modul atau nilai mutlak bilangan real disebut bilangan itu sendiri, jika X adalah non-negatif, dan angka yang berlawanan, yaitu. -x jika X negatif:

Jelas, tetapi menurut definisi, |x| > 0. Sifat-sifat nilai mutlak berikut diketahui:

• 1) hu| = |dg| |r/1;
• 2>--H;

Padapada

• 3) |x+r/|
• 4) |dt-g/|

Modulus selisih dua bilangan X - sebuah| adalah jarak antar titik X dan sebuah pada garis bilangan (untuk apa saja X dan sebuah).

Dari sini dapat disimpulkan, khususnya, bahwa solusi dari pertidaksamaan X - sebuah 0) adalah semua poin X selang (sebuah- g, a + c), yaitu bilangan yang memenuhi pertidaksamaan iklan + G.

Interval seperti itu (sebuah- 8, sebuah+ d) disebut 8-tetangga dari titik sebuah.

Sifat dasar fungsi

Seperti yang telah kami nyatakan, semua besaran dalam matematika dibagi menjadi konstanta dan variabel. Nilai konstan disebut besaran yang nilainya tetap.

variabel adalah besaran yang dapat mengambil berbagai nilai numerik.

Definisi 10.8. variabel pada ditelepon fungsi dari variabel x, jika menurut beberapa aturan, setiap nilai x e X diberi nilai tertentu pada e U; variabel independen x biasanya disebut argumen, dan ruang lingkup X perubahannya disebut ruang lingkup fungsi.

Fakta bahwa pada ada fungsi otx, paling sering dinyatakan dalam notasi simbolik: pada= /(x).

Ada beberapa cara untuk mendefinisikan fungsi. Tiga dianggap sebagai yang utama: analitis, tabular, dan grafik.

analitis jalan. Metode ini terdiri dari pengaturan hubungan antara argumen (variabel bebas) dan fungsi dalam bentuk rumus (atau rumus). Biasanya /(x) adalah beberapa ekspresi analitik yang mengandung x. Dalam hal ini, fungsi dikatakan didefinisikan oleh rumus, misalnya, pada= 2x+1, pada= tgx dll.

Datar Cara suatu fungsi didefinisikan adalah bahwa fungsi tersebut diberikan oleh tabel yang berisi nilai argumen x dan nilai yang sesuai dari fungsi f(.r). Contohnya adalah tabel jumlah kejahatan selama periode tertentu, tabel pengukuran eksperimental, tabel logaritma.

Grafis jalan. Biarkan sistem koordinat persegi panjang Cartesian diberikan di pesawat halo Interpretasi geometris dari fungsi didasarkan pada yang berikut ini.

Definisi 10.9. jadwal fungsi disebut tempat kedudukan titik-titik bidang, koordinat (x, y) yang memenuhi syarat: w-ah).

Suatu fungsi dikatakan diberikan secara grafis jika grafiknya digambarkan. Metode grafis banyak digunakan dalam pengukuran eksperimental menggunakan alat perekam sendiri.

Memiliki grafik visual fungsi di depan mata Anda, tidak sulit untuk membayangkan banyak propertinya, yang menjadikan grafik sebagai alat yang sangat diperlukan untuk mempelajari suatu fungsi. Oleh karena itu, memplot adalah bagian yang paling penting (biasanya terakhir) dari studi fungsi.

Setiap metode memiliki kelebihan dan kekurangannya masing-masing. Jadi, keuntungan dari metode grafis termasuk visibilitasnya, kekurangannya - ketidakakuratannya dan penyajiannya yang terbatas.

Sekarang mari kita beralih ke pertimbangan sifat-sifat utama fungsi.

Genap dan ganjil. Fungsi y = f(x) ditelepon bahkan, jika untuk apapun X kondisi f(-x) = f(x). jika untuk X dari domain definisi, kondisi f(-x) = -/(x) dipenuhi, maka fungsi tersebut disebut aneh. Fungsi yang tidak genap atau ganjil disebut fungsi pandangan umum.

• 1) y = x 2 adalah fungsi genap, karena f(-x) = (-x) 2 = x2, yaitu/(-x) =/(.r);
• 2) y= x 3 - fungsi ganjil, karena (-x) 3 \u003d -x 3, t.s. /(-x) = -/(x);
• 3) y= x 2 + x adalah fungsi umum. Di sini / (x) \u003d x 2 + x, / (-x) \u003d (-x) 2 +
• (-x) \u003d x 2 - x, / (-x) * / (x); / (-x) - / "/ (-x).

Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu Oh, dan grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal.

Nada datar. Fungsi pada=/(x) disebut meningkat diantara x, jika untuk sembarang x, x 2 e X dari pertidaksamaan x 2 > x, mengikuti / (x 2) > / (x,). Fungsi pada=/(x) disebut memudar, jika dari x 2 > x, maka mengikuti / (x 2) (x,).

Fungsi tersebut disebut membosankan diantara x, jika itu meningkat selama seluruh interval ini atau menurun di atasnya.

Misalnya, fungsi y= x 2 berkurang (-°°; 0) dan bertambah (0; +°°).

Perhatikan bahwa kami telah memberikan definisi fungsi monoton dalam arti yang ketat. Secara umum, fungsi monotonik termasuk fungsi tidak menurun, yaitu yang dari x 2 > x, mengikuti / (x 2) > / (x,), dan fungsi tak naik, mis. yang dari x 2 > x, mengikuti / (x 2)

Keterbatasan. Fungsi pada=/(x) disebut terbatas diantara x, jika ada nomor seperti itu M > 0 sedemikian rupa sehingga |/(x)| M untuk setiap x e x.

Misalnya, fungsi pada =-

dibatasi pada seluruh garis bilangan, jadi

Periodisitas. Fungsi pada = f(x) ditelepon berkala jika ada nomor seperti itu T^ Oh apa f(x + T = f(x) untuk semua X dari ruang lingkup fungsi.

Pada kasus ini T disebut periode fungsi. Jelas jika T - periode fungsi y = f(x), maka periode fungsi ini juga 2T, 3 T dll. Oleh karena itu, biasanya periode suatu fungsi adalah periode positif terkecil (jika ada). Misalnya, fungsi / = cos.r memiliki periode T= 2P, dan fungsinya y= tg Zx - Titik hal/3.

Tujuan Anda:

mengetahui dengan jelas definisi modulus bilangan real;

memahami interpretasi geometri modulus bilangan real dan mampu menerapkannya dalam menyelesaikan masalah;

mengetahui sifat-sifat modul dan mampu menerapkannya dalam memecahkan masalah;

mampu memahami jarak antara dua titik pada suatu garis koordinat dan mampu menggunakannya dalam menyelesaikan masalah.

masukan informasi

Konsep modulus bilangan real. Modulus bilangan real disebut bilangan ini sendiri, jika , dan bilangan yang berlawanan dengannya, jika< 0.

Modulus suatu bilangan dilambangkan dan dituliskan:

Interpretasi geometris dari modul . Secara geometris modulus bilangan real adalah jarak dari titik yang mewakili bilangan tertentu pada garis koordinat ke titik asal.

Memecahkan persamaan dan pertidaksamaan dengan modul berdasarkan makna geometris modul. Menggunakan konsep "jarak antara dua titik pada garis koordinat", seseorang dapat menyelesaikan persamaan bentuk atau pertidaksamaan bentuk , di mana salah satu tanda dapat digunakan sebagai pengganti tanda.

Contoh. Mari kita selesaikan persamaannya.

Keputusan. Mari kita merumuskan masalah geometris. Karena jarak pada garis koordinat antara titik-titik dengan koordinat dan , itu berarti diperlukan untuk mencari koordinat titik-titik tersebut, jarak dari titik ke titik dengan koordinat 1 sama dengan 2.

Singkatnya, pada garis koordinat, temukan himpunan koordinat titik, jarak dari mana ke titik dengan koordinat 1 sama dengan 2.

Mari kita selesaikan masalah ini. Kami menandai titik pada garis koordinat, yang koordinatnya sama dengan 1 (Gbr. 6) Titik-titik yang koordinatnya sama dengan -1 dan 3 dihilangkan dua unit dari titik ini. Oleh karena itu, himpunan koordinat titik yang diinginkan adalah himpunan yang terdiri dari bilangan -1 dan 3.

Jawaban 1; 3.

Cara mencari jarak antara dua titik pada garis koordinat. Angka yang menyatakan jarak antar titik dan , disebut jarak antara bilangan dan .

Untuk setiap dua titik dan sebuah garis koordinat, jarak

.

Sifat dasar modulus bilangan real:

3. ;

7. ;

8. ;

9. ;

Kapan kita punya:

11. maka hanya jika atau ;

12. maka hanya jika ;

13. maka hanya jika atau ;

14. maka hanya jika ;

11. maka hanya bila .

Bagian praktis

Latihan 1. Ambil selembar kertas kosong dan di atasnya tuliskan jawaban dari latihan lisan di bawah ini.

Periksa jawaban Anda dengan jawaban atau instruksi singkat yang ditempatkan di akhir elemen pembelajaran di bawah judul “Pembantu Anda”.

1. Perluas tanda modul:

a) |–5|; b) |5|; c) |0|; d) |p|.

2. Bandingkan angkanya:

a) || dan -; c) ||0| dan 0; e) – |–3| dan -3; g) –4| sebuah| dan 0;

b) |–p| dan hal; d) |–7.3| dan -7.3; f) | sebuah| dan 0; h) 2| sebuah| dan |2 sebuah|.

3. Bagaimana, menggunakan tanda modulus, untuk menulis bahwa setidaknya salah satu dari angka sebuah, b atau dengan berbeda dari nol?

4. Cara menggunakan tanda sama dengan untuk menulis bahwa masing-masing angka sebuah, b dan dengan sama dengan nol?

5. Temukan nilai ekspresi:

a) | sebuah| – sebuah; b) sebuah + |sebuah|.

6. Selesaikan persamaan:

a) | X| = 3; c) | X| = -2; e) |2 X– 5| = 0;

b) | X| = 0; d) | X– 3| = 4; f) |3 X– 7| = – 9.

7. Apa yang bisa dikatakan tentang angka X dan pada, jika:

a) | X| = X; b) | X| = –X; c) | X| = |pada|?

8. Selesaikan persamaan:

a) | X– 2| = X– 2; c) | X– 3| =|7 – X|;

b) | X– 2| = 2 – X; d) | X– 5| =|X– 6|.

9. Apa yang bisa dikatakan tentang nomor? pada jika persamaan berlaku:

a) saya Xï = pada; b) saya Xï = – pada ?

10. Selesaikan pertidaksamaan:

a) | X| > X; c) | X| > –X; e) | X| £ X;

b) | X| ³ X; d) | X| ³ – X; f) | X| £ – X.

11. Daftar semua nilai a yang memiliki persamaan:

a) | sebuah| = sebuah; b) | sebuah| = –sebuah; di) sebuah – |–sebuah| =0; d) | sebuah|sebuah= -1; e) = 1.

12. Temukan semua nilai b, yang pertidaksamaan berikut berlaku:

a) | b| 1; b) | b| < 1; в) |b| £0; d) | b| 0; e) 1< |b| < 2.

Anda mungkin telah menemukan beberapa tugas berikut di kelas matematika. Tentukan mana dari tugas-tugas berikut yang perlu Anda selesaikan. Jika mengalami kesulitan, lihat bagian “Asisten Anda”, untuk mendapatkan saran dari guru atau bantuan dari teman.

Tugas 2. Berdasarkan definisi modulus bilangan real, selesaikan persamaan:

Tugas 4. Jarak antara titik-titik yang mewakili bilangan real α dan β pada garis koordinat, sama dengan | α – β |. Gunakan ini untuk menyelesaikan persamaan.

Di sekolah, dalam pelajaran matematika setiap tahun, siswa menganalisis topik baru. Kelas 6 biasanya mempelajari modulus angka - ini adalah konsep penting dalam matematika, pekerjaan yang ditemukan kemudian dalam aljabar dan matematika yang lebih tinggi. Sangat penting untuk memahami penjelasan istilah dengan benar dan memahami topik ini agar berhasil melewati topik lain.

Untuk memulainya, harus dipahami bahwa nilai absolut adalah parameter dalam statistik (diukur secara kuantitatif), yang mencirikan fenomena yang diteliti dalam hal volumenya. Dalam hal ini fenomena tersebut harus dilakukan dalam kurun waktu tertentu dan dengan lokasi tertentu. Bedakan nilai:

• ringkasan - cocok untuk sekelompok unit atau seluruh populasi;
• individu - hanya cocok untuk bekerja dengan unit populasi tertentu.

Konsep tersebut banyak digunakan dalam pengukuran statistik, yang hasilnya adalah indikator yang mencirikan dimensi absolut dari setiap unit dari fenomena tertentu. Mereka diukur dalam dua indikator: alami, yaitu. unit fisik (potongan, orang) dan kondisional alami. Sebuah modul dalam matematika adalah tampilan dari indikator-indikator ini.

Apa modulus suatu bilangan?

Penting! Definisi "modul" ini diterjemahkan dari bahasa Latin sebagai "ukuran" dan berarti nilai absolut dari setiap bilangan asli.

Tetapi konsep ini juga memiliki penjelasan geometris, karena modul dalam geometri sama dengan jarak dari titik asal sistem koordinat ke titik X, yang diukur dalam satuan pengukuran biasa.

Untuk menentukan indikator ini untuk suatu angka, seseorang tidak boleh memperhitungkan tandanya (minus, plus), tetapi harus diingat bahwa itu tidak pernah bisa negatif. Nilai ini di atas kertas disorot secara grafis dalam bentuk tanda kurung siku - |a|. Dalam hal ini, definisi matematikanya adalah:

|x| = x jika x lebih besar atau sama dengan nol dan -x jika lebih kecil dari nol.

Ilmuwan Inggris R. Kotes adalah orang yang pertama kali menerapkan konsep ini dalam perhitungan matematis. Tetapi K. Weierstrass, seorang matematikawan dari Jerman, menemukan dan menggunakan simbol grafis.

Dalam geometri modul, kita dapat mempertimbangkan contoh garis koordinat, di mana 2 titik arbitrer diplot. Misalkan satu - A memiliki nilai 5, dan yang kedua B - 6. Setelah mempelajari gambar secara rinci, akan menjadi jelas bahwa jarak dari A ke B adalah 5 unit dari nol, yaitu. titik asal, dan titik B terletak 6 satuan dari titik asal. Dapat disimpulkan bahwa titik modul, A = 5, dan titik B = 6. Secara grafik dapat dinotasikan sebagai berikut: | 5 | = 5. Artinya, jarak dari titik ke titik asal adalah modulus titik tersebut.

Video yang berguna: apa modulus bilangan real?

Properti

Seperti konsep matematika lainnya, modul memiliki sifat matematikanya sendiri:

1. Itu selalu positif, jadi modulus dari nilai positif itu sendiri, misalnya modulus dari 6 dan -6 adalah 6. Secara matematis, sifat ini dapat ditulis sebagai |a| = a, untuk a > 0;
2. Indikator angka yang berlawanan sama satu sama lain. Properti ini lebih jelas dalam presentasi geometris, karena pada garis lurus angka-angka ini terletak di tempat yang berbeda, tetapi pada saat yang sama mereka dipisahkan dari asalnya dengan jumlah unit yang sama. Secara matematis, ini ditulis sebagai berikut: |a| = |-a|;
3. Modulus nol adalah nol, asalkan bilangan real adalah nol. Properti ini didukung oleh fakta bahwa nol adalah asal. Secara grafis, ini ditulis sebagai berikut: |0| = 0;
4. Jika Anda ingin menemukan modulus dari dua digit perkalian, Anda harus memahami bahwa itu akan sama dengan produk yang dihasilkan. Dengan kata lain, hasil kali besaran A dan B = AB, asalkan keduanya positif atau negatif, dan hasil kali sama dengan -AB. Secara grafis, ini dapat ditulis sebagai |A*B| = |A| * |B|.

Solusi persamaan yang berhasil dengan modulus tergantung pada pengetahuan tentang sifat-sifat ini, yang akan membantu siapa pun untuk menghitung dan bekerja dengan benar dengan indikator ini.

Properti Modul

Penting! Eksponen tidak boleh negatif karena ia mendefinisikan jarak, yang selalu positif.

Dalam persamaan

Dalam kasus bekerja dan memecahkan ketidaksetaraan matematika di mana modul hadir, selalu perlu diingat bahwa untuk mendapatkan hasil akhir yang benar, Anda harus membuka tanda kurung, mis. modul tanda terbuka. Seringkali, ini adalah arti dari persamaan.

Perlu diingat bahwa:

• jika ekspresi ditulis dalam tanda kurung siku, maka harus diselesaikan: |A + 5| \u003d A + 5, ketika A lebih besar dari atau sama dengan nol dan 5-A, dalam kasus A kurang dari nol;
• kurung siku paling sering perlu diperluas terlepas dari nilai variabel, misalnya, jika ekspresi dalam kotak diapit dalam tanda kurung, karena ekspansi akan tetap menjadi bilangan positif.

Menyelesaikan persamaan dengan modul sangat mudah dengan memasukkan nilai ke dalam sistem koordinat, karena dengan begitu mudah untuk melihat nilai dan indikatornya secara visual.

Video yang berguna: modulus bilangan real dan propertinya

Kesimpulan

Prinsip memahami konsep matematika seperti modul sangat penting, karena digunakan dalam matematika tingkat tinggi dan ilmu lainnya, jadi Anda harus dapat bekerja dengannya.

dalam kontak dengan

Pada artikel ini, kami akan menganalisis secara rinci nilai mutlak suatu bilangan. Kami akan memberikan berbagai definisi modulus suatu bilangan, memperkenalkan notasi dan memberikan ilustrasi grafis. Dalam hal ini, kami mempertimbangkan berbagai contoh untuk menemukan modulus suatu bilangan menurut definisi. Setelah itu, kami membuat daftar dan membenarkan properti utama modul. Di akhir artikel, kita akan berbicara tentang bagaimana modulus bilangan kompleks ditentukan dan ditemukan.

Navigasi halaman.

Modulus bilangan - definisi, notasi dan contoh

Pertama kami perkenalkan penunjukan modulus. Modul angka a akan dituliskan , yaitu di sebelah kiri dan di sebelah kanan angka tersebut akan dibuat garis vertikal yang membentuk tanda modul tersebut. Mari kita berikan beberapa contoh. Misalnya, modulo -7 dapat ditulis sebagai ; modul 4,125 ditulis sebagai , dan modul ditulis sebagai .

Definisi modul berikut mengacu pada, dan oleh karena itu, ke, dan ke bilangan bulat, dan ke bilangan rasional dan irasional, sebagai bagian penyusun himpunan bilangan real. Kita akan berbicara tentang modulus bilangan kompleks di.

Definisi.

Modul dari adalah bilangan a itu sendiri, jika a bilangan positif, atau bilangan a, kebalikan dari bilangan a, jika a bilangan negatif, atau 0, jika a=0.

Definisi modulus suatu bilangan yang dibunyikan sering ditulis dalam bentuk berikut: , notasi ini berarti bahwa jika a>0 , jika a=0 , dan jika a<0 .

Catatan dapat direpresentasikan dalam bentuk yang lebih ringkas . Notasi ini berarti bahwa jika (a lebih besar atau sama dengan 0 ), dan jika a<0 .

Ada juga rekornya . Di sini, kasus ketika a=0 harus dijelaskan secara terpisah. Dalam hal ini, kita memiliki , tetapi 0=0 , karena nol dianggap sebagai bilangan yang berlawanan dengan dirinya sendiri.

Ayo bawa contoh mencari modulus bilangan dengan definisi yang diberikan. Sebagai contoh, mari kita cari modul angka 15 dan . Mari kita mulai dengan menemukan . Karena angka 15 positif, modulusnya, menurut definisi, sama dengan angka ini sendiri, yaitu . Apa modulus suatu bilangan? Karena merupakan bilangan negatif, maka modulusnya sama dengan bilangan yang berlawanan dengan bilangan tersebut, yaitu bilangan . Dengan demikian, .

Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, kami memberikan satu kesimpulan, yang sangat nyaman untuk diterapkan dalam praktik ketika menemukan modulus suatu bilangan. Dari definisi modulus suatu bilangan, maka: modulus angka sama dengan angka di bawah tanda modulus, terlepas dari tandanya, dan dari contoh-contoh yang dibahas di atas, ini terlihat sangat jelas. Pernyataan bersuara menjelaskan mengapa modulus suatu bilangan disebut juga nilai mutlak bilangan tersebut. Jadi modulus suatu bilangan dan nilai mutlak suatu bilangan adalah satu dan sama.

Modulus bilangan sebagai jarak

Secara geometris, modulus suatu bilangan dapat diartikan sebagai jarak. Ayo bawa penentuan modulus angka dalam hal jarak.

Definisi.

Modulus dari adalah jarak dari titik asal pada garis koordinat ke titik yang bersesuaian dengan bilangan a.

Definisi ini konsisten dengan definisi modulus bilangan yang diberikan pada paragraf pertama. Mari kita jelaskan poin ini. Jarak dari titik asal ke titik yang bersesuaian dengan bilangan positif sama dengan bilangan ini. Nol sesuai dengan titik asal, sehingga jarak dari titik asal ke titik dengan koordinat 0 adalah nol (tidak ada segmen tunggal dan tidak ada segmen yang membentuk pecahan dari segmen unit perlu ditunda untuk mendapatkan dari titik O ke titik dengan koordinat 0). Jarak dari titik asal ke titik dengan koordinat negatif sama dengan angka yang berlawanan dengan koordinat titik yang diberikan, karena sama dengan jarak dari titik asal ke titik yang koordinatnya berlawanan dengan angka.

Misalnya modulus bilangan 9 adalah 9, karena jarak dari titik asal ke titik dengan koordinat 9 adalah sembilan. Mari kita ambil contoh lain. Titik dengan koordinat 3,25 berada pada jarak 3,25 dari titik O, jadi .

Definisi modulus bilangan yang dibunyikan adalah kasus khusus untuk mendefinisikan modulus selisih dua bilangan.

Definisi.

Modulus selisih dua bilangan a dan b sama dengan jarak antara titik-titik pada garis koordinat dengan koordinat a dan b .

Artinya, jika diberikan titik-titik pada garis koordinat A(a) dan B(b) , maka jarak titik A ke titik B sama dengan modulus selisih angka a dan b . Jika kita mengambil titik O (titik acuan) sebagai titik B, maka kita akan mendapatkan definisi modulus dari bilangan yang diberikan di awal paragraf ini.

Menentukan modulus suatu bilangan melalui akar kuadrat aritmatika

Kadang-kadang ditemukan penentuan modulus melalui akar kuadrat aritmatika.

Misalnya, mari kita hitung modul angka 30 dan berdasarkan definisi ini. Kita punya . Demikian pula, kami menghitung modulus dua pertiga: .

Definisi modulus suatu bilangan dalam akar kuadrat aritmatika juga konsisten dengan definisi yang diberikan dalam paragraf pertama artikel ini. Mari kita tunjukkan. Biarkan a menjadi bilangan positif, dan biarkan a menjadi negatif. Kemudian dan , jika a=0 , maka .

Properti Modul

Modul ini memiliki sejumlah hasil karakteristik - properti modul. Sekarang kami akan memberikan yang utama dan paling umum digunakan. Saat membuktikan sifat-sifat ini, kita akan mengandalkan definisi modulus bilangan dalam hal jarak.

Mari kita mulai dengan properti modul yang paling jelas modulus suatu bilangan tidak boleh berupa bilangan negatif. Dalam bentuk literal, properti ini memiliki bentuk untuk sembarang bilangan a . Sifat ini sangat mudah untuk dibenarkan: modulus suatu bilangan adalah jarak, dan jarak tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan negatif.

Mari kita beralih ke properti modul berikutnya. Modulus suatu bilangan sama dengan nol jika dan hanya jika bilangan ini nol. Modulus nol adalah nol menurut definisi. Nol sesuai dengan asal, tidak ada titik lain pada garis koordinat yang sesuai dengan nol, karena setiap bilangan real dikaitkan dengan satu titik pada garis koordinat. Untuk alasan yang sama, angka apa pun selain nol sesuai dengan titik selain titik asal. Dan jarak dari titik asal ke sembarang titik selain titik O tidak sama dengan nol, karena jarak antara dua titik sama dengan nol jika dan hanya jika titik-titik ini bertepatan. Alasan di atas membuktikan bahwa hanya modulus nol yang sama dengan nol.

Pindah. Angka yang berlawanan memiliki modul yang sama, yaitu, untuk angka apa pun a . Memang, dua titik pada garis koordinat, yang koordinatnya adalah angka yang berlawanan, berada pada jarak yang sama dari titik asal, yang berarti modul dari angka yang berlawanan adalah sama.

Properti modul berikutnya adalah: modulus produk dari dua angka sama dengan produk dari modul dari angka-angka ini, yaitu . Menurut definisi, modulus hasil kali bilangan a dan b adalah a b jika , atau (a b) jika . Ini mengikuti dari aturan perkalian bilangan real bahwa produk modulus bilangan a dan b sama dengan a b , , atau (a b) , jika , yang membuktikan properti yang dipertimbangkan.

Modulus hasil bagi pembagian a dengan b sama dengan hasil bagi pembagian modulus a dengan modulus b, yaitu . Mari kita membenarkan properti modul ini. Karena hasil bagi sama dengan produk, maka . Berdasarkan sifat sebelumnya, kita memiliki . Tetap hanya menggunakan persamaan , yang valid karena definisi modulus angka.

Properti modul berikut ditulis sebagai pertidaksamaan: , a , b dan c adalah bilangan real sembarang. Ketidaksetaraan tertulis tidak lebih dari pertidaksamaan segitiga. Untuk memperjelas hal ini, mari kita ambil titik A(a) , B(b) , C(c) pada garis koordinat, dan perhatikan segitiga ABC yang merosot, yang simpulnya terletak pada garis yang sama. Menurut definisi, modulus selisihnya sama dengan panjang segmen AB, - panjang segmen AC, dan - panjang segmen CB. Karena panjang salah satu sisi segitiga tidak melebihi jumlah panjang kedua sisi lainnya, maka pertidaksamaan , oleh karena itu, ketidaksetaraan juga berlaku.

Ketidaksetaraan yang baru saja dibuktikan jauh lebih umum dalam bentuk . Pertidaksamaan tertulis biasanya dianggap sebagai properti tersendiri dari modul dengan rumusan: “ Modulus jumlah dua bilangan tidak melebihi jumlah modulus bilangan tersebut". Tapi pertidaksamaan langsung mengikuti dari pertidaksamaan , jika kita menempatkan b bukannya b di dalamnya, dan mengambil c=0 .

Modulus bilangan kompleks

Ayo berikan penentuan modulus bilangan kompleks. Mari kita diberi bilangan kompleks, ditulis dalam bentuk aljabar , di mana x dan y adalah beberapa bilangan real, masing-masing mewakili bagian real dan imajiner dari bilangan kompleks z yang diberikan, dan merupakan unit imajiner.

Pertama, kami mendefinisikan tanda ekspresi di bawah tanda modul, dan kemudian memperluas modul:

• jika nilai ekspresi lebih besar dari nol, maka kita cukup mengeluarkannya dari bawah tanda modul,
• jika ekspresi kurang dari nol, maka kami mengeluarkannya dari bawah tanda modul, sambil mengubah tanda, seperti yang kami lakukan sebelumnya dalam contoh.

Nah, akankah kita mencoba? Mari kita perkirakan:

(Lupa, ulangi.)

Jika demikian, apa tandanya? Yah, tentu saja, !

Dan, oleh karena itu, kami mengungkapkan tanda modul dengan mengubah tanda dari ekspresi:

Mengerti? Kemudian coba sendiri:

Jawaban:

Apa properti lain yang dimiliki modul?

Jika kita perlu mengalikan angka-angka di dalam tanda modulo, kita dapat dengan aman mengalikan modulus angka-angka ini!!!

Dalam istilah matematika, modulus hasil kali bilangan sama dengan hasil kali modul bilangan tersebut.

Sebagai contoh:

Tetapi bagaimana jika kita perlu membagi dua angka (ekspresi) di bawah tanda modulo?

Ya, sama dengan perkalian! Mari kita bagi menjadi dua angka (ekspresi) terpisah di bawah tanda modul:

asalkan (karena Anda tidak dapat membagi dengan nol).

Perlu diingat satu lagi properti modul:

Modul jumlah bilangan selalu lebih kecil atau sama dengan jumlah modul bilangan berikut:

Mengapa demikian? Semuanya sangat sederhana!

Seperti yang kita ingat, modulus selalu positif. Tetapi di bawah tanda modul dapat berupa angka apa saja: positif dan negatif. Asumsikan bahwa angka dan keduanya positif. Maka ekspresi kiri akan sama dengan ekspresi kanan.

Mari kita lihat sebuah contoh:

Jika di bawah tanda modulus satu angka negatif dan yang lainnya positif, ekspresi kiri akan selalu kurang dari yang kanan:

Tampaknya semuanya jelas dengan properti ini, mari pertimbangkan beberapa properti modul yang lebih berguna.

Bagaimana jika kita memiliki ekspresi ini:

Apa yang bisa kita lakukan dengan ekspresi ini? Kita tidak tahu nilai x, tapi kita sudah tahu apa artinya.

Angkanya lebih besar dari nol, yang berarti Anda cukup menulis:

Jadi kami datang ke properti lain, yang secara umum dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Apa arti dari ungkapan ini:

Jadi, kita perlu mendefinisikan tanda di bawah modul. Apakah perlu mendefinisikan tanda di sini?

Tentu saja tidak, jika Anda ingat bahwa bilangan apa pun yang dikuadratkan selalu lebih besar dari nol! Jika Anda tidak ingat, lihat topiknya. Dan apa yang terjadi? Dan inilah yang:

Ini bagus, kan? Cukup nyaman. Sekarang untuk contoh spesifik:

Nah, mengapa ragu? Ayo bertindak dengan berani!

Apakah Anda mengerti semuanya? Kemudian lanjutkan dan praktikkan dengan contoh!

1. Temukan nilai ekspresi if.

2. Nomor berapa yang memiliki modul sama?

3. Temukan arti ungkapan:

Jika belum semuanya jelas dan ada kesulitan dalam mengambil keputusan, mari kita cari tahu:

Solusi 1:

Jadi, mari kita substitusikan nilai-nilai dalam ekspresi

Solusi 2:

Seperti yang kita ingat, angka yang berlawanan adalah modulo sama. Artinya nilai modulus sama dengan dua bilangan: dan.

Solusi 3:

sebuah)
b)
di)
G)

Apakah Anda menangkap semuanya? Maka saatnya untuk beralih ke sesuatu yang lebih rumit!

Mari kita coba sederhanakan ekspresinya

Keputusan:

Jadi, kita ingat bahwa nilai modulus tidak boleh kurang dari nol. Jika angka di bawah tanda modulus positif, maka kita cukup membuang tandanya: modulus bilangan akan sama dengan bilangan ini.

Tetapi jika di bawah tanda modulus adalah angka negatif, maka nilai modul sama dengan bilangan lawan (yaitu bilangan yang diambil dengan tanda "-").

Untuk menemukan modulus ekspresi apa pun, pertama-tama Anda perlu mencari tahu apakah dibutuhkan nilai positif atau negatif.

Ternyata, nilai ekspresi pertama di bawah modul.

Oleh karena itu, ekspresi di bawah tanda modulus adalah negatif. Ekspresi kedua di bawah tanda modulus selalu positif, karena kita menjumlahkan dua bilangan positif.

Jadi, nilai ekspresi pertama di bawah tanda modulus adalah negatif, yang kedua adalah positif:

Ini berarti, ketika memperluas tanda modulus dari ekspresi pertama, kita harus mengambil ekspresi ini dengan tanda "-". Seperti ini:

Dalam kasus kedua, kita cukup membuang tanda modulo:

Mari kita sederhanakan ekspresi ini secara keseluruhan:

Modulus bilangan dan sifat-sifatnya (definisi dan pembuktian yang ketat)

Definisi:

Modulus (nilai mutlak) suatu bilangan adalah bilangan itu sendiri jika, dan bilangan itu jika:

Sebagai contoh:

Contoh:

Sederhanakan ekspresi.

Keputusan:

Sifat dasar modul

Untuk semua:

Contoh:

Buktikan properti #5.

Bukti:

Mari kita asumsikan bahwa ada

Mari kita kuadratkan bagian kiri dan kanan pertidaksamaan (ini bisa dilakukan, karena kedua bagian pertidaksamaan selalu non-negatif):

dan ini bertentangan dengan definisi modul.

Akibatnya, tidak ada yang seperti itu, yang berarti bahwa untuk semua ketidaksetaraan

Contoh untuk solusi independen:

1) Buktikan properti #6.

2) Sederhanakan ekspresi.

Jawaban:

1) Mari kita gunakan properti No. 3: , dan karena, maka

Untuk menyederhanakan, Anda perlu memperluas modul. Dan untuk memperluas modul, Anda perlu mencari tahu apakah ekspresi di bawah modul positif atau negatif?

sebuah. Mari kita bandingkan angka dan dan:

b. Sekarang mari kita bandingkan:

Kami menambahkan nilai modul:

Nilai mutlak suatu bilangan. Secara singkat tentang hal utama.

Modulus (nilai mutlak) suatu bilangan adalah bilangan itu sendiri jika, dan bilangan itu jika:

Properti modul:

1. Modulus suatu bilangan adalah bilangan non-negatif: ;
2. Modul angka yang berlawanan adalah sama: ;
3. Modul hasil kali dua (atau lebih) bilangan sama dengan hasil kali modulnya: ;
4. Modul hasil bagi dua bilangan sama dengan hasil bagi modulnya: ;
5. Modul jumlah bilangan selalu lebih kecil atau sama dengan jumlah modul bilangan berikut: ;
6. Faktor positif konstan dapat diambil dari tanda modulus: di;