Definisi.Bentuk Kuadrat, sesuai dengan bentuk bilinear simetris pada ruang linier V , disebut fungsi dari satu argumen vektor .

Biarkan bentuk kuadrat , menjadi bentuk bilinear simetris yang sesuai dengannya. Kemudian

karenanya dari bentuk kuadrat bentuk bilinear simetris yang sesuai juga ditentukan secara unik. Jadi, antara bentuk bilinear simetris dan kuadratik pada ruang linier V korespondensi satu-satu ditetapkan, sehingga bentuk kuadrat dapat dipelajari menggunakan bentuk bilinear simetris.

Mempertimbangkan n-ruang linier berdimensi Matriks bentuk kuadrat dalam basis tertentu dari ruang linier disebut matriks dengan bentuk bilinear simetris yang sesuai dengan basis yang sama. Matriks kuadrat selalu simetris.

Tunjukkan matriks bentuk kuadrat dalam beberapa basis ruang . Jika, seperti biasa, kami menyatakan X kolom koordinat vektor dengan basis yang sama, maka dari persamaan 5.5 diperoleh bentuk matriks dari bentuk kuadrat:

.

Teorema 5.4. Biarkan dua basis diberikan dalam ruang linier

(5.10)

, (5.11)

dan biarkan dan menjadi matriks kuadrat dalam basis (5.10) dan (5.11), masing-masing. Lalu dimana? T adalah matriks transisi dari (5.10) ke (5.11).

Pembuktiannya mengikuti Teorema 5.2 dan definisi matriks berbentuk kuadrat.

Karena kenyataan bahwa matriks transisi T tidak merosot, maka pangkat matriks bentuk kuadrat tidak berubah ketika diteruskan ke basis baru. Oleh karena itu, kita dapat merumuskan definisi berikut.

Definisi. pangkat dari bentuk kuadrat yang didefinisikan pada ruang linier disebut pangkat matriksnya dalam beberapa, dan karenanya dalam basis ruang apa pun (dilambangkan dengan ).

Sekarang kita tulis bentuk kuadrat dalam bentuk koordinat. Untuk melakukan ini, kami memperluas vektor dalam bentuk basis (5.10): . Jika adalah sebuah matriks berbentuk kuadrat dengan basis yang sama, maka, sesuai dengan persamaan (5.4), kita memiliki

– (5.12)

bentuk koordinat dari bentuk kuadrat. Mari kita tulis (5.12) secara rinci untuk n= 3, mengingat

Jadi, jika sebuah basis diberikan, maka bentuk kuadrat dalam notasi koordinat terlihat seperti polinomial homogen derajat kedua dalam n variabel – koordinat vektor dalam basis yang diberikan. Polinomial ini disebut melihat bentuk kuadrat dalam basis tertentu. Tetapi dalam aplikasi, polinomial seperti itu sering muncul secara independen, tanpa hubungan yang terlihat dengan ruang linier (misalnya, perbedaan fungsi kedua), jadi kami merumuskan satu definisi lagi dari bentuk kuadrat.

Definisi. bentuk kuadrat dari n variabel adalah polinomial derajat dua yang homogen dalam variabel-variabel ini, yaitu, fungsi dari bentuk (5.12). Matriks berbentuk kuadrat (5.12) adalah matriks simetris.

Contoh menyusun matriks berbentuk kuadrat. Biarlah

Dapat dilihat dari (5.12) dan (5.13) bahwa koefisien di bertepatan dengan , yaitu, elemen diagonal dari matriks bentuk kuadrat adalah koefisien kuadrat. Dengan cara yang sama, kita melihat bahwa itu adalah setengah dari koefisien produk. Dengan demikian, matriks bentuk kuadrat (5.14) terlihat seperti ini:

.

Kami sekarang memilih dalam ruang lagi dua basis (5.10) dan (5.11) dan menunjukkan, seperti biasa, adalah kolom koordinat vektor dalam basis (5.10) dan (5.11), masing-masing. Saat berpindah dari basis (5.10) ke basis (5.11), koordinat vektor berubah menurut hukum:

di mana adalah matriks transisi dari (5.10) ke (5.11). Perhatikan bahwa matriks tidak berdegenerasi. Kami menulis kesetaraan (5.15) dalam bentuk koordinat:

atau secara rinci:

(5.17)

Dengan bantuan persamaan (5.17) (atau (5.16), yang sama), kita berpindah dari variabel ke variabel .

Definisi. Transformasi variabel linier non-degenerate adalah transformasi variabel yang didefinisikan oleh sistem persamaan (5.16) atau (5.17), atau persamaan matriks tunggal (5.15), asalkan merupakan matriks nonsingular. Matriks T disebut matriks transformasi variabel ini.

Jika dalam (5.12) alih-alih variabel, kami mengganti ekspresinya melalui variabel sesuai dengan rumus (5.17), tanda kurung buka dan memberikan yang serupa, maka kami mendapatkan polinomial homogen tingkat kedua lainnya:

.

Dalam hal ini, transformasi linear variabel non-degenerasi (5.17) dikatakan mengambil bentuk kuadrat ke bentuk kuadrat . Nilai variabel dan terkait dengan relasi (5.15) (atau relasi (5.16) atau (5.17)) akan disebut relevan untuk transformasi linear variabel nondegenerate yang diberikan.

Definisi. Himpunan variabel disebut tidak sepele , jika nilai dari setidaknya salah satu variabel di dalamnya bukan nol. Jika tidak, himpunan variabel disebut remeh .

Lemma 5.2. Di bawah transformasi variabel linear nondegenerate, himpunan trivial dari variabel berkorespondensi dengan himpunan trivial.

Ini jelas mengikuti persamaan (5.15): jika , maka dan . Di sisi lain, dengan menggunakan matriks nonsingularitas T, lagi dari (5.15) kita peroleh , dari mana jelas bahwa untuk , juga .◄

Konsekuensi. Di bawah transformasi variabel nontrivial linier, satu set variabel nontrivial sesuai dengan set nontrivial.

Teorema 5.5. Jika transformasi linear non-degenerasi (5.15) mengambil bentuk kuadrat dengan matriks TETAPI menjadi bentuk kuadrat dengan matriks TETAPI", maka (formulasi lain dari Teorema 5.4).

Konsekuensi. Di bawah transformasi variabel linier non-degenerasi, determinan matriks bentuk kuadrat tidak berubah tanda.

Komentar. Berbeda dengan matriks transisi dan matriks operator linier, matriks variabel transformasi linear nondegenerate ditulis bukan oleh kolom, tetapi oleh baris.

Biarkan dua transformasi linear variabel yang tidak merosot diberikan:

Mari kita terapkan secara berurutan:

Komposisi transformasi linear non-degenerate dari variabel(5.18) dan (5.19) adalah penerapan berturut-turutnya, yaitu transformasi variabel Dari (5.20) jelas bahwa komposisi dua transformasi linear variabel non-degenerate juga merupakan transformasi variabel linear non-degenerate.

Definisi. Bentuk kuadrat disebut setara , jika terdapat transformasi linear non-degenerate dari variabel-variabel yang mengubah salah satunya menjadi variabel lainnya.

Bentuk kuadrat

bentuk kuadrat f(x 1, x 2,..., x n) dari n variabel disebut jumlah, yang masing-masing sukunya merupakan kuadrat dari salah satu variabel, atau hasil kali dua variabel yang berbeda, diambil dengan koefisien tertentu: f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Matriks A, yang terdiri dari koefisien-koefisien ini, disebut matriks bentuk kuadrat. Selalu simetris matriks (yaitu, matriks simetris tentang diagonal utama, a ij = a ji).

Dalam notasi matriks, bentuk kuadrat memiliki bentuk f(X) = X T AX, di mana

Memang

Sebagai contoh, mari kita tulis bentuk kuadrat dalam bentuk matriks.

Untuk melakukan ini, kami menemukan matriks berbentuk kuadrat. Elemen diagonalnya sama dengan koefisien pada kuadrat variabel, dan elemen lainnya sama dengan setengah dari koefisien yang sesuai dari bentuk kuadrat. Jadi

Biarkan kolom-matriks variabel X diperoleh dengan transformasi linier tak-degenerasi dari kolom-matriks Y, yaitu. X = CY, di mana C adalah matriks tak-degenerasi orde n. Maka bentuk kuadrat
f(X) \u003d X T AX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (C T AC) Y.

Jadi, di bawah transformasi linier non-degenerasi C, matriks bentuk kuadrat mengambil bentuk: A * = C T AC.

Sebagai contoh, mari kita cari bentuk kuadrat f(y 1, y 2) yang diperoleh dari bentuk kuadrat f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 dengan transformasi linier.

Bentuk kuadrat disebut resmi(Memiliki tampilan kanonik) jika semua koefisiennya a ij = 0 untuk i j, mis.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Matriksnya adalah diagonal.

Dalil(buktinya tidak diberikan di sini). Setiap bentuk kuadrat dapat direduksi menjadi bentuk kanonik menggunakan transformasi linier non-degenerasi.

Sebagai contoh, mari kita reduksi ke bentuk kanonik menjadi bentuk kuadrat
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Untuk melakukan ini, pertama-tama pilih kotak penuh untuk variabel x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Sekarang kita pilih kotak penuh untuk variabel x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Kemudian transformasi linier non-degenerasi y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 dan y 3 \u003d x 3 membawa bentuk kuadrat ini ke bentuk kanonik f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Perhatikan bahwa bentuk kanonik dari bentuk kuadrat didefinisikan secara ambigu (bentuk kuadrat yang sama dapat direduksi menjadi bentuk kanonik dengan cara yang berbeda). Namun, bentuk kanonik yang diperoleh dengan berbagai metode memiliki sejumlah sifat umum. Secara khusus, jumlah suku dengan koefisien positif (negatif) dari bentuk kuadrat tidak bergantung pada bagaimana bentuk direduksi menjadi bentuk ini (misalnya, dalam contoh yang dipertimbangkan akan selalu ada dua koefisien negatif dan satu positif). Properti ini disebut hukum inersia bentuk kuadrat.

Mari kita verifikasi ini dengan mengurangi bentuk kuadrat yang sama ke bentuk kanonik dengan cara yang berbeda. Mari kita mulai transformasi dengan variabel x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, di mana y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) ) x 3 dan y 3 = x 1 . Di sini, koefisien positif 2 pada y 3 dan dua koefisien negatif (-3) pada y 1 dan y 2 (dan menggunakan metode lain, kami mendapatkan koefisien positif 2 pada y 1 dan dua koefisien negatif - (-5) pada y 2 dan (-1 /20) untuk y 3).

Perlu juga diperhatikan bahwa pangkat suatu matriks berbentuk kuadrat, disebut pangkat dari bentuk kuadrat, sama dengan jumlah koefisien bukan-nol dari bentuk kanonik dan tidak berubah dalam transformasi linier.

Bentuk kuadrat f(X) disebut positif (negatif) yakin, jika untuk semua nilai variabel yang tidak bersamaan sama dengan nol, maka bernilai positif, yaitu f(X) > 0 (negatif, mis.
f(X)< 0).

Misalnya, bentuk kuadrat f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 pasti positif, karena adalah jumlah kuadrat, dan bentuk kuadrat f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 pasti negatif, karena mewakili itu dapat direpresentasikan sebagai f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

Dalam kebanyakan situasi praktis, agak lebih sulit untuk menetapkan definisi-tanda dari bentuk kuadrat, jadi salah satu teorema berikut digunakan untuk ini (kami merumuskannya tanpa bukti).

Dalil. Suatu bentuk kuadrat adalah definit positif (negatif) jika dan hanya jika semua nilai eigen matriksnya positif (negatif).

Teorema (Kriteria Sylvester). Suatu bentuk kuadrat adalah definit positif jika dan hanya jika semua minor utama dari matriks bentuk ini adalah positif.

Mayor (sudut) minor Orde ke-k dari matriks A dari orde ke-n disebut determinan matriks, terdiri dari k baris dan kolom pertama dari matriks A ().

Perhatikan bahwa untuk bentuk kuadrat pasti negatif, tanda-tanda dari minor utama bergantian, dan minor orde pertama harus negatif.

Sebagai contoh, kita periksa bentuk kuadrat f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 untuk definiteness tanda.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Oleh karena itu, bentuk kuadrat adalah definit positif.

Metode 2. Minor utama dari matriks orde pertama A D 1 = a 11 = 2 > 0. Minor utama orde kedua D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Oleh karena itu, menurut kriteria Sylvester, bentuk kuadrat adalah definit positif.

