Seperti yang Anda ketahui, saat mengalikan ekspresi dengan pangkat, eksponennya selalu dijumlahkan (a b * a c = a b + c). Hukum matematika ini diturunkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, matematikawan Virasen membuat tabel indikator bilangan bulat. Merekalah yang bertugas untuk penemuan logaritma lebih lanjut. Contoh penggunaan fungsi ini dapat ditemukan hampir di mana-mana di mana diperlukan untuk menyederhanakan perkalian yang rumit menjadi penjumlahan sederhana. Jika Anda menghabiskan 10 menit membaca artikel ini, kami akan menjelaskan kepada Anda apa itu logaritma dan bagaimana cara menggunakannya. Bahasa yang sederhana dan mudah diakses.

Definisi dalam matematika

Logaritma adalah ekspresi dari bentuk berikut: log a b=c, yaitu, logaritma dari setiap bilangan non-negatif (yaitu, setiap positif) "b" dengan basisnya "a" dianggap pangkat dari "c" , yang basis "a" harus dinaikkan, sehingga pada akhirnya mendapatkan nilai "b". Mari kita analisis logaritma menggunakan contoh, misalkan ada ekspresi log 2 8. Bagaimana menemukan jawabannya? Ini sangat sederhana, Anda perlu menemukan gelar sedemikian rupa sehingga dari 2 ke tingkat yang diperlukan Anda mendapatkan 8. Setelah melakukan beberapa perhitungan dalam pikiran Anda, kami mendapatkan nomor 3! Dan memang benar, karena 2 pangkat 3 memberikan angka 8 dalam jawabannya.

Varietas logaritma

Bagi banyak siswa dan siswa, topik ini tampak rumit dan tidak dapat dipahami, tetapi pada kenyataannya, logaritma tidak begitu menakutkan, yang utama adalah memahami makna umumnya dan mengingat sifat-sifatnya dan beberapa aturannya. Ada tiga jenis ekspresi logaritma yang berbeda:

1. Logaritma natural ln a, dengan basis adalah bilangan Euler (e = 2,7).
2. Desimal a, dengan basis 10.
3. Logaritma dari setiap nomor b ke basis a>1.

Masing-masing diselesaikan dengan cara standar, termasuk penyederhanaan, reduksi dan reduksi selanjutnya menjadi satu logaritma menggunakan teorema logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang benar, seseorang harus mengingat propertinya dan urutan tindakan dalam keputusannya.

Aturan dan beberapa batasan

Dalam matematika, ada beberapa aturan-batasan yang diterima sebagai aksioma, yaitu, mereka tidak perlu dibahas dan benar. Misalnya, tidak mungkin membagi angka dengan nol, dan juga tidak mungkin mengekstrak akar derajat genap dari angka negatif. Logaritma juga memiliki aturannya sendiri, yang dengannya Anda dapat dengan mudah mempelajari cara bekerja bahkan dengan ekspresi logaritma yang panjang dan luas:

• basis "a" harus selalu lebih besar dari nol, dan pada saat yang sama tidak sama dengan 1, jika tidak, ekspresi akan kehilangan artinya, karena "1" dan "0" pada tingkat apa pun selalu sama dengan nilainya;
• jika a > 0, maka a b > 0, ternyata “c” harus lebih besar dari nol.

Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?

Misalnya, diberi tugas untuk menemukan jawaban dari persamaan 10 x \u003d 100. Sangat mudah, Anda harus memilih kekuatan seperti itu dengan menaikkan angka sepuluh yang kita dapatkan 100. Ini, tentu saja, adalah 10 2 \u003d 100.

Sekarang mari kita nyatakan ekspresi ini sebagai logaritmik. Kami mendapatkan log 10 100 = 2. Saat memecahkan logaritma, semua tindakan praktis bertemu untuk menemukan sejauh mana basis logaritma harus dimasukkan untuk mendapatkan angka yang diberikan.

