kelas 7

“Identitas. Transformasi identitas ekspresi”.

Abdulkerimova Khadizhat Makhmudovna,

guru matematika

Tujuan Pelajaran

untuk memperkenalkan dan pada awalnya mengkonsolidasikan konsep "ekspresi yang sama secara identik", "identitas", "transformasi yang identik";

untuk mempertimbangkan cara untuk membuktikan identitas, untuk berkontribusi pada pengembangan keterampilan untuk membuktikan identitas;

untuk memeriksa asimilasi siswa dari materi yang dibahas, untuk membentuk keterampilan menerapkan yang dipelajari untuk persepsi yang baru.

Jenis pelajaran: mempelajari materi baru

Peralatan : papan, buku teks, buku kerja.

P lan pelajaran

Mengatur waktu

Memeriksa pekerjaan rumah

Pembaruan pengetahuan

Studi materi baru (Pengenalan dan konsolidasi utama konsep "identitas", "transformasi identik").

Latihan pelatihan (Pembentukan konsep "identitas", "transformasi identik").

Refleksi pelajaran (Meringkas informasi teoritis yang diperoleh dalam pelajaran).

Pesan pekerjaan rumah (Menjelaskan isi pekerjaan rumah)

Selama kelas

I. Momen organisasi.

II . Memeriksa pekerjaan rumah (Depan)

AKU AKU AKU . Pembaruan pengetahuan.

Berikan contoh ekspresi numerik dan ekspresi dengan variabel

Bandingkan nilai ekspresi x+3 dan 3x pada x=-4; 1.5; 5

Nomor berapa yang tidak bisa dibagi? (0)

Hasil perkalian? (Kerja)

Bilangan dua digit terbesar? (99)

Apa produk dari -200 hingga 200? (0)

Hasil dari pengurangan. (Perbedaan)

Berapa gram dalam satu kilogram? (1000)

Sifat komutatif penjumlahan. (Jumlah tidak berubah dari penataan ulang tempat istilah)

Sifat komutatif perkalian. (Produk tidak berubah dari permutasi tempat faktor)

Sifat asosiatif penjumlahan. (Untuk menjumlahkan suatu bilangan pada jumlah dua bilangan, Anda dapat menjumlahkan bilangan kedua dan ketiga dengan bilangan pertama)

Sifat asosiatif perkalian. (untuk mengalikan hasil kali dua angka dengan angka ketiga, Anda dapat mengalikan angka pertama dengan produk kedua dan ketiga)

properti distribusi. (Untuk mengalikan angka dengan jumlah dua angka, Anda dapat mengalikan angka ini dengan setiap istilah dan menambahkan hasilnya)

IV. Penjelasan topik baru:

Tentukan nilai ekspresi pada x=5 dan y=4

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

Kami mendapat hasil yang sama. Ini mengikuti dari sifat distributif bahwa, secara umum, untuk setiap nilai variabel, nilai ekspresi 3(x + y) dan 3x + 3y adalah sama.

Pertimbangkan sekarang ekspresi 2x + y dan 2xy. Untuk x=1 dan y=2 mereka mengambil nilai yang sama:

2x+y=2*1+2=4

2xy=2*1*2=4

Namun, Anda dapat menentukan nilai x dan y sedemikian rupa sehingga nilai ekspresi ini tidak sama. Misalnya, jika x=3, y=4, maka

2x+y=2*3+4=10

2xy=2*3*4=24

Definisi: Dua ekspresi yang nilainya sama untuk setiap nilai variabel dikatakan identik sama.

Ekspresi 3(x+y) dan 3x+3y identik sama, tetapi ekspresi 2x+y dan 2xy tidak identik sama.

Persamaan 3(x + y) dan 3x + 3y berlaku untuk semua nilai x dan y. Kesetaraan seperti itu disebut identitas.

Definisi: Kesetaraan yang berlaku untuk semua nilai variabel disebut identitas.

Persamaan numerik yang benar juga dianggap sebagai identitas. Kami sudah bertemu dengan identitas. Identitas adalah persamaan yang menyatakan sifat dasar dari tindakan pada bilangan (Siswa mengomentari setiap sifat dengan mengucapkannya).

a + b = b + a ab=ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Contoh lain dari identitas dapat diberikan (Siswa mengomentari setiap properti, mengucapkannya).

a + 0 = a

a * 1 = a

a + (-a) = 0

sebuah * (- b ) = - ab

sebuah - b = sebuah + (- b )

(- sebuah ) * (- b ) = ab

Definisi: Penggantian satu ekspresi dengan yang lain, identik sama dengan itu, disebut transformasi identik atau hanya transformasi ekspresi.

