Bagaimana menyelesaikan diskriminan persamaan kuadrat. Bagaimana penyelesaian persamaan kuadrat yang tidak lengkap? Tentang akar dan formulanya

persamaan kuadrat. diskriminatif. Solusi, contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Jenis persamaan kuadrat

Apa itu persamaan kuadrat? Seperti apa bentuknya? Dalam ketentuan persamaan kuadrat kata kuncinya adalah "kotak". Artinya dalam persamaan perlu harus ada x kuadrat. Selain itu, dalam persamaan mungkin ada (atau mungkin tidak!) Hanya x (sampai tingkat pertama) dan hanya angka (anggota bebas). Dan tidak boleh ada x dalam derajat yang lebih besar dari dua.

Dalam istilah matematika, persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk:

Di Sini a, b dan c- beberapa nomor. b dan c- benar-benar ada, tapi sebuah- apa pun kecuali nol. Sebagai contoh:

Di Sini sebuah =1; b = 3; c = -4

Di Sini sebuah =2; b = -0,5; c = 2,2

Di Sini sebuah =-3; b = 6; c = -18

Nah, Anda mendapatkan ide ...

Dalam persamaan kuadrat ini, di sebelah kiri, ada set lengkap anggota. x kuadrat dengan koefisien sebuah, x pangkat pertama dengan koefisien b dan anggota gratis

Persamaan kuadrat seperti itu disebut menyelesaikan.

Dan jika b= 0, apa yang akan kita dapatkan? Kita punya X akan menghilang pada derajat pertama. Ini terjadi dari mengalikan dengan nol.) Ternyata, misalnya:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Dll. Dan jika kedua koefisien b dan c sama dengan nol, maka lebih sederhana:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Persamaan seperti itu, di mana ada sesuatu yang hilang, disebut persamaan kuadrat tidak lengkap. Yang cukup logis.) Harap dicatat bahwa x kuadrat ada di semua persamaan.

Ngomong-ngomong kenapa sebuah tidak bisa nol? Dan kamu menggantikannya sebuah nol.) X di kotak akan hilang! Persamaan akan menjadi linier. Dan itu dilakukan secara berbeda ...

Itu semua jenis utama persamaan kuadrat. Lengkap dan tidak lengkap.

Solusi persamaan kuadrat.

Solusi persamaan kuadrat lengkap.

Persamaan kuadrat mudah diselesaikan. Menurut rumus dan aturan sederhana yang jelas. Pada tahap pertama, perlu untuk membawa persamaan yang diberikan ke bentuk standar, yaitu. ke tampilan:

Jika persamaan sudah diberikan kepada Anda dalam bentuk ini, Anda tidak perlu melakukan tahap pertama.) Hal utama adalah menentukan semua koefisien dengan benar, sebuah, b dan c.

Rumus untuk menemukan akar persamaan kuadrat terlihat seperti ini:

Ekspresi di bawah tanda akar disebut pembeda. Tetapi lebih banyak tentang dia di bawah ini. Seperti yang Anda lihat, untuk menemukan x, kami menggunakan hanya a, b dan c. Itu. koefisien dari persamaan kuadrat. Ganti nilainya dengan hati-hati a, b dan c ke dalam rumus ini dan menghitung. Pengganti dengan tanda-tanda Anda! Misalnya, dalam persamaan:

sebuah =1; b = 3; c= -4. Di sini kami menulis:

Contoh hampir terpecahkan:

Ini adalah jawabannya.

Semuanya sangat sederhana. Dan bagaimana menurut Anda, Anda tidak bisa salah? Nah, ya, bagaimana ...

Kesalahan yang paling umum adalah kebingungan dengan tanda-tanda nilai a, b dan c. Atau lebih tepatnya, tidak dengan tanda-tandanya (di mana harus bingung?), Tetapi dengan substitusi nilai negatif ke dalam rumus untuk menghitung akar. Di sini, catatan detail rumus dengan nomor tertentu disimpan. Jika ada masalah dengan perhitungan, jadi lakukanlah!

Misalkan kita perlu memecahkan contoh berikut:

Di Sini sebuah = -6; b = -5; c = -1

Katakanlah Anda tahu bahwa Anda jarang mendapatkan jawaban pertama kali.

Nah, jangan malas. Ini akan memakan waktu 30 detik untuk menulis baris tambahan. Dan jumlah kesalahan akan turun tajam. Jadi kami menulis secara rinci, dengan semua tanda kurung dan tanda:

Tampaknya sangat sulit untuk melukis dengan sangat hati-hati. Tapi sepertinya. Cobalah. Nah, atau memilih. Mana yang lebih baik, cepat, atau benar? Selain itu, aku akan membuatmu bahagia. Setelah beberapa saat, tidak perlu mengecat semuanya dengan sangat hati-hati. Itu hanya akan menjadi benar. Terutama jika Anda menerapkan teknik praktis, yang dijelaskan di bawah ini. Contoh jahat dengan banyak minus ini akan diselesaikan dengan mudah dan tanpa kesalahan!

Tapi, seringkali, persamaan kuadrat terlihat sedikit berbeda. Misalnya, seperti ini:

Tahukah kamu?) Ya! Ini persamaan kuadrat tidak lengkap.

Penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap.

Mereka juga dapat diselesaikan dengan rumus umum. Anda hanya perlu mencari tahu dengan benar apa yang setara di sini a, b dan c.

Menyadari? Pada contoh pertama a = 1; b = -4; sebuah c? Itu tidak ada sama sekali! Yah, ya, itu benar. Dalam matematika, ini berarti bahwa c = 0 ! Itu saja. Substitusikan nol ke dalam rumus alih-alih c, dan semuanya akan berhasil bagi kita. Begitu pula dengan contoh kedua. Hanya nol yang tidak kita miliki di sini dengan, sebuah b !

Tetapi persamaan kuadrat yang tidak lengkap dapat diselesaikan dengan lebih mudah. Tanpa formula apapun. Pertimbangkan persamaan pertama yang tidak lengkap. Apa yang bisa dilakukan di sisi kiri? Anda dapat mengeluarkan X dari tanda kurung! Mari kita keluarkan.

Dan apa dari ini? Dan fakta bahwa produk sama dengan nol jika, dan hanya jika salah satu faktornya sama dengan nol! Tidak percaya? Nah, kemudian temukan dua angka bukan nol yang, ketika dikalikan, akan menghasilkan nol!
Tidak bekerja? Sesuatu...
Oleh karena itu, kita dapat dengan yakin menulis: x 1 = 0, x 2 = 4.

Semuanya. Ini akan menjadi akar persamaan kita. Keduanya cocok. Saat memasukkan salah satu dari mereka ke dalam persamaan asli, kami mendapatkan identitas yang benar 0 = 0. Seperti yang Anda lihat, solusinya jauh lebih sederhana daripada rumus umum. Omong-omong, saya perhatikan, X mana yang akan menjadi yang pertama, dan mana yang kedua - itu benar-benar acuh tak acuh. Mudah untuk menulis secara berurutan x 1- mana yang lebih kecil x 2- yang lebih.

Persamaan kedua juga dapat dengan mudah diselesaikan. Kami pindah 9 ke sisi kanan. Kita mendapatkan:

Tetap mengekstrak root dari 9, dan hanya itu. Mendapatkan:

juga dua akar . x 1 = -3, x 2 = 3.

Ini adalah bagaimana semua persamaan kuadrat yang tidak lengkap diselesaikan. Baik dengan mengeluarkan X dari kurung, atau hanya dengan memindahkan nomor ke kanan, diikuti dengan mengekstrak akarnya.
Sangat sulit untuk membingungkan metode ini. Hanya karena dalam kasus pertama Anda harus mengekstrak root dari X, yang entah bagaimana tidak dapat dipahami, dan dalam kasus kedua tidak ada yang bisa dihilangkan dari tanda kurung ...

diskriminatif. Formula diskriminan.

Kata ajaib pembeda ! Seorang siswa sekolah menengah yang langka belum pernah mendengar kata ini! Ungkapan "putuskan melalui diskriminan" adalah meyakinkan dan meyakinkan. Karena tidak perlu menunggu trik dari pembeda! Ini sederhana dan bebas masalah untuk digunakan.) Saya mengingatkan Anda tentang rumus paling umum untuk menyelesaikannya setiap persamaan kuadrat:

Ekspresi di bawah tanda akar disebut diskriminan. Diskriminan biasanya dilambangkan dengan huruf D. Rumus diskriminan:

D = b 2 - 4ac

Dan apa yang istimewa dari ungkapan ini? Mengapa itu layak mendapat nama khusus? Apa pengertian diskriminan? Lagipula -b, atau 2a dalam rumus ini mereka tidak secara khusus menyebutkan ... Huruf dan huruf.

