Teks karya ditempatkan tanpa gambar dan rumus.
Versi lengkap dari karya tersebut tersedia di tab "File Pekerjaan" dalam format PDF
PENGANTAR
"Persamaan adalah kunci emas yang membuka semua wijen matematika"
S. Koval
Pendidikan matematika yang diterima di sekolah merupakan bagian yang sangat penting dalam kehidupan manusia modern. Hampir segala sesuatu yang mengelilingi kita terhubung dalam satu atau lain cara dengan matematika. Solusi dari banyak masalah praktis direduksi menjadi penyelesaian berbagai jenis persamaan.
Persamaan adalah topik paling banyak dari seluruh kursus aljabar. Tahun ajaran lalu, dalam pelajaran aljabar, kami berkenalan dengan persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat banyak digunakan dalam menyelesaikan berbagai masalah, baik dalam bidang matematika maupun dalam bidang fisika dan kimia.
Dalam kursus matematika sekolah, metode dasar untuk memecahkan persamaan kuadrat dipelajari. Namun, ada metode lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, beberapa di antaranya memungkinkan Anda menyelesaikannya dengan cepat dan rasional.
Kami melakukan survei di antara 84 siswa di kelas 8-9 pada dua pertanyaan:
Metode penyelesaian persamaan kuadrat apa yang kamu ketahui?
Mana yang paling sering Anda gunakan?
Berdasarkan hasil survei, diperoleh hasil sebagai berikut:
Setelah menganalisis hasil, kami sampai pada kesimpulan bahwa sebagian besar siswa menggunakan rumus akar ketika menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan diskriminan dan tidak mengetahui cara menyelesaikan persamaan kuadrat.
Dengan demikian, topik yang kami pilih relevan.
Kami mengatur sebelum diri kami sendiri sasaran: mempelajari cara penyelesaian persamaan kuadrat non-tradisional, mengenalkan siswa kelas 8 dan 9 pada berbagai metode penyelesaian, mengembangkan kemampuan memilih cara rasional untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.
Untuk mencapai tujuan ini, Anda perlu menyelesaikan yang berikut: tugas:
mengumpulkan informasi tentang berbagai cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat,
untuk menguasai solusi yang ditemukan,
tulis program untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat di excel,
mengembangkan materi didaktik untuk pelajaran atau kegiatan ekstrakurikuler tentang metode non-standar untuk menyelesaikan persamaan kuadrat,
melakukan pelajaran "Cara yang tidak biasa untuk memecahkan persamaan kuadrat" dengan siswa di kelas 8-9.
Objek penelitian: persamaan kuadrat.
Subyek penelitian: berbagai cara menyelesaikan persamaan kuadrat.
Kami percaya bahwa signifikansi praktis dari pekerjaan ini terletak pada kemungkinan menggunakan bank teknik dan metode untuk memecahkan persamaan kuadrat dalam pelajaran matematika dan kegiatan ekstrakurikuler, serta membiasakan siswa di kelas 8-9 dengan materi ini.
BAB 1. METODE YANG TIDAK BIASA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT
- SIFAT KOEFISIEN (a,b,c)
Metode ini didasarkan pada sifat-sifat koefisien a, b, c:
Jika sebuah a+b+c=0, maka = 1, =
Contoh:
-6x 2 + 2x +4=0, maka = 1, = = .
Jika sebuah a-b+c=0, maka = -1, = -
Contoh:
2017x 2 + 2001x +16 = 0, maka = -1, -.
- DEPENDENSI KOEFISIEN (a,b,c)
Ketergantungan koefisien berikut ini valid: a, b, c:
Jika b=a 2 +1, c=a, maka x 1 =-a; x 2 \u003d -.
Jika b=-(a 2 +1), a=c, maka x 1 =a; x2 =.
Jika b=a 2 -1, c=-a, maka x 1 =-a; x2 = .
Jika b=-(a 2 -1), -a=c, maka x 1 =a; x 2 \u003d -.
Mari selesaikan persamaan berikut:
5x 2 + 26x + 5 = 0
x 1 = -5
x 2 = - 0,2.
13x 2 - 167x + 13 = 0
x 1 = 13 x 2 =
14x 2 + 195x - 14 = 0
x 1 = - 14 x 2 =
10x 2 - 99x - 10 = 0
x 1 = 10 x 2 =-0,1.
- "REVERSI" DARI KOEFISIEN UTAMA
Koefisien sebuah dikalikan dengan istilah bebas, seolah-olah "ditransfer" ke sana, oleh karena itu disebut metode "transfer". Selanjutnya, akar ditemukan oleh teorema Vieta. Akar yang ditemukan dibagi dengan koefisien yang ditransfer sebelumnya, berkat itu kami menemukan akar persamaan.
Contoh:
2x 2 - 3x + 1 = 0.
Mari kita "transfer" koefisien 2 ke istilah bebas, sebagai hasilnya kita mendapatkan persamaan
pada 2 - 3 tahun + 2 = 0.
Menurut teorema Vieta
pada 1 = 2, x 1 = 2/2, x 1 = 1,
pada 2 = 1; x 2 = 1/2; x 2 = 0,5.
Jawaban: 0,5; satu.
- METODE SOLUSI GRAFIS
Jika dalam persamaan a x 2 + bx + c= 0 pindahkan suku kedua dan ketiga ke ruas kanan, maka diperoleh a x 2 = -bx-c .
Mari kita buat grafik ketergantungan pada= sumbu 2 dan pada= -bx-c dalam satu sistem koordinat.
Grafik ketergantungan pertama adalah parabola yang melalui titik asal. Grafik ketergantungan kedua adalah garis lurus.
Kasus-kasus berikut mungkin terjadi:
garis lurus dan parabola dapat berpotongan di dua titik, absis titik potong tersebut adalah akar-akar persamaan kuadrat;
garis dan parabola dapat bersentuhan (hanya satu titik yang sama), yaitu. persamaan memiliki satu solusi;
garis lurus dan parabola tidak memiliki titik yang sama, yaitu persamaan kuadrat tidak memiliki akar.
Mari selesaikan persamaan berikut:
1) x 2 + 2x - 3 = 0
x 2 \u003d - 2x + 3
Dalam satu sistem koordinat, kami membuat grafik fungsi y \u003d x 2 dan grafik fungsi y \u003d - 2x + 3. Menunjukkan absis dari titik persimpangan, kami mendapatkan jawabannya.
Jawaban: x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 1.
2) x 2 + 6x +9 = 0
x 2 \u003d - 6x - 9
Dalam satu sistem koordinat, kami membuat grafik fungsi y \u003d x 2 dan grafik fungsi y \u003d -6x - 9. Menunjukkan absis titik sentuh, kami mendapatkan jawabannya.
Jawaban: x = - 3.
3) 2x 2 + 4x +7=0
2x 2 = - 4x - 7
Dalam satu sistem koordinat, kami membuat grafik fungsi y \u003d 2x 2 dan grafik fungsi
Parabola y \u003d 2x 2 dan garis lurus y \u003d - 4x - 7 tidak memiliki titik yang sama, oleh karena itu persamaan tidak memiliki akar.
Jawaban: tidak ada akar.
- MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT DENGAN BANTUAN COMPAS DAN PENGUASA
Kami memecahkan persamaan ax 2 + bx + c \u003d 0:
Mari kita buat titik-titik S(-b:2a,(a+c):2a) - pusat lingkaran dan titik A(0,1).
Gambarlah lingkaran berjari-jari SA.
Absis titik potong dengan sumbu Ox adalah akar dari persamaan awal.
Dalam hal ini, tiga kasus dimungkinkan:
1) Jari-jari lingkaran lebih besar dari ordinat pusatnya ( AS>SK, atau R>), lingkaran memotong sumbu Oh di dua titik..B( X 1 ; 0) dan D(x 2 ;0), dimana X 1 dan X 2 - akar persamaan kuadrat Oh 2 + bx + c = 0.
2) Jari-jari lingkaran sama dengan ordinat pusat ( AS = SВ, atau R =), lingkaran menyentuh sumbu Oh di titik B( X 1 ; 0), dimana X 1 adalah akar persamaan kuadrat.
3) Jari-jari lingkaran lebih kecil dari ordinat pusatnya ( SEBAGAI< SВ , atau R< ), lingkaran tidak memiliki titik yang sama dengan sumbu x, dalam hal ini persamaan tidak memiliki solusi.
sebuah) AS > SВ atau R >, b) AS = SВ atau R = di) SEBAGAI< SВ, atau R< .
Dua Solusi X 1 dan X 2 . Satu Solusi X 1.. Tidak memiliki solusi.
Contoh 1: 2x 2 - 8x + 6 = 0.
Keputusan:
Mari menggambar lingkaran dengan jari-jari SA, di mana TETAPI (0;1).
Jawaban: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3.
Contoh 2: x 2 - 6x + 9 = 0.
Keputusan: Tentukan koordinat S: x=3, y=5.
Jawab: x=3.
Contoh 3: x 2 + 4 x + 5 = 0.
Keputusan: Koordinat pusat lingkaran: x= - 2 dan y = 3.
Jawaban: tidak ada akar
- SOLUSI NOMOGRAM
Nomogram (dari bahasa Yunani "nomos" - hukum dan gram), representasi grafis dari fungsi beberapa variabel, yang memungkinkan penggunaan operasi geometris sederhana (misalnya, menerapkan penggaris) untuk menjelajahi dependensi fungsional tanpa perhitungan. Misalnya, memecahkan persamaan kuadrat tanpa menggunakan rumus.
Ini adalah cara lama dan saat ini terlupakan untuk memecahkan persamaan kuadrat, ditempatkan di halaman 83 dari koleksi: Bradis V.M. "Tabel Matematika Empat Dimensi". - M., "DROFA", 2000. Tabel XXII. Nomogram untuk Pemecahan Persamaan z 2 + pz + q = 0(lihat Lampiran 1).
Nomogram ini memungkinkan, tanpa menyelesaikan persamaan kuadrat, untuk menentukan akar persamaan dengan koefisiennya.
Skala lengkung nomogram dibangun sesuai dengan rumus: OV= , AB =
Asumsi OS = p, ED = q, OE = a(semua dalam cm), dari segitiga yang sebangun SAN dan CDF kita memperoleh proporsi dari mana, setelah substitusi dan penyederhanaan, persamaan z 2 + pz + q = 0 mengikuti, dan huruf z berarti label titik mana pun pada skala lengkung.
Contoh 1: z 2 - 9z + 8 = 0.
Pada skala p kami menemukan tanda -9, dan pada skala q tanda 8. Kami menggambar garis lurus melalui tanda-tanda ini yang memotong kurva skala nomogram pada tanda 1 dan 8. Oleh karena itu, akar persamaan 1 dan 8.
Jawaban 1; delapan.
Persamaan inilah yang diselesaikan dalam tabel Bradys di halaman 83 (lihat Lampiran 1).
Contoh 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.
Kami membagi koefisien persamaan ini dengan 2, kami mendapatkan persamaan:
z 2 - 4.5z + 1 = 0. Nomogram memberikan akar z 1 = 4 dan z 2 = 0,5.
Jawaban: 4; 0,5.
Contoh 3:x 2 - 25x + 66 = 0
Koefisien p dan q berada di luar skala. Ayo lakukan substitusi x=5z, kita mendapatkan persamaan:
z 2 - 5z + 2,64 = 0,
yang diselesaikan dengan nomogram.
Dapatkan z 1 = 0,6 dan z 2 = 4,4,
di mana x 1 = 5z 1 = 3,0 dan x 2 = 5z 2 = 22,0.
Jawaban: 3; 22.
Contoh 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , dan akar negatif diperoleh dengan mengurangkan akar positif dari - p , itu. z 2 = - p -1= - 5 - 1= -6.
Jawaban 1; -6.
Contoh 5: z 2 - 2z - 8 = 0, nomogram memberikan akar positif dari z 1 =4, dan negatif adalah z 2 =-p-4=
= 2 - 4= -2.
Jawaban: 4; -2.
BAB 2
Kami memutuskan untuk menulis program untuk memecahkan persamaan kuadrat menggunakan Excel, program komputer yang banyak digunakan. Ini diperlukan untuk perhitungan, menyusun tabel dan diagram, menghitung fungsi sederhana dan kompleks. Ini adalah bagian dari suite Microsoft Office.
Lembar Excel menunjukkan rumus:
Lembar Excel yang menunjukkan contoh spesifik untuk memecahkan persamaan kuadrat x 2 - 14x - 15 = 0:
BAGIAN 3
|
Rumus akar persamaan kuadrat menggunakan diskriminan D dan D1 |
Keserbagunaan, karena dapat digunakan untuk menyelesaikan semua persamaan kuadrat secara mutlak |
Diskriminan rumit tidak termasuk dalam tabel kotak |
|
teorema Vieta |
Solusi cepat dalam kasus tertentu dan menghemat waktu |
Jika diskriminan bukan kuadrat sempurna dari suatu bilangan bulat. Koefisien bukan bilangan bulat b dan c. |
|
Pilihan persegi penuh |
Dengan transformasi yang benar ke kuadrat binomial, kami memperoleh persamaan kuadrat yang tidak lengkap dan, oleh karena itu, akarnya ditemukan lebih cepat |
Kompleksitas memilih kuadrat penuh untuk koefisien fraksional dari persamaan |
|
Metode pengelompokan |
Dapat diselesaikan tanpa mengetahui rumus |
Tidak selalu mungkin untuk menguraikan istilah tengah menjadi istilah yang sesuai untuk pengelompokan |
|
cara grafis |
Tidak ada formula yang dibutuhkan. Anda dapat dengan cepat mengetahui jumlah akar persamaan |
Perkiraan solusi |
|
Sifat-sifat koefisien a,b,c |
Kecepatan keputusan. Untuk persamaan dengan koefisien besar |
Hanya cocok untuk beberapa persamaan |
|
"Reroll" dari koefisien utama |
Kecepatan penyelesaian jika akar-akarnya bilangan bulat |
Sama seperti menggunakan teorema Vieta |
|
Nomogram |
visibilitas Yang diperlukan untuk menyelesaikannya hanyalah nomogram |
Anda tidak selalu membawa nomogram. Ketidaktepatan solusi |
|
Menemukan akar dengan kompas dan penggaris |
visibilitas |
Jika koordinat pusatnya bukan bilangan bulat. Menemukan akar persamaan dengan koefisien besar |
“Seringkali lebih bermanfaat bagi seorang siswa aljabar untuk memecahkan masalah yang sama dengan tiga cara yang berbeda daripada menyelesaikan tiga atau empat masalah yang berbeda. Dengan memecahkan satu masalah dengan metode yang berbeda, Anda dapat mengetahui dengan perbandingan mana yang lebih pendek dan lebih efisien. Begitulah pengalaman dibuat."
Walter Warwick Sawyer
Selama bekerja, kami mengumpulkan materi dan mempelajari metode untuk memecahkan (menemukan akar) dari persamaan kuadrat. Solusi persamaan dengan cara yang berbeda disajikan dalam Lampiran 2.
Mempelajari berbagai cara menyelesaikan persamaan kuadrat, kami menyimpulkan bahwa untuk setiap persamaan Anda dapat memilih cara yang paling efisien dan rasional untuk menemukan akarnya. Setiap solusi unik dan nyaman dalam kasus tertentu. Beberapa metode solusi menghemat waktu, yang penting saat menyelesaikan tugas untuk OGE, yang lain membantu menyelesaikan persamaan dengan koefisien yang sangat besar. Kami mencoba membandingkan solusi yang berbeda dengan menyusun tabel yang mencerminkan pro dan kontra dari masing-masing metode.
Kami telah mengembangkan materi promosi. Anda dapat berkenalan dengan bank tugas pada topik di Lampiran 3.
Menggunakan Microsoft Excel, kami telah menyusun spreadsheet yang memungkinkan Anda menghitung akar persamaan kuadrat secara otomatis menggunakan rumus akar.
Kami melakukan pelajaran tentang cara yang tidak biasa untuk memecahkan persamaan kuadrat untuk siswa kelas 9. Para siswa sangat menyukai metode ini, mereka mencatat bahwa pengetahuan yang diperoleh akan berguna bagi mereka dalam pendidikan selanjutnya. Hasil pembelajaran adalah hasil karya siswa, dimana mereka mempresentasikan berbagai pilihan penyelesaian persamaan kuadrat (lihat Lampiran 4).
Materi karya dapat digunakan oleh mereka yang menyukai matematika dan mereka yang ingin tahu lebih banyak tentang matematika.
LITERATUR
Bradis V. M. "Tabel matematika empat digit untuk sekolah menengah", M.: Drofa, 2000.
Vilenkin N.Ya. "Aljabar untuk kelas 8", M.: Pendidikan, 2000.
Galitsky M.L. "Kumpulan tugas dalam aljabar", M.: Pendidikan 2002.
Glazer G. I. "Sejarah matematika di sekolah", M.: Pendidikan, 1982.
Zvavich L.I. "Aljabar Kelas 8", Moskow: Mnemosyne, 2002.
Makarychev Yu.N. “Aljabar Kelas 8”, Moskow: Pendidikan, 2015.
Pluzhnikov I. "10 Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat" // Matematika di Sekolah. - 2000.- No. 40.
Presman A.A. "Solusi persamaan kuadrat menggunakan kompas dan penggaris"//M., Kvant, No. 4/72, hal.34.
Savin A.P. "Kamus Ensiklopedis Ahli Matematika Muda",
Moskow: Pedagogi, 1989.
Sumber daya internet:
http://revolution.allbest.ru/
LAMPIRAN 1
"KOLEKSI BRADIS V.M."
LAMPIRAN 2
"MENYELESAIKAN PERSAMAAN DALAM SEGALA CARA"
Persamaan awal:4x 2 +3x -1 = 0.
1.Rumus akar persamaan kuadrat menggunakan diskriminan D
4x 2 +3x -1 = 0
D= b 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, => persamaan memiliki dua akar
x 1,2 =
x 1 ==
x 2 ==-1
2. Teorema Vieta
4x 2 +3x -1 = 0, bagi persamaan dengan 4 untuk membuatnya berkurang
X 2 +x -=0
X 1 = -1
X 2 =
3. Metode pemilihan kotak penuh
4x 2 +3x -1 = 0
(4x 2 +2*2x *+)-1=0
(2x+) 2 -=0
(2x + -) (2x + +) = 0,
(2x -)=0 (2x +2)=0
X 1 = x 2 = -1
4. Metode pengelompokan
4x 2 +3x -1 = 0
4x 2 +4x-1x-1=0
4x(x+1)-1(x+1)=0
(4x-1)(x+1)=0, produk = 0 ketika salah satu faktor = 0
(4x-1)=0 (x+1)=0
X 1 = x 2 = -1
5. Sifat koefisien
4x 2 +3x -1 = 0
Jika a - b+c=0, maka = -1, = -
4-3-1=0, => = -1, =
6. Metode "transfer" dari koefisien utama
4x 2 +3x -1 = 0
kamu 2 +3 tahun - 4 = 0
Teorema Vieta:
kamu 1 = -4
kamu 2 = 1
Kami membagi akar yang ditemukan dengan koefisien utama dan mendapatkan akar persamaan kami:
X 1 = -1
X 2 =
7. Metode penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan kompas dan penggaris
4x 2 +3x -1 = 0
Tentukan koordinat titik pusat lingkaran dengan rumus:
X 1 = -1
X 2 =
8. Solusi grafis
4x 2 +3x -1 = 0
4x 2 = - 3x + 1
Dalam satu sistem koordinat, kami membuat grafik fungsi y = 4x 2 dan grafik fungsi
y \u003d - 3x + 1. Menunjukkan absis dari titik persimpangan, kami mendapatkan jawabannya:
X 1 = -1
9. Menggunakan nomogram
4x 2 +3x -1 = 0, kita membagi koefisien persamaan 1/4 dengan 4, kita memperoleh persamaan
X 2 +x-= 0.
Nomogram memberikan akar positif = ,
dan akar negatif ditemukan dengan mengurangkan akar positif dari - p , itu.
x 2 = - p -=- -= -1.
10. Solusi persamaan ini dalam EXCEL
LAMPIRAN 3
"MATERI DIDAKTIK UNTUK TEMA
“SOLUSI PERSAMAAN KUADRATIF” »
10x 2 + 2017х + 2007 = 0 -1 -200.7
-10x 2 + 7x + 3 = 0 -1 0,3
354x 2 -52x -302 = 0 1 -
100x 2 -99x-1 \u003d 0 1 -0,01
5x 2 + 9x + 4 \u003d 0 -1 -0,8
2017x 2 + x -2016 = 0 -1
22x 2 +10x-12 = 0 -1
5432x 2 -3087x-2345 = 0 1 -
4x 2 + 2x -6s \u003d 0 1 -1.5
55x 2 -44x -11= 0 1 -0,2
6x 2 - 7x - 3 \u003d 0 -, 1,5
4x 2 -17x-15 = 0 -0.75.5
4271x 2 -4272x + 1 = 0 1,
3x 2 + 10x + 7 \u003d 0 -1, - 2
5x 2 - 11x + 2 \u003d 0 2, 0.2
2x 2 - 11x + 15 = 0 2.5, 3
4x 2 + 4x -3 \u003d 0 -1.5, 0.5
5x 2 -12x + 7 = 0 1,4, 1
2x 2 + 13x + 15 = 0 -1,5 -5
3x 2 -7x + 2 = 0 1/3 2
LAMPIRAN 4
KARYA SISWA
Suatu persamaan yang merupakan trinomial kuadrat biasa disebut persamaan kuadrat. Dari sudut pandang aljabar, dijelaskan oleh rumus a*x^2+b*x+c=0. Dalam rumus ini, x adalah yang tidak diketahui dapat ditemukan (disebut variabel bebas); a, b dan c adalah koefisien numerik. Berkenaan dengan komponen ini, ada sejumlah batasan: misalnya, koefisien a tidak boleh sama dengan 0.
Memecahkan persamaan: konsep diskriminan
Nilai dari x yang tidak diketahui, di mana persamaan kuadrat berubah menjadi persamaan sejati, disebut akar dari persamaan tersebut. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, Anda harus terlebih dahulu menemukan nilai koefisien khusus - diskriminan, yang akan menunjukkan jumlah akar persamaan yang dipertimbangkan. Diskriminan dihitung dengan rumus D=b^2-4ac. Dalam hal ini, hasil perhitungan bisa positif, negatif atau sama dengan nol.Dalam hal ini, harus diingat bahwa konsep tersebut mensyaratkan bahwa hanya koefisien a yang benar-benar berbeda dari 0. Oleh karena itu, koefisien b dapat sama dengan 0, dan persamaan itu sendiri dalam hal ini adalah a*x^2+ c=0. Dalam situasi seperti itu, nilai koefisien yang sama dengan 0 harus digunakan dalam rumus untuk menghitung diskriminan dan akar. Jadi, diskriminan dalam hal ini akan dihitung sebagai D=-4ac.
Solusi persamaan dengan diskriminan positif
Jika diskriminan persamaan kuadrat ternyata positif, kita dapat menyimpulkan dari persamaan ini bahwa persamaan ini memiliki dua akar. Akar-akar ini dapat dihitung menggunakan rumus berikut: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. Jadi, untuk menghitung nilai akar persamaan kuadrat dengan nilai positif dari diskriminan, nilai yang diketahui dari koefisien yang tersedia digunakan. Berkat penggunaan jumlah dan selisih dalam rumus untuk menghitung akar, hasil perhitungan akan menjadi dua nilai yang mengubah persamaan yang dimaksud menjadi yang benar.Solusi persamaan dengan diskriminan nol dan negatif
Jika diskriminan persamaan kuadrat ternyata sama dengan 0, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan yang ditentukan memiliki satu akar. Sebenarnya, dalam situasi ini, persamaan masih memiliki dua akar, tetapi karena diskriminan nol, mereka akan sama satu sama lain. Dalam hal ini x=-b/2a. Jika, selama perhitungan, nilai diskriminan menjadi negatif, harus disimpulkan bahwa persamaan kuadrat yang dipertimbangkan tidak memiliki akar, yaitu, nilai x yang menjadi persamaan sejati.Persamaan linear. Solusi, contoh.
Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")
Persamaan linear.
Persamaan linier bukanlah topik yang paling sulit dalam matematika sekolah. Tetapi ada beberapa trik yang dapat membingungkan bahkan siswa yang terlatih. Haruskah kita mencari tahu?)
Persamaan linear biasanya didefinisikan sebagai persamaan bentuk:
kapak + b = 0 di mana a dan b- nomor apapun.
2x + 7 = 0. Di sini a=2, b=7
0.1x - 2.3 = 0 Disini a = 0,1, b=-2.3
12x + 1/2 = 0 Disini a=12, b=1/2
Tidak ada yang rumit, kan? Apalagi jika Anda tidak memperhatikan kata-kata: "di mana a dan b adalah bilangan apa saja"... Dan jika Anda memperhatikan, tetapi dengan sembrono memikirkannya?) Lagi pula, jika a=0, b=0(ada angka yang mungkin?), maka kita mendapatkan ekspresi lucu:
Tapi itu tidak semua! Jika, katakan, a=0, sebuah b=5, ternyata sesuatu yang sangat tidak masuk akal:
Apa yang meresahkan dan merusak kepercayaan diri dalam matematika, ya ...) Terutama dalam ujian. Tetapi dari ekspresi aneh ini, Anda juga perlu menemukan X! Yang tidak ada sama sekali. Dan anehnya, X ini sangat mudah ditemukan. Kita akan belajar bagaimana melakukannya. Dalam pelajaran ini.
Bagaimana mengenali persamaan linier dalam penampilan? Itu tergantung pada penampilannya.) Triknya adalah persamaan linier disebut tidak hanya persamaan bentuk kapak + b = 0 , tetapi juga setiap persamaan yang direduksi menjadi bentuk ini dengan transformasi dan penyederhanaan. Dan siapa yang tahu apakah itu berkurang atau tidak?)
Persamaan linier dapat dikenali dengan jelas dalam beberapa kasus. Katakanlah, jika kita memiliki persamaan di mana hanya ada yang tidak diketahui di tingkat pertama, ya angka. Dan persamaannya tidak pecahan dibagi tidak dikenal , itu penting! Dan pembagian dengan nomor, atau pecahan numerik - itu saja! Sebagai contoh:
Ini adalah persamaan linier. Ada pecahan di sini, tetapi tidak ada x di kotak, di kubus, dll., dan tidak ada x di penyebut, mis. Tidak pembagian dengan x. Dan inilah persamaannya
tidak bisa disebut linier. Di sini x semuanya dalam derajat pertama, tetapi ada pembagian dengan ekspresi dengan x. Setelah penyederhanaan dan transformasi, Anda bisa mendapatkan persamaan linier, dan persamaan kuadrat, dan apa pun yang Anda suka.
Ternyata tidak mungkin menemukan persamaan linier dalam beberapa contoh rumit sampai Anda hampir menyelesaikannya. Ini menjengkelkan. Tapi dalam tugas, biasanya mereka tidak menanyakan bentuk persamaannya, kan? Dalam tugas, persamaan dipesan memutuskan. Ini membuatku senang.)
Solusi persamaan linier. Contoh.
Seluruh solusi persamaan linier terdiri dari transformasi persamaan yang identik. Omong-omong, transformasi ini (sebanyak dua!) mendasari solusi semua persamaan matematika. Dengan kata lain, keputusan setiap Persamaan dimulai dengan transformasi yang sama ini. Dalam kasus persamaan linier, itu (solusi) pada transformasi ini berakhir dengan jawaban yang lengkap. Masuk akal untuk mengikuti tautannya, bukan?) Selain itu, ada juga contoh penyelesaian persamaan linier.
Mari kita mulai dengan contoh paling sederhana. Tanpa jebakan. Katakanlah kita perlu menyelesaikan persamaan berikut.
x - 3 = 2 - 4x
Ini adalah persamaan linier. Xs semuanya pangkat pertama, tidak ada pembagian dengan X. Tapi, sebenarnya, kami tidak peduli apa persamaannya. Kita perlu menyelesaikannya. Skema di sini sederhana. Kumpulkan semuanya dengan x di sisi kiri persamaan, semuanya tanpa x (angka) di sebelah kanan.
Untuk melakukan ini, Anda perlu mentransfer - 4x ke sisi kiri, dengan perubahan tanda, tentu saja, tapi - 3 - ke kanan. Ngomong-ngomong, ini transformasi persamaan pertama yang identik. Terkejut? Jadi, mereka tidak mengikuti tautan, tetapi sia-sia ...) Kami mendapatkan:
x + 4x = 2 + 3
Kami memberikan yang serupa, kami mempertimbangkan:
Apa yang kita butuhkan untuk benar-benar bahagia? Ya, sehingga ada X bersih di sebelah kiri! Lima menghalangi. Singkirkan lima dengan transformasi identik kedua persamaan. Yaitu, kami membagi kedua bagian persamaan dengan 5. Kami mendapatkan jawaban yang sudah jadi:
Sebuah contoh dasar, tentu saja. Ini untuk pemanasan.) Tidak terlalu jelas mengapa saya mengingat transformasi identik di sini? OKE. Kami mengambil banteng dengan tanduk.) Mari kita putuskan sesuatu yang lebih mengesankan.
Sebagai contoh, inilah persamaan ini:
Di mana kita mulai? Dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan? Bisa jadi. Langkah-langkah kecil di sepanjang jalan yang panjang. Dan Anda bisa segera, dengan cara yang universal dan kuat. Kecuali, tentu saja, di gudang senjata Anda ada transformasi persamaan yang identik.
Saya mengajukan pertanyaan kunci kepada Anda: Apa yang paling Anda tidak suka tentang persamaan ini?
95 orang dari 100 akan menjawab: pecahan ! Jawabannya benar. Jadi mari kita singkirkan mereka. Jadi kita langsung mulai dengan transformasi identik kedua. Apa yang Anda butuhkan untuk mengalikan pecahan di sebelah kiri agar penyebutnya benar-benar berkurang? Itu benar, 3. Dan di sebelah kanan? Dengan 4. Tapi matematika memungkinkan kita mengalikan kedua ruas dengan nomor yang sama. Bagaimana kita keluar? Mari kita kalikan kedua ruas dengan 12! Itu. ke penyebut yang sama. Kemudian tiga akan berkurang, dan empat. Jangan lupa bahwa Anda perlu mengalikan setiap bagian sepenuhnya. Begini tampilan langkah pertama:
Memperluas tanda kurung:
Catatan! Pembilang (x+2) Saya mengambil dalam tanda kurung! Ini karena ketika mengalikan pecahan, pembilangnya dikalikan dengan keseluruhan, seluruhnya! Dan sekarang Anda dapat mengurangi pecahan dan mengurangi:
Membuka tanda kurung yang tersisa:
Bukan contoh, tapi kesenangan murni!) Sekarang kita mengingat mantra dari tingkat yang lebih rendah: dengan x - ke kiri, tanpa x - ke kanan! Dan terapkan transformasi ini:
Berikut beberapa seperti:
Dan kami membagi kedua bagian dengan 25, mis. terapkan transformasi kedua lagi:
Itu saja. Menjawab: X=0,16
Perhatikan: untuk membawa persamaan awal yang membingungkan ke bentuk yang menyenangkan, kami menggunakan dua (hanya dua!) transformasi identik- terjemahan kiri-kanan dengan perubahan tanda dan perkalian-pembagian persamaan dengan nomor yang sama. Ini adalah cara universal! Kami akan bekerja dengan cara ini setiap persamaan! Benar-benar apapun. Itulah mengapa saya terus mengulangi transformasi identik ini sepanjang waktu.)
Seperti yang Anda lihat, prinsip penyelesaian persamaan linier sederhana. Kami mengambil persamaan dan menyederhanakannya dengan bantuan transformasi identik sampai kami mendapatkan jawabannya. Masalah utama di sini adalah dalam perhitungan, dan bukan dalam prinsip solusi.
Tapi ... Ada kejutan seperti itu dalam proses penyelesaian persamaan linier paling dasar yang bisa membuat mereka pingsan ...) Untungnya, hanya ada dua kejutan seperti itu. Sebut saja mereka kasus khusus.
Kasus khusus dalam menyelesaikan persamaan linear.
Kejutan dulu.
Misalkan Anda menemukan persamaan dasar, seperti:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Sedikit bosan, kita pindah dengan X ke kiri, tanpa X - ke kanan ... Dengan perubahan tanda, semuanya chinar ... Kami mendapatkan:
2x-5x+3x=5-2-3
Kami percaya, dan ... astaga! Kita mendapatkan:
Dalam dirinya sendiri, kesetaraan ini tidak dapat ditolak. Nol benar-benar nol. Tapi X hilang! Dan kita harus menulis dalam jawabannya, apa x sama dengan. Kalau tidak, solusinya tidak masuk hitungan, ya...) Jalan buntu?
Tenang! Dalam kasus yang meragukan seperti itu, aturan paling umum menyelamatkan. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan? Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan persamaan? Itu berarti, temukan semua nilai x yang, ketika disubstitusikan ke persamaan asli, akan memberi kita persamaan yang benar.
Tapi kami memiliki persamaan yang benar sudah telah terjadi! 0=0, dimana sebenarnya?! Masih mencari tahu apa x ini diperoleh. Berapa nilai x yang dapat disubstitusikan menjadi awal persamaan jika x ini masih menyusut ke nol? Ayo?)
Ya!!! X bisa diganti setiap! Apa yang kamu inginkan. Setidaknya 5, setidaknya 0,05, setidaknya -220. Mereka masih akan menyusut. Jika Anda tidak percaya, Anda dapat memeriksanya.) Substitusikan nilai x apa pun ke dalam awal persamaan dan menghitung. Sepanjang waktu kebenaran murni akan diperoleh: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 dan seterusnya.
Inilah jawaban Anda: x adalah bilangan apa saja.
Jawabannya dapat ditulis dalam simbol matematika yang berbeda, esensinya tidak berubah. Ini adalah jawaban yang sepenuhnya benar dan lengkap.
Kejutan kedua.
Mari kita ambil persamaan linier dasar yang sama dan ubah hanya satu angka di dalamnya. Inilah yang akan kami putuskan:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Setelah transformasi identik yang sama, kami mendapatkan sesuatu yang menarik:
Seperti ini. Memecahkan persamaan linier, mendapat persamaan yang aneh. Secara matematis, kita memiliki persamaan yang salah. Dan dalam istilah sederhana, ini tidak benar. Sambutan hangat. Namun demikian, omong kosong ini adalah alasan yang cukup baik untuk solusi persamaan yang benar.)
Sekali lagi, kami berpikir berdasarkan aturan umum. Apa x, ketika disubstitusikan ke persamaan asli, akan memberi kita benar persamaan? Ya, tidak ada! Tidak ada x seperti itu. Apa pun yang Anda ganti, semuanya akan berkurang, omong kosong akan tetap ada.)
Inilah jawaban Anda: tidak ada solusi.
Ini juga merupakan jawaban yang benar-benar valid. Dalam matematika, jawaban seperti itu sering terjadi.
Seperti ini. Sekarang, saya harap, hilangnya x dalam proses penyelesaian persamaan (bukan hanya linier) tidak akan mengganggu Anda sama sekali. Masalahnya sudah akrab.)
Sekarang kita telah berurusan dengan semua jebakan dalam persamaan linier, masuk akal untuk menyelesaikannya.
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.
Biasanya, persamaan muncul dalam masalah di mana diperlukan untuk menemukan nilai tertentu. Persamaan memungkinkan kita untuk merumuskan masalah dalam bahasa aljabar. Dengan memecahkan persamaan, kita mendapatkan nilai besaran yang diinginkan, yang disebut yang tidak diketahui. “Andrey memiliki beberapa rubel di dompetnya. Jika Anda mengalikan angka ini dengan 2 dan kemudian mengurangi 5, Anda mendapatkan 10. Berapa banyak uang yang dimiliki Andrey? Mari kita nyatakan jumlah uang yang tidak diketahui sebagai x dan tulis persamaannya: 2x-5=10.
Berbicara tentang cara menyelesaikan persamaan, Anda harus terlebih dahulu mendefinisikan konsep dasar dan berkenalan dengan notasi yang diterima secara umum. Untuk berbagai jenis persamaan, ada berbagai algoritma untuk menyelesaikannya. Persamaan tingkat pertama dengan satu yang tidak diketahui adalah yang paling mudah untuk dipecahkan. Banyak dari sekolah yang akrab dengan rumus untuk memecahkan persamaan kuadrat. Teknik-teknik matematika yang lebih tinggi akan membantu untuk memecahkan persamaan dengan urutan yang lebih tinggi. Himpunan angka di mana persamaan didefinisikan terkait erat dengan solusinya. Hubungan antara persamaan dan grafik fungsi juga menarik, karena representasi persamaan dalam bentuk grafik sangat membantu.
Keterangan. Persamaan adalah persamaan matematika dengan satu atau lebih yang tidak diketahui, seperti 2x+3y=0.
Ekspresi di kedua sisi tanda sama dengan disebut ruas kiri dan kanan persamaan. Huruf-huruf alfabet Latin menunjukkan yang tidak diketahui. Meskipun ada sejumlah yang tidak diketahui, berikut ini kita hanya akan berbicara tentang persamaan dengan satu yang tidak diketahui, yang akan dilambangkan dengan x.
Derajat Persamaan adalah kekuatan maksimum yang tidak diketahui dinaikkan. Sebagai contoh,
$3x^4+6x-1=0$ adalah persamaan derajat keempat, $x-4x^2+6x=8$ adalah persamaan derajat kedua.
Bilangan yang digunakan untuk mengalikan yang tidak diketahui disebut koefisien. Dalam contoh sebelumnya, pangkat keempat yang tidak diketahui memiliki koefisien 3. Jika, ketika x diganti dengan angka ini, persamaan yang diberikan terpenuhi, maka angka ini dikatakan memenuhi persamaan. Ini disebut solusi persamaan, atau akarnya. Misalnya, 3 adalah akar, atau solusi, dari persamaan 2x+8=14, karena 2*3+8=6+8=14.
Menyelesaikan Persamaan. Katakanlah kita ingin menyelesaikan persamaan 2x+5=11.
Anda dapat mengganti nilai x apa pun ke dalamnya, misalnya x = 2. Mari kita ganti x dengan 2 dan dapatkan: 2*2+5=4+5=9.
Ada yang salah di sini, karena di ruas kanan persamaan kita seharusnya mendapatkan 11. Mari kita coba x=3: 2*3+5=6+5=11.
Jawabannya benar. Ternyata jika yang tidak diketahui mengambil nilai 3, maka kesetaraan memegang. Oleh karena itu, kami telah menunjukkan bahwa angka 3 adalah solusi persamaan.
Cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini disebut metode seleksi. Jelas, itu tidak nyaman untuk digunakan. Selain itu, itu bahkan tidak bisa disebut metode. Untuk memverifikasi ini, cukup dengan mencoba menerapkannya ke persamaan bentuk $x^4-5x^2+16=2365$.
Metode Solusi. Ketika ada apa yang disebut "aturan main", yang akan berguna untuk membiasakan diri. Tujuan kami adalah untuk menentukan nilai yang tidak diketahui yang memenuhi persamaan. Oleh karena itu, perlu untuk mengisolasi yang tidak diketahui dengan cara tertentu. Untuk melakukan ini, perlu untuk mentransfer persyaratan persamaan dari satu bagian ke bagian lain. Aturan pertama untuk menyelesaikan persamaan adalah...
1. Saat memindahkan suku suatu persamaan dari satu bagian ke bagian lain, tandanya berubah menjadi kebalikannya: plus berubah menjadi minus dan sebaliknya. Perhatikan persamaan 2x+5=11 sebagai contoh. Pindahkan 5 dari kiri ke kanan: 2x=11-5. Persamaan tersebut akan berbentuk 2x=6.
Mari kita beralih ke aturan kedua.
2. Kedua ruas persamaan dapat dikalikan dan dibagi dengan bilangan bukan nol. Mari kita terapkan aturan ini pada persamaan kita: $x=\frac62=3$. Di sisi kiri persamaan, hanya x yang tidak diketahui yang tersisa, oleh karena itu, kami menemukan nilainya dan menyelesaikan persamaan.
Kami baru saja mempertimbangkan masalah paling sederhana - persamaan linear dengan satu yang tidak diketahui. Persamaan jenis ini selalu memiliki solusi, terlebih lagi, mereka selalu dapat diselesaikan dengan menggunakan operasi paling sederhana: penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Sayangnya, tidak semua persamaan sesederhana itu. Selain itu, tingkat kerumitannya meningkat dengan sangat cepat. Misalnya, persamaan derajat kedua dapat dengan mudah diselesaikan oleh siswa sekolah menengah mana pun, tetapi metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier atau persamaan derajat yang lebih tinggi hanya dipelajari di sekolah menengah.
Kementerian Pendidikan Umum dan Kejuruan Federasi Rusia
Institusi pendidikan kota
Gimnasium No.12
menulis
pada topik: Persamaan dan cara menyelesaikannya
Selesai: siswa kelas 10 "A"
Krutko Evgeny
Diperiksa: guru matematika Iskhakova Gulsum Akramovna
Tyumen 2001
Rencana................................................. ........................................................ . ............................... satu
Pendahuluan ................................................. . ................................................... .. ................................. 2
Bagian utama................................................ ........................................................ . ............... 3
Kesimpulan................................................. ........................................................ . ................ 25
Lampiran................................................. ........................................................ . ............... 26
Daftar referensi ................................................................... ................................................................... ... 29
Rencana.
Pengantar.
Referensi sejarah.
Persamaan. persamaan aljabar.
a) Definisi dasar.
b) Persamaan linier dan cara menyelesaikannya.
c) Persamaan kuadrat dan metode penyelesaiannya.
d) Persamaan dua suku, cara untuk menyelesaikannya.
e) Persamaan kubik dan metode penyelesaiannya.
f) Persamaan biquadratic dan metode penyelesaiannya.
g) Persamaan derajat keempat dan metode penyelesaiannya.
g) Persamaan derajat tinggi dan metode dari solusi.
h) Persamaan aljabar rasional dan metodenya
i) Persamaan irasional dan metode penyelesaiannya.
j) Persamaan yang mengandung yang tidak diketahui di bawah tanda.
nilai mutlak dan cara mengatasinya.
Persamaan transendental.
a) Persamaan eksponensial dan cara menyelesaikannya.
b) Persamaan logaritma dan cara menyelesaikannya.
pengantar
Pendidikan matematika yang diterima di sekolah pendidikan umum merupakan komponen penting dari pendidikan umum dan budaya umum orang modern. Hampir segala sesuatu yang mengelilingi orang modern semuanya terhubung dalam satu atau lain cara dengan matematika. Dan kemajuan terbaru dalam fisika, teknik dan teknologi informasi tidak diragukan lagi bahwa di masa depan keadaan akan tetap sama. Oleh karena itu, penyelesaian banyak masalah praktis direduksi menjadi pemecahan berbagai jenis persamaan yang perlu dipelajari untuk dipecahkan.
Karya ini merupakan upaya untuk menggeneralisasi dan mensistematisasikan materi yang dipelajari pada topik di atas. Materi sudah saya susun menurut tingkat kerumitannya, dimulai dari yang paling sederhana. Ini mencakup kedua jenis persamaan yang kita ketahui dari kursus aljabar sekolah, dan materi tambahan. Pada saat yang sama, saya mencoba menunjukkan jenis persamaan yang tidak dipelajari di kursus sekolah, tetapi pengetahuan yang mungkin diperlukan ketika memasuki lembaga pendidikan tinggi. Dalam pekerjaan saya, ketika memecahkan persamaan, saya tidak membatasi diri saya hanya pada solusi nyata, tetapi juga menunjukkan solusi yang kompleks, karena saya percaya bahwa jika tidak, persamaan tersebut tidak akan terpecahkan. Lagi pula, jika tidak ada akar real dalam persamaan, maka ini tidak berarti tidak ada solusi. Sayangnya, karena keterbatasan waktu, saya tidak dapat mempresentasikan semua materi yang saya miliki, tetapi bahkan dengan materi yang disajikan di sini, banyak pertanyaan yang mungkin muncul. Saya berharap bahwa pengetahuan saya cukup untuk menjawab sebagian besar pertanyaan. Jadi, saya akan menyajikan materi.
Matematika... mengungkapkan keteraturan
simetri dan kepastian,
dan ini adalah jenis kecantikan yang paling penting.
Aristoteles.
Referensi sejarah
Di masa yang jauh itu, ketika orang bijak pertama kali mulai berpikir tentang persamaan yang mengandung jumlah yang tidak diketahui, mungkin belum ada koin atau dompet. Tetapi di sisi lain, ada tumpukan, serta pot, keranjang, yang sempurna untuk peran penyimpanan-tembolok yang berisi jumlah item yang tidak diketahui. "Kami mencari tumpukan, yang, bersama dengan dua pertiganya, setengah dan satu ketujuh, adalah 37 ...", juru tulis Mesir yang diajarkan Ahmes pada milenium II SM. Dalam masalah matematika kuno Mesopotamia, India, Cina, Yunani, jumlah yang tidak diketahui menyatakan jumlah burung merak di taman, jumlah sapi jantan dalam kawanan, totalitas hal yang diperhitungkan saat membagi properti. Ahli-ahli Taurat, pejabat, dan pendeta yang diinisiasi ke dalam pengetahuan rahasia, terlatih dengan baik dalam ilmu berhitung, mengatasi tugas-tugas seperti itu dengan cukup berhasil.
Sumber-sumber yang telah sampai kepada kita menunjukkan bahwa para ilmuwan kuno memiliki beberapa metode umum untuk memecahkan masalah dengan jumlah yang tidak diketahui. Namun, tidak ada satu pun papirus, tidak ada satu pun lempengan tanah liat yang memberikan penjelasan tentang teknik-teknik ini. Penulis hanya sesekali memberikan perhitungan numerik mereka dengan komentar jahat seperti: "Lihat!", "Lakukan!", "Anda menemukannya dengan benar." Dalam hal ini, pengecualian adalah "Aritmatika" dari matematikawan Yunani Diophantus dari Alexandria (abad III) - kumpulan masalah untuk menyusun persamaan dengan presentasi sistematis dari solusi mereka.
Namun, manual pertama untuk memecahkan masalah, yang menjadi dikenal luas, adalah karya seorang sarjana Baghdad abad ke-9. Muhammad bin Musa al-Khawarizmi. Kata "al-jabr" dari judul bahasa Arab risalah ini - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Kitab Pemulihan dan Kontras") - seiring waktu berubah menjadi kata "aljabar", yang dikenal semua orang, dan karya al-Khawarizmi sendiri menjadi titik tolak dalam pengembangan ilmu pemecahan persamaan.
persamaan. persamaan aljabar
Definisi dasar
Dalam aljabar, dua jenis persamaan dianggap - identitas dan persamaan.
Identitas adalah persamaan yang berlaku untuk semua (diterima) nilai huruf ). Untuk menuliskan identitas beserta tandanya
tanda juga digunakan.persamaan- ini adalah kesetaraan yang dipenuhi hanya untuk beberapa nilai huruf yang termasuk di dalamnya. Huruf-huruf yang termasuk dalam persamaan, sesuai dengan kondisi masalah, bisa tidak sama: beberapa dapat mengambil semua nilai yang diizinkan (disebut parameter atau koefisien persamaan dan biasanya dilambangkan dengan huruf pertama dari alfabet Latin:
, , ... – atau huruf yang sama, dengan indeks: , , ... atau , , ...); orang lain yang nilainya dapat ditemukan disebut tidak dikenal(biasanya dilambangkan dengan huruf terakhir dari alfabet Latin: , , , ... - atau dengan huruf yang sama, dengan indeks: , , ... atau , , ...).Secara umum persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
(, , ..., ).Bergantung pada jumlah yang tidak diketahui, persamaan tersebut disebut persamaan dengan satu, dua, dll. yang tidak diketahui.