Guru:

Transformasi identik dari ekspresi dengan variabel dilakukan berdasarkan sifat-sifat operasi pada angka.

Transformasi identitas ekspresi banyak digunakan dalam menghitung nilai ekspresi dan memecahkan masalah lain. Anda sudah harus melakukan beberapa transformasi yang identik, misalnya, pengurangan suku yang serupa, perluasan tanda kurung. Ingat aturan untuk transformasi ini:

Siswa:

Untuk mendapatkan suku-suku sejenis, perlu ditambahkan koefisien-koefisiennya dan mengalikan hasilnya dengan bagian huruf biasa;

Jika ada tanda tambah di depan tanda kurung, maka tanda kurung dapat dihilangkan, dengan tetap mempertahankan tanda setiap istilah yang diapit tanda kurung;

Jika ada tanda minus sebelum tanda kurung, maka tanda kurung dapat dihilangkan dengan mengubah tanda setiap suku yang diapit tanda kurung.

Guru:

Contoh 1. Kami menyajikan istilah serupa

5x + 2x-3x=x(5+2-3)=4x

Aturan apa yang kami gunakan?

Murid:

Kami telah menggunakan aturan pengurangan suku yang sama. Transformasi ini didasarkan pada sifat distributif perkalian.

Guru:

Contoh 2. Perluas tanda kurung dalam ekspresi 2a + (b-3 c) = 2 sebuah + b – 3 c

Kami menerapkan aturan kurung buka yang didahului dengan tanda plus.

Murid:

Transformasi yang dilakukan didasarkan pada sifat asosiatif penjumlahan.

Guru:

Contoh 3. Mari kita buka tanda kurung dalam ekspresi a - (4b- c) =sebuah – 4 b + c

Kami menggunakan aturan kurung buka, yang didahului dengan tanda minus.

Properti apa yang menjadi dasar transformasi ini?

Murid:

Transformasi yang dilakukan didasarkan pada sifat distributif perkalian dan sifat asosiatif penjumlahan.

V . Berolahraga.

№85 Secara lisan

№86 Secara lisan

№88 Secara lisan

№93

№94

№90av

№96

№97

VI . Refleksi pelajaran .

Guru mengajukan pertanyaan, dan siswa menjawabnya sesuai keinginan.

Apa dua ekspresi yang disebut identik sama? Berikan contoh.

Kesetaraan apa yang disebut identitas? Berikan contoh.

Transformasi identik apa yang Anda ketahui?

VII . Pekerjaan rumah . hal.5, No. 95, 98.100 (a, c)

Isi pelajaran

Menaikkan binomial menjadi kekuatan

Binomial adalah polinomial yang memiliki dua suku. Dalam pelajaran sebelumnya, kami menaikkan binomial ke pangkat kedua dan ketiga, sehingga diperoleh rumus perkalian yang disingkat:

(a+b) 2 = sebuah 2 + 2ab + b 2

(sebuah + b) 3 = sebuah 3 + 3sebuah 2 b + 3ab 2 + b 3

Tetapi binomial dapat dinaikkan tidak hanya ke kekuatan kedua dan ketiga, tetapi juga ke kekuatan keempat, kelima atau lebih tinggi.

Misalnya, mari kita buat binomial a+b sampai derajat keempat:

(a+b) 4

Kami mewakili ekspresi ini sebagai produk dari binomial a+b dan pangkat tiga dari binomial yang sama

(a+b)(sebuah+b) 3

Faktor ( a+b) 3 dapat diganti dengan ruas kanan rumus kubus dari jumlah dua ekspresi. Kemudian kita mendapatkan:

(a+b)(sebuah 3 + 3sebuah 2 b + 3ab 2 + b 3)

Dan ini adalah perkalian polinomial yang biasa. Mari kita jalankan:

Yaitu, ketika membangun binomial a+b polinomial pangkat empat sebuah 4 + 4sebuah 3 b + 6sebuah 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

(a+b) 4 = sebuah 4 + 4sebuah 3 b + 6sebuah 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

Konstruksi binomial a+b untuk kekuatan keempat, Anda juga dapat melakukan ini: mewakili ekspresi ( a+b) 4 sebagai produk dari kekuatan (a+b) 2 (a+b) 2

(a+b) 2 (a+b) 2

Tapi ekspresi ( a+b) 2 sama dengan sebuah 2 + 2ab + b 2 . Mari kita ganti dalam ekspresi (a+b) 2 (a+b) 2 jumlah kuadrat polinomial sebuah 2 + 2ab + b 2

(sebuah 2 + 2ab + b 2)(sebuah 2 + 2ab + b 2)

Dan ini adalah perkalian polinomial yang biasa. Mari kita jalankan. Kami akan mendapatkan hasil yang sama seperti sebelumnya:

Menaikkan trinomial menjadi pangkat

Trinomial adalah polinomial yang memiliki tiga suku. Misalnya, ungkapan a+b+c adalah trinomial.

Terkadang masalah mungkin muncul untuk menaikkan trinomial menjadi pangkat. Misalnya, mari kita kuadratkan trinomial a+b+c

(a+b+c) 2

Dua istilah di dalam tanda kurung dapat diberi tanda kurung. Sebagai contoh, kami menyimpulkan jumlah sebuah+ b dalam kurung:

((a+b) + c) 2

Dalam hal ini, jumlah a+b akan diperlakukan sebagai satu anggota. Kemudian ternyata kita mengkuadratkan bukan trinomial, melainkan binomial. Jumlah a+b akan menjadi anggota pertama, dan anggota c- anggota kedua. Dan kita sudah tahu cara mengkuadratkan binomial. Untuk melakukannya, Anda dapat menggunakan rumus kuadrat dari jumlah dua ekspresi:

(a+b) 2 = sebuah 2 + 2ab + b 2

Mari kita terapkan rumus ini pada contoh kita:

Dengan cara yang sama, Anda dapat mengkuadratkan polinomial yang terdiri dari empat suku atau lebih. Sebagai contoh, mari kita kuadratkan polinomial a+b+c+d

(a+b+c+d) 2

Kami mewakili polinomial sebagai jumlah dari dua ekspresi: a+b dan c + d. Untuk melakukan ini, lampirkan dalam tanda kurung:

((a+b) + (c + d)) 2

Sekarang kita menggunakan rumus untuk kuadrat dari jumlah dua ekspresi:

Pemilihan persegi penuh dari trinomial persegi

Transformasi identik lainnya yang dapat berguna dalam memecahkan masalah adalah pemilihan persegi penuh dari trinomial persegi.

Trinomial persegi adalah trinomial derajat kedua. Misalnya, trinomial berikut adalah persegi:

Gagasan mengekstraksi persegi penuh dari trinomial tersebut adalah untuk mewakili trinomial persegi asli sebagai ekspresi ( a+b) 2 + c, di mana ( a+b) 2 persegi penuh, dan c- beberapa ekspresi numerik atau literal.

Misalnya, kami memilih kotak penuh dari trinomial 4x 2 + 16x+ 19 .

Pertama, Anda perlu membangun ekspresi formulir sebuah 2 + 2ab+ b 2 . Kami akan membangunnya dari trinomial 4x 2 + 16x+ 19 . Pertama, mari kita putuskan anggota mana yang akan memainkan peran variabel sebuah dan b

Peran variabel sebuah kontol akan bermain 2 x, karena suku pertama dari trinomial 4x 2 + 16x+ 19 , yaitu 4 x 2 diperoleh jika 2 x kotak:

(2x) 2 = 4x 2

Jadi variabelnya sebuah sama dengan 2 x

sebuah = 2x

Sekarang kita kembali ke trinomial asli dan segera memperhatikan ekspresi 16 x. Ekspresi ini adalah dua kali produk dari ekspresi pertama sebuah(dalam kasus kami ini adalah 2 x) dan ekspresi kedua yang belum diketahui b. Tempatkan tanda tanya sementara di tempatnya:

2 × 2 x × ? = 16x

Melihat lebih dekat pada ekspresi 2 × 2 x × ? = 16x , secara intuitif menjadi jelas bahwa anggota b dalam situasi ini adalah angka 4, karena ekspresi 2 × 2 x sama dengan 4 x, dan untuk mendapatkan 16 x perlu dikalikan 4 x oleh 4 .

2 × 2 x × 4 = 16x

Dari sini kita menyimpulkan bahwa variabel b sama dengan 4

b = 4

Jadi kotak penuh kita akan menjadi ekspresi (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2

Sekarang kita siap untuk mengekstrak persegi penuh dari trinomial 4x 2 + 16x+ 19 .

Jadi, kembali ke trinomial asli 4x 2 + 16x+ 19 dan coba dengan hati-hati menyematkan kotak penuh yang telah kita peroleh ke dalamnya (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2

4x 2 + 16x+ 19 =

Alih-alih 4 x 2 tuliskan (2 x) 2

4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2

4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x×4

4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2

Dan untuk saat ini, kami menulis ulang anggota 19 seperti ini:

4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19

Sekarang mari kita perhatikan fakta bahwa polinomial yang telah kita peroleh (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 tidak identik dengan trinomial asli 4x 2 + 16x+ 19 . Anda dapat memverifikasi ini dengan membawa polinomial (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 ke tampilan standar:

(2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 = 4 x 2 + 16x + 4 2 + 19

Kami melihat bahwa kami mendapatkan polinomial 4x 2 + 16x+ 4 2 + 19 , tapi seharusnya ternyata 4x 2 + 16x+ 19 . Hal ini disebabkan fakta bahwa istilah 4 2 secara artifisial dimasukkan ke dalam trinomial asli untuk mengatur kuadrat lengkap dari trinomial tersebut. 4x 2 + 16x+ 19 .

4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 − 4 2 + 19

Sekarang ekspresinya (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 dapat diciutkan, yaitu ditulis dalam bentuk ( a+b) 2 . Dalam kasus kami, kami mendapatkan ekspresi (2 x+ 4) 2

4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19

Sisa suku 4 2 dan 19 dapat ditambahkan. 4 2 adalah 16 , maka 16 + 19 = 3

4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19 = (2x+ 4) 2 + 3

Cara, 4x 2 + 16x+ 19 = (2x + 4) 2 + 3

Contoh 2. Pilih persegi penuh dari trinomial persegi x 2 + 2x+ 2

Pertama, kita membangun ekspresi bentuk sebuah 2 + 2 ab+b 2. Peran variabel sebuah dalam hal ini x bermain karena x 2 = x 2 .

Suku berikutnya dari trinomial asli 2 x menulis ulang dalam bentuk produk ganda dari ekspresi pertama (ini kami x) dan ekspresi kedua b(akan menjadi 1).

2× x× 1 = 2 x

Jika sebuah b= 1 , maka ekspresinya akan menjadi kuadrat sempurna x 2 + 2x+ 1 2 .

Sekarang mari kita kembali ke trinomial persegi asli dan menyematkan persegi penuh ke dalamnya x 2 + 2x+ 1 2

x 2 + 2x+ 2 = x 2 + 2x+ 1 2 − 1 2 + 2 = (x+ 1) 2 + 1

Seperti pada contoh sebelumnya, anggota b(dalam contoh ini, adalah 1) segera dikurangi setelah penambahan untuk mempertahankan nilai trinomial aslinya.

Perhatikan ekspresi numerik berikut:

9 + 6 + 2

Nilai dari ekspresi ini adalah 17

9 + 6 + 2 = 17

Mari kita coba memilih persegi penuh dalam ekspresi numerik ini. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita membuat ekspresi bentuk sebuah 2 + 2ab+ b 2 . Peran variabel sebuah dalam hal ini, angka 3 dimainkan, karena suku pertama dari ekspresi 9 + 6 + 2, yaitu 9, dapat direpresentasikan sebagai 3 2 .

Kami mewakili suku kedua 6 sebagai produk ganda dari suku pertama 3 dan yang kedua 1

2 x 3 x 1 = 6

Itu adalah variabel b akan sama dengan satu. Maka ekspresi 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 akan menjadi kuadrat sempurna. Mari kita terapkan dalam ekspresi aslinya:

− 1 2 + 2

Kami menciutkan kotak penuh, dan menambahkan istilah 1 2 dan 2:

3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1

Hasilnya adalah (3 + 1) 2 + 2 , yang masih 17

(3 + 1) 2 +1 = 4 2 + 1 = 17

Katakanlah kita memiliki persegi dan dua persegi panjang. Sebuah persegi dengan sisi 3 cm, persegi panjang dengan sisi 2 cm dan 3 cm, dan persegi panjang dengan sisi 1 cm dan 2 cm

Hitung luas masing-masing gambar. Luas persegi adalah 3 2 = 9 cm 2, luas persegi panjang merah muda adalah 2 × 3 = 6 cm 2, luas yang berwarna ungu adalah 1 × 2 = 2 cm 2

Tuliskan jumlah luas persegi panjang berikut:

9 + 6 + 2

Ungkapan ini dapat dipahami sebagai penyatuan persegi dan dua persegi panjang menjadi satu gambar:

Kemudian diperoleh angka, luasnya yaitu 17 cm 2. Memang, gambar yang disajikan berisi 17 kotak dengan sisi 1 cm.

Mari kita coba membentuk persegi dari gambar yang ada. Dan persegi terbesar yang mungkin. Untuk melakukan ini, kita akan menggunakan bagian dari persegi panjang merah muda dan ungu.

Untuk membentuk persegi terbesar yang mungkin dari bentuk yang ada, Anda dapat membiarkan kotak kuning tidak berubah, dan menempelkan setengah dari persegi merah muda ke bagian bawah kotak kuning:

Kita melihat bahwa satu sentimeter persegi lagi hilang sebelum pembentukan persegi yang lengkap. Kita bisa mengambilnya dari persegi panjang ungu. Jadi, mari kita ambil satu persegi dari persegi panjang ungu dan tempelkan ke persegi besar yang terbentuk:

Sekarang mari kita lihat lebih dekat apa yang telah kita capai. Yaitu, pada bagian kuning dari gambar dan bagian merah muda, yang pada dasarnya meningkatkan kotak kuning sebelumnya. Bukankah ini berarti bahwa ada sisi persegi yang sama dengan 3 cm, dan sisi ini bertambah 1 cm, yang pada akhirnya menyebabkan peningkatan luas?

(3 + 1) 2

Ekspresi (3 + 1) 2 adalah 16 karena 3 + 1 = 4 dan 4 2 = 16 . Hasil yang sama dapat diperoleh dengan menggunakan rumus kuadrat dari jumlah dua ekspresi:

(3 + 1) 2 = 3 2 + 6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16

Memang, kotak yang dihasilkan berisi 16 kotak.

Satu persegi yang tersisa dari persegi panjang ungu dapat dilampirkan ke persegi besar yang dihasilkan. Bagaimanapun, itu awalnya tentang satu sosok:

(3 + 1) 2 + 1

Melampirkan kotak kecil ke kotak besar yang ada dijelaskan oleh ekspresi (3 + 1) 2 + 1 . Dan ini adalah pemilihan persegi penuh dari ekspresi 9 + 6 + 2

9 + 6 + 2 = 3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1

Ekspresi (3 + 1) 2 + 1 , seperti ekspresi 9 + 6 + 2 , sama dengan 17 . Memang, luas gambar yang dihasilkan adalah 17 cm 2.

Contoh 4. Mari kita lakukan pemilihan persegi penuh dari trinomial persegi x 2 + 6x + 8

x 2 + 6x + 8 = x 2+2× x× 3 + 3 2 3 2 + 8 = ( x + 3) 2 − 1

Dalam beberapa contoh, saat membuat ekspresi sebuah 2 + 2ab+ b 2 tidak mungkin untuk segera menentukan nilai variabel sebuah dan b .

Sebagai contoh, mari kita lakukan ekstraksi persegi penuh dari trinomial persegi x 2 + 3x+ 2

variabel sebuah sesuai x. Anggota Kedua 3 x tidak dapat direpresentasikan sebagai produk ganda dari ekspresi pertama dan kedua. Dalam hal ini, suku kedua harus dikalikan dengan 2, dan agar nilai polinomial asli tidak berubah, segera bagi dengan 2. Tampilannya akan seperti ini.

Biarkan dua ekspresi aljabar diberikan:

Mari kita buat tabel nilai masing-masing ekspresi ini untuk nilai numerik yang berbeda dari huruf x.

Kami melihat bahwa untuk semua nilai yang diberikan pada huruf x, nilai kedua ekspresi ternyata sama. Hal yang sama akan berlaku untuk nilai x lainnya.

Untuk memverifikasi ini, kami mengubah ekspresi pertama. Berdasarkan hukum distribusi, kami menulis:

Setelah melakukan operasi yang ditunjukkan pada angka, kami mendapatkan:

Jadi, ekspresi pertama, setelah disederhanakan, ternyata sama persis dengan ekspresi kedua.

Sekarang jelas bahwa untuk setiap nilai x, nilai kedua ekspresi adalah sama.

Ekspresi yang nilainya sama untuk setiap nilai huruf yang termasuk di dalamnya disebut identik sama atau identik.

Oleh karena itu, mereka adalah ekspresi yang identik.

Mari kita membuat satu komentar penting. Mari kita ambil ekspresi:

Setelah menyusun tabel yang mirip dengan yang sebelumnya, kami akan memastikan bahwa kedua ekspresi, untuk setiap nilai x, kecuali untuk memiliki nilai numerik yang sama. Hanya ketika ekspresi kedua sama dengan 6, dan yang pertama kehilangan artinya, karena penyebutnya nol. (Ingat bahwa Anda tidak dapat membagi dengan nol.) Bisakah kita mengatakan bahwa ekspresi ini identik?

Kami sepakat sebelumnya bahwa setiap ekspresi akan dipertimbangkan hanya untuk nilai huruf yang dapat diterima, yaitu untuk nilai-nilai yang ekspresinya tidak kehilangan maknanya. Ini berarti bahwa di sini, ketika membandingkan dua ekspresi, kami hanya memperhitungkan nilai huruf yang valid untuk kedua ekspresi. Oleh karena itu, kita harus mengecualikan nilai. Dan karena untuk semua nilai x lainnya, kedua ekspresi memiliki nilai numerik yang sama, kami berhak menganggapnya identik.

Berdasarkan apa yang telah dikatakan, kami memberikan definisi ekspresi identik berikut:

1. Ekspresi disebut identik jika memiliki nilai numerik yang sama untuk semua nilai yang dapat diterima dari huruf yang disertakan di dalamnya.

Jika kita menghubungkan dua ekspresi identik dengan tanda yang sama, maka kita mendapatkan identitas. Cara:

2. Identitas adalah persamaan yang berlaku untuk semua nilai yang dapat diterima dari huruf-huruf yang terdapat di dalamnya.

Kami telah menemukan identitas sebelumnya. Jadi, misalnya, semua persamaan adalah identitas, yang dengannya kami menyatakan hukum dasar penjumlahan dan perkalian.

Misalnya, persamaan yang menyatakan hukum komutatif penjumlahan

dan hukum asosiatif perkalian

berlaku untuk semua nilai huruf. Oleh karena itu, persamaan ini adalah identitas.

Semua persamaan aritmatika yang benar juga dianggap sebagai identitas, misalnya:

Dalam aljabar, seseorang sering kali harus mengganti ekspresi dengan ekspresi lain yang identik dengannya. Biarkan, misalnya, diperlukan untuk menemukan nilai ekspresi

Kami akan sangat memudahkan perhitungan jika kami mengganti ekspresi yang diberikan dengan ekspresi yang identik dengannya. Berdasarkan hukum distribusi, kita dapat menulis:

Tetapi angka dalam kurung berjumlah 100. Jadi, kami memiliki identitas:

Mengganti 6,53 alih-alih a di sisi kanannya, kami segera (dalam pikiran) menemukan nilai numerik (653) dari ekspresi ini.

Mengganti satu ekspresi dengan yang lain, identik dengannya, disebut transformasi identik dari ekspresi ini.

Ingatlah bahwa ekspresi aljabar apa pun untuk nilai huruf apa pun yang dapat diterima adalah beberapa

nomor. Dari sini dapat disimpulkan bahwa semua hukum dan sifat operasi aritmatika yang diberikan dalam bab sebelumnya dapat diterapkan pada ekspresi aljabar. Jadi, penerapan hukum dan sifat operasi aritmatika mengubah ekspresi aljabar yang diberikan menjadi ekspresi yang identik dengannya.

Dalam mempelajari aljabar, kita menemukan konsep polinomial (misalnya ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ dan seterusnya) dan pecahan aljabar (misalnya $\frac(x+5)(x )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ dll.) Kesamaan konsep-konsep ini adalah bahwa baik dalam polinomial maupun dalam pecahan aljabar ada variabel dan nilai numerik, tindakan aritmatika: penjumlahan, pengurangan, perkalian, eksponensial Perbedaan antara konsep-konsep ini adalah bahwa pembagian dengan variabel tidak dilakukan dalam polinomial, dan pembagian dengan variabel dapat dilakukan dalam pecahan aljabar.

Baik polinomial maupun pecahan aljabar disebut ekspresi aljabar rasional dalam matematika. Tetapi polinomial adalah ekspresi rasional bilangan bulat, dan ekspresi fraksional aljabar adalah ekspresi rasional fraksional.

Dimungkinkan untuk memperoleh seluruh ekspresi aljabar dari ekspresi fraksional-rasional menggunakan transformasi identik, yang dalam hal ini akan menjadi properti utama pecahan - pengurangan pecahan. Mari kita periksa dalam praktiknya:

Contoh 1

Transformasi:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Keputusan: Persamaan pecahan-rasional ini dapat ditransformasikan dengan menggunakan sifat dasar dari pembatalan pecahan, yaitu. membagi pembilang dan penyebut dengan angka atau ekspresi yang sama selain $0$.

Pecahan ini tidak dapat segera direduksi, perlu mengubah pembilangnya.

Kami mengubah ekspresi dalam pembilang pecahan, untuk ini kami menggunakan rumus untuk kuadrat dari perbedaan: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Pecahan memiliki bentuk

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\kiri(x-2\kanan)(x-2))(x-2)\]

Sekarang kita melihat bahwa ada faktor persekutuan dalam pembilang dan penyebut - ini adalah ekspresi $x-2$, di mana kita akan mengurangi pecahan

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\kanan)(x-2))(x-2)=x-2\]

Setelah reduksi, kami memperoleh bahwa ekspresi pecahan-rasional asli $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ telah menjadi polinomial $x-2$, yaitu. keseluruhan rasional.

Sekarang mari kita perhatikan fakta bahwa ekspresi $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ dan $x-2\ $ dapat dianggap identik tidak untuk semua nilai variabel, karena agar ekspresi pecahan-rasional ada dan pengurangan oleh polinomial $x-2$ dimungkinkan, penyebut pecahan tidak boleh sama dengan $0$ (serta faktor yang kita perkecil. Dalam contoh ini, penyebut dan faktornya sama, tetapi tidak selalu demikian).

Nilai variabel yang fraksi aljabarnya akan ada disebut nilai variabel yang valid.

Kami memberikan kondisi pada penyebut pecahan: $x-2≠0$, lalu $x≠2$.

Jadi ekspresi $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ dan $x-2$ identik untuk semua nilai variabel kecuali $2$.

Definisi 1

identik sama Ekspresi adalah ekspresi yang sama untuk semua kemungkinan nilai variabel.

Transformasi identik adalah setiap penggantian ekspresi asli dengan yang identik sama Transformasi tersebut termasuk melakukan tindakan: penambahan, pengurangan, perkalian, mengambil faktor umum dari kurung, membawa pecahan aljabar ke penyebut yang sama, mengurangi pecahan aljabar, membawa seperti istilah, dll. Harus diperhitungkan bahwa sejumlah transformasi, seperti pengurangan, pengurangan suku serupa, dapat mengubah nilai variabel yang diizinkan.

Teknik yang digunakan untuk membuktikan identitas

Ubah ruas kiri identitas menjadi ruas kanan atau sebaliknya menggunakan transformasi identitas

Kurangi kedua bagian menjadi ekspresi yang sama menggunakan transformasi identik

Transfer ekspresi di satu bagian ekspresi ke bagian lain dan buktikan bahwa perbedaan yang dihasilkan sama dengan $0$

Manakah dari metode di atas yang digunakan untuk membuktikan identitas tertentu bergantung pada identitas aslinya.

Contoh 2

Buktikan identitasnya $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Keputusan: Untuk membuktikan identitas ini, kita menggunakan cara pertama di atas, yaitu, kita akan mengubah sisi kiri identitas hingga sama dengan sisi kanan.

Perhatikan sisi kiri identitas: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- itu adalah selisih dua polinomial. Dalam hal ini, polinomial pertama adalah kuadrat dari jumlah tiga suku. Untuk menguadratkan jumlah beberapa suku, kita menggunakan rumus:

\[(((a+b+c)))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Untuk melakukan ini, kita perlu mengalikan suatu bilangan dengan polinomial.Ingat bahwa untuk ini kita perlu mengalikan faktor persekutuan di luar kurung dengan setiap suku polinomial di dalam kurung.Kemudian kita dapatkan:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Sekarang kembali ke polinomial asli, itu akan berbentuk:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Perhatikan bahwa ada tanda “-” di depan braket, yang berarti bahwa ketika braket dibuka, semua tanda yang ada di dalam kurung terbalik.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Jika kita membawa istilah yang serupa, maka kita mendapatkan bahwa monomial $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ dan $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ saling meniadakan, mis. jumlah mereka sama dengan $0$.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Jadi, dengan transformasi identik, kami memperoleh ekspresi identik di sisi kiri identitas asli

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Perhatikan bahwa ekspresi yang dihasilkan menunjukkan bahwa identitas asli adalah benar.

Perhatikan bahwa dalam identitas asli, semua nilai variabel diperbolehkan, yang berarti bahwa kami telah membuktikan identitas menggunakan transformasi identik, dan itu berlaku untuk semua nilai variabel yang diizinkan.

Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google (akun) dan masuk: https://accounts.google.com

Teks slide:

Identitas. Transformasi identitas ekspresi. kelas 7.

Tentukan nilai dari ekspresi di x=5 dan y=4 3(x+y)= 3(5+4)=3*9=27 3x+3y= 3*5+3*4=27 Tentukan nilai dari ekspresi di x=6 dan y=5 3(x+y)= 3(6+5)=3*11=33 3x+3y= 3*6+3*5=33

KESIMPULAN: Kami mendapat hasil yang sama. Ini mengikuti dari sifat distributif bahwa, secara umum, untuk setiap nilai variabel, nilai ekspresi 3(x + y) dan 3x + 3y adalah sama. 3(x+y) = 3x+3y

Pertimbangkan sekarang ekspresi 2x + y dan 2xy. untuk x=1 dan y=2 mereka mengambil nilai yang sama: 2x+y=2*1+2=4 2x=2*1*2=4 untuk x=3, y=4 nilai ekspresi berbeda 2x+y =2* 3+4=10 2xy=2*3*4=24

KESIMPULAN: Ekspresi 3(x+y) dan 3x+3y identik sama, tetapi ekspresi 2x+y dan 2xy tidak identik sama. Definisi: Dua ekspresi yang nilainya sama untuk setiap nilai variabel dikatakan identik sama.

IDENTITAS Persamaan 3(x+y) dan 3x+3y berlaku untuk semua nilai x dan y. Kesetaraan seperti itu disebut identitas. Definisi: Kesetaraan yang berlaku untuk semua nilai variabel disebut identitas. Persamaan numerik yang benar juga dianggap sebagai identitas. Kami sudah bertemu dengan identitas.

Identitas adalah persamaan yang menyatakan sifat dasar tindakan pada bilangan. a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Contoh identitas lainnya dapat diberikan: a + 0 = a a * 1 = a a + (-a) = 0 a * (- b) = - ab a- b = a + (- b) (-a) * ( - b) = ab Mengganti satu ekspresi dengan ekspresi lain yang identik sama disebut transformasi identitas atau transformasi ekspresi sederhana.

Untuk mendapatkan suku-suku serupa, Anda perlu menambahkan koefisiennya dan mengalikan hasilnya dengan bagian huruf biasa. Contoh 1. Kami memberikan suku sejenis 5x + 2x-3x \u003d x (5 + 2-3) \u003d 4x

Jika ada tanda tambah di depan tanda kurung, maka tanda kurung dapat dihilangkan, dengan tetap menjaga tanda setiap istilah yang diapit tanda kurung. Contoh 2. Perluas tanda kurung dalam ekspresi 2a + (b -3 c) = 2 a + b - 3 c

Jika ada tanda minus sebelum tanda kurung, maka tanda kurung dapat dihilangkan dengan mengubah tanda setiap suku yang diapit tanda kurung. Contoh 3. Mari kita buka tanda kurung dalam ekspresi a - (4 b - c) \u003d a - 4 b + c

Pekerjaan rumah: hlm. 5, No. 91, 97, 99 Terima kasih atas pelajarannya!

Pada topik: perkembangan metodologis, presentasi dan catatan

Metode mempersiapkan siswa untuk ujian di bagian "Ekspresi dan transformasi ekspresi"

Proyek ini dikembangkan dengan tujuan mempersiapkan siswa untuk ujian negara di kelas 9 dan kemudian untuk ujian negara terpadu di kelas 11.