam dari sudut lurus.

Area bagian dalam sudut adalah elemen yang berfungsi untuk definisi kedua sudut.

Definisi 5

sudut sosok geometris disebut, terdiri dari dua sinar yang tidak bertepatan, memiliki asal yang sama dan area internal sudut yang sesuai.

Definisi ini lebih ketat dari yang sebelumnya, karena memiliki lebih banyak kondisi. Tidak disarankan untuk mempertimbangkan kedua definisi secara terpisah, karena sudut adalah bentuk geometris yang ditransformasikan menggunakan dua sinar yang keluar dari satu titik. Ketika perlu untuk melakukan tindakan dengan sudut, maka definisi tersebut berarti adanya dua sinar dengan asal yang sama dan daerah internal.

Definisi 6

Kedua sudut disebut terkait, jika ada sisi yang sama, dan dua lainnya adalah setengah garis yang saling melengkapi atau membentuk sudut lurus.

Gambar tersebut menunjukkan bahwa sudut-sudut yang berdekatan saling melengkapi, karena merupakan kelanjutan satu sama lain.

Definisi 7

Kedua sudut disebut vertikal, jika sisi yang satu saling melengkapi setengah garis dari yang lain atau perpanjangan dari sisi yang lain. Gambar di bawah menunjukkan gambar sudut vertikal.

Ketika melintasi garis, diperoleh 4 pasang sudut yang berdekatan dan 2 pasang sudut vertikal. Di bawah ini ditunjukkan pada gambar.

Artikel ini menunjukkan definisi sudut yang sama dan tidak sama. Kami akan menganalisis sudut mana yang dianggap besar, mana yang lebih kecil, dan sifat-sifat sudut lainnya. Dua angka dianggap sama jika, ketika ditumpangkan, mereka benar-benar bertepatan. Sifat yang sama berlaku untuk membandingkan sudut.

Diberikan dua sudut. Penting untuk sampai pada kesimpulan apakah sudut-sudut ini sama atau tidak.

Diketahui bahwa simpul dari dua sudut dan sisi sudut pertama tumpang tindih dengan sisi lain dari sudut kedua. Artinya, dalam kasus kebetulan yang lengkap, ketika sudut-sudut ditumpangkan, sisi-sisi dari sudut-sudut yang diberikan akan bertepatan sepenuhnya, sudut-sudutnya setara.

Bisa jadi ketika melapiskan sisi-sisinya tidak dapat digabungkan, maka sudut-sudutnya tidak sama, lebih kecil yang terdiri dari yang lain, dan lagi menggabungkan sudut lain yang lengkap. Di bawah ini adalah sudut yang tidak sama yang tidak sejajar saat ditumpangkan.

Sudut yang dikembangkan sama besar.

Pengukuran sudut dimulai dengan pengukuran sisi sudut yang diukur dan daerah dalamnya, yang diisi dengan sudut satuan yang diterapkan satu sama lain. Penting untuk menghitung jumlah sudut yang ditumpuk, mereka menentukan ukuran sudut yang diukur sebelumnya.

Satuan sudut dapat dinyatakan dalam setiap sudut terukur. Ada unit pengukuran yang diterima secara umum yang digunakan dalam sains dan teknologi. Mereka berspesialisasi dalam judul lain.

Konsep yang paling umum digunakan derajat.

Definisi 8

satu derajat disebut sudut yang memiliki seratus delapan puluh sudut yang diluruskan.

Notasi standar untuk derajat adalah "°", maka satu derajat adalah 1°. Oleh karena itu, sudut lurus terdiri dari 180 sudut seperti itu, terdiri dari satu derajat. Semua sudut yang tersedia ditumpuk satu sama lain dan sisi yang sebelumnya sejajar dengan yang berikutnya.

Diketahui bahwa jumlah derajat dalam suatu sudut sama dengan besar sudut. Sudut yang dikembangkan memiliki 180 sudut bertumpuk dalam komposisinya. Gambar di bawah ini menunjukkan contoh di mana sudut diletakkan 30 kali, yaitu seperenam dari yang diperluas, dan 90 kali, yaitu setengah.

Menit dan detik digunakan untuk menentukan pengukuran sudut secara akurat. Mereka digunakan ketika nilai sudut bukan penunjukan derajat bilangan bulat. Bagian gelar semacam itu memungkinkan Anda melakukan perhitungan yang lebih akurat.

Definisi 9

menit disebut seperenam puluh derajat.

Definisi 10

kedua disebut seperenam puluh menit.

Derajat mengandung 3600 detik. Menit menunjukkan """, dan detik """". Penunjukan berlangsung:

1°=60"=3600"", 1"=(160)°, 1"=60"", 1""=(160)"=(13600)°,

dan notasi untuk sudut 17 derajat 3 menit dan 59 detik adalah 17° 3 "59"".

Definisi 11

Mari kita beri contoh notasi ukuran derajat sudut yang sama dengan 17 ° 3 "59" ". Entri memiliki bentuk lain 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600.

