“Anak kecil datang kepada ayahnya, dan bertanya kepada Si Kecil: “Apa sudut-sudutnya?”. Tapi ayah lupa jawabannya. Ini sangat buruk!".

Dalam artikel kami, kami mengusulkan untuk mengingat kembali pelajaran matematika dan menemukan jawaban atas pertanyaan Bayi.

Apa itu sudut?

Apa itu sudut tentu saja lebih mudah ditunjukkan daripada dijelaskan. Dari kelas dasar, kita tahu bahwa sudut datar:

1. Ini adalah sosok geometris.
2. Itu dibentuk oleh dua sisi - sinar.
3. Sinar keluar dari satu simpul - satu titik.
4. Diukur dalam derajat.

Artinya, jika Anda meletakkan sebuah titik pada bidang apa pun, dan kemudian menggambar dua sinar dari titik ini (sinar adalah garis lurus yang memiliki awal tetapi tidak memiliki akhir), maka kita mendapatkan sudut, dan bukan satu, tetapi dua. Ini karena sinar membagi pesawat menjadi dua bagian. Kami telah membentuk dua sudut - internal dan eksternal.

Penunjukan sudut

Sebuah sudut dilambangkan dalam matematika dengan tanda seperti itu - "˪" dan huruf Yunani: , , . Anda juga dapat menentukan sudut dalam huruf Latin kecil atau besar. Huruf kecil (d, c, b) menunjukkan sinar yang membentuk sudut, oleh karena itu, namanya akan terdiri dari dua huruf dan ikon - ab. Huruf Latin kapital menunjukkan tiga titik sudut: dua di sisi dan satu titik (˪DEF). Apalagi huruf atas akan selalu berada di tengah nama, dan cara membaca DEF atau FED, ini sudah tidak ada bedanya.

Jenis sudut:

Tergantung pada derajat (nilai yang diukur), sudut dibagi menjadi:

• Akut (> 90 derajat);
• Langsung (tepatnya 90);
• Kusam (180);
• Diperluas (sama dengan 180);
• Tidak cembung (lebih dari 180, tetapi kurang dari 360);
• Penuh (360);

Semua sudut yang tidak siku-siku atau lurus disebut miring.

Juga, apa sudutnya?

• Berdekatan - mereka memiliki satu sisi yang sama, sementara yang lain terletak, tidak bertepatan, pada bidang yang sama. Jumlah sudut-sudut ini akan selalu 180.
• Vertikal - sudut yang dibentuk oleh dua garis lurus yang berpotongan dan tidak memiliki sisi yang sama, tetapi sinarnya keluar dari satu titik. Artinya, sisi satu sudut merupakan kelanjutan dari yang lain. Sudut-sudut ini sama besar.
• Tengah - Sudut yang titik sudutnya merupakan pusat lingkaran.
• Sudut tertulis. Titik sudutnya berada pada sebuah lingkaran, dan sinar-sinar yang membentuknya memotong lingkaran ini.

Sekarang Anda tahu apa itu sudut siku-siku, dan Anda juga dapat mengetahui sudut mana yang lancip. Mengingat ini tidak sulit, dan jenis sudut lainnya juga memiliki nama yang khas.

Pada artikel ini, kami akan menganalisis secara komprehensif salah satu bentuk geometris utama - sudut. Mari kita mulai dengan konsep dan definisi tambahan yang akan membawa kita ke definisi sudut. Setelah itu, kami memberikan metode yang diterima untuk menunjuk sudut. Selanjutnya, kita akan membahas secara rinci proses pengukuran sudut. Sebagai kesimpulan, kami akan menunjukkan bagaimana Anda dapat menandai sudut pada gambar. Kami menyediakan semua teori dengan gambar dan ilustrasi grafis yang diperlukan untuk menghafal materi dengan lebih baik.

Navigasi halaman.

Definisi sudut.

Sudut adalah salah satu angka terpenting dalam geometri. Definisi sudut diberikan melalui definisi sinar. Pada gilirannya, gagasan tentang sinar tidak dapat diperoleh tanpa pengetahuan tentang angka-angka geometris seperti titik, garis lurus, dan bidang. Oleh karena itu, sebelum berkenalan dengan definisi sudut, kami sarankan menyegarkan teori dari bagian dan.

Jadi, kita akan mulai dari konsep titik, garis lurus pada bidang dan bidang.

Pertama-tama mari kita berikan definisi sinar.

Mari kita diberikan beberapa garis lurus di pesawat. Mari kita tunjukkan dengan huruf a. Biarkan O menjadi beberapa titik dari garis a . Titik O membagi garis a menjadi dua bagian. Masing-masing bagian ini bersama-sama dengan titik O disebut balok, dan titik O disebut awal balok. Anda juga dapat mendengar bahwa sinar itu disebut setengah langsung.

Untuk singkatnya dan kenyamanan, notasi berikut untuk sinar diperkenalkan: sinar dilambangkan baik dengan huruf Latin kecil (misalnya, ray p atau ray k), atau dengan dua huruf Latin besar, yang pertama sesuai dengan awal sinar, dan yang kedua menunjukkan beberapa titik dari sinar ini (misalnya, sinar OA atau sinar CD). Mari kita tunjukkan gambar dan penunjukan sinar dalam gambar.

Sekarang kita dapat memberikan definisi pertama dari sebuah sudut.

