Penentunya dihitung hanya untuk matriks persegi dan merupakan jumlah suku orde ke-n. Algoritme terperinci untuk menghitungnya akan dijelaskan dalam solusi siap pakai, yang dapat Anda terima segera setelah memasukkan kondisi ke dalam kalkulator online ini. Ini adalah kesempatan yang mudah diakses dan mudah untuk mendapatkan teori secara detail, karena solusinya akan disajikan dengan penjelasan detail di setiap langkahnya.

Petunjuk penggunaan kalkulator ini sederhana. Untuk mencari determinan matriks secara online, pertama-tama Anda harus menentukan ukuran matriks dan memilih jumlah kolom dan baris di dalamnya. Untuk melakukan ini, klik ikon “+” atau “-”. Yang tersisa hanyalah memasukkan angka yang diperlukan dan klik "Hitung". Anda dapat memasukkan bilangan bulat dan pecahan. Kalkulator akan melakukan semua pekerjaan yang diperlukan dan memberi Anda hasil akhir.

Untuk menjadi ahli matematika, Anda perlu banyak berlatih dan terus-menerus. Dan tidak ada salahnya untuk memeriksa ulang diri Anda lagi. Oleh karena itu, ketika Anda diberi tugas menghitung determinan suatu matriks, disarankan untuk menggunakan kalkulator online. Dia akan mengatasinya dengan sangat cepat, dan dalam beberapa detik solusi siap pakai akan muncul di monitor. Ini tidak berarti bahwa kalkulator online harus menggantikan perhitungan tradisional untuk Anda. Namun ini sangat membantu jika Anda tertarik untuk memahami algoritma untuk menghitung determinan suatu matriks. Selain itu, ini adalah kesempatan bagus untuk memeriksa apakah tes telah diselesaikan dengan benar dan untuk memastikan penilaian gagal.

Sifat-sifat selanjutnya berkaitan dengan konsep komplemen minor dan aljabar

Minor elemen disebut determinan, terdiri dari elemen-elemen yang tersisa setelah baris dan kolom dicoret pada perpotongan dimana elemen tersebut berada. Elemen minor dari determinan ordo memiliki keteraturan . Kami akan menyatakannya dengan .

Contoh 1. Membiarkan , Kemudian .

Minor ini diperoleh dari A dengan mencoret baris kedua dan kolom ketiga.

Komplemen aljabar elemen disebut minor yang sesuai dikalikan dengan , mis. , dimana adalah banyaknya baris dan kolom pada perpotongan dimana elemen tersebut berada.

VIII.(Penguraian determinan menjadi elemen-elemen string tertentu). Penentunya sama dengan jumlah hasil kali elemen-elemen suatu baris tertentu dan komplemen aljabarnya yang bersesuaian.

Contoh 2. Membiarkan , Kemudian

Contoh 3. Mari kita cari determinan matriksnya , menguraikannya menjadi elemen baris pertama.

Secara formal, teorema ini dan sifat-sifat determinan lainnya hanya berlaku untuk determinan matriks yang tidak lebih tinggi dari orde ketiga, karena kita belum mempertimbangkan determinan lainnya. Definisi berikut akan memungkinkan kita memperluas sifat-sifat ini ke determinan dengan orde apa pun.

Penentu matriks memesan adalah bilangan yang dihitung dengan penerapan teorema ekspansi dan sifat determinan lainnya secara berurutan.

Anda dapat memeriksa bahwa hasil perhitungan tidak bergantung pada urutan penerapan properti di atas dan untuk baris dan kolom mana. Dengan menggunakan definisi ini, determinannya ditemukan secara unik.

Meskipun definisi ini tidak memuat rumus eksplisit untuk mencari determinan, definisi ini memungkinkan seseorang untuk menemukannya dengan mereduksinya menjadi determinan matriks-matriks yang berorde lebih rendah. Definisi seperti itu disebut berulang.

Contoh 4. Hitung determinannya:

Meskipun teorema faktorisasi dapat diterapkan pada setiap baris atau kolom matriks tertentu, perhitungan yang lebih sedikit diperoleh dengan memfaktorkan sepanjang kolom yang berisi angka nol sebanyak mungkin.

Karena matriks tidak mempunyai elemen nol, kita memperolehnya menggunakan properti VII. Kalikan baris pertama secara berurutan dengan angka dan tambahkan ke baris dan dapatkan:

Mari kita perluas determinan yang dihasilkan di sepanjang kolom pertama dan dapatkan:

karena determinannya memuat dua kolom proporsional.

Beberapa jenis matriks dan determinannya

Matriks persegi yang mempunyai elemen nol di bawah atau di atas diagonal utama () disebut segitiga.

Struktur skemanya terlihat seperti: atau

.

Untuk menghitung determinan matriks orde empat atau lebih tinggi, Anda dapat memperluas determinan sepanjang baris atau kolom atau menerapkan metode Gaussian dan mereduksi determinan menjadi bentuk segitiga. Mari kita perhatikan penguraian determinan dalam satu baris atau kolom.

Penentu suatu matriks sama dengan jumlah elemen-elemen baris determinan dikalikan komplemen aljabarnya:

Ekspansi oleh Saya-baris itu.

Penentu suatu matriks sama dengan jumlah elemen kolom determinan dikalikan komplemen aljabarnya:

Ekspansi oleh J-baris itu.

Untuk memudahkan penguraian determinan suatu matriks, biasanya dipilih baris/kolom yang memiliki jumlah elemen nol maksimum.

Contoh

Mari kita cari determinan matriks orde keempat.

Kami akan memperluas determinan ini kolom demi kolom №3

Mari kita buat angka nol sebagai pengganti elemen sebuah 4 3 =9. Untuk melakukan ini dari garis №4 kurangi dari elemen garis yang bersesuaian №1 dikalikan dengan 3 .
Hasilnya tertulis di baris №4 Semua baris lainnya ditulis ulang tanpa perubahan.

Jadi kami membuat semua elemen menjadi nol, kecuali sebuah 1 3 = 3 di kolom № 3 . Sekarang kita dapat melanjutkan perluasan lebih lanjut dari determinan di belakang kolom ini.

Kami melihat itu hanya istilahnya saja №1 tidak berubah menjadi nol, semua suku lainnya akan menjadi nol, karena dikalikan dengan nol.
Ini berarti bahwa selanjutnya kita perlu memperluas hanya satu determinan:

Kami akan memperluas determinan ini baris demi baris №1 . Mari kita lakukan beberapa transformasi untuk memudahkan penghitungan lebih lanjut.

Kita melihat ada dua bilangan identik pada baris ini, jadi kita kurangi dari kolomnya №3 kolom №2 , dan tuliskan hasilnya pada kolom №3 , ini tidak akan mengubah nilai determinan.

Selanjutnya kita perlu membuat nol sebagai pengganti elemen sebuah 1 2 =4. Untuk ini kami memiliki elemen kolom №2 kalikan dengan 3 dan kurangi darinya elemen kolom yang sesuai №1 dikalikan dengan 4 . Hasilnya ditulis di kolom №2 Semua kolom lainnya ditulis ulang tanpa perubahan.

Namun kita tidak boleh lupa bahwa jika kita mengalikan sebuah kolom №2 pada 3 , maka seluruh determinan akan bertambah sebesar 3 . Dan agar tidak berubah, berarti harus dipecah-pecah 3 .

Latihan. Hitung determinan dengan menguraikannya menjadi elemen-elemen pada suatu baris atau kolom.

Larutan. Mari kita lakukan transformasi elementer pada baris determinan terlebih dahulu, dengan membuat angka nol sebanyak mungkin pada baris atau kolom. Untuk melakukan ini, pertama-tama kurangi sembilan pertiga dari baris pertama, lima pertiga dari baris kedua, dan tiga pertiga dari baris keempat, kita mendapatkan:

Mari kita menguraikan determinan yang dihasilkan menjadi elemen-elemen kolom pertama:

Kita juga akan memperluas determinan orde ketiga yang dihasilkan ke dalam elemen baris dan kolom, setelah sebelumnya memperoleh nol, misalnya pada kolom pertama. Untuk melakukannya, kurangi dua baris kedua dari baris pertama, dan baris kedua dari baris ketiga:

Menjawab.

12. Slough urutan ke-3

1. Aturan segitiga

Secara skematis aturan ini dapat digambarkan sebagai berikut:

Hasil kali unsur-unsur determinan pertama yang dihubungkan oleh garis lurus diambil dengan tanda tambah; demikian pula, untuk determinan kedua, produk yang bersesuaian diambil dengan tanda minus, yaitu.

2. Aturan Sarrus

Di sebelah kanan determinan, tambahkan dua kolom pertama dan ambil hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dan diagonal-diagonal yang sejajar dengannya dengan tanda plus; dan hasil kali elemen-elemen diagonal sekunder dan diagonal-diagonal yang sejajar dengannya, dengan tanda minus:

3. Perluasan determinan pada baris atau kolom

Penentunya sama dengan jumlah hasil kali elemen-elemen baris determinan dan komplemen aljabarnya. Biasanya baris/kolom yang berisi angka nol dipilih. Baris atau kolom di mana dekomposisi dilakukan akan ditandai dengan panah.

Latihan. Memperluas sepanjang baris pertama, hitung determinannya

Larutan.

Menjawab.

4. Mengurangi determinan menjadi bentuk segitiga

Dengan menggunakan transformasi dasar pada baris atau kolom, determinan direduksi menjadi bentuk segitiga dan kemudian nilainya, menurut sifat-sifat determinan, sama dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama.

Contoh

Latihan. Hitung determinan membawanya ke bentuk segitiga.

Larutan. Pertama kita buat angka nol pada kolom pertama di bawah diagonal utama. Semua transformasi akan lebih mudah dilakukan jika elemennya sama dengan 1. Untuk melakukannya, kita akan menukar kolom pertama dan kedua determinan, yang menurut sifat determinannya, akan menyebabkannya mengubah tandanya menjadi di depan: