Jelas, angka dengan kekuatan dapat ditambahkan seperti kuantitas lainnya , dengan menambahkannya satu per satu dengan tanda-tandanya.

Jadi, jumlah a 3 dan b 2 adalah a 3 + b 2 .
Jumlah dari 3 - b n dan h 5 -d 4 adalah 3 - b n + h 5 - d 4 .

Kemungkinan kekuatan yang sama dari variabel yang sama bisa ditambah atau dikurangi.

Jadi, jumlah 2a2 dan 3a2 adalah 5a2 .

Jelas juga bahwa jika kita mengambil dua kotak a, atau tiga kotak a, atau lima kotak a.

Tapi derajat berbagai variabel dan berbagai derajat variabel identik, harus ditambahkan dengan menambahkannya ke tanda-tandanya.

Jadi, jumlah dari a 2 dan a 3 adalah jumlah dari a 2 + a 3 .

Jelaslah bahwa kuadrat dari a, dan pangkat tiga dari a, bukanlah dua kali kuadrat dari a, tetapi dua kali pangkat tiga dari a.

Jumlah a 3 b n dan 3a 5 b 6 adalah a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Pengurangan kekuatan dilakukan dengan cara yang sama seperti penambahan, kecuali bahwa tanda-tanda pengurangan harus diubah sesuai.

Atau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Perkalian daya

Angka dengan kekuatan dapat dikalikan seperti jumlah lainnya dengan menuliskannya satu demi satu, dengan atau tanpa tanda perkalian di antara mereka.

Jadi, hasil perkalian a 3 dengan b 2 adalah 3 b 2 atau aaabb.

Atau:
x -3 a m = a m x -3
3a 6 y 2 (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Hasil pada contoh terakhir dapat diurutkan dengan menambahkan variabel yang sama.
Ekspresi akan berbentuk: a 5 b 5 y 3 .

Dengan membandingkan beberapa bilangan (variabel) dengan pangkat, kita dapat melihat bahwa jika dua bilangan dikalikan, maka hasilnya adalah bilangan (variabel) dengan pangkat yang sama dengan jumlah derajat istilah.

Jadi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Di sini 5 adalah pangkat dari hasil perkalian, sama dengan 2 + 3, jumlah pangkat dari suku-sukunya.

Jadi, a n .a m = a m+n .

Untuk n , a diambil sebagai faktor sebanyak pangkat n;

Dan a m , diambil sebagai faktor sebanyak derajat m sama dengan;

Itu sebabnya, pangkat dengan basis yang sama dapat dikalikan dengan menambahkan eksponen.

Jadi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Dan x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Atau:
4a n 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Kalikan (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) (x - y).
Jawaban: x 4 - y 4.
Kalikan (x 3 + x - 5) (2x 3 + x + 1).

Aturan ini juga berlaku untuk bilangan yang eksponennya - negatif.

1. Jadi, a -2 .a -3 = a -5 . Ini dapat ditulis sebagai (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jika a + b dikalikan dengan a - b, hasilnya adalah 2 - b 2: yaitu

Hasil perkalian jumlah atau selisih dua bilangan sama dengan jumlah atau selisih kuadratnya.

Jika jumlah dan selisih dua bilangan dipangkatkan menjadi kotak, hasilnya akan sama dengan jumlah atau selisih angka-angka ini dalam keempat derajat.

Jadi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Pembagian kekuasaan

Bilangan dengan pangkat dapat dibagi seperti bilangan lain dengan mengurangkan dari pembagi, atau dengan menempatkannya dalam bentuk pecahan.

Jadi a 3 b 2 dibagi b 2 adalah 3 .

Atau:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Menulis 5 dibagi 3 terlihat seperti $\frac(a^5)(a^3)$. Tapi ini sama dengan 2 . Dalam serangkaian angka
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0, a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
setiap nomor dapat dibagi dengan yang lain, dan eksponen akan sama dengan perbedaan indikator bilangan habis dibagi.

Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dikurangi..

Jadi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Yaitu, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Dan a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yaitu, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Atau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Aturan ini juga berlaku untuk angka dengan negatif nilai derajat.
Hasil pembagian -5 dengan -3 adalah -2.
Juga, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 atau $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Perkalian dan pembagian pangkat perlu dikuasai dengan baik, karena operasi semacam itu sangat banyak digunakan dalam aljabar.

Contoh penyelesaian contoh pecahan yang mengandung bilangan berpangkat

1. Kurangi pangkat di $\frac(5a^4)(3a^2)$ Jawaban: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Kurangi eksponen dalam $\frac(6x^6)(3x^5)$. Jawaban: $\frac(2x)(1)$ atau 2x.

3. Kurangi eksponen a 2 / a 3 dan a -3 / a -4 dan bawa ke penyebut yang sama.
a 2 .a -4 adalah pembilang pertama -2.
a 3 .a -3 adalah 0 = 1, pembilang kedua.
a 3 .a -4 adalah -1 , pembilang bersama.
Setelah disederhanakan: a -2 /a -1 dan 1/a -1 .

4. Kurangi pangkat 2a 4 /5a 3 dan 2 /a 4 dan bawa ke penyebut yang sama.
Jawaban: 2a 3/5a 7 dan 5a 5/5a 7 atau 2a 3/5a 2 dan 5/5a 2.

5. Kalikan (a 3 + b)/b 4 dengan (a - b)/3.

6. Kalikan (a 5 + 1)/x 2 dengan (b 2 - 1)/(x + a).

7. Kalikan b 4 /a -2 dengan h -3 /x dan a n /y -3 .

8. Bagi 4 /y 3 dengan 3 /y 2 . Jawaban: a/y.

9. Bagi (h 3 - 1)/d 4 dengan (d n + 1)/h.

Pada artikel ini, kita akan memahami apa itu derajat. Di sini kami akan memberikan definisi derajat suatu bilangan, sambil mempertimbangkan secara rinci semua kemungkinan eksponen derajat, dimulai dengan eksponen alami, diakhiri dengan eksponen irasional. Dalam materi Anda akan menemukan banyak contoh derajat yang mencakup semua seluk-beluk yang muncul.

Navigasi halaman.

Derajat dengan eksponen alami, kuadrat dari suatu bilangan, pangkat tiga dari suatu bilangan

Mari kita mulai dengan . Melihat ke depan, katakanlah definisi derajat a dengan eksponen alami n diberikan untuk a , yang akan kita sebut dasar derajat, dan n , yang akan kita sebut eksponen. Kami juga mencatat bahwa derajat dengan indikator alami ditentukan melalui produk, jadi untuk memahami materi di bawah ini, Anda perlu memiliki gagasan tentang perkalian angka.

Definisi.

Kekuatan bilangan a dengan eksponen alami n adalah ekspresi dari bentuk a n , yang nilainya sama dengan produk dari n faktor, yang masing-masing sama dengan a , yaitu .
Secara khusus, derajat suatu bilangan a dengan eksponen 1 adalah bilangan a itu sendiri, yaitu a 1 =a.

Segera perlu disebutkan aturan untuk membaca derajat. Cara universal untuk membaca entri a n adalah: "a pangkat n". Dalam beberapa kasus, opsi seperti itu juga dapat diterima: "a pangkat ke-n" dan "pangkat ke-n dari angka a". Sebagai contoh, mari kita ambil pangkat 8 12, ini adalah "delapan pangkat dua belas", atau "delapan pangkat dua belas", atau "kedua belas pangkat delapan".

Kekuatan kedua dari sebuah angka, serta kekuatan ketiga dari sebuah angka, memiliki nama mereka sendiri. Kekuatan kedua dari suatu bilangan disebut kuadrat dari suatu bilangan, misalnya, 7 2 dibaca sebagai "kuadrat tujuh" atau "kuadrat dari angka tujuh". Kekuatan ketiga dari suatu bilangan disebut nomor kubus, misalnya, 5 3 dapat dibaca sebagai "lima pangkat tiga" atau ucapkan "kubus angka 5".

Saatnya membawa contoh derajat dengan indikator fisik. Mari kita mulai dengan pangkat 5 7 , di mana 5 adalah basis dari pangkat dan 7 adalah eksponen. Mari berikan contoh lain: 4,32 adalah basis, dan bilangan asli 9 adalah eksponen (4,32) 9 .

Harap dicatat bahwa dalam contoh terakhir, basis derajat 4.32 ditulis dalam tanda kurung: untuk menghindari perbedaan, kami akan mengambil dalam tanda kurung semua basis derajat yang berbeda dari bilangan asli. Sebagai contoh, kami memberikan derajat berikut dengan indikator alami , basisnya bukan bilangan asli, jadi ditulis dalam tanda kurung. Nah, untuk kejelasan lengkap pada titik ini, kami akan menunjukkan perbedaan yang terkandung dalam catatan bentuk (−2) 3 dan 2 3 . Ekspresi (−2) 3 adalah pangkat dari 2 dengan pangkat 3 alami, dan ekspresi 2 3 (dapat ditulis sebagai (2 3) ) sesuai dengan angka, nilai dari pangkat 2 3 .

Perhatikan bahwa ada notasi untuk derajat a dengan eksponen n dalam bentuk a^n . Selain itu, jika n adalah bilangan asli multinilai, maka eksponennya diambil dalam tanda kurung. Misalnya, 4^9 adalah notasi lain untuk pangkat 4 9 . Dan berikut adalah lebih banyak contoh penulisan derajat menggunakan simbol “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Berikut ini, kita akan menggunakan notasi derajat dari bentuk a n .

Salah satu masalah, kebalikan dari eksponen dengan eksponen alami, adalah masalah menemukan basis derajat dari nilai derajat yang diketahui dan eksponen yang diketahui. Tugas ini mengarah ke.

Diketahui bahwa himpunan bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat dan bilangan pecahan, dan setiap bilangan pecahan dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa positif atau negatif. Kami mendefinisikan derajat dengan eksponen bilangan bulat pada paragraf sebelumnya, oleh karena itu, untuk melengkapi definisi derajat dengan eksponen rasional, kita perlu memberikan arti derajat dari angka a dengan eksponen pecahan m / n, di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Ayo lakukan.

Pertimbangkan gelar dengan eksponen pecahan dari bentuk . Agar properti derajat dalam derajat tetap berlaku, kesetaraan harus berlaku . Jika kita memperhitungkan persamaan yang dihasilkan dan cara kita mendefinisikan , maka logis untuk menerima, asalkan untuk m, n dan a yang diberikan, ekspresinya masuk akal.

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa semua properti derajat dengan eksponen bilangan bulat valid untuk as (ini dilakukan di bagian properti derajat dengan eksponen rasional).

Alasan di atas memungkinkan kita untuk membuat yang berikut: kesimpulan: jika untuk m, n dan a yang diberikan ekspresi masuk akal, maka pangkat dari bilangan a dengan pangkat pecahan m / n adalah akar dari derajat ke-n dari pangkat m.

Pernyataan ini membawa kita mendekati definisi gelar dengan eksponen pecahan. Tetap hanya untuk menggambarkan ekspresi m, n dan a yang masuk akal. Tergantung pada pembatasan yang dikenakan pada m , n dan a, ada dua pendekatan utama.

Cara termudah untuk membatasi a adalah dengan mengasumsikan a≥0 untuk m positif dan a>0 untuk m negatif (karena m≤0 tidak memiliki kekuatan 0 m). Kemudian kita mendapatkan definisi derajat berikut dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Pangkat bilangan positif a dengan pangkat pecahan m/n, di mana m adalah bilangan bulat, dan n adalah bilangan asli, disebut akar ke-n dari bilangan a pangkat m, yaitu, .

Derajat pecahan nol juga didefinisikan dengan satu-satunya peringatan bahwa eksponen harus positif.

Definisi.

Kekuatan nol dengan eksponen positif pecahan m/n, di mana m adalah bilangan bulat positif dan n adalah bilangan asli, didefinisikan sebagai .
Ketika derajat tidak didefinisikan, yaitu derajat angka nol dengan eksponen negatif pecahan tidak masuk akal.

Perlu dicatat bahwa dengan definisi derajat seperti itu dengan eksponen pecahan, ada satu nuansa: untuk beberapa a negatif dan beberapa m dan n, ekspresinya masuk akal, dan kami membuang kasus ini dengan memperkenalkan kondisi a≥0 . Misalnya, masuk akal untuk menulis atau , dan definisi di atas memaksa kita untuk mengatakan bahwa derajat dengan eksponen pecahan dari bentuk tidak ada artinya, karena basisnya tidak boleh negatif.

Pendekatan lain untuk menentukan derajat dengan pangkat pecahan m / n adalah dengan mempertimbangkan secara terpisah pangkat genap dan ganjil dari akar. Pendekatan ini memerlukan kondisi tambahan: derajat bilangan a, yang eksponennya , dianggap derajat bilangan a, eksponennya adalah pecahan tak tereduksi yang sesuai (pentingnya kondisi ini akan dijelaskan di bawah). Artinya, jika m/n adalah pecahan tak tereduksi, maka untuk sembarang bilangan asli k, derajatnya pertama-tama diganti dengan .

Untuk n genap dan m positif, ekspresi masuk akal untuk setiap a non-negatif (akar derajat genap dari bilangan negatif tidak masuk akal), untuk m negatif, bilangan a masih harus berbeda dari nol (jika tidak ada akan menjadi pembagian dengan nol). Dan untuk n ganjil dan m positif, bilangan a dapat berupa apa saja (akar derajat ganjil ditentukan untuk sembarang bilangan real), dan untuk m negatif, bilangan a harus berbeda dari nol (sehingga tidak ada pembagian dengan nol).

Alasan di atas membawa kita pada definisi derajat dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Biarkan m/n menjadi pecahan tak tereduksi, m bilangan bulat, dan n bilangan asli. Untuk setiap pecahan biasa yang dapat direduksi, derajatnya diganti dengan . Pangkat a dengan pangkat pecahan tak tereduksi m / n adalah untuk



Mari kita jelaskan mengapa derajat dengan eksponen pecahan yang dapat direduksi pertama-tama diganti dengan gelar dengan eksponen yang tidak dapat direduksi. Jika kita hanya mendefinisikan derajat sebagai , dan tidak membuat reservasi tentang ireduksibilitas pecahan m / n , maka kita akan menghadapi situasi yang mirip dengan berikut: karena 6/10=3/5 , maka persamaan , tetapi , sebuah .

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Gelar dengan indikator negatif. Definisi dan contoh pemecahan masalah"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda. Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.

Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 8
Manual untuk buku teks Muravina G.K. Manual untuk buku teks Alimova Sh.A.

Menentukan derajat dengan eksponen negatif

Kawan, kami pandai menaikkan angka menjadi kekuatan.
Misalnya: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Kita tahu betul bahwa setiap angka pangkat nol sama dengan satu. $a^0=1$, $a≠0$.
Timbul pertanyaan, apa yang terjadi jika Anda menaikkan angka ke kekuatan negatif? Misalnya, angka $2^(-2)$ sama dengan apa?
Matematikawan pertama yang mengajukan pertanyaan ini memutuskan bahwa tidak ada gunanya menemukan kembali roda, dan bagus bahwa semua sifat derajat tetap sama. Artinya, ketika mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dijumlahkan.
Mari kita pertimbangkan kasus ini: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Kami mendapat bahwa produk dari angka-angka tersebut harus memberikan kesatuan. Satuan dalam produk diperoleh dengan mengalikan kebalikannya, yaitu $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Alasan seperti itu mengarah pada definisi berikut.
Definisi. Jika $n$ adalah bilangan asli dan $а≠0$, maka persamaan berikut berlaku: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Identitas penting yang sering digunakan: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Khususnya, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Contoh solusi

Contoh 1
Hitung: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Larutan.
Mari kita pertimbangkan setiap istilah secara terpisah.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Tetap melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4) $.
Jawaban: $6\frac(1)(4)$.

Contoh 2
Nyatakan bilangan yang diberikan sebagai pangkat dari bilangan prima $\frac(1)(729)$.

Larutan.
Jelas $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Tetapi 729 bukanlah bilangan prima yang diakhiri dengan 9. Kita dapat berasumsi bahwa bilangan ini adalah pangkat tiga. Mari kita secara berurutan membagi 729 dengan 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Enam operasi telah selesai, yang berarti: $729=3^6$.
Untuk tugas kita:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Jawaban: $3^(-6)$.

Contoh 3. Nyatakan ekspresi sebagai pangkat: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Larutan. Operasi pertama selalu dilakukan di dalam tanda kurung, kemudian perkalian $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1) )=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)) )=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Jawaban: $a$.

Contoh 4. Buktikan identitasnya:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2 )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 )+1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Larutan.
Di sisi kiri, pertimbangkan setiap faktor dalam tanda kurung secara terpisah.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Mari kita beralih ke pecahan yang akan kita bagi.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Mari kita lakukan pembagian.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Kami memperoleh identitas yang benar, yang harus dibuktikan.

Di akhir pelajaran, kita akan menuliskan aturan untuk tindakan dengan derajat lagi, di sini eksponennya adalah bilangan bulat.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Tugas untuk solusi independen

1. Hitung: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Nyatakan bilangan yang diberikan sebagai pangkat dari bilangan prima $\frac(1)(16384)$.
3. Nyatakan ekspresi sebagai derajat:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Buktikan identitasnya:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

Mengangkat pangkat negatif adalah salah satu elemen dasar matematika, yang sering ditemui dalam menyelesaikan masalah aljabar. Di bawah ini adalah instruksi terperinci.

Bagaimana menaikkan ke kekuatan negatif - teori

Ketika kita mengambil angka dengan kekuatan biasa, kita mengalikan nilainya beberapa kali. Misalnya, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Dengan pecahan negatif, kebalikannya benar. Bentuk umum menurut rumus adalah sebagai berikut: a -n = 1/a n . Jadi, untuk menaikkan angka ke pangkat negatif, Anda perlu membagi unit dengan angka yang diberikan, tetapi sudah menjadi pangkat positif.

Cara menaikkan pangkat negatif - contoh bilangan biasa

Dengan mengingat aturan di atas, mari kita selesaikan beberapa contoh.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Jawaban: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Jawabannya adalah -4 -2 = 1/16.

Tetapi mengapa jawaban pada contoh pertama dan kedua sama? Faktanya adalah bahwa ketika angka negatif dinaikkan menjadi pangkat genap (2, 4, 6, dll.), tandanya menjadi positif. Jika derajatnya genap, maka minusnya dipertahankan:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Cara menaikkan ke pangkat negatif - angka dari 0 hingga 1

Ingatlah bahwa ketika angka antara 0 dan 1 dinaikkan ke pangkat positif, nilainya menurun seiring dengan peningkatan daya. Jadi misalnya 0,5 2 = 0,25. 0,25

Contoh 3: Hitung 0,5 -2
Solusi: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Jawaban: 0,5 -2 = 4

Parsing (urutan tindakan):

• Ubah desimal 0,5 menjadi pecahan 1/2. Hal ini lebih mudah.
  Naikkan 1/2 ke pangkat negatif. 1/(2) -2 . Bagi 1 dengan 1/(2) 2 , kita mendapatkan 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Contoh 4: Hitung 0,5 -3
Solusi: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Contoh 5: Hitung -0,5 -3
Solusi: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Jawaban: -0,5 -3 = -8

Berdasarkan contoh ke-4 dan ke-5, kami akan menarik beberapa kesimpulan:

• Untuk bilangan positif dalam rentang dari 0 hingga 1 (contoh 4), dipangkatkan ke pangkat negatif, derajat genap atau ganjil tidak penting, nilai ekspresinya akan positif. Dalam hal ini, semakin besar derajatnya, semakin besar nilainya.
• Untuk bilangan negatif antara 0 dan 1 (contoh 5), dipangkatkan ke pangkat negatif, derajat genap atau ganjil tidak penting, nilai ekspresinya akan negatif. Dalam hal ini, semakin tinggi derajatnya, semakin rendah nilainya.

Cara menaikkan ke pangkat negatif - pangkat sebagai bilangan pecahan

Ekspresi jenis ini memiliki bentuk sebagai berikut: a -m/n , di mana a adalah bilangan biasa, m adalah pembilang derajat, n adalah penyebut derajat.

Pertimbangkan sebuah contoh:
Hitung: 8 -1/3

Solusi (urutan tindakan):

• Ingat aturan untuk menaikkan angka ke pangkat negatif. Kami mendapatkan: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Perhatikan bahwa penyebutnya adalah 8 pangkat pecahan. Bentuk umum untuk menghitung derajat pecahan adalah sebagai berikut: a m/n = n 8 m .
• Jadi, 1/(8) 1/3 = 1/(3 8 1). Kita mendapatkan akar pangkat tiga dari delapan, yaitu 2. Berdasarkan ini, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Jawaban: 8 -1/3 = 2

Dari sekolah, kita semua tahu aturan tentang menaikkan pangkat: bilangan apa pun dengan eksponen N sama dengan hasil mengalikan bilangan ini dengan dirinya sendiri N kali. Dengan kata lain, 7 pangkat 3 adalah 7 dikalikan dengan dirinya sendiri tiga kali, yaitu 343. Aturan lain - menaikkan nilai apa pun ke pangkat 0 menghasilkan satu, dan menaikkan nilai negatif adalah hasil dari eksponensial biasa, jika genap, dan hasilnya sama dengan tanda minus jika ganjil.

Aturan juga memberikan jawaban tentang cara menaikkan angka ke pangkat negatif. Untuk melakukan ini, Anda perlu menaikkan nilai yang diperlukan dengan modul indikator dengan cara biasa, dan kemudian membagi unit dengan hasilnya.

Dari aturan tersebut menjadi jelas bahwa pelaksanaan tugas nyata dengan jumlah besar akan membutuhkan ketersediaan sarana teknis. Secara manual dimungkinkan untuk mengalikan dengan sendirinya kisaran angka maksimum hingga dua puluh atau tiga puluh, dan kemudian tidak lebih dari tiga atau empat kali. Ini belum lagi fakta bahwa kemudian juga membagi unit dengan hasilnya. Karena itu, bagi mereka yang tidak memiliki kalkulator teknik khusus, kami akan memberi tahu Anda cara menaikkan angka ke pangkat negatif di Excel.

Memecahkan masalah di Excel

Untuk mengatasi masalah dengan eksponensial, Excel memungkinkan Anda menggunakan salah satu dari dua opsi.

Yang pertama adalah penggunaan rumus dengan simbol cap standar. Masukkan data berikut di sel lembar kerja:

Dengan cara yang sama, Anda dapat menaikkan nilai yang diinginkan ke kekuatan apa pun - negatif, pecahan. Mari lakukan hal berikut dan jawab pertanyaan tentang cara menaikkan angka ke pangkat negatif. Contoh:

Dimungkinkan untuk mengoreksi secara langsung dalam rumus =B2^-C2.

Opsi kedua adalah menggunakan fungsi "Gelar" yang sudah jadi, yang membutuhkan dua argumen wajib - angka dan indikator. Untuk mulai menggunakannya, cukup beri tanda sama dengan (=) di sel bebas mana pun, yang menunjukkan awal rumus, dan masukkan kata-kata di atas. Tetap memilih dua sel yang akan berpartisipasi dalam operasi (atau menentukan nomor tertentu secara manual), dan tekan tombol Enter. Mari kita lihat beberapa contoh sederhana.

			Rumus	Hasil
			KEKUATAN(B2;C2)
			DAYA(B3;C3)	0,002915

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit tentang cara menaikkan angka ke pangkat negatif dan biasa menggunakan Excel. Memang, untuk mengatasi masalah ini, Anda dapat menggunakan simbol "tutup" yang sudah dikenal dan fungsi bawaan program, yang mudah diingat. Ini adalah nilai tambah yang pasti!

Mari kita beralih ke contoh yang lebih kompleks. Mari kita ingat aturan tentang cara menaikkan angka ke pangkat negatif dari karakter pecahan, dan kita akan melihat bahwa tugas ini diselesaikan dengan sangat sederhana di Excel.

Indikator pecahan

Singkatnya, algoritma untuk menghitung angka dengan eksponen pecahan adalah sebagai berikut.

1. Ubah eksponen pecahan menjadi pecahan wajar atau pecahan biasa.
2. Naikkan nomor kami ke pembilang dari pecahan yang dikonversi yang dihasilkan.
3. Dari bilangan yang diperoleh pada paragraf sebelumnya, hitung akarnya, dengan syarat indikator akar akan menjadi penyebut pecahan yang diperoleh pada tahap pertama.

Setuju bahwa bahkan ketika beroperasi dengan angka kecil dan pecahan yang tepat, perhitungan seperti itu bisa memakan banyak waktu. Ada baiknya bahwa prosesor spreadsheet Excel tidak peduli berapa banyak dan sampai tingkat apa untuk dinaikkan. Coba selesaikan contoh berikut di lembar kerja Excel:

Dengan menggunakan aturan di atas, Anda dapat memeriksa dan memastikan bahwa perhitungannya benar.

Di akhir artikel kami, kami akan memberikan dalam bentuk tabel dengan rumus dan hasil beberapa contoh cara menaikkan bilangan ke pangkat negatif, serta beberapa contoh dengan bilangan pecahan dan pangkat.

Contoh tabel

Periksa lembar kerja Excel untuk contoh berikut. Agar semuanya berfungsi dengan benar, Anda perlu menggunakan referensi campuran saat menyalin rumus. Perbaiki nomor kolom yang berisi nomor yang dibangkitkan, dan nomor baris yang berisi indikator. Rumus Anda akan terlihat seperti ini: "=$B4^C$3".

Nomor / Gelar

Harap dicatat bahwa angka positif (bahkan yang bukan bilangan bulat) dihitung tanpa masalah untuk eksponen apa pun. Tidak ada masalah dengan menaikkan angka apa pun ke bilangan bulat. Tetapi menaikkan angka negatif ke pangkat pecahan akan menjadi kesalahan bagi Anda, karena tidak mungkin mengikuti aturan yang ditunjukkan di awal artikel kami tentang menaikkan angka negatif, karena paritas adalah karakteristik dari angka INTEGER eksklusif.

Angka yang dinaikkan menjadi kekuatan memanggil nomor yang dikalikan dengan dirinya sendiri beberapa kali.

Kekuatan angka dengan nilai negatif (sebuah) dapat didefinisikan dengan cara yang sama seperti derajat bilangan yang sama dengan eksponen positif ditentukan (sebuah) . Namun, itu juga membutuhkan definisi tambahan. Rumusnya didefinisikan sebagai:

sebuah = (1 / n)

Sifat-sifat nilai negatif dari kekuatan angka mirip dengan kekuatan dengan eksponen positif. Persamaan yang Diwakili sebuah m / a n = sebuah m-n bisa adil seperti

« Tidak ada tempat, seperti dalam matematika, kejelasan dan keakuratan kesimpulan tidak memungkinkan seseorang untuk menjauh dari jawaban dengan membicarakan pertanyaannya.».

A.D. Alexandrov

pada n lagi m , sebaik m lagi n . Mari kita lihat sebuah contoh: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Pertama, Anda perlu menentukan angka yang bertindak sebagai definisi derajat. b=a(-n) . Dalam contoh ini -n merupakan penunjuk derajat b - nilai numerik yang diinginkan, sebuah - dasar derajat sebagai nilai numerik alami. Kemudian tentukan modulnya, yaitu nilai absolut dari bilangan negatif, yang bertindak sebagai eksponen. Hitung derajat angka yang diberikan relatif terhadap angka absolut sebagai indikator. Nilai derajat ditemukan dengan membagi satu dengan angka yang dihasilkan.

Beras. satu

Pertimbangkan kekuatan angka dengan eksponen pecahan negatif. Bayangkan bahwa angka a adalah angka positif apa pun, angka-angkanya n dan m - bilangan bulat. Menurut definisi sebuah , yang dipangkatkan - sama dengan satu dibagi dengan angka yang sama dengan derajat positif (Gbr. 1). Ketika pangkat suatu bilangan adalah pecahan, maka dalam kasus seperti itu hanya bilangan dengan eksponen positif yang digunakan.

Patut diingat bahwa nol tidak pernah bisa menjadi eksponen suatu bilangan (aturan pembagian dengan nol).

Penyebaran konsep seperti angka mulai manipulasi seperti perhitungan pengukuran, serta pengembangan matematika sebagai ilmu. Pengenalan nilai-nilai negatif disebabkan oleh perkembangan aljabar, yang memberikan solusi umum untuk masalah aritmatika, terlepas dari makna spesifiknya dan data numerik awal. Di India, pada abad ke-6-11, nilai negatif angka digunakan secara sistematis saat memecahkan masalah dan ditafsirkan dengan cara yang sama seperti saat ini. Dalam ilmu pengetahuan Eropa, bilangan negatif mulai banyak digunakan berkat R. Descartes, yang memberikan interpretasi geometris bilangan negatif sebagai arah segmen. Descartes-lah yang menyarankan agar angka yang dipangkatkan ditampilkan sebagai formula dua lantai sebuah .

Mengangkat pangkat negatif adalah salah satu elemen dasar matematika, yang sering ditemui dalam menyelesaikan masalah aljabar. Di bawah ini adalah instruksi terperinci.

Bagaimana menaikkan ke kekuatan negatif - teori

Ketika kita mengambil angka dengan kekuatan biasa, kita mengalikan nilainya beberapa kali. Misalnya, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Dengan pecahan negatif, kebalikannya benar. Bentuk umum menurut rumus adalah sebagai berikut: a -n = 1/a n . Jadi, untuk menaikkan angka ke pangkat negatif, Anda perlu membagi unit dengan angka yang diberikan, tetapi sudah menjadi pangkat positif.

Cara menaikkan pangkat negatif - contoh bilangan biasa

Dengan mengingat aturan di atas, mari kita selesaikan beberapa contoh.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Jawaban: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Jawabannya adalah -4 -2 = 1/16.

Tetapi mengapa jawaban pada contoh pertama dan kedua sama? Faktanya adalah bahwa ketika angka negatif dinaikkan menjadi pangkat genap (2, 4, 6, dll.), tandanya menjadi positif. Jika derajatnya genap, maka minusnya dipertahankan:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Cara menaikkan ke pangkat negatif - angka dari 0 hingga 1

Ingatlah bahwa ketika angka antara 0 dan 1 dinaikkan ke pangkat positif, nilainya menurun seiring dengan peningkatan daya. Jadi misalnya 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Contoh 3: Hitung 0,5 -2
Solusi: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Jawaban: 0,5 -2 = 4

Parsing (urutan tindakan):

• Ubah desimal 0,5 menjadi pecahan 1/2. Hal ini lebih mudah.
  Naikkan 1/2 ke pangkat negatif. 1/(2) -2 . Bagi 1 dengan 1/(2) 2 , kita mendapatkan 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Contoh 4: Hitung 0,5 -3
Solusi: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Contoh 5: Hitung -0,5 -3
Solusi: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Jawaban: -0,5 -3 = -8

Berdasarkan contoh ke-4 dan ke-5, kami akan menarik beberapa kesimpulan:

• Untuk bilangan positif dalam rentang dari 0 hingga 1 (contoh 4), dipangkatkan ke pangkat negatif, derajat genap atau ganjil tidak penting, nilai ekspresinya akan positif. Dalam hal ini, semakin besar derajatnya, semakin besar nilainya.
• Untuk bilangan negatif antara 0 dan 1 (contoh 5), dipangkatkan ke pangkat negatif, derajat genap atau ganjil tidak penting, nilai ekspresinya akan negatif. Dalam hal ini, semakin tinggi derajatnya, semakin rendah nilainya.

Cara menaikkan ke pangkat negatif - pangkat sebagai bilangan pecahan

Ekspresi jenis ini memiliki bentuk sebagai berikut: a -m/n, di mana a adalah bilangan biasa, m adalah pembilang derajat, n adalah penyebut derajat.

Pertimbangkan sebuah contoh:
Hitung: 8 -1/3

Solusi (urutan tindakan):

• Ingat aturan untuk menaikkan angka ke pangkat negatif. Kami mendapatkan: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Perhatikan bahwa penyebutnya adalah 8 pangkat pecahan. Bentuk umum untuk menghitung derajat pecahan adalah sebagai berikut: a m/n = n 8 m .
• Jadi, 1/(8) 1/3 = 1/(3 8 1). Kita mendapatkan akar pangkat tiga dari delapan, yaitu 2. Berdasarkan ini, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Jawaban: 8 -1/3 = 2