Bagaimana menyelesaikan sistem pertidaksamaan rasional. Memecahkan sistem pertidaksamaan

>>Matematika: Pertidaksamaan rasional

Pertidaksamaan rasional dengan satu variabel x adalah pertidaksamaan bentuk - ekspresi rasional, mis. ekspresi aljabar yang terdiri dari angka dan variabel x menggunakan operasi penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan peningkatan ke kekuatan alami. Tentu saja, variabel dapat dilambangkan dengan huruf lain, tetapi dalam matematika, huruf x paling sering lebih disukai.

Saat menyelesaikan pertidaksamaan rasional, tiga aturan yang dirumuskan di atas dalam 1. Dengan bantuan aturan ini, pertidaksamaan rasional yang diberikan biasanya dikonversi ke bentuk / (x) > 0, di mana / (x) adalah aljabar pecahan (atau polinomial). Selanjutnya, dekomposisi pembilang dan penyebut pecahan f (x) menjadi faktor bentuk x - a (jika, tentu saja, ini mungkin) dan terapkan metode interval, yang telah kami sebutkan di atas (lihat contoh 3 di sebelumnya gugus kalimat).

Contoh 1 Selesaikan pertidaksamaan (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

Keputusan. Pertimbangkan ekspresi f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

Ternyata 0 pada poin 1,-1,2; tandai titik-titik ini pada garis bilangan. Garis numerik dibagi oleh titik-titik yang ditunjukkan menjadi empat interval (Gbr. 6), di mana masing-masing ekspresi f (x) mempertahankan tanda konstan. Untuk memverifikasi ini, kami akan melakukan empat argumen (untuk masing-masing interval ini secara terpisah).

Ambil sembarang titik x dari interval (2, Titik ini terletak pada garis bilangan di sebelah kanan titik -1, di sebelah kanan titik 1 dan di sebelah kanan titik 2. Artinya x > -1, x > 1, x > 2 (Gbr. 7) Tetapi kemudian x-1>0, x+1>0, x - 2> 0, dan dengan demikian f (x)> 0 (sebagai produk dari pertidaksamaan rasional tiga positif bilangan). Jadi, pertidaksamaan f (x ) > 0.

Ambil sembarang titik x dari interval (1,2). Titik ini terletak pada garis bilangan di sebelah kanan titik-1, di sebelah kanan titik 1, tetapi di sebelah kiri titik 2. Oleh karena itu, x\u003e -1, x\u003e 1, tetapi x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Ambil sembarang titik x dari interval (-1,1). Titik ini terletak pada garis bilangan di sebelah kanan titik -1, di sebelah kiri titik 1 dan di sebelah kiri titik 2. Jadi x > -1, tetapi x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (sebagai produk dari dua bilangan negatif dan satu bilangan positif). Jadi, pada interval (-1,1) pertidaksamaan f (x) > 0 berlaku.

Akhirnya, ambil sembarang titik x dari sinar terbuka (-oo, -1). Titik ini terletak pada garis bilangan di sebelah kiri titik -1, di sebelah kiri titik 1 dan di sebelah kiri titik 2. Artinya x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Mari kita rangkum. Tanda-tanda ekspresi f (x) dalam interval yang dipilih adalah seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 11. Kami tertarik pada mereka yang memenuhi pertidaksamaan f (x) > 0. Dengan menggunakan model geometrik yang disajikan pada gambar. 11, kami menetapkan bahwa pertidaksamaan f (x) > 0 dipenuhi pada interval (-1, 1) atau pada balok terbuka
Menjawab: -1 < х < 1; х > 2.