Definisi.

Injeksi- ini adalah sosok geometris datar (yaitu, terletak seluruhnya di bidang tertentu), yang terdiri dari dua sinar yang tidak cocok dengan asal yang sama. Masing-masing sinar disebut sisi sudut, awal yang sama dari sisi-sisi sudut disebut pojok atas.

Ada kemungkinan bahwa sisi-sisi suatu sudut membentuk garis lurus. Sudut ini memiliki nama sendiri.

Definisi.

Jika kedua sisi suatu sudut terletak pada satu garis yang sama, maka sudut tersebut disebut dikerahkan.

Kami memberi Anda ilustrasi grafis dari sudut yang dikembangkan.

Simbol sudut digunakan untuk menyatakan sudut. Jika sisi sudut ditunjukkan dalam huruf Latin kecil (misalnya, satu sisi sudut adalah k, dan sisi lainnya adalah h), maka untuk menunjuk sudut ini, setelah ikon sudut, huruf yang sesuai dengan sisi ditulis dalam berturut-turut, dan urutan perekaman tidak masalah (yaitu, atau). Jika sisi sudut dilambangkan dengan dua huruf latin besar (misalnya, satu sisi sudut OA, dan sisi kedua sudut OB), maka sudut dilambangkan sebagai berikut: setelah tanda sudut, tiga huruf adalah tertulis yang berpartisipasi dalam penunjukan sisi sudut, dan huruf yang sesuai dengan titik sudut, yang terletak di tengah (dalam kasus kami, sudut akan ditunjukkan sebagai atau ). Jika titik sudut tersebut bukan titik sudut lainnya, maka sudut tersebut dapat dilambangkan dengan huruf yang sesuai dengan titik sudut tersebut (misalnya, ). Kadang-kadang Anda dapat melihat bahwa sudut-sudut dalam gambar ditandai dengan angka (1, 2, dll.), Sudut-sudut ini ditandai sebagai dan seterusnya. Untuk kejelasan, kami menyajikan gambar di mana sudut-sudutnya ditunjukkan dan ditunjukkan.

Setiap sudut membagi bidang menjadi dua bagian. Selain itu, jika sudut tidak dikembangkan, maka salah satu bagian dari pesawat disebut area sudut dalam, Dan lainnya area sudut luar. Gambar berikut menjelaskan bagian pesawat mana yang sesuai dengan sudut bagian dalam dan bagian luar mana.

Salah satu dari dua bagian di mana sudut gepeng membagi bidang dapat dianggap sebagai bagian dalam dari sudut gepeng.

Definisi bagian dalam suatu sudut membawa kita ke definisi kedua tentang sudut.

Definisi.

Injeksi- ini adalah sosok geometris, yang terdiri dari dua sinar yang tidak cocok dengan asal yang sama dan daerah sudut yang sesuai.

Perlu dicatat bahwa definisi kedua dari sudut lebih ketat daripada yang pertama, karena mengandung lebih banyak kondisi. Namun, seseorang tidak boleh mengabaikan definisi pertama dari sudut, dan juga tidak boleh mempertimbangkan definisi pertama dan kedua dari sudut secara terpisah. Mari kita jelaskan poin ini. Ketika datang ke sudut sebagai sosok geometris, maka sudut dipahami sebagai sosok yang terdiri dari dua sinar dengan asal yang sama. Jika perlu untuk melakukan tindakan apa pun dengan sudut ini (misalnya, mengukur sudut), maka sudut harus sudah dipahami sebagai dua sinar dengan asal yang sama dan daerah internal (jika tidak, situasi dua kali lipat akan muncul karena keberadaan daerah internal dan eksternal sudut ).

Mari kita berikan lebih banyak definisi tentang sudut yang berdekatan dan vertikal.

Definisi.

Sudut yang berdekatan- ini adalah dua sudut di mana satu sisi sama, dan dua lainnya membentuk sudut lurus.

Ini mengikuti dari definisi bahwa sudut yang berdekatan saling melengkapi hingga sudut lurus.

Definisi.

Sudut vertikal adalah dua sudut yang sisi salah satu sudutnya merupakan perpanjangan dari sisi yang lain.

Gambar tersebut menunjukkan sudut vertikal.

Jelas, dua garis berpotongan membentuk empat pasang sudut yang berdekatan dan dua pasang sudut vertikal.

Perbandingan sudut.

Dalam paragraf artikel ini, kita akan membahas definisi sudut yang sama dan tidak sama, dan juga dalam kasus sudut yang tidak sama, kami akan menjelaskan sudut mana yang dianggap besar dan mana yang lebih kecil.

Ingatlah bahwa dua bangun geometris disebut sama jika mereka dapat ditumpangkan.

Mari kita diberikan dua sudut. Mari kita berikan alasan yang akan membantu kita mendapatkan jawaban atas pertanyaan: “Apakah kedua sudut ini sama besar atau tidak”?

Jelas, kita selalu dapat mencocokkan simpul dari dua sudut, serta satu sisi sudut pertama dengan salah satu sisi sudut kedua. Mari kita gabungkan sisi sudut pertama dengan sisi sudut kedua itu sehingga sisi sudut yang tersisa berada di sisi yang sama dari garis lurus di mana sisi gabungan dari sudut berada. Kemudian, jika dua sisi sudut lainnya sejajar, maka sudut tersebut disebut setara.

Jika dua sisi sudut yang lain tidak sama, maka sudut tersebut disebut tidak setara, dan lebih kecil sudut dianggap sebagai bagian dari yang lain ( besar adalah sudut yang seluruhnya memuat sudut lain).

Jelas, dua sudut lurus adalah sama. Juga jelas bahwa sudut yang dikembangkan lebih besar daripada sudut yang tidak dikembangkan.

Pengukuran sudut.

Pengukuran sudut didasarkan pada perbandingan sudut yang diukur dengan sudut yang diambil sebagai satuan pengukuran. Proses pengukuran sudut terlihat seperti ini: mulai dari salah satu sisi sudut yang diukur, area dalamnya diisi secara berurutan dengan sudut tunggal, menumpuknya dengan erat satu sama lain. Pada saat yang sama, jumlah sudut yang ditumpuk diingat, yang memberikan ukuran sudut yang diukur.

Sebenarnya, setiap sudut dapat diambil sebagai satuan ukuran untuk sudut. Namun, ada banyak unit yang diterima secara umum untuk mengukur sudut yang terkait dengan berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi, mereka telah menerima nama khusus.

Salah satu satuan untuk mengukur sudut adalah derajat.

Definisi.

satu derajat adalah sudut yang besarnya sama dengan seratus delapan puluh sudut yang diluruskan.

Gelar dilambangkan dengan simbol "", oleh karena itu, satu derajat dilambangkan sebagai.

Jadi, dalam sudut yang dikembangkan, kita dapat memasukkan 180 sudut menjadi satu derajat. Ini akan terlihat seperti setengah pai bundar yang dipotong menjadi 180 bagian yang sama. Sangat penting: "potongan pai" saling menempel (yaitu, sisi sudut sejajar), dengan sisi sudut pertama sejajar dengan satu sisi sudut rata, dan sisi sudut unit terakhir bertepatan dengan sisi lain dari sudut yang rata.

Saat mengukur sudut, diketahui berapa kali derajat (atau unit pengukuran sudut lainnya) cocok dengan sudut yang diukur sampai area bagian dalam dari sudut yang diukur benar-benar tertutup. Seperti yang telah kita lihat, dalam sudut yang dikembangkan, derajatnya tepat 180 kali. Di bawah ini adalah contoh sudut di mana sudut satu derajat tepat 30 kali (sudut seperti itu adalah seperenam dari sudut lurus) dan tepat 90 kali (setengah sudut lurus).

Untuk mengukur sudut kurang dari satu derajat (atau satuan pengukuran sudut lainnya) dan dalam kasus di mana sudut tidak dapat diukur dengan bilangan bulat derajat (satuan pengukuran yang diambil), Anda harus menggunakan bagian derajat (bagian dari diambil satuan pengukuran). Bagian tertentu dari gelar menerima nama khusus. Yang paling umum adalah apa yang disebut menit dan detik.

Definisi.

Menit adalah seperenam puluh derajat.

Definisi.

Kedua adalah seperenam puluh menit.

Dengan kata lain, ada enam puluh detik dalam satu menit, dan enam puluh menit (3600 detik) dalam satu derajat. Simbol "" digunakan untuk menunjukkan menit, dan simbol "" digunakan untuk menunjukkan detik (jangan bingung dengan tanda turunan dan turunan kedua). Kemudian, dengan definisi dan notasi yang diperkenalkan, kami memiliki , dan sudut di mana 17 derajat 3 menit dan 59 detik cocok dapat dilambangkan sebagai .

Definisi.

Besaran derajat suatu sudut angka positif disebut, yang menunjukkan berapa kali derajat dan bagian-bagiannya masuk ke dalam sudut tertentu.

Misalnya, besar sudut yang diluruskan adalah seratus delapan puluh, dan besar sudut adalah .

Untuk mengukur sudut, ada alat ukur khusus, yang paling terkenal adalah busur derajat.

Jika penunjukan sudut (misalnya,) dan ukuran derajatnya (biarkan 110) diketahui, maka gunakan notasi singkat dari bentuk dan katakan: "Sudut AOB adalah seratus sepuluh derajat."

Dari definisi sudut dan besaran derajat sudut, maka dalam geometri ukuran sudut dalam derajat dinyatakan dengan bilangan real dari interval (0, 180] (dalam trigonometri, sudut dengan ukuran derajat sembarang dianggap, mereka disebut).Sudut sembilan puluh derajat memiliki nama khusus, itu disebut sudut kanan. Sudut yang besarnya kurang dari 90 derajat disebut sudut lancip. Sudut yang besarnya lebih dari sembilan puluh derajat disebut sudut tumpul. Jadi, ukuran sudut lancip dalam derajat dinyatakan dengan angka dari interval (0, 90), ukuran sudut tumpul - dengan angka dari interval (90, 180), sudut siku-siku sama dengan sembilan puluh derajat. Berikut adalah ilustrasi sudut lancip, sudut tumpul, dan sudut siku-siku.

Dari prinsip mengukur sudut, maka besar sudut yang sama adalah sama, besar sudut yang lebih besar lebih besar dari besar yang lebih kecil, dan besar sudut yang terdiri dari beberapa sudut. sama dengan jumlah ukuran derajat dari sudut-sudut komponen. Gambar di bawah menunjukkan sudut AOB, yang terdiri dari sudut AOC, COD dan DOB, sedangkan .

Dengan demikian, jumlah sudut yang berdekatan adalah seratus delapan puluh derajat, karena membentuk sudut lurus.

Ini mengikuti dari pernyataan ini bahwa . Memang, jika sudut AOB dan COD adalah vertikal, maka sudut AOB dan BOC berdekatan dan sudut COD dan BOC juga berdekatan, oleh karena itu, persamaan dan valid, dari mana persamaan berikut.

Bersamaan dengan derajat, satuan yang sesuai untuk mengukur sudut disebut radian. Ukuran radian banyak digunakan dalam trigonometri. Mari kita definisikan radian.

Definisi.

Satu sudut radian- Ini sudut tengah, yang sesuai dengan panjang busur, sama dengan panjang jari-jari lingkaran yang sesuai.

Mari kita berikan ilustrasi grafis dari sudut satu radian. Dalam gambar, panjang jari-jari OA (serta jari-jari OB ) sama dengan panjang busur AB , oleh karena itu, menurut definisi, sudut AOB sama dengan satu radian.

Singkatan "rad" digunakan untuk menunjukkan radian. Misalnya, menulis 5 rad berarti 5 radian. Namun, dalam penulisan, sebutan "rad" sering dihilangkan. Misalnya, ketika ditulis bahwa sudutnya sama dengan pi, itu berarti pi rad.

Perlu dicatat secara terpisah bahwa nilai sudut, yang dinyatakan dalam radian, tidak bergantung pada panjang jari-jari lingkaran. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa angka-angka yang dibatasi oleh sudut tertentu dan busur lingkaran yang berpusat pada titik sudut tertentu adalah serupa satu sama lain.

Mengukur sudut dalam radian dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti mengukur sudut dalam derajat: cari tahu berapa kali sudut satu radian (dan bagian-bagiannya) masuk ke dalam sudut tertentu. Dan Anda dapat menghitung panjang busur dari sudut pusat yang sesuai, dan kemudian membaginya dengan panjang jari-jarinya.

Untuk keperluan latihan, perlu diketahui bagaimana hubungan derajat dan radian satu sama lain, karena cukup banyak yang harus dilakukan. Dalam artikel ini, hubungan dibuat antara derajat dan ukuran radian suatu sudut, dan contoh-contoh konversi derajat ke radian dan sebaliknya diberikan.

Penunjukan sudut dalam gambar.

Dalam gambar, untuk kemudahan dan kejelasan, sudut dapat ditandai dengan busur, yang biasanya digambar di bagian dalam sudut dari satu sisi sudut ke sisi lainnya. Sudut yang sama ditandai dengan jumlah busur yang sama, sudut yang tidak sama dengan jumlah busur yang berbeda. Sudut siku-siku dalam gambar dilambangkan dengan simbol bentuk "", yang digambarkan di bagian dalam sudut kanan dari satu sisi sudut ke sisi lainnya.

Jika Anda harus menandai banyak sudut berbeda dalam gambar (biasanya lebih dari tiga), maka ketika menunjuk sudut, selain busur biasa, diperbolehkan menggunakan busur jenis khusus. Misalnya, Anda dapat menggambarkan busur bergerigi, atau yang serupa.

Perlu dicatat bahwa Anda tidak boleh terbawa oleh penunjukan sudut dalam gambar dan jangan mengacaukan gambar. Kami merekomendasikan untuk menandai hanya sudut-sudut yang diperlukan dalam proses pemecahan atau pembuktian.

Bibliografi.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometri. Kelas 7 - 9: buku teks untuk lembaga pendidikan.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri. Buku teks untuk kelas 10-11 sekolah menengah.
• Pogorelov A.V., Geometri. Buku teks untuk kelas 7-11 lembaga pendidikan.

Apa itu sudut?

Sudut adalah bangun datar yang dibentuk oleh dua sinar yang keluar dari satu titik (Gbr. 160).
Sinar yang terbentuk injeksi, disebut sisi-sisi sudut, dan titik keluarnya disebut titik sudut.
Pada Gambar 160, sisi-sisi sudut adalah sinar-sinar OA dan OB, dan titik sudutnya adalah titik O. Sudut ini dinyatakan sebagai berikut: AOB.

Saat menulis sudut di tengah, tulislah huruf yang menunjukkan titik sudutnya. Sebuah sudut juga dapat dilambangkan dengan satu huruf - nama simpulnya.

Misalnya, alih-alih "sudut AOB" mereka menulis lebih pendek: "sudut O".

Alih-alih kata "sudut" mereka menulis sebuah tanda.

Misalnya AOB, O

Pada gambar 161, titik C dan D terletak di dalam sudut AOB, titik X dan Y terletak di luar sudut ini, dan poin M dan H - di sisi sudut.

Seperti semua bentuk geometris, sudut dibandingkan menggunakan overlay.

Jika satu sudut dapat ditumpangkan pada sudut yang lain sehingga berhimpitan, maka sudut-sudut tersebut sama besar.

Misalnya, pada Gambar 162 ABC = MNK.

Dari atas sudut SOK (Gbr. 163) sebuah balok OR digambar. Dia membagi sudut SOC menjadi dua sudut - COP dan ROCK. Masing-masing sudut ini lebih kecil dari sudut ROC.

Ditulis oleh: COP< COK и POK < COK.

Lurus dan miring

Dua saling melengkapi balok membentuk sudut terlipat. Sisi-sisi sudut ini bersama-sama membentuk garis lurus yang terletak di bagian atas sudut yang diperluas (Gbr. 164).

Jarum jam dan menit dari jam membentuk sudut yang berkembang pada pukul 6 (Gbr. 165).

Mari kita tekuk selembar kertas menjadi dua dua kali, lalu buka lipatannya (Gbr. 166).

Garis lipatan membentuk 4 sudut yang sama besar. Masing-masing sudut ini sama dengan setengah dari sudut yang diluruskan. Sudut seperti itu disebut sudut siku-siku.

Sudut siku-siku adalah setengah sudut yang diluruskan.

menggambar segitiga

Untuk membuat sudut siku-siku, gunakan gambar segi tiga(Gbr. 167). Untuk membuat sudut siku-siku, yang salah satu sisinya adalah sinar OL, diperlukan:

a) susun gambar segitiga sehingga titik sudut siku-sikunya berimpit dengan titik O, dan salah satu sisinya sejajar dengan sinar OA;

b) gambarkan sinar OB di sepanjang sisi kedua segitiga.

Hasilnya, kami mendapatkan sudut siku-siku AOB.

Pertanyaan untuk topik

1. Apa itu sudut?
2. Sudut apa yang disebut dikerahkan?
3. Sudut apa yang disebut sama besar?
4. Sudut apa yang disebut siku-siku?
5. Bagaimana sudut siku-siku dibangun menggunakan gambar segitiga?

Kita sudah tahu bahwa setiap sudut membagi bidang menjadi dua bagian. Tetapi, jika pada sudut kedua sisi terletak pada garis lurus yang sama, maka sudut seperti itu disebut menyebar. Artinya, pada sudut yang dikembangkan, satu sisinya merupakan kelanjutan dari sisi sudut yang lain.

Sekarang mari kita lihat gambar, yang baru saja menunjukkan sudut O yang dikembangkan.

Jika kita mengambil dan menggambar sebuah sinar dari titik sudut suatu sudut lurus, maka sudut lurus tersebut akan membagi sudut lurus tersebut menjadi dua sudut lagi, yang akan memiliki satu sisi yang sama, dan dua sudut lainnya akan membentuk garis lurus. Artinya, dari satu sudut yang tidak dilipat, kami mendapat dua sudut yang berdekatan.

Jika kita mengambil sudut lurus dan menggambar garis-bagi, maka garis-bagi ini akan membagi sudut lurus menjadi dua sudut siku-siku.

Dan, jika kita menggambar sinar sembarang dari titik sudut yang dikembangkan, yang bukan merupakan garis bagi, maka sinar tersebut akan membagi sudut yang diperluas menjadi dua sudut, yang satu lancip dan yang lain tumpul.

Properti Sudut Datar

Sudut yang diperluas memiliki sifat-sifat berikut:

Pertama, sisi-sisi sudut lurus antiparalel dan membentuk garis lurus;
kedua, sudut yang dikembangkan adalah 180°;
ketiga, dua sudut yang berdekatan membentuk sudut lurus;
keempat, sudut yang dikembangkan adalah setengah dari sudut penuh;
kelima, sudut penuh akan sama dengan jumlah dua sudut yang dikembangkan;
keenam, setengah dari sudut yang diluruskan adalah sudut siku-siku.

Pengukuran sudut

Untuk mengukur sudut apa pun, busur derajat paling sering digunakan untuk tujuan ini, di mana unit pengukurannya adalah satu derajat. Saat mengukur sudut, harus diingat bahwa setiap sudut memiliki ukuran derajat spesifiknya sendiri, dan tentu saja ukuran ini lebih besar dari nol. Dan sudut yang dikembangkan, seperti yang sudah kita ketahui, sama dengan 180 derajat.

Artinya, jika kita mengambil sembarang bidang lingkaran dan membaginya dengan jari-jari menjadi 360 bagian yang sama, maka 1/360 lingkaran ini akan menjadi derajat sudut. Seperti yang sudah Anda ketahui, gelar ditunjukkan oleh ikon tertentu, yang terlihat seperti ini: "°".

Sekarang kita juga tahu bahwa satu derajat 1° = 1/360 lingkaran. Jika sudutnya sama dengan bidang lingkaran dan 360 derajat, maka sudut tersebut penuh.

Dan sekarang kita mengambil dan membagi bidang lingkaran dengan bantuan dua jari-jari yang terletak pada satu garis lurus menjadi dua bagian yang sama. Kemudian dalam hal ini, bidang setengah lingkaran akan menjadi setengah sudut penuh, yaitu 360: 2 = 180 °. Kami telah menerima sudut yang sama dengan setengah bidang lingkaran dan memiliki 180 °. Ini adalah sudut bengkok.

tugas praktis

1613. Sebutkan sudut-sudut yang ditunjukkan pada Gambar 168. Tuliskan sebutannya.

1614. Gambarlah empat sinar: OA, OB, OS dan OD. Tuliskan nama enam sudut yang sisi-sisinya adalah sinar-sinar tersebut. Sinar-sinar ini dibagi menjadi berapa bagian? pesawat terbang?

1615. Tunjukkan titik mana pada Gambar 169 yang terletak di dalam sudut KOM. Titik mana yang terletak di luar sudut ini? Titik mana yang berada di sisi OK dan mana yang berada di sisi OM?

1616. Gambarlah MOD sudut dan gambar sinar OT di dalamnya. Beri nama dan label sudut di mana sinar ini membagi sudut MOD.

1617. Jarum menit dalam 10 menit berubah ke sudut AOB, dalam 10 menit berikutnya - ke sudut Dewan Komisaris, dan dalam 15 menit lagi - ke sudut COD. Bandingkan sudut AOB dan BOC, BOC dan COD, AOC dan AOB, AOC dan COD (Gbr. 170).

1618. Gunakan gambar segitiga untuk menggambar 4 sudut siku-siku pada posisi yang berbeda.

1619. Dengan menggunakan gambar segitiga, temukan sudut siku-siku pada gambar 171. Tuliskan sebutan mereka.

1620. Tunjukkan sudut siku-siku di dalam kelas.

a) 0,09 200; b) 208 0.4; c) 130 0,1 + 80 0,1.

1629. Berapa persen dari 400 bilangan 200; 100; 4; 40; 80; 400; 600?

1630. Temukan nomor yang hilang:

a) 2 5 3 b) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631. Gambarlah sebuah persegi yang sisinya sama dengan panjang 10 sel buku catatan. Biarkan kotak ini mewakili bidang. Rye menempati 12% dari ladang, gandum - 8%, gandum - 64%, dan sisa ladang ditempati oleh soba. Tunjukkan pada gambar bagian ladang yang ditempati oleh setiap tanaman. Berapa persen dari ladang itu adalah soba?

1632. Selama tahun ajaran, Petya menghabiskan 40% dari buku catatan yang dibeli di awal tahun, dan dia memiliki 30 buku catatan yang tersisa. Berapa banyak buku catatan yang dibeli untuk Petya pada awal tahun ajaran?

1633. Perunggu adalah paduan timah dan tembaga. Berapa persentase paduan tembaga dalam sepotong perunggu, yang terdiri dari 6 kg timah dan 34 kg tembaga?

1634. Mercusuar Alexandria, yang dibangun pada zaman kuno, yang disebut sebagai salah satu dari tujuh keajaiban dunia, 1,7 kali lebih tinggi dari menara Kremlin Moskow, tetapi lebih rendah dari gedung Universitas Moskow dengan ketinggian 119 m. dari masing-masing struktur ini jika menara Kremlin Moskwa berada 49 m lebih rendah dari Mercusuar Alexandria.

1635. Temukan dengan bantuan mikrokalkulator:

a) 4,5% dari 168; c) 28,3% dari 569,8;
b) 147,6% dari 2500; d) 0,09% dari 456.800.

1636. Memecahkan masalah:

1) Luas taman tersebut adalah 6,4 a. Pada hari pertama, 30% dari kebun digali, dan pada hari kedua, 35% dari kebun. Berapa are yang tersisa untuk digali?

2) Serezha memiliki 4,8 jam waktu luang. Dia menghabiskan 35% dari waktu itu membaca buku dan 40% menonton acara TV. Berapa banyak waktu yang dia miliki?

1637. Lakukan hal berikut:

1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638 Gambarlah sudut BAC dan tandai masing-masing satu titik di dalam sudut, di luar sudut, dan di sisi-sisi sudut.

1639. Manakah dari titik-titik yang ditandai pada Gambar 172 yang terletak di dalam sudut AMK. Titik mana yang terletak di dalam sudut AMB> tetapi di luar sudut AMK. Titik-titik mana yang terletak di sisi-sisi sudut AMK?

1640. Gunakan gambar segitiga untuk mencari sudut siku-siku pada gambar 173.

1641. Bangun persegi dengan sisi 43 mm. Hitunglah keliling dan luasnya.

1642. Temukan nilai ekspresi:

a) 14,791: a + 160,961: b, jika a = 100, b = 10;
b) 361,62s + 1848: d jika c = 100, d = 100.

1643. Pekerja harus membuat 450 bagian. Pada hari pertama, ia membuat 60% bagian, dan sisanya pada hari kedua. Berapa bagian yang dikerjakan? pekerja pada hari kedua?

1644. Ada 8.000 buku di perpustakaan. Setahun kemudian, jumlah mereka bertambah 2000 buku. Berapa persenkah jumlah buku di perpustakaan bertambah?

1645. Truk pada hari pertama menempuh 24% dari jalur yang dimaksudkan, pada hari kedua - 46% dari jalur, dan pada hari ketiga - 450 km tersisa. Berapa kilometer yang ditempuh truk-truk ini?

1646. Temukan berapa banyak:

a) 1% dari satu ton; c) 5% dari 7 ton;
b) 1% dari satu liter; d) 6% dari 80 km.

1647. Massa anak walrus 9 kali lebih kecil dari massa walrus dewasa. Berapa massa walrus dewasa jika, bersama dengan anaknya, massanya 0,9 ton?

1648. Selama manuver, komandan meninggalkan 0,3 dari semua prajuritnya untuk menjaga persimpangan, dan membagi sisanya menjadi 2 detasemen untuk mempertahankan dua ketinggian. Detasemen pertama memiliki tentara 6 kali lebih banyak daripada yang kedua. Berapa banyak tentara di detasemen pertama jika total ada 200 tentara?

N.Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matematika Kelas 5, Buku teks untuk lembaga pendidikan

Ukuran sudut

Sudut dalam diukur dalam derajat (derajat, menit, detik), dalam putaran - rasio panjang busur s dengan keliling L, dalam radian - rasio panjang busur s dengan jari-jari r; secara historis, ukuran hujan es untuk mengukur sudut juga digunakan; saat ini, hampir tidak pernah digunakan.

1 putaran = 2π radian = 360° = 400 derajat.

Dalam terminologi bahari, sudut ditunjukkan dengan titik.

Jenis sudut

Sudut-sudut yang bersebelahan adalah lancip (a) dan tumpul (b). Sudut terbalik (c)

Selain itu, sudut antara kurva halus pada titik singgung dipertimbangkan: menurut definisi, nilainya sama dengan sudut antara garis singgung ke kurva.

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Lihat apa itu "Sudut yang dikembangkan" di kamus lain:

Sudut yang sama dengan dua sudut siku-siku. * SCAN permukaan adalah gambar yang diperoleh pada bidang ketika titik-titik dari permukaan tertentu digabungkan dengan bidang ini sedemikian rupa sehingga panjang garis tetap tidak berubah. Perkembangan kurva lihat Involute ... Kamus Ensiklopedis Besar

injeksi- perbedaan arah (dalam ruang) tingkat sudut belokan dari satu arah ke arah lain; perbedaan arah; bagian dari putaran penuh (kemiringan #. bentuk #). lereng. cenderung. deviasi. menyimpang (jalan menyimpang ke kanan). ... ...

Injeksi- Sudut: 1 pemandangan umum; 2 berdekatan; 3 berdekatan; 4 vertikal; 5 dikerahkan; 6 lurus, tajam dan tumpul; 7 antara kurva; 8 antara garis lurus dan bidang; 9 antara garis lurus yang berpotongan (tidak terletak pada bidang yang sama) garis lurus. SUDUT, geometris…… Kamus Ensiklopedis Bergambar

Sosok geometris yang terdiri dari dua sinar berbeda yang memancar dari titik yang sama. Sinar disebut sisi U., dan awal yang sama adalah titik U. Biarkan [ BA), [ BC) sisi sudut, B titik sudutnya, bidang yang ditentukan oleh sisi U. Gambar membagi bidang ... ... Ensiklopedia Matematika

Sudut yang sama dengan dua sudut siku-siku. * * * SUDUT MULIA SUDUT, sudut yang sama dengan dua sudut siku-siku ... kamus ensiklopedis

Cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat berbagai bentuk (titik, garis, sudut, benda dua dimensi dan tiga dimensi), ukuran dan posisi relatifnya. Untuk kenyamanan mengajar, geometri dibagi menjadi planimetri dan geometri padat. PADA… … Ensiklopedia Collier

1) Garis putus-putus tertutup, yaitu: jika titik-titik yang berbeda, tidak ada tiga titik yang berurutan terletak pada satu garis lurus, maka disebut himpunan segmen. poligon (lihat Gambar 1). M. bisa spasial atau datar (di bawah ... ... Ensiklopedia Matematika

lintas- pada sudut maksimum, sudut miring melintang. melintang di sudut kanan. . sudut siku-siku defleksi maksimum; sudut yang sama dengan sudut yang berdekatan; seperempat putaran. tegak lurus. tegak lurus pada sudut siku-siku. tegak lurus ... ... Kamus Ideografis Bahasa Rusia

derajat- a, m 1) Satuan ukuran sudut datar, sama dengan 1/90 sudut siku-siku atau, masing-masing, 1/360 lingkaran. Sudut 90 derajat disebut sudut siku-siku. Sudut yang diperluas adalah 180 derajat. 2) Satuan ukuran untuk selang suhu yang memiliki ... ... Kamus populer bahasa Rusia

Teorema Schwartz Christoffel, sebuah teorema penting dalam teori fungsi variabel kompleks, menyandang nama matematikawan Jerman Karl Schwartz dan Alvin Christoffel. Sangat penting dari sudut pandang praktis adalah masalah konformal ... ... Wikipedia

Siswa diperkenalkan dengan konsep sudut di sekolah dasar. Tetapi sebagai sosok geometris dengan sifat-sifat tertentu, mereka mulai mempelajarinya sejak kelas 7 dalam geometri. Sepertinya, bentuknya cukup sederhana apa yang bisa dikatakan tentang dia. Tetapi, memperoleh pengetahuan baru, anak-anak sekolah semakin memahami bahwa Anda dapat mempelajari fakta-fakta yang cukup menarik tentang dia.

dalam kontak dengan

Kapan dipelajari

Kursus geometri sekolah dibagi menjadi dua bagian: planimetri dan geometri padat. Masing-masing dari mereka memiliki banyak perhatian. diberikan ke sudut:

• Dalam planimetri, konsep dasarnya diberikan, berkenalan dengan jenis ukurannya. Sifat-sifat masing-masing jenis segitiga dipelajari secara lebih rinci. Definisi baru untuk siswa muncul - ini adalah bentuk geometris yang terbentuk di persimpangan dua garis satu sama lain dan persimpangan beberapa garis garis potong.
• Dalam stereometri, sudut spasial dipelajari - dihedral dan trihedral.

Perhatian! Artikel ini membahas semua jenis dan sifat sudut dalam planimetri.

Definisi dan pengukuran

Mulai belajar, tentukan dulu, apa itu sudut dalam planimetri.

Jika kita mengambil titik tertentu pada bidang dan menggambar dua sinar sewenang-wenang darinya, kita mendapatkan sosok geometris - sudut, yang terdiri dari elemen-elemen berikut:

• simpul - titik dari mana sinar ditarik, ditunjukkan dengan huruf kapital alfabet Latin;
• sisi-sisinya ditarik setengah garis dari atas.

Semua elemen yang membentuk gambar yang kita pertimbangkan membagi bidang menjadi dua bagian:

• internal - dalam planimetri tidak melebihi 180 derajat;
• luar.

Prinsip pengukuran sudut dalam planimetri dijelaskan secara intuitif. Untuk memulainya, siswa diperkenalkan dengan konsep sudut yang dikembangkan.

Penting! Suatu sudut dikatakan berkembang jika setengah garis yang berasal dari titik sudutnya membentuk garis lurus. Sudut yang tidak dilipat adalah semua kasus lainnya.

Jika dibagi menjadi 180 bagian yang sama, maka biasanya mempertimbangkan ukuran satu bagian sama dengan 10. Dalam hal ini, mereka mengatakan bahwa pengukuran dilakukan dalam derajat, dan ukuran derajat dari angka tersebut adalah 180 derajat.

Jenis utama

Jenis sudut dibagi lagi menurut kriteria seperti ukuran derajat, sifat pembentukannya dan kategori yang disajikan di bawah ini.

Berdasarkan ukuran

Berdasarkan besarnya, sudut dibagi menjadi:

• dikerahkan;
• lurus;
• tumpul;
• pedas.

Sudut apa yang disebut dikerahkan disajikan di atas. Mari kita definisikan konsep garis lurus.

Itu dapat diperoleh dengan membagi yang dikerahkan menjadi dua bagian yang sama. Dalam hal ini, mudah untuk menjawab pertanyaan: sudut siku-siku, berapa derajat?

Bagi 180 derajat dengan 2 untuk mendapatkan sudut siku-siku adalah 90 derajat. Ini adalah angka yang luar biasa, karena banyak fakta dalam geometri terkait dengannya.

Ia juga memiliki ciri khas tersendiri dalam sebutannya. Untuk menunjukkan sudut siku-siku pada gambar, itu tidak ditunjukkan oleh busur, tetapi oleh persegi.

Sudut yang diperoleh dengan membagi sinar sembarang dari garis lurus disebut lancip. Menurut logika benda, maka sudut lancip lebih kecil dari sudut siku-siku, tetapi ukurannya berbeda dari 0 derajat. Artinya, ia memiliki nilai dari 0 hingga 90 derajat.

Sudut tumpul lebih besar dari sudut siku-siku, tetapi lebih kecil dari sudut lurus. Ukuran derajatnya bervariasi dari 90 hingga 180 derajat.

Elemen ini dapat dibagi menjadi berbagai jenis angka yang dipertimbangkan, tidak termasuk yang diperluas.

Terlepas dari bagaimana sudut yang tidak diputar rusak, aksioma dasar planimetri selalu digunakan - "sifat utama pengukuran".

Pada membagi sudut dengan satu balok atau beberapa, besaran derajat suatu bangun sama dengan jumlah besar sudut-sudut yang membaginya.

Pada tingkat kelas 7, jenis sudut dalam besarnya berakhir di sana. Tetapi untuk menambah pengetahuan, dapat ditambahkan bahwa ada varietas lain yang memiliki ukuran derajat lebih dari 180 derajat, yang disebut cembung.

Angka di persimpangan garis

Jenis sudut selanjutnya yang dikenalkan siswa adalah unsur-unsur yang terbentuk ketika dua garis berpotongan. Angka-angka yang ditempatkan saling berhadapan disebut vertikal. Ciri khas mereka adalah bahwa mereka setara.

Unsur-unsur yang bersebelahan dengan garis yang sama disebut bertetangga. Teorema yang memetakan properti mereka mengatakan bahwa Sudut yang berdekatan bertambah hingga 180 derajat.

Unsur dalam segitiga

Jika kita menganggap gambar sebagai elemen dalam segitiga, maka sudut dibagi menjadi internal dan eksternal. Segitiga dibatasi oleh tiga segmen dan terdiri dari tiga simpul. Sudut-sudut yang terletak di dalam segitiga di setiap titik sudut, disebut internal.

Jika kita mengambil elemen internal di sembarang titik dan memperpanjang sisi mana pun, maka sudut yang dibentuk dan berbatasan dengan internal disebut eksternal. Sepasang elemen ini memiliki properti berikut: jumlah mereka adalah 180 derajat.

Perpotongan dua garis lurus

Persimpangan garis

Ketika dua garis lurus berpotongan, sudut juga terbentuk, yang biasanya didistribusikan berpasangan. Setiap pasangan elemen memiliki namanya sendiri. Ini terlihat seperti ini:

• letak silang internal: 4 dan 6, 3 dan 5;
• satu sisi internal: 4 dan 5, 3 dan 6;
• sesuai: 1 dan 5, 2 dan 6, 4 dan 8, 3 dan 7.

Ketika sebuah garis potong memotong dua