Kami memeriksa bentuk kuadratik lain untuk kepastian tanda, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metode 1. Mari kita buat matriks berbentuk kuadrat = . Persamaan karakteristik akan memiliki bentuk = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 \u003d (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 + 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Oleh karena itu, bentuk kuadrat adalah definit negatif.

bentuk kuadrat f(x 1, x 2,..., x n) dari n variabel disebut jumlah, yang masing-masing sukunya merupakan kuadrat dari salah satu variabel, atau hasil kali dua variabel yang berbeda, diambil dengan koefisien tertentu: f(x 1, x 2, ...,х n) = (a ij =a ji).

Matriks A, yang terdiri dari koefisien-koefisien ini, disebut matriks bentuk kuadrat. Selalu simetris matriks (yaitu matriks simetris terhadap diagonal utama, a ij = a ji).

Dalam notasi matriks, bentuk kuadrat memiliki bentuk f(X) = X T AX, di mana

Memang

Sebagai contoh, mari kita tulis bentuk kuadrat dalam bentuk matriks.

Untuk melakukan ini, kami menemukan matriks berbentuk kuadrat. Elemen diagonalnya sama dengan koefisien pada kuadrat variabel, dan elemen lainnya sama dengan setengah dari koefisien yang sesuai dari bentuk kuadrat. Jadi

Biarkan kolom-matriks variabel X diperoleh dengan transformasi linier tak-degenerasi dari kolom-matriks Y, yaitu. X = CY, di mana C adalah matriks tak-degenerasi orde n. Maka bentuk kuadrat f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Jadi, dengan transformasi linier non-degenerasi C, matriks berbentuk kuadrat berbentuk: A * =C T AC.

Sebagai contoh, mari kita cari bentuk kuadrat f(y 1, y 2) yang diperoleh dari bentuk kuadrat f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 dengan transformasi linier.

Bentuk kuadrat disebut resmi(Memiliki tampilan kanonik), jika semua koefisiennya a ij \u003d 0 pada i≠j, yaitu f (x 1, x 2,..., x n) \u003d a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Matriksnya adalah diagonal.

Dalil(buktinya tidak diberikan di sini). Setiap bentuk kuadrat dapat direduksi menjadi bentuk kanonik menggunakan transformasi linier non-degenerasi.

Sebagai contoh, mari kita bawa ke bentuk kanonik bentuk kuadrat f (x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Untuk melakukan ini, pertama-tama pilih kotak penuh untuk variabel x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Sekarang kita pilih kotak penuh untuk variabel x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 \u003d \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Kemudian transformasi linier non-degenerasi y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 dan y 3 \u003d x 3 membawa bentuk kuadrat ini ke bentuk kanonik f (y 1 , y 2, y 3) \u003d 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Perhatikan bahwa bentuk kanonik dari bentuk kuadrat didefinisikan secara ambigu (bentuk kuadrat yang sama dapat direduksi menjadi bentuk kanonik dengan cara yang berbeda1). Namun, bentuk kanonik yang diperoleh dengan berbagai metode memiliki sejumlah sifat umum. Secara khusus, jumlah suku dengan koefisien positif (negatif) dari bentuk kuadrat tidak bergantung pada bagaimana bentuk direduksi menjadi bentuk ini (misalnya, dalam contoh yang dipertimbangkan akan selalu ada dua koefisien negatif dan satu positif). Properti ini disebut hukum inersia bentuk kuadrat.

Mari kita verifikasi ini dengan mengurangi bentuk kuadrat yang sama ke bentuk kanonik dengan cara yang berbeda. Mari kita mulai transformasi dengan variabel x 2: f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d -3 (x 2 2 - - 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \u003d f (y 1, y 2, y 3) \u003d - 3y 1 2 - -3y 2 2 + 2y 3 2, dimana y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1 /6) x 3 dan y 3 = x 1 . Berikut koefisien positif 2 pada y 3 dan dua koefisien negatif (-3) pada y 1 dan y 2 ).

Perlu juga diperhatikan bahwa pangkat suatu matriks berbentuk kuadrat, disebut pangkat dari bentuk kuadrat, sama dengan jumlah koefisien bukan-nol dari bentuk kanonik dan tidak berubah dalam transformasi linier.

Bentuk kuadrat f(X) disebut positif(negatif)yakin, jika untuk semua nilai variabel yang tidak serentak sama dengan nol, bernilai positif yaitu f(X) > 0 (negatif yaitu f(X)< 0).

Misalnya, bentuk kuadrat f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 pasti positif, karena adalah jumlah kuadrat, dan bentuk kuadrat f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 pasti negatif, karena mewakili itu dapat direpresentasikan sebagai f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

Dalam kebanyakan situasi praktis, agak lebih sulit untuk menetapkan definisi-tanda dari bentuk kuadrat, jadi salah satu teorema berikut digunakan untuk ini (kami merumuskannya tanpa bukti).

Dalil. Suatu bentuk kuadrat adalah definit positif (negatif) jika dan hanya jika semua nilai eigen matriksnya positif (negatif).

Teorema (Kriteria Sylvester). Suatu bentuk kuadrat adalah definit positif jika dan hanya jika semua minor utama dari matriks bentuk ini adalah positif.

Mayor (sudut) minor Matriks orde ke-k dari matriks orde ke-an disebut determinan matriks, terdiri dari k baris dan kolom pertama dari matriks A ().

Perhatikan bahwa untuk bentuk kuadrat pasti negatif, tanda-tanda dari minor utama bergantian, dan minor orde pertama harus negatif.

Sebagai contoh, kita periksa bentuk kuadrat f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 untuk definiteness tanda.

= (2 -)* *(3 -) - 4 = (6 - 2- 3+ 2) - 4 = 2 - 5+ 2 = 0; D= 25 - 8 = 17; . Oleh karena itu, bentuk kuadrat adalah definit positif.

Metode 2. Minor utama orde pertama matriks A 1 = a 11 = 2 > 0. Minor utama orde kedua 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Oleh karena itu, menurut kriteria Sylvester , bentuk kuadrat adalah definit positif.

Kami memeriksa bentuk kuadratik lain untuk kepastian tanda, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metode 1. Mari kita buat matriks berbentuk kuadrat = . Persamaan karakteristik akan memiliki bentuk = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0; D= 25 – 8 = 17 ; . Oleh karena itu, bentuk kuadrat adalah definit negatif.

Metode 2. Minor utama dari orde pertama matriks A 1 \u003d a 11 \u003d \u003d -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Oleh karena itu, menurut kriteria Sylvester, bentuk kuadratnya pasti negatif (tanda-tanda dari minor utama bergantian, mulai dari minus).

Dan sebagai contoh lain, kami memeriksa bentuk kuadrat f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 untuk kepastian tanda.

Metode 1. Mari kita buat matriks berbentuk kuadrat = . Persamaan karakteristik akan memiliki bentuk = (2 -)* *(-3 -) - 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) - 4 = 2 +- 10 = 0; D= 1 + 40 = 41; . Salah satu angka ini negatif dan yang lainnya positif. Tanda-tanda nilai eigen berbeda. Oleh karena itu, bentuk kuadrat tidak dapat berupa pasti negatif atau positif, mis. bentuk kuadrat ini tidak tanda-pasti (dapat mengambil nilai dari tanda apa pun).

Metode 2. Minor utama orde pertama matriks A 1 = a 11 = 2 > 0. Minor utama orde kedua 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Metode yang dipertimbangkan untuk mereduksi bentuk kuadrat menjadi bentuk kanonik mudah digunakan ketika koefisien bukan nol muncul di bawah kuadrat variabel. Jika tidak ada, masih mungkin untuk melakukan konversi, tetapi Anda harus menggunakan beberapa trik lain. Misal f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

\u003d (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2; 4x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 - x 2) 2; f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 x 2 \u003d (1/2) * * (x 1 + x 2 ) 2 - (1/2) * (x 1 - x 2) 2 \u003d f (y 1, y 2) \u003d (1/2) y 1 2 - (1/2) y 2 2, di mana y 1 \u003d x 1 + x 2, ay 2 \u003d x 1 - x 2.

Bentuk persegi.
Signifikansi bentuk. Kriteria Sylvester

Kata sifat "persegi" segera menunjukkan bahwa sesuatu di sini terhubung dengan bujur sangkar (derajat kedua), dan segera kita akan mengetahui "sesuatu" ini dan apa bentuknya. Ternyata langsung :)

Selamat datang di pelajaran baru saya, dan sebagai pemanasan langsung, kita akan melihat bentuk bergaris linier. bentuk linier variabel ditelepon homogen polinomial derajat 1:

- beberapa nomor tertentu * (kami berasumsi bahwa setidaknya satu dari mereka berbeda dari nol), dan merupakan variabel yang dapat mengambil nilai arbitrer.

* Dalam topik ini, kami hanya akan mempertimbangkan bilangan asli .

Kami telah menemukan istilah "homogen" dalam pelajaran tentang sistem persamaan linear homogen , dan dalam hal ini menyiratkan bahwa polinomial tidak memiliki konstanta tambahan .

Sebagai contoh: – bentuk linier dari dua variabel

Sekarang bentuknya persegi. bentuk kuadrat variabel ditelepon homogen polinomial derajat 2, setiap istilah yang berisi baik kuadrat dari variabel atau dobel produk variabel. Jadi, misalnya, bentuk kuadrat dari dua variabel memiliki bentuk berikut:

Perhatian! Ini adalah entri standar, dan Anda tidak perlu mengubah apa pun di dalamnya! Terlepas dari tampilan "mengerikan", semuanya sederhana di sini - subskrip ganda dari sinyal konstanta variabel mana yang termasuk dalam satu atau lain istilah:
– istilah ini mengandung produk dan (persegi);
- inilah pekerjaannya;
- dan inilah pekerjaannya.

- Saya segera mengantisipasi kesalahan besar ketika mereka kehilangan "minus" dari koefisien, tidak menyadari bahwa itu mengacu pada istilah:

Kadang-kadang ada versi "sekolah" dari desain dalam semangat, tetapi hanya kadang-kadang. Omong-omong, perhatikan bahwa konstanta di sini tidak memberi tahu kita sama sekali, dan oleh karena itu lebih sulit untuk mengingat "notasi mudah". Apalagi jika variabelnya lebih banyak.

Dan bentuk kuadrat dari tiga variabel sudah mengandung enam istilah:

... mengapa pengganda "dua" dimasukkan ke dalam istilah "campuran"? Ini nyaman, dan akan segera menjadi jelas mengapa.

Namun, kami akan menuliskan rumus umum, akan lebih mudah untuk mengaturnya dengan "lembar":

- hati-hati mempelajari setiap baris - tidak ada yang salah dengan itu!

Bentuk kuadrat berisi suku-suku dengan variabel kuadrat dan suku-suku dengan produk pasangannya (cm. rumus kombinatorial kombinasi ) . Tidak ada yang lain - tidak ada "kesepian x" dan tidak ada konstanta tambahan (maka Anda tidak mendapatkan bentuk kuadrat, tetapi heterogen polinomial derajat 2).

Notasi matriks bentuk kuadrat

Bergantung pada nilainya, bentuk yang dipertimbangkan dapat mengambil nilai positif dan negatif, dan hal yang sama berlaku untuk bentuk linier apa pun - jika setidaknya salah satu koefisiennya bukan nol, maka itu bisa menjadi positif atau negatif (tergantung pada nilai).

Bentuk ini disebut bergantian. Dan jika semuanya transparan dengan bentuk linier, maka semuanya jauh lebih menarik dengan bentuk kuadrat:

Cukup jelas bahwa bentuk ini dapat mengambil nilai dari tanda apa pun, dengan demikian, bentuk kuadrat juga bisa bergantian.

Ini mungkin tidak:

– selalu, kecuali keduanya sama dengan nol.

- untuk siapa saja vektor kecuali nol.

Dan secara umum, jika untuk apapun bukan nol vektor , , maka bentuk kuadratnya disebut pasti positif; jika kemudian pasti negatif.

Dan semuanya akan baik-baik saja, tetapi kepastian bentuk kuadrat hanya terlihat dalam contoh sederhana, dan visibilitas ini sudah hilang dengan sedikit komplikasi:
– ?

Orang mungkin berasumsi bahwa bentuknya didefinisikan secara positif, tetapi benarkah demikian? Tiba-tiba ada nilai yang kurang dari nol?

