Apa yang perlu Anda ketahui tentang ikon ketidaksetaraan? Ketidaksetaraan ikon lagi (> ), atau lebih kecil (< ) disebut ketat. Dengan ikon lebih atau sama (≥ ), kurang atau sama (≤ ) disebut tidak ketat. ikon tidak sama (≠ ) berdiri sendiri, tetapi Anda juga harus menyelesaikan contoh dengan ikon seperti itu setiap saat. Dan kita akan.)

Ikon itu sendiri tidak banyak berpengaruh pada proses solusi. Tetapi di akhir solusi, ketika memilih jawaban akhir, arti ikon muncul dengan kekuatan penuh! Seperti yang akan kita lihat di bawah, dalam contoh. Ada beberapa lelucon ...

Pertidaksamaan, seperti persamaan, adalah setia dan tidak setia. Semuanya sederhana di sini, tanpa trik. Katakanlah 5 > 2 adalah pertidaksamaan yang benar. 5 < 2 tidak benar.

Persiapan seperti itu bekerja untuk ketidaksetaraan apapun dan sederhana hingga horor.) Anda hanya perlu melakukan dua (hanya dua!) tindakan dasar dengan benar. Tindakan ini akrab bagi semua orang. Tapi, yang khas, kusen dalam tindakan ini adalah kesalahan utama dalam menyelesaikan ketidaksetaraan, ya ... Oleh karena itu, tindakan ini harus diulang. Tindakan ini disebut seperti ini:

Transformasi identitas ketidaksetaraan.

Transformasi identitas pertidaksamaan sangat mirip dengan transformasi identitas persamaan. Sebenarnya ini adalah masalah utama. Perbedaan menyelinap melewati kepala dan ... tiba.) Oleh karena itu, saya akan menyoroti perbedaan ini secara khusus. Jadi, transformasi pertidaksamaan identik pertama:

1. Angka atau ekspresi yang sama dapat ditambahkan (dikurangi) pada kedua bagian pertidaksamaan. Setiap. Tanda pertidaksamaan tidak akan berubah.

Dalam praktiknya, aturan ini diterapkan sebagai pemindahan suku dari ruas kiri pertidaksamaan ke ruas kanan (dan sebaliknya) dengan perubahan tanda. Dengan perubahan tanda istilah, bukan pertidaksamaan! Aturan satu-satu sama dengan aturan persamaan. Tetapi transformasi identik berikut dalam pertidaksamaan berbeda secara signifikan dari transformasi dalam persamaan. Jadi saya menyorotnya dengan warna merah:

2. Kedua bagian pertidaksamaan dapat dikalikan (dibagi) dengan yang samapositifnomor. Untuk apa sajapositif Tidak akan berubah.

3. Kedua bagian pertidaksamaan dapat dikalikan (dibagi) dengan yang samanegatif nomor. Untuk apa sajanegatifnomor. Tanda pertidaksamaan dari iniakan berubah sebaliknya.

Anda ingat (berharap...) bahwa suatu persamaan dapat dikalikan/dibagi dengan apa saja. Dan untuk nomor berapa pun, dan untuk ekspresi dengan x. Selama itu tidak nol. Dia, persamaannya, tidak panas atau dingin dari ini.) Itu tidak berubah. Tetapi ketidaksetaraan lebih sensitif terhadap perkalian/pembagian.

Sebuah contoh yang baik untuk memori yang panjang. Kami menulis ketidaksetaraan yang tidak menimbulkan keraguan:

5 > 2

Kalikan kedua ruas dengan +3, kita mendapatkan:

15 > 6

Apakah ada keberatan? Tidak ada keberatan.) Dan jika kita mengalikan kedua bagian dari ketidaksetaraan asli dengan -3, kita mendapatkan:

15 > -6

Dan ini benar-benar bohong.) Benar-benar bohong! Membodohi orang! Tetapi begitu tanda pertidaksamaan dibalik, semuanya menjadi pada tempatnya:

15 < -6

Tentang kebohongan dan penipuan - saya tidak hanya bersumpah.) "Aku lupa mengganti tanda pertidaksamaan..."- Ini rumah kesalahan dalam menyelesaikan pertidaksamaan. Aturan sepele dan tidak rumit ini telah menyakiti begitu banyak orang! Siapa yang lupa ...) Jadi saya bersumpah. Mungkin ingat...)