Untuk secara akurat menentukan nilai derajat yang tidak diketahui, Anda harus mempelajari cara bekerja dengan tabel derajat. Ini terlihat seperti ini:

Seperti yang Anda lihat, beberapa eksponen dapat ditebak secara intuitif jika Anda memiliki pola pikir teknis dan pengetahuan tentang tabel perkalian. Namun, nilai yang lebih besar akan membutuhkan tabel daya. Ini dapat digunakan bahkan oleh mereka yang tidak mengerti sama sekali dalam topik matematika yang kompleks. Kolom kiri berisi angka (basis a), baris angka paling atas adalah nilai pangkat c, di mana angka a dinaikkan. Di persimpangan sel, nilai angka ditentukan, yang merupakan jawabannya (a c = b). Mari kita ambil, misalnya, sel pertama dengan angka 10 dan kuadratkan, kita mendapatkan nilai 100, yang ditunjukkan di persimpangan dua sel kita. Semuanya sangat sederhana dan mudah sehingga bahkan humanis paling sejati pun akan mengerti!

Persamaan dan pertidaksamaan

Ternyata dalam kondisi tertentu, eksponennya adalah logaritma. Oleh karena itu, ekspresi numerik matematika apa pun dapat ditulis sebagai persamaan logaritmik. Misalnya, 3 4 =81 dapat ditulis sebagai logaritma dari 81 ke basis 3, yaitu empat (log 3 81 = 4). Untuk pangkat negatif, aturannya sama: 2 -5 = 1/32 kita tulis sebagai logaritma, kita dapatkan log 2 (1/32) = -5. Salah satu bagian matematika yang paling menarik adalah topik "logaritma". Kami akan mempertimbangkan contoh dan solusi persamaan sedikit lebih rendah, segera setelah mempelajari sifat-sifatnya. Sekarang mari kita lihat seperti apa ketidaksetaraan dan bagaimana membedakannya dari persamaan.

Sebuah ekspresi dari bentuk berikut diberikan: log 2 (x-1) > 3 - itu adalah ketidaksetaraan logaritmik, karena nilai yang tidak diketahui "x" berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ekspresi dua kuantitas dibandingkan: logaritma dari angka yang diinginkan di basis dua lebih besar dari angka tiga.

Perbedaan yang paling penting antara persamaan logaritma dan pertidaksamaan adalah bahwa persamaan dengan logaritma (misalnya, logaritma dari 2 x = 9) menyiratkan satu atau lebih nilai numerik tertentu dalam jawaban, sedangkan ketika memecahkan pertidaksamaan, kedua rentang nilai yang dapat diterima dan poin yang melanggar fungsi ini. Akibatnya, jawabannya bukan kumpulan angka individu yang sederhana, seperti pada jawaban persamaan, tetapi deret atau kumpulan angka yang berkesinambungan.

Teorema dasar tentang logaritma

Saat menyelesaikan tugas primitif untuk menemukan nilai logaritma, propertinya mungkin tidak diketahui. Namun, ketika menyangkut persamaan atau pertidaksamaan logaritma, pertama-tama, perlu dipahami dan diterapkan dengan jelas semua sifat dasar logaritma. Kita akan berkenalan dengan contoh-contoh persamaan nanti, mari kita analisa dulu masing-masing properti lebih detail.

1. Identitas dasarnya terlihat seperti ini: a logaB =B. Ini hanya berlaku jika a lebih besar dari 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar dari nol.
2. Logaritma hasil kali dapat direpresentasikan dalam rumus berikut: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam hal ini, prasyaratnya adalah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda dapat memberikan bukti untuk rumus logaritma ini, dengan contoh dan solusi. Misalkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2 , maka a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Kita peroleh bahwa s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat derajat ), dan selanjutnya menurut definisi: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, yang harus dibuktikan.
3. Logaritma hasil bagi terlihat seperti ini: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema dalam bentuk rumus berbentuk sebagai berikut: log a q b n = n/q log a b.

Rumus ini disebut "sifat derajat logaritma". Ini menyerupai sifat derajat biasa, dan tidak mengherankan, karena semua matematika bertumpu pada postulat biasa. Mari kita lihat buktinya.

Biarkan log a b \u003d t, ternyata a t \u003d b. Jika Anda menaikkan kedua bagian ke pangkat m: a tn = b n ;

tetapi karena a tn = (a q) nt/q = b n , maka log a q b n = (n*t)/t, maka log a q b n = n/q log a b. Teorema telah terbukti.

Contoh masalah dan ketidaksetaraan

Jenis masalah logaritma yang paling umum adalah contoh persamaan dan pertidaksamaan. Mereka ditemukan di hampir semua buku soal, dan juga termasuk dalam bagian wajib ujian matematika. Untuk memasuki universitas atau lulus tes masuk dalam matematika, Anda perlu tahu cara menyelesaikan tugas-tugas tersebut dengan benar.

Sayangnya, tidak ada rencana atau skema tunggal untuk memecahkan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, namun, aturan tertentu dapat diterapkan pada setiap pertidaksamaan matematis atau persamaan logaritma. Pertama-tama, Anda harus mencari tahu apakah ekspresi dapat disederhanakan atau direduksi menjadi bentuk umum. Anda dapat menyederhanakan ekspresi logaritmik panjang jika Anda menggunakan propertinya dengan benar. Mari kita mengenal mereka segera.

Saat memecahkan persamaan logaritma, perlu untuk menentukan jenis logaritma yang kita miliki sebelumnya: contoh ekspresi dapat berisi logaritma natural atau desimal.

Berikut adalah contoh ln100, ln1026. Solusinya bermuara pada fakta bahwa Anda perlu menentukan sejauh mana basis 10 akan sama dengan 100 dan 1026, masing-masing. Untuk penyelesaian logaritma natural, kita harus menerapkan identitas logaritma atau sifat-sifatnya. Mari kita lihat contoh penyelesaian masalah logaritmik dari berbagai jenis.

Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Dengan Contoh dan Solusi

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorema utama pada logaritma.

1. Properti logaritma produk dapat digunakan dalam tugas-tugas di mana perlu untuk menguraikan nilai besar angka b menjadi faktor yang lebih sederhana. Misalnya, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawabannya adalah 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - seperti yang Anda lihat, dengan menerapkan properti keempat dari derajat logaritma, kami berhasil memecahkan pada pandangan pertama ekspresi yang kompleks dan tidak dapat dipecahkan. Anda hanya perlu memfaktorkan basis dan kemudian mengambil nilai eksponen dari tanda logaritma.

Tugas dari ujian

Logaritma sering ditemukan dalam ujian masuk, terutama banyak sekali soal-soal logaritma pada UN Unified State Exam (ujian negara untuk semua lulusan sekolah). Biasanya tugas-tugas ini hadir tidak hanya di bagian A (bagian tes termudah dari ujian), tetapi juga di bagian C (tugas yang paling sulit dan banyak). Ujian ini menyiratkan pengetahuan yang akurat dan sempurna tentang topik "logaritma alami".

Contoh dan pemecahan masalah diambil dari versi resmi ujian. Mari kita lihat bagaimana tugas-tugas tersebut diselesaikan.

Diberikan log 2 (2x-1) = 4. Solusi:
mari kita tulis ulang ekspresinya, sederhanakan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2 , dengan definisi logaritma kita mendapatkan bahwa 2x-1 = 2 4 , oleh karena itu 2x = 17; x = 8.5.

• Semua logaritma sebaiknya direduksi menjadi basis yang sama sehingga penyelesaiannya tidak rumit dan membingungkan.
• Semua ekspresi di bawah tanda logaritma ditunjukkan sebagai positif, oleh karena itu, ketika mengambil eksponen dari eksponen ekspresi, yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai basisnya, ekspresi yang tersisa di bawah logaritma harus positif.

Dalam tutorial video ini, kita akan melihat penyelesaian persamaan logaritma yang agak serius, di mana Anda tidak hanya perlu menemukan akarnya, tetapi juga memilih akar yang terletak pada segmen tertentu.

Tugas C1. Memecahkan persamaan. Temukan semua akar persamaan ini yang termasuk dalam interval.

Catatan tentang persamaan logaritma

Namun, dari tahun ke tahun, siswa datang kepada saya yang mencoba memecahkan masalah seperti itu, terus terang, persamaan yang sulit, tetapi pada saat yang sama mereka tidak dapat memahami: dari mana mereka memulai dan bagaimana mendekati logaritma? Masalah seperti itu dapat muncul bahkan pada siswa yang kuat dan dipersiapkan dengan baik.

