Namun saat itu kami merumuskannya dalam bentuk yang “disederhanakan”, nyaman dan cukup untuk mengerjakan pecahan biasa. Dalam artikel ini, kita akan melihat sifat dasar pecahan yang diterapkan pada pecahan aljabar (yaitu, pecahan yang pembilang dan penyebutnya adalah polinomial; di beberapa buku pelajaran aljabar, pecahan seperti itu disebut pecahan rasional, bukan pecahan aljabar). Pertama mari kita rumuskan sifat utama pecahan aljabar, kami akan membenarkannya, dan setelah itu kami akan mencantumkan area utama penerapannya.

Navigasi halaman.

Perumusan dan pembenaran

Pertama-tama, mari kita ingat kembali bagaimana sifat dasar pecahan untuk pecahan biasa dirumuskan: jika pembilang dan penyebut pecahan biasa dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan asli, maka nilai pecahan tidak akan berubah. Pernyataan ini sesuai dengan persamaan dan (yang juga valid dengan bagian-bagian yang disusun ulang dalam bentuk dan ), di mana a, b dan m adalah beberapa.

Sebenarnya, tidak perlu membicarakan pembagian pembilang dan penyebut dengan suatu bilangan - kasus ini tercakup dalam persamaan bentuk . Misalnya, kesetaraan dapat dibenarkan melalui pembagian menggunakan persamaan sebagai , tetapi dapat juga dibenarkan atas dasar kesetaraan sebagai . Oleh karena itu, selanjutnya kita akan mengasosiasikan sifat dasar pecahan dengan persamaan (dan), dan tidak akan membahas persamaan (dan).

Sekarang kita akan menunjukkan bahwa sifat utama pecahan juga berlaku untuk pecahan yang pembilang dan penyebutnya adalah . Untuk melakukan ini, kami membuktikan bahwa persamaan tertulis berlaku tidak hanya untuk bilangan asli, tetapi juga untuk bilangan real apa pun. Dengan kata lain, kita akan membuktikan bahwa persamaan tersebut benar untuk sembarang bilangan real a, b dan m, dan b dan m bukan nol (jika tidak, kita akan menghadapi pembagian dengan nol).

Misalkan pecahan a/b merupakan representasi dari bilangan z, yaitu . Mari kita buktikan bahwa pecahan juga sesuai dengan bilangan z, yaitu kita buktikan bahwa . Hal ini akan membuktikan kesetaraan.

Perlu dicatat bahwa jika pecahan aljabar memiliki koefisien pecahan, maka mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan angka tertentu memungkinkan kita beralih ke koefisien bilangan bulat, dan dengan demikian menyederhanakan bentuknya. Misalnya, . Dan aturan perubahan tanda anggota pecahan aljabar didasarkan pada perkalian pembilang dan penyebutnya dengan minus satu.

Penerapan terpenting kedua dari sifat dasar pecahan adalah reduksi pecahan aljabar. Secara umum, pengurangan dilakukan dalam dua tahap: pertama, pembilang dan penyebutnya difaktorkan, yang memungkinkan untuk menemukan faktor persekutuan m, dan kemudian, berdasarkan persamaan, transisi dilakukan ke pecahan. dari bentuk a/b tanpa faktor persekutuan ini. Misalnya, pecahan aljabar setelah memfaktorkan pembilang dan penyebutnya berbentuk www.site, termasuk materi internal dan desain eksternal, tidak dapat direproduksi dalam bentuk apa pun atau digunakan tanpa izin tertulis sebelumnya dari pemegang hak cipta.

Ketika seorang siswa memasuki sekolah menengah, matematika dibagi menjadi dua mata pelajaran: aljabar dan geometri. Konsepnya semakin banyak, tugasnya semakin sulit. Beberapa orang mengalami kesulitan memahami pecahan. Melewatkan pelajaran pertama tentang topik ini, dan voila. pecahan? Sebuah pertanyaan yang akan menyiksa sepanjang kehidupan sekolahku.

Konsep pecahan aljabar

Mari kita mulai dengan definisi. Di bawah pecahan aljabar mengacu pada ekspresi P/Q, di mana P adalah pembilangnya dan Q adalah penyebutnya. Angka, ekspresi numerik, atau ekspresi numerik-abjad dapat disembunyikan di bawah entri huruf.

Sebelum bertanya-tanya bagaimana cara menyelesaikan pecahan aljabar, pertama-tama Anda perlu memahami bahwa ekspresi seperti itu adalah bagian dari keseluruhan.

Biasanya, bilangan bulat adalah 1. Angka pada penyebut menunjukkan berapa banyak bagian yang dapat dibagi satuan tersebut. Pembilang diperlukan untuk mengetahui berapa banyak elemen yang diambil. Bilah pecahan sesuai dengan tanda pembagian. Diperbolehkan untuk menulis ekspresi pecahan sebagai operasi matematika “Pembagian”. Dalam hal ini pembilangnya adalah pembaginya, dan penyebutnya adalah pembaginya.

Aturan dasar pecahan biasa

Ketika siswa mempelajari topik ini di sekolah, mereka diberikan contoh untuk memperkuat. Untuk menyelesaikannya dengan benar dan menemukan jalan keluar berbeda dari situasi sulit, Anda perlu menerapkan sifat dasar pecahan.

Bunyinya seperti ini: Jika Anda mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan angka atau persamaan yang sama (selain nol), nilai pecahan biasa tidak berubah. Kasus khusus dari aturan ini adalah pembagian kedua sisi suatu ekspresi dengan bilangan atau polinomial yang sama. Transformasi seperti ini disebut persamaan identik.

Di bawah ini kita akan melihat cara menyelesaikan penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar, perkalian, pembagian dan pengurangan pecahan.

Operasi matematika dengan pecahan

Mari kita lihat cara menyelesaikan sifat dasar pecahan aljabar, dan cara menerapkannya dalam praktik. Jika Anda perlu mengalikan dua pecahan, menjumlahkannya, membagi satu dengan yang lain, atau mengurangkan, Anda harus selalu mengikuti aturannya.

Jadi, untuk operasi penjumlahan dan pengurangan, faktor tambahan harus dicari agar ekspresi menjadi penyebut yang sama. Jika pecahan awalnya diberikan dengan ekspresi Q yang sama, maka paragraf ini harus dihilangkan. Setelah penyebutnya ditemukan, bagaimana cara menyelesaikan pecahan aljabar? Anda perlu menambah atau mengurangi pembilang. Tetapi! Perlu diingat bahwa jika ada tanda “-” di depan pecahan, semua tanda pada pembilangnya terbalik. Terkadang Anda tidak boleh melakukan substitusi atau operasi matematika apa pun. Cukup dengan mengubah tanda di depan pecahan.

Konsep ini sering digunakan sebagai mereduksi pecahan. Artinya sebagai berikut: jika pembilang dan penyebutnya dibagi dengan persamaan yang berbeda satu (sama untuk kedua bagian), maka diperoleh pecahan baru. Pembagi dan pembaginya lebih kecil dari sebelumnya, namun karena aturan dasar pecahan, keduanya tetap sama dengan contoh aslinya.

Tujuan dari operasi ini adalah untuk mendapatkan ekspresi baru yang tidak dapat direduksi. Soal ini dapat diselesaikan dengan mengurangkan pembilang dan penyebutnya dengan faktor persekutuan terbesar. Algoritma operasi terdiri dari dua poin:

1. Menemukan gcd untuk kedua sisi pecahan.
2. Membagi pembilang dan penyebut dengan ekspresi yang ditemukan dan mendapatkan pecahan tak tersederhanakan sama dengan pecahan sebelumnya.

Di bawah ini adalah tabel yang menunjukkan rumusnya. Untuk kenyamanan, Anda dapat mencetaknya dan membawanya di buku catatan. Namun agar kedepannya ketika menyelesaikan suatu ulangan atau ujian tidak ada kesulitan dalam soal cara menyelesaikan pecahan aljabar, maka rumus-rumus tersebut harus dihafal.

Beberapa contoh dengan solusi

Dari sudut pandang teoritis, pertanyaan tentang bagaimana menyelesaikan pecahan aljabar dipertimbangkan. Contoh-contoh yang diberikan dalam artikel akan membantu Anda lebih memahami materi.

1. Ubah pecahan dan bawa ke penyebut yang sama.

2. Ubah pecahan dan bawa ke penyebut yang sama.

Setelah mempelajari bagian teoritis dan mempertimbangkan bagian praktis, tidak ada lagi pertanyaan yang muncul.

§ 1 Konsep pecahan aljabar

Pecahan aljabar adalah ekspresi

dimana P dan Q adalah polinomial; P adalah pembilang pecahan aljabar, Q adalah penyebut pecahan aljabar.

Berikut contoh pecahan aljabar:

Polinomial apa pun merupakan kasus khusus dari pecahan aljabar, karena polinomial apa pun dapat ditulis dalam bentuk

Misalnya:

Nilai pecahan aljabar bergantung pada nilai variabelnya.

Misalnya, mari kita hitung nilai pecahan

1)

2)

Dalam kasus pertama kita mendapatkan:

Perhatikan bahwa pecahan ini dapat dikurangi:

Dengan demikian, penghitungan nilai pecahan aljabar disederhanakan. Mari manfaatkan ini.

Dalam kasus kedua kita mendapatkan:

Seperti yang Anda lihat, ketika nilai variabel berubah, nilai pecahan aljabar juga berubah.

§ 2 Nilai variabel pecahan aljabar yang diperbolehkan

Pertimbangkan pecahan aljabar

Nilai x = -1 tidak valid untuk pecahan ini, karena penyebut pecahan pada nilai x ini menjadi nol. Dengan nilai variabel ini, pecahan aljabar tidak ada artinya.

Jadi, nilai variabel pecahan aljabar yang diperbolehkan adalah nilai variabel yang penyebut pecahannya tidak hilang.

Mari kita selesaikan beberapa contoh.

Pada nilai variabel berapa pecahan aljabar tidak masuk akal:

Untuk menemukan nilai variabel yang tidak valid, penyebut pecahan disetel ke nol, dan akar persamaan yang sesuai ditemukan.

Pada nilai variabel berapa pecahan aljabarnya sama dengan nol:

Pecahan sama dengan nol jika pembilangnya nol. Mari kita samakan pembilang pecahan kita dengan nol dan temukan akar-akar persamaan yang dihasilkan:

Jadi, untuk x = 0 dan x = 3, pecahan aljabar ini tidak masuk akal, artinya kita harus mengecualikan nilai variabel tersebut dari jawabannya.

Jadi, dalam pelajaran ini Anda mempelajari konsep dasar pecahan aljabar: pembilang dan penyebut suatu pecahan, serta nilai-nilai yang dapat diterima dari variabel-variabel pecahan aljabar.

Daftar literatur bekas:

1. Mordkovich A.G. "Aljabar" kelas 8. Pada jam 2. Bagian 1 Buku Ajar untuk Institusi Pendidikan / A.G. Mordkovich. – Edisi ke-9, direvisi. – M.: Mnemosyne, 2007. – 215 hal.: sakit.
2. Mordkovich A.G. "Aljabar" kelas 8. Pada jam 2. Bagian 2 Buku Soal untuk Institusi Pendidikan / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina, E.E. Tulchinskaya. – edisi ke-8, – M.: Mnemosyne, 2006 – 239 hal.
3. Aljabar. kelas 8. Tes untuk siswa lembaga pendidikan L.A. Alexandrov, penyunting. A.G. Mordkovich edisi ke-2, terhapus. - M.: Mnemosyne 2009. - 40 hal.
4. Aljabar. kelas 8. Karya mandiri untuk siswa lembaga pendidikan: ke buku teks oleh A.G. Mordkovich, L.A. Alexandrov, penyunting. A.G. Mordkovich. edisi ke-9, terhapus. - M.: Mnemosyne 2013. - 112 hal.

Dalam § 42 dikatakan bahwa jika pembagian polinomial tidak dapat dilakukan seluruhnya, maka hasil bagi ditulis dalam bentuk ekspresi pecahan yang pembilangnya adalah pembilangnya, dan pembaginya adalah penyebutnya.

Contoh ekspresi pecahan:

Pembilang dan penyebut suatu ekspresi pecahan juga dapat berupa ekspresi pecahan, misalnya:

Dari ekspresi aljabar pecahan, Anda paling sering harus berurusan dengan ekspresi yang pembilang dan penyebutnya adalah polinomial (khususnya, monomial). Setiap ekspresi tersebut disebut pecahan aljabar.

Definisi. Ekspresi aljabar berupa pecahan yang pembilang dan penyebutnya polinomial disebut pecahan aljabar.

Seperti dalam aritmatika, pembilang dan penyebut suatu pecahan aljabar disebut suku-suku pecahan.

Di masa depan, setelah mempelajari operasi pecahan aljabar, kita akan dapat mengubah ekspresi pecahan apa pun menjadi pecahan aljabar menggunakan transformasi yang identik.

Contoh pecahan aljabar:

Perhatikan bahwa seluruh ekspresi, yaitu polinomial, dapat ditulis sebagai pecahan; untuk melakukan ini, cukup dengan menuliskan ekspresi ini di pembilangnya dan 1 di penyebutnya.

2. Nilai huruf yang dapat diterima.

Huruf-huruf yang hanya disertakan dalam pembilangnya dapat mempunyai nilai apa pun (kecuali ada batasan tambahan yang diberlakukan oleh kondisi soal).

Untuk huruf-huruf yang termasuk dalam penyebut, hanya nilai-nilai yang tidak mengubah penyebut menjadi nol yang valid. Oleh karena itu, berikut ini kita akan selalu berasumsi bahwa penyebut suatu pecahan aljabar tidak sama dengan nol.