Contoh 2 Selesaikan pertidaksamaan
Keputusan. Seperti pada contoh sebelumnya, kami akan menarik informasi yang diperlukan dari Gambar. 11, tetapi dengan dua perubahan dibandingkan dengan contoh 1. Pertama, karena kita tertarik pada nilai x yang memenuhi pertidaksamaan f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки Kedua, kami juga puas dengan titik-titik di mana persamaan f (x) = 0 terpenuhi Ini adalah poin -1, 1, 2, kami menandainya pada gambar dengan lingkaran hitam dan memasukkannya ke dalam jawaban. pada gambar. 12 menunjukkan model geometris dari respons, dari mana tidak sulit untuk pindah ke catatan analitik.
Menjawab:
CONTOH 3. Selesaikan pertidaksamaan
Keputusan. Mari kita memfaktorkan pembilang dan penyebut dari pecahan aljabar fx yang terdapat di ruas kiri pertidaksamaan. Di pembilang kami memiliki x 2 - x \u003d x (x - 1).

Untuk memfaktorkan trinomial kuadrat x 2 - bx ~ 6 yang terdapat pada penyebut pecahan, kita cari akar-akarnya. Dari persamaan x 2 - 5x - 6 \u003d 0 kami menemukan x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. Oleh karena itu, (kami menggunakan rumus untuk memfaktorkan trinomial persegi: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
Jadi, kami telah mengubah pertidaksamaan yang diberikan ke dalam bentuk

Pertimbangkan ekspresi:

Pembilang pecahan ini menjadi 0 pada titik 0 dan 1, dan menjadi 0 pada titik -1 dan 6. Mari kita tandai titik-titik tersebut pada garis bilangan (Gbr. 13). Garis numerik dibagi oleh titik-titik yang ditunjukkan menjadi lima interval, dan pada setiap interval ekspresi fx) mempertahankan tanda konstan. Berdebat dengan cara yang sama seperti pada Contoh 1, kita sampai pada kesimpulan bahwa tanda-tanda ekspresi fx) dalam interval yang dipilih adalah seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 13. Kami tertarik di mana pertidaksamaan f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 jawaban: -1

Contoh 4 Selesaikan pertidaksamaan

Keputusan. Ketika memecahkan pertidaksamaan rasional, sebagai aturan, mereka lebih suka meninggalkan hanya angka 0 di sisi kanan pertidaksamaan.Oleh karena itu, kami mengubah pertidaksamaan menjadi bentuk

Lebih jauh:

Seperti yang ditunjukkan oleh pengalaman, jika sisi kanan pertidaksamaan hanya berisi angka 0, akan lebih mudah untuk bernalar ketika pembilang dan penyebut di sisi kirinya memiliki koefisien awal yang positif. Dan apa yang kita miliki? Kami memiliki segalanya di penyebut pecahan dalam pengertian ini berurutan (koefisien utama, yaitu koefisien pada x 2, adalah 6 - angka positif), tetapi tidak semuanya dalam urutan pembilang - koefisien senior (koefisien pada x) adalah - 4 (bilangan negatif) Mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan -1 dan mengubah tanda pertidaksamaan menjadi lawannya, kita memperoleh pertidaksamaan yang setara

Mari kita memfaktorkan pembilang dan penyebut suatu pecahan aljabar. Di pembilang, semuanya sederhana:
Untuk memfaktorkan trinomial kuadrat yang terdapat pada penyebut suatu pecahan

(kami kembali menggunakan rumus untuk memfaktorkan trinomial persegi).
Jadi, kami telah mengurangi ketidaksetaraan yang diberikan ke bentuk