Akibatnya, banyak yang mulai takut dengan topik ini, atau bahkan menganggap diri mereka bodoh. Jadi, ingat: jika Anda tidak dapat menyelesaikan persamaan seperti itu, itu tidak berarti Anda bodoh sama sekali. Karena, misalnya, Anda dapat menangani persamaan ini hampir secara verbal:

log 2 x = 4

Dan jika tidak demikian, Anda tidak akan membaca teks ini sekarang, karena Anda sibuk dengan tugas-tugas yang lebih sederhana dan lebih duniawi. Tentu saja, seseorang sekarang akan keberatan: "Apa hubungan persamaan paling sederhana ini dengan desain kita yang sehat?" Saya menjawab: persamaan logaritmik apa pun, tidak peduli betapa rumitnya itu, pada akhirnya bermuara pada konstruksi sederhana yang diselesaikan secara verbal.

Tentu saja, perlu untuk beralih dari persamaan logaritma kompleks ke yang lebih sederhana tidak dengan bantuan seleksi atau menari dengan rebana, tetapi sesuai dengan aturan yang jelas dan panjang, yang disebut demikian - aturan untuk mengubah ekspresi logaritma. Mengetahui mereka, Anda dapat dengan mudah mengetahui bahkan persamaan paling canggih dalam ujian matematika.

Dan tentang aturan-aturan inilah yang akan kita bicarakan dalam pelajaran hari ini. Pergi!

Memecahkan persamaan logaritmik dalam masalah C1

Jadi mari kita selesaikan persamaannya:

Pertama-tama, ketika datang ke persamaan logaritmik, kita ingat taktik utama - jika saya boleh mengatakan, aturan dasar untuk memecahkan persamaan logaritmik. Ini terdiri sebagai berikut:

Teorema bentuk kanonik. Persamaan logaritma apa pun, tidak peduli apa yang termasuk, tidak peduli apa logaritma, tidak peduli apa basisnya, dan apa pun c itu sendiri, perlu untuk membawanya ke persamaan bentuk:

log a f (x ) = log a g (x )

Jika kita melihat persamaan kita, kita segera melihat dua masalah:

1. Di sebelah kiri kita memiliki jumlah dua bilangan, salah satunya bukan logaritma sama sekali.
2. Di sebelah kanan cukup logaritma, tetapi di dasarnya adalah akar. Dan logaritma di sebelah kiri hanya memiliki 2, yaitu. basis logaritma di kiri dan di kanan berbeda.

Jadi kami telah membuat daftar masalah yang memisahkan persamaan kami dari itu persamaan kanonik, yang Anda perlukan untuk mengurangi persamaan logaritmik apa pun dalam proses penyelesaian. Jadi, menyelesaikan persamaan kami pada tahap ini bermuara pada menghilangkan dua masalah yang dijelaskan di atas.

Persamaan logaritmik apa pun dapat diselesaikan dengan cepat dan mudah jika direduksi ke bentuk kanoniknya.

Jumlah logaritma dan logaritma produk

Mari kita lanjutkan secara berurutan. Pertama, mari kita berurusan dengan struktur yang berdiri di sebelah kiri. Apa yang dapat kita katakan tentang jumlah dua logaritma? Mari kita ingat formula yang luar biasa:

log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)

Tetapi perlu dipertimbangkan bahwa dalam kasus kami, suku pertama bukanlah logaritma sama sekali. Jadi, Anda perlu merepresentasikan unit sebagai logaritma ke basis 2 (yaitu 2, karena logaritma ke basis 2 ada di sebelah kiri). Bagaimana cara melakukannya? Sekali lagi, ingat rumus yang luar biasa:

a = log b b a

Di sini Anda perlu memahami: ketika kami mengatakan "basis apa pun b", maka yang kami maksud adalah b masih tidak bisa menjadi angka arbitrer. Jika kita memasukkan angka ke dalam logaritma, angka-angka tertentu segera ditumpangkan di atasnya. pembatasan, yaitu: basis logaritma harus lebih besar dari 0 dan tidak boleh sama dengan 1. Jika tidak, logaritma tidak masuk akal. Mari kita tuliskan:

0 < b ≠ 1

Mari kita lihat apa yang terjadi dalam kasus kita:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Sekarang mari kita tulis ulang seluruh persamaan kita dengan mengingat fakta ini. Dan segera kami menerapkan aturan lain: jumlah logaritma sama dengan logaritma produk argumen. Hasilnya, kita mendapatkan:

Kami memiliki persamaan baru. Seperti yang Anda lihat, ini sudah jauh lebih dekat dengan penyelarasan kanonik yang kami perjuangkan. Tapi ada satu masalah, kami menulisnya dalam bentuk poin kedua: logaritma kami, yang ada di kiri dan di kanan, alasan yang berbeda. Mari kita lanjutkan ke langkah berikutnya.

Aturan untuk mengambil pangkat dari logaritma

Jadi logaritma di sebelah kiri hanya memiliki basis 2, dan logaritma di sebelah kanan memiliki akar di basis. Tapi ini juga tidak masalah, jika kita ingat bahwa dari basis dari argumen logaritma dapat dibawa ke kekuasaan. Mari kita tulis salah satu aturan ini:

log a b n = n log a b

Menerjemahkan ke dalam bahasa manusia: Anda dapat mengambil derajat dari dasar logaritma dan meletakkannya di depan sebagai pengali. Angka n "bermigrasi" keluar dari logaritma dan menjadi koefisien di depan.

Kita mungkin juga mengambil kekuatan dari dasar logaritma. Ini akan terlihat seperti ini:

Dengan kata lain, jika Anda menghilangkan kekuatan dari argumen logaritma, kekuatan ini juga ditulis sebagai faktor di depan logaritma, tetapi bukan sebagai angka, tetapi sebagai kebalikan dari 1/k.

Namun, bukan itu saja! Kita dapat menggabungkan kedua rumus ini dan menghasilkan rumus berikut:

Ketika eksponen berada di basis dan argumen logaritma, kita dapat menghemat waktu dan menyederhanakan perhitungan dengan menghapus eksponen dari basis dan argumen sekaligus. Dalam hal ini, apa yang ada dalam argumen (dalam kasus kami, ini adalah koefisien n) akan ada di pembilang. Dan berapa derajat di pangkalan, a k , akan pergi ke penyebut.

Dan rumus inilah yang sekarang akan kita gunakan untuk mengurangi logaritma kita ke basis yang sama.

Pertama-tama, kita akan memilih basis yang kurang lebih indah. Jelas, deuce di pangkalan jauh lebih menyenangkan untuk digunakan daripada dengan root. Jadi mari kita coba mendasarkan pada logaritma kedua. Mari kita tulis logaritma ini secara terpisah:

Apa yang bisa kita lakukan di sini? Ingat rumus kekuatan dengan eksponen rasional. Dengan kata lain, kita dapat menulis akar sebagai pangkat dengan eksponen rasional. Dan kemudian kita menghilangkan kekuatan 1/2 dari argumen dan basis logaritma. Kami mengurangi dua dalam koefisien di pembilang dan penyebut di depan logaritma:

Akhirnya, kami menulis ulang persamaan asli dengan mempertimbangkan koefisien baru:

log 2 2 (9x 2 + 5) = log 2 (8x 4 + 14)

Kami telah memperoleh persamaan logaritma kanonik. Baik di kiri dan di kanan kita memiliki logaritma di basis yang sama 2. Selain logaritma ini, tidak ada koefisien, tidak ada istilah di kiri atau di kanan.

Akibatnya, kita dapat menghilangkan tanda logaritma. Tentu saja, dengan mempertimbangkan domain definisi. Tapi sebelum kita melakukannya, mari kita kembali dan membuat sedikit klarifikasi tentang pecahan.

Membagi Pecahan dengan Pecahan: Pertimbangan Tambahan

Tidak semua siswa mengerti dari mana faktor-faktor di depan logaritma kanan berasal dan ke mana mereka pergi. Mari kita tuliskan lagi:

Mari kita pahami apa itu pecahan. Mari menulis:

Dan sekarang kita ingat aturan untuk membagi pecahan: untuk membagi dengan 1/2, Anda perlu mengalikan dengan pecahan terbalik:

Tentu saja, untuk memudahkan perhitungan lebih lanjut, kita dapat menulis keduanya sebagai 2/1 - dan inilah yang kita amati sebagai koefisien kedua dalam proses penyelesaian.

Saya harap sekarang semua orang mengerti dari mana koefisien kedua berasal, jadi kita langsung ke penyelesaian persamaan logaritma kanonik kita.

Menyingkirkan tanda logaritma

Saya mengingatkan Anda bahwa sekarang kita dapat menyingkirkan logaritma dan meninggalkan ekspresi berikut:

2(9x2 + 5) = 8x4 + 14

Mari kita perluas tanda kurung di sebelah kiri. Kita mendapatkan:

18x2 + 10 = 8x4 + 14

Mari kita pindahkan semuanya dari sisi kiri ke kanan:

8x4 + 14 - 18x2 - 10 = 0

Kami memberikan yang serupa dan mendapatkan:

8x4 - 18x2 + 4 = 0

Kita dapat membagi kedua ruas persamaan ini dengan 2 untuk menyederhanakan koefisien, dan kita mendapatkan:

4x4 - 9x2 + 2 = 0

Di depan kita seperti biasa persamaan biquadratic, dan akarnya mudah dihitung dalam hal diskriminan. Jadi mari kita tulis diskriminannya:

D \u003d 81 - 4 4 2 \u003d 81 - 32 \u003d 49

Baik, Diskriminan itu "cantik", akarnya adalah 7. Itu saja, kami menganggap X itu sendiri. Tetapi dalam kasus ini, akarnya bukan x, tetapi x 2, karena kita memiliki persamaan biquadratic. Jadi pilihan kami adalah:

Harap dicatat: kami mengekstrak akarnya, jadi akan ada dua jawaban, karena. kotak - fungsi genap. Dan jika kita hanya menulis akar dari dua, maka kita hanya akan kehilangan akar kedua.

Sekarang kita melukis akar kedua dari persamaan biquadratic kita:

Sekali lagi, kami mengambil akar kuadrat aritmatika dari kedua sisi persamaan kami dan mendapatkan dua akar. Namun, ingat:

Tidak cukup hanya menyamakan argumen logaritma dalam bentuk kanonik. Ingat ruang lingkupnya!

Secara total, kami mendapat empat akar. Semuanya memang solusi untuk persamaan awal kita. Lihat: dalam persamaan logaritma asli kami, di dalam logaritma ada 9x 2 + 5 (fungsi ini selalu positif), atau 8x 4 + 14 - itu juga selalu positif. Oleh karena itu, domain definisi logaritma dipenuhi dalam kasus apa pun, tidak peduli akar apa yang kita dapatkan, yang berarti bahwa keempat akar adalah solusi untuk persamaan kita.

Bagus, sekarang mari kita beralih ke bagian kedua dari masalah.

Pemilihan akar persamaan logaritma pada segmen

Kami memilih dari empat akar kami yang terletak pada interval [−1; 8/9]. Kami kembali ke akar kami, dan sekarang kami akan melakukan seleksi mereka. Untuk memulainya, saya mengusulkan untuk menggambar sumbu koordinat dan menandai ujung segmen di atasnya:

Kedua titik akan diarsir. Itu. dengan kondisi masalah, kami tertarik pada segmen yang diarsir. Sekarang mari kita berurusan dengan akarnya.

Akar irasional

Mari kita mulai dengan akar irasional. Perhatikan bahwa 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

Dari sini dapat disimpulkan bahwa akar dari dua tidak jatuh ke dalam segmen yang menarik bagi kita. Demikian pula, kita akan mendapatkan dengan akar negatif: kurang dari 1, yaitu, terletak di sebelah kiri segmen yang menarik bagi kita.

akar rasional

Ada dua akar yang tersisa: x = 1/2 dan x = 1/2. Perhatikan bahwa ujung kiri segmen (−1) adalah negatif, dan ujung kanan (8/9) adalah positif. Oleh karena itu, di suatu tempat di antara ujung-ujung ini terletak angka 0. Akar x = 1/2 akan berada di antara 1 dan 0, yaitu. akan dimasukkan dalam jawaban akhir. Kami melakukan hal yang sama dengan akar x = 1/2. Akar ini juga terletak pada segmen yang sedang dipertimbangkan.

Sangat mudah untuk memastikan bahwa angka 8/9 lebih besar dari 1/2. Mari kita kurangi angka-angka ini satu sama lain:

Kami mendapatkan pecahan 7/18 > 0, yang menurut definisi berarti 8/9 > 1/2.

Mari kita tandai akar yang sesuai pada sumbu koordinat:

Jawaban akhirnya adalah dua akar: 1/2 dan 1/2.

Perbandingan bilangan irasional: algoritma universal

Sebagai kesimpulan, saya ingin kembali ke bilangan irasional sekali lagi. Menggunakan contoh mereka, sekarang kita akan melihat bagaimana membandingkan kuantitas rasional dan irasional dalam matematika. Untuk memulainya, ada tanda centang V di antara mereka - tanda "lebih" atau "kurang", tetapi kita belum tahu ke arah mana itu diarahkan. Mari menulis:

Mengapa kita membutuhkan algoritma perbandingan sama sekali? Faktanya adalah bahwa dalam masalah ini kami sangat beruntung: dalam proses penyelesaian, angka pemisah 1 muncul, yang tentangnya kami dapat mengatakan dengan pasti:

Namun, Anda tidak akan selalu melihat nomor seperti itu bergerak. Karena itu, mari kita coba membandingkan angka kita secara langsung.

Bagaimana itu dilakukan? Kami melakukan hal yang sama seperti dengan ketidaksetaraan biasa:

1. Pertama, jika kita memiliki koefisien negatif di suatu tempat, maka kita akan mengalikan kedua sisi pertidaksamaan dengan 1. Tentu saja mengubah tanda. Centang seperti V akan berubah menjadi seperti - .
2. Tetapi dalam kasus kami, kedua belah pihak sudah positif, jadi tidak perlu mengubah apa pun. Yang benar-benar dibutuhkan adalah persegi kedua sisi untuk menghilangkan radikal.

Jika, ketika membandingkan bilangan irasional, tidak mungkin untuk mengambil elemen pemisah saat bepergian, saya sarankan melakukan perbandingan seperti itu "di dahi" - menggambarkannya sebagai ketidaksetaraan biasa.

Saat menyelesaikannya, terlihat seperti ini:

Sekarang semuanya mudah untuk dibandingkan. Faktanya adalah bahwa 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

Itu saja, kami telah menerima bukti yang kuat bahwa semua angka ditandai pada garis bilangan x dengan benar dan persis dalam urutan yang seharusnya. Tidak ada yang akan mengeluh tentang keputusan seperti itu, jadi ingatlah: jika Anda tidak segera melihat angka pemisah (dalam kasus kami, itu 1), maka jangan ragu untuk menulis konstruksi di atas, kalikan, kuadrat - dan pada akhirnya Anda akan mendapatkan ketimpangan yang indah. Dari pertidaksamaan ini akan jelas dengan tepat bilangan mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil.

Kembali ke masalah kita, saya ingin sekali lagi menarik perhatian Anda pada apa yang kita lakukan di awal ketika memecahkan persamaan kita. Yaitu, kami melihat dari dekat persamaan logaritmik asli kami dan mencoba menguranginya menjadi resmi persamaan logaritma. Dimana hanya ada logaritma di kiri dan kanan - tanpa tambahan istilah, koefisien di depan, dll. Kita tidak perlu dua logaritma ke basis a atau b, yaitu logaritma sama dengan logaritma lain.

Selain itu, basis logaritma juga harus sama. Pada saat yang sama, jika persamaan disusun dengan benar, maka dengan bantuan transformasi logaritma dasar (jumlah logaritma, mengonversi angka menjadi logaritma, dll.), Kami akan mereduksi persamaan ini menjadi persamaan kanonik.

Oleh karena itu, untuk selanjutnya, ketika Anda melihat persamaan logaritmik yang tidak segera diselesaikan “di kening”, Anda tidak boleh tersesat atau mencoba mencari jawabannya. Cukup dengan mengikuti langkah-langkah ini:

1. Bawa semua elemen bebas ke logaritma;
2. Kemudian tambahkan logaritma ini;
3. Dalam konstruksi yang dihasilkan, semua logaritma mengarah ke basis yang sama.

Hasilnya, Anda akan mendapatkan persamaan sederhana yang dapat diselesaikan dengan aljabar dasar dari materi kelas 8-9. Secara umum, buka situs saya, berlatih memecahkan logaritma, memecahkan persamaan logaritmik seperti saya, menyelesaikannya lebih baik dari saya. Dan itu semua untukku. Pavel Berdov bersamamu. Sampai jumpa lagi!

Apa itu logaritma?

Perhatian!
Ada tambahan
materi di Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Apa itu logaritma? Bagaimana cara menyelesaikan logaritma? Pertanyaan-pertanyaan ini membingungkan banyak lulusan. Secara tradisional, topik logaritma dianggap kompleks, tidak dapat dipahami, dan menakutkan. Terutama - persamaan dengan logaritma.

Ini sama sekali tidak benar. Sangat! Tidak percaya? Bagus. Sekarang, selama 10 - 20 menit Anda:

1. Pahami apa itu logaritma.

2. Belajar memecahkan seluruh kelas persamaan eksponensial. Bahkan jika Anda belum pernah mendengar tentang mereka.

3. Belajar menghitung logaritma sederhana.

Selain itu, untuk ini Anda hanya perlu mengetahui tabel perkalian, dan bagaimana suatu bilangan dipangkatkan ...

Saya merasa Anda ragu ... Yah, jaga waktu! Pergi!

Pertama, selesaikan persamaan berikut dalam pikiran Anda:

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk alasan keamanan, penegakan hukum, atau kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Ekspresi logaritmik, solusi dari contoh. Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan masalah yang berkaitan dengan penyelesaian logaritma. Tugas menimbulkan pertanyaan untuk menemukan nilai ekspresi. Perlu dicatat bahwa konsep logaritma digunakan dalam banyak tugas dan sangat penting untuk memahami artinya. Adapun USE, logaritma digunakan dalam memecahkan persamaan, dalam masalah terapan, dan juga dalam tugas-tugas yang berkaitan dengan studi fungsi.

Berikut adalah contoh untuk memahami arti dari logaritma:

Identitas logaritma dasar:

Sifat-sifat logaritma yang harus selalu Anda ingat:

* Logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma faktor-faktornya.

* * *

* Logaritma hasil bagi (pecahan) sama dengan selisih logaritma faktor-faktornya.

* * *

* Logaritma derajat sama dengan produk eksponen dan logaritma basisnya.

* * *

*Transisi ke pangkalan baru

* * *

Lebih banyak properti:

* * *

Komputasi logaritma berkaitan erat dengan penggunaan sifat-sifat eksponen.

Kami mencantumkan beberapa di antaranya:

Inti dari properti ini adalah bahwa ketika mentransfer pembilang ke penyebut dan sebaliknya, tanda eksponen berubah menjadi kebalikannya. Sebagai contoh:

Konsekuensi dari properti ini:

* * *

Saat menaikkan pangkat ke pangkat, basisnya tetap sama, tetapi eksponennya dikalikan.

* * *

Seperti yang Anda lihat, konsep logaritma itu sederhana. Hal utama adalah bahwa latihan yang baik diperlukan, yang memberikan keterampilan tertentu. Tentu saja pengetahuan tentang rumus adalah wajib. Jika keterampilan dalam mengonversi logaritma dasar tidak terbentuk, maka ketika menyelesaikan tugas-tugas sederhana, seseorang dapat dengan mudah membuat kesalahan.

Berlatih, pecahkan contoh paling sederhana dari kursus matematika terlebih dahulu, lalu lanjutkan ke yang lebih kompleks. Di masa depan, saya pasti akan menunjukkan bagaimana logaritma "jelek" diselesaikan, tidak akan ada yang seperti itu di ujian, tetapi mereka menarik, jangan lewatkan!

Itu saja! Semoga sukses untuk Anda!

Hormat kami, Alexander Krutitskikh

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu situs ini di jejaring sosial.