Fisika dan matematika tidak dapat dilakukan tanpa konsep "kuantitas vektor". Itu harus diketahui dan dikenali, serta dapat beroperasi dengannya. Anda pasti harus mempelajari ini agar tidak bingung dan tidak membuat kesalahan bodoh.

Bagaimana cara membedakan nilai skalar dari nilai vektor?

Yang pertama selalu hanya memiliki satu karakteristik. Ini adalah nilai numeriknya. Sebagian besar skalar dapat mengambil nilai positif dan negatif. Contohnya adalah muatan listrik, usaha, atau temperatur. Tetapi ada beberapa skalar yang tidak bisa negatif, seperti panjang dan massa.

Besaran vektor, selain besaran numerik, yang selalu diambil modulo, juga dicirikan oleh arah. Oleh karena itu, dapat digambarkan secara grafis, yaitu dalam bentuk panah, yang panjangnya sama dengan modulus nilai yang diarahkan ke arah tertentu.

Saat menulis, setiap besaran vektor ditunjukkan dengan tanda panah pada surat itu. Jika kita berbicara tentang nilai numerik, maka panah tidak ditulis atau diambil modulo.

Tindakan apa yang paling sering dilakukan dengan vektor?

Pertama, perbandingan. Mereka mungkin atau mungkin tidak sama. Dalam kasus pertama, modul mereka sama. Tapi ini bukan satu-satunya syarat. Mereka juga harus memiliki arah yang sama atau berlawanan. Dalam kasus pertama, mereka harus disebut vektor yang sama. Yang kedua, mereka berlawanan. Jika setidaknya salah satu dari kondisi ini tidak terpenuhi, maka vektornya tidak sama.

Kemudian datang tambahan. Itu dapat dilakukan sesuai dengan dua aturan: segitiga atau jajaran genjang. Yang pertama mengatur untuk menunda satu vektor pertama, kemudian dari ujungnya yang kedua. Hasil penambahan akan menjadi yang perlu ditarik dari awal yang pertama hingga akhir yang kedua.

Aturan jajaran genjang dapat digunakan ketika Anda perlu menambahkan besaran vektor dalam fisika. Berbeda dengan aturan pertama, di sini mereka harus ditunda dari satu titik. Kemudian buat mereka menjadi jajaran genjang. Hasil tindakan harus dianggap sebagai diagonal jajaran genjang yang ditarik dari titik yang sama.

Jika kuantitas vektor dikurangkan dari yang lain, maka mereka diplot lagi dari satu titik. Hanya hasilnya yang akan menjadi vektor yang cocok dengan yang digambar dari akhir kedua hingga akhir yang pertama.

Vektor apa yang dipelajari dalam fisika?

Ada banyak dari mereka karena ada skalar. Anda dapat dengan mudah mengingat besaran vektor apa yang ada dalam fisika. Atau mengetahui tanda-tanda yang dengannya mereka dapat dihitung. Bagi mereka yang lebih suka opsi pertama, tabel seperti itu akan berguna. Ini berisi besaran fisis vektor utama.

Sekarang sedikit lebih banyak tentang beberapa jumlah ini.

Nilai pertama adalah kecepatan

Layak untuk mulai memberikan contoh besaran vektor darinya. Ini karena fakta bahwa itu dipelajari di antara yang pertama.

Kecepatan didefinisikan sebagai karakteristik gerak suatu benda di ruang angkasa. Ini menentukan nilai numerik dan arah. Oleh karena itu, kelajuan merupakan besaran vektor. Selain itu, merupakan kebiasaan untuk membaginya menjadi beberapa jenis. Yang pertama adalah kecepatan linier. Ini diperkenalkan ketika mempertimbangkan gerakan seragam bujursangkar. Dalam hal ini, ternyata sama dengan rasio jalur yang ditempuh tubuh dengan waktu gerakan.

Rumus yang sama dapat digunakan untuk gerakan yang tidak rata. Hanya dengan begitu akan menjadi rata-rata. Selain itu, interval waktu yang akan dipilih harus sesingkat mungkin. Ketika interval waktu cenderung nol, nilai kecepatan sudah sesaat.

Jika gerakan sewenang-wenang dianggap, maka di sini kecepatan selalu merupakan besaran vektor. Bagaimanapun, itu harus didekomposisi menjadi komponen yang diarahkan sepanjang setiap vektor yang mengarahkan garis koordinat. Selain itu, ini didefinisikan sebagai turunan dari vektor radius, yang diambil terhadap waktu.

Nilai kedua adalah kekuatan

Ini menentukan ukuran intensitas dampak yang diberikan pada tubuh oleh tubuh atau bidang lain. Karena gaya merupakan besaran vektor, maka gaya memiliki nilai modulo dan arahnya sendiri. Karena ia bekerja pada tubuh, titik di mana gaya diterapkan juga penting. Untuk mendapatkan representasi visual dari vektor gaya, Anda dapat merujuk ke tabel berikut.

Selain itu, gaya yang dihasilkan juga merupakan besaran vektor. Ini didefinisikan sebagai jumlah dari semua gaya mekanik yang bekerja pada tubuh. Untuk menentukannya perlu dilakukan penjumlahan sesuai dengan prinsip aturan segitiga. Hanya Anda yang perlu menunda vektor secara bergantian dari akhir yang sebelumnya. Hasilnya akan menjadi salah satu yang menghubungkan awal yang pertama ke akhir yang terakhir.

Besaran ketiga adalah perpindahan

Saat bergerak, tubuh menggambarkan garis tertentu. Itu disebut lintasan. Garis ini bisa sangat berbeda. Lebih penting bukan dia penampilan, dan titik awal dan akhir gerakan. Mereka dihubungkan oleh segmen yang disebut perpindahan. Ini juga merupakan besaran vektor. Apalagi selalu diarahkan dari awal gerakan hingga titik berhentinya gerakan. Merupakan kebiasaan untuk menunjuknya dengan huruf Latin r.

Di sini pertanyaan berikut mungkin muncul: “Apakah lintasan termasuk besaran vektor?”. Secara umum, pernyataan ini tidak benar. Lintasan sama dengan panjang lintasan dan tidak memiliki arah yang pasti. Pengecualian adalah situasi ketika gerakan bujursangkar dalam satu arah dipertimbangkan. Kemudian modulus vektor perpindahan bertepatan nilainya dengan lintasan, dan arahnya ternyata sama. Oleh karena itu, ketika mempertimbangkan gerakan sepanjang garis lurus tanpa mengubah arah gerakan, lintasan dapat dimasukkan dalam contoh besaran vektor.

Nilai keempat adalah percepatan

Ini adalah karakteristik dari laju perubahan kecepatan. Selain itu, akselerasi dapat memiliki nilai positif dan negatif. Dalam gerak lurus, itu diarahkan ke arah kecepatan yang lebih tinggi. Jika gerakan terjadi sepanjang lintasan lengkung, maka vektor percepatannya diuraikan menjadi dua komponen yang salah satunya diarahkan ke pusat kelengkungan sepanjang jari-jari.

Alokasikan nilai percepatan rata-rata dan sesaat. Yang pertama harus dihitung sebagai rasio perubahan kecepatan selama periode waktu tertentu hingga saat ini. Ketika interval waktu yang dipertimbangkan cenderung nol, seseorang berbicara tentang percepatan sesaat.

Nilai kelima - momentum

Dengan cara lain, ini juga disebut jumlah gerak. Momentum adalah besaran vektor karena berhubungan langsung dengan kecepatan dan gaya yang diberikan pada benda. Keduanya memiliki arah dan memberikan dorongan tersebut.

Menurut definisi, yang terakhir sama dengan produk massa tubuh dan kecepatan. Dengan menggunakan konsep momentum suatu benda, seseorang dapat menulis hukum Newton yang terkenal dengan cara yang berbeda. Ternyata perubahan momentum sama dengan hasil kali gaya dan selang waktu.

Dalam fisika, hukum kekekalan momentum memainkan peran penting, yang menyatakan bahwa dalam sistem benda tertutup, momentum totalnya konstan.

Kami telah secara singkat membuat daftar besaran (vektor) apa yang dipelajari dalam pelajaran fisika.

Masalah dampak inelastis

Kondisi. Ada platform tetap di rel. Sebuah mobil mendekatinya dengan kecepatan 4 m/s. Massa platform dan gerobak masing-masing adalah 10 dan 40 ton. Mobil menabrak platform, coupler otomatis terjadi. Penting untuk menghitung kecepatan sistem platform gerobak setelah tumbukan.

Keputusan. Pertama, Anda harus memasukkan notasi: kecepatan mobil sebelum tumbukan - v1, mobil dengan platform setelah kopling - v, massa mobil m1, berat platform - m2. Sesuai dengan kondisi soal, perlu dicari nilai kecepatan v.

Aturan untuk menyelesaikan tugas-tugas tersebut memerlukan representasi skematis dari sistem sebelum dan sesudah interaksi. Masuk akal untuk mengarahkan sumbu OX di sepanjang rel ke arah di mana mobil bergerak.

Dalam kondisi ini, sistem gerobak dapat dianggap tertutup. Ini ditentukan oleh fakta bahwa gaya eksternal dapat diabaikan. Gaya gravitasi dan reaksi penyangga seimbang, dan gesekan pada rel tidak diperhitungkan.

Menurut hukum kekekalan momentum, jumlah vektor mereka sebelum interaksi mobil dan platform sama dengan total coupler setelah tumbukan. Pada awalnya, platform tidak bergerak, jadi momentumnya nol. Hanya gerobak yang bergerak, momentumnya adalah produk dari m1 dan v1.

Karena tumbukannya tidak elastis, yaitu, gerobak menempel pada platform, dan kemudian mulai menggelinding bersama ke arah yang sama, impuls sistem tidak berubah arah. Tapi maknanya telah berubah. Yaitu, hasil kali jumlah massa kereta dengan platform dan kecepatan yang diinginkan.

Anda dapat menulis persamaan berikut: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. Ini akan benar untuk proyeksi vektor momentum pada sumbu yang dipilih. Dari sini mudah untuk mendapatkan persamaan yang diperlukan untuk menghitung kecepatan yang diinginkan: v = m1 * v1 / (m1 + m2).

Menurut aturan, Anda harus mengonversi nilai massa dari ton ke kilogram. Karena itu, saat memasukkannya ke dalam rumus, pertama-tama Anda harus mengalikan nilai yang diketahui dengan seribu. Perhitungan sederhana memberikan angka 0,75 m/s.

Menjawab. Kecepatan kereta dengan platform adalah 0,75 m/s.

Membagi tubuh menjadi beberapa bagian

Kondisi. Kecepatan sebuah granat terbang adalah 20 m/s. Itu pecah menjadi dua bagian. Massa yang pertama adalah 1,8 kg. Itu terus bergerak ke arah di mana granat itu terbang dengan kecepatan 50 m/s. Fragmen kedua memiliki massa 1,2 kg. Berapa kecepatannya?

Keputusan. Biarkan massa fragmen dilambangkan dengan huruf m1 dan m2. Kecepatan mereka masing-masing akan menjadi v1 dan v2. Kecepatan awal granat adalah v. Dalam tugas, Anda perlu menghitung nilai v2.

Agar pecahan yang lebih besar terus bergerak ke arah yang sama dengan seluruh granat, yang kedua harus terbang ke arah yang berlawanan. Jika kita memilih arah sumbu yang memiliki impuls awal, maka setelah patahan pecahan besar terbang sepanjang sumbu, dan pecahan kecil terbang melawan sumbu.

Dalam masalah ini, diperbolehkan untuk menggunakan hukum kekekalan momentum karena fakta bahwa ledakan granat terjadi secara instan. Oleh karena itu, terlepas dari kenyataan bahwa gravitasi bekerja pada granat dan bagian-bagiannya, ia tidak punya waktu untuk bertindak dan mengubah arah vektor momentum dengan nilai modulusnya.

Jumlah nilai vektor momentum setelah ledakan granat sama dengan yang sebelumnya. Jika kita menuliskan hukum kekekalan momentum benda yang diproyeksikan ke sumbu OX, maka akan terlihat seperti ini: (m1 + m2) * v = m1 * v1 - m2 * v2. Sangat mudah untuk mengekspresikan kecepatan yang diinginkan darinya. Ditentukan dengan rumus: v2 = ((m1 + m2) * v - m1 * v1) / m2. Setelah substitusi nilai numerik dan perhitungan, diperoleh 25 m / s.

Menjawab. Kecepatan pecahan kecil adalah 25 m/s.

Masalah tentang pemotretan pada sudut

Kondisi. Sebuah alat dipasang pada platform bermassa M. Sebuah peluru bermassa m ditembakkan darinya. Ia lepas landas pada sudut ke cakrawala dengan kecepatan v (diberikan relatif terhadap tanah). Diperlukan untuk mengetahui kecepatan platform setelah tembakan.

Keputusan. Dalam soal ini, Anda dapat menggunakan hukum kekekalan momentum dalam proyeksi ke sumbu OX. Tetapi hanya dalam kasus ketika proyeksi gaya resultan eksternal sama dengan nol.

Untuk arah sumbu OX, Anda harus memilih sisi di mana proyektil akan terbang, dan sejajar dengan garis horizontal. Dalam hal ini, proyeksi gaya gravitasi dan reaksi dukungan pada OX akan sama dengan nol.

Masalahnya akan diselesaikan secara umum, karena tidak ada data khusus untuk besaran yang diketahui. Formula adalah jawabannya.

Momentum sistem sebelum tembakan sama dengan nol, karena platform dan proyektil tidak bergerak. Biarkan kecepatan platform yang diinginkan dilambangkan dengan huruf Latin u. Kemudian momentumnya setelah tembakan ditentukan sebagai produk dari massa dan proyeksi kecepatan. Karena platform berputar ke belakang (melawan arah sumbu OX), nilai momentum akan menjadi dengan tanda minus.

Momentum proyektil adalah produk dari massa dan proyeksi kecepatan pada sumbu OX. Karena fakta bahwa kecepatan diarahkan pada sudut ke cakrawala, proyeksinya sama dengan kecepatan dikalikan dengan kosinus sudut. Dalam persamaan literal, akan terlihat seperti ini: 0 = - Mu + mv * cos . Darinya, dengan transformasi sederhana, diperoleh rumus jawaban: u = (mv * cos ) / M.

Menjawab. Kecepatan platform ditentukan oleh rumus u = (mv * cos ) / M.

Masalah penyeberangan sungai

Kondisi. Lebar sungai sepanjang seluruh panjangnya sama dan sama dengan l, tepiannya sejajar. Kecepatan aliran air di sungai v1 dan kecepatan perahu v2 sendiri diketahui. satu). Saat menyeberang, haluan kapal diarahkan secara ketat ke pantai yang berlawanan. Berapa jauh s akan dibawa ke hilir? 2). Pada sudut berapakah haluan perahu harus diarahkan sehingga mencapai tepi seberang yang tegak lurus terhadap titik keberangkatan? Berapa waktu yang diperlukan untuk penyeberangan seperti itu?

Keputusan. satu). Kecepatan penuh perahu adalah jumlah vektor dari dua kuantitas. Yang pertama adalah aliran sungai, yang diarahkan di sepanjang tepi sungai. Yang kedua adalah kecepatan kapal sendiri, tegak lurus dengan pantai. Gambar tersebut menunjukkan dua segitiga yang sebangun. Yang pertama dibentuk oleh lebar sungai dan jarak yang diangkut perahu. Yang kedua adalah vektor kecepatan.

Entri berikut mengikuti dari mereka: s / l = v1 / v2. Setelah transformasi, diperoleh rumus untuk nilai yang diinginkan: s = l * (v1 / v2).

2). Dalam versi soal ini, vektor kecepatan total tegak lurus terhadap tepian. Ini sama dengan jumlah vektor v1 dan v2. Sinus sudut di mana vektor kecepatan sendiri harus menyimpang sama dengan rasio modul v1 dan v2. Untuk menghitung waktu tempuh, Anda perlu membagi lebar sungai dengan kecepatan total yang dihitung. Nilai yang terakhir dihitung dengan teorema Pythagoras.

v = (v22 – v12), lalu t = l / (√(v22 – v12)).

Menjawab. satu). s = l * (v1 / v2), 2). sin = v1 / v2, t = l / (√(v22 – v12)).

Vektor adalah alat yang ampuh dalam matematika dan fisika. Hukum dasar mekanika dan elektrodinamika dirumuskan dalam bahasa vektor. Untuk memahami fisika, Anda perlu mempelajari cara bekerja dengan vektor.

Bab ini berisi presentasi rinci tentang materi yang diperlukan untuk memulai studi mekanika:

! penambahan vektor

! Kalikan skalar dengan vektor

! Sudut antar vektor

! Proyeksi vektor ke sumbu

! Vektor dan koordinat pada bidang

! Vektor dan koordinat dalam ruang

! Hasil kali titik dari vektor

Akan berguna untuk kembali ke teks lampiran ini pada tahun pertama ketika mempelajari geometri analitik dan aljabar linier untuk memahami, misalnya, dari mana aksioma ruang linier dan Euclidean berasal.

7.1 Besaran skalar dan vektor

Dalam proses belajar fisika, kita bertemu dua jenis besaran - skalar dan vektor.

Definisi. Besaran skalar, atau skalar, adalah besaran fisika yang (dalam satuan yang sesuai) memerlukan satu angka untuk menentukannya.

Ada banyak skalar dalam fisika. Berat badan 3 kg, suhu udara 10 C, tegangan listrik 220 V. . . Dalam semua kasus ini, jumlah yang menarik bagi kami diberikan oleh satu nomor. Oleh karena itu, massa, suhu, dan tegangan listrik adalah skalar.

Tapi skalar dalam fisika bukan hanya angka. Skalar adalah bilangan yang dilengkapi dengan dimensi 1. Jadi, mengingat massa, kita tidak dapat menulis m = 3; Anda harus menentukan unit pengukuran, misalnya, m = 3 kg. Dan jika dalam matematika kita dapat menjumlahkan angka 3 dan 220, maka dalam fisika tidak akan berhasil untuk menambahkan 3 kilogram dan 220 volt: kita hanya berhak menambahkan skalar yang memiliki dimensi yang sama (massa dengan massa, tegangan dengan tegangan , dll).

Definisi. Besaran vektor, atau vektor, adalah besaran fisika yang dicirikan oleh: 1) skalar non-negatif; 2) arah dalam ruang. Dalam hal ini, skalar disebut modulus vektor, atau nilai absolutnya.

Misalkan sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 60 km/jam. Tapi itu informasi lalu lintas yang tidak lengkap, bukan? Mungkin juga penting ke mana mobil pergi, ke arah mana. Oleh karena itu, penting untuk mengetahui tidak hanya modul (nilai absolut) dari kecepatan kendaraan dalam hal ini, yaitu 60 km/jam, tetapi juga arahnya di ruang angkasa. Jadi kecepatan adalah vektor.

Contoh lain. Misalkan ada batu bata bermassa 1 kg di lantai. Sebuah gaya 100 N bekerja pada batu bata (ini adalah modulus gaya, atau nilai absolutnya). Bagaimana batu bata akan bergerak? Pertanyaannya tidak ada artinya sampai arah gaya ditentukan. Jika gaya bekerja ke atas, maka batu bata akan bergerak ke atas. Jika gaya bekerja secara horizontal, maka batu bata akan bergerak secara horizontal. Dan jika gaya bekerja vertikal ke bawah, maka batu bata tidak akan bergeming sama sekali, hanya akan ditekan ke lantai. Oleh karena itu, kita melihat bahwa gaya juga merupakan vektor.

Besaran vektor dalam fisika juga memiliki dimensi. Dimensi vektor adalah dimensi modulnya.

Kami akan menunjukkan vektor dengan huruf dengan panah. Jadi, vektor kecepatan dapat dilambangkan

melalui ~v, dan vektor gaya melalui F . Sebenarnya, vektor ini adalah panah atau, seperti yang mereka katakan, segmen terarah (Gbr. 7.1).

Beras. 7.1. Vektor ~v

Titik awal panah disebut awal vektor, dan titik akhir (ujung) panah

akhir vektor. Dalam matematika, sebuah vektor yang berawal di titik A dan berakhir di titik B dilambangkan

juga AB; kita terkadang membutuhkan notasi seperti itu.

Sebuah vektor yang awal dan akhirnya bertepatan disebut vektor nol (atau nol) dan

dilambangkan dengan ~ . Vektor nol hanyalah sebuah titik; itu tidak memiliki arah yang pasti.

Panjang vektor nol tentu saja nol.

1 Ada juga skalar tak berdimensi: koefisien gesekan, efisiensi, indeks bias medium. . . Jadi, indeks bias air adalah 1; 33, ini adalah informasi lengkap, angka ini tidak memiliki dimensi apa pun.

Menggambar panah sepenuhnya memecahkan masalah representasi grafis dari besaran vektor. Arah panah menunjukkan arah vektor yang diberikan, dan panjang panah dalam skala yang sesuai adalah modulus vektor ini.

Misalkan, misalnya, dua mobil bergerak menuju satu sama lain dengan kecepatan u = 30 km/jam dan v = 60 km/jam. Maka vektor ~u dan ~v kecepatan mobil akan berlawanan arah, dan panjang vektor ~v dua kali lebih besar (Gbr. 7.2).

Beras. 7.2. Vektor ~v dua kali lebih panjang

Seperti yang sudah Anda pahami, huruf tanpa panah (misalnya, u atau v pada paragraf sebelumnya) menunjukkan modulus dari vektor yang sesuai. Dalam matematika, modulus dari sebuah vektor ~v biasanya dilambangkan dengan j~vj, tetapi fisikawan, jika situasinya memungkinkan, akan memilih v tanpa panah.

Vektor disebut collinear jika terletak pada garis yang sama atau pada garis yang sejajar.

Misalkan ada dua vektor collinear. Jika arahnya bertepatan, maka vektor disebut codirectional; jika arahnya berbeda, maka vektor disebut berlawanan arah. Jadi, di atas pada Gambar. 7.2 vektor ~u dan ~v berlawanan arah.

Dua vektor disebut sama jika keduanya searah dan memiliki modul yang sama (Gbr. 7.3).

Beras. 7.3. Vektor ~a dan b adalah sama: ~a = b

Dengan demikian, kesetaraan vektor sama sekali tidak berarti kebetulan yang sangat diperlukan dari awal dan akhir: kita dapat memindahkan vektor sejajar dengan dirinya sendiri, dan dalam hal ini kita mendapatkan vektor yang sama dengan vektor aslinya. Pemindahan seperti itu terus-menerus digunakan dalam kasus di mana diinginkan untuk mengurangi permulaan vektor menjadi satu titik, misalnya, ketika menemukan jumlah atau perbedaan vektor. Kami sekarang beralih ke pertimbangan operasi pada vektor.

Dalam studi berbagai cabang ilmu fisika, mekanika dan teknik, ada besaran-besaran yang sepenuhnya ditentukan dengan menetapkan nilai numeriknya, lebih tepatnya, yang sepenuhnya ditentukan dengan menggunakan bilangan yang diperoleh sebagai hasil pengukurannya dengan besaran homogen yang diambil sebagai sebuah unit. Besaran yang demikian disebut skalar atau, singkatnya, skalar. Besaran skalar, misalnya panjang, luas, volume, waktu, massa, suhu tubuh, massa jenis, kerja, kapasitas listrik, dll. Karena besaran skalar ditentukan oleh angka (positif atau negatif), maka besaran skalar dapat diplot pada sumbu koordinat yang sesuai. Misalnya, mereka sering membangun sumbu waktu, suhu, panjang (jalur) dan lain-lain.

Selain besaran skalar, dalam berbagai masalah terdapat besaran, yang untuk penentuannya selain nilai numerik juga perlu diketahui arahnya dalam ruang. Besaran yang demikian disebut vektor. Contoh fisik besaran vektor adalah perpindahan titik material yang bergerak dalam ruang, kecepatan dan percepatan titik ini, serta gaya yang bekerja padanya, kekuatan medan listrik atau magnet. Besaran vektor digunakan, misalnya, dalam klimatologi. Perhatikan contoh sederhana dari klimatologi. Jika kita mengatakan bahwa angin bertiup dengan kecepatan 10 m/s, maka kita akan memperkenalkan nilai skalar dari kecepatan angin, tetapi jika kita mengatakan bahwa angin utara bertiup dengan kecepatan 10 m/s, maka dalam dalam hal ini kecepatan angin sudah menjadi besaran vektor.

Besaran vektor direpresentasikan menggunakan vektor.

Untuk representasi geometris besaran vektor, digunakan segmen berarah, yaitu segmen yang memiliki arah tetap dalam ruang. Dalam hal ini, panjang segmen sama dengan nilai numerik besaran vektor, dan arahnya bertepatan dengan arah besaran vektor. Segmen berarah yang mencirikan besaran vektor tertentu disebut vektor geometris atau hanya vektor.

Konsep vektor memainkan peran penting baik dalam matematika maupun di banyak bidang fisika dan mekanika. Banyak besaran fisika dapat direpresentasikan dengan menggunakan vektor, dan representasi ini sangat sering berkontribusi pada generalisasi dan penyederhanaan rumus dan hasil. Seringkali besaran vektor dan vektor yang mewakilinya diidentifikasi satu sama lain: misalnya, mereka mengatakan bahwa gaya (atau kecepatan) adalah vektor.

Elemen aljabar vektor digunakan dalam disiplin ilmu seperti: 1) mesin listrik; 2) penggerak listrik otomatis; 3) penerangan dan penyinaran listrik; 4) sirkuit arus bolak-balik tidak bercabang; 5) mekanika terapan; 6) mekanika teoritis; 7) fisika; 8) hidrolika: 9) bagian-bagian mesin; 10) kekuatan bahan; 11) manajemen; 12) kimia; 13) kinematika; 14) statika, dll.

2. Pengertian vektor. Segmen garis didefinisikan oleh dua titik yang sama - ujungnya. Tetapi seseorang dapat mempertimbangkan segmen terarah yang ditentukan oleh pasangan titik yang berurutan. Diketahui tentang titik-titik ini yang mana yang pertama (awal) dan mana yang kedua (akhir).

Segmen terarah dipahami sebagai pasangan titik terurut, yang pertama - titik A - disebut awalnya, dan yang kedua - B - ujungnya.

Kemudian di bawah vektor dalam kasus yang paling sederhana, segmen berarah itu sendiri dipahami, dan dalam kasus lain, vektor yang berbeda adalah kelas ekivalensi yang berbeda dari segmen berarah, ditentukan oleh beberapa relasi ekivalensi tertentu. Selain itu, relasi ekivalensi dapat berbeda, menentukan jenis vektor ("bebas", "tetap", dll.). Sederhananya, dalam kelas ekivalensi, semua segmen terarah di dalamnya diperlakukan sama sempurna, dan masing-masing dapat mewakili seluruh kelas secara merata.

Vektor memainkan peran penting dalam studi transformasi ruang yang sangat kecil.

Definisi 1. Segmen terarah (atau, yang sama, pasangan titik yang berurutan) yang akan kita sebut vektor. Arah pada segmen biasanya ditandai dengan panah. Saat menulis, panah ditempatkan di atas penunjukan huruf vektor, misalnya: (dalam hal ini, huruf yang sesuai dengan awal vektor harus diletakkan di depan). Dalam buku, seringkali huruf yang menunjukkan vektor diketik dengan huruf tebal, misalnya: sebuah.

Yang disebut vektor nol, yang awal dan akhirnya bertepatan, juga akan disebut sebagai vektor.

Sebuah vektor yang awalnya bertepatan dengan akhir disebut nol. Vektor nol dilambangkan dengan atau hanya 0.

Jarak antara awal dan akhir suatu vektor disebut panjang(sebaik modul dan nilai mutlak). Panjang suatu vektor dilambangkan dengan | | atau | |. Panjang vektor, atau modulus vektor, adalah panjang segmen berarah yang sesuai: | | = .

Vektor tersebut disebut kolinear, jika mereka terletak pada garis yang sama atau pada garis paralel, singkatnya, jika ada garis yang sejajar.

Vektor tersebut disebut sebidang, jika ada bidang yang sejajar, mereka dapat diwakili oleh vektor yang terletak pada bidang yang sama. Vektor nol dianggap kolinear terhadap vektor apa pun, karena tidak memiliki arah yang pasti. Panjangnya, tentu saja, adalah nol. Jelas, setiap dua vektor adalah coplanar; tetapi tentu saja tidak setiap tiga vektor di ruang angkasa adalah koplanar. Karena vektor sejajar satu sama lain sejajar dengan bidang yang sama, vektor collinear bahkan lebih koplanar. Tentu saja, kebalikannya tidak benar: vektor koplanar mungkin tidak kolinear. Berdasarkan kondisi di atas, vektor nol adalah kolinear dengan vektor apa pun dan koplanar dengan pasangan vektor apa pun, mis. jika setidaknya salah satu dari tiga vektor adalah nol, maka mereka adalah coplanar.

2) Kata "coplanar" pada dasarnya berarti: "memiliki bidang yang sama", yaitu "berlokasi di bidang yang sama". Tetapi karena kita berbicara di sini tentang vektor-vektor bebas yang dapat dipindahkan (tanpa mengubah panjang dan arah) secara sembarang, kita harus menyebut vektor-vektor koplanar sejajar dengan bidang yang sama, karena dalam hal ini vektor-vektor tersebut dapat dipindahkan sehingga menjadi untuk ditempatkan dalam satu pesawat.

Untuk mempersingkat pidato, kita akan setuju dalam satu istilah: jika beberapa vektor bebas sejajar dengan bidang yang sama, maka kita akan mengatakan bahwa mereka adalah coplanar. Secara khusus, dua vektor selalu coplanar; untuk memverifikasi ini, cukup untuk menunda mereka dari titik yang sama. Jelas, lebih lanjut, bahwa arah bidang di mana dua vektor yang diberikan sejajar sepenuhnya ditentukan jika kedua vektor ini tidak sejajar satu sama lain. Setiap bidang yang vektor-vektor koplanarnya sejajar akan disebut bidang vektor-vektor tersebut.

Definisi 2. Kedua vektor tersebut disebut setara jika mereka segaris, memiliki arah yang sama, dan memiliki panjang yang sama.

Harus selalu diingat bahwa persamaan panjang dua buah vektor tidak berarti persamaan kedua vektor tersebut.

Dengan arti definisi, dua vektor, secara terpisah sama dengan yang ketiga, adalah sama satu sama lain. Jelas, semua vektor nol sama satu sama lain.

Ini mengikuti langsung dari definisi ini bahwa dengan memilih sembarang titik A", kita dapat membangun (dan hanya satu) vektor A" B", sama dengan beberapa vektor yang diberikan , atau, seperti yang mereka katakan, mentransfer vektor ke titik A" .

Komentar. Untuk vektor, tidak ada konsep "lebih besar dari" atau "kurang dari", mis. mereka sama atau tidak sama.

Vektor yang panjangnya sama dengan satu disebut lajang vektor dan dilambangkan dengan e. Vektor satuan, yang arahnya bertepatan dengan arah vektor a, disebut ortom vektor dan dilambangkan dengan .

3. Definisi lain dari vektor. Perhatikan bahwa konsep kesetaraan vektor berbeda secara signifikan dari konsep kesetaraan, misalnya, angka. Setiap angka hanya sama dengan dirinya sendiri, dengan kata lain, dua angka yang sama dalam semua keadaan dapat dianggap sebagai satu dan angka yang sama. Dengan vektor, seperti yang kita lihat, situasinya berbeda: menurut definisi, ada vektor yang berbeda, tetapi sama. Meskipun dalam banyak kasus kita tidak perlu membedakannya, mungkin saja pada titik tertentu kita akan tertarik pada vektor , dan bukan vektor lain yang sama dengan A"B".

Untuk menyederhanakan konsep kesetaraan vektor (dan menghilangkan beberapa kesulitan yang terkait dengannya), seseorang terkadang memperumit definisi vektor. Kami tidak akan menggunakan definisi yang rumit ini, tetapi kami akan merumuskannya. Untuk menghindari kebingungan, kita akan menulis "Vektor" (dengan huruf kapital) untuk menunjukkan konsep yang didefinisikan di bawah ini.

Definisi 3. Biarkan segmen terarah diberikan. Himpunan semua segmen berarah yang sama dengan yang diberikan dalam pengertian Definisi 2 disebut Vektor.

Jadi, setiap segmen terarah mendefinisikan Vektor. Sangat mudah untuk melihat bahwa dua segmen berarah mendefinisikan Vektor yang sama jika dan hanya jika mereka sama. Untuk Vektor, seperti untuk angka, kesetaraan berarti sama: dua Vektor adalah sama jika dan hanya jika mereka adalah Vektor yang sama.

Dalam translasi ruang yang paralel, sebuah titik dan bayangannya merupakan pasangan titik yang berurutan dan mendefinisikan segmen berarah, dan semua segmen berarah tersebut sama dalam pengertian Definisi 2. Oleh karena itu, translasi ruang paralel dapat diidentifikasi dengan a Vektor terdiri dari semua segmen terarah ini.

Dari kursus awal fisika diketahui bahwa gaya dapat diwakili oleh segmen yang diarahkan. Tapi itu tidak dapat diwakili oleh Vektor, karena gaya yang diwakili oleh segmen yang diarahkan sama menghasilkan, secara umum, efek yang berbeda. (Jika sebuah gaya bekerja pada benda elastis, maka segmen terarah yang mewakilinya tidak dapat dipindahkan bahkan sepanjang garis lurus di mana ia berada.)

Ini hanyalah salah satu alasan mengapa, bersama dengan Vektor, yaitu himpunan (atau, seperti yang mereka katakan, kelas) dari segmen yang diarahkan sama, kita harus mempertimbangkan perwakilan individu dari kelas-kelas ini. Dalam keadaan ini, penerapan Definisi 3 diperumit oleh sejumlah besar reservasi. Kami akan mematuhi Definisi 1, dan dengan arti umum akan selalu jelas apakah kita berbicara tentang vektor yang terdefinisi dengan baik, atau vektor yang sama dengannya dapat menggantikannya.

Sehubungan dengan definisi vektor, ada baiknya menjelaskan arti dari beberapa kata yang ditemukan dalam literatur.

Kita dikelilingi oleh banyak objek material yang berbeda. Materi, karena dapat disentuh, dicium, dilihat, didengar dan masih banyak lagi yang bisa dilakukan. Apa benda-benda ini, apa yang terjadi pada mereka, atau akan terjadi jika sesuatu dilakukan: lempar, lepaskan, masukkan ke dalam oven. Mengapa sesuatu terjadi pada mereka dan bagaimana tepatnya itu terjadi? Semua studi ini fisika. Mainkan permainan: pikirkan sebuah benda di dalam ruangan, jelaskan dalam beberapa kata, seorang teman harus menebak apa itu. Tentukan karakteristik subjek yang dimaksud. Kata sifat: putih, besar, berat, dingin. Tebak? Ini adalah lemari es. Spesifikasi yang tercantum bukanlah ukuran ilmiah dari lemari es Anda. Anda dapat mengukur berbagai hal di lemari es. Jika panjang, maka itu besar. Jika berwarna, maka warnanya putih. Jika suhu, maka dingin. Dan jika massanya, maka ternyata itu berat. Bayangkan bahwa satu lemari es dapat dieksplorasi dari sudut yang berbeda. Massa, panjang, suhu - ini adalah kuantitas fisik.

Tapi ini hanya karakteristik kecil dari lemari es yang langsung muncul di pikiran. Sebelum membeli lemari es baru, Anda dapat membiasakan diri dengan sejumlah besaran fisik yang memungkinkan Anda menilai apa itu, lebih baik atau lebih buruk, dan mengapa harganya lebih mahal. Bayangkan skala betapa beragamnya segala sesuatu di sekitar kita. Dan bagaimana perbedaan karakteristiknya?

Penunjukan kuantitas fisik

Semua kuantitas fisik biasanya dilambangkan dengan huruf, lebih sering alfabet Yunani. TETAPI! Satu dan besaran fisika yang sama dapat memiliki beberapa sebutan huruf (dalam literatur yang berbeda).

Dan sebaliknya, besaran fisis yang berbeda dapat dilambangkan dengan huruf yang sama.

Terlepas dari kenyataan bahwa Anda mungkin tidak menemukan surat seperti itu, arti kuantitas fisik, partisipasinya dalam formula tetap sama.

Besaran vektor dan skalar

Dalam fisika, ada dua jenis besaran fisika: vektor dan skalar. Perbedaan utama mereka adalah besaran fisika vektor memiliki arah. Apakah besaran fisika memiliki arah? Misalnya jumlah kentang dalam karung, kita sebut saja bilangan biasa, atau skalar. Suhu adalah contoh lain dari besaran tersebut. Besaran lain yang sangat penting dalam fisika memiliki arah, misalnya kecepatan; kita harus menentukan tidak hanya kecepatan gerakan tubuh, tetapi juga jalur yang dilaluinya. Momentum dan gaya juga memiliki arah, seperti halnya perpindahan: ketika seseorang mengambil langkah, Anda tidak hanya dapat mengetahui seberapa jauh dia melangkah, tetapi juga di mana dia melangkah, yaitu menentukan arah gerakannya. Besaran vektor lebih baik untuk diingat.

Mengapa ada panah di atas huruf?

Sebuah panah digambar hanya di atas huruf-huruf besaran fisis vektor. Menurut cara dalam matematika vektor! Operasi penjumlahan dan pengurangan pada kuantitas fisik ini dilakukan sesuai dengan aturan matematika operasi dengan vektor. Ungkapan "modulus kecepatan" atau "nilai absolut" berarti persis "modulus vektor kecepatan", yaitu, nilai numerik kecepatan tanpa memperhitungkan arah - tanda plus atau minus.

Penunjukan besaran vektor

Hal utama yang harus diingat

1) Apa yang dimaksud dengan besaran vektor;
2) Bagaimana nilai skalar berbeda dari nilai vektor;
3) besaran fisis vektor;
4) Penunjukan besaran vektor

Dalam fisika, ada beberapa kategori besaran: vektor dan skalar.

Apa itu besaran vektor?

Besaran vektor memiliki dua karakteristik utama: arah dan modul. Dua buah vektor akan sama jika nilai modulo dan arahnya sama. Untuk menentukan besaran vektor, huruf paling sering digunakan, di mana panah ditampilkan. Contoh besaran vektor adalah gaya, kecepatan, atau percepatan.

Untuk memahami esensi besaran vektor, seseorang harus mempertimbangkannya dari sudut pandang geometris. Vektor adalah ruas garis yang memiliki arah. Panjang segmen tersebut sesuai dengan nilai modulnya. Contoh fisika dari besaran vektor adalah perpindahan titik material yang bergerak dalam ruang. Parameter seperti percepatan titik ini, kecepatan dan gaya yang bekerja padanya, medan elektromagnetik juga akan ditampilkan sebagai besaran vektor.

Jika kita menganggap besaran vektor terlepas dari arahnya, maka segmen seperti itu dapat diukur. Namun, hasilnya hanya akan menampilkan sebagian karakteristik dari nilai tersebut. Untuk pengukuran lengkapnya, nilainya harus dilengkapi dengan parameter lain dari segmen terarah.

Dalam aljabar vektor, ada konsep vektor nol. Di bawah konsep ini dimaksudkan suatu titik. Adapun arah vektor nol, dianggap tidak terbatas. Vektor nol dilambangkan dengan nol aritmatika yang diketik dengan huruf tebal.

Jika kita menganalisis semua hal di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa semua segmen berarah mendefinisikan vektor. Dua segmen akan mendefinisikan satu vektor hanya jika mereka sama. Saat membandingkan vektor, aturan yang sama berlaku seperti saat membandingkan nilai skalar. Kesetaraan berarti pertandingan yang lengkap dalam segala hal.

Apa itu nilai skalar?

Tidak seperti vektor, besaran skalar hanya memiliki satu parameter - itu adalah nilai numeriknya. Perlu dicatat bahwa nilai yang dianalisis dapat memiliki nilai numerik positif dan negatif.

Contohnya termasuk massa, tegangan, frekuensi, atau suhu. Dengan nilai seperti itu, Anda dapat melakukan berbagai operasi aritmatika: penambahan, pembagian, pengurangan, perkalian. Untuk besaran skalar, karakteristik seperti arah bukanlah karakteristik.

Besaran skalar diukur dengan nilai numerik, sehingga dapat ditampilkan pada sumbu koordinat. Misalnya, sangat sering mereka membangun sumbu jarak yang ditempuh, suhu atau waktu.

Perbedaan utama antara besaran skalar dan besaran vektor

Dari uraian yang diberikan di atas, dapat diketahui bahwa perbedaan utama antara besaran vektor dan besaran skalar terletak pada karakteristik. Besaran vektor memiliki arah dan modulus, sedangkan besaran skalar hanya memiliki nilai numerik. Tentu saja, besaran vektor, seperti besaran skalar, dapat diukur, tetapi karakteristik seperti itu tidak akan lengkap, karena tidak ada arah.

Untuk lebih jelas menyajikan perbedaan antara besaran skalar dan besaran vektor, perlu diberikan sebuah contoh. Untuk melakukan ini, kami mengambil bidang pengetahuan seperti klimatologi. Jika kita mengatakan bahwa angin bertiup dengan kecepatan 8 meter per detik, maka nilai skalar akan diperkenalkan. Tetapi, jika kita mengatakan bahwa angin utara bertiup dengan kecepatan 8 meter per detik, maka kita akan berbicara tentang nilai vektor.

Vektor memainkan peran besar dalam matematika modern, serta di banyak bidang mekanika dan fisika. Sebagian besar besaran fisika dapat direpresentasikan sebagai vektor. Hal ini memungkinkan untuk menggeneralisasi dan secara substansial menyederhanakan rumus dan hasil yang digunakan. Seringkali nilai vektor dan vektor diidentifikasi satu sama lain. Misalnya, dalam fisika orang mendengar bahwa kecepatan atau gaya adalah vektor.