Di akun ini ada dalil: aku jatuh nilai eigen matriks bentuk kuadrat adalah positif * , maka terdefinisi positif. Jika semuanya negatif, maka itu negatif.

* Terbukti dalam teori bahwa semua nilai eigen dari matriks simetris nyata sah

Mari kita tulis matriks dari bentuk di atas:
dan dari persamaan ayo temukan dia nilai eigen :

Kami memecahkan yang lama yang baik persamaan kuadrat :

, jadi bentuknya didefinisikan secara positif, yaitu untuk setiap nilai bukan nol, itu lebih besar dari nol.

Metode yang dipertimbangkan tampaknya berhasil, tetapi ada satu TETAPI besar. Sudah untuk matriks "tiga per tiga", mencari nilai eigen adalah tugas yang panjang dan tidak menyenangkan; dengan probabilitas tinggi Anda mendapatkan polinomial tingkat 3 dengan akar irasional.

Bagaimana menjadi? Ada cara yang lebih mudah!

Kriteria Sylvester

Tidak, bukan Sylvester Stallone :) Pertama, izinkan saya mengingatkan Anda apa sudut di bawah umur matriks. Ini penentu yang "tumbuh" dari sudut kiri atas:

dan yang terakhir sama persis dengan determinan matriks.

Sekarang, sebenarnya, kriteria:

1) Bentuk kuadrat didefinisikan positif jika dan hanya jika SEMUA minor sudutnya lebih besar dari nol: .

2) Bentuk kuadrat didefinisikan negatif jika dan hanya jika minor bersudutnya bergantian tanda, sedangkan minor pertama kurang dari nol: , , jika genap atau , jika ganjil.

Jika setidaknya satu minor sudut memiliki tanda yang berlawanan, maka bentuk tanda-bergantian. Jika minor bersudut bertanda "itu", tetapi ada nol di antaranya, maka ini adalah kasus khusus, yang akan saya analisis nanti, setelah kita membahas contoh yang lebih umum.

Mari kita menganalisis minor sudut dari matriks :

Dan ini segera memberitahu kita bahwa bentuknya tidak ditentukan secara negatif.

Kesimpulan: semua minor sudut lebih besar dari nol, jadi bentuknya didefinisikan secara positif.

Apakah ada perbedaan dengan metode eigenvalue? ;)

Kami menulis matriks bentuk dari Contoh 1:

minor sudut pertamanya, dan yang kedua , maka bentuk itu adalah tanda-berganti-ganti, yaitu. tergantung pada nilainya, dapat mengambil nilai positif dan negatif. Namun, ini sangat jelas.

Ambil bentuk dan matriksnya dari Contoh 2:

di sini sama sekali tanpa wawasan untuk tidak mengerti. Tetapi dengan kriteria Sylvester, kami tidak peduli:
, maka bentuknya pasti tidak negatif.

, dan pasti tidak positif. (karena semua sudut minor harus positif).

Kesimpulan: bentuknya bergantian.

Contoh pemanasan untuk pemecahan diri:

Contoh 4

Selidiki bentuk kuadrat untuk kepastian tanda

sebuah)

Dalam contoh-contoh ini, semuanya lancar (lihat akhir pelajaran), tetapi pada kenyataannya, untuk menyelesaikan tugas seperti itu Kriteria Sylvester mungkin tidak cukup.

Intinya ada kasus “batas”, yaitu: jika untuk apapun bukan nol vektor , maka bentuknya didefinisikan non-negatif, jika kemudian tidak positif. Bentuk-bentuk ini memiliki bukan nol vektor untuk yang .

Di sini Anda dapat membawa "tombol akordeon" seperti itu:

Menyoroti persegi penuh , kita langsung lihat non-negatif bentuk: , apalagi, itu sama dengan nol untuk setiap vektor dengan koordinat yang sama, misalnya: .

Contoh "Cermin" tidak positif bentuk tertentu:

dan contoh yang lebih sepele lagi:
– di sini bentuknya sama dengan nol untuk sembarang vektor , di mana adalah bilangan arbitrer.

Bagaimana cara mengungkapkan non-negatif atau non-positif dari suatu bentuk?

Untuk ini kita membutuhkan konsep anak di bawah umur matriks. Minor utama adalah minor yang terdiri dari elemen-elemen yang berada pada perpotongan baris dan kolom dengan angka yang sama. Jadi, matriks tersebut memiliki dua minor utama dari orde pertama:
(elemen berada di persimpangan baris ke-1 dan kolom ke-1);
(elemen berada di perpotongan baris ke-2 dan kolom ke-2),

dan satu minor orde 2 mayor:
- terdiri dari elemen baris ke-1, ke-2, dan kolom ke-1, ke-2.

Matriks "tiga per tiga" Ada tujuh minor utama, dan di sini Anda harus melambaikan bisep Anda:
- tiga anak di bawah umur dari urutan pertama,
tiga anak di bawah umur dari urutan ke-2:
- terdiri dari elemen baris ke-1, ke-2, dan kolom ke-1, ke-2;
- terdiri dari elemen baris ke-1, ke-3 dan ke-1, ke-3;
- terdiri dari elemen baris ke-2, ke-3 dan ke-2, ke-3,
dan satu minor urutan ke-3:
- terdiri dari elemen baris ke-1, ke-2, ke-3, dan kolom ke-1, ke-2, dan ke-3.
Latihan untuk memahami: tuliskan semua minor utama dari matriks .
Kami memeriksa di akhir pelajaran dan melanjutkan.

Kriteria Schwarzenegger:

1) Bentuk kuadratik bukan nol* didefinisikan non-negatif jika dan hanya jika SEMUA dari minor utamanya non-negatif(lebih besar atau sama dengan nol).

* Bentuk kuadrat nol (merosot) memiliki semua koefisien yang sama dengan nol.

2) Bentuk kuadrat bukan nol dengan matriks yang ditentukan tidak positif jika dan hanya jika:
– anak di bawah umur utama dari urutan pertama tidak positif(kurang dari atau sama dengan nol);
adalah anak di bawah umur utama dari orde ke-2 non-negatif;
– anak di bawah umur utama dari urutan ke-3 tidak positif(pergantian telah dimulai);
…
– mayor minor orde ke-th tidak positif, jika ganjil atau non-negatif, jika genap.

Jika paling sedikit satu minor bertanda berlawanan, maka bentuknya adalah bolak-balik tanda.

Mari kita lihat cara kerja kriteria dalam contoh di atas:

Mari kita buat matriks bentuk, dan terutama mari kita hitung sudut minor - bagaimana jika didefinisikan secara positif atau negatif?

Nilai yang diperoleh tidak memenuhi kriteria Sylvester, namun minor kedua tidak negatif, dan ini membuatnya perlu untuk memeriksa kriteria ke-2 (dalam hal kriteria ke-2, tidak akan terpenuhi secara otomatis, yaitu, segera dibuat kesimpulan tentang pergantian tanda formulir).

Minor mayor dari orde pertama:
- positif
minor mayor urutan ke-2:
- tidak negatif.

Jadi, SEMUA minor mayor adalah non-negatif, jadi bentuknya non-negatif.

Mari kita tulis bentuk matriksnya , yang, jelas, kriteria Sylvester tidak terpenuhi. Tetapi kami juga tidak menerima tanda yang berlawanan (karena kedua minor sudut sama dengan nol). Oleh karena itu, kami memeriksa pemenuhan kriteria non-negatif/non-positif. Minor mayor dari orde pertama:
- tidak positif
minor mayor urutan ke-2:
- tidak negatif.

Jadi, menurut kriteria Schwarzenegger (poin 2), bentuknya ditentukan non-positif.

Sekarang, dengan bersenjata lengkap, kami akan menganalisis masalah yang lebih menghibur:

Contoh 5

Periksa bentuk kuadrat untuk kepastian tanda

Formulir ini dihiasi dengan urutan "alpha", yang dapat sama dengan bilangan real apa pun. Tapi itu hanya akan lebih menyenangkan memutuskan.

Pertama, mari kita tulis matriks bentuk, mungkin, banyak yang sudah beradaptasi untuk melakukannya secara lisan: on diagonal utama kami menempatkan koefisien di kotak, dan di tempat simetris - setengah koefisien dari produk "campuran" yang sesuai:

Mari kita hitung sudut minor:

Saya akan memperluas determinan ketiga di sepanjang baris ke-3: