Memecahkan ketidaksetaraan secara online

Sebelum menyelesaikan pertidaksamaan, perlu dipahami dengan baik bagaimana persamaan diselesaikan.

Tidak masalah apakah pertidaksamaan tegas () atau tidak tegas (≤, ), langkah pertama adalah menyelesaikan persamaan dengan mengganti tanda pertidaksamaan dengan persamaan (=).

Jelaskan apa yang dimaksud dengan penyelesaian pertidaksamaan?

Setelah mempelajari persamaan, siswa memiliki gambar berikut di kepalanya: Anda perlu menemukan nilai variabel yang kedua bagian persamaannya memiliki nilai yang sama. Dengan kata lain, temukan semua titik di mana persamaan berlaku. Semuanya benar!

Ketika berbicara tentang ketidaksetaraan, itu berarti menemukan interval (segmen) di mana ketidaksetaraan berlaku. Jika ada dua variabel dalam pertidaksamaan, maka penyelesaiannya tidak lagi berupa interval, tetapi beberapa area pada bidang. Coba tebak apa yang akan menjadi solusi dari pertidaksamaan dalam tiga variabel?

Bagaimana cara mengatasi ketidaksetaraan?

Metode interval (alias metode interval) dianggap sebagai cara universal untuk memecahkan ketidaksetaraan, yang terdiri dari menentukan semua interval di mana ketidaksetaraan yang diberikan akan terpenuhi.

Tanpa masuk ke jenis pertidaksamaan, dalam hal ini bukan esensi, diperlukan untuk menyelesaikan persamaan yang sesuai dan menentukan akarnya, diikuti dengan penunjukan solusi ini pada sumbu numerik.

Apa cara yang benar untuk menulis solusi pertidaksamaan?

Ketika Anda telah menentukan interval untuk menyelesaikan pertidaksamaan, Anda harus menuliskan solusi itu sendiri dengan benar. Ada nuansa penting - apakah batas interval termasuk dalam solusi?

Semuanya sederhana di sini. Jika solusi persamaan memenuhi ODZ dan pertidaksamaan tidak tegas, maka batas interval termasuk dalam solusi pertidaksamaan. Jika tidak, tidak.

Mempertimbangkan setiap interval, solusi pertidaksamaan dapat berupa interval itu sendiri, atau setengah interval (bila salah satu batasnya memenuhi pertidaksamaan), atau segmen - interval bersama dengan batas-batasnya.

Poin penting

Jangan berpikir bahwa hanya interval, setengah interval, dan segmen yang dapat menjadi solusi pertidaksamaan. Tidak, poin individu juga dapat dimasukkan dalam solusi.

Misalnya, pertidaksamaan |x|≤0 hanya memiliki satu solusi - titik 0.

Dan pertidaksamaan |x|

Untuk apa kalkulator ketidaksetaraan?

Kalkulator ketidaksetaraan memberikan jawaban akhir yang benar. Dalam hal ini, dalam banyak kasus, ilustrasi sumbu numerik atau bidang diberikan. Anda dapat melihat apakah batas interval termasuk dalam solusi atau tidak - poin ditampilkan terisi atau tertusuk.

Berkat kalkulator pertidaksamaan online, Anda dapat memeriksa apakah Anda telah menemukan akar persamaan dengan benar, menandainya pada garis bilangan dan memeriksa kondisi pertidaksamaan pada interval (dan batas)?

Jika jawaban Anda berbeda dari jawaban kalkulator, maka Anda pasti perlu memeriksa kembali solusi Anda dan mengidentifikasi kesalahan yang dibuat.

Hari ini, teman-teman, tidak akan ada ingus dan sentimen. Sebaliknya, saya akan mengirim Anda ke pertempuran dengan salah satu lawan paling tangguh di kursus aljabar kelas 8-9 tanpa pertanyaan lebih lanjut.

Ya, Anda memahami semuanya dengan benar: kita berbicara tentang ketidaksetaraan dengan modulus. Kami akan melihat empat teknik dasar yang akan Anda pelajari untuk memecahkan sekitar 90% dari masalah ini. Bagaimana dengan 10% lainnya? Baiklah, kita akan membicarakannya dalam pelajaran terpisah. :)

Namun, sebelum menganalisis trik apa pun di sana, saya ingin mengingat dua fakta yang perlu Anda ketahui. Jika tidak, Anda berisiko tidak memahami materi pelajaran hari ini sama sekali.

Apa yang Anda sudah perlu tahu?

Bukti Kapten, seolah-olah, mengisyaratkan bahwa untuk menyelesaikan ketidaksetaraan dengan modulus, Anda perlu mengetahui dua hal:

1. Bagaimana ketidaksetaraan diselesaikan?
2. Apa itu modul.

Mari kita mulai dengan poin kedua.

Definisi Modul

Semuanya sederhana di sini. Ada dua definisi: aljabar dan grafis. Mari kita mulai dengan aljabar:

Definisi. Modul dari bilangan $x$ adalah bilangan itu sendiri, jika bukan negatif, atau bilangan di seberangnya, jika $x$ asli masih negatif.

Ini ditulis seperti ini:

\\[\kiri| x \kanan|=\kiri\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Secara sederhana, modulus adalah "angka tanpa minus". Dan dalam dualitas ini (di suatu tempat Anda tidak perlu melakukan apa pun dengan nomor aslinya, tetapi di suatu tempat Anda harus menghapus beberapa minus di sana) dan semua kesulitan bagi siswa pemula terletak.

Ada juga definisi geometris. Ini juga berguna untuk mengetahuinya, tetapi kami akan merujuknya hanya dalam kasus yang kompleks dan khusus, di mana pendekatan geometris lebih nyaman daripada pendekatan aljabar (spoiler: tidak hari ini).

Definisi. Biarkan titik $a$ ditandai pada garis sebenarnya. Kemudian modul $\left| x-a \kanan|$ adalah jarak dari titik $x$ ke titik $a$ pada garis ini.

Jika Anda menggambar, Anda mendapatkan sesuatu seperti ini:

Definisi modul grafis

Dengan satu atau lain cara, properti kuncinya segera mengikuti definisi modul: modulus bilangan selalu merupakan nilai non-negatif. Fakta ini akan menjadi benang merah yang mengalir melalui seluruh cerita kita hari ini.

Solusi ketidaksetaraan. Metode Spasi

Sekarang mari kita berurusan dengan ketidaksetaraan. Ada banyak sekali dari mereka, tetapi tugas kita sekarang adalah untuk dapat memecahkan setidaknya yang paling sederhana dari mereka. Mereka yang direduksi menjadi ketidaksetaraan linier, serta metode interval.

Saya memiliki dua tutorial besar tentang topik ini (omong-omong, sangat, SANGAT berguna - saya sarankan untuk belajar):

1. Metode interval untuk ketidaksetaraan (terutama menonton video);
2. Pertidaksamaan fraksional-rasional adalah pelajaran yang sangat banyak, tetapi setelah itu Anda tidak akan memiliki pertanyaan yang tersisa sama sekali.

Jika Anda tahu semua ini, jika frasa "ayo beralih dari ketidaksetaraan ke persamaan" tidak membuat Anda samar-samar ingin bunuh diri di dinding, maka Anda siap: selamat datang di neraka ke topik utama pelajaran. :)

1. Pertidaksamaan bentuk "Modul kurang dari fungsi"

Ini adalah salah satu tugas yang paling sering ditemui dengan modul. Diperlukan untuk menyelesaikan ketidaksetaraan bentuk:

\\[\kiri| f\kanan| \ltg\]

Apa pun dapat bertindak sebagai fungsi $f$ dan $g$, tetapi biasanya mereka polinomial. Contoh ketidaksetaraan tersebut:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\kanan| \ltx+7; \\ & \kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan|+3\kiri(x+1 \kanan) \lt 0; \\ & \kiri| ((x)^(2))-2\left| x \kanan|-3 \kanan| \lt 2. \\\akhiri(sejajarkan)\]

Semuanya diselesaikan secara harfiah dalam satu baris sesuai dengan skema:

\\[\kiri| f\kanan| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \benar, benar)\]

Sangat mudah untuk melihat bahwa kita menyingkirkan modul, tetapi sebaliknya kita mendapatkan ketidaksetaraan ganda (atau, yang sama, sistem dua pertidaksamaan). Tetapi transisi ini benar-benar memperhitungkan semua kemungkinan masalah: jika angka di bawah modul positif, metode ini berfungsi; jika negatif, masih berfungsi; dan bahkan dengan fungsi yang paling tidak memadai sebagai pengganti $f$ atau $g$, metode ini akan tetap berfungsi.

Secara alami, muncul pertanyaan: bukankah lebih mudah? Sayangnya, Anda tidak bisa. Inilah inti dari modul ini.

Tapi cukup berfilsafat. Mari kita selesaikan beberapa masalah:

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\\[\kiri| 2x+3\kanan| \ltx+7\]

Keputusan. Jadi, kami memiliki ketidaksetaraan klasik dalam bentuk "modul lebih kecil dari" - bahkan tidak ada yang bisa diubah. Kami bekerja sesuai dengan algoritma:

\[\begin(align) & \left| f\kanan| \lt g\Panah Kanan -g \lt f \lt g; \\ & \kiri| 2x+3\kanan| \lt x+7\Panah kanan -\kiri(x+7 \kanan) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(sejajarkan)\]

Jangan terburu-buru membuka tanda kurung yang didahului dengan “minus”: bisa jadi karena tergesa-gesa Anda akan melakukan kesalahan ofensif.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Masalahnya telah direduksi menjadi dua ketidaksetaraan dasar. Kami mencatat solusi mereka pada garis nyata paralel:

persimpangan banyak

Perpotongan dari set ini akan menjadi jawabannya.

Jawaban: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan|+3\kiri(x+1 \kanan) \lt 0\]

Keputusan. Tugas ini sedikit lebih sulit. Untuk memulai, kami mengisolasi modul dengan memindahkan suku kedua ke kanan:

\\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \lt -3\kiri(x+1 \kanan)\]

Jelas, kami kembali menghadapi ketidaksetaraan dalam bentuk "modul lebih sedikit", jadi kami menyingkirkan modul sesuai dengan algoritma yang sudah diketahui:

\[-\kiri(-3\kiri(x+1 \kanan) \kanan) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\kiri(x+1 \kanan)\]

Sekarang perhatian: seseorang akan mengatakan bahwa saya sedikit cabul dengan semua tanda kurung ini. Tetapi sekali lagi saya mengingatkan Anda bahwa tujuan utama kami adalah selesaikan pertidaksamaan dengan benar dan dapatkan jawabannya. Kemudian, ketika Anda telah dengan sempurna menguasai semua yang dijelaskan dalam pelajaran ini, Anda dapat memutarbalikkan diri Anda sesuka Anda: kurung buka, tambah minus, dll.

Dan sebagai permulaan, kami hanya menyingkirkan minus ganda di sebelah kiri:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\kiri(x+1\kanan)\]

Sekarang mari kita buka semua tanda kurung dalam pertidaksamaan ganda:

Mari kita beralih ke ketidaksetaraan ganda. Kali ini perhitungannya akan lebih serius:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \kanan.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( rata kanan.\]

Kedua ketidaksetaraan itu persegi dan diselesaikan dengan metode interval (itulah sebabnya saya katakan: jika Anda tidak tahu apa itu, lebih baik tidak menggunakan modul). Kami melewati persamaan dalam pertidaksamaan pertama:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\kiri(x+5 \kanan)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\akhir(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, hasilnya adalah persamaan kuadrat yang tidak lengkap, yang diselesaikan secara elementer. Sekarang mari kita berurusan dengan ketidaksetaraan kedua dari sistem. Di sana Anda harus menerapkan teorema Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \kiri(x-3 \kanan)\kiri(x+2 \kanan)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\akhir(sejajarkan)\]

Kami menandai angka yang diperoleh pada dua garis paralel (pisahkan untuk ketidaksetaraan pertama dan pisahkan untuk yang kedua):

Sekali lagi, karena kita sedang menyelesaikan sistem pertidaksamaan, kita tertarik pada perpotongan dari himpunan yang diarsir: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ini adalah jawabannya.

Jawaban: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Saya pikir setelah contoh-contoh ini skema solusinya sangat jelas:

1. Pisahkan modul dengan memindahkan semua suku lain ke sisi yang berlawanan dari pertidaksamaan. Jadi kita mendapatkan pertidaksamaan dalam bentuk $\left| f\kanan| \ltg$.
2. Selesaikan ketidaksetaraan ini dengan menyingkirkan modul seperti yang dijelaskan di atas. Pada titik tertentu, akan perlu untuk beralih dari ketidaksetaraan ganda ke sistem dua ekspresi independen, yang masing-masing sudah dapat diselesaikan secara terpisah.
3. Akhirnya, tinggal melintasi solusi dari dua ekspresi independen ini - dan hanya itu, kita akan mendapatkan jawaban akhir.

Algoritma serupa ada untuk ketidaksetaraan jenis berikut, ketika modulus lebih besar dari fungsi. Namun, ada beberapa "tetapi" yang serius. Kami akan berbicara tentang "tetapi" ini sekarang.

2. Pertidaksamaan bentuk "Modul lebih besar dari fungsi"

Mereka terlihat seperti ini:

\\[\kiri| f\kanan| \gtg\]

Mirip dengan yang sebelumnya? Tampaknya. Namun demikian, tugas-tugas seperti itu diselesaikan dengan cara yang sama sekali berbeda. Secara formal, skemanya adalah sebagai berikut:

\\[\kiri| f\kanan| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Dengan kata lain, kami mempertimbangkan dua kasus:

1. Pertama, kami mengabaikan modul - kami memecahkan ketidaksetaraan biasa;
2. Kemudian, sebenarnya, kami membuka modul dengan tanda minus, dan kemudian kami mengalikan kedua bagian pertidaksamaan dengan 1, dengan tanda.

Dalam hal ini, opsi digabungkan dengan tanda kurung siku, mis. Kami memiliki kombinasi dua persyaratan.

Perhatikan lagi: di hadapan kita bukanlah sebuah sistem, tetapi sebuah agregat, oleh karena itu dalam jawabannya, himpunan digabungkan, tidak berpotongan. Ini adalah perbedaan mendasar dari paragraf sebelumnya!

Secara umum, banyak siswa memiliki banyak kebingungan dengan serikat pekerja dan persimpangan, jadi mari kita lihat masalah ini sekali dan untuk semua:

• "∪" adalah tanda gabungan. Sebenarnya, ini adalah huruf bergaya "U", yang datang kepada kami dari bahasa Inggris dan merupakan singkatan dari "Union", mis. "Asosiasi".
• "∩" adalah tanda persimpangan. Omong kosong ini tidak datang dari mana pun, tetapi hanya muncul sebagai lawan dari "∪".

Agar lebih mudah diingat, tambahkan saja kaki ke tanda-tanda ini untuk membuat kacamata (jangan menuduh saya mempromosikan kecanduan narkoba dan alkoholisme sekarang: jika Anda serius mempelajari pelajaran ini, maka Anda sudah menjadi pecandu narkoba):

Perbedaan antara irisan dan gabungan himpunan

Diterjemahkan ke dalam bahasa Rusia, ini berarti sebagai berikut: persatuan (koleksi) mencakup elemen dari kedua set, oleh karena itu, tidak kurang dari masing-masing; tetapi persimpangan (sistem) hanya mencakup elemen-elemen yang ada di set pertama dan di set kedua. Oleh karena itu, perpotongan himpunan tidak pernah lebih besar dari himpunan sumber.

Jadi itu menjadi lebih jelas? Itu hebat. Mari kita lanjutkan untuk berlatih.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\\[\kiri| 3x+1 \kanan| \gt 5-4x\]

Keputusan. Kami bertindak sesuai dengan skema:

\\[\kiri| 3x+1 \kanan| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ Baik.\]

Kami memecahkan setiap ketidaksetaraan populasi:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Kami menandai setiap set yang dihasilkan pada garis bilangan, dan kemudian menggabungkannya:

Persatuan himpunan

Jelas jawabannya adalah $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Jawaban: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gtx\]

Keputusan. Sehat? Tidak, semuanya sama. Kami beralih dari pertidaksamaan dengan modulus ke himpunan dua pertidaksamaan:

\\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gt x\Panah kanan \kiri[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\end(sejajarkan) \kanan.\]

Kami memecahkan setiap ketidaksetaraan. Sayangnya, akarnya tidak akan terlalu bagus di sana:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\akhir(sejajarkan)\]

Di ketidaksetaraan kedua, ada juga sedikit permainan:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\akhir(sejajarkan)\]

Sekarang kita perlu menandai angka-angka ini pada dua sumbu - satu sumbu untuk setiap ketidaksetaraan. Namun, Anda perlu menandai titik dengan urutan yang benar: semakin besar angkanya, semakin jauh titik bergeser ke kanan.

Dan di sini kita sedang menunggu setup. Jika semuanya jelas dengan angka $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (suku pada pembilang pertama pecahan lebih kecil dari suku-suku pada pembilang kedua , jadi jumlahnya juga lebih kecil), dengan bilangan $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ juga tidak akan ada kesulitan (angka positif jelas lebih negatif), tetapi dengan pasangan terakhir, semuanya tidak sesederhana itu. Mana yang lebih besar: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ atau $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Susunan titik pada garis bilangan dan, pada kenyataannya, jawabannya akan tergantung pada jawaban atas pertanyaan ini.

Jadi mari kita bandingkan:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Kami mengisolasi akarnya, mendapatkan bilangan non-negatif di kedua sisi pertidaksamaan, jadi kami memiliki hak untuk mengkuadratkan kedua sisi:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Saya pikir tidak perlu khawatir bahwa $4\sqrt(13) \gt 3$, jadi $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, akhirnya titik-titik pada sumbu akan disusun seperti ini:

Kasus akar jelek

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa kita sedang menyelesaikan suatu himpunan, jadi jawabannya adalah gabungan, dan bukan perpotongan dari himpunan yang diarsir.

Jawaban: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\kanan)$

Seperti yang Anda lihat, skema kami bekerja dengan baik untuk tugas-tugas sederhana dan untuk tugas-tugas yang sangat sulit. Satu-satunya "titik lemah" dalam pendekatan ini adalah Anda perlu membandingkan bilangan irasional dengan benar (dan percayalah: ini bukan hanya akar). Tetapi pelajaran terpisah (dan sangat serius) akan dikhususkan untuk pertanyaan perbandingan. Dan kami melanjutkan.

3. Pertidaksamaan dengan "ekor" non-negatif

Jadi kita sampai pada yang paling menarik. Ini adalah ketidaksetaraan bentuk:

\\[\kiri| f\kanan| \gt\kiri| g\kanan|\]

Secara umum, algoritma yang akan kita bicarakan sekarang hanya berlaku untuk modul. Ini bekerja di semua ketidaksetaraan di mana ada ekspresi non-negatif yang dijamin di kiri dan kanan:

Apa yang harus dilakukan dengan tugas-tugas ini? Ingatlah:

Dalam ketidaksetaraan dengan ekor non-negatif, kedua belah pihak dapat dinaikkan ke kekuatan alami apa pun. Tidak akan ada batasan tambahan.

Pertama-tama, kami akan tertarik untuk mengkuadratkan - ini membakar modul dan root:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \kanan))^(2))=f. \\\akhir(sejajarkan)\]

Hanya saja, jangan bingung dengan mengambil akar kuadrat:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\kiri| f \kanan|\ne f\]

Kesalahan yang tak terhitung jumlahnya dibuat ketika seorang siswa lupa memasang modul! Tapi ini adalah cerita yang sama sekali berbeda (ini, seolah-olah, persamaan irasional), jadi kita tidak akan membahasnya sekarang. Mari kita selesaikan beberapa masalah dengan lebih baik:

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\\[\kiri| x+2 \kanan|\ge \kiri| 1-2x \kanan|\]

Keputusan. Kami segera memperhatikan dua hal:

1. Ini adalah ketidaksetaraan yang tidak ketat. Poin pada garis nomor akan dilubangi.
2. Kedua sisi pertidaksamaan jelas non-negatif (ini adalah properti dari modul: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Oleh karena itu, kita dapat mengkuadratkan kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan modulus dan menyelesaikan masalah menggunakan metode interval biasa:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\kiri(x+2 \kanan))^(2))\ge ((\kiri(2x-1 \kanan))^(2)). \\\akhir(sejajarkan)\]

Pada langkah terakhir, saya sedikit curang: Saya mengubah urutan suku, menggunakan paritas modulus (sebenarnya, saya mengalikan ekspresi $1-2x$ dengan 1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \kiri(\kiri(2x-1 \kanan)-\kiri(x+2 \kanan) \kanan)\cdot \kiri(\kiri(2x-1 \kanan)+\kiri(x+2 \ kanan)\kanan)\le 0; \\ & \kiri(2x-1-x-2 \kanan)\cdot \kiri(2x-1+x+2 \kanan)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Kami memecahkan dengan metode interval. Mari kita beralih dari pertidaksamaan ke persamaan:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\akhir(sejajarkan)\]

Kami menandai akar yang ditemukan pada garis bilangan. Sekali lagi: semua titik diarsir karena pertidaksamaan aslinya tidak tegas!

Menyingkirkan tanda modul

Biarkan saya mengingatkan Anda untuk yang sangat keras kepala: kami mengambil tanda dari ketidaksetaraan terakhir, yang ditulis sebelum melanjutkan ke persamaan. Dan kami melukis di atas area yang dibutuhkan dalam ketidaksetaraan yang sama. Dalam kasus kami, ini adalah $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Itu dia. Masalah terpecahkan.

Jawaban: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\\[\kiri| ((x)^(2))+x+1 \kanan|\le \kiri| ((x)^(2))+3x+4 \kanan|\]

Keputusan. Kami melakukan semuanya sama. Saya tidak akan berkomentar - lihat saja urutan tindakannya.

Mari kita kuadratkan:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \kanan| \kanan))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \kanan))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \kanan))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \kanan))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ kanan))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \kanan)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \kanan)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metode jarak:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Panah kanan x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Panah Kanan D=16-40 \lt 0\Panah Kanan \varnothing . \\\akhir(sejajarkan)\]

Hanya ada satu akar pada garis bilangan:

Jawabannya adalah seluruh rentang

Jawaban: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Catatan kecil tentang tugas terakhir. Seperti yang dicatat oleh salah satu siswa saya secara akurat, kedua ekspresi submodul dalam ketidaksetaraan ini jelas positif, sehingga tanda modulus dapat dihilangkan tanpa membahayakan kesehatan.

Tetapi ini sudah merupakan tingkat pemikiran yang sama sekali berbeda dan pendekatan yang berbeda - ini dapat secara kondisional disebut metode konsekuensi. Tentang dia - dalam pelajaran terpisah. Dan sekarang mari kita beralih ke bagian terakhir dari pelajaran hari ini dan mempertimbangkan algoritme universal yang selalu berhasil. Bahkan ketika semua pendekatan sebelumnya tidak berdaya. :)

4. Metode penghitungan opsi

Bagaimana jika semua trik ini tidak berhasil? Jika ketidaksetaraan tidak berkurang menjadi ekor non-negatif, jika tidak mungkin untuk mengisolasi modul, jika sama sekali sakit-sedih-rindu?

Kemudian "artileri berat" dari semua matematika memasuki tempat kejadian - metode enumerasi. Berkenaan dengan ketidaksetaraan dengan modulus, terlihat seperti ini:

1. Tulis semua ekspresi submodul dan samakan dengan nol;
2. Selesaikan persamaan yang dihasilkan dan tandai akar yang ditemukan pada satu garis bilangan;
3. Garis lurus akan dibagi menjadi beberapa bagian, di mana setiap modul memiliki tanda tetap dan karenanya mengembang dengan jelas;
4. Selesaikan ketidaksetaraan pada setiap bagian tersebut (Anda dapat secara terpisah mempertimbangkan akar batas yang diperoleh dalam paragraf 2 - untuk keandalan). Gabungkan hasilnya - ini akan menjadi jawabannya. :)

Nah, bagaimana? Lemah? Mudah! Hanya untuk waktu yang lama. Mari kita lihat dalam praktiknya:

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\\[\kiri| x+2 \kanan| \lt\kiri| x-1 \kanan|+x-\frac(3)(2)\]

Keputusan. Omong kosong ini tidak bermuara pada ketidaksetaraan seperti $\left| f\kanan| \lt g$, $\left| f\kanan| \gt g$ atau $\left| f\kanan| \lt\kiri| g \right|$, jadi mari kita lanjutkan.

Kami menulis ekspresi submodule, menyamakannya dengan nol dan menemukan akarnya:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Panah kanan x=1. \\\akhir(sejajarkan)\]

Secara total, kami memiliki dua akar yang membagi garis bilangan menjadi tiga bagian, di mana setiap modul terungkap secara unik:

Memisahkan garis bilangan dengan nol dari fungsi submodular

Mari kita pertimbangkan setiap bagian secara terpisah.

1. Biarkan $x \lt -2$. Kemudian kedua ekspresi submodule negatif, dan pertidaksamaan asli ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Kami mendapat kendala yang cukup sederhana. Mari kita potong dengan asumsi awal bahwa $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Jelas, variabel $x$ tidak dapat secara bersamaan kurang dari 2 tetapi lebih besar dari 1,5. Tidak ada solusi di area ini.

1.1. Mari kita pertimbangkan kasus batas secara terpisah: $x=-2$. Mari kita substitusikan angka ini ke dalam ketidaksetaraan asli dan periksa: apakah itu berlaku?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \kiri| -3 \kanan|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\akhir(sejajarkan)\]

Jelas, rantai perhitungan telah membawa kita ke ketidaksetaraan yang salah. Oleh karena itu, pertidaksamaan asli juga salah, dan $x=-2$ tidak termasuk dalam jawaban.

2. Sekarang biarkan $-2 \lt x \lt 1$. Modul kiri sudah akan terbuka dengan "plus", tetapi yang kanan masih dengan "minus". Kita punya:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\akhiri(sejajarkan)\]

Sekali lagi kita bersinggungan dengan persyaratan awal:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Dan lagi, himpunan solusi kosong, karena tidak ada bilangan yang keduanya kurang dari 2,5 dan lebih besar dari 2.

2.1. Dan lagi kasus khusus: $x=1$. Kami mengganti ke dalam ketidaksetaraan asli:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \kiri| 3\kanan| \lt\kiri| 0 \kanan|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\akhir(sejajarkan)\]

Sama halnya dengan "kasus khusus" sebelumnya, angka $x=1$ jelas tidak disertakan dalam jawaban.

3. Bagian terakhir dari baris: $x \gt 1$. Di sini semua modul diperluas dengan tanda plus:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Dan sekali lagi kami memotong himpunan yang ditemukan dengan kendala asli:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \Baik)\]

Akhirnya! Kami telah menemukan intervalnya, yang akan menjadi jawabannya.

Jawaban: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Akhirnya, satu catatan yang dapat menyelamatkan Anda dari kesalahan bodoh saat memecahkan masalah nyata:

Solusi ketidaksetaraan dengan modul biasanya set kontinu pada garis bilangan - interval dan segmen. Titik terisolasi jauh lebih jarang. Dan bahkan lebih jarang, terjadi bahwa batas-batas solusi (akhir segmen) bertepatan dengan batas rentang yang dipertimbangkan.

Akibatnya, jika batas-batas ("kasus khusus" yang sama itu tidak dimasukkan dalam jawaban, maka daerah di sebelah kiri-kanan batas-batas ini hampir pasti juga tidak termasuk dalam jawaban. Dan sebaliknya: perbatasan masuk sebagai respons, yang berarti bahwa beberapa area di sekitarnya juga akan menjadi respons.

Ingatlah hal ini ketika Anda memeriksa solusi Anda.

Pertidaksamaan linier disebut bagian kiri dan kanan yang merupakan fungsi linier terhadap besaran yang tidak diketahui. Ini termasuk, misalnya, ketidaksetaraan:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) Ketidaksetaraan yang ketat: kapak+b>0 atau kapak+b<0

2) Ketidaksetaraan tidak ketat: kapak+b≤0 atau kapak+b≫ 0

Ayo ambil tugas ini. Panjang salah satu sisi jajar genjang adalah 7 cm. Berapa panjang sisi yang lain agar keliling jajar genjang lebih dari 44 cm?

Biarkan sisi yang diinginkan menjadi X cm Dalam hal ini keliling jajar genjang akan dilambangkan dengan (14 + 2x) cm Pertidaksamaan 14 + 2x > 44 adalah model matematika dari soal keliling jajar genjang. Jika dalam pertidaksamaan ini kita ganti variabelnya X pada, misalnya, angka 16, maka kami mendapatkan pertidaksamaan numerik yang benar 14 + 32\u003e 44. Dalam hal ini, kami mengatakan bahwa angka 16 adalah solusi dari pertidaksamaan 14 + 2x\u003e 44.

Solusi ketidaksetaraan sebutkan nilai variabel yang mengubahnya menjadi pertidaksamaan numerik sejati.

Oleh karena itu, masing-masing nomor 15.1; 20;73 bertindak sebagai penyelesaian dari pertidaksamaan 14 + 2x > 44, dan angka 10, misalnya, bukanlah penyelesaiannya.

Selesaikan pertidaksamaan berarti menetapkan semua solusinya atau membuktikan bahwa solusi tidak ada.

Rumusan solusi pertidaksamaan mirip dengan rumusan akar persamaan. Namun tidak lazim untuk menyebut "akar ketidaksetaraan".

Sifat persamaan numerik membantu kami memecahkan persamaan. Demikian pula, sifat-sifat pertidaksamaan numerik akan membantu menyelesaikan pertidaksamaan.

Memecahkan persamaan, kami mengubahnya ke persamaan lain yang lebih sederhana, tetapi setara dengan yang diberikan. Dengan cara yang sama, jawabannya ditemukan untuk ketidaksetaraan. Ketika mengubah persamaan menjadi persamaan yang setara dengannya, mereka menggunakan teorema tentang transfer istilah dari satu bagian persamaan ke bagian yang berlawanan dan pada perkalian kedua bagian persamaan dengan angka bukan nol yang sama. Saat menyelesaikan pertidaksamaan, ada perbedaan yang signifikan antara pertidaksamaan dan persamaan, yang terletak pada kenyataan bahwa solusi apa pun untuk persamaan dapat diperiksa hanya dengan mensubstitusikannya ke persamaan asli. Dalam pertidaksamaan, tidak ada metode seperti itu, karena tidak mungkin mensubstitusi sejumlah solusi yang tak terbatas ke dalam pertidaksamaan asli. Oleh karena itu, ada konsep penting, panah ini<=>adalah tanda setara, atau setara, transformasi. Transformasi disebut setara atau setara jika mereka tidak mengubah set keputusan.

Aturan serupa untuk menyelesaikan pertidaksamaan.

Jika suatu suku dipindahkan dari satu bagian pertidaksamaan ke bagian lain, sambil mengganti tandanya dengan bagian yang berlawanan, maka kita memperoleh pertidaksamaan yang setara dengan yang diberikan.

Jika kedua bagian pertidaksamaan dikalikan (dibagi) dengan bilangan positif yang sama, maka kita memperoleh pertidaksamaan yang setara dengan yang diberikan.

Jika kedua bagian pertidaksamaan dikalikan (dibagi) dengan bilangan negatif yang sama, sambil mengganti tanda pertidaksamaan dengan yang berlawanan, maka kita memperoleh pertidaksamaan yang setara dengan yang diberikan.

Menggunakan ini peraturan kita hitung pertidaksamaan berikut.

1) Mari kita menganalisis ketidaksetaraan 2x - 5 > 9.

Ini pertidaksamaan linier, temukan solusinya dan diskusikan konsep dasarnya.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 dipindahkan ke sisi kiri dengan tanda yang berlawanan), lalu kami membagi semuanya dengan 2 dan kami memiliki x > 7. Kami menerapkan satu set solusi untuk sumbu x

Kami telah memperoleh sinar yang diarahkan secara positif. Kami mencatat himpunan solusi baik dalam bentuk pertidaksamaan x > 7, atau sebagai interval x(7; ). Dan apa solusi khusus untuk ketidaksetaraan ini? Sebagai contoh, x=10 adalah solusi khusus untuk ketidaksetaraan ini, x=12 juga merupakan solusi khusus dari pertidaksamaan ini.

Ada banyak solusi khusus, tetapi tugas kita adalah menemukan semua solusi. Dan solusinya biasanya tak terbatas.

Mari kita analisis contoh 2:

2) Memecahkan pertidaksamaan 4a - 11 > a + 13.

Mari kita selesaikan: sebuah pindah ke satu sisi 11 pindah ke sisi lain, kita mendapatkan 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 ketidaksetaraan memiliki bentuk sebuah<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>sebuah< 8 .

Kami juga akan menampilkan set sebuah< 8 , tapi sudah di poros sebuah.

Jawabannya ditulis sebagai pertidaksamaan a< 8, либо sebuah(-∞;8), 8 tidak menyala.

Ketidaksamaan adalah ekspresi dengan, , atau . Misalnya, 3x - 5 Menyelesaikan pertidaksamaan berarti menemukan semua nilai variabel yang pertidaksamaannya benar. Masing-masing bilangan ini adalah solusi dari pertidaksamaan, dan himpunan semua solusi tersebut adalah banyak solusi. Pertidaksamaan yang memiliki himpunan penyelesaian yang sama disebut ketidaksetaraan yang setara.

Pertidaksamaan linier

Prinsip penyelesaian pertidaksamaan mirip dengan prinsip penyelesaian persamaan.

Prinsip untuk memecahkan ketidaksetaraan
Untuk sembarang bilangan real a, b, dan c :
Prinsip penambahan pertidaksamaan: Jika sebuah Prinsip perkalian untuk pertidaksamaan: Jika a 0 benar, maka ac Jika a bc juga benar.
Pernyataan serupa juga berlaku untuk a b.

Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan harus dibalik.
Pertidaksamaan tingkat pertama, seperti pada Contoh 1 (di bawah), disebut pertidaksamaan linier.

Contoh 1 Selesaikan setiap pertidaksamaan berikut. Kemudian menggambar satu set solusi.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x 10x - 4
Keputusan
Angka apa pun yang kurang dari 11/5 adalah solusi.
Himpunan penyelesaiannya adalah (x|x
Untuk membuat cek, kita dapat memplot y 1 = 3x - 5 dan y 2 = 6 - 2x. Maka dapat dilihat dari sini bahwa untuk x
Himpunan solusi adalah (x|x 1), atau (-∞, 1].Grafik himpunan solusi ditunjukkan di bawah ini.

Pertidaksamaan ganda

Ketika dua pertidaksamaan dihubungkan oleh sebuah kata dan, atau, maka terbentuklah ketimpangan ganda. Pertidaksamaan ganda seperti
-3 dan 2x + 5 7
ditelepon terhubung karena menggunakan dan. Catatan -3 Pertidaksamaan ganda dapat diselesaikan dengan menggunakan prinsip penjumlahan dan perkalian pertidaksamaan.

Contoh 2 Selesaikan -3 Keputusan Kita punya

Himpunan solusi (x|x -1 atau x > 3). Kita juga dapat menulis penyelesaiannya menggunakan notasi spasi dan simbol untuk asosiasi atau penyertaan kedua himpunan: (-∞ -1] (3, ).Grafik himpunan penyelesaian ditunjukkan di bawah ini.

Untuk menguji, gambar y 1 = 2x - 5, y 2 = -7, dan y 3 = 1. Perhatikan bahwa untuk (x|x -1 atau x > 3), y 1 y 2 atau y 1 > y 3 .

Pertidaksamaan dengan nilai mutlak (modulus)

Ketidaksetaraan terkadang mengandung modul. Properti berikut digunakan untuk menyelesaikannya.
Untuk a > 0 dan ekspresi aljabar x:
|x| |x| > a sama dengan x atau x > a.
Pernyataan serupa untuk |x| a dan |x| a.

Sebagai contoh,
|x| |y| 1 setara dengan y -1 atau y 1;
dan |2x + 3| 4 sama dengan -4 2x + 3 4.

Contoh 4 Selesaikan setiap pertidaksamaan berikut. Plot himpunan solusi.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| 1

Keputusan
a) |3x + 2|

Himpunan solusinya adalah (x|-7/3
b) |5 - 2x| 1
Himpunan penyelesaiannya adalah (x|x 2 atau x 3), atau (-∞, 2] )