Para ahli matematika kuno sudah mengetahui tentang segmen satuan panjang: mereka mengetahui, misalnya, ketidakterbandingan diagonal dan sisi persegi, yang setara dengan irasionalitas suatu bilangan.
Yang tidak rasional adalah:
Contoh bukti irasionalitas
Akar dari 2
Mari kita asumsikan sebaliknya: rasional, yaitu direpresentasikan dalam bentuk pecahan tak tersederhanakan, di mana dan adalah bilangan bulat. Mari kita hitung persamaan yang seharusnya:
.Oleh karena itu genap adalah genap dan . Biarkan itu menjadi tempat keseluruhannya. Kemudian
Oleh karena itu, genap berarti genap dan . Kami menemukan bahwa dan genap, yang bertentangan dengan pecahan yang tidak dapat direduksi. Artinya asumsi awal salah dan merupakan bilangan irasional.
Logaritma biner dari angka 3
Mari kita asumsikan sebaliknya: rasional, yaitu direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat. Sejak , dan dapat dipilih menjadi positif. Kemudian
Tapi genap dan ganjil. Kami mendapatkan kontradiksi.
e
Cerita
Konsep bilangan irasional secara implisit diadopsi oleh matematikawan India pada abad ke-7 SM, ketika Manava (c. 750 SM - c. 690 SM) menemukan bahwa akar kuadrat dari beberapa bilangan asli, seperti 2 dan 61 tidak dapat dinyatakan secara eksplisit. .
Bukti pertama keberadaan bilangan irasional biasanya dikaitkan dengan Hippasus dari Metapontus (c. 500 SM), seorang Pythagoras yang menemukan bukti ini dengan mempelajari panjang sisi pentagram. Pada zaman Pythagoras, diyakini bahwa ada satu satuan panjang, cukup kecil dan tidak dapat dibagi-bagi, yang memasuki segmen mana pun beberapa kali bilangan bulat. Namun Hippasus berpendapat bahwa tidak ada satuan panjang yang tunggal, karena anggapan keberadaannya menimbulkan kontradiksi. Dia menunjukkan bahwa jika sisi miring segitiga siku-siku sama kaki berisi bilangan bulat dari satuan segmen, maka bilangan tersebut harus genap dan ganjil. Buktinya terlihat seperti ini:
- Perbandingan panjang sisi miring dengan panjang kaki segitiga siku-siku sama kaki dapat dinyatakan sebagai A:B, Di mana A Dan B dipilih sekecil mungkin.
- Menurut teorema Pythagoras: A² = 2 B².
- Karena A- bahkan, A harus genap (karena kuadrat suatu bilangan ganjil adalah ganjil).
- Karena A:B tidak dapat direduksi B pasti ganjil.
- Karena A bahkan, kami menyatakannya A = 2kamu.
- Kemudian A² = 4 kamu² = 2 B².
- B² = 2 kamu², oleh karena itu B- bahkan kemudian B bahkan.
- Namun, hal itu telah terbukti B aneh. Kontradiksi.
Matematikawan Yunani menyebut rasio kuantitas yang tidak dapat dibandingkan ini alogos(tak terkatakan), tetapi menurut legenda mereka tidak menghormati Hippasus. Ada legenda bahwa Hippasus membuat penemuan ini saat dalam perjalanan laut dan dibuang ke laut oleh pengikut Pythagoras lainnya “karena menciptakan elemen alam semesta yang menyangkal doktrin bahwa semua entitas di alam semesta dapat direduksi menjadi bilangan bulat dan rasionya.” Penemuan Hippasus menimbulkan masalah serius bagi matematika Pythagoras, menghancurkan asumsi mendasar bahwa bilangan dan objek geometris adalah satu dan tidak dapat dipisahkan.
Lihat juga
Catatan
| Sistem numerik | |
|---|---|
| Perhitungan set |
bilangan bulat () |
Angka apa yang tidak rasional? Bilangan irasional bukan bilangan real rasional, mis. tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan (sebagai perbandingan dua bilangan bulat), dimana M- bilangan bulat, N- bilangan asli . Bilangan irasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal non-periodik tak hingga.
Bilangan irasional mungkin tidak mempunyai arti yang pasti. Hanya dalam format 3.333333…. Misalnya, akar kuadrat dari dua adalah bilangan irasional.
Angka mana yang tidak rasional? Bilangan irasional(berlawanan dengan rasional) disebut pecahan desimal non-periodik tak terhingga.
Kumpulan bilangan irasional sering dilambangkan dengan huruf latin kapital dengan gaya tebal tanpa arsiran. Itu.:
Itu. Himpunan bilangan irasional adalah selisih antara himpunan bilangan real dan bilangan rasional.
Sifat-sifat bilangan irasional.
- Jumlah 2 bilangan irasional bukan negatif dapat berupa bilangan rasional.
- Bilangan irasional menentukan pemotongan Dedekind pada himpunan bilangan rasional, di kelas bawah tidak ada bilangan terbesar, dan di kelas atas tidak ada bilangan lebih kecil.
- Setiap bilangan transendental real adalah bilangan irasional.
- Semua bilangan irasional bersifat aljabar atau transendental.
- Himpunan bilangan irasional padat di mana-mana pada garis bilangan: di antara setiap pasangan bilangan terdapat bilangan irasional.
- Urutan himpunan bilangan irasional isomorfik terhadap urutan himpunan bilangan transendental real.
- Himpunan bilangan irasional tidak terhingga dan merupakan himpunan kategori ke-2.
- Hasil setiap operasi aritmatika dengan bilangan rasional (kecuali pembagian dengan 0) adalah bilangan rasional. Hasil operasi aritmatika pada bilangan irasional dapat berupa bilangan rasional atau bilangan irasional.
- Jumlah bilangan rasional dan irasional akan selalu merupakan bilangan irasional.
- Jumlah bilangan irasional dapat menjadi bilangan rasional. Misalnya, membiarkan X tidak rasional kalau begitu kamu=x*(-1) juga tidak rasional; x+y=0, dan nomornya 0 rasional (jika, misalnya, kita menambahkan akar pangkat 7 dan dikurangi akar pangkat tujuh yang sama, kita mendapatkan bilangan rasional 0).
Bilangan irasional, contoh.
γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ
Tidak semua operasi yang dipertimbangkan dalam aljabar dapat dilakukan dalam bidang bilangan rasional. Contohnya adalah operasi akar kuadrat. Jadi, jika persamaan berlaku untuk nilai , maka persamaan tidak berlaku untuk nilai rasional apa pun.Mari kita buktikan. Pertama, kita perhatikan bahwa bilangan bulat tidak boleh mempunyai kuadrat sama dengan 2: karena kita mempunyai dan untuk pasti lebih besar dari 2. Sekarang mari kita asumsikan bahwa pecahannya adalah: (pecahan tersebut dianggap tidak dapat direduksi) dan
Oleh karena itu, bilangan yang kita miliki harus genap (jika tidak, kuadratnya tidak akan genap). Mari kita jelaskan.
Sekarang ternyata dan genap, yang bertentangan dengan asumsi bahwa pecahan tersebut tidak dapat direduksi
Hal ini menunjukkan bahwa pada ranah bilangan rasional bilangan 2 tidak dapat di-root kuadrat, lambang tersebut tidak mempunyai arti pada ranah bilangan rasional. Sementara itu, tugas: “menemukan sisi sebuah persegi, mengetahui luasnya sama dengan S” juga wajar dengan dan dengan. Jalan keluar dari kesulitan ini dan kesulitan serupa lainnya adalah dengan memperluas lebih jauh konsep bilangan, dalam memperkenalkan jenis bilangan baru - bilangan irasional.
Mari kita tunjukkan cara memasukkan bilangan irasional menggunakan contoh soal mengekstrak akar kuadrat dari bilangan 2; Untuk mempermudah, kami akan membatasi diri pada nilai positif dari akar.
Untuk setiap bilangan rasional positif, salah satu pertidaksamaan atau Jelasnya, . Kita kemudian mempertimbangkan angka-angka tersebut dan menemukan dua angka yang bertetangga di antara angka-angka tersebut dengan sifat yang pertama memiliki kuadrat kurang dari dua, dan yang kedua memiliki kuadrat lebih besar dari dua. Yaitu, dengan melanjutkan proses ini, kita memperoleh serangkaian pertidaksamaan (untuk mendapatkan pecahan desimal yang ditulis di sini, Anda juga dapat menggunakan algoritme terkenal untuk perkiraan ekstraksi akar kuadrat, langkah 13):
Pertama, bandingkan seluruh bagiannya, lalu angka pertama, kedua, ketiga, dst. setelah koma dari bilangan rasional, yang di antara kuadratnya ada 2, kita dapat menuliskan tempat desimal berikut secara berurutan:
Proses pencarian pasangan bilangan rasional (dinyatakan sebagai pecahan desimal berhingga) yang berbeda satu sama lain dengan bertambahnya m dapat dilanjutkan tanpa batas. Oleh karena itu, kita dapat menganggap pecahan (6.1) sebagai pecahan desimal tak terhingga (non-periodik, karena jika periodik akan mewakili bilangan rasional).
Pecahan non-periodik tak terhingga ini, berapa pun angka desimalnya yang dapat kita tuliskan, tetapi semua tandanya tidak mungkin dituliskan secara bersamaan, dianggap sebagai bilangan yang sama dengan (yaitu, bilangan yang kuadratnya sama dengan 2).
Kami menyatakan nilai negatif dari akar kuadrat dua sebagai
atau dengan menggunakan bentuk tulisan angka buatan, dalam bentuk
Sekarang mari kita perkenalkan definisi berikut: bilangan irasional adalah pecahan desimal non-periodik yang tak terhingga
dimana a adalah bagian pembentuk suatu bilangan (bisa positif, sama dengan nol atau negatif), dan merupakan tempat desimal (digit) dari bagian pecahannya.
Bilangan irasional yang didefinisikan oleh pecahan non-periodik tak terhingga mendefinisikan dua barisan pecahan desimal berhingga, yang disebut perkiraan desimal a karena kekurangan dan kelebihan:
Misalnya saja untuk kita menulis
dll. Di sini, misalnya, 1,41 adalah perkiraan desimal dengan akurasi 0,01 untuk kekurangan, dan 1,42 untuk kelebihan.
Pencatatan pertidaksamaan antara bilangan irasional dan perkiraan desimalnya termasuk dalam pengertian konsep bilangan irasional dan dapat digunakan sebagai dasar untuk menentukan hubungan “lebih dari” dan “kurang dari” untuk bilangan irasional.
Kemungkinan untuk merepresentasikan bilangan irasional dengan pendekatan desimalnya yang semakin akurat juga mendasari definisi operasi aritmatika pada bilangan irasional, yang sebenarnya dilakukan atas pendekatan irasionalnya dengan kekurangan atau kelebihan.
Banyak tindakan yang menghasilkan bilangan irasional, seperti tindakan mengambil akar suatu pangkat dari suatu bilangan rasional (jika tidak mewakili pangkat dari bilangan rasional lainnya), logaritma, dll. Bilangan irasional sama dengan perbandingan bilangan tersebut. keliling lingkaran dengan diameternya (butir 229).
Semua bilangan rasional dan irasional bersama-sama membentuk himpunan bilangan real (atau real). Jadi, setiap pecahan desimal, berhingga atau tak terhingga (periodik atau non-periodik), selalu menentukan bilangan real.
Setiap bilangan real selain nol adalah positif atau negatif.
Sehubungan dengan itu, mari kita mengingat kembali definisi berikut. Nilai absolut atau modulus suatu bilangan real a adalah bilangan yang ditentukan oleh persamaan a jika
Jadi, modulus suatu bilangan non-negatif sama dengan bilangan itu sendiri (garis atas persamaan); Modulus suatu bilangan negatif sama dengan bilangan yang diambil dengan tanda yang berlawanan (garis bawah). Misalnya,
Dari definisi modulus dapat disimpulkan bahwa modulus suatu bilangan adalah bilangan non-negatif; jika modulus suatu bilangan sama dengan nol, maka bilangan itu sendiri juga sama dengan nol; dalam kasus lain, modulusnya positif.
Bilangan real membentuk bidang bilangan - bidang bilangan real: hasil operasi rasional pada bilangan real dinyatakan lagi dengan bilangan real. Perhatikan bahwa bilangan irasional yang diambil satu per satu tidak membentuk bidang atau bahkan gelanggang: misalnya, jumlah dua bilangan irasional sama dengan bilangan rasional 3.
Garis besar singkat kami tentang perkembangan konsep bilangan, dibangun sesuai skema
Kita akan menyimpulkan dengan menunjukkan sifat-sifat terpenting dari himpunan bilangan real.
1. Bilangan real membentuk suatu bidang.
2. Operasi bilangan real tunduk pada hukum biasa (misalnya, penjumlahan dan perkalian - hukum komutatifitas, asosiatif, distributifitas, paragraf 1).
3. Untuk dua bilangan real a dan b, hanya satu dari tiga relasi yang berlaku: a lebih besar dari b (a > b), dan lebih kecil dari , dan sama dengan . Oleh karena itu dikatakan himpunan bilangan real terurut.
4. Terakhir, himpunan bilangan real biasanya dikatakan mempunyai sifat kontinuitas. Makna ungkapan ini dijelaskan pada paragraf 8. Sifat inilah yang secara signifikan membedakan bidang bilangan real dari bidang bilangan rasional.
bilangan bulat
Bilangan yang digunakan dalam penghitungan disebut bilangan asli. Misalnya, $1,2,3$, dll. Bilangan asli merupakan himpunan bilangan asli yang dilambangkan dengan $N$ Sebutan ini berasal dari kata latin naturalis- alami.
Angka yang berlawanan
Definisi 1
Jika dua bilangan hanya berbeda tandanya, maka disebut dalam matematika angka yang berlawanan.
Misalnya angka $5$ dan $-5$ adalah angka yang berlawanan, karena Mereka hanya berbeda dalam tanda-tandanya.
Catatan 1
Untuk bilangan apa pun pasti ada bilangan yang berlawanan, dan hanya satu.
Catatan 2
Angka nol adalah kebalikan dari dirinya sendiri.
Bilangan bulat
Definisi 2
Utuh bilangan adalah bilangan asli, kebalikannya, dan nol.
Himpunan bilangan bulat meliputi himpunan bilangan asli dan lawannya.
Menunjukkan bilangan bulat $Z.$
Bilangan pecahan
Bilangan berbentuk $\frac(m)(n)$ disebut pecahan atau bilangan pecahan. Bilangan pecahan juga dapat ditulis dalam bentuk desimal, yaitu. dalam bentuk pecahan desimal.
Misalnya: $\ \frac(3)(5)$ , $0,08$ dll.
Sama seperti bilangan bulat, bilangan pecahan juga bisa positif atau negatif.
Angka rasional
Definisi 3
Angka rasional adalah himpunan bilangan yang memuat himpunan bilangan bulat dan pecahan.
Bilangan rasional apa pun, baik bilangan bulat maupun pecahan, dapat direpresentasikan sebagai pecahan $\frac(a)(b)$, dengan $a$ adalah bilangan bulat dan $b$ adalah bilangan asli.
Jadi, bilangan rasional yang sama dapat ditulis dengan cara yang berbeda.
Misalnya,
Hal ini menunjukkan bahwa bilangan rasional apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal berhingga atau pecahan periodik desimal tak hingga.
Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan $Q$.
Sebagai hasil dari melakukan operasi aritmatika pada bilangan rasional, jawaban yang dihasilkan adalah bilangan rasional. Hal ini mudah dibuktikan, karena ketika menjumlahkan, mengurangkan, mengalikan dan membagi pecahan biasa, diperoleh pecahan biasa.
Bilangan irasional
Saat mempelajari mata pelajaran matematika, seringkali Anda harus berhadapan dengan bilangan-bilangan yang tidak rasional.
Misalnya, untuk memverifikasi keberadaan himpunan bilangan selain bilangan rasional, selesaikan persamaan $x^2=6$. Akar persamaan ini adalah bilangan $\surd 6$ dan -$\surd 6$ . Angka-angka ini tidak rasional.
Selain itu, ketika mencari diagonal persegi dengan sisi $3$, kita menerapkan teorema Pythagoras dan menemukan bahwa diagonalnya akan sama dengan $\surd 18$. Angka ini juga tidak rasional.
Nomor-nomor tersebut disebut irasional.
Jadi, bilangan irasional adalah pecahan desimal non-periodik yang tak terhingga.
Salah satu bilangan irasional yang sering dijumpai adalah bilangan $\pi$
Saat melakukan operasi aritmatika dengan bilangan irasional, hasil yang dihasilkan dapat berupa bilangan rasional atau irasional.
Mari kita buktikan dengan menggunakan contoh mencari hasil kali bilangan irasional. Mari temukan:
$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$
$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$
Berdasarkan keputusan
$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$
$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$
Contoh ini menunjukkan bahwa hasilnya dapat berupa bilangan rasional atau bilangan irasional.
Jika bilangan rasional dan irasional dilibatkan dalam operasi aritmatika secara bersamaan, maka hasilnya adalah bilangan irasional (kecuali, tentu saja, perkalian dengan $0$).
Bilangan nyata
Himpunan bilangan real adalah himpunan yang memuat himpunan bilangan rasional dan irasional.
Himpunan bilangan real dilambangkan dengan $R$. Secara simbolis, himpunan bilangan real dapat dilambangkan dengan $(-?;+?).$
Telah kita katakan sebelumnya bahwa bilangan irasional adalah pecahan desimal non-periodik tak terhingga, dan bilangan rasional apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal berhingga atau pecahan periodik desimal tak hingga, sehingga pecahan desimal berhingga dan tak terhingga akan menjadi bilangan real.
Saat melakukan operasi aljabar, aturan berikut akan diikuti:
- Jika bilangan positif dikalikan dan dibagi, maka bilangan yang dihasilkan akan positif
- Saat mengalikan dan membagi bilangan negatif, bilangan yang dihasilkan akan positif
- Saat mengalikan dan membagi bilangan negatif dan positif, bilangan yang dihasilkan akan menjadi negatif
Bilangan real juga dapat dibandingkan satu sama lain.
