Proses penyelesaian integral dalam sains disebut “matematika” disebut integrasi. Dengan bantuan integrasi, Anda dapat menemukan beberapa besaran fisik: luas, volume, massa benda, dan banyak lagi.

Integral tidak tentu dan pasti. Perhatikan bentuk integral tertentu dan coba pahami makna fisisnya. Muncul sebagai berikut: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Ciri khas penulisan integral tentu dari integral tak tentu adalah adanya batas-batas integrasi a dan b. Sekarang kita akan mencari tahu untuk apa mereka, dan apa arti integral tertentu. Dalam pengertian geometris, integral seperti itu sama dengan luas gambar yang dibatasi oleh kurva f(x), garis a dan b, dan sumbu Ox.

Dapat dilihat dari Gambar 1 bahwa integral tertentu adalah daerah yang diarsir abu-abu. Mari kita periksa dengan contoh sederhana. Mari kita cari luas gambar pada gambar di bawah ini menggunakan integrasi, lalu menghitungnya dengan cara biasa dengan mengalikan panjang dengan lebar.

Gambar 2 menunjukkan bahwa $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Sekarang kita substitusikan ke dalam definisi integral, kita peroleh bahwa $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(unit)^2 $$ Mari kita periksa dengan cara biasa. Dalam kasus kita, panjang = 3, lebar bentuk = 1. $$ S = \text(length) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(unit)^2 $$ Seperti yang Anda lihat, semuanya cocok dengan sempurna.

Muncul pertanyaan: bagaimana menyelesaikan integral tak tentu dan apa artinya? Solusi dari integral tersebut adalah menemukan fungsi antiturunan. Proses ini merupakan kebalikan dari mencari turunan. Untuk menemukan antiturunan, Anda dapat menggunakan bantuan kami dalam memecahkan masalah dalam matematika, atau Anda perlu secara akurat menghafal sifat-sifat integral dan tabel integrasi dari fungsi dasar paling sederhana sendiri. Mencari terlihat seperti ini $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(where) F(x) $ adalah antiturunan dari $ f(x), C = const $.

Untuk menyelesaikan integral, Anda perlu mengintegrasikan fungsi $ f(x) $ terhadap variabel. Jika fungsinya berbentuk tabel, maka jawabannya ditulis dalam bentuk yang sesuai. Jika tidak, maka proses direduksi untuk mendapatkan fungsi tabel dari fungsi $ f(x) $ dengan transformasi matematika yang rumit. Ada berbagai metode dan properti untuk ini, yang akan kita bahas di bawah ini.

Jadi, sekarang mari kita membuat algoritma bagaimana menyelesaikan integral untuk boneka?

Algoritma untuk menghitung integral

1. Tentukan integral tentu atau tidak.
2. Jika tidak terdefinisi, maka Anda perlu mencari fungsi antiturunan $ F(x) $ dari integral $ f(x) $ menggunakan transformasi matematis yang membawa fungsi $ f(x) $ ke bentuk tabel.
3. Jika didefinisikan, maka langkah 2 harus dilakukan, dan kemudian substitusikan limit $a$ dan $b$ ke dalam fungsi antiturunan $F(x)$. Dengan rumus apa untuk melakukan ini, Anda akan belajar di artikel "Rumus Newton Leibniz".

Contoh solusi

Jadi, Anda telah belajar bagaimana menyelesaikan integral untuk boneka, contoh pemecahan integral telah disortir di rak. Mereka belajar arti fisik dan geometris mereka. Metode penyelesaian akan dibahas di artikel lain.

Kalkulus integral.

fungsi primitif.

Definisi: Fungsi F(x) disebut fungsi antiturunan fungsi f(x) pada segmen , jika pada setiap titik segmen ini persamaannya benar:

Perlu dicatat bahwa bisa ada banyak antiturunan untuk fungsi yang sama. Mereka akan berbeda satu sama lain dengan beberapa nomor konstan.

F 1 (x) \u003d F 2 (x) + C.

integral tak tentu.

Definisi: integral tak tentu fungsi f(x) adalah himpunan fungsi antiturunan, yang didefinisikan oleh relasi:

Tuliskan:

Syarat adanya integral tak tentu pada suatu ruas tertentu adalah kontinuitas fungsi pada ruas tersebut.

Properti:

1.

2.

3.

4.

Contoh:

Menemukan nilai integral tak tentu terutama terkait dengan menemukan fungsi antiturunan. Untuk beberapa fungsi, ini adalah tugas yang cukup sulit. Di bawah ini kami akan mempertimbangkan metode untuk menemukan integral tak tentu untuk kelas fungsi utama - rasional, irasional, trigonometri, eksponensial, dll.

Untuk kenyamanan, nilai integral tak tentu dari sebagian besar fungsi dasar dikumpulkan dalam tabel integral khusus, yang terkadang sangat banyak. Mereka mencakup berbagai kombinasi fungsi yang paling umum. Tetapi sebagian besar rumus yang disajikan dalam tabel ini adalah konsekuensi satu sama lain, jadi di bawah ini adalah tabel integral dasar, yang dengannya Anda bisa mendapatkan nilai integral tak tentu dari berbagai fungsi.

Integral		Arti	Integral		Arti
		lnsinx+ C
		ln

Metode integrasi.

Mari kita pertimbangkan tiga metode dasar integrasi.

Integrasi langsung.

Metode integrasi langsung didasarkan pada asumsi nilai yang mungkin dari fungsi antiturunan dengan verifikasi lebih lanjut dari nilai ini dengan diferensiasi. Secara umum, kami mencatat bahwa diferensiasi adalah alat yang ampuh untuk memeriksa hasil integrasi.

Pertimbangkan penerapan metode ini pada contoh:

Diperlukan untuk menemukan nilai integral . Berdasarkan rumus diferensiasi yang terkenal
kita dapat menyimpulkan bahwa integral yang diinginkan sama dengan
, di mana C adalah suatu bilangan konstan. Namun, di sisi lain
. Dengan demikian, kita akhirnya dapat menyimpulkan:

Perhatikan bahwa, tidak seperti diferensiasi, di mana teknik dan metode yang jelas digunakan untuk menemukan turunan, aturan untuk menemukan turunan, dan akhirnya definisi turunan, metode tersebut tidak tersedia untuk integrasi. Jika, ketika menemukan turunan, kami menggunakan, sehingga untuk berbicara, metode konstruktif, yang, berdasarkan aturan tertentu, menghasilkan hasil, maka ketika menemukan antiturunan, kami harus mengandalkan terutama pada pengetahuan tentang tabel turunan dan antiturunan.

Adapun metode integrasi langsung, itu hanya berlaku untuk beberapa kelas fungsi yang sangat terbatas. Ada sangat sedikit fungsi yang antiturunannya dapat segera Anda temukan. Oleh karena itu, dalam banyak kasus, metode yang dijelaskan di bawah ini digunakan.

Metode substitusi (penggantian variabel).

Dalil: Jika Anda ingin mencari integralnya
, tetapi antiturunannya sulit dicari, maka dengan mengganti x=(t) dan dx=(t)dt, diperoleh:

Bukti : Mari kita bedakan persamaan yang diusulkan:

Menurut properti No. 2 di atas dari integral tak tentu:

f(x) dx = f[  (t)]  (t) dt

yang, dengan mempertimbangkan notasi yang diperkenalkan, adalah asumsi awal. Teorema terbukti.

Contoh. Tentukan integral tak tentu
.

Ayo buat penggantinya t = sinx, dt = coxdt.

Contoh.

Penggantian
Kita mendapatkan:

Di bawah ini kami akan mempertimbangkan contoh lain dari penggunaan metode substitusi untuk berbagai jenis fungsi.

Integrasi per bagian.

Metode ini didasarkan pada rumus terkenal untuk turunan suatu produk:

(uv)=uv+vu

di mana u dan v adalah beberapa fungsi dari x.

Dalam bentuk diferensial: d(uv) =udv+vdu

Setelah diintegrasikan, kita mendapatkan:
, dan sesuai dengan sifat-sifat integral tak tentu di atas:

atau
;

Kami telah memperoleh rumus integrasi-per-bagian yang memungkinkan kami menemukan integral dari banyak fungsi dasar.

Contoh.

Seperti yang Anda lihat, penerapan konsisten dari rumus integrasi-per-bagian memungkinkan Anda menyederhanakan fungsi secara bertahap dan membawa integral ke tabel.

Contoh.

Dapat dilihat bahwa sebagai akibat dari penerapan berulang-ulang dari integrasi per bagian, fungsi tersebut tidak dapat disederhanakan ke dalam bentuk tabel. Namun, integral terakhir yang diperoleh tidak berbeda dengan yang asli. Oleh karena itu, kami mentransfernya ke sisi kiri persamaan.

Dengan demikian, integral ditemukan tanpa menggunakan tabel integral sama sekali.

Sebelum mempertimbangkan secara rinci metode pengintegrasian berbagai kelas fungsi, kami memberikan beberapa contoh lagi untuk menemukan integral tak tentu dengan mereduksinya menjadi bentuk tabel.

Contoh.

Contoh.

Contoh.

Contoh.

Contoh.

Contoh.

Contoh.

Contoh.

Contoh.

Contoh.

Integrasi pecahan dasar.

Definisi: Dasar pecahan dari empat jenis berikut disebut:

SAYA.
AKU AKU AKU.

II.
IV.

m,n - bilangan asli (m2,n2) dan b 2 - 4ac<0.

Dua jenis integral pertama dari pecahan elementer cukup sederhana direduksi menjadi substitusi tabel t=ax+b.

Pertimbangkan metode untuk mengintegrasikan pecahan dasar bentuk III.

Integral dari pecahan tipe III dapat direpresentasikan sebagai:

Di sini, secara umum, pengurangan integral dari pecahan bentuk III menjadi dua integral tabel ditunjukkan.

Pertimbangkan penerapan rumus di atas dengan contoh.

Contoh.

Secara umum, jika trinomial ax 2 +bx+ekspresib 2 – 4ac>0, maka pecahan tersebut menurut definisinya tidak elementer, namun demikian dapat diintegralkan dengan cara di atas.

Contoh.

Contoh.

Sekarang mari kita pertimbangkan metode untuk mengintegrasikan pecahan paling sederhana dari tipe IV.

Pertama, pertimbangkan kasus khusus dengan M = 0, N = 1.

Maka integral dari bentuk
dapat diwakili dengan menyorot persegi penuh dalam penyebut sebagai
. Mari kita lakukan transformasi berikut:

Integral kedua yang termasuk dalam persamaan ini akan diambil bagian-bagiannya.

Menunjukkan:

Untuk integral asli kita peroleh:

Rumus yang dihasilkan disebut berulang. Jika Anda menerapkannya n-1 kali, Anda mendapatkan tabel integral
.

Mari kita kembali ke integral dari pecahan elementer dari bentuk IVc kasus umum.

Dalam persamaan yang dihasilkan, integral pertama menggunakan substitusi t = kamu 2 + s direduksi menjadi tabel , dan rumus berulang yang dipertimbangkan di atas diterapkan pada integral kedua.

Terlepas dari kerumitan yang tampak dalam pengintegrasian pecahan dasar tipe IV, dalam praktiknya cukup mudah untuk menerapkannya pada pecahan dengan derajat kecil n, dan universalitas dan keumuman pendekatan memungkinkan untuk menerapkan metode ini dengan sangat sederhana di komputer.

Contoh:

Integrasi fungsi rasional.

Integrasi pecahan rasional.

Untuk mengintegrasikan pecahan rasional, perlu untuk menguraikannya menjadi pecahan dasar.

Dalil: Jika sebuah
adalah pecahan rasional wajar yang penyebutnya P(x) direpresentasikan sebagai produk dari faktor linier dan kuadrat (perhatikan bahwa polinomial apa pun dengan koefisien real dapat direpresentasikan dalam bentuk ini: P(x) = (x - sebuah)  …(x - b)  (x 2 + px + q)  …(x 2 + rx + s)  ), maka pecahan ini dapat didekomposisi menjadi pecahan dasar sesuai dengan skema berikut:

di mana A i ,B i ,M i ,N i ,R i ,S i adalah beberapa nilai konstanta.

Ketika mengintegrasikan pecahan rasional, satu resor untuk mendekomposisi pecahan asli menjadi yang elementer. Untuk mencari nilai A i ,B i ,M i ,N i ,R i ,S saya menggunakan apa yang disebut metode koefisien tak tentu, yang intinya adalah agar dua polinomial identik sama, perlu dan cukup bahwa koefisien pada pangkat yang sama dari x harus sama.

Kami akan mempertimbangkan penerapan metode ini pada contoh spesifik.

Contoh.

Mengurangi penyebut yang sama dan menyamakan pembilang yang sesuai, kita mendapatkan:

Contoh.

