Saatnya membongkar metode ekstraksi akar. Mereka didasarkan pada sifat-sifat akar, khususnya, pada kesetaraan, yang berlaku untuk setiap bilangan non-negatif b.

Di bawah ini kami akan mempertimbangkan secara bergantian metode utama mengekstraksi akar.

Mari kita mulai dengan kasus paling sederhana - mengekstrak akar dari bilangan asli menggunakan tabel kuadrat, tabel kubus, dll.

Jika tabel kotak, kubus, dll. tidak di tangan, adalah logis untuk menggunakan metode mengekstraksi akar, yang melibatkan penguraian nomor akar menjadi faktor-faktor sederhana.

Secara terpisah, ada baiknya memikirkan, yang mungkin untuk akar dengan eksponen ganjil.

Terakhir, pertimbangkan metode yang memungkinkan Anda menemukan digit nilai akar secara berurutan.

Mari kita mulai.

Menggunakan tabel kotak, tabel kubus, dll.

Dalam kasus yang paling sederhana, tabel kotak, kubus, dll. memungkinkan ekstraksi akar. Apa tabel-tabel ini?

Tabel kuadrat bilangan bulat dari 0 hingga 99 inklusif (ditunjukkan di bawah) terdiri dari dua zona. Zona pertama tabel terletak di latar belakang abu-abu, dengan memilih baris tertentu dan kolom tertentu, memungkinkan Anda untuk membuat angka dari 0 hingga 99. Misalnya, mari kita pilih baris 8 puluhan dan kolom 3 satuan, dengan ini kita tetapkan angka 83. Zona kedua menempati sisa tabel. Setiap selnya terletak di persimpangan baris tertentu dan kolom tertentu, dan berisi kuadrat dari angka yang sesuai dari 0 hingga 99 . Di persimpangan baris 8 puluhan yang kami pilih dan kolom 3 satu, ada sel dengan angka 6889, yang merupakan kuadrat dari angka 83.

Tabel kubus, tabel pangkat empat angka dari 0 hingga 99 dan seterusnya mirip dengan tabel kotak, hanya saja berisi kubus, pangkat empat, dll. di zona kedua. nomor yang sesuai.

Tabel kotak, kubus, pangkat empat, dll. memungkinkan Anda untuk mengekstrak akar kuadrat, akar pangkat tiga, akar keempat, dll. masing-masing dari nomor dalam tabel ini. Mari kita jelaskan prinsip aplikasinya dalam mengekstraksi akar.

Misalkan kita perlu mengekstrak akar derajat ke-n dari bilangan a, sedangkan bilangan a terdapat pada tabel derajat ke-n. Menurut tabel ini, kami menemukan nomor b sedemikian rupa sehingga a=b n . Kemudian , oleh karena itu, angka b akan menjadi akar yang diinginkan dari derajat ke-n.

Sebagai contoh, mari kita tunjukkan bagaimana akar pangkat tiga 19683 diekstraksi menggunakan tabel kubus. Kami menemukan angka 19 683 dalam tabel kubus, darinya kami menemukan bahwa angka ini adalah pangkat tiga dari angka 27, oleh karena itu, .

Jelas bahwa tabel derajat ke-n sangat nyaman saat mengekstraksi akar. Namun, mereka sering tidak siap, dan kompilasi mereka membutuhkan waktu tertentu. Selain itu, seringkali diperlukan untuk mengekstrak akar dari angka yang tidak terdapat dalam tabel yang sesuai. Dalam kasus ini, seseorang harus menggunakan metode lain untuk mengekstrak akarnya.

Penguraian bilangan akar menjadi faktor prima

Cara yang cukup mudah untuk mengekstrak akar dari bilangan asli (jika, tentu saja, akarnya diekstraksi) adalah dengan menguraikan bilangan akar menjadi faktor prima. Miliknya intinya adalah sebagai berikut: setelah itu cukup mudah untuk mewakilinya sebagai gelar dengan indikator yang diinginkan, yang memungkinkan Anda untuk mendapatkan nilai root. Mari kita jelaskan poin ini.

Biarkan akar derajat ke-n diekstraksi dari bilangan asli a, dan nilainya sama dengan b. Dalam hal ini, persamaan a=b n benar. Bilangan b sebagai bilangan asli apa pun dapat direpresentasikan sebagai produk dari semua faktor primanya p 1 , p 2 , …, p m dalam bentuk p 1 p 2 p m , dan bilangan akar a dalam hal ini direpresentasikan sebagai (p 1 p 2 ... p m) n . Karena penguraian bilangan menjadi faktor prima adalah unik, penguraian bilangan akar a menjadi faktor prima akan terlihat seperti (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , yang memungkinkan untuk menghitung nilai akar sebagai .

Perhatikan bahwa jika faktorisasi dari bilangan akar a tidak dapat dinyatakan dalam bentuk (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , maka akar derajat ke-n dari bilangan a tersebut tidak terekstraksi sepenuhnya.

Mari kita tangani ini saat memecahkan contoh.

Contoh.

Ambil akar kuadrat dari 144 .

Keputusan.

Jika kita beralih ke tabel kuadrat yang diberikan pada paragraf sebelumnya, terlihat jelas bahwa 144=12 2 , dari mana jelas bahwa akar kuadrat dari 144 adalah 12 .

Tetapi mengingat poin ini, kami tertarik pada bagaimana akar diekstraksi dengan menguraikan nomor akar 144 menjadi faktor prima. Mari kita lihat solusi ini.

Mari kita terurai 144 ke faktor prima:

Yaitu, 144=2 2 2 2 3 3 . Berdasarkan dekomposisi yang dihasilkan, transformasi berikut dapat dilakukan: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Karena itu, .

Menggunakan sifat-sifat derajat dan sifat-sifat akar, solusinya dapat dirumuskan sedikit berbeda: .

Menjawab:

Untuk mengkonsolidasikan materi, pertimbangkan solusi dari dua contoh lagi.

Contoh.

Hitung nilai akarnya.

Keputusan.

Faktorisasi prima dari bilangan akar 243 adalah 243=3 5 . Dengan demikian, .

Menjawab:

Contoh.

Apakah nilai akar merupakan bilangan bulat?

Keputusan.

Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita uraikan bilangan akar menjadi faktor prima dan lihat apakah bilangan tersebut dapat direpresentasikan sebagai pangkat tiga dari bilangan bulat.

Kami memiliki 285 768=2 3 3 6 7 2 . Dekomposisi yang dihasilkan tidak direpresentasikan sebagai pangkat tiga dari bilangan bulat, karena derajat faktor prima 7 bukanlah kelipatan tiga. Oleh karena itu, akar pangkat tiga dari 285.768 tidak diambil seluruhnya.

Menjawab:

Tidak.

Mengekstrak akar dari bilangan pecahan

Saatnya untuk mencari tahu bagaimana akar diekstraksi dari bilangan pecahan. Biarkan nomor akar pecahan ditulis sebagai p/q . Menurut sifat akar hasil bagi, persamaan berikut adalah benar. Dari persamaan ini berikut aturan akar pecahan: Akar pecahan sama dengan hasil bagi membagi akar pembilang dengan akar penyebut.

Mari kita lihat contoh mengekstraksi akar dari pecahan.

Contoh.

Berapa akar kuadrat dari pecahan biasa 25/169.

Keputusan.

Berdasarkan tabel kuadrat, kita menemukan bahwa akar kuadrat dari pembilang dari pecahan asli adalah 5, dan akar kuadrat dari penyebutnya adalah 13. Kemudian . Ini melengkapi ekstraksi akar dari pecahan biasa 25/169.

Menjawab:

Akar pecahan desimal atau bilangan campuran diekstraksi setelah mengganti bilangan akar dengan pecahan biasa.

Contoh.

Ambil akar pangkat tiga dari desimal 474.552.

Keputusan.

Mari kita nyatakan desimal asli sebagai pecahan biasa: 474.552=474552/1000 . Kemudian . Tetap mengekstrak akar pangkat tiga yang ada di pembilang dan penyebut dari pecahan yang dihasilkan. Sebagai 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 dan 1 000=10 3 , maka dan . Tetap hanya untuk menyelesaikan perhitungan .

Menjawab:

.

Mengekstrak akar bilangan negatif

Secara terpisah, ada baiknya memikirkan mengekstraksi akar dari angka negatif. Saat mempelajari akar, kami mengatakan bahwa ketika eksponen akar adalah bilangan ganjil, maka angka negatif dapat berada di bawah tanda akar. Kami memberikan notasi tersebut arti berikut: untuk bilangan negatif a dan eksponen ganjil dari akar 2 n−1, kami memiliki . Kesetaraan ini memberikan aturan untuk mengekstrak akar ganjil dari bilangan negatif: untuk mengekstrak akar dari bilangan negatif, Anda perlu mengekstrak akar dari bilangan positif yang berlawanan, dan meletakkan tanda minus di depan hasilnya.

Mari kita pertimbangkan sebuah contoh solusi.

Contoh.

Temukan nilai akarnya.

Keputusan.

Mari kita ubah ekspresi aslinya sehingga angka positif muncul di bawah tanda akar: . Sekarang kita ganti bilangan campuran dengan pecahan biasa: . Kami menerapkan aturan mengekstraksi akar dari pecahan biasa: . Tetap menghitung akar pada pembilang dan penyebut dari pecahan yang dihasilkan: .

Berikut ringkasan solusinya: .

Menjawab:

.

Bitwise Menemukan Nilai Root

Dalam kasus umum, di bawah akar adalah angka yang, dengan menggunakan teknik yang dibahas di atas, tidak dapat direpresentasikan sebagai pangkat ke-n dari angka apa pun. Tetapi pada saat yang sama, ada kebutuhan untuk mengetahui nilai dari akar yang diberikan, setidaknya sampai tanda tertentu. Dalam hal ini, untuk mengekstrak root, Anda dapat menggunakan algoritme yang memungkinkan Anda untuk secara konsisten mendapatkan jumlah nilai yang cukup dari digit angka yang diinginkan.

Langkah pertama dari algoritma ini adalah mencari tahu bit paling signifikan dari nilai root. Untuk melakukan ini, angka 0, 10, 100, ... berturut-turut dipangkatkan ke n sampai diperoleh angka yang melebihi angka akar. Kemudian angka yang kita naikkan ke pangkat n pada langkah sebelumnya akan menunjukkan orde tinggi yang sesuai.

Misalnya, pertimbangkan langkah algoritme ini saat mengekstrak akar kuadrat dari lima. Kami mengambil angka 0, 10, 100, ... dan mengkuadratkannya sampai kami mendapatkan angka yang lebih besar dari 5 . Kami memiliki 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , yang berarti angka paling signifikan akan menjadi angka satuan. Nilai bit ini, serta yang lebih rendah, akan ditemukan pada langkah selanjutnya dari algoritma ekstraksi akar.

Semua langkah algoritma berikut ditujukan untuk penyempurnaan berturut-turut dari nilai root karena fakta bahwa nilai digit berikutnya dari nilai root yang diinginkan ditemukan, mulai dari yang tertinggi dan bergerak ke yang terendah . Misalnya, nilai akar pada langkah pertama adalah 2 , pada langkah kedua - 2.2 , pada langkah ketiga - 2.23 , dan seterusnya 2.236067977 ... . Mari kita jelaskan bagaimana nilai bit ditemukan.

Menemukan bit dilakukan dengan pencacahan nilai yang mungkin 0, 1, 2, ..., 9 . Dalam hal ini, pangkat ke-n dari angka-angka yang sesuai dihitung secara paralel, dan mereka dibandingkan dengan angka akar. Jika pada tahap tertentu nilai derajat melebihi bilangan radikal, maka nilai digit yang sesuai dengan nilai sebelumnya dianggap ditemukan, dan transisi ke langkah berikutnya dari algoritma ekstraksi akar dibuat, jika ini tidak terjadi, maka nilai angka tersebut adalah 9 .

Mari kita jelaskan poin-poin ini menggunakan contoh yang sama dalam mengekstrak akar kuadrat dari lima.

Pertama, cari nilai angka satuannya. Kami akan mengulangi nilai 0, 1, 2, …, 9 , menghitung masing-masing 0 2 , 1 2 , …, 9 2 sampai kami mendapatkan nilai yang lebih besar dari bilangan radikal 5 . Semua perhitungan ini disajikan dengan mudah dalam bentuk tabel:

Jadi nilai angka satuannya adalah 2 (karena 2 2<5 , а 2 3 >5 ). Mari kita beralih ke mencari nilai tempat kesepuluh. Dalam hal ini, kami akan mengkuadratkan angka 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, membandingkan nilai yang diperoleh dengan angka root 5:

Sejak 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , maka nilai tempat kesepuluh adalah 2 . Anda dapat melanjutkan untuk menemukan nilai tempat perseratus:

Sehingga didapat nilai selanjutnya dari akar lima yaitu sama dengan 2,23. Dan agar Anda dapat terus menemukan nilai lebih lanjut: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Untuk mengkonsolidasikan materi, kami akan menganalisis ekstraksi root dengan akurasi seperseratus menggunakan algoritma yang dipertimbangkan.

Pertama, kita mendefinisikan digit senior. Untuk melakukan ini, kita kubus angka 0, 10, 100, dll. sampai kita mendapatkan angka yang lebih besar dari 2.151.186 . Kami memiliki 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , jadi angka terpenting adalah angka puluhan.

Mari kita tentukan nilainya.

Sejak 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2.151.186 , maka nilai bilangan puluhannya adalah 1 . Mari kita beralih ke unit.

Jadi, nilai tempat satuan adalah 2 . Mari kita beralih ke sepuluh.

Karena genap 12,9 3 lebih kecil dari bilangan radikal 2 151,186 , nilai tempat kesepuluh adalah 9 . Tetap melakukan langkah terakhir dari algoritma, itu akan memberi kita nilai root dengan akurasi yang diperlukan.

Pada tahap ini, nilai akar ditemukan hingga seperseratus: .

Sebagai penutup artikel ini, saya ingin mengatakan bahwa ada banyak cara lain untuk mengekstrak akar. Tetapi untuk sebagian besar tugas, yang kami pelajari di atas sudah cukup.

Bibliografi.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 8 sel. institusi pendidikan.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan Analisis Awal: Buku Ajar untuk Kelas 10-11 Institusi Pendidikan Umum.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).

Rumus akar. sifat-sifat akar kuadrat.

Perhatian!
Ada tambahan
materi di Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Pada pelajaran sebelumnya, kita telah mengetahui apa itu akar kuadrat. Saatnya untuk mencari tahu apa itu rumus akar, apa yang sifat akar dan apa yang bisa dilakukan tentang itu semua.

Rumus Akar, Properti Akar, dan Aturan untuk Tindakan dengan Akar- itu pada dasarnya hal yang sama. Ada beberapa rumus yang mengejutkan untuk akar kuadrat. Yang, tentu saja, menyenangkan! Sebaliknya, Anda dapat menulis banyak jenis rumus, tetapi hanya tiga yang cukup untuk pekerjaan praktis dan percaya diri dengan akar. Segala sesuatu yang lain mengalir dari ketiganya. Meski banyak nyasar di ketiga rumus akarnya, ya…

Mari kita mulai dengan yang paling sederhana. Ini dia:

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Di antara sekian banyak pengetahuan yang merupakan tanda literasi, alfabet menempati urutan pertama. Berikutnya, elemen "tanda" yang sama, adalah keterampilan penjumlahan-perkalian dan, bersebelahan dengannya, tetapi terbalik dalam arti, operasi aritmatika pengurangan-pembagian. Keterampilan yang dipelajari di masa kanak-kanak sekolah yang jauh melayani dengan setia siang dan malam: TV, koran, SMS, Dan di mana pun kita membaca, menulis, menghitung, menambah, mengurangi, mengalikan. Dan, katakan padaku, apakah Anda sering harus mengakar dalam kehidupan, kecuali di pedesaan? Misalnya, masalah yang menghibur, seperti, akar kuadrat dari angka 12345 ... Apakah masih ada bubuk mesiu di dalam termos bubuk? Bisakah kita melakukannya? Ya, tidak ada yang lebih mudah! Di mana kalkulator saya ... Dan tanpa itu, tangan kosong, lemah?

Pertama, mari kita perjelas apa itu - akar kuadrat dari sebuah angka. Secara umum, "mengekstrak akar dari suatu angka" berarti melakukan operasi aritmatika yang berlawanan dengan menaikkan pangkat - di sini Anda memiliki kesatuan lawan dalam aplikasi kehidupan. misalkan persegi adalah perkalian dari suatu bilangan, yaitu seperti yang diajarkan di sekolah, X * X = A atau dalam notasi lain X2 = A, dan dengan kata lain - “X kuadrat sama dengan A”. Kemudian masalah kebalikannya berbunyi seperti ini: akar kuadrat dari bilangan A adalah bilangan X, yang jika dikuadratkan sama dengan A.

Mengekstrak akar kuadrat

Dari kursus aritmatika sekolah, metode perhitungan "dalam kolom" diketahui, yang membantu melakukan perhitungan apa pun menggunakan empat operasi aritmatika pertama. Sayangnya ... Untuk kuadrat, dan tidak hanya kuadrat, akar dari algoritma tersebut tidak ada. Dan dalam hal ini, bagaimana cara mengekstrak akar kuadrat tanpa kalkulator? Berdasarkan definisi akar kuadrat, hanya ada satu kesimpulan - perlu untuk memilih nilai hasil dengan pencacahan angka berurutan, kuadrat yang mendekati nilai ekspresi akar. Hanya dan semuanya! Sebelum satu atau dua jam berlalu, itu dapat dihitung menggunakan metode perkalian yang terkenal menjadi "kolom", akar kuadrat apa pun. Jika Anda memiliki keterampilan, beberapa menit sudah cukup untuk ini. Bahkan kalkulator atau pengguna PC yang tidak terlalu mahir melakukannya dalam satu gerakan - kemajuan.

Tapi serius, perhitungan akar kuadrat sering dilakukan dengan menggunakan teknik "garpu artileri": pertama, mereka mengambil angka yang kuadratnya kira-kira sesuai dengan ekspresi akar. Lebih baik jika "kotak kami" sedikit lebih kecil dari ekspresi ini. Kemudian mereka mengoreksi angka tersebut sesuai dengan pemahaman keterampilan mereka sendiri, misalnya, kalikan dengan dua, dan ... kuadratkan lagi. Jika hasilnya lebih besar dari angka di bawah root, sesuaikan angka aslinya secara berurutan, secara bertahap mendekati "rekan" di bawah root. Seperti yang Anda lihat - tidak ada kalkulator, hanya kemampuan untuk menghitung "dalam kolom". Tentu saja, ada banyak algoritma yang beralasan secara ilmiah dan dioptimalkan untuk menghitung akar kuadrat, tetapi untuk "penggunaan di rumah" teknik di atas memberikan kepercayaan 100% pada hasilnya.

Ya, saya hampir lupa, untuk mengonfirmasi peningkatan literasi kami, kami menghitung akar kuadrat dari angka 12345 yang ditunjukkan sebelumnya. Kami melakukannya langkah demi langkah:

1. Ambil, murni secara intuitif, X=100. Mari kita hitung: X * X = 10.000. Intuisi ada di atas - hasilnya kurang dari 12345.

2. Mari kita coba, juga murni secara intuitif, X = 120. Kemudian: X * X = 14400. Dan sekali lagi, dengan intuisi, urutan - hasilnya lebih dari 12345.

3. Di atas, diperoleh "garpu" 100 dan 120. Mari kita pilih angka baru - 110 dan 115. Kita mendapatkan, masing-masing, 12100 dan 13225 - garpu menyempit.

4. Kami mencoba "mungkin" X = 111. Kita dapatkan X * X = 12321. Angka ini sudah cukup mendekati 12345. Sesuai dengan ketelitian yang dibutuhkan, “penyambungan” dapat dilanjutkan atau dihentikan pada hasil yang diperoleh. Itu saja. Seperti yang dijanjikan - semuanya sangat sederhana dan tanpa kalkulator.

Sedikit sejarah...

Bahkan Pythagoras, siswa sekolah dan pengikut Pythagoras, berpikir untuk menggunakan akar kuadrat, 800 SM. dan di sana, "bertemu" dengan penemuan-penemuan baru di bidang angka. Dan dari mana asalnya?

1. Penyelesaian masalah dengan ekstraksi akar, memberikan hasil berupa bilangan dari kelas baru. Mereka disebut irasional, dengan kata lain, "tidak masuk akal", karena. mereka tidak ditulis sebagai angka lengkap. Contoh paling klasik dari jenis ini adalah akar kuadrat dari 2. Kasus ini sesuai dengan perhitungan diagonal persegi dengan sisi sama dengan 1 - ini dia, pengaruh aliran Pythagoras. Ternyata dalam segitiga dengan satuan ukuran sisi yang sangat spesifik, sisi miring memiliki ukuran yang dinyatakan dengan angka yang "tidak memiliki ujung". Jadi dalam matematika muncul

2. Diketahui bahwa ternyata operasi matematika ini mengandung satu tangkapan lagi - mengekstrak akar, kita tidak tahu kuadrat berapa dari angka mana, positif atau negatif, ekspresi akar. Ketidakpastian ini, hasil ganda dari satu operasi, dituliskan.

Studi tentang masalah yang terkait dengan fenomena ini telah menjadi arah dalam matematika yang disebut teori variabel kompleks, yang sangat penting secara praktis dalam fisika matematika.

Sangat mengherankan bahwa notasi akar - radikal - digunakan dalam "Aritmatika Universal"-nya oleh I. Newton yang sama di mana-mana, dan persisnya bentuk modern penulisan akar telah dikenal sejak 1690 dari buku Frenchman Roll "Algebra Manual". ".

Luas sebidang tanah berbentuk bujur sangkar adalah 81 dm². Temukan sisinya. Misalkan panjang sisi persegi adalah X desimeter. Maka luas petak tersebut adalah X² desimeter persegi. Karena menurut kondisinya, luas ini adalah 81 dm², maka X² = 81. Panjang sisi persegi adalah bilangan positif. Bilangan positif yang kuadratnya 81 adalah bilangan 9. Saat menyelesaikan masalah, diperlukan untuk menemukan bilangan x, kuadratnya adalah 81, yaitu menyelesaikan persamaan X² = 81. Persamaan ini memiliki dua akar: x 1 = 9 dan x 2 \u003d - 9, karena 9² \u003d 81 dan (- 9)² \u003d 81. Kedua angka 9 dan - 9 disebut akar kuadrat dari angka 81.

Perhatikan bahwa salah satu akar kuadrat X= 9 adalah bilangan positif. Ini disebut akar kuadrat aritmatika dari 81 dan dinotasikan 81, jadi 81 = 9.

Akar kuadrat aritmatika suatu bilangan sebuah adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan sebuah.

Misalnya, angka 6 dan -6 adalah akar kuadrat dari 36. Angka 6 adalah akar kuadrat aritmatika dari 36, karena 6 adalah bilangan non-negatif dan 6² = 36. Angka -6 bukan akar aritmatika.

Akar kuadrat aritmatika suatu bilangan sebuah dilambangkan sebagai berikut: sebuah.

Tanda tersebut disebut tanda akar kuadrat aritmatika; sebuah disebut ekspresi akar. ekspresi sebuah Baca seperti ini: akar kuadrat aritmatika dari suatu bilangan sebuah. Misalnya, 36 = 6, 0 = 0, 0,49 = 0,7. Dalam kasus di mana jelas bahwa kita berbicara tentang akar aritmatika, mereka secara singkat mengatakan: "akar kuadrat dari sebuah«.

Tindakan menemukan akar kuadrat dari suatu bilangan disebut mengambil akar kuadrat. Tindakan ini adalah kebalikan dari kuadrat.

Setiap angka dapat dikuadratkan, tetapi tidak setiap angka dapat menjadi akar kuadrat. Misalnya, tidak mungkin untuk mengekstrak akar kuadrat dari angka - 4. Jika akar seperti itu ada, maka, yang menunjukkannya dengan huruf X, kita akan mendapatkan persamaan yang salah x² \u003d - 4, karena ada angka non-negatif di sebelah kiri, dan angka negatif di sebelah kanan.

ekspresi sebuah hanya masuk akal ketika sebuah 0. Definisi akar kuadrat dapat ditulis secara singkat sebagai: sebuah 0, (√sebuah)² = sebuah. Kesetaraan ( sebuah)² = sebuah berlaku untuk sebuah 0. Jadi, untuk memastikan bahwa akar kuadrat dari bilangan non-negatif sebuah sama dengan b, yaitu, bahwa sebuah =b, Anda perlu memeriksa bahwa dua kondisi berikut terpenuhi: b 0, b² = sebuah.

Akar kuadrat dari pecahan

Mari kita hitung. Perhatikan bahwa 25 = 5, 36 = 6, dan periksa apakah persamaannya berlaku.

Sebagai dan , maka persamaan tersebut benar. Jadi, .

Dalil: Jika sebuah sebuah 0 dan b> 0, yaitu akar pecahan sama dengan akar pembilang dibagi akar penyebut. Harus dibuktikan bahwa: dan .

Sejak sebuah 0 dan b> 0, maka .

Dengan sifat menaikkan pecahan menjadi pangkat dan menentukan akar kuadrat teorema terbukti. Mari kita lihat beberapa contoh.

Hitung , sesuai dengan teorema terbukti .

Contoh kedua: Buktikan bahwa , jika sebuah ≤ 0, b < 0. .

Contoh lain: Hitung .

.

Transformasi akar kuadrat

Mengambil pengganda dari bawah tanda akar. Biarkan ekspresi diberikan. Jika sebuah sebuah 0 dan b 0, maka dengan teorema pada akar produk, kita dapat menulis:

Transformasi seperti itu disebut memfaktorkan keluar tanda akar. Pertimbangkan sebuah contoh;

Hitung di X= 2. Substitusi langsung X= 2 dalam ekspresi radikal mengarah ke perhitungan yang rumit. Perhitungan ini dapat disederhanakan jika pertama-tama kita menghilangkan faktor-faktor dari bawah tanda akar: . Sekarang substitusikan x = 2, kita dapatkan:.

Jadi, ketika mengambil faktor dari bawah tanda akar, ekspresi radikal direpresentasikan sebagai produk di mana satu atau lebih faktor adalah kuadrat dari bilangan non-negatif. Teorema hasil kali akar kemudian diterapkan dan akar dari setiap faktor diambil. Perhatikan sebuah contoh: Sederhanakan ekspresi A = 8 + 18 - 4√2 dengan mengambil faktor-faktor dari bawah tanda akar pada dua suku pertama, kita peroleh:. Kami menekankan bahwa kesetaraan hanya berlaku bila sebuah 0 dan b 0. jika sebuah < 0, то .

Cukup sering, ketika memecahkan masalah, kita dihadapkan dengan sejumlah besar yang perlu kita ekstrak Akar pangkat dua. Banyak siswa memutuskan bahwa ini adalah kesalahan dan mulai menyelesaikan seluruh contoh. Dalam situasi apa pun ini tidak boleh dilakukan! Ada dua alasan untuk ini:

1. Akar dari bilangan besar memang terjadi dalam masalah. Terutama dalam teks;
2. Ada algoritma dimana akar ini dianggap hampir secara verbal.

Kami akan mempertimbangkan algoritma ini hari ini. Mungkin beberapa hal akan tampak tidak dapat dipahami oleh Anda. Tetapi jika Anda memperhatikan pelajaran ini, Anda akan mendapatkan senjata paling kuat untuk melawan akar kuadrat.

Jadi algoritmanya:

1. Batasi akar yang diinginkan di atas dan di bawah hingga kelipatan 10. Dengan demikian, kami akan mengurangi rentang pencarian menjadi 10 angka;
2. Dari 10 angka ini, singkirkan yang pasti bukan akar. Akibatnya, 1-2 angka akan tetap ada;
3. Kuadratkan 1-2 angka ini. Itu dari mereka, kuadrat yang sama dengan angka aslinya, akan menjadi akarnya.

Sebelum menerapkan algoritma ini bekerja dalam praktek, mari kita lihat setiap langkah individu.

Batasan akar

Pertama-tama, kita perlu mencari tahu di antara angka mana akar kita berada. Sangat diinginkan bahwa angka-angka tersebut merupakan kelipatan dari sepuluh:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Kami mendapatkan serangkaian angka:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Apa yang diberikan angka-angka ini kepada kita? Sederhana saja: kita mendapatkan batasan. Ambil contoh, angka 1296. Itu terletak antara 900 dan 1600. Oleh karena itu, akarnya tidak boleh kurang dari 30 dan lebih besar dari 40:

[Keterangan gambar]

Hal yang sama dengan nomor lain dari mana Anda dapat menemukan akar kuadrat. Misalnya, 3364:

[Keterangan gambar]

Jadi, alih-alih angka yang tidak dapat dipahami, kami mendapatkan rentang yang sangat spesifik di mana akar aslinya berada. Untuk lebih mempersempit cakupan pencarian, lanjutkan ke langkah kedua.

Penghapusan nomor yang jelas berlebihan

Jadi, kami memiliki 10 nomor - kandidat untuk root. Kami menerimanya dengan sangat cepat, tanpa pemikiran rumit dan perkalian dalam satu kolom. Saatnya untuk melanjutkan.

Percaya atau tidak, sekarang kami akan mengurangi jumlah nomor kandidat menjadi dua - dan lagi tanpa perhitungan yang rumit! Cukup mengetahui aturan khusus. Ini dia:

Digit terakhir bujur sangkar hanya bergantung pada digit terakhir nomor asli.

Dengan kata lain, cukup dengan melihat angka terakhir bujur sangkar - dan kita akan segera mengerti di mana angka aslinya berakhir.

Hanya ada 10 digit yang bisa berada di tempat terakhir. Mari kita coba mencari tahu apa yang mereka ubah ketika dikuadratkan. Perhatikan tabelnya:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Tabel ini adalah langkah lain untuk menghitung akar. Seperti yang Anda lihat, angka-angka di baris kedua ternyata simetris terhadap lima. Sebagai contoh:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Seperti yang Anda lihat, angka terakhir sama dalam kedua kasus. Dan ini berarti bahwa, misalnya, akar 3364 harus berakhir dengan 2 atau 8. Di sisi lain, kita mengingat batasan dari paragraf sebelumnya. Kita mendapatkan:

[Keterangan gambar]

Kotak merah menunjukkan bahwa kita belum mengetahui angka ini. Tetapi bagaimanapun juga, akarnya terletak antara 50 dan 60, di mana hanya ada dua angka yang berakhiran 2 dan 8:

[Keterangan gambar]

Itu saja! Dari semua kemungkinan akar, kami hanya menyisakan dua pilihan! Dan ini dalam kasus yang paling sulit, karena angka terakhir bisa 5 atau 0. Dan kemudian akan ada satu-satunya kandidat untuk akarnya!

Perhitungan Akhir

Jadi, kami memiliki 2 nomor kandidat yang tersisa. Bagaimana Anda tahu yang mana yang menjadi root? Jawabannya jelas: kuadratkan kedua angka. Yang dikuadratkan akan memberikan nomor aslinya, dan akan menjadi akarnya.

Misalnya, untuk nomor 3364, kami menemukan dua nomor kandidat: 52 dan 58. Mari kita kuadratkan:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

Itu saja! Ternyata akarnya adalah 58! Pada saat yang sama, untuk menyederhanakan perhitungan, saya menggunakan rumus kuadrat dari jumlah dan selisih. Berkat ini, Anda bahkan tidak perlu mengalikan angka dalam satu kolom! Ini adalah tingkat optimalisasi perhitungan lainnya, tetapi, tentu saja, ini sepenuhnya opsional :)

Contoh Perhitungan Root

Teorinya bagus, tentu saja. Tapi mari kita mengujinya dalam praktik.

[Keterangan gambar]

Pertama, mari kita cari tahu di antara angka mana angka 576 terletak:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Sekarang mari kita lihat nomor terakhir. Itu sama dengan 6. Kapan ini terjadi? Hanya jika akarnya berakhiran 4 atau 6. Kami mendapatkan dua angka:

Tetap kuadratkan setiap angka dan bandingkan dengan yang asli:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Bagus! Kuadrat pertama ternyata sama dengan angka aslinya. Jadi ini adalah akarnya.

Tugas. Hitung akar kuadrat:

[Keterangan gambar]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Mari kita lihat nomor terakhir:

1369 → 9;
33; 37.

Mari kita kuadratkan:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

Inilah jawabannya: 37.

Tugas. Hitung akar kuadrat:

[Keterangan gambar]

Kami membatasi jumlah:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Mari kita lihat nomor terakhir:

2704 → 4;
52; 58.

Mari kita kuadratkan:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Kami mendapat jawabannya: 52. Angka kedua tidak perlu lagi dikuadratkan.

Tugas. Hitung akar kuadrat:

[Keterangan gambar]

Kami membatasi jumlah:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Mari kita lihat nomor terakhir:

4225 → 5;
65.

Seperti yang Anda lihat, setelah langkah kedua, hanya satu opsi yang tersisa: 65. Ini adalah root yang diinginkan. Tapi mari kita tetapkan dan periksa:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Semuanya benar. Kami menuliskan jawabannya.

Kesimpulan

Sayangnya, tidak lebih baik. Mari kita lihat alasannya. Ada dua di antaranya:

• Dilarang menggunakan kalkulator pada ujian matematika normal apa pun, baik itu GIA atau Unified State Examination. Dan karena membawa kalkulator ke dalam kelas, mereka dapat dengan mudah dikeluarkan dari ujian.
• Jangan seperti orang Amerika bodoh. Yang tidak seperti akar - mereka tidak dapat menambahkan dua bilangan prima. Dan saat melihat pecahan, mereka umumnya histeris.