Pertimbangkan proyeksi titik ke dua bidang, di mana kami mengambil dua bidang tegak lurus (Gbr. 4), yang akan kami sebut frontal dan bidang horizontal. Garis perpotongan bidang-bidang ini disebut sumbu proyeksi. Kami memproyeksikan satu titik A ke bidang yang dipertimbangkan menggunakan proyeksi datar. Untuk melakukan ini, perlu untuk menurunkan tegak lurus Aa dan A dari titik yang diberikan ke bidang yang dipertimbangkan.

Proyeksi pada bidang mendatar disebut tampilan rencana poin TETAPI, dan proyeksi sebuah? pada bidang frontal disebut proyeksi depan.

Titik-titik yang akan diproyeksikan dalam geometri deskriptif biasanya dilambangkan dengan huruf latin kapital. A, B, C. Huruf kecil digunakan untuk menunjukkan proyeksi horizontal titik. a, b, c... Proyeksi frontal ditunjukkan dalam huruf kecil dengan goresan di bagian atas a?, b?, c?…

Penunjukan titik dengan angka Romawi I, II, ... juga digunakan, dan untuk proyeksinya - dengan angka Arab 1, 2 ... dan 1?, 2? ...

Ketika bidang horizontal diputar 90°, dapat diperoleh gambar di mana kedua bidang berada pada bidang yang sama (Gbr. 5). Gambar ini disebut plot titik.

Melalui garis tegak lurus ah dan ah? menggambar sebuah pesawat (Gbr. 4). Bidang yang dihasilkan tegak lurus terhadap bidang frontal dan horizontal karena mengandung tegak lurus terhadap bidang-bidang tersebut. Oleh karena itu, bidang ini tegak lurus terhadap garis perpotongan bidang-bidang tersebut. Garis lurus yang dihasilkan memotong bidang horizontal dalam garis lurus A A x, dan bidang frontal - dalam garis lurus Hah? X. Lurus aah dan Hah? x tegak lurus terhadap sumbu perpotongan bidang. Yaitu Aaah? adalah persegi panjang.

Saat menggabungkan bidang proyeksi horizontal dan frontal sebuah dan sebuah? akan terletak pada satu tegak lurus terhadap sumbu perpotongan bidang, karena ketika bidang horizontal berputar, tegak lurus segmen A A x dan Hah? x tidak rusak.

Kami mendapatkannya di diagram proyeksi sebuah dan sebuah? beberapa titik TETAPI selalu terletak pada tegak lurus yang sama terhadap sumbu perpotongan bidang.

Dua proyeksi a dan sebuah? dari beberapa titik A dapat secara unik menentukan posisinya dalam ruang (Gbr. 4). Hal ini ditegaskan oleh fakta bahwa ketika membangun tegak lurus dari proyeksi a ke bidang horizontal, itu akan melewati titik A. Demikian pula, tegak lurus dari proyeksi sebuah? ke bidang frontal akan melewati titik TETAPI, yaitu titik TETAPI terletak pada dua garis tertentu secara bersamaan. Titik A adalah titik persimpangan mereka, yaitu pasti.

Perhatikan persegi panjang aaa X sebuah?(Gbr. 5), yang pernyataan berikut ini benar:

1) Jarak titik TETAPI dari bidang frontal sama dengan jarak proyeksi horizontal a dari sumbu perpotongan bidang, mis.

ah? = A A X;

2) jarak titik TETAPI dari bidang proyeksi horizontal sama dengan jarak proyeksi frontalnya sebuah? dari sumbu perpotongan bidang, mis.

ah = Hah? X.

Dengan kata lain, bahkan tanpa titik itu sendiri pada plot, hanya dengan menggunakan dua proyeksinya, Anda dapat mengetahui pada jarak berapa dari masing-masing bidang proyeksi titik ini berada.

Perpotongan dua bidang proyeksi membagi ruang menjadi empat bagian, yang disebut perempat(Gbr. 6).

Sumbu perpotongan bidang membagi bidang horizontal menjadi dua bagian - bagian depan dan belakang, dan bidang bagian depan menjadi bagian atas dan bawah. Bagian atas bidang frontal dan bagian anterior bidang horizontal dianggap sebagai batas kuarter pertama.

Setelah menerima diagram, bidang horizontal berputar dan bertepatan dengan bidang frontal (Gbr. 7). Dalam hal ini, bagian depan bidang horizontal akan bertepatan dengan bagian bawah bidang frontal, dan bagian belakang bidang horizontal dengan bagian atas bidang frontal.

Gambar 8-11 menunjukkan titik A, B, C, D, yang terletak di tempat yang berbeda. Titik A berada pada kuarter pertama, titik B pada kuarter kedua, titik C pada kuarter ketiga, dan titik D pada kuarter keempat.

Ketika poin terletak di kuartal pertama atau keempat dari mereka proyeksi horizontal terletak di bagian depan bidang horizontal, dan pada diagram mereka akan terletak di bawah sumbu perpotongan bidang. Ketika sebuah titik terletak di kuartal kedua atau ketiga, proyeksi horizontalnya akan terletak di belakang bidang horizontal, dan pada plot itu akan berada di atas sumbu perpotongan bidang.

Proyeksi depan titik-titik yang terletak di perempat pertama atau kedua akan terletak di bagian atas bidang frontal, dan pada diagram mereka akan terletak di atas sumbu perpotongan bidang. Ketika sebuah titik terletak di kuartal ketiga atau keempat, proyeksi frontalnya berada di bawah sumbu perpotongan bidang.

Paling sering, dalam konstruksi nyata, sosok itu ditempatkan di kuartal pertama ruang.

Dalam beberapa kasus tertentu, titik ( E) mungkin terletak pada bidang horizontal (Gbr. 12). Dalam hal ini, proyeksi horizontal e dan titik itu sendiri akan bertepatan. Proyeksi frontal dari titik tersebut akan berada pada sumbu perpotongan bidang.

Dalam kasus di mana titik Ke terletak di bidang frontal (Gbr. 13), proyeksi horizontalnya k terletak pada sumbu perpotongan bidang, dan frontal k? menunjukkan lokasi sebenarnya dari titik tersebut.

Untuk titik-titik tersebut, tanda bahwa ia terletak pada salah satu bidang proyeksi adalah bahwa salah satu proyeksinya berada pada sumbu perpotongan bidang-bidang tersebut.

Jika sebuah titik terletak pada sumbu perpotongan bidang proyeksi, titik itu dan kedua proyeksinya bertepatan.

Jika suatu titik tidak terletak pada bidang proyeksi, maka disebut titik posisi umum. Berikut ini, jika tidak ada tanda khusus, titik yang dipertimbangkan adalah titik pada posisi umum.

2. Kurangnya sumbu proyeksi

Untuk menjelaskan cara memperoleh proyeksi model suatu titik pada bidang proyeksi tegak lurus (Gbr. 4), perlu diambil selembar kertas tebal berbentuk persegi panjang memanjang. Itu perlu ditekuk di antara proyeksi. Garis lipatan akan menggambarkan sumbu perpotongan bidang. Jika setelah itu potongan kertas yang bengkok diluruskan lagi, kita mendapatkan diagram yang mirip dengan yang ditunjukkan pada gambar.

Menggabungkan dua bidang proyeksi dengan bidang gambar, Anda tidak dapat menunjukkan garis lipatan, yaitu, jangan menggambar sumbu perpotongan bidang pada diagram.

Saat membuat diagram, Anda harus selalu menempatkan proyeksi sebuah dan sebuah? titik A pada satu garis vertikal (Gbr. 14), yang tegak lurus terhadap sumbu perpotongan bidang. Oleh karena itu, bahkan jika posisi sumbu perpotongan bidang tetap tidak ditentukan, tetapi arahnya ditentukan, sumbu perpotongan bidang hanya dapat tegak lurus terhadap garis lurus pada diagram. ah?.

Jika tidak ada sumbu proyeksi pada diagram titik, seperti pada gambar pertama 14 a, Anda dapat membayangkan posisi titik ini dalam ruang. Untuk melakukan ini, gambarlah di sembarang tempat yang tegak lurus dengan garis ah? sumbu proyeksi, seperti pada gambar kedua (Gbr. 14) dan tekuk gambar di sepanjang sumbu ini. Jika kita mengembalikan tegak lurus pada titik-titik sebuah dan sebuah? sebelum mereka berpotongan, Anda bisa mendapatkan poin TETAPI. Saat mengubah posisi sumbu proyeksi, posisi titik yang berbeda relatif terhadap bidang proyeksi diperoleh, tetapi ketidakpastian posisi sumbu proyeksi tidak mempengaruhi posisi relatif beberapa titik atau angka dalam ruang.

3. Proyeksi suatu titik ke tiga bidang proyeksi

Pertimbangkan bidang profil proyeksi. Proyeksi pada dua bidang tegak lurus biasanya menentukan posisi gambar dan memungkinkan untuk mengetahui dimensi dan bentuk sebenarnya. Tetapi ada kalanya dua proyeksi tidak cukup. Kemudian terapkan konstruksi proyeksi ketiga.

Bidang proyeksi ketiga dilakukan sehingga tegak lurus terhadap kedua bidang proyeksi secara bersamaan (Gbr. 15). Bidang ketiga disebut Profil.

Dalam konstruksi seperti itu, garis umum bidang horizontal dan frontal disebut sumbu X , garis umum bidang horizontal dan bidang profil - sumbu pada , dan garis lurus bersama bidang frontal dan profil - sumbu z . Dot HAI, yang termasuk dalam ketiga bidang, disebut titik asal.

Gambar 15a menunjukkan intinya TETAPI dan tiga proyeksinya. Proyeksi ke bidang profil ( sebuah??) disebut proyeksi profil dan menunjukkan sebuah??.

Untuk mendapatkan diagram titik A, yang terdiri dari tiga proyeksi sebuah, sebuah, perlu untuk memotong trihedron yang dibentuk oleh semua bidang di sepanjang sumbu y (Gbr. 15b) dan menggabungkan semua bidang ini dengan bidang proyeksi frontal. Bidang horizontal harus diputar terhadap sumbu X, dan bidang profil dekat sumbu z dalam arah yang ditunjukkan oleh panah pada Gambar 15.

Gambar 16 menunjukkan posisi proyeksi hah? dan sebuah?? poin TETAPI, diperoleh sebagai hasil dari menggabungkan ketiga bidang dengan bidang gambar.

Akibat pemotongan tersebut, sumbu y terjadi pada diagram di dua tempat yang berbeda. Pada bidang horizontal (Gbr. 16), dibutuhkan posisi vertikal (tegak lurus terhadap sumbu X), dan pada bidang profil - horizontal (tegak lurus terhadap sumbu z).

Gambar 16 menunjukkan tiga proyeksi hah? dan sebuah?? poin A memiliki posisi yang ditentukan secara ketat pada diagram dan tunduk pada kondisi yang jelas:

sebuah dan sebuah? harus selalu terletak pada satu garis lurus vertikal yang tegak lurus terhadap sumbu X;

sebuah? dan sebuah?? harus selalu terletak pada garis horizontal yang sama tegak lurus terhadap sumbu z;

3) ketika ditarik melalui proyeksi horizontal dan garis horizontal, tetapi melalui proyeksi profil sebuah??- garis lurus vertikal, garis yang dibangun tentu akan berpotongan pada garis-bagi sudut antara sumbu proyeksi, karena gambar Oa pada sebuah 0 sebuah n adalah persegi.

Ketika membangun tiga proyeksi suatu titik, perlu untuk memeriksa pemenuhan ketiga kondisi untuk setiap titik.

4. Koordinat titik

Posisi suatu titik dalam ruang dapat ditentukan dengan menggunakan tiga bilangan yang disebut koordinat. Setiap koordinat sesuai dengan jarak suatu titik dari beberapa bidang proyeksi.

Jarak titik TETAPI ke bidang profil adalah koordinat X, di mana X = Hah?(Gbr. 15), jarak ke bidang frontal - dengan koordinat y, dan y = Hah?, dan jarak ke bidang horizontal adalah koordinat z, di mana z = A A.

Pada Gambar 15, titik A menempati lebar kotak persegi panjang, dan pengukuran kotak ini sesuai dengan koordinat titik ini, yaitu masing-masing koordinat disajikan pada Gambar 15 empat kali, yaitu:

x \u003d a? A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a? A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

Pada diagram (Gbr. 16), koordinat x dan z muncul tiga kali:

x \u003d a z a? \u003d Oa x \u003d a y a,

z = axa? = Oa z = a y a?.

Semua segmen yang sesuai dengan koordinat X(atau z) sejajar satu sama lain. Koordinat pada diwakili dua kali oleh sumbu vertikal:

y \u003d Oa y \u003d a x a

dan dua kali - terletak secara horizontal:

y \u003d Oa y \u003d a z a?.

Perbedaan ini muncul karena fakta bahwa sumbu y hadir pada diagram di dua posisi yang berbeda.

Perlu dicatat bahwa posisi setiap proyeksi ditentukan pada diagram hanya dengan dua koordinat, yaitu:

1) horisontal - koordinat X dan pada,

2) frontal - koordinat x dan z,

3) profil - koordinat pada dan z.

Menggunakan koordinat x, y dan z, Anda dapat membuat proyeksi suatu titik pada diagram.

Jika titik A diberikan oleh koordinat, catatannya didefinisikan sebagai berikut: A ( X; y; z).

Saat membuat proyeksi titik TETAPI kondisi berikut harus diperiksa:

1) proyeksi horizontal dan frontal sebuah dan sebuah? X X;

2) proyeksi frontal dan profil sebuah? dan sebuah? harus terletak pada tegak lurus yang sama terhadap sumbu z, karena mereka memiliki koordinat yang sama z;

3) proyeksi horizontal dan juga dihapus dari sumbu X, seperti proyeksi profil sebuah jauh dari sumbu z, sejak proyeksi ah? dan ya? memiliki koordinat yang sama pada.

Jika titik terletak pada salah satu bidang proyeksi, maka salah satu koordinatnya sama dengan nol.

Ketika sebuah titik terletak pada sumbu proyeksi, kedua koordinatnya adalah nol.

Jika sebuah titik terletak di titik asal, ketiga koordinatnya adalah nol.

PROYEKSI TITIK.

SISTEM ORTHOGONAL DUA BIDANG PROYEKSI.

Inti dari metode proyeksi ortogonal adalah bahwa suatu benda diproyeksikan ke dua bidang yang saling tegak lurus oleh sinar-sinar ortogonal (tegak lurus) terhadap bidang-bidang tersebut.

Salah satu bidang proyeksi H ditempatkan secara horizontal, dan V lainnya ditempatkan secara vertikal. Bidang H disebut bidang proyeksi horizontal, V - frontal. Bidang H dan V tak hingga dan buram. Garis perpotongan bidang proyeksi disebut sumbu koordinat dan dilambangkan SAPI. Bidang proyeksi membagi ruang menjadi empat sudut dihedral - perempat.

Mempertimbangkan proyeksi ortogonal, diasumsikan bahwa pengamat berada di kuartal pertama pada jarak yang sangat jauh dari bidang proyeksi. Karena bidang-bidang ini buram, hanya titik, garis, dan gambar yang terletak dalam kuartal pertama yang sama yang akan terlihat oleh pengamat.

Saat membuat proyeksi, perlu diingat bahwa proyeksi titik ortogonalpada suatu bidang disebut alas garis tegak lurus yang dijatuhkan dari suatu titik tertentuke pesawat ini.

Angka tersebut menunjukkan titik TETAPI dan proyeksi ortogonalnya sebuah 1 dan sebuah 2 .

Titik sebuah 1 ditelepon tampilan rencana poin TETAPI, titik sebuah 2- dia proyeksi depan. Masing-masing adalah alas tegak lurus yang dijatuhkan dari titik TETAPI masing-masing di pesawat H dan V.

Dapat dibuktikan bahwa proyeksi titikselalu terletak pada garis lurus, tegak lurussumbu melingkarOH dan melintasi sumbu inipada titik yang sama. Memang, memproyeksikan sinar TETAPIsebuah 1 dan TETAPIsebuah 2 tentukan bidang yang tegak lurus terhadap bidang proyeksi dan garis perpotongannya - sumbu OH. Pesawat ini berpotongan H dan V dalam garis lurus sebuah 1 ax dan sebuah 1 ax, yang membentuk dengan sumbu SAPI dan dengan satu sama lain sudut siku-siku dengan titik di suatu titik sebuahx.

Hal sebaliknya juga benar, yaitu jika titik diberikan pada bidang proyeksisebuah 1 dan sebuah 2 , terletak pada garis lurus yang berpotongan sumbu SAPIpada titik ini di sudut kanan,maka mereka adalah proyeksi dari beberapapoin A Titik ini ditentukan oleh perpotongan tegak lurus yang dibangun dari titik-titik sebuah 1 dan sebuah 2 ke pesawat H dan V.

Perhatikan bahwa posisi bidang proyeksi di ruang angkasa mungkin berbeda. Misalnya, kedua bidang, yang saling tegak lurus, bisa vertikal, tetapi dalam kasus ini, asumsi di atas tentang orientasi proyeksi titik yang berlawanan relatif terhadap sumbu tetap valid.

Untuk mendapatkan gambar datar yang terdiri dari proyeksi di atas, pesawat H disejajarkan dengan rotasi di sekitar sumbu SAPI dengan pesawat V seperti yang ditunjukkan oleh panah pada gambar. Akibatnya, setengah bidang depan H akan disejajarkan dengan setengah bidang bawah V, dan setengah bidang belakang H- dengan setengah bidang atas V.

Gambar proyeksi, di mana bidang proyeksi dengan segala sesuatu yang digambarkan padanya, digabungkan dengan cara tertentu satu sama lain, disebut diagram(dari epure Prancis - menggambar). Gambar tersebut menunjukkan diagram sebuah titik TETAPI.

Dengan metode menggabungkan pesawat H dan V proyeksi sebuah 1 dan sebuah 2 akan terletak pada tegak lurus yang sama terhadap sumbu SAPI. Pada saat yang sama, jarak sebuah 1 sebuah x — dari proyeksi horizontal titik ke sumbu SAPI TETAPI sampai ke pesawat V, dan jarak sebuah 2 sebuah x — dari proyeksi frontal titik ke sumbu SAPI sama dengan jarak dari titik TETAPI sampai ke pesawat H.

Garis lurus yang menghubungkan proyeksi berlawanan dari suatu titik pada diagram, kami setuju untuk memanggil jalur komunikasi proyeksi.

Posisi proyeksi titik pada diagram tergantung pada kuartal di mana titik yang diberikan berada. Jadi jika intinya PADA terletak di kuarter kedua, maka setelah penjajaran bidang, kedua proyeksi akan terletak di atas sumbu SAPI.

Jika titik Dengan berada di kuarter ketiga, maka proyeksi horizontalnya, setelah menggabungkan bidang, akan berada di atas sumbu, dan proyeksi frontal akan berada di bawah sumbu SAPI. Akhirnya, jika intinya D terletak di kuarter keempat, maka kedua proyeksinya akan berada di bawah sumbu SAPI. Angka tersebut menunjukkan poin M dan N berbaring di bidang proyeksi. Pada posisi ini, titik tersebut berimpit dengan salah satu proyeksinya, sedangkan proyeksi lainnya ternyata terletak pada sumbunya. SAPI. Fitur ini juga tercermin dalam penunjukan: di dekat proyeksi yang bertepatan dengan titik itu sendiri, huruf kapital tanpa indeks ditulis.

Perlu juga dicatat bahwa kasus ketika kedua proyeksi titik bertepatan. Hal ini akan terjadi jika titik berada pada kuarter kedua atau keempat pada jarak yang sama dari bidang proyeksi. Kedua proyeksi digabungkan dengan titik itu sendiri, jika yang terakhir terletak pada sumbu SAPI.

SISTEM ORTHOGONAL TIGA BIDANG PROYEKSI.

Ditunjukkan di atas bahwa dua proyeksi suatu titik menentukan posisinya dalam ruang. Karena setiap gambar atau benda adalah kumpulan titik, dapat dikatakan bahwa dua proyeksi ortogonal suatu objek (dengan adanya penunjukan huruf) sepenuhnya menentukan bentuknya.

Namun, dalam praktik penggambaran struktur bangunan, mesin, dan berbagai struktur teknik, perlu dibuat proyeksi tambahan. Mereka melakukan ini hanya untuk tujuan membuat gambar proyeksi lebih jelas, lebih mudah dibaca.

Model tiga bidang proyeksi ditunjukkan pada gambar. Bidang ketiga, tegak lurus dan H dan V, dilambangkan dengan huruf W dan disebut Profil.

Proyeksi titik-titik pada bidang ini juga disebut profil, dan dilambangkan dengan huruf kapital atau angka dengan indeks 3 (sebuahh,bh,ch, ...1 jam, 2 jam, 3 3 ...).

Bidang proyeksi, berpotongan berpasangan, menentukan tiga sumbu: HAIX, Okamu dan HAIZ, yang dapat dianggap sebagai sistem koordinat Cartesian persegi panjang di ruang angkasa dengan asal di titik O. Sistem tanda yang ditunjukkan pada gambar sesuai dengan "sistem kanan" koordinat.

Tiga bidang proyeksi membagi ruang menjadi delapan sudut segitiga - inilah yang disebut oktan. Penomoran oktan diberikan pada gambar.

Untuk mendapatkan sebidang pesawat H dan W putar seperti yang ditunjukkan pada gambar hingga sejajar dengan bidang V. Sebagai hasil dari rotasi, setengah bidang depan H ternyata sejajar dengan setengah bidang bawah V, dan setengah bidang belakang H- dengan setengah bidang atas V. Ketika diputar 90 ° di sekitar sumbu HAIZ setengah bidang depan W bertepatan dengan setengah bidang kanan V, dan setengah bidang belakang W- dengan setengah bidang kiri V.

Tampilan akhir dari semua bidang proyeksi gabungan diberikan pada gambar. Dalam gambar ini, sumbu HAIX dan HAIZ, berbaring di pesawat tetap V, ditampilkan hanya sekali, dan sumbu HAIkamu ditampilkan dua kali. Ini dijelaskan oleh fakta bahwa, berputar dengan pesawat H, sumbu HAIkamu pada diagram sejajar dengan sumbu HAIZ, sambil berputar dengan pesawat W, sumbu yang sama sejajar dengan sumbu HAIX.

Di masa depan, ketika menunjuk sumbu pada diagram, semi-sumbu negatif (- HAIX, — HAIkamu, — HAIZ) tidak akan ditunjukkan.

TIGA KOORDINAT DAN TIGA PROYEKSI TITIK DAN RADIUS-VEKTORNYA.

Koordinat adalah bilangan yangdimasukkan ke dalam korespondensi dengan titik untuk menentukanniya posisinya di luar angkasa atau dipermukaan.

Dalam ruang tiga dimensi, posisi suatu titik diatur menggunakan koordinat Cartesian persegi panjang x, y dan z.

Koordinat X ditelepon absis, pada— ordinat dan z — aplikasi. Absis X mendefinisikan jarak dari titik tertentu ke bidang W, ordinat y - sampai ke pesawat V dan aplikasi z - sampai ke pesawat H. Setelah mengadopsi sistem yang ditunjukkan pada gambar untuk menghitung koordinat suatu titik, kami akan menyusun tabel tanda koordinat di kedelapan oktan. Setiap titik di luar angkasa TETAPI, diberikan oleh koordinat, akan dilambangkan sebagai berikut: A(x, y,z).

Jika x = 5, y = 4 dan z = 6, maka entrinya akan berbentuk sebagai berikut: TETAPI(5, 4, 6). Titik ini TETAPI, semua koordinat yang positif, berada di oktan pertama

Koordinat titik TETAPI adalah, pada saat yang sama, koordinat jari-jarinya-vektor

OA sehubungan dengan asal usul koordinat. Jika sebuah saya, j, k adalah vektor satuan yang diarahkan masing-masing sepanjang sumbu koordinat x, y,z(gambar), lalu

OA =HAIA x saya+OAkamuj + OAzk , di mana OA X, OA U, OA g - koordinat vektor OA

Direkomendasikan untuk membangun citra titik itu sendiri dan proyeksinya pada model spasial (gambar) menggunakan parallelepiped persegi panjang koordinat. Pertama-tama, pada sumbu koordinat dari titik HAI menunda segmen, masing-masing sama 5, 4 dan 6 satuan panjang. Pada segmen ini (HAIsebuah x , Oay , HAIsebuah z ), seperti di tepi, buat paralelepiped persegi panjang. Titik puncaknya, berlawanan dengan titik asal, akan menentukan titik yang diberikan TETAPI. Sangat mudah untuk melihat itu untuk menentukan intinya TETAPI itu cukup untuk membangun hanya tiga tepi paralelepiped, misalnya HAIsebuah x , a x a 1 dan sebuah 1 TETAPI atau HAIay , a y a 1 dan sebuah 1 A dan seterusnya Tepi-tepi ini membentuk polyline koordinat, panjang setiap tautan ditentukan oleh koordinat titik yang sesuai.

Namun, konstruksi paralelepiped memungkinkan kita untuk menentukan tidak hanya titik TETAPI, tetapi juga ketiga proyeksi ortogonalnya.

Sinar yang memproyeksikan suatu titik pada bidang H, V, W adalah tiga sisi paralelepiped yang berpotongan di titik TETAPI.

Masing-masing proyeksi ortogonal dari titik TETAPI, yang terletak di pesawat, ditentukan oleh hanya dua koordinat.

Ya, proyeksi horizontal sebuah 1 ditentukan oleh koordinat X dan y, proyeksi depan sebuah 2 - koordinat x danz, proyeksi profil sebuah 3 — koordinat pada dan z. Tetapi setiap dua proyeksi ditentukan oleh tiga koordinat. Itulah sebabnya menentukan titik dengan dua proyeksi sama dengan menentukan titik dengan tiga koordinat.

Pada diagram (gambar), di mana semua bidang proyeksi digabungkan, proyeksi sebuah 1 dan sebuah 2 akan berada pada tegak lurus yang sama terhadap sumbu HAIX, dan proyeksi sebuah 2 dan sebuah 3 — satu tegak lurus terhadap sumbu ons.

Adapun proyeksi sebuah 1 dan sebuah 3 , maka mereka dihubungkan oleh garis lurus sebuah 1 ay dan sebuah 3 ay , tegak lurus sumbu HAIkamu. Tetapi karena sumbu ini menempati dua posisi pada diagram, segmen sebuah 1 ay tidak bisa menjadi kelanjutan dari segmen sebuah 3 ay .

Konstruksi proyeksi titik A (5, 4, 6) pada diagram pada koordinat yang diberikan, mereka dilakukan dalam urutan berikut: pertama-tama, pada sumbu absis dari titik asal, sebuah segmen diletakkan HAIsebuah x = x(dalam kasus kami x =5), lalu melalui titik sebuah x tarik tegak lurus terhadap sumbu HAIX, di mana, dengan mempertimbangkan tanda-tanda, kami menunda segmen a x a 1 = y(kita mendapatkan sebuah 1 ) dan a x a 2 = z(kita mendapatkan sebuah 2 ). Tetap membangun proyeksi profil titik sebuah 3 . Karena profil dan proyeksi frontal suatu titik harus terletak pada tegak lurus yang sama terhadap sumbu ons , lalu melalui sebuah 3 langsung sebuah 2 sebuah z ^ ons.

Akhirnya, pertanyaan terakhir muncul: pada jarak berapa dari sumbu? HAIZ harus 3?

Mengingat kotak koordinat (lihat gambar), ujung-ujungnya a z a 3 = O ay = a x a 1 = kamu kami menyimpulkan bahwa jarak yang diinginkan a z a 3 sama dengan y. Segmen garis a z a 3 sisihkan ke kanan sumbu OZ jika y>0, dan ke kiri jika y

Mari kita lihat perubahan apa yang akan terjadi pada diagram ketika titik mulai berubah posisinya di ruang angkasa.

Biarkan, misalnya, sebuah titik A (5, 4, 6) akan bergerak dalam garis lurus tegak lurus terhadap bidang V. Dengan gerakan seperti itu, hanya satu koordinat yang akan berubah y, menunjukkan jarak dari suatu titik ke bidang V. Koordinat akan tetap konstan. x danz , dan proyeksi titik yang ditentukan oleh koordinat ini, mis. sebuah 2 tidak akan mengubah posisinya.

Adapun proyeksi sebuah 1 dan sebuah 3 , maka yang pertama akan mulai mendekati sumbu HAIX, yang kedua - ke sumbu HAIZ. Dalam gambar, posisi baru titik sesuai dengan penunjukan sebuah 1 (sebuah 1 1 sebuah 2 1 sebuah 3 1 ). Ketika titik berada di bidang V(y = 0), dua dari tiga proyeksi ( sebuah 1 2 dan sebuah 3 2 ) akan terletak pada sumbunya.

Setelah pindah dari Saya oktan di II, titik akan mulai menjauh dari pesawat V, koordinat pada menjadi negatif, nilai absolutnya akan meningkat. Proyeksi horizontal dari titik ini, terletak di setengah bidang belakang H, pada plot akan berada di atas sumbu HAIX, dan proyeksi profil, berada di setengah bidang belakang W, pada diagram akan berada di sebelah kiri sumbu HAIZ. Seperti biasa, potong sebuah zsebuah 3 3 = y.

Dalam diagram berikutnya, kami tidak akan menunjukkan dengan huruf titik-titik perpotongan sumbu koordinat dengan garis-garis sambungan proyeksi. Ini akan menyederhanakan gambar sampai batas tertentu.

Di masa depan, akan ada diagram tanpa sumbu koordinat. Ini dilakukan dalam praktik ketika menggambarkan objek, ketika hanya gambar itu sendiri yang pentingobjek, bukan posisinya relatif terhadappesawat proyeksi.

Bidang proyeksi dalam hal ini ditentukan dengan akurasi hanya sampai terjemahan paralel (gambar). Mereka biasanya dipindahkan sejajar dengan diri mereka sendiri sedemikian rupa sehingga semua titik objek berada di atas bidang. H dan di depan pesawat V. Karena posisi sumbu X 12 ternyata tidak tentu, pembentukan diagram dalam hal ini tidak perlu dikaitkan dengan rotasi bidang di sekitar sumbu koordinat. Saat beralih ke plot pesawat H dan V digabungkan sehingga proyeksi titik yang berlawanan terletak pada garis vertikal.

Plot tak bersumbu titik A dan B(gambar) bukanmenentukan posisinya di luar angkasa,tetapi memungkinkan kita untuk menilai orientasi relatif mereka. Jadi, segmen x mencirikan perpindahan titik TETAPI dalam kaitannya dengan titik PADA dalam arah yang sejajar dengan bidang H dan V. Dengan kata lain, x menunjukkan seberapa besar titik TETAPI terletak di sebelah kiri titik PADA. Offset relatif dari titik dalam arah tegak lurus bidang V ditentukan oleh segmen y, yaitu titik Dan masuk dalam contoh kita, lebih dekat ke pengamat daripada titik PADA, jarak yang sama dengan y.

Akhirnya, segmen z menunjukkan kelebihan titik TETAPI di atas titik PADA.

Pendukung studi tanpa sumbu dari kursus geometri deskriptif dengan tepat menunjukkan bahwa ketika memecahkan banyak masalah, seseorang dapat melakukannya tanpa sumbu koordinat. Namun, penolakan total terhadap mereka tidak dapat dianggap bijaksana. Geometri deskriptif dirancang untuk mempersiapkan insinyur masa depan tidak hanya untuk pelaksanaan gambar yang kompeten, tetapi juga untuk memecahkan berbagai masalah teknis, di antaranya masalah statika spasial dan mekanika menempati tempat terakhir. Dan untuk ini perlu mengembangkan kemampuan untuk mengarahkan objek ini atau itu relatif terhadap sumbu koordinat Cartesian. Keterampilan ini juga akan diperlukan ketika mempelajari bagian geometri deskriptif seperti perspektif dan aksonometri. Oleh karena itu, pada sejumlah diagram dalam buku ini, kami menyimpan gambar sumbu koordinat. Gambar semacam itu tidak hanya menentukan bentuk objek, tetapi juga lokasinya relatif terhadap bidang proyeksi.

Untuk membangun gambar dari sejumlah detail, perlu untuk dapat menemukan proyeksi titik individu. Misalnya, sulit untuk menggambar tampilan atas dari bagian yang ditunjukkan pada Gambar. 139 tanpa membuat proyeksi horizontal titik A, B, C, D, E, F, dll.

Masalah menemukan proyeksi titik oleh satu yang diberikan pada permukaan objek diselesaikan sebagai berikut. Pertama, proyeksi permukaan tempat titik itu ditemukan. Kemudian, menggambar garis koneksi ke proyeksi, di mana permukaan diwakili oleh garis, proyeksi kedua dari titik ditemukan. Proyeksi ketiga terletak pada perpotongan jalur komunikasi.

Pertimbangkan sebuah contoh.

Tiga proyeksi bagian diberikan (Gbr. 140, a). Proyeksi horizontal a dari titik A yang terletak pada permukaan yang terlihat diberikan. Kita perlu menemukan proyeksi lain dari titik ini.

Pertama-tama, Anda perlu menggambar garis bantu. Jika dua tampilan diberikan, maka tempat garis bantu dalam gambar dipilih secara sewenang-wenang, di sebelah kanan tampilan atas, sehingga tampilan di sebelah kiri berada pada jarak yang diperlukan dari tampilan utama (Gbr. 141).

Jika tiga tampilan telah dibangun (Gbr. 142, a), maka tempat garis bantu tidak dapat dipilih secara sewenang-wenang; Anda perlu menemukan titik yang akan dilaluinya. Untuk melakukan ini, cukup melanjutkan sampai persimpangan timbal balik dari proyeksi horizontal dan profil sumbu simetri dan melalui titik yang dihasilkan k (Gbr. 142, b) menggambar segmen garis lurus pada sudut 45 °, yang akan menjadi garis lurus bantu.

Jika tidak ada sumbu simetri, maka lanjutkan sampai perpotongan di titik k 1 horizontal dan proyeksi profil dari setiap wajah yang diproyeksikan dalam bentuk segmen garis lurus (Gbr. 142, b).

Setelah menggambar garis lurus tambahan, mereka mulai membangun proyeksi titik (lihat Gambar 140, b).

Proyeksi frontal a" dan profil a" dari titik A harus ditempatkan pada proyeksi yang sesuai dari permukaan tempat titik A berada. Proyeksi ini ditemukan. pada gambar. 140, b mereka disorot dalam warna. Gambarlah jalur komunikasi seperti yang ditunjukkan oleh panah. Di persimpangan jalur komunikasi dengan proyeksi permukaan, proyeksi a" dan a" yang diinginkan ditemukan.

Konstruksi proyeksi titik B, C, D ditunjukkan pada gambar. 140, dalam jalur komunikasi dengan panah. Proyeksi titik yang diberikan diwarnai. Garis komunikasi ditarik ke proyeksi di mana permukaan digambarkan sebagai garis, dan bukan sebagai gambar. Oleh karena itu, proyeksi frontal dari titik C pertama kali ditemukan.Proyeksi profil dari titik C ditentukan oleh perpotongan jalur komunikasi.

Jika permukaan tidak digambarkan oleh garis pada proyeksi apa pun, maka bidang bantu harus digunakan untuk membuat proyeksi titik. Misalnya, proyeksi frontal d dari titik A diberikan, terletak di permukaan kerucut (Gbr. 143, a). Sebuah bidang bantu digambar melalui sebuah titik yang sejajar dengan alasnya, yang akan memotong kerucut dalam sebuah lingkaran; proyeksi depannya adalah segmen garis lurus, dan proyeksi horizontalnya adalah lingkaran dengan diameter yang sama dengan panjang segmen ini (Gbr. 143, b). Dengan menggambar garis komunikasi ke lingkaran ini dari titik a, diperoleh proyeksi horizontal titik A.

Proyeksi profil a" dari titik A ditemukan dengan cara biasa pada perpotongan jalur komunikasi.

Dengan cara yang sama, seseorang dapat menemukan proyeksi suatu titik yang terletak, misalnya, pada permukaan piramida atau bola. Ketika sebuah piramida berpotongan dengan bidang yang sejajar dengan alas dan melewati suatu titik tertentu, sebuah bangun yang mirip dengan alas akan terbentuk. Proyeksi titik yang diberikan terletak pada proyeksi gambar ini.

Jawablah pertanyaan

1. Pada sudut berapakah garis bantu ditarik?

2. Di mana garis bantu digambar jika tampilan depan dan atas diberikan, tetapi Anda perlu membuat tampilan dari kiri?

3. Bagaimana cara menentukan tempat garis bantu di hadapan tiga jenis?

4. Apa metode membangun proyeksi suatu titik menurut satu yang diberikan, jika salah satu permukaan objek diwakili oleh sebuah garis?

5. Untuk benda geometris apa dan dalam kasus apa proyeksi titik yang diberikan pada permukaannya ditemukan menggunakan bidang bantu?

Tugas ke 20

Latihan 68

Tuliskan di buku kerja proyeksi titik-titik yang ditunjukkan oleh angka-angka pada tampilan yang sesuai dengan titik-titik yang ditunjukkan oleh huruf-huruf pada gambar visual dalam contoh yang ditunjukkan kepada Anda oleh guru (Gbr. 144, a-d).

Latihan 69

pada gambar. 145, huruf a-b menunjukkan hanya satu proyeksi dari beberapa simpul. Temukan dalam contoh yang diberikan kepada Anda oleh guru, proyeksi yang tersisa dari simpul-simpul ini dan tentukan dengan huruf. Buatlah dalam salah satu contoh proyeksi titik-titik yang hilang yang diberikan pada tepi objek (Gbr. 145, d dan e). Sorot dengan warna proyeksi tepi di mana titik-titik berada. Selesaikan tugas di atas kertas transparan, letakkan di halaman buku teks. Tidak perlu menggambar ulang Gambar 145.

Latihan 70

Temukan proyeksi yang hilang dari titik-titik yang diberikan oleh satu proyeksi pada permukaan objek yang terlihat (Gbr. 146). Labeli mereka dengan huruf. Sorot proyeksi titik yang diberikan dengan warna. Gambar visual akan membantu Anda memecahkan masalah. Tugas dapat diselesaikan baik di buku kerja maupun di atas kertas transparan, melapisinya di halaman buku teks. Dalam kasus terakhir, gambar ulang Gambar. 146 tidak perlu.

Latihan 71

Dalam contoh yang diberikan oleh guru kepada Anda, gambarlah tiga jenis (Gbr. 147). Bangun proyeksi yang hilang dari titik-titik yang diberikan pada permukaan objek yang terlihat. Sorot proyeksi titik yang diberikan dengan warna. Label semua proyeksi titik. Untuk membuat proyeksi titik, gunakan garis lurus bantu. Buat gambar teknik dan tandai titik-titik yang diberikan di atasnya.

Kursus singkat dalam geometri deskriptif

Kuliah ditujukan untuk mahasiswa teknik dan spesialisasi teknis

Metode Monge

Jika informasi tentang jarak suatu titik relatif terhadap bidang proyeksi diberikan bukan dengan bantuan tanda numerik, tetapi dengan bantuan proyeksi kedua titik tersebut, yang dibangun di atas bidang proyeksi kedua, maka gambarnya disebut dua- gambar atau kompleks. Prinsip-prinsip dasar untuk membuat gambar-gambar seperti itu dikemukakan oleh G. Monge.
Metode yang dikemukakan oleh Monge - metode proyeksi ortogonal, dan dua proyeksi diambil pada dua bidang proyeksi yang saling tegak lurus - memberikan ekspresi, akurasi, dan keterbacaan gambar objek pada bidang, telah dan tetap menjadi metode utama untuk menggambar gambar teknik

Gambar 1.1 Titik dalam sistem tiga bidang proyeksi

Model tiga bidang proyeksi ditunjukkan pada Gambar 1.1. Bidang ketiga, tegak lurus terhadap P1 dan P2, dilambangkan dengan huruf P3 dan disebut bidang profil. Proyeksi titik-titik pada bidang ini dilambangkan dengan huruf kapital atau angka dengan indeks 3. Bidang proyeksi, berpotongan berpasangan, menentukan tiga sumbu 0x, 0y dan 0z, yang dapat dianggap sebagai sistem koordinat Cartesian dalam ruang dengan titik asal pada titik 0. Tiga bidang proyeksi membagi ruang menjadi delapan sudut trihedral - oktan. Seperti sebelumnya, kita akan berasumsi bahwa penonton yang melihat objek berada di oktan pertama. Untuk memperoleh diagram, titik-titik dalam sistem tiga bidang proyeksi bidang P1 dan P3 diputar hingga berhimpitan dengan bidang P2. Saat menunjuk sumbu pada diagram, semi-sumbu negatif biasanya tidak ditunjukkan. Jika hanya gambar objek itu sendiri yang signifikan, dan bukan posisinya relatif terhadap bidang proyeksi, maka sumbu pada diagram tidak ditampilkan. Koordinat adalah bilangan yang bersesuaian dengan suatu titik untuk menentukan posisinya dalam ruang atau permukaan. Dalam ruang tiga dimensi, posisi suatu titik diatur menggunakan koordinat kartesius persegi panjang x, y, dan z (absis, ordinat, dan aplikasi).

Untuk menentukan posisi garis lurus dalam ruang, ada beberapa cara sebagai berikut: 1. Dua titik (A dan B). Pertimbangkan dua titik di ruang A dan B (Gbr. 2.1). Melalui titik-titik ini kita dapat menggambar garis lurus, kita mendapatkan segmen. Untuk menemukan proyeksi segmen ini pada bidang proyeksi, perlu untuk menemukan proyeksi titik A dan B dan menghubungkannya dengan garis lurus. Setiap proyeksi segmen pada bidang proyeksi lebih kecil dari segmen itu sendiri:<; <; <.

Gambar 2.1 Menentukan posisi garis lurus dari dua titik

2. Dua bidang (a; b). Metode pengaturan ini ditentukan oleh fakta bahwa dua bidang tidak sejajar berpotongan di ruang dalam garis lurus (metode ini dibahas secara rinci dalam kursus geometri dasar).

3. Titik dan sudut kemiringan terhadap bidang proyeksi. Mengetahui koordinat titik milik garis dan sudut kemiringannya terhadap bidang proyeksi, Anda dapat menemukan posisi garis dalam ruang.

Tergantung pada posisi garis lurus dalam kaitannya dengan bidang proyeksi, ia dapat menempati posisi umum dan khusus. 1. Garis lurus yang tidak sejajar dengan bidang proyeksi apa pun disebut garis lurus dalam posisi umum (Gbr. 3.1).

2. Garis lurus yang sejajar dengan bidang proyeksi menempati posisi tertentu dalam ruang dan disebut garis sejajar. Bergantung pada bidang proyeksi mana garis yang diberikan sejajar, ada:

2.1. Proyeksi langsung yang sejajar dengan bidang horizontal disebut garis horizontal atau kontur (Gbr. 3.2).

Gambar 3.2 Garis lurus horizontal

2.2. Proyeksi langsung yang sejajar dengan bidang frontal disebut frontal atau frontal (Gbr. 3.3).

Gambar 3.3 Frontal lurus

2.3. Proyeksi langsung yang sejajar dengan bidang profil disebut proyeksi profil (Gbr. 3.4).

Gambar 3.4 Profil lurus

3. Garis lurus yang tegak lurus terhadap bidang proyeksi disebut proyeksi. Sebuah garis yang tegak lurus terhadap satu bidang proyeksi sejajar dengan dua bidang lainnya. Tergantung pada bidang proyeksi mana garis yang diselidiki tegak lurus, ada:

3.1. Memproyeksikan garis lurus ke depan - AB (Gbr. 3.5).

Gambar 3.5 Garis proyeksi depan

3.2. Profil memproyeksikan garis lurus - AB (Gbr. 3.6).

Gambar 3.6 Garis proyeksi profil

3.3. Memproyeksikan garis lurus secara horizontal - AB (Gbr. 3.7).

Gambar 3.7 Garis proyeksi horizontal

Bidang merupakan salah satu konsep dasar geometri. Dalam penyajian geometri yang sistematis, konsep bidang biasanya diambil sebagai salah satu konsep awal, yang hanya secara tidak langsung ditentukan oleh aksioma-aksioma geometri. Beberapa sifat karakteristik bidang: 1. Bidang adalah permukaan yang secara lengkap memuat setiap garis yang menghubungkan setiap titiknya; 2. Bidang adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari dua titik tertentu.

Cara definisi grafis dari pesawat Posisi pesawat dalam ruang dapat ditentukan:

1. Tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus (Gbr. 4.1).

Gambar 4.1 Bidang didefinisikan oleh tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus

2. Sebuah garis lurus dan sebuah titik yang tidak termasuk dalam garis lurus tersebut (Gbr. 4.2).

Gambar 4.2 Bidang yang dibatasi oleh sebuah garis lurus dan sebuah titik yang tidak termasuk dalam garis ini

3. Dua garis lurus yang berpotongan (Gbr. 4.3).

Gambar 4.3 Bidang didefinisikan oleh dua garis lurus yang berpotongan

4. Dua garis sejajar (Gbr. 4.4).

Gambar 4.4 Bidang yang dibatasi oleh dua garis lurus sejajar

Posisi bidang yang berbeda relatif terhadap bidang proyeksi

Bergantung pada posisi bidang dalam kaitannya dengan bidang proyeksi, ia dapat menempati posisi umum dan khusus.

1. Suatu bidang yang tidak tegak lurus terhadap suatu bidang proyeksi disebut bidang dalam posisi umum. Bidang seperti itu memotong semua bidang proyeksi (memiliki tiga jejak: - horizontal S 1; - frontal S 2; - profil S 3). Jejak bidang generik berpotongan berpasangan pada sumbu di titik ax,ay,az. Titik-titik ini disebut titik hilang, mereka dapat dianggap sebagai simpul dari sudut trihedral yang dibentuk oleh bidang yang diberikan dengan dua dari tiga bidang proyeksi. Setiap jejak bidang bertepatan dengan proyeksinya dengan nama yang sama, dan dua proyeksi lainnya dengan nama yang berlawanan terletak pada sumbu (Gbr. 5.1).

2. Bidang tegak lurus terhadap bidang proyeksi - menempati posisi tertentu dalam ruang dan disebut proyeksi. Bergantung pada bidang proyeksi mana bidang yang diberikan tegak lurus, ada:

2.1. Bidang yang tegak lurus terhadap bidang proyeksi horizontal (S ^ 1) disebut bidang proyeksi horizontal. Proyeksi horizontal bidang semacam itu adalah garis lurus, yang juga merupakan jejak horizontalnya. Proyeksi horizontal dari semua titik dari gambar apa pun di bidang ini bertepatan dengan jejak horizontal (Gbr. 5.2).

Gambar 5.2 Bidang proyeksi horizontal

2.2. Bidang yang tegak lurus terhadap bidang proyeksi depan (S ^ P2) adalah bidang proyeksi depan. Proyeksi frontal bidang S adalah garis lurus yang bertepatan dengan jejak S 2 (Gbr. 5.3).

Gambar 5.3 Bidang proyeksi depan

2.3. Bidang yang tegak lurus terhadap bidang profil (S ^ 3) adalah bidang proyeksi profil. Kasus khusus dari bidang semacam itu adalah bidang garis bagi (Gbr. 5.4).

Gambar 5.4 Bidang proyeksi profil

3. Bidang sejajar dengan bidang proyeksi - menempati posisi tertentu dalam ruang dan disebut bidang datar. Bergantung pada bidang mana yang sejajar dengan bidang yang dipelajari, ada:

3.1. Bidang horizontal - bidang yang sejajar dengan bidang proyeksi horizontal (S //P1) - (S ^P2, S ^P3). Gambar apa pun di bidang ini diproyeksikan ke bidang P1 tanpa distorsi, dan pada bidang P2 dan P3 menjadi garis lurus - jejak bidang S 2 dan S 3 (Gbr. 5.5).

Gambar 5.5 Bidang horizontal

3.2. Bidang frontal - bidang yang sejajar dengan bidang proyeksi frontal (S //P2), (S ^P1, S ^P3). Gambar apa pun di bidang ini diproyeksikan ke bidang P2 tanpa distorsi, dan pada bidang P1 dan P3 menjadi garis lurus - jejak bidang S 1 dan S 3 (Gbr. 5.6).

Gambar 5.6 Bidang frontal

3.3. Bidang profil - bidang yang sejajar dengan bidang profil proyeksi (S //P3), (S ^P1, S ^P2). Gambar apa pun di bidang ini diproyeksikan ke bidang P3 tanpa distorsi, dan pada bidang P1 dan P2 menjadi garis lurus - jejak bidang S 1 dan S 2 (Gbr. 5.7).

Gambar 5.7 Bidang profil

Jejak pesawat

Jejak bidang adalah garis perpotongan bidang dengan bidang proyeksi. Bergantung pada bidang proyeksi mana yang berpotongan dengan yang diberikan, mereka membedakan: jejak horizontal, frontal, dan profil bidang.

Setiap jejak pesawat adalah garis lurus, untuk konstruksi yang perlu diketahui dua titik, atau satu titik dan arah garis lurus (seperti untuk konstruksi garis lurus apa pun). Gambar 5.8 menunjukkan penemuan jejak bidang S (ABC). Jejak frontal bidang S 2 dibangun sebagai garis yang menghubungkan dua titik 12 dan 22, yang merupakan jejak frontal dari garis-garis yang bersesuaian milik bidang S . Jejak mendatar S 1 adalah garis lurus yang melalui garis mendatar dari garis lurus AB dan S x. Jejak profil S 3 - garis lurus yang menghubungkan titik-titik (S y dan S z) dari perpotongan jejak horizontal dan frontal dengan sumbu.

Gambar 5.8 Konstruksi jejak bidang

Menentukan posisi relatif dari garis lurus dan bidang adalah masalah posisi, yang penyelesaiannya menggunakan metode pemotongan bidang bantu. Inti dari metode ini adalah sebagai berikut: gambarlah sebuah bidang garis potong bantu Q melalui garis dan atur posisi relatif dari dua garis a dan b, yang terakhir adalah garis perpotongan bidang garis potong bantu Q dan bidang ini T ( Gambar 6.1).

Gambar 6.1 Metode bidang potong bantu

Masing-masing dari tiga kemungkinan kasus posisi relatif garis-garis ini sesuai dengan kasus serupa dari posisi bersama garis dan bidang. Jadi, jika kedua garis bertepatan, maka garis a terletak pada bidang T, paralelisme garis menunjukkan paralelisme garis dan bidang, dan, akhirnya, perpotongan garis sesuai dengan kasus ketika garis a berpotongan. bidang T. Jadi, ada tiga kasus posisi relatif garis dan bidang: milik bidang; Garis sejajar dengan bidang; Garis lurus memotong bidang, kasus khusus - garis lurus tegak lurus terhadap bidang. Mari kita pertimbangkan setiap kasus.

Garis lurus milik pesawat

Aksioma 1. Sebuah garis termasuk dalam suatu bidang jika dua titiknya terletak pada bidang yang sama (gbr.6.2).

Tugas. Diberikan sebuah bidang (n,k) dan satu proyeksi garis m2. Diperlukan untuk menemukan proyeksi garis m yang hilang jika diketahui bahwa itu milik bidang yang diberikan oleh garis berpotongan n dan k. Proyeksi garis m2 memotong garis n dan k di titik B2 dan C2, untuk menemukan proyeksi garis yang hilang, perlu untuk menemukan proyeksi yang hilang dari titik B dan C sebagai titik yang terletak pada garis n dan k , masing-masing. Jadi, titik B dan C termasuk dalam bidang yang diberikan oleh garis berpotongan n dan k, dan garis m melewati titik-titik ini, yang berarti bahwa, menurut aksioma, garis tersebut milik bidang ini.

Aksioma 2. Sebuah garis termasuk dalam suatu bidang jika memiliki satu titik yang sama dengan bidang tersebut dan sejajar dengan setiap garis yang terletak pada bidang tersebut (Gbr. 6.3).

Tugas. Gambarlah garis m melalui titik B jika diketahui bahwa garis itu milik bidang yang diberikan oleh garis berpotongan n dan k. Misalkan B milik garis n yang terletak pada bidang yang diberikan oleh garis berpotongan n dan k. Melalui proyeksi B2 kita menggambar proyeksi garis m2 sejajar dengan garis k2, untuk menemukan proyeksi garis yang hilang, perlu untuk membangun proyeksi titik B1 sebagai titik yang terletak pada proyeksi garis n1 dan gambarlah proyeksi garis m1 yang melaluinya sejajar dengan proyeksi k1. Jadi, titik-titik B termasuk dalam bidang yang diberikan oleh garis berpotongan n dan k, dan garis m melewati titik ini dan sejajar dengan garis k, yang berarti bahwa, menurut aksioma, garis tersebut milik bidang ini.

Gambar 6.3 Sebuah garis lurus memiliki satu titik persekutuan dengan sebuah bidang dan sejajar dengan sebuah garis lurus yang terletak pada bidang tersebut

Jalur utama di pesawat

Di antara garis-garis lurus milik pesawat, tempat khusus ditempati oleh garis lurus yang menempati posisi tertentu dalam ruang:

1. Horizontal h - garis lurus yang terletak pada bidang tertentu dan sejajar dengan bidang proyeksi horizontal (h / / P1) (Gbr. 6.4).

Gambar 6.4 Horisontal

2. Frontal f - garis lurus yang terletak di bidang dan sejajar dengan bidang proyeksi frontal (f / / P2) (Gbr. 6.5).

Gambar 6.5 Frontal

3. Profil garis lurus p - garis lurus yang berada pada bidang tertentu dan sejajar dengan bidang profil proyeksi (p / / P3) (Gbr. 6.6). Perlu dicatat bahwa jejak pesawat juga dapat dikaitkan dengan jalur utama. Jejak horizontal adalah bidang horizontal, bagian depan adalah bagian depan dan profil adalah garis profil bidang.

Gambar 6.6 Profil lurus

4. Garis kemiringan terbesar dan proyeksi horizontalnya membentuk sudut linier j, yang mengukur sudut dihedral yang dibuat oleh bidang ini dan bidang proyeksi horizontal (Gbr. 6.7). Jelas, jika sebuah garis tidak memiliki dua titik yang sama dengan sebuah bidang, maka garis itu sejajar dengan bidang atau memotongnya.

Gambar 6.7 Garis kemiringan terbesar

Posisi bersama antara titik dan bidang

Ada dua opsi untuk pengaturan timbal balik dari suatu titik dan bidang: apakah titik itu termasuk dalam bidang itu, atau tidak. Jika titik itu milik bidang, maka hanya satu dari tiga proyeksi yang menentukan posisi titik di ruang angkasa yang dapat diatur secara sewenang-wenang. Mari kita perhatikan sebuah contoh (gbr.6.8): Konstruksi proyeksi titik A yang termasuk dalam bidang posisi umum yang diberikan oleh dua garis lurus sejajar a(a//b).

Tugas. Diketahui: bidang T(a,b) dan proyeksi titik A2. Diperlukan untuk membuat proyeksi A1 jika diketahui bahwa titik A terletak pada bidang c,a. Melalui titik A2 kita menggambar proyeksi garis m2, yang memotong proyeksi garis a2 dan b2 di titik C2 dan B2. Setelah membangun proyeksi titik C1 dan B1, yang menentukan posisi m1, kami menemukan proyeksi horizontal titik A.

Gambar 6.8. Titik milik pesawat

Dua bidang di ruang angkasa dapat saling sejajar, dalam kasus tertentu yang bertepatan satu sama lain, atau berpotongan. Bidang-bidang yang saling tegak lurus adalah kasus khusus dari bidang-bidang yang berpotongan.

1. Pesawat paralel. Bidang dikatakan sejajar jika dua garis berpotongan dari satu bidang masing-masing sejajar dengan dua garis berpotongan pada bidang lain. Definisi ini diilustrasikan dengan baik oleh tugas, melalui titik B, untuk menggambar sebuah bidang yang sejajar dengan bidang yang diberikan oleh dua garis lurus berpotongan ab (Gbr. 7.1). Tugas. Diberikan: sebuah bidang pada posisi umum diberikan oleh dua garis berpotongan ab dan titik B. Diperlukan untuk menggambar sebuah bidang melalui titik B sejajar dengan bidang ab dan mendefinisikannya dengan dua garis berpotongan c dan d. Menurut definisi, jika dua garis berpotongan dari satu bidang masing-masing sejajar dengan dua garis berpotongan dari bidang lain, maka bidang-bidang ini sejajar satu sama lain. Untuk menggambar garis paralel pada diagram, perlu menggunakan properti proyeksi paralel - proyeksi garis paralel sejajar satu sama lain d||a, c||b; d1||a1,с1||b1; d2||a2 ,с2||b2; d3||a3,с3||b3.

Gambar 7.1. Pesawat paralel

2. Bidang yang berpotongan, kasus khusus - bidang yang saling tegak lurus. Garis perpotongan dua bidang adalah garis lurus, yang konstruksinya cukup untuk menentukan dua titik yang sama untuk kedua bidang, atau satu titik dan arah garis perpotongan bidang. Pertimbangkan konstruksi garis perpotongan dua bidang, ketika salah satunya menonjol (Gbr. 7.2).

Tugas. Diberikan: sebuah bidang pada posisi umum diberikan oleh segitiga ABC, dan bidang kedua adalah T yang memproyeksikan secara horizontal. Hal ini diperlukan untuk membuat garis perpotongan bidang-bidang tersebut. Solusi dari masalah ini adalah menemukan dua titik yang sama pada bidang-bidang ini di mana garis lurus dapat ditarik. Bidang yang didefinisikan oleh segitiga ABC dapat direpresentasikan sebagai garis lurus (AB), (AC), (BC). Titik potong garis (AB) dengan bidang T - titik D, garis (AC) -F. Segmen mendefinisikan garis perpotongan bidang. Karena T adalah bidang proyeksi horizontal, proyeksi D1F1 bertepatan dengan jejak bidang T1, jadi tinggal menyusun proyeksi yang hilang pada P2 dan P3.

Gambar 7.2. Perpotongan bidang generik dengan bidang proyeksi horizontal

Mari kita beralih ke kasus umum. Biarkan dua bidang generik a(m,n) dan b (ABC) diberikan dalam ruang (Gbr. 7.3).

Gambar 7.3. Persimpangan pesawat dalam posisi umum

Pertimbangkan urutan pembuatan garis perpotongan bidang a(m//n) dan b(ABC). Dengan analogi dengan masalah sebelumnya, untuk menemukan garis perpotongan bidang-bidang ini, kita menggambar bidang garis potong bantu g dan d. Mari kita cari garis perpotongan bidang-bidang ini dengan bidang-bidang yang ditinjau. Bidang g memotong bidang a sepanjang garis lurus (12), dan bidang b - sepanjang garis lurus (34). Titik K - titik perpotongan garis-garis ini secara bersamaan termasuk dalam tiga bidang a, b dan g, dengan demikian merupakan titik yang termasuk dalam garis perpotongan bidang a dan b. Bidang d memotong bidang a dan b masing-masing sepanjang garis (56) dan (7C), titik potongnya M terletak serentak pada tiga bidang a, b, d dan termasuk dalam garis lurus perpotongan bidang a dan b. Dengan demikian, dua titik ditemukan milik garis perpotongan bidang a dan b - garis lurus (KM).

Beberapa penyederhanaan dalam membangun garis perpotongan bidang dapat dicapai jika bidang potong bantu ditarik melalui garis lurus yang mendefinisikan bidang.

Bidang yang saling tegak lurus. Dari stereometri diketahui bahwa dua bidang saling tegak lurus jika salah satu melewati bidang yang tegak lurus terhadap yang lain. Melalui titik A, Anda dapat menggambar satu set bidang yang tegak lurus terhadap bidang a (f, h) yang diberikan. Bidang-bidang ini membentuk kumpulan bidang-bidang di ruang angkasa, yang sumbunya tegak lurus dijatuhkan dari titik A ke bidang a. Untuk menggambar sebuah bidang yang tegak lurus terhadap bidang yang diberikan oleh dua garis berpotongan hf dari titik A, perlu menggambar garis lurus n yang tegak lurus terhadap bidang hf dari titik A (proyeksi horizontal n tegak lurus dengan proyeksi horizontal bidang hf). horizontal h, proyeksi frontal n tegak lurus dengan proyeksi frontal dari frontal f). Setiap bidang yang melalui garis n akan tegak lurus terhadap bidang hf, oleh karena itu, untuk mengatur bidang melalui titik A, kita menggambar garis sembarang m. Bidang yang diberikan oleh dua garis lurus berpotongan mn akan tegak lurus terhadap bidang hf (Gbr. 7.4).

Gambar 7.4. Bidang yang saling tegak lurus

Metode gerakan pesawat-paralel

Perubahan posisi relatif benda proyeksi dan bidang proyeksi dengan metode gerak sejajar bidang dilakukan dengan mengubah posisi benda geometris sehingga lintasan titik-titiknya berada pada bidang sejajar. Bidang pembawa lintasan titik bergerak sejajar dengan bidang proyeksi apa pun (Gbr. 8.1). Lintasannya adalah garis arbitrer. Dengan perpindahan paralel objek geometris relatif terhadap bidang proyeksi, proyeksi gambar, meskipun mengubah posisinya, tetap kongruen dengan proyeksi gambar pada posisi semula.

Gambar 8.1 Penentuan ukuran alami segmen dengan metode gerakan bidang-paralel

Sifat-sifat gerakan bidang-paralel:

1. Dengan adanya pergerakan titik-titik pada bidang yang sejajar dengan bidang P1, proyeksi frontalnya bergerak sepanjang garis lurus yang sejajar dengan sumbu x.

2. Dalam hal pergerakan sembarang titik pada bidang yang sejajar dengan P2, proyeksi horizontalnya bergerak sepanjang garis lurus yang sejajar dengan sumbu x.

Metode rotasi di sekitar sumbu yang tegak lurus terhadap bidang proyeksi

Bidang pembawa dari lintasan pergerakan titik sejajar dengan bidang proyeksi. Lintasan - busur lingkaran, yang pusatnya terletak pada sumbu tegak lurus terhadap bidang proyeksi. Untuk menentukan ukuran alami suatu ruas garis pada posisi umum AB (Gbr. 8.2), kita memilih sumbu rotasi (i) tegak lurus terhadap bidang proyeksi horizontal dan melalui B1. Mari kita putar segmen sehingga menjadi sejajar dengan bidang proyeksi frontal (proyeksi horizontal segmen sejajar dengan sumbu x). Dalam hal ini titik A1 akan berpindah ke A “1, dan titik B tidak akan berubah posisinya. Posisi titik A” 2 berada pada perpotongan proyeksi frontal lintasan pergerakan titik A (garis lurus sejajar ke sumbu x) dan jalur komunikasi yang ditarik dari A "1. Proyeksi yang dihasilkan B2 A "2 menentukan ukuran sebenarnya dari segmen itu sendiri.

Gambar 8.2 Menentukan ukuran alami suatu segmen dengan memutar di sekitar sumbu yang tegak lurus terhadap bidang proyeksi horizontal

Metode rotasi di sekitar sumbu yang sejajar dengan bidang proyeksi

Pertimbangkan metode ini dengan menggunakan contoh penentuan sudut antara garis berpotongan (Gbr. 8.3). Perhatikan dua proyeksi garis a yang berpotongan dan yang berpotongan di titik K. Untuk menentukan nilai natural sudut antara garis-garis tersebut, perlu mengubah proyeksi ortogonal sehingga garis menjadi sejajar dengan bidang proyeksi. Mari kita gunakan metode rotasi di sekitar garis level - horizontal. Mari kita menggambar proyeksi frontal sewenang-wenang dari horizontal h2 sejajar dengan sumbu Ox, yang memotong garis di titik 12 dan 22 . Setelah mendefinisikan proyeksi 11 dan 11, kami membuat proyeksi horizontal dari h1 horizontal. Lintasan pergerakan semua titik selama rotasi di sekitar horizontal adalah lingkaran yang diproyeksikan ke bidang P1 berupa garis lurus yang tegak lurus dengan proyeksi horizontal horizontal.

Gambar 8.3 Penentuan sudut antara garis berpotongan, rotasi pada sumbu yang sejajar dengan bidang proyeksi horizontal

Jadi, lintasan titik K1 ditentukan oleh garis lurus K1O1, titik O adalah pusat lingkaran - lintasan titik K. Untuk menemukan jari-jari lingkaran ini, kita menemukan nilai alami dari segmen KO dengan metode segitiga Titik K "1 sesuai dengan titik K, ketika garis a dan b terletak pada bidang yang sejajar dengan P1 dan ditarik melalui horizontal - sumbu rotasi. Dengan mengingat hal ini, kami menggambar garis lurus melalui titik K "1 dan titik 11 dan 21, yang sekarang terletak pada bidang yang sejajar dengan P1, dan oleh karena itu sudut phi adalah nilai alami dari sudut antara garis a dan b.

Metode untuk mengganti bidang proyeksi

Mengubah posisi relatif dari gambar yang diproyeksikan dan bidang proyeksi dengan mengubah bidang proyeksi dicapai dengan mengganti bidang P1 dan P2 dengan bidang P4 baru (Gbr. 8.4). Pesawat baru dipilih tegak lurus dengan yang lama. Beberapa transformasi proyeksi memerlukan penggantian ganda bidang proyeksi (Gambar 8.5). Transisi berturut-turut dari satu sistem bidang proyeksi ke sistem lainnya harus dilakukan dengan mengikuti aturan berikut: jarak dari proyeksi titik baru ke sumbu baru harus sama dengan jarak dari proyeksi titik yang diganti ke sumbu yang diganti.

Tugas 1: Menentukan ukuran sebenarnya dari segmen AB dari garis lurus pada posisi umum (Gbr. 8.4). Dari sifat proyeksi paralel, diketahui bahwa suatu segmen diproyeksikan ke sebuah bidang dalam ukuran penuh jika sejajar dengan bidang ini. Kami memilih bidang proyeksi baru P4, sejajar dengan segmen AB dan tegak lurus terhadap bidang P1. Dengan memperkenalkan sebuah bidang baru, kita berpindah dari sistem bidang P1P2 ke sistem P1P4, dan dalam sistem bidang yang baru proyeksi segmen A4B4 akan menjadi nilai alami dari segmen AB.

Gambar 8.4. Penentuan ukuran alami segmen garis lurus dengan mengganti bidang proyeksi

Tugas 2: Tentukan jarak dari titik C ke garis pada posisi umum yang diberikan oleh segmen AB (Gbr. 8.5).

Gambar 8.5. Penentuan ukuran alami segmen garis lurus dengan mengganti bidang proyeksi

Posisi suatu titik dalam ruang dapat ditentukan dengan dua proyeksi ortogonalnya, misalnya horizontal dan frontal, frontal dan profil. Kombinasi dari dua proyeksi ortogonal memungkinkan Anda untuk mengetahui nilai semua koordinat suatu titik, membangun proyeksi ketiga, menentukan oktan di mana ia berada. Mari kita pertimbangkan beberapa tugas khas dari kursus geometri deskriptif.

Menurut gambar kompleks yang diberikan dari titik A dan B, perlu:

Mari kita tentukan dulu koordinat titik A, yang dapat ditulis dalam bentuk A (x, y, z). Proyeksi horizontal titik A adalah titik A ", yang memiliki koordinat x, y. Gambarlah dari titik A" tegak lurus terhadap sumbu x, y dan temukan masing-masing A x, A y. Koordinat x untuk titik A sama dengan panjang ruas A x O dengan tanda tambah, karena A x terletak pada daerah nilai sumbu x positif. Dengan mempertimbangkan skala gambar, kami menemukan x \u003d 10. Koordinat y sama dengan panjang segmen A y O dengan tanda minus, karena t. A y terletak di wilayah nilai sumbu y negatif . Mengingat skala gambar, y = -30. Proyeksi frontal titik A - titik A"" memiliki koordinat x dan z. Mari kita jatuhkan tegak lurus dari A"" ke sumbu z dan temukan A z . Koordinat z titik A sama dengan panjang segmen A z O dengan tanda minus, karena A z terletak di daerah nilai negatif sumbu z. Mengingat skala gambar, z = -10. Jadi, koordinat titik A adalah (10, -30, -10).

Koordinat titik B dapat ditulis sebagai B (x, y, z). Pertimbangkan proyeksi horizontal titik B - titik B. "Karena terletak pada sumbu x, maka B x \u003d B" dan koordinat B y \u003d 0. Absis x titik B sama dengan panjang segmen B x O dengan tanda plus. Mempertimbangkan skala gambar, x = 30. Proyeksi frontal titik B - titik B˝ memiliki koordinat x, z. Gambarlah garis tegak lurus dari B"" ke sumbu z, sehingga menemukan B z . Aplikasi z titik B sama dengan panjang segmen B z O dengan tanda minus, karena B z terletak di wilayah nilai negatif sumbu z. Dengan mempertimbangkan skala gambar, kami menentukan nilai z = -20. Jadi koordinat B adalah (30, 0, -20). Semua konstruksi yang diperlukan ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Konstruksi proyeksi titik

Titik A dan B pada bidang P 3 memiliki koordinat sebagai berikut: A""" (y, z); B""" (y, z). Dalam hal ini, A"" dan A""" terletak pada tegak lurus yang sama terhadap sumbu z, karena keduanya memiliki koordinat z yang sama. Dengan cara yang sama, B"" dan B""" terletak pada tegak lurus yang sama ke sumbu z. Untuk menemukan proyeksi profil t.A, kami menyisihkan sepanjang sumbu y nilai koordinat yang sesuai yang ditemukan sebelumnya. Pada gambar, ini dilakukan dengan menggunakan busur lingkaran dengan jari-jari A y O. Setelah itu, kita menggambar tegak lurus dari A y ke perpotongan dengan tegak lurus yang dipulihkan dari titik A "" ke sumbu z. Titik potong kedua tegak lurus ini menentukan posisi A""".

Titik B""" terletak pada sumbu z, karena koordinat y dari titik ini adalah nol. Untuk mencari proyeksi profil titik B pada soal ini, hanya perlu menggambar garis tegak lurus dari B"" ke z -sumbu.Titik perpotongan tegak lurus ini dengan sumbu z adalah B """.

Menentukan posisi titik dalam ruang

Secara visual membayangkan tata ruang yang terdiri dari bidang proyeksi P 1, P 2 dan P 3, lokasi oktan, serta urutan transformasi tata letak menjadi diagram, Anda dapat langsung menentukan bahwa t A terletak di oktan III, dan t.B terletak pada bidang P2 .

Pilihan lain untuk memecahkan masalah ini adalah metode pengecualian. Misalnya, koordinat titik A adalah (10, -30, -10). Absis x positif memungkinkan untuk menilai bahwa titik tersebut terletak di empat oktan pertama. Sebuah y-ordinat negatif menunjukkan bahwa titik tersebut berada di oktan kedua atau ketiga. Akhirnya, penerapan negatif dari z menunjukkan bahwa titik A berada di oktan ketiga. Alasan yang diberikan diilustrasikan dengan jelas oleh tabel berikut.

Oktan	Tanda koordinat
	x	kamu	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Koordinat titik B (30, 0, -20). Karena ordinat t.B sama dengan nol, titik ini terletak pada bidang proyeksi 2 . Absis positif dan aplikasi negatif dari titik B menunjukkan bahwa itu terletak di perbatasan oktan ketiga dan keempat.

Konstruksi gambar visual titik-titik dalam sistem bidang P 1, P 2, P 3

Menggunakan proyeksi isometrik frontal, kami membangun tata ruang oktan ketiga. Ini adalah segitiga siku-siku, yang wajahnya adalah bidang P1, P2, P3, dan sudut (-y0x) adalah 45 . Dalam sistem ini, segmen sepanjang sumbu x, y, z akan diplot dalam ukuran penuh tanpa distorsi.

Konstruksi gambar visual titik A (10, -30, -10) akan dimulai dengan proyeksi horizontal A ". Setelah menyisihkan koordinat yang sesuai di sepanjang absis dan ordinat, kami menemukan titik A x dan A y. perpotongan tegak lurus yang direstorasi dari A x dan A y masing-masing ke sumbu x dan y menentukan posisi titik A". Menempatkan dari A" sejajar dengan sumbu z menuju nilai negatifnya segmen AA", yang panjangnya sama dengan 10, kami menemukan posisi titik A.

Gambar visual titik B (30, 0, -20) dibangun dengan cara yang sama - di bidang P 2, koordinat yang sesuai harus disisihkan di sepanjang sumbu x dan z. Perpotongan garis tegak lurus yang direkonstruksi dari B x dan B z akan menentukan posisi titik B.