Karena Jika pecahan tidak benar, maka Anda harus terlebih dahulu memilih bagian bilangan bulat darinya:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x– 7 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x3 + 8x2 - 76x - 7

9x 3 - 12x 2 - 51x +18

20x2-25x-25

Kami menguraikan penyebut dari pecahan yang dihasilkan menjadi faktor-faktor. Terlihat bahwa pada x = 3 penyebut pecahan menjadi nol. Kemudian:

3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6x- 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x- 2

Jadi 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6 = (x– 3)(3x 2 + 5x– 2) = (x– 3)(x+ 2)(3x– 1). Kemudian:

Untuk menghindari ketika menemukan koefisien kurung buka yang tidak pasti, mengelompokkan dan menyelesaikan sistem persamaan (yang dalam beberapa kasus mungkin menjadi cukup besar), yang disebut metode nilai arbitrer. Inti dari metode ini adalah bahwa beberapa (sesuai dengan jumlah koefisien yang tidak pasti) nilai x arbitrer diganti ke dalam ekspresi yang diperoleh di atas. Untuk menyederhanakan perhitungan, biasanya mengambil nilai arbitrer titik-titik di mana penyebut pecahan sama dengan nol, mis. dalam kasus kami - 3, -2, 1/3. Kita mendapatkan:

Akhirnya kita mendapatkan:

=

Contoh.

Mari kita cari koefisien tak tentu:

Maka nilai integral yang diberikan:

Integrasi beberapa trigonometri

fungsi.

Ada banyak integral fungsi trigonometri yang tak terhingga. Sebagian besar integral ini tidak dapat dihitung secara analitis sama sekali, jadi mari kita pertimbangkan beberapa jenis fungsi utama yang selalu dapat diintegrasikan.

Integral dari bentuk
.

Di sini R adalah penunjukan beberapa fungsi rasional dari variabel sinx dan cosx.

Integral jenis ini dihitung menggunakan substitusi
. Substitusi ini memungkinkan Anda untuk mengubah fungsi trigonometri menjadi fungsi rasional.

,

Kemudian

Lewat sini:

Transformasi yang dijelaskan di atas disebut substitusi trigonometri universal.

Contoh.

Keuntungan yang tidak diragukan dari substitusi ini adalah selalu dapat digunakan untuk mengubah fungsi trigonometri menjadi fungsi rasional dan menghitung integral yang sesuai. Kerugiannya termasuk fakta bahwa transformasi dapat menghasilkan fungsi rasional yang agak kompleks, yang integrasinya akan memakan banyak waktu dan usaha.

Namun, jika tidak mungkin menerapkan perubahan variabel yang lebih rasional, metode ini adalah satu-satunya yang efektif.

Contoh.

Integral dari bentuk
jika

fungsiRcosx.

Terlepas dari kemungkinan menghitung integral seperti itu menggunakan substitusi trigonometri universal, lebih rasional untuk menerapkan substitusi t = sinx.

Fungsi
dapat berisi cosx hanya untuk pangkat genap, dan karena itu dapat dikonversi ke fungsi rasional sehubungan dengan sinx.

Contoh.

Secara umum, untuk menerapkan metode ini, hanya keanehan fungsi terhadap kosinus yang diperlukan, dan derajat sinus yang termasuk dalam fungsi dapat berupa apa saja, baik bilangan bulat maupun pecahan.

Integral dari bentuk
jika

fungsiRaneh sehubungan dengansinx.

Dengan analogi dengan kasus yang dipertimbangkan di atas, substitusi t = cosx.

Contoh.

Integral dari bentuk

fungsiRbahkan relatifsinxdancosx.

Untuk mengubah fungsi R menjadi fungsi rasional, digunakan substitusi

t = tgx.

Contoh.

Integral dari produk sinus dan cosinus

berbagai argumen.

Tergantung pada jenis pekerjaan, salah satu dari tiga formula akan diterapkan:

Contoh.

Contoh.

Terkadang, ketika mengintegrasikan fungsi trigonometri, akan lebih mudah untuk menggunakan rumus trigonometri terkenal untuk mengurangi urutan fungsi.

Contoh.

Contoh.

Terkadang beberapa trik non-standar digunakan.

Contoh.

Integrasi beberapa fungsi irasional.

Tidak setiap fungsi irasional dapat memiliki integral yang dinyatakan oleh fungsi elementer. Untuk menemukan integral dari suatu fungsi irasional, seseorang harus menerapkan substitusi yang memungkinkannya mengubah fungsi tersebut menjadi fungsi rasional, yang integralnya selalu dapat ditemukan, seperti yang diketahui, selalu.

Pertimbangkan beberapa teknik untuk mengintegrasikan berbagai jenis fungsi irasional.

Integral dari bentuk
di manan- bilangan asli.

Dengan bantuan substitusi
fungsinya dirasionalisasi.

Contoh.

Jika fungsi irasional mencakup akar derajat yang berbeda, maka adalah rasional untuk mengambil sebagai variabel baru akar derajat yang sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari kekuatan akar yang termasuk dalam ekspresi.

Mari kita ilustrasikan ini dengan sebuah contoh.

Contoh.

Integrasi diferensial binomial.

Definisi: Diferensial binomial disebut ekspresi

x m (sebuah + bx n ) p dx

di mana m, n, dan p adalah bilangan rasional.

Seperti yang dibuktikan oleh Akademisi Chebyshev P.L. (1821-1894), integral dari diferensial binomial hanya dapat dinyatakan dalam fungsi dasar dalam tiga kasus berikut:

Jika sebuah R adalah bilangan bulat, maka integral tersebut dirasionalisasikan menggunakan substitusi

, di mana adalah penyebut yang sama m dan n.

integral tak tentu.
Contoh Solusi Rinci

Dalam pelajaran ini, kita akan mulai mempelajari topik integral tak tentu, dan juga menganalisis secara rinci contoh solusi untuk integral paling sederhana (dan tidak cukup). Pada artikel ini, saya akan membatasi diri pada teori minimum, dan sekarang tugas kita adalah mempelajari cara menyelesaikan integral.

Apa yang perlu Anda ketahui untuk berhasil menguasai materi? Untuk mengatasi kalkulus integral, Anda harus dapat menemukan turunan, setidaknya pada tingkat rata-rata. Karena itu, jika materi diluncurkan, saya sarankan Anda terlebih dahulu membaca pelajaran dengan cermat. Bagaimana cara mencari turunannya? dan Turunan dari fungsi majemuk. Ini tidak akan menjadi pengalaman yang berlebihan jika Anda memiliki beberapa lusin (lebih disukai seratus) turunan yang ditemukan secara independen di belakang Anda. Paling tidak, Anda tidak perlu bingung dengan tugas untuk membedakan fungsi yang paling sederhana dan paling umum. Tampaknya, apa hubungannya turunan dengan itu jika artikel berfokus pada integral?! Dan inilah masalahnya. Faktanya mencari turunan dan integral tak tentu (diferensiasi dan integrasi) adalah dua tindakan yang saling berbanding terbalik, seperti penjumlahan/pengurangan atau perkalian/pembagian. Jadi, tanpa keterampilan (+ semacam pengalaman) untuk menemukan turunan, sayangnya, seseorang tidak dapat maju lebih jauh.

Dalam hal ini, kita membutuhkan bahan metodologis berikut: Tabel turunan dan Tabel integral. Panduan bantuan dapat dibuka, diunduh, atau dicetak di halaman Rumus dan tabel matematika.

Apa kesulitan mempelajari integral tak tentu? Jika dalam turunan ada 5 aturan diferensiasi yang ketat, tabel turunan dan algoritma tindakan yang cukup jelas, maka dalam integral semuanya berbeda. Ada lusinan metode dan teknik integrasi. Dan, jika metode integrasi pada awalnya dipilih secara tidak benar (yaitu, Anda tidak tahu bagaimana menyelesaikannya), maka integral dapat "ditusuk" secara harfiah selama berhari-hari, seperti rebus nyata, mencoba memperhatikan berbagai trik dan trik. Beberapa bahkan menyukainya. Omong-omong, ini bukan lelucon, saya cukup sering mendengar dari siswa pendapat seperti “Saya tidak pernah tertarik untuk memecahkan batas atau turunan, tetapi integral adalah masalah yang sama sekali berbeda, itu mengasyikkan, selalu ada keinginan untuk "memecahkan" integral yang kompleks." Berhenti. Cukup humor hitam, mari kita beralih ke integral yang sangat tak tentu ini.

Karena ada banyak cara untuk menyelesaikannya, lalu dari mana teko mulai mempelajari integral tak tentu? Dalam kalkulus integral, menurut saya, ada tiga pilar atau semacam "sumbu" yang mengelilingi segala sesuatu yang lain. Pertama-tama, Anda harus memiliki pemahaman yang baik tentang integral paling sederhana (artikel ini). Maka Anda perlu mengerjakan pelajaran secara detail. INI ADALAH PENERIMAAN PALING PENTING! Bahkan mungkin artikel terpenting dari semua artikel saya tentang integral. Dan, ketiga, Anda harus membiasakan diri dengan metode integrasi per bagian, karena dengan bantuannya, kelas fungsi yang luas terintegrasi. Jika Anda menguasai setidaknya tiga pelajaran ini, maka sudah ada "bukan dua". Mereka dapat "memaafkan" Anda karena tidak mengetahui integral dari fungsi trigonometri, integral dari pecahan, integral dari fungsi pecahan-rasional, integral dari fungsi irasional (akar), tetapi jika Anda "masuk ke genangan air" pada metode penggantian atau metode integrasi dengan bagian, maka itu akan menjadi sangat, sangat buruk.

Di Runet, demotivator sekarang sangat umum. Dalam konteks mempelajari integral, sebaliknya, itu hanya perlu MOTIVATOR. Seperti dalam lelucon tentang Vasily Ivanovich, yang memotivasi Petka dan Anka. Dear para pemalas, freeloader, dan siswa normal lainnya, pastikan untuk membaca yang berikut ini. Pengetahuan dan keterampilan integral tak tentu akan dibutuhkan dalam pembelajaran selanjutnya, khususnya pada saat mempelajari integral tentu, integral tak wajar, persamaan diferensial di tahun ke-2. Kebutuhan untuk mengambil integral muncul bahkan dalam teori probabilitas! Lewat sini, tanpa integral, jalan ke sesi musim panas dan kursus ke-2 AKAN SANGAT TUTUP. Aku serius. Kesimpulannya begini. Semakin banyak integral dari berbagai jenis yang Anda pecahkan, semakin mudah kehidupan di kemudian hari.. Ya, itu akan memakan waktu cukup lama, ya, kadang-kadang Anda tidak menyukainya, ya, kadang-kadang "ya, ara dengannya, dengan integral ini, mungkin Anda tidak akan ketahuan." Tapi, pemikiran selanjutnya harus menginspirasi dan menghangatkan jiwa, usaha Anda akan terbayar lunas! Anda akan memecahkan persamaan diferensial seperti kacang dan dengan mudah menangani integral yang akan Anda temui di bagian lain dari matematika yang lebih tinggi. Setelah secara kualitatif berurusan dengan integral tak tentu, ANDA SEBENARNYA MENGUASAI BEBERAPA BAGIAN MENARA LEBIH BANYAK.

Jadi saya hanya bisa membuat kursus intensif pada teknik integrasi, yang ternyata sangat singkat - mereka yang ingin dapat menggunakan buku pdf dan mempersiapkan SANGAT cepat. Tetapi materi situs ini sama sekali tidak lebih buruk!

Jadi, mari kita mulai dari yang sederhana. Mari kita lihat tabel integral. Seperti dalam turunan, kita melihat beberapa aturan integrasi dan tabel integral dari beberapa fungsi dasar. Sangat mudah untuk melihat bahwa integral tabular apa pun (dan tentu saja integral tak tentu) memiliki bentuk:

Langsung saja ke notasi dan istilahnya:

- ikon integral.

- fungsi integrand (ditulis dengan huruf "s").

- ikon diferensial. Saat menulis integral dan selama penyelesaian, penting untuk tidak kehilangan ikon ini. Akan ada cacat yang mencolok.

adalah integran atau "isian" dari integral.

– fungsi antiturunan.

adalah himpunan fungsi antiturunan. Anda tidak perlu terlalu sarat dengan istilah, yang terpenting adalah bahwa dalam integral tak tentu, sebuah konstanta ditambahkan ke jawabannya.

Memecahkan integral berarti menemukan fungsi tertentu menggunakan beberapa aturan, teknik, dan tabel.

Mari kita lihat lagi entrinya:

Mari kita lihat tabel integral.

Apa yang terjadi? Bagian kiri kami sedang berputar untuk fungsi lain: .

Mari kita sederhanakan definisi kita.

Menyelesaikan integral tak tentu berarti MENGUBAHnya menjadi fungsi pasti, menggunakan beberapa aturan, teknik, dan tabel.

Ambil, misalnya, integral tabel . Apa yang terjadi? berubah menjadi fungsi.

Seperti halnya turunan, untuk mempelajari cara mencari integral, tidak perlu mengetahui apa itu integral, fungsi antiturunan dari sudut pandang teoretis. Cukup dengan melakukan transformasi menurut beberapa aturan formal. Jadi, dalam kasus sama sekali tidak perlu untuk memahami mengapa integral berubah menjadi tepat. Meskipun dimungkinkan untuk menerima ini dan formula lainnya begitu saja. Setiap orang menggunakan listrik, tetapi hanya sedikit orang yang berpikir tentang bagaimana elektron berjalan di sepanjang kabel.

Karena diferensiasi dan integrasi adalah operasi yang berlawanan, maka untuk setiap antiturunan yang ditemukan Baik, berikut ini benar:

Dengan kata lain, jika jawaban yang benar dibedakan, maka integran asli harus diperoleh.

Mari kita kembali ke integral tabel yang sama .

Mari kita verifikasi validitas rumus ini. Kami mengambil turunan dari sisi kanan:

adalah integran asli.

Omong-omong, menjadi lebih jelas mengapa konstanta selalu ditugaskan ke suatu fungsi. Saat mendiferensiasikan, konstanta selalu berubah menjadi nol.

Selesaikan integral tak tentu artinya menemukan banyak semua antiturunan, dan bukan fungsi tunggal. Dalam contoh tabel yang dipertimbangkan, , , , dll. - semua fungsi ini adalah solusi dari integral . Ada banyak solusi yang tak terhingga, jadi mereka menulis secara singkat:

Jadi, integral tak tentu apa pun cukup mudah untuk diperiksa (tidak seperti turunan, di mana pemeriksaan seratus pound yang baik hanya dapat dilakukan dengan bantuan program matematika). Ini adalah beberapa kompensasi untuk sejumlah besar integral dari jenis yang berbeda.

Mari kita beralih ke contoh spesifik. Mari kita mulai, seperti dalam studi turunan,
dengan dua aturan integrasi, juga disebut sifat linearitas integral tak tentu:

– faktor konstan dapat (dan harus) dikeluarkan dari tanda integral.

– integral jumlah aljabar dua fungsi sama dengan jumlah aljabar dua integral masing-masing fungsi secara terpisah. Properti ini berlaku untuk sejumlah persyaratan.

Seperti yang Anda lihat, aturannya pada dasarnya sama dengan turunan.

Contoh 1

Solusi: Akan lebih mudah untuk menulis ulang di atas kertas.

(1) Menerapkan aturan . Jangan lupa untuk menuliskan tanda diferensial di bawah setiap integral. Mengapa di bawah masing-masing? adalah pengganda penuh, jika Anda melukis solusinya dengan sangat detail, maka langkah pertama harus ditulis sebagai berikut:

(2) Menurut aturan , kita keluarkan semua konstanta dari tanda-tanda integral. Harap dicatat bahwa dalam istilah terakhir itu adalah konstanta, kami juga mengeluarkannya.
Selain itu, pada langkah ini kita menyiapkan akar dan derajat untuk integrasi. Dengan cara yang sama seperti diferensiasi, akar harus direpresentasikan dalam bentuk. Akar dan derajat yang terletak di penyebut - naik.

! Catatan: tidak seperti turunan, akar dalam integral tidak harus selalu dibawa ke bentuk, tetapi derajatnya harus dipindahkan ke atas. Misalnya, adalah integral tabular yang sudah jadi, dan segala macam trik Cina seperti sama sekali tidak perlu. Demikian pula: - juga integral tabular, tidak masuk akal untuk mewakili pecahan dalam bentuk. Pelajari tabel dengan cermat!

(3) Semua integral adalah tabel. Kami melakukan transformasi menggunakan tabel, menggunakan rumus: , dan .
Saya memberikan perhatian khusus pada rumus untuk mengintegrasikan fungsi daya , itu terjadi sangat sering, lebih baik untuk mengingatnya. Perlu dicatat bahwa integral tabel adalah kasus khusus dari rumus yang sama: .
Cukup menambahkan konstanta satu kali di akhir ekspresi (dan tidak menempatkannya setelah setiap integral).
(4) Kami menulis hasil yang diperoleh dalam bentuk yang lebih kompak, kami kembali mewakili semua derajat bentuk sebagai akar, derajat dengan eksponen negatif direset kembali ke penyebut.

Penyelidikan. Untuk melakukan pemeriksaan, Anda perlu membedakan jawaban yang diterima:

Awal integral, sehingga integral ditemukan dengan benar. Dari apa yang mereka tarian, untuk itu mereka kembali. Kamu tahu, sangat bagus ketika cerita dengan integral berakhir begitu saja.

Dari waktu ke waktu ada pendekatan yang sedikit berbeda untuk memeriksa integral tak tentu, bukan turunannya, tetapi diferensialnya diambil dari jawaban:

Yang paham dari semester pertama paham, tapi sekarang kita tidak tertarik dengan seluk-beluk teori, tapi yang penting apa yang harus dilakukan dengan diferensial ini. Perlu diungkap, dan dari segi teknis formal ini hampir sama dengan mencari turunan. Diferensial terungkap sebagai berikut: kami menghapus ikon, kami menempatkan goresan di kanan di atas braket, di akhir ekspresi kami mengaitkan pengali:

Diterima asli integral, sehingga integral ditemukan dengan benar.

Saya suka cara kedua untuk memeriksa lebih sedikit, karena saya juga harus menggambar tanda kurung besar dan menyeret ikon diferensial ke akhir pemeriksaan. Meskipun lebih tepat atau "lebih padat" atau sesuatu.

Sebenarnya, saya biasanya bisa diam tentang metode verifikasi kedua. Intinya bukan pada metodenya, tetapi pada kenyataan bahwa kita telah belajar membuka diferensial. Lagi.

Diferensial terungkap sebagai berikut::

1) hapus ikon;
2) beri tanda guratan di sebelah kanan atas tanda kurung (sebutan turunan);
3) di akhir ekspresi kami mengatribusikan faktor .

Sebagai contoh:

Ingat ini. Kami akan membutuhkan teknik yang dipertimbangkan segera.

Contoh 2

Temukan integral tak tentu. Jalankan cek.

Ketika kami menemukan integral tak tentu, kami SELALU mencoba untuk memeriksa Selain itu, ada peluang besar untuk ini. Tidak semua jenis masalah dalam matematika yang lebih tinggi adalah hadiah dari sudut pandang ini. Tidak masalah bahwa verifikasi seringkali tidak diperlukan dalam tugas kontrol, tidak ada seorang pun, dan tidak ada yang mencegahnya dilakukan pada konsep. Pengecualian hanya dapat dilakukan ketika tidak ada cukup waktu (misalnya, saat ujian, ujian). Secara pribadi, saya selalu memeriksa integral, dan saya menganggap kurangnya verifikasi sebagai peretasan dan tugas yang tidak diselesaikan dengan baik.

Contoh 3

Temukan integral tak tentu. Jalankan cek.

Solusi: Menganalisis integral, kita melihat bahwa kita memiliki produk dari dua fungsi, dan bahkan menaikkan seluruh ekspresi ke pangkat. Sayangnya, di bidang pertempuran integral tidak ada formula yang baik dan nyaman untuk mengintegrasikan produk dan hasil bagi , .

Dan oleh karena itu, ketika sebuah produk atau hasil bagi diberikan, selalu masuk akal untuk melihat apakah mungkin untuk mengubah integran menjadi jumlah?

Contoh yang dipertimbangkan adalah kasus jika memungkinkan. Pertama saya akan memberikan solusi lengkapnya, komentarnya ada di bawah.

(1) Kami menggunakan rumus lama yang baik dari kuadrat jumlah, menyingkirkan derajat.

(2) Kami memasukkan tanda kurung, menyingkirkan produk.

Contoh 4

Temukan integral tak tentu. Jalankan cek.

Ini adalah contoh untuk pemecahan diri sendiri. Jawab dan selesaikan solusi di akhir pelajaran.

Contoh 5

Temukan integral tak tentu. Jalankan cek.

Dalam contoh ini, integran adalah pecahan. Ketika kita melihat pecahan dalam integral, pikiran pertama seharusnya adalah pertanyaan: Apakah mungkin untuk menghilangkan pecahan ini, atau setidaknya menyederhanakannya?

Kita perhatikan bahwa penyebutnya mengandung akar tunggal dari "x". Satu di lapangan bukanlah seorang pejuang, yang berarti Anda dapat membagi pembilang menjadi penyebut istilah dengan istilah:

Saya tidak mengomentari tindakan dengan kekuatan pecahan, karena mereka telah berulang kali dibahas dalam artikel tentang turunan dari suatu fungsi. Jika Anda masih bingung dengan contoh seperti itu, dan Anda tidak bisa mendapatkan jawaban yang benar dengan cara apa pun, maka saya sarankan untuk beralih ke buku teks sekolah. Dalam matematika yang lebih tinggi, pecahan dan operasi dengan mereka ditemui di setiap langkah.

Perhatikan juga bahwa solusinya melewatkan satu langkah, yaitu menerapkan aturan , . Biasanya, bahkan dengan pengalaman awal memecahkan integral, sifat-sifat ini diterima begitu saja dan tidak dijelaskan secara rinci.

Contoh 6

Temukan integral tak tentu. Jalankan cek.

Ini adalah contoh untuk pemecahan diri sendiri. Jawab dan selesaikan solusi di akhir pelajaran.

Dalam kasus umum, dengan pecahan dalam integral, semuanya tidak begitu sederhana, materi tambahan tentang integrasi pecahan dari beberapa jenis dapat ditemukan di artikel Integrasi beberapa pecahan.

! Tapi, sebelum melanjutkan ke artikel di atas, Anda perlu membaca pelajarannya. Metode penggantian integral tak tentu. Faktanya adalah bahwa menjumlahkan fungsi di bawah diferensial atau metode perubahan variabel adalah Inti dalam studi topik, karena ditemukan tidak hanya "dalam tugas murni untuk metode penggantian", tetapi juga dalam banyak varietas integral lainnya.

Saya benar-benar ingin memasukkan beberapa contoh lagi dalam pelajaran ini, tetapi sekarang saya sedang mengetik teks ini di Verde dan saya perhatikan bahwa artikel tersebut telah berkembang menjadi ukuran yang layak.
Dan kursus pengantar integral untuk boneka telah berakhir.

Semoga tercapai!

Solusi dan jawaban:

Contoh 2: Larutan:

Contoh 4: Larutan:

Dalam contoh ini, kami menggunakan rumus perkalian tereduksi

Contoh 6: Larutan:

Saya memeriksa, apakah Anda? ;)

Aplikasi

Integral online ke situs untuk mengkonsolidasikan materi yang dicakup oleh siswa dan anak sekolah. Dan latih keterampilan praktis Anda. Solusi lengkap integral online untuk Anda dalam beberapa saat akan membantu Anda menentukan semua tahapan proses. Setiap kali Anda mulai menyelesaikan integral online, Anda perlu mengidentifikasi jenisnya, yang tanpanya Anda tidak dapat menggunakan metode apa pun, kecuali untuk tabel integral. Tidak setiap integral tabel terlihat jelas dari contoh yang diberikan, terkadang Anda perlu mengubah fungsi aslinya untuk menemukan antiturunan. Dalam praktiknya, solusi integral turun ke interpretasi masalah menemukan yang asli, yaitu antiturunan dari keluarga fungsi yang tak terbatas, tetapi jika batas-batas integrasi diberikan, maka menurut rumus Newton-Leibniz, tetap ada hanya satu fungsi tunggal yang perhitungannya diterapkan. Integral online adalah integral tak tentu online dan integral tak tentu online. Integral dari fungsi online adalah jumlah dari semua angka yang dimaksudkan untuk integrasinya. Oleh karena itu, secara informal, integral pasti online adalah area antara grafik fungsi dan sumbu x dalam integrasi. Contoh penyelesaian masalah integral. Mari kita hitung integral kompleks atas satu variabel dan menghubungkan jawabannya dengan solusi lebih lanjut dari masalah tersebut. Anda dapat, seperti yang mereka katakan, secara langsung menemukan integral dari integran. Integral apa pun dengan akurasi tinggi menentukan luas gambar yang dibatasi oleh garis. Ini adalah salah satu makna geometrisnya. Metode ini membuat segalanya lebih mudah bagi siswa. Beberapa tahapan, pada kenyataannya, tidak akan banyak berpengaruh pada analisis vektor. Integral fungsi online adalah konsep dasar kalkulus integral Memecahkan integral tak tentu. Menurut teorema dasar analisis, integrasi adalah operasi kebalikan dari diferensiasi, yang membantu menyelesaikan persamaan diferensial. Ada beberapa definisi yang berbeda dari operasi integrasi, berbeda dalam rincian teknis. Namun, semuanya kompatibel, yaitu, dua metode integrasi apa pun, jika dapat diterapkan pada fungsi tertentu, akan memberikan hasil yang sama. Yang paling sederhana adalah integral Riemann - integral tertentu atau integral tak tentu. Secara informal, integral dari suatu fungsi dari satu variabel dapat diperkenalkan sebagai luas di bawah grafik (gambar terlampir di antara grafik fungsi dan sumbu x). Setiap submasalah tersebut dapat membenarkan bahwa akan sangat diperlukan untuk menghitung integral pada awal pendekatan penting. Jangan lupakan itu! Mencoba menemukan area ini, orang dapat mempertimbangkan gambar yang terdiri dari sejumlah persegi panjang vertikal, yang alasnya bersama-sama membentuk segmen integrasi dan diperoleh dengan membagi segmen menjadi jumlah segmen kecil yang sesuai. Memecahkan integral online Integral online - integral tak tentu online dan integral tak tentu online. Memecahkan integral online: integral tak tentu online dan integral tak tentu online. Kalkulator memecahkan integral dengan deskripsi tindakan secara rinci dan gratis! Integral tak tentu online untuk suatu fungsi adalah totalitas semua antiturunan dari fungsi yang diberikan. Jika suatu fungsi didefinisikan dan kontinu pada suatu interval, maka ia memiliki fungsi antiturunan (atau keluarga antiturunan). Integral hanya mendefinisikan ekspresi, kondisi yang Anda tetapkan pada saat terjadinya kebutuhan tersebut. Lebih baik mendekati masalah ini dengan hati-hati dan mengalami kepuasan batin dari pekerjaan yang dilakukan. Tetapi untuk menghitung integral dengan cara yang berbeda dari yang klasik, terkadang menghasilkan hasil yang tidak terduga dan orang tidak perlu terkejut dengan hal ini. Senang dengan fakta bahwa akan berdampak positif pada apa yang terjadi. Daftar integral tertentu dan integral tak tentu dari integral dengan solusi langkah demi langkah yang terperinci. Semua integral dengan solusi terperinci online. integral tak tentu. Menemukan integral tak tentu secara online adalah tugas yang sangat umum dalam matematika tingkat tinggi dan cabang ilmu teknis lainnya. Metode dasar integrasi. Definisi integral, integral tertentu dan integral tak tentu, tabel integral, rumus Newton-Leibniz. Dan lagi, Anda dapat menemukan integral Anda menggunakan tabel ekspresi integral, tetapi Anda masih harus sampai pada ini, karena tidak semuanya sesederhana kelihatannya pada pandangan pertama. Pikirkan tentang bangunan yang telah selesai sebelum kesalahan ditemukan. Integral tentu dan metode perhitungannya. Integral tentu online dengan batas atas variabel. Menyelesaikan integral secara online. Contoh apa pun yang akan membantu menghitung integral menggunakan rumus tabel akan menjadi panduan yang berguna bagi siswa dari tingkat pelatihan apa pun. Langkah terpenting menuju jawaban yang benar Integral online. Integral tak tentu yang memuat fungsi eksponensial dan logaritma. Memecahkan integral online - Anda akan mendapatkan solusi terperinci untuk berbagai jenis integral: tak tentu, pasti, tak wajar. Kalkulator Integral Pasti menghitung integral tertentu online dari suatu fungsi pada suatu interval menggunakan integrasi numerik. Integral suatu fungsi dianalogikan dengan jumlah suatu barisan. Secara informal, integral tertentu adalah luas bagian dari grafik suatu fungsi. Solusi integral online Integral online - integral tak tentu online dan integral tak tentu online. Seringkali, integral semacam itu menentukan seberapa berat suatu benda lebih berat daripada benda dengan kepadatan yang sama dibandingkan dengannya, dan tidak peduli apa bentuknya, karena permukaannya tidak menyerap air. Memecahkan integral online.. Integral online - integral tak tentu online dan integral tak tentu online. Setiap mahasiswa sarjana tahu bagaimana menemukan integral secara online. Berdasarkan kurikulum sekolah, bagian matematika ini juga dipelajari, tetapi tidak secara rinci, tetapi hanya dasar-dasar dari topik yang begitu kompleks dan penting. Dalam kebanyakan kasus, siswa mulai mempelajari integral dengan teori ekstensif, yang juga didahului dengan topik-topik penting, seperti turunan dan bagian-bagian ke limit - mereka juga limit. Penyelesaian integral secara bertahap dimulai dengan contoh paling dasar dari fungsi sederhana, dan berakhir dengan penerapan banyak pendekatan dan aturan yang diusulkan pada abad terakhir dan bahkan lebih awal. Kalkulus integral bersifat eksplorasi di bacaan dan sekolah, yaitu di lembaga pendidikan menengah. Situs situs kami akan selalu membantu Anda dan menyelesaikan integral secara online akan menjadi tugas biasa, dan yang paling penting, dapat dipahami bagi Anda. Berdasarkan sumber ini, Anda dapat dengan mudah mencapai keunggulan di bagian matematika ini. Memahami aturan yang dipelajari langkah demi langkah, misalnya, seperti integrasi, per bagian atau penerapan metode Chebyshev, Anda dapat dengan mudah menyelesaikan tes apa pun untuk jumlah poin maksimum. Jadi bagaimana kita masih bisa menghitung integral menggunakan tabel integral yang diketahui semua orang, tetapi sedemikian rupa sehingga solusinya benar, tepat dan dengan jawaban yang paling akurat? Bagaimana mempelajari ini dan mungkinkah mahasiswa baru biasa melakukannya dalam waktu sesingkat mungkin? Kami menjawab pertanyaan ini dengan tegas - itu mungkin! Dalam hal ini, Anda tidak hanya akan dapat menyelesaikan contoh apa pun, tetapi juga mencapai tingkat insinyur kelas atas. Rahasianya sesederhana biasanya - Anda perlu melakukan upaya maksimal, mencurahkan jumlah waktu yang diperlukan untuk persiapan diri. Sayangnya belum ada yang menemukan cara lain! Tapi tidak semuanya mendung seperti yang terlihat pada pandangan pertama. Jika Anda merujuk ke layanan situs kami dengan pertanyaan ini, maka kami akan membuat hidup Anda lebih mudah, karena situs kami dapat menghitung integral secara online secara rinci, dengan kecepatan sangat tinggi dan dengan jawaban yang sangat akurat. Pada intinya, integral tidak menentukan bagaimana rasio argumen mempengaruhi stabilitas sistem secara keseluruhan. Andai saja semuanya seimbang. Seiring dengan bagaimana Anda akan mempelajari dasar-dasar topik matematika ini, layanan ini dapat menemukan integral dari integran apa pun, jika integral ini dapat diselesaikan dalam fungsi dasar. Jika tidak, untuk integral yang tidak diambil dalam fungsi dasar, dalam praktiknya tidak diperlukan jawaban secara analitik atau dengan kata lain dalam bentuk eksplisit. Semua perhitungan integral direduksi menjadi definisi fungsi antiturunan dari integran tertentu. Untuk melakukan ini, pertama-tama hitung integral tak tentu menurut semua hukum matematika online. kemudian, jika perlu, substitusikan nilai atas dan bawah integral. Jika tidak diperlukan untuk menentukan atau menghitung nilai numerik dari integral tak tentu, maka konstanta ditambahkan ke fungsi antiturunan yang diperoleh, sehingga mendefinisikan keluarga fungsi antiturunan. Tempat khusus dalam sains dan secara umum di bidang teknik apa pun, termasuk mekanika kontinum, integrasi menggambarkan seluruh sistem mekanis, gerakannya, dan banyak lagi. Dalam banyak kasus, integral yang dikompilasi menentukan hukum gerak suatu titik material. Ini adalah alat yang sangat penting dalam studi ilmu terapan. Berdasarkan ini, tidak mungkin untuk tidak mengatakan tentang perhitungan skala besar untuk menentukan hukum keberadaan dan perilaku sistem mekanis. Kalkulator solusi integral online di situs ini adalah alat yang ampuh untuk insinyur profesional. Kami dengan jelas menjamin ini untuk Anda, tetapi kami akan dapat menghitung integral Anda hanya setelah Anda memasukkan ekspresi yang benar ke dalam area integran. Jangan takut untuk membuat kesalahan, semuanya bisa diperbaiki dalam hal ini! Biasanya, solusi integral direduksi menjadi penggunaan fungsi tabel dari buku teks atau ensiklopedia terkenal. Seperti integral tak tentu lainnya, itu akan dihitung menurut rumus standar tanpa kritik kasar. Mudah dan alami, siswa tahun pertama memahami materi yang dipelajari dengan cepat, dan kadang-kadang dibutuhkan tidak lebih dari dua menit bagi mereka untuk menemukan integral. Dan jika seorang siswa telah mempelajari tabel integral, maka secara umum ia dapat menentukan jawaban dalam pikirannya. Untuk memperluas fungsi dengan variabel relatif terhadap permukaan awalnya berarti arah vektor yang benar di beberapa titik pada absis. Perilaku tak terduga dari garis permukaan mengambil integral tertentu sebagai dasar dalam sumber timbal balik fungsi matematika. Tepi kiri bola tidak menyentuh silinder tempat lingkaran itu tertulis, jika Anda melihat potongan di pesawat. Jumlah area kecil yang dibagi menjadi ratusan fungsi kontinu sepotong-sepotong adalah integral online dari fungsi yang diberikan. Arti mekanis integral terletak pada banyak masalah yang diterapkan, ini adalah penentuan volume tubuh, dan perhitungan massa tubuh. Integral rangkap tiga dan ganda terlibat hanya dalam perhitungan ini. Kami bersikeras bahwa integral online diselesaikan hanya di bawah pengawasan guru yang berpengalaman dan melalui berbagai pemeriksaan.Kami sering ditanya tentang kemajuan siswa yang tidak menghadiri kuliah, melewatkannya tanpa alasan, bagaimana cara mereka menemukan integral itu sendiri. Kami menjawab bahwa siswa adalah orang bebas dan mungkin dilatih secara eksternal, mempersiapkan ujian atau ujian dalam kondisi rumah yang nyaman. Dalam hitungan detik, layanan kami akan membantu siapa saja yang ingin menghitung integral dari setiap fungsi yang diberikan sehubungan dengan variabel. Periksa hasil yang diperoleh dengan mengambil turunan dari fungsi antiturunan. Dalam hal ini, konstanta dari solusi integral menghilang. Aturan ini jelas untuk semua orang. Karena operasi multiarah dibuktikan, integral tak tentu sering direduksi menjadi pemisahan daerah menjadi bagian-bagian kecil. Namun, beberapa siswa dan anak sekolah mengabaikan persyaratan ini. Seperti biasa, integral online dapat diselesaikan secara detail oleh situs layanan kami dan tidak ada batasan jumlah permintaan, semuanya gratis dan tersedia untuk semua orang. Tidak banyak situs seperti itu yang memberikan jawaban langkah demi langkah dalam hitungan detik, dan yang paling penting dengan akurasi tinggi dan dalam bentuk yang nyaman. Pada contoh terakhir, pada halaman kelima pekerjaan rumah, ada satu yang menunjukkan perlunya menghitung integral secara bertahap. Tetapi kita tidak boleh lupa tentang bagaimana mungkin untuk menemukan integral menggunakan layanan yang sudah jadi, teruji waktu dan diuji pada ribuan contoh yang diselesaikan secara online. Bagaimana integral semacam itu menentukan gerak sistem cukup jelas dan jelas dibuktikan oleh sifat gerak fluida kental, yang dijelaskan oleh sistem persamaan ini.

Menemukan integral tak tentu adalah masalah yang sangat umum dalam matematika tingkat tinggi dan cabang ilmu teknis lainnya. Bahkan penyelesaian masalah fisika yang paling sederhana pun seringkali tidak lengkap tanpa perhitungan beberapa integral sederhana. Oleh karena itu, sejak usia sekolah, kita diajarkan teknik dan metode untuk menyelesaikan integral, diberikan banyak tabel dengan integral fungsi paling sederhana. Namun, seiring waktu, semua ini dilupakan dengan aman, entah kita tidak punya cukup waktu untuk menghitung atau kita perlu tentukan penyelesaian integral tak tentu dari fungsi yang sangat kompleks. Untuk mengatasi masalah ini, layanan kami akan sangat diperlukan bagi Anda, yang memungkinkan Anda menemukan integral tak tentu secara online secara akurat.

Selesaikan integral tak tentu

Layanan online aktif situs web memungkinkan Anda untuk menemukan solusi integral online cepat, gratis dan berkualitas tinggi. Anda dapat mengganti pencarian di tabel integral yang diperlukan dengan layanan kami, di mana dengan cepat memasukkan fungsi yang diinginkan, Anda akan mendapatkan solusi integral tak tentu dalam versi tabel. Tidak semua situs matematika dapat menghitung integral tak tentu dari fungsi secara online dengan cepat dan efisien, terutama jika Anda perlu mencari integral tak tentu dari fungsi kompleks atau fungsi semacam itu yang tidak termasuk dalam kursus umum matematika yang lebih tinggi. Situs web situs web akan membantu selesaikan integral secara online dan mengatasi tugas. Menggunakan solusi online integral di situs situs, Anda akan selalu mendapatkan jawaban yang tepat.

Bahkan jika Anda ingin menghitung integral sendiri, berkat layanan kami akan mudah bagi Anda untuk memeriksa jawaban Anda, menemukan kesalahan atau salah ketik, atau memastikan bahwa tugas diselesaikan dengan sempurna. Jika Anda memecahkan masalah dan Anda perlu menghitung integral tak tentu sebagai tindakan tambahan, lalu mengapa membuang waktu untuk tindakan ini, yang mungkin telah Anda lakukan ribuan kali? Selain itu, perhitungan tambahan integral dapat menjadi penyebab kesalahan ketik atau kesalahan kecil, yang kemudian menyebabkan jawaban yang salah. Cukup gunakan layanan kami dan temukan integral tak tentu online tanpa usaha apapun. Untuk tugas praktis menemukan integral fungsi on line server ini sangat membantu. Anda harus memasukkan fungsi yang diberikan, dapatkan solusi integral tak tentu online dan bandingkan jawabannya dengan solusi Anda.