Ketika mempelajari aljabar di sekolah menengah (kelas 9), salah satu topik penting adalah studi tentang barisan numerik, yang meliputi progresi - geometris dan aritmatika. Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan perkembangan aritmatika dan contoh dengan solusi.

Apa itu barisan aritmatika?

Untuk memahami hal ini, perlu diberikan definisi tentang perkembangan yang sedang dibahas, serta memberikan rumus-rumus dasar yang akan digunakan lebih lanjut dalam memecahkan masalah.

Aritmatika atau adalah himpunan bilangan rasional terurut, yang masing-masing anggotanya berbeda dari yang sebelumnya dengan beberapa nilai konstan. Nilai ini disebut selisih. Artinya, mengetahui anggota deret angka yang berurutan dan perbedaannya, Anda dapat memulihkan seluruh deret aritmatika.

Mari kita ambil contoh. Barisan bilangan selanjutnya adalah barisan aritmatika: 4, 8, 12, 16, ..., karena selisihnya dalam hal ini adalah 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tetapi kumpulan angka 3, 5, 8, 12, 17 tidak dapat lagi dikaitkan dengan jenis perkembangan yang dipertimbangkan, karena perbedaannya bukan nilai konstan (5 - 3 8 - 5 12 - 8 17 - 12).

Rumus Penting

Kami sekarang memberikan rumus dasar yang akan diperlukan untuk menyelesaikan masalah menggunakan deret aritmatika. Misalkan a n menyatakan anggota ke-n dari barisan, di mana n adalah bilangan bulat. Perbedaannya dilambangkan dengan huruf latin d. Maka ekspresi berikut ini benar:

1. Untuk menentukan nilai suku ke-n, rumusnya cocok: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Untuk menentukan jumlah n suku pertama: S n = (a n + a 1)*n/2.

Untuk memahami setiap contoh deret aritmatika dengan solusi di kelas 9, cukup mengingat dua rumus ini, karena masalah jenis apa pun yang dipertimbangkan dibangun berdasarkan penggunaannya. Juga, jangan lupa bahwa perbedaan perkembangan ditentukan oleh rumus: d = a n - a n-1 .

Contoh #1: Menemukan Anggota Tidak Dikenal

Kami memberikan contoh sederhana dari deret aritmatika dan rumus yang harus digunakan untuk menyelesaikannya.

Biarkan urutan 10, 8, 6, 4, ... diberikan, perlu untuk menemukan lima suku di dalamnya.

Sudah mengikuti dari kondisi masalah bahwa 4 suku pertama diketahui. Kelima dapat didefinisikan dalam dua cara:

1. Mari kita hitung selisihnya terlebih dahulu. Kami memiliki: d = 8 - 10 = -2. Demikian pula, seseorang dapat mengambil dua istilah lain yang berdiri bersebelahan. Misalnya, d = 4 - 6 = -2. Karena diketahui bahwa d \u003d a n - a n-1, maka d \u003d a 5 - a 4, dari mana kita mendapatkan: a 5 \u003d a 4 + d. Kami mengganti nilai yang diketahui: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Cara kedua juga membutuhkan pengetahuan tentang selisih dari progresi yang bersangkutan, jadi Anda harus menentukannya terlebih dahulu, seperti gambar di atas (d = -2). Diketahui suku pertama a 1 = 10, kita gunakan rumus bilangan n barisan tersebut. Kami memiliki: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Mengganti n = 5 ke dalam ekspresi terakhir, kita mendapatkan: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Seperti yang Anda lihat, kedua solusi menghasilkan hasil yang sama. Perhatikan bahwa dalam contoh ini perbedaan d dari progresi adalah negatif. Barisan demikian disebut menurun karena setiap suku yang berurutan lebih kecil dari suku sebelumnya.

Contoh #2: perbedaan perkembangan

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas, berikan contoh bagaimana menemukan perbedaan dari deret aritmatika.

Diketahui bahwa dalam beberapa deret aljabar, suku ke-1 sama dengan 6, dan suku ke-7 sama dengan 18. Perlu dicari selisihnya dan mengembalikan barisan ini ke suku ke-7.

Mari gunakan rumus untuk menentukan suku yang tidak diketahui: a n = (n - 1) * d + a 1 . Kami mengganti data yang diketahui dari kondisi ke dalamnya, yaitu angka a 1 dan a 7, kami memiliki: 18 \u003d 6 + 6 * d. Dari ekspresi ini, Anda dapat dengan mudah menghitung selisihnya: d = (18 - 6) / 6 = 2. Jadi, bagian pertama dari soal telah terjawab.

Untuk mengembalikan barisan ke anggota ke-7, Anda harus menggunakan definisi deret aljabar, yaitu, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, dan seterusnya. Hasilnya, kami mengembalikan seluruh urutan: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 dan 7 = 18.

Contoh #3: membuat kemajuan

Mari kita semakin memperumit kondisi masalah. Sekarang Anda perlu menjawab pertanyaan tentang bagaimana menemukan deret aritmatika. Kita dapat memberikan contoh berikut: dua angka diberikan, misalnya, 4 dan 5. Perlu untuk membuat deret aljabar agar tiga suku lagi cocok di antara keduanya.

Sebelum mulai memecahkan masalah ini, perlu untuk memahami tempat apa yang akan ditempati oleh angka-angka yang diberikan dalam perkembangan di masa depan. Karena akan ada tiga suku lagi di antara mereka, maka 1 \u003d -4 dan 5 \u003d 5. Setelah menetapkan ini, kami melanjutkan ke tugas yang mirip dengan yang sebelumnya. Sekali lagi, untuk suku ke-n, kami menggunakan rumus, kami mendapatkan: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Dari: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Di sini selisihnya bukan bilangan bulat, melainkan bilangan rasional, sehingga rumus deret aljabar tetap sama.

Sekarang mari tambahkan perbedaan yang ditemukan ke 1 dan pulihkan anggota progresi yang hilang. Kami mendapatkan: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, yang sesuai dengan kondisi masalah.

Contoh #4: Anggota pertama dari progresi

Kami terus memberikan contoh deret aritmatika dengan solusi. Pada semua soal sebelumnya, bilangan pertama dari deret aljabar diketahui. Sekarang pertimbangkan masalah dari jenis yang berbeda: biarkan dua angka diberikan, di mana a 15 = 50 dan a 43 = 37. Penting untuk menemukan dari nomor berapa urutan ini dimulai.

Rumus yang telah digunakan sejauh ini mengasumsikan pengetahuan tentang a 1 dan d. Tidak ada yang diketahui tentang angka-angka ini dalam kondisi masalah. Namun demikian, mari kita tuliskan ekspresi untuk setiap suku yang informasinya kita miliki: a 15 = a 1 + 14 * d dan a 43 = a 1 + 42 * d. Kami mendapat dua persamaan di mana ada 2 besaran yang tidak diketahui (a 1 dan d). Ini berarti bahwa masalahnya direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linier.

Sistem yang ditentukan paling mudah untuk dipecahkan jika Anda mengekspresikan 1 dalam setiap persamaan, dan kemudian membandingkan ekspresi yang dihasilkan. Persamaan pertama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; persamaan kedua: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Menyamakan ekspresi ini, kita mendapatkan: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, dari mana perbedaannya d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,644 (hanya 3 tempat desimal yang diberikan).

Mengetahui d, Anda dapat menggunakan salah satu dari 2 ekspresi di atas untuk 1 . Misalnya, pertama: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56.496.

Jika ada keraguan tentang hasilnya, Anda dapat memeriksanya, misalnya, menentukan anggota ke-43 dari perkembangan, yang ditentukan dalam kondisi. Kami mendapatkan: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Kesalahan kecil disebabkan oleh fakta bahwa pembulatan ke seperseribu digunakan dalam perhitungan.

Contoh #5: Jumlah

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh dengan solusi untuk jumlah deret aritmatika.

Biarkan deret angka dari bentuk berikut diberikan: 1, 2, 3, 4, ...,. Bagaimana cara menghitung jumlah 100 dari angka-angka ini?

Berkat perkembangan teknologi komputer, masalah ini dapat diselesaikan, yaitu menjumlahkan semua angka secara berurutan, yang akan dilakukan komputer segera setelah seseorang menekan tombol Enter. Namun, masalah tersebut dapat diselesaikan secara mental jika Anda memperhatikan bahwa deret angka yang disajikan adalah deret aljabar, dan selisihnya adalah 1. Menerapkan rumus untuk jumlah, kita mendapatkan: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Sangat mengherankan untuk dicatat bahwa masalah ini disebut "Gaussian", karena pada awal abad ke-18 orang Jerman yang terkenal, yang masih berusia 10 tahun, mampu menyelesaikannya dalam pikirannya dalam beberapa detik. Anak laki-laki itu tidak mengetahui rumus jumlah suatu deret aljabar, tetapi dia memperhatikan bahwa jika Anda menambahkan pasangan angka yang terletak di tepi barisan, Anda selalu mendapatkan hasil yang sama, yaitu, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dan karena jumlah ini akan tepat 50 (100 / 2), maka untuk mendapatkan jawaban yang benar, cukup dengan mengalikan 50 dengan 101.

Contoh #6: jumlah suku dari n ke m

Contoh tipikal lain dari jumlah deret aritmatika adalah sebagai berikut: diberikan serangkaian angka: 3, 7, 11, 15, ..., Anda perlu menemukan jumlah sukunya dari 8 hingga 14.

Masalahnya diselesaikan dengan dua cara. Yang pertama melibatkan menemukan istilah yang tidak diketahui dari 8 hingga 14, dan kemudian menjumlahkannya secara berurutan. Karena ada beberapa istilah, metode ini tidak cukup melelahkan. Namun demikian, diusulkan untuk memecahkan masalah ini dengan metode kedua, yang lebih universal.

Idenya adalah untuk mendapatkan rumus untuk jumlah deret aljabar antara suku m dan n, di mana n > m adalah bilangan bulat. Untuk kedua kasus, kami menulis dua ekspresi untuk jumlah:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Karena n > m, jelaslah bahwa jumlah 2 termasuk yang pertama. Kesimpulan terakhir berarti bahwa jika kita mengambil perbedaan antara jumlah-jumlah ini, dan menambahkan istilah a m padanya (dalam kasus mengambil perbedaan, itu dikurangi dari jumlah S n), maka kita mendapatkan jawaban yang diperlukan untuk masalah ini. Kami memiliki: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Hal ini diperlukan untuk mengganti formula untuk n dan a m ke dalam ekspresi ini. Maka diperoleh: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Rumus yang dihasilkan agak rumit, namun, jumlah S mn hanya bergantung pada n, m, a 1 dan d. Dalam kasus kami, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Mensubstitusikan angka-angka ini, kita mendapatkan: S mn = 301.

Seperti yang dapat dilihat dari solusi di atas, semua masalah didasarkan pada pengetahuan tentang ekspresi suku ke-n dan rumus jumlah himpunan suku pertama. Sebelum Anda mulai memecahkan salah satu masalah ini, Anda disarankan untuk membaca kondisinya dengan cermat, memahami dengan jelas apa yang ingin Anda temukan, dan baru kemudian melanjutkan dengan solusinya.

Tip lainnya adalah berusaha untuk kesederhanaan, yaitu, jika Anda dapat menjawab pertanyaan tanpa menggunakan perhitungan matematika yang rumit, maka Anda perlu melakukan hal itu, karena dalam hal ini kemungkinan membuat kesalahan lebih kecil. Misalnya, dalam contoh deret aritmatika dengan solusi No. 6, seseorang dapat berhenti pada rumus S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, dan memecah tugas umum menjadi subtugas yang terpisah (dalam hal ini, pertama-tama temukan istilah a n dan a m).

Jika ada keraguan tentang hasil yang diperoleh, disarankan untuk memeriksanya, seperti yang dilakukan pada beberapa contoh yang diberikan. Bagaimana menemukan deret aritmatika, temukan. Setelah Anda mengetahuinya, itu tidak terlalu sulit.

Jenis pelajaran: mempelajari materi baru.

Tujuan Pelajaran:

• perluasan dan pendalaman gagasan siswa tentang tugas yang diselesaikan menggunakan deret aritmatika; organisasi aktivitas pencarian siswa ketika menurunkan rumus untuk jumlah n anggota pertama dari deret aritmatika;
• pengembangan keterampilan untuk secara mandiri memperoleh pengetahuan baru, menggunakan pengetahuan yang sudah diperoleh untuk mencapai tugas;
• perkembangan keinginan dan kebutuhan untuk menggeneralisasi fakta yang diperoleh, perkembangan kemandirian.

Tugas:

• menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan yang ada tentang topik "Perkembangan aritmatika";
• turunkan rumus untuk menghitung jumlah n anggota pertama dari deret aritmatika;
• mengajarkan bagaimana menerapkan rumus yang diperoleh dalam memecahkan berbagai masalah;
• menarik perhatian siswa pada prosedur untuk menemukan nilai ekspresi numerik.

Peralatan:

• kartu dengan tugas untuk bekerja dalam kelompok dan berpasangan;
• kertas evaluasi;
• presentasi"Perkembangan aritmatika".

I. Aktualisasi pengetahuan dasar.

1. Bekerja mandiri berpasangan.

opsi pertama:

Menentukan barisan aritmatika. Tuliskan rumus rekursif yang mendefinisikan deret aritmatika. Berikan contoh barisan aritmatika dan tunjukkan perbedaannya.

opsi ke-2:

Tuliskan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika. Tentukan suku ke-100 suatu barisan aritmatika ( sebuah}: 2, 5, 8 …
Pada saat ini, dua siswa di belakang papan sedang mempersiapkan jawaban untuk pertanyaan yang sama.
Siswa mengevaluasi pekerjaan pasangannya dengan membandingkannya dengan papan tulis. (Leaflet dengan jawaban diserahkan).

2. Momen permainan.

Latihan 1.

Guru. Saya menyusun beberapa perkembangan aritmatika. Ajukan hanya dua pertanyaan kepada saya sehingga setelah jawaban Anda dapat dengan cepat menyebutkan anggota ke-7 dari perkembangan ini. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Pertanyaan dari siswa.

1. Apa suku keenam dari kemajuan dan apa perbedaannya?
2. Apa suku kedelapan dari perkembangan dan apa perbedaannya?

Jika tidak ada pertanyaan lagi, maka guru dapat merangsang mereka - "larangan" pada d (selisih), yaitu tidak boleh bertanya apa perbedaannya. Anda dapat mengajukan pertanyaan: apa suku ke-6 dari perkembangan dan apa suku ke-8 dari perkembangan?

Tugas 2.

Ada 20 angka yang tertulis di papan tulis: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Guru berdiri membelakangi papan tulis. Siswa menyebutkan nomor dari nomor tersebut, dan guru segera memanggil nomor itu sendiri. Jelaskan bagaimana saya bisa melakukannya?

Guru mengingat rumus suku ke-n a n \u003d 3n - 2 dan, dengan mengganti nilai n yang diberikan, temukan nilai yang sesuai sebuah .

II. Pernyataan tugas pendidikan.

Saya mengusulkan untuk memecahkan masalah lama yang berasal dari milenium ke-2 SM, yang ditemukan dalam papirus Mesir.

Tugas:“Katakanlah kepadamu: bagilah 10 takaran jelai kepada 10 orang, maka selisih antara setiap orang dan tetangganya adalah 1/8 takaran.”

• Bagaimana masalah ini berhubungan dengan topik deret aritmatika? (Setiap orang berikutnya mendapat 1/8 lebih banyak, jadi selisihnya adalah d=1/8, 10 orang, jadi n=10.)
• Menurutmu apa arti angka 10? (Jumlah semua anggota perkembangan.)
• Apa lagi yang perlu Anda ketahui agar mudah dan sederhana membagi jelai sesuai dengan kondisi masalahnya? (Suku pertama dari progresi.)

Tujuan pelajaran- memperoleh ketergantungan jumlah suku perkembangan pada jumlah mereka, suku pertama dan perbedaan, dan memeriksa apakah masalah diselesaikan dengan benar di zaman kuno.

Sebelum menurunkan rumus, mari kita lihat bagaimana orang Mesir kuno memecahkan masalah.

Dan mereka menyelesaikannya seperti ini:

1) 10 ukuran: 10 = 1 ukuran - rata-rata berbagi;
2) 1 takaran = 2 takaran - digandakan rata-rata Bagikan.
dua kali lipat rata-rata bagiannya adalah jumlah bagian dari orang ke-5 dan ke-6.
3) 2 takaran - 1/8 takaran = 1 7/8 takaran - dua kali bagian orang kelima.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - bagian kelima; dan seterusnya, Anda dapat menemukan bagian dari setiap orang sebelumnya dan berikutnya.

Kami mendapatkan urutannya:

AKU AKU AKU. Solusi dari tugas.

1. Bekerja dalam kelompok

kelompok 1: Tentukan jumlah 20 bilangan asli berurutan: S 20 \u003d (20 + 1) 10 \u003d 210.

Secara umum

kelompok II: Temukan jumlah bilangan asli dari 1 hingga 100 (Legenda Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) 50 \u003d 5050

Kesimpulan:

kelompok III: Tentukan jumlah bilangan asli dari 1 hingga 21.

Solusi: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Kesimpulan:

kelompok IV: Tentukan jumlah bilangan asli dari 1 sampai 101.

Kesimpulan:

Metode pemecahan masalah yang dipertimbangkan ini disebut "metode Gauss".

2. Setiap kelompok mempresentasikan solusi masalah di papan tulis.

3. Generalisasi solusi yang diusulkan untuk deret aritmatika arbitrer:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Kami menemukan jumlah ini dengan berdebat serupa:

4. Sudahkah kita menyelesaikan tugas?(Ya.)

IV. Pemahaman utama dan penerapan rumus-rumus yang diperoleh dalam memecahkan masalah.

1. Memeriksa solusi masalah lama dengan rumus.

2. Penerapan rumus dalam menyelesaikan berbagai masalah.

3. Latihan untuk pembentukan kemampuan menerapkan rumus dalam memecahkan masalah.

A) Nomor 613

Diberikan :( dan N) - deret aritmatika;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Mencari: S 1500

Keputusan: , dan 1 = 1, dan 1500 = 1500,

B) Diberikan: ( dan N) - deret aritmatika;
(dan n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Mencari: n
Keputusan:

V. Pekerjaan mandiri dengan verifikasi timbal balik.

Denis pergi bekerja sebagai kurir. Pada bulan pertama, gajinya 200 rubel, di setiap bulan berikutnya meningkat 30 rubel. Berapa penghasilannya dalam setahun?

Diberikan :( dan N) - deret aritmatika;
a 1 = 200, d=30, n=12
Mencari: S 12
Keputusan:

Jawaban: Denis menerima 4.380 rubel untuk tahun ini.

VI. Instruksi pekerjaan rumah.

1. hal 4.3 - pelajari turunan dari rumus.
2. №№ 585, 623 .
3. Buatlah masalah yang akan diselesaikan dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika.

VII. Menyimpulkan pelajaran.

1. Lembar skor

2. Lanjutkan kalimatnya

• Hari ini di kelas saya belajar...
• Rumus yang dipelajari...
• saya pikir itu…

3. Dapatkah Anda menemukan jumlah angka dari 1 hingga 500? Metode apa yang akan Anda gunakan untuk menyelesaikan masalah ini?

Bibliografi.

1. Aljabar, kelas 9. Buku teks untuk lembaga pendidikan. Ed. G.V. Dorofeeva. Moskow: Pencerahan, 2009.

Jumlah dari barisan aritmatika.

Jumlah dari deret aritmatika adalah hal yang sederhana. Baik dalam arti maupun dalam rumus. Tetapi ada segala macam tugas tentang topik ini. Dari dasar hingga cukup padat.

Pertama, mari kita berurusan dengan arti dan rumus jumlah. Dan kemudian kami akan memutuskan. Untuk kesenangan Anda sendiri.) Arti dari penjumlahan sesederhana melenguh. Untuk menemukan jumlah deret aritmatika, Anda hanya perlu menambahkan semua anggotanya dengan hati-hati. Jika istilah ini sedikit, Anda dapat menambahkan tanpa rumus apa pun. Tetapi jika ada banyak, atau banyak ... penambahan itu mengganggu.) Dalam hal ini, rumusnya disimpan.

Rumus penjumlahannya sederhana:

Mari kita cari tahu jenis huruf apa yang termasuk dalam rumus. Ini akan menjernihkan banyak hal.

S n adalah jumlah dari barisan aritmatika. Hasil tambahan semua anggota, dengan pertama pada terakhir. Itu penting. Tambahkan dengan tepat semua anggota berturut-turut, tanpa celah dan lompatan. Dan, tepatnya, mulai dari pertama. Dalam masalah seperti menemukan jumlah suku ketiga dan kedelapan, atau jumlah suku lima sampai dua puluh, penerapan langsung rumus akan mengecewakan.)

sebuah 1 - pertama anggota kemajuan. Semuanya jelas di sini, sederhana pertama nomor baris.

sebuah- terakhir anggota kemajuan. Nomor baris terakhir. Bukan nama yang sangat familiar, tapi bila diterapkan jumlahnya, sangat cocok. Kemudian Anda akan melihat sendiri.

n adalah nomor anggota terakhir. Penting untuk dipahami bahwa dalam rumus angka ini bertepatan dengan jumlah istilah yang ditambahkan.

Mari kita definisikan konsepnya terakhir anggota sebuah. Mengisi pertanyaan: anggota seperti apa yang akan terakhir, jika diberikan tak berujung deret aritmatika?

Untuk jawaban yang meyakinkan, Anda perlu memahami arti dasar dari deret aritmatika dan ... baca tugas dengan cermat!)

Dalam tugas mencari jumlah suatu deret aritmatika, suku terakhir selalu muncul (langsung atau tidak langsung), yang harus dibatasi. Jika tidak, jumlah tertentu yang terbatas hanya tidak ada. Untuk solusinya, tidak masalah jenis kemajuan apa yang diberikan: terbatas atau tak terbatas. Tidak masalah bagaimana itu diberikan: dengan serangkaian angka, atau dengan rumus anggota ke-n.

Yang paling penting adalah memahami bahwa rumus bekerja dari suku pertama dari deret ke suku dengan angka n. Sebenarnya, nama lengkap rumusnya terlihat seperti ini: jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika. Jumlah anggota pertama ini, yaitu. n, ditentukan semata-mata oleh tugas. Dalam tugas, semua informasi berharga ini sering dienkripsi, ya ... Tapi tidak ada, dalam contoh di bawah ini kami akan mengungkapkan rahasia ini.)

Contoh tugas untuk jumlah deret aritmatika.

Pertama-tama, informasi yang berguna:

Kesulitan utama dalam tugas untuk jumlah deret aritmatika adalah penentuan elemen-elemen rumus yang benar.

Penulis tugas mengenkripsi elemen-elemen ini dengan imajinasi tanpa batas.) Hal utama di sini adalah jangan takut. Memahami esensi elemen, cukup dengan menguraikannya. Mari kita lihat beberapa contoh secara rinci. Mari kita mulai dengan tugas berdasarkan GIA nyata.

1. Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: a n = 2n-3.5. Tentukan jumlah 10 suku pertama.

Kerja yang baik. Mudah.) Untuk menentukan jumlah menurut rumus, apa yang perlu kita ketahui? Anggota Pertama sebuah 1, istilah terakhir sebuah, ya jumlah suku terakhir n.

Di mana mendapatkan nomor anggota terakhir? n? Ya, di tempat yang sama, dalam kondisi! Dikatakan temukan jumlahnya 10 anggota pertama. Nah, nomor berapa itu? terakhir, anggota kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, nomornya adalah kesepuluh!) Karena itu, alih-alih sebuah kita substitusikan ke rumus 10, melainkan n- sepuluh. Sekali lagi, jumlah anggota terakhir sama dengan jumlah anggota.

Itu masih harus ditentukan sebuah 1 dan 10. Ini mudah dihitung dengan rumus suku ke-n, yang diberikan dalam pernyataan masalah. Tidak tahu bagaimana melakukannya? Kunjungi pelajaran sebelumnya, tanpa ini - tidak ada.

sebuah 1= 2 1 - 3,5 = -1.5

10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Kami menemukan arti dari semua elemen rumus untuk jumlah deret aritmatika. Tetap menggantikan mereka, dan menghitung:

Itu saja. Jawaban: 75.

Tugas lain berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit:

2. Diketahui suatu barisan aritmatika (a n), selisihnya adalah 3,7; a 1 \u003d 2.3. Tentukan jumlah 15 suku pertama.

Kami segera menulis rumus jumlah:

Rumus ini memungkinkan kita untuk menemukan nilai dari setiap anggota dengan nomornya. Kami mencari substitusi sederhana:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Tetap mengganti semua elemen dalam rumus untuk jumlah deret aritmatika dan menghitung jawabannya:

Jawaban: 423.

Omong-omong, jika dalam rumus jumlah bukannya sebuah substitusikan saja rumus suku ke-n, kita peroleh:

Kami memberikan yang serupa, kami mendapatkan formula baru untuk jumlah anggota deret aritmatika:

Seperti yang Anda lihat, istilah ke-n tidak diperlukan di sini. sebuah. Dalam beberapa tugas, rumus ini sangat membantu, ya ... Anda dapat mengingat rumus ini. Dan Anda dapat menariknya pada waktu yang tepat, seperti di sini. Lagi pula, rumus jumlah dan rumus suku ke-n harus diingat dalam segala hal.)

Sekarang tugas dalam bentuk enkripsi singkat):

3. Tentukan jumlah semua bilangan positif dua angka yang merupakan kelipatan tiga.

Bagaimana! Tidak ada anggota pertama, tidak ada yang terakhir, tidak ada kemajuan sama sekali... Bagaimana cara hidup!?

Anda harus berpikir dengan kepala Anda dan menarik keluar dari kondisi semua elemen jumlah dari deret aritmatika. Apa itu angka dua digit - kita tahu. Mereka terdiri dari dua angka.) Berapa angka dua digit yang akan pertama? 10, mungkin.) hal terakhir dua digit angka? 99, tentu saja! Yang tiga digit akan mengikutinya ...

Kelipatan tiga... Hm... Ini adalah bilangan yang habis dibagi tiga, nih! Sepuluh tidak habis dibagi tiga, 11 tidak habis dibagi... 12... habis dibagi! Jadi, ada sesuatu yang muncul. Anda sudah dapat menulis seri sesuai dengan kondisi masalah:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Apakah deret ini merupakan deret aritmatika? Tentu! Setiap istilah berbeda dari yang sebelumnya dengan ketat tiga. Jika 2, atau 4, ditambahkan ke istilah, katakanlah, hasilnya, yaitu. angka baru tidak akan lagi dibagi dengan 3. Anda dapat langsung menentukan perbedaan deret aritmatika ke heap: d = 3. Berguna!)

Jadi, kita dapat dengan aman menuliskan beberapa parameter perkembangan:

Apa yang akan menjadi nomor? n anggota terakhir? Siapapun yang berpikir bahwa 99 adalah kesalahan fatal ... Angka - mereka selalu berurutan, dan anggota kami melompati tiga besar. Mereka tidak cocok.

Ada dua solusi di sini. Salah satu caranya adalah untuk yang super pekerja keras. Anda dapat melukis kemajuan, seluruh rangkaian angka, dan menghitung jumlah istilah dengan jari Anda.) Cara kedua adalah untuk yang bijaksana. Anda perlu mengingat rumus untuk suku ke-n. Jika rumus diterapkan pada masalah kita, kita mendapatkan bahwa 99 adalah anggota ketiga puluh dari perkembangan. Itu. n = 30.

Kami melihat rumus untuk jumlah deret aritmatika:

Kami melihat dan bersukacita.) Kami mengeluarkan semua yang diperlukan untuk menghitung jumlah dari kondisi masalah:

sebuah 1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

Yang tersisa adalah aritmatika dasar. Substitusikan angka-angka dalam rumus dan hitung:

Jawaban: 1665

Jenis lain dari teka-teki populer:

4. Sebuah deret aritmatika diberikan:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Temukan jumlah suku dari dua puluh hingga tiga puluh empat.

Kami melihat rumus jumlah dan ... kami kesal.) Rumusnya, izinkan saya mengingatkan Anda, menghitung jumlahnya dari yang pertama anggota. Dan dalam masalah Anda perlu menghitung jumlahnya sejak dua puluh... Formulanya tidak akan bekerja.

Anda tentu saja dapat mengecat seluruh progres secara berurutan, dan menempatkan anggota dari 20 menjadi 34. Tapi ... entah bagaimana itu ternyata bodoh dan untuk waktu yang lama, kan?)

Ada solusi yang lebih elegan. Mari kita pecah seri kita menjadi dua bagian. Bagian pertama akan dari suku pertama sampai suku kesembilan belas. Bagian kedua - dua puluh sampai tiga puluh empat. Jelas bahwa jika kita menghitung jumlah suku bagian pertama S 1-19, mari kita tambahkan ke jumlah anggota bagian kedua S 20-34, kita mendapatkan jumlah perkembangan dari suku pertama ke suku ketiga puluh empat S 1-34. Seperti ini:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ini menunjukkan bahwa untuk mencari jumlah S 20-34 dapat dilakukan dengan pengurangan sederhana

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Kedua jumlah di ruas kanan dianggap dari yang pertama anggota, yaitu rumus jumlah standar cukup berlaku untuk mereka. Apakah kita mulai?

Kami mengekstrak parameter perkembangan dari kondisi tugas:

d = 1,5.

sebuah 1= -21,5.

Untuk menghitung jumlah 19 suku pertama dan 34 suku pertama, kita memerlukan suku ke-19 dan ke-34. Kami menghitungnya sesuai dengan rumus suku ke-n, seperti pada soal 2:

19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

sebuah 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Tidak ada yang tersisa. Kurangi jumlah 19 suku dari jumlah 34 suku:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Jawaban: 262,5

Satu catatan penting! Ada fitur yang sangat berguna dalam memecahkan masalah ini. Alih-alih perhitungan langsung apa yang Anda butuhkan (S 20-34), kami menghitung apa, tampaknya, tidak diperlukan - S 1-19. Dan kemudian mereka menentukan S 20-34, membuang yang tidak perlu dari hasil penuh. "Tipuan dengan telinga" seperti itu sering kali disimpan dalam teka-teki jahat.)

Dalam pelajaran ini, kami memeriksa masalah yang cukup untuk memahami arti dari jumlah deret aritmatika. Nah, Anda perlu mengetahui beberapa rumus.)

Saran praktis:

Saat memecahkan masalah apa pun untuk jumlah deret aritmatika, saya sarankan untuk segera menulis dua rumus utama dari topik ini.

Rumus anggota ke-n:

Rumus-rumus ini akan segera memberi tahu Anda apa yang harus dicari, ke arah mana berpikir untuk memecahkan masalah. Membantu.

Dan sekarang tugas untuk solusi independen.

5. Tentukan jumlah semua bilangan dua angka yang tidak habis dibagi tiga.

Keren?) Petunjuknya tersembunyi di catatan untuk masalah 4. Nah, masalah 3 akan membantu.

6. Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Tentukan jumlah 24 suku pertama.

Tidak biasa?) Ini adalah formula yang berulang. Anda dapat membacanya di pelajaran sebelumnya. Jangan abaikan tautannya, teka-teki seperti itu sering ditemukan di GIA.

7. Vasya menabung uang untuk Liburan. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberi orang yang paling saya cintai (saya sendiri) beberapa hari kebahagiaan). Hiduplah dengan indah tanpa menyangkal apa pun dari diri Anda sendiri. Belanjakan 500 rubel pada hari pertama, dan belanjakan 50 rubel lebih banyak pada setiap hari berikutnya daripada hari sebelumnya! Sampai uang habis. Berapa hari kebahagiaan yang dimiliki Vasya?

Apakah sulit?) Rumus tambahan dari tugas 2 akan membantu.

Jawaban (berantakan): 7, 3240, 6.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Tingkat pertama

Kemajuan aritmatika. Teori terperinci dengan contoh (2019)

Urutan numerik

Jadi mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Sebagai contoh:
Anda dapat menulis angka apa saja, dan bisa sebanyak yang Anda suka (dalam kasus kami, angka tersebut). Tidak peduli berapa banyak angka yang kita tulis, kita selalu dapat mengatakan yang mana yang pertama, yang kedua, dan seterusnya hingga yang terakhir, yaitu, kita dapat menghitungnya. Berikut adalah contoh barisan bilangan:

Urutan numerik
Misalnya, untuk urutan kami:

Nomor yang ditetapkan hanya khusus untuk satu nomor urut. Dengan kata lain, tidak ada tiga angka kedua dalam urutan. Angka kedua (seperti angka -th) selalu sama.
Bilangan dengan nomor tersebut disebut anggota -th dari barisan tersebut.

Kami biasanya menyebut seluruh urutan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota dari urutan ini - huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan jumlah anggota ini: .

Dalam kasus kami:

Katakanlah kita memiliki barisan numerik di mana selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama.
Sebagai contoh:

dll.
Barisan numerik seperti itu disebut deret aritmatika.
Istilah "kemajuan" diperkenalkan oleh penulis Romawi Boethius pada awal abad ke-6 dan dipahami dalam arti yang lebih luas sebagai urutan numerik tanpa akhir. Nama "aritmatika" dipindahkan dari teori proporsi kontinu, yang digunakan oleh orang Yunani kuno.

Ini adalah urutan numerik, yang masing-masing anggotanya sama dengan yang sebelumnya, ditambahkan dengan nomor yang sama. Bilangan ini disebut selisih dari suatu barisan aritmatika dan dilambangkan.

Coba tentukan barisan bilangan mana yang merupakan barisan aritmatika dan mana yang bukan:

sebuah)
b)
c)
d)

Mengerti? Bandingkan jawaban kami:
Adalah deret aritmatika - b, c.
Tidak deret aritmatika - a, d.

Mari kembali ke progresi yang diberikan () dan coba cari nilai anggota ke-nya. Ada dua cara untuk menemukannya.

1. Metode

Kita dapat menambahkan nilai sebelumnya dari bilangan perkembangan sampai kita mencapai suku ke-th dari bilangan perkembangan tersebut. Ada baiknya kita tidak memiliki banyak hal untuk diringkas - hanya tiga nilai:

Jadi, anggota -th dari deret aritmatika yang dijelaskan adalah sama dengan.

2. Metode

Bagaimana jika kita perlu mencari nilai suku ke-th dari deret tersebut? Penjumlahan akan memakan waktu lebih dari satu jam, dan bukan fakta bahwa kami tidak akan membuat kesalahan saat menambahkan angka.
Tentu saja, ahli matematika telah menemukan cara di mana Anda tidak perlu menambahkan selisih dari deret aritmatika ke nilai sebelumnya. Perhatikan baik-baik gambar yang digambar… Tentunya Anda sudah memperhatikan pola tertentu, yaitu:

Sebagai contoh, mari kita lihat apa yang membentuk nilai anggota -th dari deret aritmatika ini:


Dengan kata lain:

Coba cari sendiri dengan cara ini nilai anggota deret aritmatika ini.

Dihitung? Bandingkan entri Anda dengan jawaban:

Perhatikan bahwa Anda mendapatkan angka yang sama persis seperti pada metode sebelumnya, ketika kami menambahkan anggota deret aritmatika ke nilai sebelumnya secara berurutan.
Mari kita coba "depersonalisasi" formula ini - kita bawa ke dalam bentuk umum dan dapatkan:

Persamaan deret aritmatika.

Progresi aritmatika meningkat atau menurun.

meningkat- progresi di mana setiap nilai berikutnya dari istilah lebih besar dari yang sebelumnya.
Sebagai contoh:

Menurun- progresi di mana setiap nilai berikutnya dari istilah kurang dari yang sebelumnya.
Sebagai contoh:

Rumus turunan digunakan dalam perhitungan suku dalam suku naik dan turun dari suatu deret aritmatika.
Mari kita periksa dalam praktek.
Kami diberikan deret aritmatika yang terdiri dari angka-angka berikut:

Dari dulu:

Jadi, kami yakin bahwa rumus tersebut berfungsi baik dalam penurunan maupun peningkatan deret aritmatika.
Coba cari sendiri anggota -th dan -th dari deret aritmatika ini.

Mari kita bandingkan hasilnya:

Properti deret aritmatika

Mari kita memperumit tugas - kita mendapatkan properti dari perkembangan aritmatika.
Misalkan kita diberikan kondisi berikut:
- deret aritmatika, temukan nilainya.
Mudah, katamu, dan mulailah menghitung sesuai dengan rumus yang sudah kamu ketahui:

Misalkan a, maka:

Benar-benar tepat. Ternyata kita temukan dulu, lalu tambahkan ke angka pertama dan dapatkan yang kita cari. Jika perkembangan diwakili oleh nilai-nilai kecil, maka tidak ada yang rumit tentang itu, tetapi bagaimana jika kita diberikan angka dalam kondisi? Setuju, ada kemungkinan membuat kesalahan dalam perhitungan.
Sekarang pikirkan, apakah mungkin untuk menyelesaikan masalah ini dalam satu langkah menggunakan rumus apa pun? Tentu saja, ya, dan kami akan mencoba mengeluarkannya sekarang.

Mari kita nyatakan suku yang diinginkan dari deret aritmatika sebagai, kita tahu rumus untuk menemukannya - ini adalah rumus yang sama yang kita peroleh di awal:
, kemudian:

• anggota progresi sebelumnya adalah:
• suku berikutnya dari progresi adalah:

Mari kita jumlahkan anggota progresi sebelumnya dan selanjutnya:

Ternyata jumlah anggota perkembangan sebelumnya dan selanjutnya adalah dua kali lipat nilai anggota perkembangan yang terletak di antara mereka. Dengan kata lain, untuk menemukan nilai anggota perkembangan dengan nilai sebelumnya dan berturut-turut yang diketahui, perlu untuk menjumlahkan dan membaginya.

Itu benar, kami mendapat nomor yang sama. Mari kita perbaiki materinya. Hitung sendiri nilai progresnya, karena sama sekali tidak sulit.

Sudah selesai dilakukan dengan baik! Anda tahu hampir segalanya tentang kemajuan! Tetap menemukan hanya satu formula, yang, menurut legenda, salah satu matematikawan terhebat sepanjang masa, "raja matematikawan" - Karl Gauss, dengan mudah disimpulkan untuk dirinya sendiri ...

Ketika Carl Gauss berusia 9 tahun, gurunya, sibuk memeriksa pekerjaan siswa dari kelas lain, menanyakan tugas berikut di pelajaran: "Hitung jumlah semua bilangan asli dari hingga (menurut sumber lain hingga) inklusif. " Apa yang mengejutkan guru ketika salah satu muridnya (itu adalah Karl Gauss) setelah satu menit memberikan jawaban yang benar untuk tugas itu, sementara sebagian besar teman sekelas pemberani setelah perhitungan yang lama menerima hasil yang salah ...

Carl Gauss muda memperhatikan sebuah pola yang dapat Anda perhatikan dengan mudah.
Katakanlah kita memiliki barisan aritmatika yang terdiri dari anggota -ti: Kita perlu mencari jumlah anggota barisan aritmatika yang diberikan. Tentu saja, kita dapat menjumlahkan semua nilai secara manual, tetapi bagaimana jika kita perlu menemukan jumlah sukunya dalam tugas, seperti yang dicari Gauss?

Mari kita gambarkan perkembangan yang diberikan kepada kita. Perhatikan baik-baik angka-angka yang disorot dan coba lakukan berbagai operasi matematika dengan angka-angka tersebut.


Dicoba? Apa yang Anda perhatikan? Benar! Jumlah mereka sama

Sekarang jawab, berapa banyak pasangan seperti itu dalam perkembangan yang diberikan kepada kita? Tentu saja, tepat setengah dari semua angka, yaitu.
Berdasarkan fakta bahwa jumlah dua suku deret aritmatika adalah sama, dan pasangan sama yang serupa, kita mendapatkan bahwa jumlah totalnya sama dengan:
.
Jadi, rumus untuk jumlah suku pertama dari setiap deret aritmatika adalah:

Dalam beberapa soal, kita tidak mengetahui suku ke-th, tetapi kita mengetahui perbedaan perkembangannya. Cobalah untuk mengganti rumus jumlah, rumus anggota ke-.
Apa yang kamu dapatkan?

Sudah selesai dilakukan dengan baik! Sekarang mari kita kembali ke masalah yang diberikan kepada Carl Gauss: hitung sendiri berapa jumlah bilangan yang dimulai dari -th, dan jumlah bilangan yang dimulai dari -th.

Berapa banyak yang Anda dapatkan?
Gauss ternyata jumlah suku-sukunya sama, dan jumlah suku-sukunya sama. Apakah itu cara Anda memutuskan?

Faktanya, rumus jumlah anggota deret aritmatika telah dibuktikan oleh ilmuwan Yunani kuno Diophantus pada abad ke-3, dan selama ini, orang-orang cerdas menggunakan sifat-sifat deret aritmatika dengan kekuatan dan utama.
Misalnya, bayangkan Mesir Kuno dan situs konstruksi terbesar saat itu - konstruksi piramida ... Gambar menunjukkan satu sisinya.

Di mana perkembangannya di sini yang Anda katakan? Perhatikan baik-baik dan temukan pola jumlah balok pasir di setiap baris dinding piramida.


Mengapa bukan deret aritmatika? Hitung berapa banyak balok yang diperlukan untuk membangun satu dinding jika bata balok ditempatkan di dasarnya. Saya harap Anda tidak akan menghitung dengan menggerakkan jari Anda melintasi monitor, apakah Anda ingat rumus terakhir dan semua yang kami katakan tentang deret aritmatika?

Dalam hal ini, perkembangannya terlihat seperti ini:
Selisih barisan aritmatika.
Banyaknya anggota barisan aritmatika.
Mari kita substitusikan data kita ke rumus terakhir (kita hitung jumlah balok dengan 2 cara).

Metode 1.

Metode 2.

Dan sekarang Anda juga dapat menghitung di monitor: bandingkan nilai yang diperoleh dengan jumlah balok yang ada di piramida kami. Apakah itu setuju? Selamat, Anda telah menguasai jumlah suku ke-tiga dari suatu deret aritmatika.
Tentu saja, Anda tidak dapat membangun piramida dari balok di pangkalan, tetapi dari? Coba hitung berapa banyak batu bata pasir yang dibutuhkan untuk membangun tembok dengan kondisi ini.
Apakah Anda berhasil?
Jawaban yang benar adalah blok:

Bekerja

Tugas:

1. Masha semakin bugar untuk musim panas. Setiap hari dia meningkatkan jumlah squat. Berapa kali Masha akan jongkok dalam beberapa minggu jika dia melakukan jongkok pada latihan pertama.
2. Berapa jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat pada
3. Saat menyimpan log, penebang kayu menumpuknya sedemikian rupa sehingga setiap lapisan atas berisi satu log lebih sedikit dari yang sebelumnya. Berapa banyak balok dalam satu pasangan bata, jika dasar pasangan bata adalah kayu.

Jawaban:

1. Mari kita tentukan parameter deret aritmatika. Pada kasus ini
   (minggu = hari).

   Menjawab: Dalam dua minggu, Masha harus jongkok sekali sehari.

2. Angka ganjil pertama, angka terakhir.
   Selisih barisan aritmatika.
   Jumlah bilangan ganjil di - setengah, bagaimanapun, periksa fakta ini menggunakan rumus untuk menemukan anggota -th dari deret aritmatika:

   Angka tersebut memang mengandung angka ganjil.
   Kami mengganti data yang tersedia ke dalam rumus:

   Menjawab: Jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat di dalamnya sama dengan.

3. Ingat masalah tentang piramida. Untuk kasus kami, a , karena setiap lapisan atas dikurangi dengan satu log, hanya ada sekelompok lapisan, yaitu.
   Substitusikan data ke dalam rumus:

   Menjawab: Ada log di batu.

Menyimpulkan

1. - urutan numerik di mana perbedaan antara nomor yang berdekatan adalah sama dan sama. Hal ini meningkat dan menurun.
2. Menemukan rumus Anggota ke deret aritmatika ditulis dengan rumus - , di mana adalah jumlah angka dalam deret.
3. Properti anggota deret aritmatika- - di mana - jumlah angka dalam perkembangan.
4. Jumlah anggota deret aritmatika dapat ditemukan dengan dua cara:
   
   , di mana adalah jumlah nilai.

PROGRESI aritmatika. TINGKAT TENGAH

Urutan numerik

Mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Sebagai contoh:

Anda dapat menulis angka apa saja, dan bisa sebanyak yang Anda suka. Tetapi Anda selalu dapat membedakan mana di antara mereka yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya, yaitu, kita dapat memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan.

Urutan numerik adalah satu set angka, yang masing-masing dapat diberi nomor unik.

Dengan kata lain, setiap bilangan dapat dikaitkan dengan bilangan asli tertentu, dan hanya satu. Dan kami tidak akan menetapkan nomor ini ke nomor lain dari set ini.

Bilangan dengan nomor tersebut disebut anggota -th dari barisan tersebut.

Kami biasanya menyebut seluruh urutan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota dari urutan ini - huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan jumlah anggota ini: .

Sangat mudah jika anggota -th dari barisan dapat diberikan oleh beberapa rumus. Misalnya rumus

mengatur urutan:

Dan rumusnya adalah urutan sebagai berikut:

Misalnya, barisan aritmatika adalah barisan (suku pertama di sini adalah sama, dan selisihnya). Atau (, perbedaan).

rumus suku ke-n

Kami menyebut rumus berulang di mana, untuk mengetahui suku -th, Anda perlu mengetahui yang sebelumnya atau beberapa yang sebelumnya:

Untuk mencari, misalnya, suku ke- dari perkembangan menggunakan rumus seperti itu, kita harus menghitung sembilan sebelumnya. Misalnya, biarkan. Kemudian:

Nah, sekarang sudah jelas apa rumusnya?

Di setiap baris, kita tambahkan, dikalikan dengan beberapa angka. Untuk apa? Sangat sederhana: ini adalah jumlah anggota saat ini dikurangi:

Jauh lebih nyaman sekarang, bukan? Kami memeriksa:

Putuskan sendiri:

Dalam deret aritmatika, temukan rumus untuk suku ke-n dan temukan suku keseratus.

Keputusan:

Suku pertama sama. Dan apa perbedaannya? Dan inilah yang:

(Lagi pula, itu disebut perbedaan karena sama dengan perbedaan anggota perkembangan yang berurutan).

Jadi rumusnya adalah:

Maka suku keseratusnya adalah:

Berapa jumlah semua bilangan asli dari ke?

Menurut legenda, ahli matematika hebat Carl Gauss, sebagai anak laki-laki berusia 9 tahun, menghitung jumlah ini dalam beberapa menit. Dia memperhatikan bahwa jumlah bilangan pertama dan terakhir adalah sama, jumlah kedua dan kedua dari belakang adalah sama, jumlah ketiga dan ketiga dari akhir adalah sama, dan seterusnya. Ada berapa pasangan seperti itu? Itu benar, persis setengah jumlah semua angka, yaitu. Jadi,

Rumus umum untuk jumlah suku pertama dari setiap deret aritmatika adalah:

Contoh:
Temukan jumlah semua kelipatan dua digit.

Keputusan:

Angka pertama adalah ini. Setiap berikutnya diperoleh dengan menambahkan nomor ke yang sebelumnya. Jadi, jumlah yang menarik bagi kami membentuk deret aritmatika dengan suku pertama dan selisihnya.

Rumus suku ke th untuk deret ini adalah:

Berapa banyak suku dalam barisan jika semuanya harus dua digit?

Sangat mudah: .

Suku terakhir dari progresi akan sama. Maka jumlah:

Menjawab: .

Sekarang putuskan sendiri:

1. Setiap hari atlet berlari 1m lebih banyak dari hari sebelumnya. Berapa kilometer yang akan dia tempuh dalam beberapa minggu jika dia berlari km m pada hari pertama?
2. Seorang pengendara sepeda mengendarai lebih banyak mil setiap hari daripada yang sebelumnya. Pada hari pertama ia melakukan perjalanan km. Berapa hari dia harus berkendara untuk menempuh satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanan?
3. Harga lemari es di toko dikurangi dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa penurunan harga lemari es setiap tahun jika, disiapkan untuk dijual seharga rubel, enam tahun kemudian dijual seharga rubel.

Jawaban:

1. Hal terpenting di sini adalah mengenali deret aritmatika dan menentukan parameternya. Dalam hal ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah suku pertama dari perkembangan ini:
   .
   Menjawab:
2. Di sini diberikan:, perlu untuk menemukan.
   Jelas, Anda perlu menggunakan rumus jumlah yang sama seperti pada soal sebelumnya:
   .
   Substitusikan nilainya:

   Akarnya jelas tidak cocok, jadi jawabannya.
   Mari kita hitung jarak yang ditempuh selama hari terakhir menggunakan rumus anggota -th:
   (km).
   Menjawab:

3. Diberikan: . Mencari: .
   Itu tidak menjadi lebih mudah:
   (menggosok).
   Menjawab:

PROGRESI aritmatika. SINGKAT TENTANG UTAMA

Ini adalah urutan numerik di mana perbedaan antara angka yang berdekatan adalah sama dan sama.

Deret aritmatika meningkat () dan menurun ().

Sebagai contoh:

Rumus untuk menemukan anggota ke-n dari deret aritmatika

ditulis sebagai rumus, di mana adalah jumlah angka dalam perkembangannya.

Properti anggota deret aritmatika

Itu memudahkan untuk menemukan anggota perkembangan jika anggota tetangganya diketahui - di mana jumlah angka dalam perkembangan itu.

Jumlah anggota deret aritmatika

Ada dua cara untuk mencari jumlah:

Dimana adalah jumlah nilai.

Dimana adalah jumlah nilai.

Konsep barisan numerik menyiratkan bahwa setiap bilangan asli sesuai dengan beberapa nilai nyata. Serangkaian angka seperti itu dapat bersifat arbitrer dan memiliki sifat tertentu - sebuah perkembangan. Dalam kasus terakhir, setiap elemen (anggota) berikutnya dari urutan dapat dihitung menggunakan yang sebelumnya.

Deret aritmatika adalah urutan nilai numerik di mana anggota tetangganya berbeda satu sama lain dengan nomor yang sama (semua elemen deret, mulai dari yang ke-2, memiliki properti yang serupa). Angka ini - perbedaan antara anggota sebelumnya dan berikutnya - adalah konstan dan disebut perbedaan perkembangan.

Perbedaan Kemajuan: Definisi

Perhatikan barisan yang terdiri dari nilai j A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j termasuk himpunan bilangan asli N. Suatu deret aritmatika, menurut definisinya, adalah barisan , dimana a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = d. Nilai d adalah perbedaan yang diinginkan dari perkembangan ini.

d = a(j) - a(j-1).

Alokasikan:

• Progresi yang meningkat, dalam hal ini d > 0. Contoh: 4, 8, 12, 16, 20, …
• penurunan progresi, maka d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Perbedaan perkembangan dan elemen arbitrernya

Jika 2 anggota arbitrer dari perkembangan (i-th, k-th) diketahui, maka perbedaan untuk barisan ini dapat ditentukan berdasarkan hubungan:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, jadi d = (a(i) - a(k))/(i-k).

Selisih perkembangan dan suku pertamanya

Ekspresi ini akan membantu menentukan nilai yang tidak diketahui hanya dalam kasus di mana jumlah elemen urutan diketahui.

Selisih progres dan jumlahnya

Jumlah dari suatu kemajuan adalah jumlah anggotanya. Untuk menghitung nilai total elemen j pertamanya, gunakan rumus yang sesuai:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, tetapi karena a(j) = a(1) + d(j – 1), lalu S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.