Perhatikan ekspresi

Pembilang pecahan ini berubah menjadi 0 pada titik dan penyebut - pada titik Kami mencatat titik-titik ini pada garis bilangan (Gbr. 14), yang dibagi dengan titik-titik yang ditunjukkan menjadi empat interval, dan pada setiap interval ekspresi f (x) mempertahankan tanda konstan (tanda-tanda ini ditunjukkan pada Gambar. 14). Kami tertarik pada interval di mana pertidaksamaan fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Dalam semua contoh yang dipertimbangkan, kami mengubah pertidaksamaan yang diberikan menjadi pertidaksamaan ekuivalen dalam bentuk f (x) > 0 atau f (x)<0,где
Dalam hal ini, jumlah faktor pembilang dan penyebut suatu pecahan bisa berapa saja. Kemudian titik a, b, c, e ditandai pada garis bilangan. dan menentukan tanda-tanda ekspresi f (x) pada interval yang dipilih. Kita perhatikan bahwa di paling kanan interval yang dipilih, pertidaksamaan f (x) > 0 terpenuhi, dan kemudian tanda-tanda ekspresi f (x) bergantian sepanjang interval (lihat Gambar 16a). Pergantian ini dengan mudah diilustrasikan dengan bantuan kurva bergelombang, yang ditarik dari kanan ke kiri dan dari atas ke bawah (Gbr. 166). Pada interval di mana kurva ini (kadang-kadang disebut kurva tanda) terletak di atas sumbu x, pertidaksamaan f (x) > 0 terpenuhi; dimana kurva ini terletak di bawah sumbu x, pertidaksamaan f(x)< 0.

Contoh 5 Selesaikan pertidaksamaan

Keputusan. Kita punya

(kedua bagian dari pertidaksamaan sebelumnya dikalikan 6).
Untuk menggunakan metode interval, tandai titik-titik pada garis bilangan (pada titik-titik ini pembilang pecahan yang terdapat di ruas kiri pertidaksamaan menghilang) dan titik-titik (pada titik-titik ini penyebut pecahan yang ditunjukkan menghilang). Biasanya, titik-titik ditandai secara skematis, dengan mempertimbangkan urutan yang mereka ikuti (mana yang ke kanan, mana yang ke kiri) dan tidak terlalu memperhatikan skalanya. Sudah jelas itu Situasinya lebih rumit dengan angka.Perkiraan pertama menunjukkan bahwa kedua angka sedikit lebih besar dari 2,6, dari mana tidak mungkin untuk menyimpulkan angka mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil. Misalkan (secara acak) bahwa Maka
Ternyata ketidaksetaraan yang benar, yang berarti tebakan kami dikonfirmasi: sebenarnya
Jadi,

Kami menandai 5 poin yang ditunjukkan dalam urutan yang ditunjukkan pada garis bilangan (Gbr. 17a). Atur tanda-tanda ekspresi
pada interval yang diperoleh: di paling kanan - tanda +, dan kemudian tanda-tanda bergantian (Gbr. 176). Mari kita menggambar kurva tanda dan memilih (dengan mengarsir) interval-interval yang memenuhi pertidaksamaan f(x) > 0 yang menarik bagi kita (Gbr. 17c). Akhirnya, kita memperhitungkan bahwa kita berbicara tentang pertidaksamaan tak tegas f (x) > 0, yang berarti bahwa kita juga tertarik pada titik-titik di mana ekspresi f (x) menghilang. Ini adalah akar-akar pembilang dari pecahan f (x), yaitu. poin kami menandainya pada Gambar. 17 di lingkaran hitam (dan, tentu saja, sertakan jawabannya). Sekarang inilah picnya. 17c memberikan model geometrik lengkap untuk solusi pertidaksamaan yang diberikan.

Informasi awal

Definisi 1

Pertidaksamaan berbentuk $f(x) >(≥)g(x)$, di mana $f(x)$ dan $g(x)$ adalah ekspresi rasional bilangan bulat, disebut pertidaksamaan rasional bilangan bulat.

Contoh pertidaksamaan rasional bilangan bulat adalah pertidaksamaan linier, kuadrat, kubik dengan dua variabel.

Definisi 2

Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan dari definisi $1$ disebut akar persamaan.

Contoh penyelesaian pertidaksamaan seperti ini:

Contoh 1

Selesaikan pertidaksamaan bilangan bulat $4x+3 >38-x$.

Keputusan.

Mari kita sederhanakan ketidaksetaraan ini:

Kami mendapat pertidaksamaan linier. Mari kita temukan solusinya:

Jawaban: $(7,∞)$.

Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan metode berikut untuk menyelesaikan seluruh ketidaksetaraan rasional.

Metode pemfaktoran

Metode ini akan menjadi sebagai berikut: Persamaan dalam bentuk $f(x)=g(x)$ ditulis. Persamaan ini direduksi menjadi $φ(x)=0$ (di mana $φ(x)=f(x)-g(x)$). Kemudian fungsi $φ(x)$ difaktorkan dengan pangkat terkecil yang mungkin. Aturan berlaku: Produk polinomial adalah nol ketika salah satunya adalah nol. Selanjutnya, akar yang ditemukan ditandai pada garis bilangan dan kurva tanda dibangun. Bergantung pada tanda pertidaksamaan awal, jawabannya tertulis.

Berikut adalah contoh solusi dengan cara ini:

Contoh 2

Selesaikan dengan memfaktorkan. $y^2-9

Keputusan.

Selesaikan persamaan $y^2-9

Dengan menggunakan rumus selisih kuadrat, kita peroleh

Menggunakan aturan persamaan ke nol dari produk faktor, kita memperoleh akar berikut: $3$ dan $-3$.

Mari kita menggambar kurva tanda:

Karena tandanya “kurang dari” pada pertidaksamaan awal, kita peroleh

Menjawab: $(-3,3)$.

Contoh 3

Selesaikan dengan memfaktorkan.

$x^3+3x+2x^2+6 0$

Keputusan.

Mari selesaikan persamaan berikut:

$x^3+3x+2x^2+6=0$

Kami mengambil faktor persekutuan dari dua suku pertama dan dari dua terakhir

$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$

Hilangkan faktor persekutuan $(x^2+3)$

$(x^2+3)(x+2)=0$

Menggunakan aturan kesetaraan ke nol dari produk faktor, kami memperoleh:

$x+2=0 \ dan \ x^2+3=0$

$x=-2$ dan "tidak ada akar"

Mari kita menggambar kurva tanda:

Karena pada pertidaksamaan awal tandanya "lebih besar dari atau sama dengan", kita peroleh

Menjawab: $(-∞,-2]$.

Bagaimana cara memperkenalkan variabel baru

Metode ini sebagai berikut: Persamaan dalam bentuk $f(x)=g(x)$ ditulis. Kami menyelesaikannya sebagai berikut: kami memperkenalkan variabel baru seperti itu untuk mendapatkan persamaan yang solusinya sudah diketahui. Kami kemudian menyelesaikannya dan kembali ke pengganti. Dari sini kita menemukan solusi dari persamaan pertama. Selanjutnya, akar yang ditemukan ditandai pada garis bilangan dan kurva tanda dibangun. Bergantung pada tanda pertidaksamaan awal, jawabannya tertulis.

Kami memberikan contoh penerapan metode ini menggunakan contoh pertidaksamaan derajat keempat:

Contoh 4

Mari kita selesaikan ketidaksetaraan.

$x^4+4x^2-21 >0$

Keputusan.

Mari kita selesaikan persamaannya:

Mari kita buat substitusi berikut:

Misalkan $x^2=u (di mana \ u >0)$, kita peroleh:

Kami akan menyelesaikan sistem ini menggunakan diskriminan:

$D=16+84=100=10^2$

Persamaan memiliki dua akar:

$x=\frac(-4-10)(2)=-7$ dan $x=\frac(-4+10)(2)=3$

Kembali ke penggantian:

$x^2=-7$ dan $x^2=3$

Persamaan pertama tidak memiliki solusi, dan dari $x=\sqrt(3)$ dan $x=-\sqrt(3)$ kedua

Mari kita menggambar kurva tanda:

Karena tanda “lebih besar dari” pada pertidaksamaan awal, kita peroleh

Menjawab:$(-∞,-\sqrt(3))∪(\sqrt(3),∞)$

Dengan bantuan pelajaran ini, Anda akan belajar tentang ketidaksetaraan rasional dan sistemnya. Sistem ketidaksetaraan rasional diselesaikan dengan bantuan transformasi yang setara. Definisi kesetaraan dipertimbangkan, metode penggantian ketidaksetaraan fraksional-rasional dengan kuadrat, dan juga memahami apa perbedaan antara pertidaksamaan dan persamaan dan bagaimana transformasi setara dilakukan.

Aljabar Kelas 9

Pengulangan terakhir dari kursus aljabar kelas 9

Ketidaksetaraan rasional dan sistemnya. Sistem ketidaksetaraan rasional.

1.1 Abstrak.

1. Transformasi setara dari ketidaksetaraan rasional.

Memutuskan ketidaksetaraan rasional berarti menemukan semua solusinya. Tidak seperti persamaan, saat menyelesaikan pertidaksamaan, sebagai aturan, ada banyak solusi. Jumlah solusi yang tak terbatas tidak dapat diverifikasi dengan substitusi. Oleh karena itu, perlu untuk mengubah pertidaksamaan asli sedemikian rupa sehingga pada setiap baris berikutnya diperoleh pertidaksamaan dengan himpunan solusi yang sama.

Ketidaksetaraan rasional diselesaikan hanya dengan setara atau transformasi setara. Transformasi seperti itu tidak mendistorsi himpunan solusi.

Definisi. Ketidaksetaraan rasional ditelepon setara jika himpunan penyelesaiannya sama.

Untuk menunjuk persamaan derajatnya gunakan tanda

2. Penyelesaian sistem pertidaksamaan

Pertidaksamaan pertama dan kedua adalah pertidaksamaan rasional pecahan. Metode untuk menyelesaikannya adalah kelanjutan alami dari metode untuk menyelesaikan pertidaksamaan linier dan kuadrat.

Mari kita pindahkan angka-angka di sisi kanan ke kiri dengan tanda yang berlawanan.

Akibatnya, 0 akan tetap di sisi kanan Transformasi ini setara. Hal ini ditunjukkan dengan tanda

Mari kita lakukan tindakan yang ditentukan aljabar. Kurangi "1" pada pertidaksamaan pertama dan "2" pada pertidaksamaan kedua.

3. Memecahkan pertidaksamaan dengan metode interval

1) Mari kita perkenalkan sebuah fungsi. Kita perlu tahu kapan fungsi ini kurang dari 0.

2) Temukan domain fungsi: penyebutnya tidak boleh 0. "2" adalah break point. Untuk x=2 fungsinya tak tentu.

3) Carilah akar-akar dari fungsi tersebut. Fungsinya adalah 0 jika pembilangnya 0.

Titik setel membagi sumbu numerik menjadi tiga interval - ini adalah interval keteguhan tanda. Pada setiap interval, fungsi mempertahankan tandanya. Mari kita tentukan tanda pada interval pertama. Ganti beberapa nilai. Misalnya, 100. Jelas bahwa pembilang dan penyebutnya lebih besar dari 0. Ini berarti bahwa seluruh pecahannya positif.

Mari kita tentukan tanda-tanda pada interval yang tersisa. Ketika melalui titik x=2, hanya penyebut yang berubah tanda. Ini berarti bahwa seluruh pecahan akan berubah tanda, dan akan menjadi negatif. Mari kita lakukan diskusi serupa. Saat melewati titik x=-3, hanya pembilangnya yang berubah tanda. Artinya, pecahan tersebut akan berubah tanda dan menjadi positif.

Kami memilih interval yang sesuai dengan kondisi pertidaksamaan. Warnai dan tuliskan sebagai pertidaksamaan

4. Menyelesaikan pertidaksamaan menggunakan pertidaksamaan kuadrat

Fakta penting.

Jika dibandingkan dengan 0 (dalam kasus pertidaksamaan yang tegas), pecahan dapat diganti dengan produk dari pembilang dan penyebut, atau pembilang atau penyebut dapat ditukar.

Hal ini terjadi karena ketiga pertidaksamaan dipenuhi asalkan u dan v memiliki tanda yang berbeda. Ketiga ketidaksetaraan ini setara.

Kami menggunakan fakta ini dan mengganti pertidaksamaan fraksional-rasional dengan kuadrat.

Mari selesaikan pertidaksamaan kuadrat.

Kami memperkenalkan fungsi kuadrat. Mari kita cari akarnya dan buat sketsa grafiknya.

Jadi cabang parabolanya naik. Di dalam interval akar, fungsi mempertahankan tanda. Dia negatif.

Di luar interval akar, fungsinya positif.

Penyelesaian pertidaksamaan pertama:

5. Penyelesaian pertidaksamaan

Mari kita perkenalkan sebuah fungsi:

Mari kita cari interval keteguhannya:

Untuk melakukan ini, kami menemukan akar dan titik diskontinuitas dari domain fungsi. Kami selalu memotong break point. (x \u003d 3/2) Kami memotong akarnya tergantung pada tanda pertidaksamaan. Ketidaksetaraan kami ketat. Karena itu, kami memotong akarnya.

Mari kita menempatkan tanda-tanda:

Mari kita tulis solusinya:

Mari kita selesaikan solusi sistemnya. Mari kita cari perpotongan himpunan penyelesaian pertidaksamaan pertama dan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kedua.

Menyelesaikan sistem pertidaksamaan berarti menemukan perpotongan himpunan penyelesaian pertidaksamaan pertama dan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kedua. Oleh karena itu, setelah menyelesaikan pertidaksamaan pertama dan kedua secara terpisah, perlu untuk menuliskan hasil yang diperoleh ke dalam satu sistem.

Mari kita gambarkan solusi pertidaksamaan pertama terhadap sumbu x.

Ketidaksetaraan rasional dan sistemnya. Sistem ketidaksetaraan rasional
Pengulangan terakhir dari kursus aljabar kelas 9

Aljabar Kelas 9

Pengulangan terakhir dari kursus aljabar kelas 9

Ketidaksetaraan rasional dan sistemnya. Sistem ketidaksetaraan rasional.

1.1 Abstrak.

1. Transformasi setara dari ketidaksetaraan rasional.

Ketidaksetaraan rasional diselesaikan hanya dengan setara atau transformasi setara. Transformasi seperti itu tidak mendistorsi himpunan solusi.

Definisi. Ketidaksetaraan rasional ditelepon setara jika himpunan penyelesaiannya sama.

Untuk menunjuk persamaan derajatnya gunakan tanda

2. Penyelesaian sistem pertidaksamaan

Pertidaksamaan pertama dan kedua adalah pertidaksamaan rasional pecahan. Metode untuk menyelesaikannya adalah kelanjutan alami dari metode untuk menyelesaikan pertidaksamaan linier dan kuadrat.

Mari kita pindahkan angka-angka di sisi kanan ke kiri dengan tanda yang berlawanan.

Akibatnya, 0 akan tetap di sisi kanan Transformasi ini setara. Hal ini ditunjukkan dengan tanda

Mari kita lakukan tindakan yang ditentukan aljabar. Kurangi "1" pada pertidaksamaan pertama dan "2" pada pertidaksamaan kedua.

3. Memecahkan pertidaksamaan dengan metode interval

1) Mari kita perkenalkan sebuah fungsi. Kita perlu tahu kapan fungsi ini kurang dari 0.

2) Temukan domain fungsi: penyebutnya tidak boleh 0. "2" adalah break point. Untuk x=2 fungsinya tak tentu.

3) Carilah akar-akar dari fungsi tersebut. Fungsinya adalah 0 jika pembilangnya 0.

Kami memilih interval yang sesuai dengan kondisi pertidaksamaan. Warnai dan tuliskan sebagai pertidaksamaan

4. Menyelesaikan pertidaksamaan menggunakan pertidaksamaan kuadrat

Fakta penting.

Jika dibandingkan dengan 0 (dalam kasus pertidaksamaan yang tegas), pecahan dapat diganti dengan produk dari pembilang dan penyebut, atau pembilang atau penyebut dapat ditukar.

Hal ini terjadi karena ketiga pertidaksamaan dipenuhi asalkan u dan v memiliki tanda yang berbeda. Ketiga ketidaksetaraan ini setara.

Kami menggunakan fakta ini dan mengganti pertidaksamaan fraksional-rasional dengan kuadrat.

Mari selesaikan pertidaksamaan kuadrat.

Kami memperkenalkan fungsi kuadrat. Mari kita cari akarnya dan buat sketsa grafiknya.

Jadi cabang parabolanya naik. Di dalam interval akar, fungsi mempertahankan tanda. Dia negatif.

Di luar interval akar, fungsinya positif.

Penyelesaian pertidaksamaan pertama:

5. Penyelesaian pertidaksamaan

Mari kita perkenalkan sebuah fungsi:

Mari kita cari interval keteguhannya:

Mari kita menempatkan tanda-tanda:

Mari kita tulis solusinya:

Mari kita selesaikan solusi sistemnya. Mari kita cari perpotongan himpunan penyelesaian pertidaksamaan pertama dan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kedua.

Mari kita gambarkan solusi pertidaksamaan pertama terhadap sumbu x.

Mari kita gambarkan solusi pertidaksamaan kedua di bawah sumbu.

Metode jarak- ini adalah cara universal untuk menyelesaikan hampir semua ketidaksetaraan yang terjadi dalam kursus aljabar sekolah. Ini didasarkan pada sifat-sifat fungsi berikut:

1. Fungsi kontinu g(x) dapat berubah tanda hanya pada titik yang sama dengan 0. Secara grafis, ini berarti bahwa grafik fungsi kontinu dapat berpindah dari satu setengah bidang ke setengah bidang lainnya hanya jika melintasi x- sumbu (kita ingat bahwa ordinat titik mana pun yang terletak pada sumbu OX (sumbu absis) sama dengan nol, yaitu, nilai fungsi pada titik ini adalah 0):

Kita melihat bahwa fungsi y=g(x) yang ditunjukkan pada grafik memotong sumbu OX di titik-titik x= -8, x=-2, x=4, x=8. Titik-titik ini disebut nol fungsi. Dan pada titik yang sama fungsi g(x) berubah tanda.

2. Fungsi juga dapat mengubah tanda pada nol penyebut - contoh paling sederhana dari fungsi yang terkenal:

Kita melihat bahwa fungsi berubah tanda pada akar penyebut, pada titik , tetapi tidak hilang pada titik manapun. Jadi, jika fungsi tersebut mengandung pecahan, ia dapat mengubah tanda pada akar-akar penyebutnya.

2. Namun, fungsi tidak selalu berubah tanda pada akar pembilang atau akar penyebut. Misalnya, fungsi y=x 2 tidak berubah tanda di titik x=0:

Karena persamaan x 2 \u003d 0 memiliki dua akar yang sama x \u003d 0, pada titik x \u003d 0, fungsinya, seolah-olah, berubah menjadi 0 dua kali. Akar seperti itu disebut akar dari multiplisitas kedua.

Fungsi mengubah tanda di nol dari pembilang, tetapi tidak mengubah tanda di nol dari penyebut: , karena akarnya adalah akar dari multiplisitas kedua, yaitu, dari multiplisitas genap:

Penting! Pada akar multiplisitas genap, fungsi tidak berubah tanda.

Catatan! Setiap non-linier ketidaksetaraan kursus aljabar sekolah, sebagai suatu peraturan, diselesaikan menggunakan metode interval.

Saya menawarkan Anda yang terperinci, berikut ini Anda dapat menghindari kesalahan saat menyelesaikan pertidaksamaan nonlinier.

1. Pertama, Anda perlu membawa ketidaksetaraan ke formulir

P(x)V0,

di mana V adalah tanda pertidaksamaan:<,>,≤ atau . Untuk ini, Anda perlu:

a) pindahkan semua suku ke ruas kiri pertidaksamaan,

b) temukan akar dari ekspresi yang dihasilkan,

c. faktorkan ruas kiri pertidaksamaan

d) tuliskan faktor-faktor yang sama dengan derajat.

Perhatian! Tindakan terakhir harus dilakukan agar tidak membuat kesalahan dengan multiplisitas akar - jika hasilnya adalah pengganda dalam derajat genap, maka akar yang sesuai memiliki multiplisitas genap.

2. Letakkan akar-akar yang ditemukan pada garis bilangan.

3. Jika pertidaksamaan tegas, maka lingkaran yang menunjukkan akar pada sumbu numerik dibiarkan "kosong", jika pertidaksamaan tidak tegas, maka lingkaran tersebut dicat ulang.

4. Kami memilih akar dari multiplisitas genap - di dalamnya P(x) tandanya tidak berubah.

5. Tentukan tandanya P(x) di sisi kanan celah. Untuk melakukan ini, ambil nilai arbitrer x 0, yang lebih besar dari akar terbesar dan substitusikan P(x).

Jika P(x 0)>0 (atau 0), maka pada interval paling kanan kita beri tanda "+".

Jika P(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

Ketika melewati sebuah titik yang menunjukkan akar kelipatan genap, tandanya TIDAK berubah.

7. Sekali lagi kita lihat tanda pertidaksamaan asli, dan pilih interval dari tanda yang kita butuhkan.

8. Perhatian! Jika pertidaksamaan kita TIDAK KETAT, maka kita periksa kondisi persamaan ke nol secara terpisah.

9. Tuliskan jawabannya.

Jika aslinya pertidaksamaan mengandung penyebut yang tidak diketahui, maka kami juga mentransfer semua istilah ke kiri, dan mengurangi sisi kiri pertidaksamaan ke bentuk

(di mana V adalah tanda pertidaksamaan:< или >)

Ketidaksetaraan ketat semacam ini setara dengan ketidaksetaraan

Tidak tegas ketidaksamaan bentuk

sama dengan sistem:

Dalam praktiknya, jika fungsi memiliki bentuk , maka kita lanjutkan sebagai berikut:

Carilah akar-akar pembilang dan penyebutnya.
Kami menempatkan mereka di poros. Semua lingkaran dibiarkan kosong. Kemudian, jika pertidaksamaannya tidak tegas, maka kita mengecat akar pembilangnya, dan selalu membiarkan akar penyebutnya kosong.
Selanjutnya, kami mengikuti algoritma umum:
Kami memilih akar multiplisitas genap (jika pembilang dan penyebut mengandung akar yang sama, maka kami menghitung berapa kali akar yang sama muncul). Tidak ada perubahan tanda pada akar kelipatan genap.
Kami menemukan tanda pada interval paling kanan.
Kami memasang tanda.
Dalam kasus pertidaksamaan tidak ketat, kondisi kesetaraan, kondisi kesetaraan ke nol, diperiksa secara terpisah.
Kami memilih interval yang diperlukan dan akar berdiri secara terpisah.
Kami menuliskan jawabannya.

Untuk lebih memahami algoritma untuk memecahkan ketidaksetaraan dengan metode interval, tonton PELAJARAN VIDEO di mana contoh dianalisis secara rinci penyelesaian pertidaksamaan dengan metode interval.

Portal untuk siswa. Latihan mandiri

Metode pemfaktoran

Bagaimana cara memperkenalkan variabel baru

ARTIKEL TERKAIT