Intinya adalah ini. Saat memecahkan persamaan kuadrat menggunakan rumus ini, dimungkinkan hanya tiga kasus.

1. Diskriminannya positif. Ini berarti Anda dapat mengekstrak root darinya. Apakah root diekstraksi dengan baik atau buruk adalah pertanyaan lain. Penting apa yang diekstraksi pada prinsipnya. Maka persamaan kuadrat Anda memiliki dua akar. Dua solusi yang berbeda.

2. Diskriminan adalah nol. Maka Anda punya satu solusi. Karena penambahan atau pengurangan nol pada pembilang tidak mengubah apa pun. Sebenarnya, ini bukan akar tunggal, tapi dua identik. Tapi, dalam versi yang disederhanakan, sudah biasa dibicarakan satu solusi.

3. Diskriminannya negatif. Bilangan negatif tidak mengambil akar kuadrat. Yah, oke. Ini berarti tidak ada solusi.

Sejujurnya, dengan solusi sederhana persamaan kuadrat, konsep diskriminan tidak terlalu diperlukan. Kami mengganti nilai koefisien dalam rumus, dan kami mempertimbangkan. Di sana semuanya ternyata dengan sendirinya, dan dua akar, dan satu, dan tidak satu pun. Namun, ketika menyelesaikan tugas yang lebih kompleks, tanpa pengetahuan arti dan rumus diskriminan tidak cukup. Terutama - dalam persamaan dengan parameter. Persamaan tersebut adalah aerobatik untuk GIA dan Unified State Examination!)

Jadi, cara menyelesaikan persamaan kuadrat melalui diskriminan yang Anda ingat. Atau dipelajari, yang juga tidak buruk.) Anda tahu cara mengidentifikasi dengan benar a, b dan c. Apa kamu tau bagaimana caranya dengan penuh perhatian substitusikan ke dalam rumus akar dan dengan penuh perhatian menghitung hasilnya. Apakah Anda mengerti bahwa kata kuncinya di sini adalah - dengan penuh perhatian?

Sekarang perhatikan teknik praktis yang secara dramatis mengurangi jumlah kesalahan. Yang justru karena kurangnya perhatian ... Yang kemudian menyakitkan dan menghina ...

Resepsi pertama . Jangan malas sebelum menyelesaikan persamaan kuadrat untuk membawanya ke bentuk standar. Apa artinya ini?
Misalkan, setelah transformasi apa pun, Anda mendapatkan persamaan berikut:

Jangan buru-buru menulis rumus akarnya! Anda hampir pasti akan mencampuradukkan peluang a, b dan c. Bangun contoh dengan benar. Pertama, x kuadrat, lalu tanpa kuadrat, lalu anggota bebas. Seperti ini:

Dan sekali lagi, jangan terburu-buru! Minus sebelum x kuadrat dapat membuat Anda sangat kesal. Melupakan itu mudah... Singkirkan minusnya. Bagaimana? Ya, seperti yang diajarkan pada topik sebelumnya! Kita perlu mengalikan seluruh persamaan dengan -1. Kita mendapatkan:

Dan sekarang Anda dapat dengan aman menuliskan rumus untuk akar, menghitung diskriminan dan menyelesaikan contoh. Putuskan sendiri. Anda harus berakhir dengan akar 2 dan -1.

Penerimaan kedua. Periksa akar Anda! Menurut teorema Vieta. Jangan khawatir, saya akan menjelaskan semuanya! memeriksa hal terakhir persamaan. Itu. yang dengannya kami menuliskan rumus akarnya. Jika (seperti dalam contoh ini) koefisien a = 1, periksa akarnya dengan mudah. Itu sudah cukup untuk memperbanyak mereka. Anda harus mendapatkan istilah gratis, mis. dalam kasus kami -2. Perhatikan, bukan 2, tapi -2! anggota gratis dengan tanda Anda . Jika tidak berhasil, itu berarti mereka sudah kacau di suatu tempat. Cari kesalahan.

Jika berhasil, Anda perlu melipat akarnya. Pemeriksaan terakhir dan terakhir. Seharusnya rasio b dengan di depan tanda. Dalam kasus kami -1+2 = +1. Sebuah koefisien b, yang sebelum x, sama dengan -1. Jadi, semuanya benar!
Sangat disayangkan bahwa ini sangat sederhana hanya untuk contoh di mana x kuadrat murni, dengan koefisien a = 1. Tapi setidaknya periksa persamaan seperti itu! Akan ada lebih sedikit kesalahan.

Penerimaan ketiga . Jika persamaan Anda memiliki koefisien pecahan, singkirkan pecahan! Kalikan persamaan dengan penyebut yang sama seperti yang dijelaskan dalam pelajaran "Bagaimana menyelesaikan persamaan? Transformasi identitas". Saat bekerja dengan pecahan, kesalahan, karena alasan tertentu, naik ...

Omong-omong, saya menjanjikan contoh jahat dengan banyak minus untuk disederhanakan. Sama sama! Itu dia.

Agar tidak bingung dengan minusnya, kita kalikan persamaannya dengan -1. Kita mendapatkan:

Itu saja! Memutuskan itu menyenangkan!

Jadi mari kita rekap topik.

Tip Praktis:

1. Sebelum menyelesaikan, kita bawa persamaan kuadrat ke bentuk standar, bangunlah Baik.

2. Jika ada koefisien negatif di depan x dalam bujur sangkar, kita hilangkan dengan mengalikan seluruh persamaan dengan -1.

3. Jika koefisiennya pecahan, kita hilangkan pecahan dengan mengalikan seluruh persamaan dengan faktor yang sesuai.

4. Jika x kuadrat murni, koefisiennya sama dengan satu, solusinya dapat dengan mudah diperiksa dengan teorema Vieta. Lakukan!

Sekarang Anda dapat memutuskan.)

Selesaikan Persamaan:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Jawaban (berantakan):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - angka berapa pun

x 1 = -3
x 2 = 3

tidak ada solusi

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Apakah semuanya cocok? Bagus! Persamaan kuadrat tidak membuat Anda pusing. Tiga yang pertama ternyata, tetapi sisanya tidak? Maka masalahnya bukan pada persamaan kuadrat. Masalahnya adalah dalam transformasi persamaan yang identik. Lihat linknya, semoga bermanfaat.

Tidak cukup berhasil? Atau tidak berfungsi sama sekali? Kemudian Bagian 555 akan membantu Anda Di sana, semua contoh ini diurutkan berdasarkan tulang. Menampilkan utama kesalahan dalam penyelesaian. Tentu saja, penerapan transformasi identik dalam menyelesaikan berbagai persamaan juga dijelaskan. Membantu banyak!

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.


Kami terus mempelajari topik solusi persamaan". Kita sudah berkenalan dengan persamaan linear dan sekarang kita akan berkenalan dengan persamaan kuadrat.

Pertama, kita akan membahas apa itu persamaan kuadrat, bagaimana persamaan itu ditulis dalam bentuk umum, dan memberikan definisi terkait. Setelah itu, dengan menggunakan contoh, kami akan menganalisis secara rinci bagaimana persamaan kuadrat yang tidak lengkap diselesaikan. Selanjutnya, mari kita beralih ke penyelesaian persamaan lengkap, mendapatkan rumus untuk akar-akarnya, berkenalan dengan diskriminan persamaan kuadrat, dan mempertimbangkan solusi untuk contoh-contoh tipikal. Akhirnya, kami menelusuri hubungan antara akar dan koefisien.

Navigasi halaman.

Apa itu persamaan kuadrat? Tipe mereka

Pertama, Anda perlu memahami dengan jelas apa persamaan kuadrat itu. Oleh karena itu, masuk akal untuk mulai membicarakan persamaan kuadrat dengan definisi persamaan kuadrat, serta definisi yang terkait dengannya. Setelah itu, Anda dapat mempertimbangkan jenis utama persamaan kuadrat: dikurangi dan tidak dikurangi, serta persamaan lengkap dan tidak lengkap.

Pengertian dan contoh persamaan kuadrat

Definisi.

Persamaan kuadrat adalah persamaan bentuk a x 2 + b x + c = 0, di mana x adalah variabel, a , b dan c adalah beberapa angka, dan a berbeda dari nol.

Katakanlah segera bahwa persamaan kuadrat sering disebut persamaan derajat kedua. Karena persamaan kuadrat adalah persamaan aljabar tingkat dua.

Definisi yang terdengar memungkinkan kita untuk memberikan contoh persamaan kuadrat. Jadi 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, dst. adalah persamaan kuadrat.

Definisi.

angka a, b dan c disebut koefisien persamaan kuadrat a x 2 + b x + c \u003d 0, dan koefisien a disebut koefisien pertama, atau senior, atau pada x 2, b adalah koefisien kedua, atau koefisien pada x, dan c adalah anggota bebas.

Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadrat dalam bentuk 5 x 2 2 x−3=0, di sini koefisien utamanya adalah 5, koefisien kedua adalah 2, dan suku bebasnya adalah 3. Perhatikan bahwa ketika koefisien b dan/atau c negatif, seperti dalam contoh yang baru saja diberikan, bentuk singkat dari persamaan kuadrat dari bentuk 5 x 2 2 x−3=0 digunakan, bukan 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Perlu dicatat bahwa ketika koefisien a dan / atau b sama dengan 1 atau 1, maka mereka biasanya tidak secara eksplisit hadir dalam notasi persamaan kuadrat, yang disebabkan oleh kekhasan notasi tersebut . Misalnya, dalam persamaan kuadrat y 2 y+3=0, koefisien utama adalah satu, dan koefisien di y adalah 1.

Persamaan kuadrat tereduksi dan tak tereduksi

Bergantung pada nilai koefisien utama, persamaan kuadrat tereduksi dan non-reduksi dibedakan. Mari kita berikan definisi yang sesuai.

Definisi.

Persamaan kuadrat di mana koefisien utama adalah 1 disebut persamaan kuadrat tereduksi. Jika tidak, persamaan kuadratnya adalah tidak dikurangi.

Menurut definisi ini, persamaan kuadrat x 2 3 x+1=0 , x 2 x−2/3=0, dst. - dikurangi, di masing-masing dari mereka koefisien pertama sama dengan satu. Dan 5 x 2 x−1=0 , dst. - persamaan kuadrat yang tidak direduksi, koefisien utamanya berbeda dari 1 .

Dari persamaan kuadrat yang tidak tereduksi, dengan membagi kedua bagiannya dengan koefisien utama, Anda dapat beralih ke yang tereduksi. Tindakan ini merupakan transformasi ekuivalen, yaitu persamaan kuadrat tereduksi yang diperoleh dengan cara ini memiliki akar yang sama dengan persamaan kuadrat non-reduksi asli, atau, seperti itu, tidak memiliki akar.

Mari kita ambil contoh bagaimana transisi dari persamaan kuadrat tak tereduksi ke persamaan tereduksi dilakukan.

Contoh.

Dari persamaan 3 x 2 +12 x−7=0, lanjutkan ke persamaan kuadrat tereduksi yang sesuai.

Keputusan.

Cukup bagi kita untuk melakukan pembagian kedua bagian persamaan asli dengan koefisien terkemuka 3, itu bukan nol, sehingga kita dapat melakukan tindakan ini. Kami memiliki (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , yang sama dengan (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , dan seterusnya (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , dari mana . Jadi kami mendapatkan persamaan kuadrat tereduksi, yang setara dengan yang asli.

Menjawab:

Persamaan kuadrat lengkap dan tidak lengkap

Ada kondisi a≠0 dalam definisi persamaan kuadrat. Kondisi ini diperlukan agar persamaan a x 2 +b x+c=0 benar-benar kuadrat, karena dengan a=0 sebenarnya menjadi persamaan linier berbentuk b x+c=0 .

Adapun koefisien b dan c, mereka bisa sama dengan nol, baik secara terpisah maupun bersama-sama. Dalam kasus ini, persamaan kuadrat disebut tidak lengkap.

Definisi.

Persamaan kuadrat a x 2 +b x+c=0 disebut tidak lengkap, jika setidaknya salah satu dari koefisien b , c sama dengan nol.

Pada gilirannya

Definisi.

Persamaan kuadrat lengkap adalah persamaan di mana semua koefisien berbeda dari nol.

Nama-nama ini tidak diberikan secara kebetulan. Ini akan menjadi jelas dari diskusi berikut.

Jika koefisien b sama dengan nol, maka persamaan kuadrat berbentuk a x 2 +0 x+c=0 , dan setara dengan persamaan a x 2 +c=0 . Jika c=0 , yaitu, persamaan kuadrat berbentuk a x 2 +b x+0=0 , maka dapat ditulis ulang menjadi a x 2 +b x=0 . Dan dengan b=0 dan c=0 kita mendapatkan persamaan kuadrat a·x 2 =0. Persamaan yang dihasilkan berbeda dari persamaan kuadrat penuh karena ruas kirinya tidak mengandung suku dengan variabel x, atau suku bebas, atau keduanya. Karenanya namanya - persamaan kuadrat tidak lengkap.

Jadi persamaan x 2 +x+1=0 dan 2 x 2 5 x+0,2=0 adalah contoh persamaan kuadrat lengkap, dan x 2 =0, 2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , x 2 5 x=0 adalah persamaan kuadrat yang tidak lengkap.

Memecahkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap

Ini mengikuti dari informasi paragraf sebelumnya bahwa ada tiga jenis persamaan kuadrat tidak lengkap:

  • a x 2 =0 , koefisien b=0 dan c=0 sesuai dengan itu;
  • a x 2 +c=0 saat b=0 ;
  • dan a x 2 +b x=0 saat c=0 .

Mari kita menganalisis secara berurutan bagaimana persamaan kuadrat yang tidak lengkap dari masing-masing jenis ini diselesaikan.

a x 2 \u003d 0

Mari kita mulai dengan menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap di mana koefisien b dan c sama dengan nol, yaitu dengan persamaan berbentuk a x 2 =0. Persamaan a·x 2 =0 ekuivalen dengan persamaan x 2 =0, yang diperoleh dari asal dengan membagi kedua bagiannya dengan bilangan bukan nol a. Jelas, akar persamaan x 2 \u003d 0 adalah nol, karena 0 2 \u003d 0. Persamaan ini tidak memiliki akar-akar lain, yang dijelaskan, memang, untuk setiap bilangan tak nol p, ketidaksamaan p 2 >0 terjadi, yang menyiratkan bahwa untuk p≠0, persamaan p 2 =0 tidak pernah tercapai.

Jadi, persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 \u003d 0 memiliki akar tunggal x \u003d 0.

Sebagai contoh, kami memberikan solusi dari persamaan kuadrat tidak lengkap 4·x 2 =0. Ini setara dengan persamaan x 2 \u003d 0, satu-satunya akarnya adalah x \u003d 0, oleh karena itu, persamaan asli memiliki satu akar nol.

Solusi singkat dalam hal ini dapat dikeluarkan sebagai berikut:
4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 + c = 0

Sekarang perhatikan bagaimana persamaan kuadrat yang tidak lengkap diselesaikan, di mana koefisien b sama dengan nol, dan c≠0, yaitu, persamaan berbentuk a x 2 +c=0. Kita tahu bahwa pemindahan suku dari satu sisi persamaan ke sisi lain yang berlawanan tanda, serta pembagian kedua sisi persamaan dengan bilangan bukan nol, menghasilkan persamaan yang setara. Oleh karena itu, transformasi ekivalen berikut dari persamaan kuadrat tak lengkap a x 2 +c=0 dapat dilakukan:

  • pindahkan c ke ruas kanan, yang memberikan persamaan a x 2 = c,
  • dan membagi kedua bagiannya dengan a , kita dapatkan .

Persamaan yang dihasilkan memungkinkan kita untuk menarik kesimpulan tentang akarnya. Bergantung pada nilai a dan c, nilai ekspresi bisa negatif (misalnya, jika a=1 dan c=2 , maka ) atau positif, (misalnya, jika a=−2 dan c=6 , maka ), tidak sama dengan nol , karena dengan syarat c≠0 . Kami akan menganalisis kasus dan .

Jika , maka persamaan tidak memiliki akar. Pernyataan ini mengikuti fakta bahwa kuadrat dari bilangan apa pun adalah bilangan non-negatif. Dari sini dapat disimpulkan bahwa ketika , maka untuk sembarang bilangan p persamaan tidak mungkin benar.

Jika , maka situasi dengan akar persamaan berbeda. Dalam hal ini, jika kita mengingat tentang, maka akar persamaan segera menjadi jelas, itu adalah bilangan, sejak. Mudah ditebak bahwa bilangan tersebut juga merupakan akar dari persamaan , memang, . Persamaan ini tidak memiliki akar lain, yang dapat ditunjukkan, misalnya, dengan kontradiksi. Ayo lakukan.

Mari kita nyatakan akar persamaan yang hanya disuarakan sebagai x 1 dan x 1 . Misalkan persamaan memiliki akar lain x 2 yang berbeda dari akar yang ditunjukkan x 1 dan x 1 . Diketahui bahwa substitusi ke dalam persamaan alih-alih x dari akar-akarnya mengubah persamaan menjadi persamaan numerik sejati. Untuk x 1 dan x 1 kita miliki , dan untuk x 2 kita miliki . Sifat-sifat persamaan numerik memungkinkan kita untuk melakukan pengurangan suku demi suku dari persamaan numerik yang sebenarnya, jadi mengurangkan bagian persamaan yang sesuai menghasilkan x 1 2 x 2 2 =0. Sifat-sifat operasi dengan angka memungkinkan kita untuk menulis ulang persamaan yang dihasilkan sebagai (x 1 x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Kita tahu bahwa hasil kali dua bilangan sama dengan nol jika dan hanya jika paling sedikit salah satunya sama dengan nol. Oleh karena itu, dari persamaan yang diperoleh diperoleh bahwa x 1 x 2 =0 dan/atau x 1 +x 2 =0 , yang sama, x 2 =x 1 dan/atau x 2 = x 1 . Jadi kita sampai pada kontradiksi, karena pada awalnya kita mengatakan bahwa akar persamaan x 2 berbeda dengan x 1 dan x 1 . Ini membuktikan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar selain dan .

Mari kita rangkum informasi dalam paragraf ini. Persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 +c=0 setara dengan persamaan , yang

  • tidak memiliki akar jika ,
  • memiliki dua akar dan jika .

Perhatikan contoh penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap dalam bentuk a·x 2 +c=0 .

Mari kita mulai dengan persamaan kuadrat 9 x 2 +7=0 . Setelah memindahkan suku bebas ke ruas kanan persamaan, akan berbentuk 9·x 2 =−7. Membagi kedua sisi persamaan yang dihasilkan dengan 9 , kita sampai di . Karena bilangan negatif diperoleh di ruas kanan, persamaan ini tidak memiliki akar, oleh karena itu, persamaan kuadrat tidak lengkap asli 9 x 2 +7=0 tidak memiliki akar.

Mari selesaikan satu lagi persamaan kuadrat tidak lengkap x 2 +9=0. Kami mentransfer sembilan ke sisi kanan: -x 2 \u003d -9. Sekarang kita bagi kedua bagian dengan 1, kita mendapatkan x 2 =9. Sisi kanan berisi angka positif, dari mana kita menyimpulkan bahwa atau . Setelah kita menuliskan jawaban akhir: persamaan kuadrat tidak lengkap x 2 +9=0 memiliki dua akar x=3 atau x=−3.

a x 2 + b x = 0

Masih berurusan dengan solusi dari jenis terakhir persamaan kuadrat tidak lengkap untuk c=0 . Persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk a x 2 +b x=0 memungkinkan Anda untuk memecahkan metode faktorisasi. Jelas, kita dapat, terletak di sisi kiri persamaan, yang cukup untuk mengambil faktor persekutuan x dari tanda kurung. Hal ini memungkinkan kita untuk berpindah dari persamaan kuadrat tidak lengkap asli ke persamaan ekuivalen dengan bentuk x·(a·x+b)=0 . Dan persamaan ini setara dengan himpunan dua persamaan x=0 dan a x+b=0 , yang terakhir adalah linier dan memiliki akar x=−b/a .

Jadi, persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 +b x=0 memiliki dua akar x=0 dan x=−b/a.

Untuk mengkonsolidasikan materi, kami akan menganalisis solusi dari contoh spesifik.

Contoh.

Memecahkan persamaan.

Keputusan.

Kami mengambil x dari tanda kurung, ini memberikan persamaan. Ini setara dengan dua persamaan x=0 dan . Kami memecahkan persamaan linier yang dihasilkan: , dan setelah membagi bilangan campuran dengan pecahan biasa, kami menemukan . Oleh karena itu, akar-akar persamaan awal adalah x=0 dan .

Setelah mendapatkan latihan yang diperlukan, solusi persamaan tersebut dapat ditulis secara singkat:

Menjawab:

x=0 , .

Diskriminan, rumus akar-akar persamaan kuadrat

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, ada rumus akar. Ayo tulis rumus akar persamaan kuadrat: , di mana D=b 2 4 a c- disebut diskriminan persamaan kuadrat. Notasi tersebut pada dasarnya berarti .

Sangat berguna untuk mengetahui bagaimana rumus akar diperoleh, dan bagaimana penerapannya dalam mencari akar persamaan kuadrat. Mari kita tangani ini.

Turunan dari rumus akar-akar persamaan kuadrat

Mari kita selesaikan persamaan kuadrat a·x 2 +b·x+c=0 . Mari kita lakukan beberapa transformasi yang setara:

  • Kita dapat membagi kedua bagian persamaan ini dengan angka bukan nol a, sebagai hasilnya kita mendapatkan persamaan kuadrat tereduksi.
  • Sekarang pilih kotak penuh di sebelah kirinya: . Setelah itu, persamaan akan berbentuk .
  • Pada tahap ini, dimungkinkan untuk melakukan pemindahan dua suku terakhir ke ruas kanan dengan tanda yang berlawanan, kita miliki .
  • Dan mari kita juga mengubah ekspresi di sisi kanan: .

Hasilnya, kita sampai pada persamaan , yang ekuivalen dengan persamaan kuadrat asli a·x 2 +b·x+c=0 .

Kami telah memecahkan persamaan serupa dalam bentuk di paragraf sebelumnya ketika kami menganalisis. Hal ini memungkinkan kita untuk menarik kesimpulan berikut mengenai akar persamaan:

  • jika , maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi nyata;
  • jika , maka persamaan memiliki bentuk , Oleh karena itu, , dari mana akar satu-satunya terlihat;
  • jika , maka atau , yang sama dengan atau , yaitu, persamaan memiliki dua akar.

Jadi, ada atau tidaknya akar-akar persamaan, dan karenanya persamaan kuadrat asli, bergantung pada tanda ekspresi di ruas kanan. Pada gilirannya, tanda dari ekspresi ini ditentukan oleh tanda pembilangnya, karena penyebutnya 4 a 2 selalu positif, yaitu, tanda dari ekspresi b 2 4 a c . Ungkapan ini b 2 4 a c disebut diskriminan persamaan kuadrat dan ditandai dengan huruf D. Dari sini, esensi diskriminan jelas - dengan nilai dan tandanya, disimpulkan apakah persamaan kuadrat memiliki akar nyata, dan jika demikian, berapa nomornya - satu atau dua.

Kami kembali ke persamaan , menulis ulang menggunakan notasi diskriminan: . Dan kami menyimpulkan:

  • jika D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
  • jika D=0, maka persamaan ini memiliki akar tunggal;
  • akhirnya, jika D>0, maka persamaan memiliki dua akar atau , yang dapat ditulis ulang dalam bentuk atau , dan setelah memperluas dan mengurangi pecahan ke penyebut yang sama, kita mendapatkan .

Jadi kami menurunkan rumus untuk akar persamaan kuadrat, mereka terlihat seperti , di mana diskriminan D dihitung dengan rumus D=b 2 4 a c .

Dengan bantuan mereka, dengan diskriminan positif, Anda dapat menghitung kedua akar real dari persamaan kuadrat. Ketika diskriminan sama dengan nol, kedua rumus memberikan nilai akar yang sama yang sesuai dengan satu-satunya solusi persamaan kuadrat. Dan dengan diskriminan negatif, ketika mencoba menggunakan rumus untuk akar persamaan kuadrat, kita dihadapkan dengan mengekstrak akar kuadrat dari bilangan negatif, yang membawa kita keluar dari cakupan kurikulum sekolah. Dengan diskriminan negatif, persamaan kuadrat tidak memiliki akar real, tetapi memiliki pasangan konjugasi kompleks akar, yang dapat ditemukan menggunakan rumus akar yang sama yang kita peroleh.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus akar

Dalam praktiknya, saat memecahkan persamaan kuadrat, Anda dapat langsung menggunakan rumus akar, yang dapat digunakan untuk menghitung nilainya. Tapi ini lebih tentang menemukan akar yang kompleks.

Namun, dalam kursus aljabar sekolah, kita biasanya tidak berbicara tentang kompleks, tetapi tentang akar nyata dari persamaan kuadrat. Dalam hal ini, disarankan untuk mencari diskriminan terlebih dahulu sebelum menggunakan rumus untuk akar-akar persamaan kuadrat, pastikan tidak negatif (jika tidak, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan tidak memiliki akar real), dan setelah itu menghitung nilai akar.

Alasan di atas memungkinkan kita untuk menulis algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat a x 2 + b x + c \u003d 0, Anda perlu:

  • menggunakan rumus diskriminan D=b 2 4 a c hitung nilainya;
  • menyimpulkan bahwa persamaan kuadrat tidak memiliki akar real jika diskriminan negatif;
  • hitung satu-satunya akar persamaan menggunakan rumus jika D=0 ;
  • temukan dua akar real dari persamaan kuadrat menggunakan rumus akar jika diskriminannya positif.

Di sini kami hanya mencatat bahwa jika diskriminan sama dengan nol, rumus juga dapat digunakan, itu akan memberikan nilai yang sama dengan .

Anda dapat melanjutkan ke contoh penerapan algoritme untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Contoh penyelesaian persamaan kuadrat

Pertimbangkan solusi dari tiga persamaan kuadrat dengan diskriminan positif, negatif, dan nol. Setelah berurusan dengan solusi mereka, dengan analogi dimungkinkan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lainnya. Ayo mulai.

Contoh.

Temukan akar-akar persamaan x 2 +2 x−6=0 .

Keputusan.

Dalam hal ini, kita memiliki koefisien persamaan kuadrat berikut: a=1 , b=2 dan c=−6 . Menurut algoritme, Anda harus terlebih dahulu menghitung diskriminan, untuk ini kami mengganti a, b dan c yang ditunjukkan ke dalam rumus diskriminan, kami memiliki D=b 2 4 a c=2 2 4 1 (−6)=4+24=28. Karena 28>0, yaitu diskriminan lebih besar dari nol, persamaan kuadrat memiliki dua akar real. Mari kita temukan dengan rumus akar , kita dapatkan , di sini kita dapat menyederhanakan ekspresi yang diperoleh dengan melakukan memfaktorkan tanda akarnya diikuti dengan pengurangan pecahan:

Menjawab:

Mari kita beralih ke contoh tipikal berikutnya.

Contoh.

Selesaikan persamaan kuadrat 4 x 2 +28 x−49=0 .

Keputusan.

Kita mulai dengan mencari diskriminan: D=28 2 4 (−4) (−49)=784−784=0. Oleh karena itu, persamaan kuadrat ini memiliki akar tunggal, yang kita temukan sebagai , yaitu,

Menjawab:

x=3.5 .

Tetap mempertimbangkan solusi persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif.

Contoh.

Selesaikan persamaan 5 y 2 +6 y+2=0 .

Keputusan.

Berikut adalah koefisien persamaan kuadrat: a=5 , b=6 dan c=2 . Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus diskriminan, kita dapatkan D=b 2 4 a c=6 2 4 5 2=36−40=−4. Diskriminan adalah negatif, oleh karena itu, persamaan kuadrat ini tidak memiliki akar real.

Jika Anda perlu menentukan akar kompleks, maka kami menggunakan rumus terkenal untuk akar persamaan kuadrat, dan lakukan operasi bilangan kompleks:

Menjawab:

tidak ada akar real, akar kompleksnya adalah: .

Sekali lagi, kita perhatikan bahwa jika diskriminan persamaan kuadrat adalah negatif, maka sekolah biasanya segera menuliskan jawabannya, di mana mereka menunjukkan bahwa tidak ada akar real, dan mereka tidak menemukan akar kompleks.

Rumus akar untuk koefisien kedua genap

Rumus untuk akar persamaan kuadrat , di mana D=b 2 4 a c memungkinkan Anda mendapatkan rumus yang lebih ringkas yang memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan kuadrat dengan koefisien genap di x (atau hanya dengan koefisien yang terlihat seperti 2 n , misalnya, atau 14 ln5=2 7 ln5 ). Mari kita bawa dia keluar.

Katakanlah kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat berbentuk a x 2 +2 n x + c=0 . Mari kita cari akarnya menggunakan rumus yang kita kenal. Untuk melakukan ini, kami menghitung diskriminan D=(2 n) 2 4 a c=4 n 2 4 a c=4 (n 2 a c), dan kemudian kami menggunakan rumus akar:

Nyatakan ekspresi n 2 a c sebagai D 1 (kadang-kadang dilambangkan D "). Kemudian rumus untuk akar persamaan kuadrat yang dipertimbangkan dengan koefisien kedua 2 n berbentuk , dimana D 1 =n 2 a c .

Sangat mudah untuk melihat bahwa D=4·D 1 , atau D 1 =D/4 . Dengan kata lain, D 1 adalah bagian keempat dari diskriminan. Jelas bahwa tanda D 1 sama dengan tanda D . Artinya, tanda D 1 juga merupakan indikator ada tidaknya akar-akar persamaan kuadrat.

Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan koefisien kedua 2 n, Anda perlu

  • Hitung D 1 =n 2 a·c ;
  • Jika D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
  • Jika D 1 =0, maka hitung satu-satunya akar persamaan dengan menggunakan rumus;
  • Jika D 1 >0, maka cari dua akar real menggunakan rumus.

Pertimbangkan solusi dari contoh menggunakan rumus akar yang diperoleh dalam paragraf ini.

Contoh.

Selesaikan persamaan kuadrat 5 x 2 6 x−32=0 .

Keputusan.

Koefisien kedua dari persamaan ini dapat direpresentasikan sebagai 2·(−3) . Artinya, Anda dapat menulis ulang persamaan kuadrat asli dalam bentuk 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , di sini a=5 , n=−3 dan c=−32 , dan hitung bagian keempat dari pembeda: D 1 =n 2 a c=(−3) 2 5 (−32)=9+160=169. Karena nilainya positif, persamaan memiliki dua akar real. Kami menemukannya menggunakan rumus akar yang sesuai:

Perhatikan bahwa mungkin untuk menggunakan rumus biasa untuk akar persamaan kuadrat, tetapi dalam kasus ini, lebih banyak pekerjaan komputasi harus dilakukan.

Menjawab:

Penyederhanaan bentuk persamaan kuadrat

Terkadang, sebelum memulai perhitungan akar persamaan kuadrat menggunakan rumus, tidak ada salahnya untuk mengajukan pertanyaan: "Apakah mungkin untuk menyederhanakan bentuk persamaan ini"? Setuju bahwa dalam hal perhitungan akan lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat 11 x 2 4 x 6=0 daripada 1100 x 2 400 x−600=0 .

Biasanya, penyederhanaan bentuk persamaan kuadrat dicapai dengan mengalikan atau membagi kedua ruasnya dengan suatu bilangan. Misalnya, pada paragraf sebelumnya, kita berhasil mencapai penyederhanaan persamaan 1100 x 2 400 x 600=0 dengan membagi kedua ruas dengan 100 .

Transformasi serupa dilakukan dengan persamaan kuadrat, yang koefisiennya tidak . Dalam hal ini, kedua bagian persamaan biasanya dibagi dengan nilai absolut dari koefisiennya. Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadrat 12 x 2 42 x+48=0. nilai mutlak koefisiennya: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Membagi kedua bagian persamaan kuadrat asli dengan 6 , kita sampai pada persamaan kuadrat yang setara 2 x 2 7 x+8=0 .

Dan perkalian kedua bagian persamaan kuadrat biasanya dilakukan untuk menghilangkan koefisien pecahan. Dalam hal ini, perkalian dilakukan pada penyebut koefisiennya. Misalnya, jika kedua bagian persamaan kuadrat dikalikan dengan KPK(6, 3, 1)=6 , maka akan menjadi bentuk yang lebih sederhana x 2 +4 x−18=0 .

Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, kami mencatat bahwa hampir selalu menyingkirkan minus pada koefisien tertinggi dari persamaan kuadrat dengan mengubah tanda semua suku, yang sesuai dengan mengalikan (atau membagi) kedua bagian dengan 1. Misalnya, biasanya dari persamaan kuadrat 2·x 2 3·x+7=0 pergi ke solusi 2·x 2 +3·x−7=0 .

Hubungan antara akar dan koefisien persamaan kuadrat

Rumus untuk akar-akar persamaan kuadrat menyatakan akar-akar persamaan dalam bentuk koefisiennya. Berdasarkan rumus akar, Anda bisa mendapatkan hubungan lain antara akar dan koefisien.

Rumus yang paling terkenal dan dapat diterapkan dari teorema Vieta bentuk dan . Khususnya, untuk persamaan kuadrat yang diberikan, jumlah akar-akarnya sama dengan koefisien kedua dengan tanda yang berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya adalah suku bebas. Misalnya, dengan bentuk persamaan kuadrat 3 x 2 7 x+22=0, kita dapat langsung mengatakan bahwa jumlah akar-akarnya adalah 7/3, dan hasil kali akar-akarnya adalah 22/3.

Dengan menggunakan rumus yang sudah ditulis, Anda bisa mendapatkan sejumlah hubungan lain antara akar dan koefisien persamaan kuadrat. Misalnya, Anda dapat menyatakan jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat dalam hal koefisiennya: .

Bibliografi.

  • Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.

Penggunaan persamaan tersebar luas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak perhitungan, konstruksi struktur dan bahkan olahraga. Persamaan telah digunakan oleh manusia sejak zaman kuno dan sejak itu penggunaannya hanya meningkat. Diskriminan memungkinkan Anda untuk menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun menggunakan rumus umum, yang memiliki bentuk berikut:

Rumus diskriminan tergantung pada derajat polinomial. Rumus di atas cocok untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan bentuk berikut:

Diskriminan memiliki sifat-sifat berikut yang perlu Anda ketahui:

* "D" adalah 0 ketika polinomial memiliki banyak akar (akar yang sama);

* "D" adalah polinomial simetris terhadap akar polinomial dan oleh karena itu merupakan polinomial dalam koefisiennya; selain itu, koefisien polinomial ini adalah bilangan bulat, terlepas dari ekstensi di mana akar diambil.

Misalkan kita diberikan persamaan kuadrat dengan bentuk berikut:

1 persamaan

Menurut rumus yang kita miliki:

Karena \, maka persamaan memiliki 2 akar. Mari kita definisikan:

Di mana saya dapat menyelesaikan persamaan melalui pemecah online diskriminan?

Anda dapat menyelesaikan persamaan di situs web kami https: // situs. Pemecah online gratis akan memungkinkan Anda untuk menyelesaikan persamaan online dengan kerumitan apa pun dalam hitungan detik. Yang harus Anda lakukan hanyalah memasukkan data Anda ke dalam solver. Anda juga dapat menonton instruksi video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di situs web kami. Dan jika Anda memiliki pertanyaan, Anda dapat menanyakannya di grup Vkontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Bergabunglah dengan grup kami, kami selalu senang membantu Anda.

”, yaitu persamaan derajat pertama. Dalam pelajaran ini, kita akan mengeksplorasi apa itu persamaan kuadrat dan bagaimana menyelesaikannya.

Apa itu persamaan kuadrat

Penting!

Derajat suatu persamaan ditentukan oleh derajat tertinggi yang tidak diketahui berdiri.

Jika tingkat maksimum yang tidak diketahui berdiri adalah "2", maka Anda memiliki persamaan kuadrat.

Contoh persamaan kuadrat

  • 5x2 - 14x + 17 = 0
  • x 2 + x +
    1
    3
    = 0
  • x2 + 0,25x = 0
  • x 2 8 = 0

Penting! Bentuk umum persamaan kuadrat terlihat seperti ini:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" dan "c" - angka yang diberikan.
  • "a" - koefisien pertama atau senior;
  • "b" - koefisien kedua;
  • "c" adalah anggota gratis.

Untuk menemukan "a", "b" dan "c" Anda perlu membandingkan persamaan Anda dengan bentuk umum persamaan kuadrat "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Mari berlatih menentukan koefisien "a", "b" dan "c" dalam persamaan kuadrat.

5x2 - 14x + 17 = 0 7x 2 13x + 8 = 0 x 2 + x +
persamaan Kemungkinan
  • a=5
  • b = 14
  • c = 17
  • a = 7
  • b = 13
  • c = 8
1
3
= 0
  • a = 1
  • b = 1
  • c =
    1
    3
x2 + 0,25x = 0
  • a = 1
  • b = 0,25
  • c = 0
x 2 8 = 0
  • a = 1
  • b = 0
  • c = 8

Bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat

Tidak seperti persamaan linier, persamaan khusus digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. rumus mencari akar.

Ingat!

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, Anda perlu:

  • bawa persamaan kuadrat ke bentuk umum "ax 2 + bx + c \u003d 0". Artinya, hanya "0" yang harus tetap berada di sisi kanan;
  • gunakan rumus akar :

Mari kita gunakan contoh untuk mengetahui cara menerapkan rumus untuk menemukan akar persamaan kuadrat. Mari selesaikan persamaan kuadrat.

X 2 - 3x - 4 = 0


Persamaan "x 2 - 3x - 4 = 0" telah direduksi menjadi bentuk umum "ax 2 + bx + c = 0" dan tidak memerlukan penyederhanaan tambahan. Untuk mengatasinya, kita hanya perlu menerapkan rumus mencari akar persamaan kuadrat.

Mari kita tentukan koefisien "a", "b" dan "c" untuk persamaan ini.


x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =

Dengan bantuannya, persamaan kuadrat apa pun diselesaikan.

Dalam rumus "x 1; 2 \u003d" ekspresi root sering diganti
"b 2 4ac" ke huruf "D" dan disebut diskriminan. Konsep diskriminan dibahas secara lebih rinci dalam pelajaran "Apa itu diskriminan".

Perhatikan contoh lain dari persamaan kuadrat.

x 2 + 9 + x = 7x

Dalam bentuk ini, agak sulit untuk menentukan koefisien "a", "b", dan "c". Pertama-tama mari kita bawa persamaan ke bentuk umum "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 6x + 9 = 0

Sekarang Anda dapat menggunakan rumus untuk akarnya.

X 1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x=

6
2

x=3
Jawabannya: x = 3

Ada kalanya tidak ada akar dalam persamaan kuadrat. Situasi ini terjadi ketika angka negatif muncul dalam rumus di bawah akar.

Mari bekerja dengan persamaan kuadrat. Ini adalah persamaan yang sangat populer! Dalam bentuknya yang paling umum, persamaan kuadrat terlihat seperti ini:

Sebagai contoh:

Di Sini sebuah =1; b = 3; c = -4

Di Sini sebuah =2; b = -0,5; c = 2,2

Di Sini sebuah =-3; b = 6; c = -18

Nah, Anda mendapatkan ide ...

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat? Jika Anda memiliki persamaan kuadrat dalam bentuk ini, maka semuanya sederhana. Ingat kata ajaib pembeda . Seorang siswa sekolah menengah yang langka belum pernah mendengar kata ini! Ungkapan "putuskan melalui diskriminan" adalah meyakinkan dan meyakinkan. Karena tidak perlu menunggu trik dari pembeda! Ini sederhana dan bebas masalah untuk digunakan. Jadi, rumus untuk menemukan akar persamaan kuadrat terlihat seperti ini:

Ekspresi di bawah tanda akar adalah sama pembeda. Seperti yang Anda lihat, untuk menemukan x, kami menggunakan hanya a, b dan c. Itu. koefisien dari persamaan kuadrat. Ganti nilainya dengan hati-hati a, b dan c ke dalam rumus ini dan pertimbangkan. Pengganti dengan tanda-tanda Anda! Misalnya, untuk persamaan pertama sebuah =1; b = 3; c= -4. Di sini kami menulis:

Contoh hampir terpecahkan:

Itu saja.

Kasus apa yang mungkin terjadi saat menggunakan rumus ini? Hanya ada tiga kasus.

1. Diskriminannya positif. Ini berarti Anda dapat mengekstrak root darinya. Apakah root diekstraksi dengan baik atau buruk adalah pertanyaan lain. Penting apa yang diekstraksi pada prinsipnya. Maka persamaan kuadrat Anda memiliki dua akar. Dua solusi yang berbeda.

2. Diskriminan adalah nol. Maka Anda punya satu solusi. Sebenarnya, ini bukan akar tunggal, tapi dua identik. Tapi ini berperan dalam ketidaksetaraan, di mana kami akan mempelajari masalah ini secara lebih rinci.

3. Diskriminannya negatif. Bilangan negatif tidak mengambil akar kuadrat. Yah, oke. Ini berarti tidak ada solusi.

Semuanya sangat sederhana. Dan bagaimana menurut Anda, Anda tidak bisa salah? Nah, ya, bagaimana ...
Kesalahan yang paling umum adalah kebingungan dengan tanda-tanda nilai a, b dan c. Atau lebih tepatnya, tidak dengan tanda-tandanya (di mana harus bingung?), Tetapi dengan substitusi nilai negatif ke dalam rumus untuk menghitung akar. Di sini, catatan detail rumus dengan nomor tertentu disimpan. Jika ada masalah dengan perhitungan, jadi lakukanlah!



Misalkan kita perlu memecahkan contoh berikut:

Di Sini a = -6; b = -5; c=-1

Katakanlah Anda tahu bahwa Anda jarang mendapatkan jawaban pertama kali.

Nah, jangan malas. Ini akan memakan waktu 30 detik untuk menulis baris tambahan. Dan jumlah kesalahan akan turun tajam. Jadi kami menulis secara rinci, dengan semua tanda kurung dan tanda:

Tampaknya sangat sulit untuk melukis dengan sangat hati-hati. Tapi sepertinya. Cobalah. Nah, atau memilih. Mana yang lebih baik, cepat, atau benar? Selain itu, aku akan membuatmu bahagia. Setelah beberapa saat, tidak perlu mengecat semuanya dengan sangat hati-hati. Itu hanya akan menjadi benar. Terutama jika Anda menerapkan teknik praktis, yang dijelaskan di bawah ini. Contoh jahat dengan banyak minus ini akan diselesaikan dengan mudah dan tanpa kesalahan!

Jadi, cara menyelesaikan persamaan kuadrat melalui diskriminan kita ingat. Atau dipelajari, yang juga bagus. Bisakah Anda mengidentifikasi dengan benar? a, b dan c. Apa kamu tau bagaimana caranya dengan penuh perhatian substitusikan ke dalam rumus akar dan dengan penuh perhatian menghitung hasilnya. Apakah Anda mengerti bahwa kata kuncinya di sini adalah - dengan penuh perhatian?

Namun, persamaan kuadrat sering terlihat sedikit berbeda. Misalnya, seperti ini:

Ini persamaan kuadrat tidak lengkap . Mereka juga dapat diselesaikan melalui diskriminan. Anda hanya perlu mencari tahu dengan benar apa yang setara di sini a, b dan c.

Menyadari? Pada contoh pertama a = 1; b = -4; sebuah c? Itu tidak ada sama sekali! Yah, ya, itu benar. Dalam matematika, ini berarti bahwa c = 0 ! Itu saja. Substitusikan nol ke dalam rumus alih-alih c, dan semuanya akan berhasil bagi kita. Begitu pula dengan contoh kedua. Hanya nol yang tidak kita miliki di sini dengan, sebuah b !

Tetapi persamaan kuadrat yang tidak lengkap dapat diselesaikan dengan lebih mudah. Tanpa ada diskriminasi. Pertimbangkan persamaan pertama yang tidak lengkap. Apa yang bisa dilakukan di sisi kiri? Anda dapat mengeluarkan X dari tanda kurung! Mari kita keluarkan.

Dan apa dari ini? Dan fakta bahwa produk sama dengan nol jika, dan hanya jika salah satu faktornya sama dengan nol! Tidak percaya? Nah, kemudian temukan dua angka bukan nol yang, ketika dikalikan, akan menghasilkan nol!
Tidak bekerja? Sesuatu...
Oleh karena itu, kita dapat dengan yakin menulis: x = 0, atau x = 4

Semuanya. Ini akan menjadi akar persamaan kita. Keduanya cocok. Saat mensubstitusi salah satu dari mereka ke dalam persamaan asli, kami mendapatkan identitas yang benar 0 = 0. Seperti yang Anda lihat, solusinya jauh lebih sederhana daripada melalui diskriminan.

Persamaan kedua juga dapat dengan mudah diselesaikan. Kami pindah 9 ke sisi kanan. Kita mendapatkan:

Tetap mengekstrak root dari 9, dan hanya itu. Mendapatkan:

juga dua akar . x = +3 dan x = -3.

Ini adalah bagaimana semua persamaan kuadrat yang tidak lengkap diselesaikan. Baik dengan mengeluarkan X dari kurung, atau hanya dengan memindahkan nomor ke kanan, diikuti dengan mengekstrak akarnya.
Sangat sulit untuk membingungkan metode ini. Hanya karena dalam kasus pertama Anda harus mengekstrak root dari X, yang entah bagaimana tidak dapat dipahami, dan dalam kasus kedua tidak ada yang bisa dihilangkan dari tanda kurung ...

Sekarang perhatikan teknik praktis yang secara dramatis mengurangi jumlah kesalahan. Yang justru karena kurangnya perhatian ... Yang kemudian menyakitkan dan menghina ...

Resepsi pertama. Jangan malas sebelum menyelesaikan persamaan kuadrat untuk membawanya ke bentuk standar. Apa artinya ini?
Misalkan, setelah transformasi apa pun, Anda mendapatkan persamaan berikut:

Jangan buru-buru menulis rumus akarnya! Anda hampir pasti akan mencampuradukkan peluang a, b dan c. Bangun contoh dengan benar. Pertama, x kuadrat, lalu tanpa kuadrat, lalu anggota bebas. Seperti ini:

Dan sekali lagi, jangan terburu-buru! Minus sebelum x kuadrat dapat membuat Anda sangat kesal. Melupakan itu mudah... Singkirkan minusnya. Bagaimana? Ya, seperti yang diajarkan pada topik sebelumnya! Kita perlu mengalikan seluruh persamaan dengan -1. Kita mendapatkan:

Dan sekarang Anda dapat dengan aman menuliskan rumus untuk akar, menghitung diskriminan dan menyelesaikan contoh. Putuskan sendiri. Anda harus berakhir dengan akar 2 dan -1.

Penerimaan kedua. Periksa akar Anda! Menurut teorema Vieta. Jangan khawatir, saya akan menjelaskan semuanya! memeriksa hal terakhir persamaan. Itu. yang dengannya kami menuliskan rumus akarnya. Jika (seperti dalam contoh ini) koefisien a = 1, periksa akarnya dengan mudah. Itu sudah cukup untuk memperbanyak mereka. Anda harus mendapatkan istilah gratis, mis. dalam kasus kami -2. Perhatikan, bukan 2, tapi -2! anggota gratis dengan tanda Anda . Jika tidak berhasil, itu berarti mereka sudah kacau di suatu tempat. Cari kesalahan. Jika berhasil, Anda perlu melipat akarnya. Pemeriksaan terakhir dan terakhir. Seharusnya rasio b dengan di depan tanda. Dalam kasus kami -1+2 = +1. Sebuah koefisien b, yang sebelum x, sama dengan -1. Jadi, semuanya benar!
Sangat disayangkan bahwa ini sangat sederhana hanya untuk contoh di mana x kuadrat murni, dengan koefisien a = 1. Tapi setidaknya periksa persamaan seperti itu! Akan ada lebih sedikit kesalahan.

Penerimaan ketiga. Jika persamaan Anda memiliki koefisien pecahan, singkirkan pecahan! Kalikan persamaan dengan penyebut yang sama seperti yang dijelaskan di bagian sebelumnya. Saat bekerja dengan pecahan, kesalahan, karena alasan tertentu, naik ...

Omong-omong, saya menjanjikan contoh jahat dengan banyak minus untuk disederhanakan. Sama sama! Itu dia.

Agar tidak bingung dengan minusnya, kita kalikan persamaannya dengan -1. Kita mendapatkan:

Itu saja! Memutuskan itu menyenangkan!

Jadi mari kita rekap topik.

Tip Praktis:

1. Sebelum menyelesaikan, kita bawa persamaan kuadrat ke bentuk standar, bangunlah Baik.

2. Jika ada koefisien negatif di depan x dalam bujur sangkar, kita hilangkan dengan mengalikan seluruh persamaan dengan -1.

3. Jika koefisiennya pecahan, kita hilangkan pecahan dengan mengalikan seluruh persamaan dengan faktor yang sesuai.

4. Jika x kuadrat murni, koefisiennya sama dengan satu, solusinya dapat dengan mudah diperiksa dengan teorema Vieta. Lakukan!

persamaan pecahan. ODZ.

Kami terus menguasai persamaan. Kita sudah tahu bagaimana bekerja dengan persamaan linear dan kuadrat. Tampilan terakhir tetap ada persamaan pecahan. Atau mereka juga disebut jauh lebih solid - persamaan rasional pecahan. Ini sama.

persamaan pecahan.

Sesuai dengan namanya, persamaan ini pasti mengandung pecahan. Tapi bukan hanya pecahan, tapi pecahan yang memiliki tidak diketahui penyebutnya. Setidaknya dalam satu. Sebagai contoh:

Biarkan saya mengingatkan Anda, jika dalam penyebut saja angka, ini adalah persamaan linier.

Bagaimana memutuskan persamaan pecahan? Pertama-tama, singkirkan pecahan! Setelah itu, persamaan, paling sering, berubah menjadi linier atau kuadrat. Dan kemudian kita tahu apa yang harus dilakukan... Dalam beberapa kasus, itu bisa berubah menjadi identitas, seperti 5=5 atau ekspresi yang salah, seperti 7=2. Tapi ini jarang terjadi. Di bawah ini saya akan menyebutkannya.

Tapi bagaimana cara menghilangkan pecahan!? Sangat sederhana. Menerapkan semua transformasi identik yang sama.

Kita perlu mengalikan seluruh persamaan dengan ekspresi yang sama. Sehingga semua penyebut berkurang! Semuanya akan segera menjadi lebih mudah. Saya jelaskan dengan sebuah contoh. Katakanlah kita perlu menyelesaikan persamaan:

Bagaimana mereka diajarkan di sekolah dasar? Kami mentransfer semuanya dalam satu arah, menguranginya menjadi penyebut yang sama, dll. Lupakan betapa buruknya mimpi itu! Inilah yang perlu Anda lakukan saat menambahkan atau mengurangi ekspresi pecahan. Atau bekerja dengan ketidaksetaraan. Dan dalam persamaan, kami segera mengalikan kedua bagian dengan ekspresi yang akan memberi kami kesempatan untuk mengurangi semua penyebut (yaitu, pada dasarnya, dengan penyebut yang sama). Dan apa ekspresi ini?

Di sisi kiri, untuk mengurangi penyebut, Anda perlu mengalikan dengan x+2. Dan di sebelah kanan, diperlukan perkalian dengan 2. Jadi, persamaan harus dikalikan dengan 2(x+2). Kami mengalikan:

Ini adalah perkalian pecahan biasa, tetapi saya akan menulis secara rinci:

Harap dicatat bahwa saya belum membuka tanda kurung. (x + 2)! Jadi, secara keseluruhan, saya menulisnya:

Di sisi kiri, itu dikurangi seluruhnya (x+2), dan di sebelah kanan 2. Sesuai kebutuhan! Setelah dikurangi kita dapatkan linier persamaan:

Siapa pun dapat memecahkan persamaan ini! x = 2.

Mari kita selesaikan contoh lain, yang sedikit lebih rumit:

Jika kita ingat bahwa 3 = 3/1, dan 2x = 2x/ 1 dapat ditulis:

Dan sekali lagi kami menyingkirkan apa yang tidak kami sukai - dari pecahan.

Kita melihat bahwa untuk mengurangi penyebut dengan x, pecahan perlu dikalikan dengan (x - 2). Dan unit bukanlah halangan bagi kami. Nah, mari kita perbanyak. Semua sisi kiri dan semua sisi kanan:

Tanda kurung lagi (x - 2) Saya tidak mengungkapkan. Saya bekerja dengan braket secara keseluruhan, seolah-olah itu adalah satu nomor! Ini harus selalu dilakukan, jika tidak, tidak akan ada yang dikurangi.

Dengan perasaan kepuasan yang mendalam, kami memotong (x - 2) dan kita mendapatkan persamaan tanpa pecahan, dalam penggaris!

Dan sekarang kita membuka tanda kurung:

Kami memberikan yang serupa, mentransfer semuanya ke sisi kiri dan mendapatkan:

Persamaan kuadrat klasik. Tapi minus ke depan kurang bagus. Anda selalu dapat menghilangkannya dengan mengalikan atau membagi dengan -1. Tetapi jika Anda melihat lebih dekat pada contoh, Anda akan melihat bahwa yang terbaik adalah membagi persamaan ini dengan -2! Dalam satu gerakan, minus akan hilang, dan koefisien akan menjadi lebih cantik! Kita bagi dengan -2. Di sisi kiri - istilah demi istilah, dan di sebelah kanan - cukup bagi nol dengan -2, nol dan dapatkan:

Kami memecahkan melalui diskriminan dan memeriksa sesuai dengan teorema Vieta. Kita mendapatkan x=1 dan x=3. Dua akar.

Seperti yang Anda lihat, dalam kasus pertama, persamaan setelah transformasi menjadi linier, dan ini adalah kuadrat. Kebetulan setelah menghilangkan pecahan, semua x berkurang. Ada sesuatu yang tersisa, seperti 5=5. Ini berarti bahwa x bisa apa saja. Apapun itu tetap akan dikurangi. Dan dapatkan kebenaran murni, 5=5. Namun, setelah menghilangkan pecahan, itu mungkin tidak benar sama sekali, seperti 2=7. Dan ini berarti bahwa tidak ada solusi! Dengan x apa pun, ternyata salah.

Menyadari cara utama untuk memecahkan persamaan pecahan? Ini sederhana dan logis. Kami mengubah ekspresi asli sehingga semua yang tidak kami sukai menghilang. Atau ikut campur. Dalam hal ini adalah pecahan. Kami akan melakukan hal yang sama dengan segala macam contoh kompleks dengan logaritma, sinus dan kengerian lainnya. Kami selalu kita akan menyingkirkan semua ini.

Namun, kita perlu mengubah ekspresi asli ke arah yang kita butuhkan Menurut aturan, ya… Perkembangannya adalah persiapan menghadapi ujian matematika. Di sini kita belajar.

Sekarang kita akan belajar bagaimana melewati salah satu dari penyergapan utama pada ujian! Tapi pertama-tama, mari kita lihat apakah Anda jatuh ke dalamnya atau tidak?

Mari kita ambil contoh sederhana:

Masalahnya sudah akrab, kami mengalikan kedua bagian dengan (x - 2), kita mendapatkan:

Ingat, dengan tanda kurung (x - 2) kami bekerja sebagai satu, ekspresi integral!

Di sini saya tidak lagi menulis yang penyebut, tidak bermartabat ... Dan saya tidak menggambar tanda kurung di penyebut, kecuali untuk x - 2 tidak ada, Anda tidak bisa menggambar. Kami mempersingkat:

Kami membuka tanda kurung, memindahkan semuanya ke kiri, kami memberikan yang serupa:

Kami memecahkan, memeriksa, kami mendapatkan dua akar. x = 2 dan x = 3. Bagus.

Misalkan tugas mengatakan untuk menuliskan akar, atau jumlah mereka, jika ada lebih dari satu akar. Apa yang akan kita tulis?

Jika Anda memutuskan jawabannya adalah 5, Anda disergap. Dan tugas itu tidak akan dihitung untuk Anda. Mereka bekerja dengan sia-sia ... Jawaban yang benar adalah 3.

Apa masalahnya?! Dan Anda mencoba untuk memeriksa. Substitusikan nilai-nilai yang tidak diketahui menjadi asli contoh. Dan jika di x = 3 semuanya tumbuh bersama dengan luar biasa, kita mendapatkan 9 = 9, lalu dengan x = 2 Dibagi nol! Apa yang benar-benar tidak bisa dilakukan. Cara x = 2 bukan solusi, dan tidak diperhitungkan dalam jawaban. Inilah yang disebut root asing atau ekstra. Kita buang saja. Hanya ada satu akar terakhir. x = 3.

Bagaimana?! Aku mendengar seruan marah. Kami diajari bahwa persamaan dapat dikalikan dengan ekspresi! Ini adalah transformasi yang sama!

Ya, identik. Di bawah kondisi kecil - ekspresi yang dengannya kita mengalikan (membagi) - berbeda dari nol. TETAPI x - 2 pada x = 2 sama dengan nol! Jadi semuanya adil.

Dan sekarang apa yang bisa saya lakukan?! Jangan kalikan dengan ekspresi? Apakah Anda memeriksa setiap waktu? Sekali lagi tidak jelas!

Tenang! Jangan panik!

Dalam situasi sulit ini, tiga surat ajaib akan menyelamatkan kita. Aku tahu apa yang kamu pikirkan. Benar! Ini ODZ . Area Nilai Valid.

ARTIKEL TERKAIT