Mereka yang sangat memperhatikan akan melihat bahwa ketidaksetaraan tidak dapat dikalikan dengan ekspresi dengan x. Hormati perhatian!) Dan mengapa tidak? Jawabannya sederhana. Kita tidak tahu tanda dari ekspresi ini dengan x. Itu bisa positif, negatif ... Oleh karena itu, kita tidak tahu tanda pertidaksamaan apa yang harus diletakkan setelah perkalian. Ubah atau tidak? Tidak dikenal. Tentu saja, batasan ini (larangan mengalikan / membagi pertidaksamaan dengan ekspresi dengan x) dapat dilewati. Jika Anda benar-benar membutuhkannya. Tapi ini adalah topik untuk pelajaran lain.

Itu semua transformasi identik dari ketidaksetaraan. Biarkan saya mengingatkan Anda lagi bahwa mereka bekerja untuk setiap ketidaksetaraan. Dan sekarang Anda dapat beralih ke tipe tertentu.

Pertidaksamaan linier. Solusi, contoh.

Pertidaksamaan linier disebut pertidaksamaan di mana x berada pada derajat pertama dan tidak ada pembagian oleh x. Jenis:

x+3 > 5x-5

Bagaimana ketidaksetaraan ini diselesaikan? Mereka sangat mudah untuk dipecahkan! Yaitu: dengan bantuan kami mengurangi ketidaksetaraan linier yang paling membingungkan langsung ke jawabannya. Itulah seluruh solusi. Saya akan menyoroti poin utama dari solusi. Untuk menghindari kesalahan bodoh.)

Kami memecahkan ketidaksetaraan ini:

x+3 > 5x-5

Kami memecahkan dengan cara yang sama seperti persamaan linier. Dengan satu-satunya perbedaan:

Perhatikan baik-baik tanda pertidaksamaan!

Langkah pertama adalah yang paling umum. Dengan x - ke kiri, tanpa x - ke kanan ... Ini adalah transformasi identik pertama, sederhana dan bebas masalah.) Hanya jangan lupa untuk mengubah tanda-tanda anggota yang ditransfer.

Tanda pertidaksamaan dipertahankan:

x-5x > -5-3

Kami menyajikan yang serupa.

Tanda pertidaksamaan dipertahankan:

4x > -8

Tetap menerapkan transformasi identik terakhir: bagi kedua bagian dengan -4.

Dibagi dengan negatif nomor.

Tanda pertidaksamaan akan dibalik:

X < 2

Ini adalah jawabannya.

Ini adalah bagaimana semua ketidaksetaraan linier diselesaikan.

Perhatian! Poin 2 digambar putih, mis. tidak dicat. Kosong di dalam. Ini berarti dia tidak termasuk dalam jawaban! Aku sengaja menggambarnya begitu sehat. Titik seperti itu (kosong, tidak sehat!)) dalam matematika disebut titik tertekuk.

Angka-angka yang tersisa pada sumbu dapat ditandai, tetapi tidak perlu. Angka-angka asing yang tidak terkait dengan pertidaksamaan kita bisa membingungkan, ya ... Anda hanya perlu ingat bahwa kenaikan angka itu searah dengan panah, yaitu. nomor 3, 4, 5, dst. adalah ke kanan dua, dan angka 1, 0, -1, dst. - ke kiri.

Ketimpangan x < 2 - ketat. X benar-benar kurang dari dua. Jika ragu, ceknya sederhana. Kami mengganti angka yang meragukan dalam ketidaksetaraan dan berpikir: "Dua kurang dari dua? Tentu saja tidak!" Tepat. Ketimpangan 2 < 2 salah. Sebuah deuce tidak baik untuk sebuah jawaban.

Apakah satu saja sudah cukup? Tentu. Kurang ... Dan nol bagus, dan -17, dan 0,34 ... Ya, semua angka yang kurang dari dua bagus! Dan bahkan 1,9999 .... Setidaknya sedikit, tapi kurang!

Jadi kami menandai semua angka ini pada sumbu angka. Bagaimana? Ada pilihan di sini. Opsi pertama adalah menetas. Kami mengarahkan mouse ke gambar (atau menyentuh gambar di tablet) dan melihat bahwa area bola x yang cocok dengan kondisi x diarsir < 2 . Itu saja.

Mari kita pertimbangkan opsi kedua dalam contoh kedua:

X ≥ -0,5

Gambarlah sumbu, tandai angka -0,5. Seperti ini:

Apakah Anda memperhatikan perbedaannya?) Ya, sulit untuk tidak menyadarinya... Titik ini berwarna hitam! Dilukis. Ini berarti bahwa -0,5 termasuk dalam jawaban. Di sini, omong-omong, memeriksa dan membingungkan seseorang. Kami mengganti:

-0,5 ≥ -0,5

Bagaimana? -0,5 tidak lebih dari -0,5! Ada lagi ikon...

Tidak apa-apa. Dalam ketidaksetaraan yang tidak ketat, semua yang cocok dengan ikon cocok. Dan sama dengan cocok dan lagi bagus. Oleh karena itu, -0,5 termasuk dalam respons.

Jadi, kami menandai -0,5 pada sumbu, tetap menandai semua angka yang lebih besar dari -0,5. Kali ini saya menandai kisaran nilai x yang sesuai belenggu(dari kata busur) daripada menetas. Arahkan kursor ke gambar dan lihat busur ini.

Tidak ada perbedaan khusus antara penetasan dan lengkungan. Lakukan seperti yang dikatakan guru. Jika tidak ada guru, gambarlah lengannya. Dalam tugas yang lebih kompleks, penetasan kurang jelas. Anda bisa bingung.

Ini adalah bagaimana ketidaksetaraan linier digambar pada sumbu. Kami lolos ke singularitas ketidaksetaraan berikutnya.

Tulis jawaban untuk pertidaksamaan.

Itu bagus dalam persamaan.) Kami menemukan x, dan menuliskan jawabannya, misalnya: x \u003d 3. Dalam pertidaksamaan, ada dua bentuk penulisan jawaban. Satu - dalam bentuk ketidaksetaraan akhir. Baik untuk kasus sederhana. Sebagai contoh:

X< 2.

Ini adalah jawaban yang lengkap.

Kadang-kadang diperlukan untuk menulis hal yang sama, tetapi dalam bentuk yang berbeda, melalui celah numerik. Kemudian entri mulai terlihat sangat ilmiah):

x (-∞; 2)

Di bawah ikon ∈ menyembunyikan kata "milik".

Entrinya berbunyi seperti ini: x termasuk dalam interval dari minus tak terhingga hingga dua tidak termasuk. Cukup logis. X dapat berupa bilangan apa saja dari semua bilangan yang mungkin dari minus tak terhingga hingga dua. Double X tidak mungkin, itulah yang dikatakan kata itu kepada kita "tidak termasuk".

Di mana jawabannya itu "tidak termasuk"? Fakta ini dicatat dalam jawabannya. bulat kurung segera setelah deuce. Jika deuce disertakan, tanda kurungnya adalah kotak. Ini dia: ]. Contoh berikut menggunakan tanda kurung seperti itu.

Ayo tuliskan jawabannya: x ≥ -0,5 melalui interval:

x [-0,5; +∞)

Membaca: x termasuk dalam interval dari minus 0,5, termasuk, hingga plus tak terhingga.

Infinity tidak pernah bisa menyala. Itu bukan angka, itu simbol. Oleh karena itu, dalam entri seperti itu, infinity selalu berdampingan dengan tanda kurung.

Bentuk pencatatan ini cocok untuk jawaban kompleks yang terdiri dari beberapa celah. Tapi - hanya untuk jawaban akhir. Dalam hasil antara, di mana solusi lebih lanjut diharapkan, lebih baik menggunakan bentuk biasa, dalam bentuk pertidaksamaan sederhana. Kami akan menangani ini dalam topik yang relevan.

Tugas populer dengan ketidaksetaraan.

Pertidaksamaan linier itu sendiri sederhana. Oleh karena itu, tugas sering menjadi lebih sulit. Jadi, untuk berpikir itu perlu. Ini, jika karena kebiasaan, sangat tidak menyenangkan.) Tetapi ini berguna. Saya akan menunjukkan contoh tugas seperti itu. Bukan untuk Anda pelajari, itu berlebihan. Dan agar tidak takut jika bertemu dengan contoh serupa. Sedikit pemikiran - dan semuanya sederhana!)

1. Temukan dua solusi dari pertidaksamaan 3x - 3< 0

Jika tidak terlalu jelas apa yang harus dilakukan, ingat aturan utama matematika:

Jika Anda tidak tahu apa yang harus dilakukan, lakukan apa yang Anda bisa!

X < 1

Terus? Tidak ada yang spesial. Apa yang kita tanyakan? Kita diminta untuk menemukan dua bilangan spesifik yang merupakan solusi dari pertidaksamaan. Itu. cocok dengan jawabannya. Dua setiap angka. Sebenarnya, ini memalukan.) Beberapa 0 dan 0,5 cocok. Pasangan -3 dan -8. Ya, ada jumlah tak terbatas dari pasangan ini! Apa jawaban yang benar?!

Saya menjawab: semuanya! Setiap pasangan bilangan, yang masing-masing kurang dari satu, akan menjadi jawaban yang benar. Tulis apa yang Anda inginkan. Mari kita pergi lebih jauh.

2. Selesaikan pertidaksamaan:

4x - 3 ≠ 0

Pekerjaan seperti ini jarang terjadi. Tetapi, sebagai pertidaksamaan bantu, ketika menemukan ODZ, misalnya, atau ketika menemukan domain suatu fungsi, mereka ditemui sepanjang waktu. Pertidaksamaan linier seperti itu dapat diselesaikan sebagai persamaan linier biasa. Hanya di mana-mana, kecuali tanda "=" ( sama dengan) beri tanda " ≠ " (tidak sama). Jadi Anda akan sampai pada jawabannya, dengan tanda ketidaksetaraan:

X ≠ 0,75

Dalam contoh yang lebih kompleks, lebih baik melakukan sesuatu secara berbeda. Jadikan ketidaksetaraan sama. Seperti ini:

4x - 3 = 0

Selesaikan dengan tenang seperti yang diajarkan, dan dapatkan jawabannya:

x = 0,75

Hal utama, di bagian paling akhir, saat menuliskan jawaban akhir, jangan lupa bahwa kami telah menemukan x, yang memberikan persamaan. Dan kita perlu - ketidaksamaan. Oleh karena itu, kita tidak memerlukan X ini.) Dan kita perlu menuliskannya dengan ikon yang benar:

X ≠ 0,75

Pendekatan ini menghasilkan lebih sedikit kesalahan. Mereka yang memecahkan persamaan pada mesin. Dan bagi mereka yang tidak menyelesaikan persamaan, ketidaksetaraan, pada kenyataannya, tidak berguna ...) Contoh lain dari tugas populer:

3. Temukan solusi bilangan bulat terkecil dari pertidaksamaan:

3(x - 1) < 5x + 9

Pertama, kita selesaikan pertidaksamaannya. Kami membuka tanda kurung, mentransfer, memberikan yang serupa ... Kami mendapatkan:

X > - 6

Bukankah itu terjadi!? Apakah Anda mengikuti tanda-tandanya? Dan di balik tanda-tanda anggota, dan di balik tanda ketidaksetaraan ...

Mari kita bayangkan lagi. Kita perlu menemukan nomor tertentu yang cocok dengan jawaban dan kondisinya "bilangan bulat terkecil". Jika Anda tidak segera menyadarinya, Anda dapat mengambil nomor apa saja dan mencari tahu. Dua lebih besar dari minus enam? Tentu! Apakah ada nomor yang lebih kecil yang cocok? Tentu saja. Misalnya, nol lebih besar dari -6. Dan bahkan lebih sedikit? Kami membutuhkan sekecil mungkin! Minus tiga lebih dari minus enam! Anda sudah dapat menangkap polanya dan berhenti dengan bodohnya memilah angka, kan?)

Kami mengambil nomor lebih dekat ke -6. Misalnya, -5. Respons dieksekusi, -5 > - 6. Dapatkah kamu menemukan bilangan lain yang kurang dari -5 tetapi lebih besar dari -6? Anda dapat, misalnya, -5.5 ... Berhenti! Kami telah diberitahu utuh keputusan! Tidak menggulung -5.5! Bagaimana dengan minus enam? Eee! Ketimpangannya ketat, minus 6 tidak kurang dari minus 6!

Jadi jawaban yang benar adalah -5.

Saya harap semuanya jelas dengan pilihan nilai dari solusi umum. Contoh lain:

4. Selesaikan pertidaksamaan:

7 < 3x+1 < 13

Bagaimana! Ungkapan seperti itu disebut ketidaksetaraan tiga kali lipat. Sebenarnya, ini adalah notasi singkat dari sistem ketidaksetaraan. Tetapi Anda masih harus menyelesaikan ketidaksetaraan rangkap tiga dalam beberapa tugas ... Ini diselesaikan tanpa sistem apa pun. Dengan transformasi identik yang sama.

Perlu disederhanakan, bawa pertidaksamaan ini ke X murni. Tapi... Apa yang harus dipindahkan kemana!? Inilah saatnya untuk mengingat bahwa menggeser kiri-kanan adalah bentuk singkat transformasi identik pertama.

Dan bentuk lengkapnya seperti ini: Anda dapat menambah / mengurangi angka atau ekspresi apa pun ke kedua bagian persamaan (pertidaksamaan).

Ada tiga bagian di sini. Jadi kita akan menerapkan transformasi identik untuk ketiga bagian!

Jadi, mari kita singkirkan yang ada di bagian tengah ketidaksetaraan. Kurangi satu dari seluruh bagian tengah. Agar pertidaksamaan tidak berubah, kita kurangi satu dari dua bagian yang tersisa. Seperti ini:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Sudah lebih baik, kan?) Tetap membagi ketiga bagian menjadi tiga:

2 < X < 4

Itu saja. Ini adalah jawabannya. X dapat berupa angka dari dua (tidak termasuk) hingga empat (tidak termasuk). Jawaban ini juga ditulis pada interval, entri tersebut akan berada dalam ketidaksetaraan persegi. Di sana mereka adalah hal yang paling umum.

Di akhir pelajaran, saya akan mengulangi hal yang paling penting. Keberhasilan dalam memecahkan pertidaksamaan linier tergantung pada kemampuan untuk mengubah dan menyederhanakan persamaan linier. Jika pada saat yang sama mengikuti tanda pertidaksamaan, tidak akan ada masalah. Apa yang saya berharap Anda. tidak masalah.)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Misalnya, ekspresi \(x>5\) adalah pertidaksamaan.

Jenis ketidaksetaraan:

Jika \(a\) dan \(b\) adalah bilangan atau , maka pertidaksamaan tersebut disebut numerik. Sebenarnya, ini hanya perbandingan dua angka. Ketidaksetaraan ini dibagi lagi menjadi setia dan tidak setia.

Sebagai contoh:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) adalah pertidaksamaan numerik yang tidak valid karena \(17+3=20\) dan \(20\) lebih kecil dari \(115\) (tidak lebih besar atau sama dengan).

Jika \(a\) dan \(b\) adalah ekspresi yang mengandung variabel, maka kita memiliki pertidaksamaan dengan variabel. Ketidaksetaraan tersebut dibagi menjadi beberapa jenis tergantung pada konten:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Variabel hanya untuk kekuatan pertama
\(3x^2-x+5>0\)				Ada variabel di pangkat kedua (kuadrat), tetapi tidak ada pangkat yang lebih tinggi (ketiga, keempat, dst.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... dll.