Untuk mengukur sudut secara akurat, alat pengukur seperti busur derajat digunakan. Saat menunjuk sudut A O B dan ukuran derajatnya 110 derajat, notasi yang lebih nyaman digunakan A O B \u003d 110 °, yang berbunyi "Sudut A O B sama dengan 110 derajat."

Dalam geometri, ukuran sudut dari interval (0 , 180 ] digunakan, dan dalam trigonometri ukuran derajat arbitrer disebut sudut putar. Nilai sudut selalu dinyatakan sebagai bilangan real. Sudut kanan adalah sudut yang besarnya 90 derajat. Sudut tajam adalah sudut yang besarnya kurang dari 90 derajat, dan tumpul- lagi.

Sudut lancip diukur dalam interval (0, 90) , dan sudut tumpul - (90, 180) . Tiga jenis sudut ditunjukkan dengan jelas di bawah ini.

Setiap ukuran derajat dari setiap sudut memiliki nilai yang sama. Sudut yang lebih besar, masing-masing, memiliki ukuran derajat yang lebih besar daripada yang lebih kecil. Besaran derajat suatu sudut adalah jumlah dari semua besaran derajat yang tersedia dari sudut-sudut dalam. Gambar di bawah menunjukkan sudut AOB yang terdiri dari sudut AOC, COD dan DOB. Secara detail terlihat seperti ini: A O B = A O C + D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Berdasarkan hal tersebut, dapat disimpulkan bahwa jumlah semua sudut yang berdekatan adalah 180 derajat karena semuanya membentuk sudut yang diperluas.

Dari sini dapat disimpulkan bahwa setiap sudut vertikal sama besar. Jika kita pertimbangkan ini dengan sebuah contoh, kita mendapatkan bahwa sudut A O B dan C O D adalah vertikal (dalam gambar), maka pasangan sudut A O B dan B O C, C O D dan B O C dianggap berdekatan. Dalam kasus seperti itu, persamaan A O B + B O C = 180 ° bersama-sama dengan C O D + B O C = 180 ° dianggap benar secara unik. Oleh karena itu kita memiliki bahwa A O B = C O D . Di bawah ini adalah contoh gambar dan sebutan tangkapan vertikal.

Selain derajat, menit dan detik, unit pengukuran lain digunakan. Itu disebut radian. Paling sering dapat ditemukan dalam trigonometri ketika menunjuk sudut poligon. Apa yang disebut radian.

Definisi 12

Satu sudut radian disebut sudut pusat, yang memiliki jari-jari lingkaran sama dengan panjang busur.

Pada gambar, radian digambarkan sebagai lingkaran, di mana ada pusat, ditunjukkan oleh sebuah titik, dengan dua titik pada lingkaran terhubung dan diubah menjadi jari-jari O A dan O B. Menurut definisi, segitiga A O B ini adalah sama sisi, yang berarti bahwa panjang busur A B sama dengan panjang jari-jari O B dan Oh A.

Penunjukan sudut diambil sebagai "rad". Artinya, entri dalam 5 radian disingkat 5 rad. Terkadang Anda dapat menemukan sebutan yang memiliki nama pi. Radian tidak bergantung pada panjang lingkaran yang diberikan, karena gambar memiliki semacam batasan dengan bantuan sudut dan busurnya dengan pusat yang terletak di titik sudut tertentu. Mereka dianggap mirip.

Radian memiliki arti yang sama dengan derajat, hanya perbedaannya pada besarnya. Untuk menentukan ini, perlu untuk membagi panjang busur sudut pusat yang dihitung dengan panjang jari-jarinya.

Dalam praktiknya, mereka menggunakan ubah derajat ke radian dan radian ke derajat untuk pemecahan masalah yang lebih mudah. Artikel yang ditentukan memiliki informasi tentang hubungan antara ukuran derajat dan radian, di mana Anda dapat mempelajari secara rinci terjemahan dari derajat ke radian dan sebaliknya.

Untuk penggambaran busur yang visual dan nyaman, sudut, gambar digunakan. Tidak selalu mungkin untuk menggambarkan dan menandai sudut, busur, atau nama tertentu dengan benar. Sudut yang sama memiliki sebutan berupa jumlah busur yang sama, dan tidak sama dalam bentuk yang berbeda. Gambar menunjukkan penunjukan yang benar dari sudut tajam, sama dan tidak sama.

Ketika lebih dari 3 sudut perlu ditandai, penunjukan busur khusus digunakan, seperti bergelombang atau bergerigi. Itu tidak masalah. Gambar di bawah ini menunjukkan sebutan mereka.

Penunjukan sudut harus sederhana agar tidak mengganggu nilai lain. Saat memecahkan masalah, disarankan untuk memilih hanya sudut yang diperlukan untuk diselesaikan agar tidak mengacaukan seluruh gambar. Ini tidak akan mengganggu solusi dan pembuktian, dan juga akan memberikan tampilan estetis pada gambar.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter