Pecahan

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Pecahan tidak terlalu mengganggu di sekolah menengah. Untuk saat ini. Sampai Anda menemukan pangkat dengan eksponen rasional dan logaritma. Dan disana... Anda menekan dan menekan kalkulator, dan itu menunjukkan tampilan penuh beberapa angka. Anda harus berpikir dengan kepala seperti di kelas tiga.

Mari kita akhirnya mencari tahu pecahan! Nah, seberapa banyak Anda bisa bingung di dalamnya!? Selain itu, semuanya sederhana dan logis. Jadi, apa saja jenis-jenis pecahan?

Jenis pecahan. Transformasi.

Ada tiga jenis pecahan.

1. Pecahan biasa , Misalnya:

Terkadang, alih-alih garis horizontal, mereka memberi garis miring: 1/2, 3/4, 19/5, nah, dan seterusnya. Di sini kita akan sering menggunakan ejaan ini. Nomor teratas dipanggil pembilang, lebih rendah - penyebut. Jika Anda terus-menerus bingung dengan nama-nama ini (itu terjadi...), ucapkan pada diri Anda kalimat: " Zzzzz Ingat! Zzzzz penyebut - lihat zzzzz uh!" Lihat, semuanya akan diingat zzzz.)

Tanda hubung, baik horizontal maupun miring, artinya divisi angka teratas (pembilang) ke bawah (penyebut). Itu saja! Alih-alih tanda hubung, sangat mungkin untuk memberi tanda pembagian - dua titik.

Jika pembagian lengkap memungkinkan, hal ini harus dilakukan. Jadi, daripada pecahan “32/8”, jauh lebih menyenangkan menulis angka “4”. Itu. 32 hanya dibagi 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Saya bahkan tidak berbicara tentang pecahan "4/1". Yang juga hanya "4". Dan jika tidak habis dibagi, kita biarkan sebagai pecahan. Terkadang Anda harus melakukan operasi sebaliknya. Ubah bilangan bulat menjadi pecahan. Tapi lebih dari itu nanti.

2. Desimal , Misalnya:

Dalam formulir inilah Anda perlu menuliskan jawaban tugas “B”.

3. Nomor campuran , Misalnya:

Angka campuran praktis tidak digunakan di sekolah menengah. Untuk mengerjakannya, mereka harus diubah menjadi pecahan biasa. Tapi Anda pasti harus bisa melakukan ini! Jika tidak, Anda akan menemukan nomor seperti itu dalam suatu masalah dan membeku... Entah dari mana. Tapi kami akan mengingat prosedur ini! Sedikit lebih rendah.

Paling serbaguna pecahan biasa. Mari kita mulai dengan mereka. Omong-omong, jika pecahan berisi segala macam logaritma, sinus, dan huruf lainnya, ini tidak mengubah apa pun. Dalam artian segalanya tindakan dengan ekspresi pecahan tidak berbeda dengan tindakan dengan pecahan biasa!

Sifat utama pecahan.

Jadi ayo pergi! Pertama-tama, saya akan mengejutkan Anda. Seluruh variasi transformasi pecahan disediakan oleh satu properti! Itulah sebutannya sifat utama pecahan. Ingat: Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan (dibagi) dengan bilangan yang sama, maka pecahan tersebut tidak berubah. Itu:

Jelas bahwa Anda dapat terus menulis sampai wajah Anda membiru. Jangan biarkan sinus dan logaritma membingungkan Anda, kami akan membahasnya lebih lanjut. Hal utama adalah memahami apa itu berbagai ekspresi pecahan yang sama . 2/3.

Apakah kita membutuhkannya, semua transformasi ini? Dan bagaimana! Sekarang Anda akan melihatnya sendiri. Untuk memulainya, mari kita gunakan sifat dasar pecahan untuk mereduksi pecahan. Tampaknya ini hal yang mendasar. Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan angka yang sama dan selesai! Tidak mungkin membuat kesalahan! Tapi... manusia adalah makhluk kreatif. Anda bisa membuat kesalahan di mana saja! Apalagi jika yang harus direduksi bukan pecahan seperti 5/10, melainkan ekspresi pecahan yang hurufnya bermacam-macam.

Cara mengecilkan pecahan dengan benar dan cepat tanpa perlu kerja ekstra dapat dibaca pada bagian khusus 555.

Siswa normal tidak akan repot-repot membagi pembilang dan penyebut dengan angka (atau ekspresi) yang sama! Dia hanya mencoret semua yang sama di atas dan di bawah! Di sinilah letak kesalahan umum, jika Anda mau, sebuah kesalahan besar mengintai.

Misalnya, Anda perlu menyederhanakan ekspresi:

Tidak ada yang perlu dipikirkan disini, coret huruf “a” di atas dan “2” di bawah! Kita mendapatkan:

Semuanya benar. Tapi sebenarnya kalian terpecah semua pembilang dan semua penyebutnya adalah "a". Jika Anda terbiasa mencoret saja, maka terburu-buru Anda bisa mencoret “a” pada ekspresi tersebut

dan mendapatkannya lagi

Itu sama sekali tidak benar. Karena di sini semua pembilang pada "a" sudah ada tidak dibagikan! Fraksi ini tidak dapat dikurangi. Ngomong-ngomong, pengurangan seperti itu, um... tantangan serius bagi guru. Ini tidak dimaafkan! Apakah kamu ingat? Saat mengurangi, Anda perlu membagi semua pembilang dan semua penyebut!

Mengurangi pecahan membuat hidup lebih mudah. Anda akan mendapatkan pecahan di suatu tempat, misalnya 375/1000. Bagaimana saya bisa terus bekerja dengannya sekarang? Tanpa kalkulator? Lipat gandakan, katakanlah, tambahkan, persegi!? Dan jika Anda tidak terlalu malas, dan dengan hati-hati memotongnya menjadi lima, dan lima lagi, dan bahkan... saat sedang dipersingkat, singkatnya. Ayo dapatkan 3/8! Jauh lebih bagus, bukan?

Properti utama pecahan memungkinkan Anda mengubah pecahan biasa menjadi desimal dan sebaliknya tanpa kalkulator! Ini penting untuk Ujian Negara Bersatu, bukan?

Cara mengubah pecahan dari satu jenis ke jenis lainnya.

Dengan pecahan desimal semuanya sederhana. Seperti yang didengar, demikianlah yang tertulis! Katakanlah 0,25. Ini nol koma dua puluh lima perseratus. Jadi kami menulis: 25/100. Kita kurangi (kita bagi pembilang dan penyebutnya dengan 25), kita mendapatkan pecahan biasa: 1/4. Semua. Itu terjadi, dan tidak ada yang berkurang. Seperti 0,3. Ini tiga persepuluh, yaitu. 3/10.

Bagaimana jika bilangan bulatnya bukan nol? Tidak apa-apa. Kami menuliskan seluruh pecahan tanpa koma di pembilangnya, dan di penyebutnya - apa yang didengar. Misalnya: 3.17. Ini adalah tiga koma tujuh belas ratus. Kita tuliskan 317 pada pembilangnya dan 100 pada penyebutnya, sehingga diperoleh 317/100. Tidak ada yang dikurangi, itu berarti segalanya. Inilah jawabannya. SD Watson! Dari semua hal di atas, kesimpulan yang berguna: pecahan desimal apa pun dapat diubah menjadi pecahan biasa .

Namun sebagian orang tidak dapat melakukan konversi terbalik dari biasa ke desimal tanpa kalkulator. Dan itu perlu! Bagaimana cara menuliskan jawaban pada Ujian Negara Terpadu!? Bacalah dengan cermat dan kuasai proses ini.

Apa ciri-ciri pecahan desimal? Penyebutnya adalah Selalu biayanya 10, atau 100, atau 1000, atau 10.000 dan seterusnya. Jika pecahan biasamu memiliki penyebut seperti ini, tidak masalah. Misalnya, 4/10 = 0,4. Atau 7/100 = 0,07. Atau 12/10 = 1,2. Bagaimana jika jawaban tugas di bagian “B” ternyata 1/2? Apa yang akan kita tulis sebagai tanggapannya? Desimal diperlukan...

Mari kita ingat sifat utama pecahan ! Matematika memungkinkan Anda mengalikan pembilang dan penyebut dengan angka yang sama. Ngomong-ngomong, apa saja! Kecuali nol, tentu saja. Jadi mari gunakan properti ini untuk keuntungan kita! Berapa penyebutnya yang bisa dikalikan, mis. 2 sehingga menjadi 10, atau 100, atau 1000 (lebih kecil tentu saja...)? Tentu saja jam 5. Jangan ragu untuk mengalikan penyebutnya (ini kita perlu) dengan 5. Tapi pembilangnya juga harus dikalikan 5. Ini sudah matematika tuntutan! Kita peroleh 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Itu saja.

Namun, ada berbagai macam penyebut. Misalnya, Anda akan menemukan pecahan 3/16. Coba dan cari tahu cara mengalikan 16 dengan menghasilkan 100, atau 1000... Tidakkah berhasil? Kemudian Anda cukup membagi 3 dengan 16. Jika tidak ada kalkulator, Anda harus membaginya dengan sudut, di selembar kertas, seperti yang mereka ajarkan di sekolah dasar. Kami mendapatkan 0,1875.

Dan ada juga penyebut yang sangat buruk. Misalnya, tidak ada cara untuk mengubah pecahan 1/3 menjadi desimal yang baik. Baik di kalkulator maupun di selembar kertas, kita mendapatkan 0,3333333... Artinya 1/3 adalah pecahan desimal eksak tidak menerjemahkan. Sama seperti 1/7, 5/6 dan seterusnya. Ada banyak sekali, tidak bisa diterjemahkan. Hal ini membawa kita pada kesimpulan lain yang bermanfaat. Tidak semua pecahan dapat diubah menjadi desimal !

Omong-omong, ini adalah informasi berguna untuk pengujian mandiri. Di bagian "B" Anda harus menuliskan pecahan desimal dalam jawaban Anda. Dan Anda mendapat, misalnya, 4/3. Pecahan ini tidak diubah menjadi desimal. Ini berarti Anda membuat kesalahan di suatu tempat! Kembali dan periksa solusinya.

Jadi, kami menemukan pecahan biasa dan desimal. Yang tersisa hanyalah menangani angka campuran. Untuk mengerjakannya, mereka harus diubah menjadi pecahan biasa. Bagaimana cara melakukannya? Anda dapat menangkap siswa kelas enam dan bertanya padanya. Tapi siswa kelas enam tidak selalu siap... Anda harus melakukannya sendiri. Tidak sulit. Anda perlu mengalikan penyebut bagian pecahan dengan seluruh bagian dan menjumlahkan pembilang bagian pecahan. Ini akan menjadi pembilang pecahan biasa. Bagaimana dengan penyebutnya? Penyebutnya akan tetap sama. Kedengarannya rumit, namun kenyataannya semuanya sederhana. Mari kita lihat sebuah contoh.

Misalkan Anda ngeri melihat nomor dalam soal:

Dengan tenang, tanpa panik, kami berpikir. Bagian keseluruhannya adalah 1. Satuan. Bagian pecahannya adalah 3/7. Jadi, penyebut bagian pecahan adalah 7. Penyebut ini akan menjadi penyebut pecahan biasa. Kami menghitung pembilangnya. Kita mengalikan 7 dengan 1 (bagian bilangan bulat) dan menambahkan 3 (pembilang bagian pecahan). Kita mendapat 10. Ini akan menjadi pembilang pecahan biasa. Itu saja. Ini terlihat lebih sederhana dalam notasi matematika:

Apakah sudah jelas? Kemudian amankan kesuksesan Anda! Ubah menjadi pecahan biasa. Anda harus mendapatkan 10/7, 7/2, 23/10 dan 21/4.

Operasi sebaliknya - mengubah pecahan biasa menjadi bilangan campuran - jarang diperlukan di sekolah menengah. Nah, jika demikian... Dan jika Anda tidak duduk di bangku SMA, Anda dapat melihat ke dalam Bagian khusus 555. Ngomong-ngomong, kamu juga akan belajar tentang pecahan biasa di sana.

Yah, itu saja. Anda ingat jenis-jenis pecahan dan memahaminya Bagaimana mentransfernya dari satu jenis ke jenis lainnya. Pertanyaannya tetap: Untuk apa lakukan? Di mana dan kapan menerapkan pengetahuan mendalam ini?

Saya menjawab. Setiap contoh itu sendiri menyarankan tindakan yang diperlukan. Jika pada contoh pecahan biasa, desimal, dan bilangan campuran genap dicampur menjadi satu, kita ubah semuanya menjadi pecahan biasa. Itu selalu bisa dilakukan. Nah, kalau tertulis seperti 0,8 + 0,3, maka kita hitung seperti itu, tanpa terjemahan apa pun. Mengapa kita perlu kerja ekstra? Kami memilih solusi yang nyaman kita !

Jika tugasnya semua pecahan desimal, tapi um... semacam yang jahat, lanjutkan ke yang biasa dan cobalah! Lihat, semuanya akan berhasil. Misalnya, Anda harus mengkuadratkan angka 0,125. Tidak mudah jika Anda belum terbiasa menggunakan kalkulator! Anda tidak hanya harus mengalikan angka dalam satu kolom, Anda juga harus memikirkan di mana harus menyisipkan koma! Ini pasti tidak akan berhasil di kepala Anda! Bagaimana jika kita beralih ke pecahan biasa?

0,125 = 125/1000. Kami menguranginya sebanyak 5 (ini sebagai permulaan). Kami mendapatkan 25/200. Sekali lagi dengan 5. Kita mendapatkan 5/40. Oh, masih menyusut! Kembali ke 5! Kami mendapatkan 1/8. Kita dapat dengan mudah mengkuadratkannya (dalam pikiran kita!) dan mendapatkan 1/64. Semua!

Mari kita rangkum pelajaran ini.

1. Ada tiga jenis pecahan. Bilangan biasa, desimal, dan campuran.

2. Bilangan desimal dan campuran Selalu dapat diubah menjadi pecahan biasa. Pemindahan terbalik tidak selalu tersedia.

3. Pilihan jenis pecahan untuk mengerjakan suatu tugas tergantung pada tugas itu sendiri. Jika ada berbagai jenis pecahan dalam satu tugas, hal yang paling dapat diandalkan adalah beralih ke pecahan biasa.

Sekarang kamu bisa berlatih. Pertama, ubah pecahan desimal berikut menjadi pecahan biasa:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Anda harus mendapatkan jawaban seperti ini (berantakan!):

Mari kita selesaikan di sini. Dalam pelajaran ini kita menyegarkan ingatan kita tentang poin-poin penting tentang pecahan. Namun kebetulan tidak ada yang istimewa untuk disegarkan...) Jika seseorang benar-benar lupa, atau belum menguasainya... Maka Anda dapat pergi ke Bagian khusus 555. Semua dasar-dasarnya dibahas secara rinci di sana. Banyak yang tiba-tiba mengerti segalanya sedang dimulai. Dan mereka memecahkan pecahan dengan cepat).

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Pecahan biasa

Perempat

1. Ketertiban. A Dan B ada aturan yang memungkinkan seseorang untuk secara unik mengidentifikasi satu dan hanya satu dari tiga hubungan di antara mereka: “< », « >" atau " = ". Aturan ini disebut aturan pemesanan dan dirumuskan sebagai berikut: dua bilangan bukan negatif dan dihubungkan dengan relasi yang sama seperti dua bilangan bulat dan ; dua bilangan non-positif A Dan B dihubungkan dengan relasi yang sama seperti dua bilangan bukan negatif dan ; jika tiba-tiba A bukan negatif, tapi B- negatif, kalau begitu A > B. style="max-width: 98%; tinggi: otomatis; lebar: otomatis;" src="/gambar/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Menjumlahkan Pecahan

2. Operasi penambahan. Untuk bilangan rasional apa pun A Dan B ada yang disebut aturan penjumlahan C. Apalagi nomornya sendiri C ditelepon jumlah angka A Dan B dan dilambangkan dengan , dan proses mencari bilangan tersebut disebut penjumlahan. Aturan penjumlahan memiliki bentuk sebagai berikut: .
3. Operasi perkalian. Untuk bilangan rasional apa pun A Dan B ada yang disebut aturan perkalian, yang memberi mereka bilangan rasional C. Apalagi nomornya sendiri C ditelepon bekerja angka A Dan B dan dilambangkan dengan , dan proses menemukan bilangan tersebut disebut juga perkalian. Aturan perkaliannya terlihat seperti ini: .
4. Transitivitas hubungan keteraturan. Untuk tiga bilangan rasional apa pun A , B Dan C Jika A lebih sedikit B Dan B lebih sedikit C, Itu A lebih sedikit C, dan jika A sama B Dan B sama C, Itu A sama C. 6435">Komutatifitas penjumlahan. Mengubah tempat suku-suku rasional tidak mengubah jumlah.
5. Asosiatif penjumlahan. Urutan penjumlahan tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
6. Kehadiran nol. Ada bilangan rasional 0 yang mempertahankan bilangan rasional lainnya ketika dijumlahkan.
7. Kehadiran angka yang berlawanan. Setiap bilangan rasional mempunyai bilangan rasional yang berlawanan, yang bila dijumlahkan menghasilkan 0.
8. Komutatifitas perkalian. Mengganti tempat faktor rasional tidak mengubah produk.
9. Asosiatif perkalian. Urutan perkalian tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
10. Ketersediaan satuan. Ada bilangan rasional 1 yang mempertahankan bilangan rasional lainnya ketika dikalikan.
11. Kehadiran nomor timbal balik. Setiap bilangan rasional memiliki bilangan rasional terbalik, yang bila dikalikan dengan menghasilkan 1.
12. Distribusi perkalian relatif terhadap penjumlahan. Operasi perkalian dikoordinasikan dengan operasi penjumlahan melalui hukum distribusi:
13. Koneksi hubungan urutan dengan operasi penjumlahan. Bilangan rasional yang sama dapat dijumlahkan pada ruas kiri dan kanan suatu pertidaksamaan rasional. lebar maksimal: 98%; tinggi: otomatis; lebar: otomatis;" src="/gambar/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Aksioma Archimedes. Apapun bilangan rasionalnya A, Anda dapat mengambil begitu banyak unit hingga jumlahnya melebihi A. style="max-width: 98%; tinggi: otomatis; lebar: otomatis;" src="/gambar/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Properti tambahan

Semua sifat-sifat lain yang melekat pada bilangan rasional tidak dapat dibedakan sebagai sifat-sifat dasar, karena pada umumnya sifat-sifat tersebut tidak lagi didasarkan secara langsung pada sifat-sifat bilangan bulat, tetapi dapat dibuktikan berdasarkan sifat-sifat dasar yang diberikan atau secara langsung dengan definisi suatu objek matematika. . Ada banyak properti tambahan seperti itu. Masuk akal untuk mencantumkan hanya beberapa di antaranya di sini.

Style="lebar maksimal: 98%; tinggi: otomatis; lebar: otomatis;" src="/gambar/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Keterhitungan suatu himpunan

Penomoran bilangan rasional

Untuk memperkirakan jumlah bilangan rasional, Anda perlu mencari kardinalitas himpunannya. Mudah untuk membuktikan bahwa himpunan bilangan rasional dapat dihitung. Untuk melakukan ini, cukup dengan memberikan algoritma yang menghitung bilangan rasional, yaitu menetapkan bijeksi antara himpunan bilangan rasional dan bilangan asli.

Algoritma yang paling sederhana terlihat seperti ini. Tabel pecahan biasa yang tak ada habisnya telah dikompilasi, untuk masing-masingnya Saya-baris ke-th di masing-masing J kolom ke-th tempat pecahan berada. Untuk lebih jelasnya, diasumsikan baris dan kolom tabel ini diberi nomor mulai dari satu. Sel tabel dilambangkan dengan , dimana Saya- nomor baris tabel tempat sel berada, dan J- nomor kolom.

Tabel yang dihasilkan dilintasi menggunakan “ular” sesuai dengan algoritma formal berikut.

Aturan ini dicari dari atas ke bawah dan posisi selanjutnya dipilih berdasarkan pertandingan pertama.

Dalam proses penjelajahan tersebut, setiap bilangan rasional baru dikaitkan dengan bilangan asli lainnya. Artinya, pecahan 1/1 diberi nomor 1, pecahan 2/1 diberi nomor 2, dan seterusnya. Perlu diperhatikan bahwa hanya pecahan tak tereduksi yang diberi nomor. Tanda formal dari sifat tak tersederhanakan adalah pembagi persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebut suatu pecahan sama dengan satu.

Dengan mengikuti algoritma ini, kita dapat menghitung semua bilangan rasional positif. Artinya himpunan bilangan rasional positif dapat dihitung. Sangat mudah untuk membuat bijeksi antara himpunan bilangan rasional positif dan negatif hanya dengan menetapkan kebalikannya pada setiap bilangan rasional. Itu. himpunan bilangan rasional negatif juga dapat dihitung. Persatuan mereka juga dapat dihitung berdasarkan sifat himpunan yang dapat dihitung. Himpunan bilangan rasional juga dapat dihitung sebagai gabungan suatu himpunan terhitung dengan himpunan berhingga.

Pernyataan tentang keterhitungan himpunan bilangan rasional mungkin menimbulkan kebingungan, karena sekilas tampak himpunan bilangan rasional jauh lebih luas daripada himpunan bilangan asli. Faktanya, hal ini tidak terjadi dan terdapat cukup bilangan asli untuk menghitung semua bilangan rasional.

Kurangnya bilangan rasional

Sisi miring segitiga tersebut tidak dapat dinyatakan dengan bilangan rasional apa pun

Bilangan rasional berbentuk 1 / N pada umumnya N jumlah kecil yang sewenang-wenang dapat diukur. Fakta ini menimbulkan kesan menyesatkan bahwa bilangan rasional dapat digunakan untuk mengukur jarak geometri apa pun. Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa ini tidak benar.

Dari teorema Pythagoras kita mengetahui bahwa sisi miring suatu segitiga siku-siku dinyatakan sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat kaki-kakinya. Itu. panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku sama kaki dengan satuan kaki sama dengan , yaitu bilangan yang kuadratnya 2.

Jika kita berasumsi bahwa suatu bilangan dapat diwakili oleh suatu bilangan rasional, maka bilangan tersebut adalah bilangan bulat M dan bilangan asli N, itu , dan pecahan tidak dapat direduksi, yaitu bilangan M Dan N- saling sederhana.

Jika kemudian , yaitu. M 2 = 2N 2. Oleh karena itu, nomornya M 2 bilangan genap, tetapi hasil kali dua bilangan ganjil adalah bilangan ganjil yang artinya bilangan itu sendiri M juga genap. Jadi ada bilangan asli k, sedemikian rupa sehingga jumlahnya M dapat direpresentasikan dalam bentuk M = 2k. Nomor persegi M Dalam arti ini M 2 = 4k 2, tapi di sisi lain M 2 = 2N 2 berarti 4 k 2 = 2N 2, atau N 2 = 2k 2. Seperti yang ditunjukkan sebelumnya untuk nomor tersebut M, ini berarti nomor tersebut N- bahkan sebagai M. Namun keduanya tidak relatif prima, karena keduanya terbagi dua. Kontradiksi yang dihasilkan membuktikan bahwa ini bukanlah bilangan rasional.

Saat mempelajari ratu segala ilmu - matematika, pada titik tertentu setiap orang menemukan pecahan. Meskipun konsep ini (seperti jenis-jenis pecahan itu sendiri atau operasi matematika dengannya) sama sekali tidak rumit, namun Anda perlu menyikapinya dengan hati-hati, karena dalam kehidupan nyata di luar sekolah akan sangat berguna. Jadi, mari kita segarkan kembali pengetahuan kita tentang pecahan: apa itu pecahan, kegunaannya, apa jenisnya, dan cara melakukan berbagai operasi aritmatika dengannya.

Fraksi Yang Mulia: apa itu

Dalam matematika, pecahan adalah bilangan yang masing-masing terdiri atas satu atau lebih bagian suatu satuan. Pecahan seperti ini disebut juga pecahan biasa atau sederhana. Biasanya ditulis dalam bentuk dua angka yang dipisahkan oleh garis mendatar atau garis miring, disebut garis “pecahan”. Misalnya: ½, ¾.
Angka atas, atau pertama, adalah pembilangnya (menunjukkan berapa banyak bagian yang diambil dari angka tersebut), dan angka bawah, atau kedua, adalah penyebut (menunjukkan berapa banyak bagian yang dibagi menjadi satuan).
Bilah pecahan sebenarnya berfungsi sebagai tanda pembagian. Misalnya, 7:9=7/9
Secara tradisional, pecahan biasa kurang dari satu. Sedangkan desimalnya bisa lebih besar dari itu.

Untuk apa pecahan? Ya, untuk semuanya, karena di dunia nyata tidak semua bilangan adalah bilangan bulat. Misalnya, dua siswi di kantin membeli sebatang coklat yang enak bersama-sama. Ketika mereka hendak berbagi makanan penutup, mereka bertemu dengan seorang teman dan memutuskan untuk mentraktirnya juga. Namun, kini coklat batangan tersebut perlu dibagi dengan benar, mengingat terdiri dari 12 kotak.
Awalnya, gadis-gadis itu ingin membagi semuanya secara merata, lalu masing-masing mendapat empat bagian. Tapi, setelah dipikir-pikir, mereka memutuskan untuk mentraktir temannya, bukan 1/3, tapi 1/4 coklatnya. Dan karena para siswi tidak mempelajari pecahan dengan baik, mereka tidak memperhitungkan bahwa dalam situasi seperti itu mereka akan mendapatkan 9 buah, yang sangat sulit untuk dibagi menjadi dua. Contoh yang cukup sederhana ini menunjukkan betapa pentingnya menemukan bagian suatu bilangan dengan benar. Namun dalam kehidupan nyata, masih banyak lagi kasus seperti itu.

Jenis pecahan: biasa dan desimal

Semua pecahan matematika dibagi menjadi dua kategori besar: biasa dan desimal. Fitur-fitur yang pertama telah dijelaskan di paragraf sebelumnya, jadi sekarang ada baiknya memperhatikan yang kedua.
Desimal adalah notasi kedudukan suatu pecahan suatu bilangan, yang ditulis secara tertulis dengan dipisahkan tanda koma, tanpa tanda hubung atau garis miring. Misalnya: 0,75, 0,5.
Faktanya, pecahan desimal identik dengan pecahan biasa, namun penyebutnya selalu satu diikuti nol - itulah namanya.
Angka sebelum koma adalah bilangan bulat, dan angka setelahnya adalah pecahan. Pecahan sederhana apa pun dapat diubah menjadi desimal. Jadi, pecahan desimal yang ditunjukkan pada contoh sebelumnya dapat ditulis seperti biasa: ¾ dan ½.
Perlu dicatat bahwa pecahan desimal dan pecahan biasa dapat bernilai positif atau negatif. Jika didahului dengan tanda “-”, maka pecahan tersebut negatif, jika “+” adalah pecahan positif.

Subtipe pecahan biasa

Ada beberapa jenis pecahan sederhana.

Benar. Nilai pembilangnya selalu lebih kecil dari nilai penyebutnya. Misalnya: 7/8. Pecahan tersebut merupakan pecahan wajar karena pembilangnya 7 lebih kecil dari penyebutnya 8. Tidak wajar. Dalam pecahan seperti itu, pembilang dan penyebutnya sama (8/8), atau nilai bilangan bawah lebih kecil dari bilangan atas (9/8). Campuran. Ini adalah nama pecahan biasa yang ditulis bersama bilangan bulat: 8 ½. Ini dipahami sebagai jumlah dari angka dan pecahan ini. Ngomong-ngomong, cukup mudah untuk memunculkan pecahan biasa di tempatnya. Untuk melakukan hal ini, 8 perlu ditulis sebagai 16/2+1/2=17/2. Sesuai dengan namanya, mereka terdiri dari beberapa garis pecahan: ½ / ¾. Dapat direduksi / tidak dapat direduksi. Ini dapat mencakup pecahan biasa dan pecahan biasa. Itu semua tergantung apakah pembilang dan penyebutnya bisa dibagi dengan angka yang sama. Misalnya 6/9 adalah pecahan yang dapat direduksi, karena kedua komponennya dapat dibagi 3 dan hasilnya adalah 2/3. Namun 7/9 tidak dapat direduksi, karena 7 dan 9 merupakan bilangan prima yang tidak mempunyai pembagi persekutuan dan tidak dapat direduksi.

Subtipe pecahan desimal

Berbeda dengan pecahan sederhana, pecahan desimal hanya terbagi menjadi 2 jenis.

Terbatas - menerima nama ini karena fakta bahwa setelah titik desimal ia memiliki jumlah digit yang terbatas (terbatas): 19,25.Pecahan tak hingga adalah bilangan dengan jumlah digit tak terhingga setelah koma desimal. Misalnya, jika membagi 10 dengan 3, hasilnya adalah pecahan tak hingga 3,333...

Menjumlahkan Pecahan

Melakukan berbagai manipulasi aritmatika dengan pecahan sedikit lebih sulit dibandingkan dengan bilangan biasa. Namun, jika Anda memahami aturan dasarnya, menyelesaikan contoh apa pun dengan aturan tersebut tidak akan sulit.
Jadi, untuk menjumlahkan pecahan, pertama-tama, Anda perlu memastikan bahwa kedua suku tersebut memiliki penyebut yang sama. Untuk melakukan ini, Anda harus mencari bilangan terkecil yang dapat dibagi tanpa sisa menjadi penyebut penjumlahannya.
Misalnya: 2/3+3/4. Kelipatan persekutuan terkecilnya adalah 12, oleh karena itu, angka tersebut harus ada di setiap penyebutnya. Caranya kita kalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan 4, ternyata 8/12, kita lakukan hal yang sama dengan suku kedua, tetapi kalikan saja dengan 3 - 9/12. Sekarang Anda dapat dengan mudah menyelesaikan contoh: 8/12+9/12= 17/12. Pecahan yang dihasilkan bernilai salah karena pembilangnya lebih besar dari penyebutnya. Dapat dan harus diubah menjadi campuran yang benar dengan membagi 17:12 = 1 dan 5/12.
Ketika pecahan campuran dijumlahkan, operasi dilakukan terlebih dahulu dengan bilangan bulat, dan kemudian dengan pecahan.
Jika contoh berisi pecahan desimal dan pecahan biasa, keduanya perlu disederhanakan, kemudian disamakan dengan penyebut yang sama dan dijumlahkan. Misalnya 3.1+1/2. Angka 3.1 dapat ditulis sebagai pecahan campuran dari 3 dan 1/10 atau sebagai pecahan biasa - 31/10. Penyebut suku-suku tersebut adalah 10, jadi Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebut 1/2 dengan 5 secara bergantian, Anda mendapatkan 5/10. Kemudian Anda dapat dengan mudah menghitung semuanya: 31/10+5/10=35/10. Hasil yang diperoleh adalah pecahan biasa, kita bawa ke bentuk normalnya dengan menguranginya 5: 7/2 = 3 dan 1/2, atau desimal - 3,5.
Saat menjumlahkan 2 pecahan desimal, penting agar jumlah digit setelah koma desimal sama. Jika tidak demikian, Anda hanya perlu menambahkan jumlah nol yang diperlukan, karena dalam pecahan desimal hal ini dapat dilakukan tanpa rasa sakit. Misalnya, 3,5+3,005. Untuk menyelesaikan soal ini, Anda perlu menambahkan 2 angka nol pada angka pertama lalu menjumlahkannya satu per satu: 3.500+3.005=3.505.

Pengurangan Pecahan

Saat mengurangkan pecahan, Anda harus melakukan hal yang sama seperti saat menjumlahkan: kurangi menjadi penyebut yang sama, kurangi satu pembilang dari pembilang lainnya, dan, jika perlu, ubah hasilnya menjadi pecahan campuran.
Misalnya: 16/20-5/10. Penyebutnya adalah 20. Anda perlu membawa pecahan kedua ke penyebut ini dengan mengalikan kedua bagiannya dengan 2, Anda mendapatkan 10/20. Sekarang Anda dapat menyelesaikan contoh: 16/20-10/20= 6/20. Namun, hasil ini berlaku untuk pecahan tereduksi, jadi sebaiknya kedua ruasnya dibagi 2 dan hasilnya adalah 3/10.

Mengalikan pecahan

Pembagian dan perkalian pecahan merupakan operasi yang lebih sederhana dibandingkan penjumlahan dan pengurangan. Faktanya adalah ketika melakukan tugas-tugas ini, tidak perlu mencari penyebut yang sama.
Untuk mengalikan pecahan, Anda hanya perlu mengalikan kedua pembilangnya satu per satu, lalu kedua penyebutnya. Kurangi hasil yang dihasilkan jika pecahan tersebut merupakan besaran yang dapat direduksi.

Misalnya: 4/9x5/8. Setelah dikalikan bergantian, hasilnya adalah 4x5/9x8=20/72. Pecahan ini bisa dikurangi 4, jadi jawaban akhir pada contohnya adalah 18/5.

Cara membagi pecahan

Pembagian pecahan juga merupakan operasi yang sederhana, bahkan tetap harus mengalikannya. Untuk membagi satu pecahan dengan pecahan lainnya, Anda perlu membalik pecahan kedua dan mengalikannya dengan pecahan pertama.

Misalnya membagi pecahan 5/19 dan 5/7. Untuk menyelesaikan contoh ini, Anda perlu menukar penyebut dan pembilang pecahan kedua dan mengalikannya: 5/19x7/5=35/95. Hasilnya bisa dikurangi 5 - ternyata 19/7.
Jika Anda perlu membagi pecahan dengan bilangan prima, tekniknya sedikit berbeda. Awalnya, Anda harus menulis bilangan ini sebagai pecahan biasa, lalu membaginya dengan skema yang sama. Misalnya, 13/2:5 harus ditulis sebagai 13/2:1/5. Sekarang Anda perlu membalik 5/1 dan mengalikan pecahan yang dihasilkan: 2/13x1/5= 2/65.
Terkadang Anda harus membagi pecahan campuran. Anda perlu memperlakukannya seperti Anda memperlakukan bilangan bulat: mengubahnya menjadi pecahan biasa, membalik pembaginya, dan mengalikan semuanya. Misalnya 8 ½: 3. Ubahlah semuanya menjadi pecahan biasa: 17/2: 3/1. Diikuti dengan pembalikan 3/1 dan perkalian: 17/2x1/3= 17/6. Sekarang Anda perlu mengubah pecahan biasa menjadi pecahan biasa - 2 utuh dan 5/6.
Jadi, setelah mengetahui apa itu pecahan dan bagaimana Anda dapat melakukan berbagai operasi aritmatika dengannya, Anda perlu berusaha untuk tidak melupakannya. Lagi pula, orang selalu lebih cenderung membagi sesuatu menjadi beberapa bagian daripada menjumlahkan, jadi Anda harus bisa melakukannya dengan benar.

Sudah di sekolah dasar, siswa dihadapkan pada pecahan. Dan kemudian mereka muncul di setiap topik. Anda tidak bisa melupakan tindakan dengan angka-angka ini. Oleh karena itu, Anda perlu mengetahui semua informasi tentang pecahan biasa dan desimal. Konsep-konsep ini tidak rumit, yang utama adalah memahami semuanya secara berurutan.

Mengapa pecahan diperlukan?

Dunia di sekitar kita terdiri dari keseluruhan objek. Oleh karena itu, tidak perlu adanya saham. Namun kehidupan sehari-hari terus-menerus mendorong orang untuk bekerja dengan bagian-bagian suatu benda dan benda.

Misalnya coklat terdiri dari beberapa bagian. Pertimbangkan situasi di mana ubinnya dibentuk oleh dua belas persegi panjang. Jika Anda membaginya menjadi dua, Anda mendapatkan 6 bagian. Itu dapat dengan mudah dibagi menjadi tiga. Namun tidak mungkin memberi lima orang potongan coklat dalam jumlah bulat.

Ngomong-ngomong, irisan ini sudah berupa pecahan. Dan pembagian lebih lanjut mereka mengarah pada munculnya bilangan yang lebih kompleks.

Apa itu "pecahan"?

Ini adalah angka yang terdiri dari bagian-bagian suatu unit. Secara lahiriah, tampak seperti dua angka yang dipisahkan oleh garis horizontal atau garis miring. Fitur ini disebut pecahan. Angka yang ditulis paling atas (kiri) disebut pembilang. Yang paling bawah (kanan) adalah penyebutnya.

Intinya, garis miring itu ternyata merupakan tanda pembagian. Artinya, pembilangnya bisa disebut pembagi, dan penyebutnya bisa disebut pembagi.

Pecahan apa yang ada di sana?

Dalam matematika hanya ada dua jenis: pecahan biasa dan pecahan desimal. Anak-anak sekolah pertama kali mengenal pecahan di sekolah dasar, dan menyebutnya sebagai “pecahan”. Yang terakhir ini akan dipelajari di kelas 5 SD. Saat itulah nama-nama ini muncul.

Pecahan biasa adalah pecahan yang ditulis sebagai dua bilangan yang dipisahkan oleh sebuah garis. Misalnya, 4/7. Desimal adalah bilangan yang bagian pecahannya mempunyai notasi posisi dan dipisahkan dari bilangan bulatnya dengan koma. Misalnya, 4.7. Siswa perlu memahami dengan jelas bahwa dua contoh yang diberikan adalah bilangan yang sama sekali berbeda.

Setiap pecahan sederhana dapat ditulis sebagai desimal. Pernyataan ini hampir selalu berlaku sebaliknya. Ada aturan yang memungkinkan Anda menulis pecahan desimal sebagai pecahan biasa.

Subtipe apa yang dimiliki oleh jenis pecahan ini?

Lebih baik memulai dalam urutan kronologis, saat mereka dipelajari. Pecahan biasa didahulukan. Di antara mereka, 5 subspesies dapat dibedakan.

Benar. Pembilangnya selalu lebih kecil dari penyebutnya.

Salah. Pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya.

Dapat direduksi/tidak dapat direduksi. Ini mungkin benar atau salah. Hal penting lainnya adalah apakah pembilang dan penyebutnya mempunyai faktor persekutuan. Jika ada, maka kedua bagian pecahan itu perlu dibagi, yaitu dikurangi.

Campuran. Bilangan bulat ditetapkan ke bagian pecahan biasa (tidak beraturan). Apalagi selalu di sebelah kiri.

Gabungan. Terbentuk dari dua pecahan yang dibagi satu sama lain. Artinya, berisi tiga garis pecahan sekaligus.

Pecahan desimal hanya memiliki dua subtipe:

terbatas, yaitu yang bagian pecahannya terbatas (mempunyai tujuan);

tak terbatas - angka yang angkanya setelah koma desimal tidak berakhir (dapat ditulis tanpa akhir).

Bagaimana cara mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa?

Jika ini adalah bilangan berhingga, maka asosiasi diterapkan berdasarkan aturan - seperti yang saya dengar, maka saya menulis. Artinya, Anda perlu membacanya dengan benar dan menuliskannya, tetapi tanpa koma, tetapi dengan garis pecahan.

Sebagai petunjuk tentang penyebut yang diperlukan, Anda harus ingat bahwa selalu ada satu dan beberapa angka nol. Anda perlu menulis bilangan terakhir sebanyak jumlah digit pada bagian pecahan dari bilangan yang dimaksud.

Bagaimana cara mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa jika bagian bilangan bulatnya hilang, yaitu sama dengan nol? Misalnya, 0,9 atau 0,05. Setelah menerapkan aturan yang ditentukan, ternyata Anda perlu menulis bilangan bulat nol. Tapi itu tidak ditunjukkan. Yang tersisa hanyalah menuliskan bagian pecahannya. Angka pertama berpenyebut 10, angka kedua berpenyebut 100. Artinya, contoh yang diberikan akan memiliki angka berikut sebagai jawabannya: 9/10, 5/100. Apalagi ternyata yang terakhir bisa dikurangi 5. Oleh karena itu, hasilnya perlu ditulis 1/20.

Bagaimana cara mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa jika bagian bilangan bulatnya berbeda dari nol? Misalnya, 5.23 atau 13.00108. Dalam kedua contoh tersebut, seluruh bagian dibaca dan nilainya ditulis. Dalam kasus pertama adalah 5, dalam kasus kedua adalah 13. Maka Anda perlu beralih ke bagian pecahan. Operasi yang sama seharusnya dilakukan dengan mereka. Angka pertama muncul 23/100, angka kedua 108/100000. Nilai kedua perlu dikurangi lagi. Jawabannya memberikan pecahan campuran berikut: 5 23/100 dan 13 27/25000.

Bagaimana cara mengubah pecahan desimal tak hingga menjadi pecahan biasa?

Jika non-periodik, maka operasi seperti itu tidak dapat dilakukan. Fakta ini disebabkan oleh fakta bahwa setiap pecahan desimal selalu diubah menjadi pecahan berhingga atau periodik.

Satu-satunya hal yang dapat Anda lakukan dengan pecahan tersebut adalah membulatkannya. Tapi kemudian desimalnya kira-kira sama dengan tak terhingga. Itu sudah bisa diubah menjadi biasa. Namun proses sebaliknya: mengonversi ke desimal tidak akan pernah memberikan nilai awal. Artinya, pecahan non-periodik tak terhingga tidak diubah menjadi pecahan biasa. Ini perlu diingat.

Bagaimana cara menuliskan pecahan periodik tak hingga sebagai pecahan biasa?

Pada bilangan-bilangan ini, selalu ada satu atau lebih digit setelah koma yang diulang. Mereka disebut periode. Misalnya, 0,3(3). Di sini "3" berada pada titik tersebut. Digolongkan rasional karena dapat diubah menjadi pecahan biasa.

Mereka yang pernah menemukan pecahan periodik tahu bahwa pecahan itu murni atau campuran. Dalam kasus pertama, titik dimulai langsung dari koma. Pada bagian kedua, bagian pecahan dimulai dengan beberapa angka, dan kemudian pengulangan dimulai.

Aturan yang digunakan untuk menulis desimal tak hingga sebagai pecahan biasa akan berbeda untuk kedua jenis bilangan yang ditunjukkan. Sangat mudah untuk menuliskan pecahan periodik murni sebagai pecahan biasa. Seperti halnya bilangan berhingga, bilangan tersebut perlu diubah: tuliskan periode pada pembilangnya, dan penyebutnya adalah angka 9, yang diulang sebanyak jumlah digit yang terdapat pada periode tersebut.

Misalnya, 0,(5). Bilangan tersebut tidak memiliki bagian bilangan bulat, jadi Anda harus segera memulai dengan bagian pecahan. Tuliskan 5 sebagai pembilangnya dan 9 sebagai penyebutnya, artinya jawabannya adalah pecahan 5/9.

Aturan penulisan pecahan periodik desimal biasa yang dicampur.

Lihatlah lamanya periode tersebut. Itulah jumlah angka 9 yang dimiliki penyebutnya.

Tuliskan penyebutnya: pertama sembilan, lalu nol.

Untuk menentukan pembilangnya, Anda perlu menuliskan selisih dua bilangan. Semua angka setelah koma akan diperkecil, beserta titiknya. Dapat dikurangkan - tanpa titik.

Misalnya, 0,5(8) - tulis pecahan desimal periodik sebagai pecahan biasa. Bagian pecahan sebelum titik berisi satu angka. Jadi akan ada satu nol. Hanya ada satu angka dalam periode tersebut - 8. Artinya, hanya ada satu angka sembilan. Artinya, Anda perlu menulis 90 pada penyebutnya.

Untuk menentukan pembilangnya, Anda perlu mengurangi 5 dari 58. Ternyata 53. Misalnya, Anda harus menulis jawabannya sebagai 53/90.

Bagaimana pecahan diubah menjadi desimal?

Pilihan paling sederhana adalah bilangan yang penyebutnya adalah bilangan 10, 100, dst. Kemudian penyebutnya dibuang begitu saja, dan koma ditempatkan di antara bagian pecahan dan bilangan bulat.

Ada situasi ketika penyebutnya dengan mudah berubah menjadi 10, 100, dst. Misalnya angka 5, 20, 25. Cukup dikalikan masing-masing dengan 2, 5, dan 4. Anda hanya perlu mengalikan tidak hanya penyebutnya, tetapi juga pembilangnya dengan angka yang sama.

Untuk semua kasus lainnya, aturan sederhana berguna: bagilah pembilangnya dengan penyebutnya. Dalam hal ini, Anda mungkin mendapatkan dua kemungkinan jawaban: pecahan desimal berhingga atau periodik.

Operasi dengan pecahan biasa

Penambahan dan pengurangan

Siswa mengenal mereka lebih awal dari yang lain. Selain itu, pecahan-pecahan tersebut mula-mula mempunyai penyebut yang sama, kemudian penyebutnya berbeda. Aturan umum dapat direduksi menjadi rencana ini.

Temukan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebutnya.

Tuliskan faktor tambahan untuk semua pecahan biasa.

Kalikan pembilang dan penyebutnya dengan faktor yang ditentukan.

Tambahkan (kurangi) pembilang pecahan dan biarkan penyebutnya tidak berubah.

Jika pembilang dari minuend lebih kecil dari pengurangnya, maka kita perlu mencari tahu apakah kita mempunyai bilangan campuran atau pecahan biasa.

Dalam kasus pertama, Anda perlu meminjam satu dari keseluruhan bagian. Tambahkan penyebut ke pembilang pecahan. Dan kemudian lakukan pengurangan.

Yang kedua, perlu menerapkan aturan pengurangan bilangan yang lebih besar dari bilangan yang lebih kecil. Artinya, dari modul pengurang, kurangi modul minuend, dan sebagai jawabannya beri tanda “-”.

Perhatikan baik-baik hasil penjumlahan (pengurangan). Jika Anda mendapatkan pecahan biasa, maka Anda harus memilih seluruh bagiannya. Artinya, bagilah pembilangnya dengan penyebutnya.

Perkalian dan pembagian

Untuk menyelesaikannya, pecahan tidak perlu direduksi menjadi penyebut yang sama. Hal ini membuat lebih mudah untuk melakukan tindakan. Namun mereka tetap mengharuskan Anda untuk mengikuti aturan.

Saat mengalikan pecahan, Anda perlu melihat angka pada pembilang dan penyebutnya. Jika ada pembilang dan penyebut yang mempunyai faktor persekutuan, maka keduanya dapat dikurangi.

Lipat gandakan pembilangnya.

Lipat gandakan penyebutnya.

Jika hasilnya pecahan tereduksi, maka harus disederhanakan lagi.

Saat membagi, Anda harus mengganti pembagian terlebih dahulu dengan perkalian, dan pembagi (pecahan kedua) dengan pecahan kebalikannya (menukar pembilang dan penyebutnya).

Kemudian lanjutkan seperti perkalian (dimulai dari poin 1).

Dalam tugas di mana Anda perlu mengalikan (membagi) dengan bilangan bulat, bilangan bulat harus ditulis sebagai pecahan biasa. Artinya, dengan penyebut 1. Kemudian lakukan seperti dijelaskan di atas.



Operasi dengan desimal

Penambahan dan pengurangan

Tentu saja, Anda selalu dapat mengubah desimal menjadi pecahan. Dan bertindak sesuai rencana yang telah dijelaskan. Namun terkadang lebih mudah untuk bertindak tanpa terjemahan ini. Maka aturan penjumlahan dan pengurangannya akan sama persis.

Samakan jumlah digit pada bagian pecahan suatu bilangan, yaitu setelah koma. Tambahkan jumlah angka nol yang hilang ke dalamnya.

Tulis pecahannya sedemikian rupa sehingga komanya berada di bawah koma.

Tambahkan (kurangi) seperti bilangan asli.

Hapus koma.

Perkalian dan pembagian

Penting agar Anda tidak perlu menambahkan angka nol di sini. Pecahan harus dibiarkan seperti yang diberikan dalam contoh. Dan kemudian berjalan sesuai rencana.

Untuk mengalikan, Anda perlu menulis pecahan satu di bawah yang lain, mengabaikan koma.

Kalikan seperti bilangan asli.

Tempatkan koma pada jawaban, hitung dari ujung kanan jawaban sebanyak digit yang ada di bagian pecahan kedua faktor.

Untuk membagi, Anda harus mengubah pembaginya terlebih dahulu: menjadikannya bilangan asli. Artinya, kalikan dengan 10, 100, dst., bergantung pada berapa banyak digit yang ada di bagian pecahan pembaginya.

Kalikan dividen dengan angka yang sama.

Bagilah pecahan desimal dengan bilangan asli.

Tempatkan koma pada jawaban Anda pada saat pembagian seluruh bagian berakhir.



Bagaimana jika satu contoh memuat kedua jenis pecahan tersebut?

Ya, dalam matematika sering kali ada contoh di mana Anda perlu melakukan operasi pada pecahan biasa dan desimal. Dalam tugas seperti itu ada dua kemungkinan solusi. Anda perlu mempertimbangkan angka-angkanya secara objektif dan memilih angka yang optimal.

Cara pertama: mewakili desimal biasa

Cocok jika pembagian atau translasi menghasilkan pecahan berhingga. Jika setidaknya satu angka memberikan bagian periodik, maka teknik ini dilarang. Oleh karena itu, meskipun Anda tidak suka mengerjakan pecahan biasa, Anda harus menghitungnya.

Cara kedua: tulis pecahan desimal seperti biasa

Teknik ini berguna jika bagian setelah koma berisi 1-2 digit. Jika jumlahnya lebih banyak, Anda mungkin akan mendapatkan pecahan biasa yang sangat besar dan notasi desimal akan membuat tugas lebih cepat dan mudah untuk dihitung. Oleh karena itu, Anda harus selalu mengevaluasi tugas dengan bijaksana dan memilih metode solusi paling sederhana.

Pecahan desimal berbeda dengan pecahan biasa karena penyebutnya merupakan satuan nilai tempat.

Misalnya:

Pecahan desimal dipisahkan dari pecahan biasa ke dalam bentuk tersendiri, yang menyebabkan adanya aturan tersendiri dalam membandingkan, menjumlahkan, mengurangkan, mengalikan dan membagi pecahan tersebut. Pada prinsipnya, Anda dapat mengerjakan pecahan desimal menggunakan aturan pecahan biasa. Aturan sendiri untuk mengubah pecahan desimal menyederhanakan penghitungan, dan aturan untuk mengubah pecahan biasa menjadi desimal, dan sebaliknya, berfungsi sebagai penghubung antara jenis pecahan tersebut.

Menulis dan membaca pecahan desimal memungkinkan Anda menuliskannya, membandingkannya, dan melakukan operasi pada pecahan tersebut sesuai dengan aturan yang sangat mirip dengan aturan operasi bilangan asli.

Sistem pecahan desimal dan operasinya pertama kali diuraikan pada abad ke-15. Matematikawan dan astronom Samarkand Dzhemshid ibn-Masudal-Kashi dalam buku “The Key to the Art of Count”.

Bagian bilangan bulat dari pecahan desimal dipisahkan dari bagian pecahan dengan koma, di beberapa negara (AS) diberi titik. Jika pecahan desimal tidak mempunyai bagian bilangan bulat, maka angka 0 diletakkan sebelum koma desimal.

Anda dapat menambahkan angka nol berapa pun ke bagian pecahan desimal di sebelah kanan; hal ini tidak mengubah nilai pecahan. Bagian pecahan desimal dibaca pada angka penting terakhir.

Misalnya:
0,3 - tiga persepuluh
0,75 - tujuh puluh lima perseratus
0,000005 - lima persejuta.

Membaca seluruh bagian desimal sama dengan membaca bilangan asli.

Misalnya:
27.5 - dua puluh tujuh...;
1,57 - satu...

Setelah bagian bilangan bulat dari pecahan desimal, kata “keseluruhan” diucapkan.

Misalnya:
10.7 - sepuluh koma tujuh

0,67 - nol koma enam puluh tujuh perseratus.

Tempat desimal adalah angka-angka dari bagian pecahan. Bagian pecahan tidak dibaca dengan angka (berbeda dengan bilangan asli), tetapi secara keseluruhan, oleh karena itu bagian pecahan dari pecahan desimal ditentukan oleh angka penting terakhir di sebelah kanan. Sistem tempat bagian pecahan desimal agak berbeda dengan sistem bilangan asli.

• Digit pertama setelah sibuk - digit persepuluh
• Tempat desimal ke-2 - tempat perseratus
• Tempat desimal ke-3 - tempat seperseribu
• Tempat desimal ke-4 - tempat sepuluh ribu
• Tempat desimal ke-5 - tempat seperseratus ribu
• Tempat desimal ke-6 - tempat ke-sejuta
• Tempat desimal ke-7 adalah tempat sepuluh juta
• Tempat desimal ke-8 adalah tempat keseratus juta

Tiga digit pertama paling sering digunakan dalam perhitungan. Kapasitas digit besar dari bagian pecahan desimal hanya digunakan dalam cabang pengetahuan tertentu yang menghitung jumlah yang sangat kecil.

Mengubah desimal menjadi pecahan campuran terdiri atas: bilangan sebelum koma ditulis sebagai bagian bilangan bulat dari pecahan campuran; bilangan setelah koma desimal adalah pembilang bagian pecahannya, dan pada penyebut bagian pecahan tuliskan satuan yang angka nolnya sama banyaknya dengan angka setelah koma desimal.