Apa solusi dari pertidaksamaan?

Jika ada angka yang disubstitusikan ke dalam pertidaksamaan dan bukan variabel, maka itu akan berubah menjadi angka.

Jika nilai x yang diberikan membuat pertidaksamaan asli menjadi numerik, maka itu disebut menyelesaikan pertidaksamaan. Jika tidak, maka nilai ini bukan solusi. Dan untuk menyelesaikan ketidaksetaraan- Anda perlu menemukan semua solusinya (atau menunjukkan bahwa itu tidak ada).

Sebagai contoh, jika kita berada dalam pertidaksamaan linier \(x+6>10\), kita mengganti bilangan \(7\) sebagai ganti x, kita mendapatkan pertidaksamaan numerik yang benar: \(13>10\). Dan jika kita substitusikan \(2\), akan ada pertidaksamaan numerik yang salah \(8>10\). Artinya, \(7\) adalah solusi dari pertidaksamaan asli, tetapi \(2\) bukan.

Namun, pertidaksamaan \(x+6>10\) memiliki solusi lain. Memang, kita akan mendapatkan pertidaksamaan numerik yang benar saat mensubstitusi dan \(5\), dan \(12\), dan \(138\) ... Dan bagaimana kita dapat menemukan semua solusi yang mungkin? Untuk melakukan ini, gunakan Untuk kasus kami, kami memiliki:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Artinya, kita dapat menggunakan bilangan apa pun yang lebih besar dari empat. Sekarang kita perlu menuliskan jawabannya. Solusi untuk ketidaksetaraan, sebagai suatu peraturan, ditulis secara numerik, selain itu menandainya pada sumbu numerik dengan penetasan. Untuk kasus kami, kami memiliki:

Menjawab: \(x\in(4;+\infty)\)

Kapan perubahan tanda pada pertidaksamaan?

Ada satu jebakan besar dalam ketidaksetaraan, yang benar-benar "suka" oleh siswa:

Saat mengalikan (atau membagi) pertidaksamaan dengan angka negatif, itu dibalik (“lebih besar dari” dengan “kurang”, “lebih besar dari atau sama dengan” dengan “kurang dari atau sama dengan”, dan seterusnya)

Mengapa ini terjadi? Untuk memahaminya, mari kita lihat transformasi pertidaksamaan numerik \(3>1\). Benar, triple itu benar-benar lebih dari satu. Pertama, mari kita coba mengalikannya dengan bilangan positif apa pun, misalnya dua:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Seperti yang Anda lihat, setelah perkalian, ketidaksetaraan tetap benar. Dan berapa pun bilangan positif yang kita kalikan, kita akan selalu mendapatkan pertidaksamaan yang benar. Dan sekarang mari kita coba mengalikan dengan angka negatif, misalnya dikurangi tiga:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Ternyata ketidaksetaraan yang salah, karena minus sembilan kurang dari minus tiga! Artinya, agar pertidaksamaan menjadi benar (yang berarti transformasi perkalian dengan negatif adalah “legal”), Anda perlu membalik tanda perbandingan, seperti ini: \(−9<− 3\).
Dengan pembagian, itu akan menjadi sama, Anda dapat memeriksanya sendiri.

Aturan yang tertulis di atas berlaku untuk semua jenis ketidaksetaraan, dan tidak hanya untuk yang numerik.

Contoh: Selesaikan pertidaksamaan \(2(x+1)-1<7+8x\)
Keputusan:

\(2x+2-1<7+8x\)	Mari kita geser \(8x\) ke kiri, dan \(2\) dan \(-1\) ke kanan, tidak lupa mengganti tanda
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Bagi kedua ruas pertidaksamaan dengan \(-6\), jangan lupa ubah dari "kurang" menjadi "lebih besar"
	Mari kita tandai interval numerik pada sumbu. Ketimpangan, jadi nilainya \(-1\) "dilubangi" dan kami tidak menanggapinya
	Mari kita tulis jawabannya sebagai interval

Menjawab: \(x\in(-1;\infty)\)

Ketidaksetaraan dan DHS

Pertidaksamaan, serta persamaan, dapat memiliki batasan pada , yaitu pada nilai x. Dengan demikian, nilai-nilai yang tidak dapat diterima menurut ODZ harus dikeluarkan dari interval solusi.

Contoh: Selesaikan pertidaksamaan \(\sqrt(x+1)<3\)

Keputusan: Jelas bahwa agar ruas kiri lebih kecil dari \(3\), ekspresi akar harus lebih kecil dari \(9\) (setelah semua, dari \(9\) hanya \(3\)). Kita mendapatkan:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Semua? Nilai x lebih kecil dari \(8\) akan cocok untuk kita? Bukan! Karena jika kita mengambil, misalnya, nilai \(-5\) yang tampaknya memenuhi persyaratan, itu tidak akan menjadi solusi dari pertidaksamaan asli, karena itu akan mengarahkan kita untuk menghitung akar dari bilangan negatif.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Oleh karena itu, kita juga harus mempertimbangkan pembatasan nilai x - tidak mungkin ada bilangan negatif di bawah akar. Jadi, kita memiliki persyaratan kedua untuk x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Dan agar x menjadi solusi akhir, ia harus memenuhi kedua persyaratan sekaligus: harus lebih kecil dari \(8\) (menjadi solusi) dan lebih besar dari \(-1\) (untuk menjadi valid pada prinsipnya). Merencanakan pada garis bilangan, kami memiliki jawaban akhir:

Menjawab: \(\kiri[-1;8\kanan)\)

Di antara seluruh variasi pertidaksamaan logaritmik, pertidaksamaan dengan basis variabel dipelajari secara terpisah. Mereka diselesaikan sesuai dengan formula khusus, yang karena alasan tertentu jarang diajarkan di sekolah:

log k (x ) f (x ) log k (x ) g (x ) (f (x ) g (x )) (k (x ) 1) 0

Alih-alih gagak "∨", Anda dapat meletakkan tanda ketidaksetaraan apa pun: kurang lebih. Hal utama adalah bahwa dalam kedua ketidaksetaraan tandanya sama.

Jadi kita singkirkan logaritma dan perkecil masalahnya menjadi ketidaksetaraan rasional. Yang terakhir ini jauh lebih mudah untuk dipecahkan, tetapi ketika membuang logaritma, akar tambahan mungkin muncul. Untuk memotongnya, cukup dengan menemukan kisaran nilai yang dapat diterima. Jika Anda lupa ODZ logaritma, saya sangat menyarankan untuk mengulanginya - lihat "Apa itu logaritma".

Segala sesuatu yang terkait dengan rentang nilai yang dapat diterima harus ditulis dan diselesaikan secara terpisah:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) 1.

Keempat ketidaksetaraan ini merupakan suatu sistem dan harus dipenuhi secara bersamaan. Ketika kisaran nilai yang dapat diterima ditemukan, ia masih harus menyeberanginya dengan solusi ketidaksetaraan rasional - dan jawabannya sudah siap.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

Pertama, mari kita tulis ODZ dari logaritma:

Dua ketidaksetaraan pertama dilakukan secara otomatis, dan yang terakhir harus ditulis. Karena kuadrat suatu bilangan adalah nol jika dan hanya jika bilangan itu sendiri adalah nol, kita memperoleh:

x 2 + 1 1;
x2 0;
x 0.

Ternyata ODZ dari logaritma adalah semua bilangan kecuali nol: x (−∞ 0)∪(0; +∞). Sekarang kami memecahkan ketidaksetaraan utama:

Kami melakukan transisi dari pertidaksamaan logaritmik ke pertidaksamaan rasional. Pada pertidaksamaan asal terdapat tanda “kurang dari”, maka pertidaksamaan yang dihasilkan juga harus memiliki tanda “kurang dari”. Kita punya:

(10 (x 2 + 1)) (x 2 + 1 1)< 0;
(9 x2) x2< 0;
(3 x) (3 + x) x 2< 0.

Nol dari ekspresi ini: x = 3; x = -3; x = 0. Selain itu, x = 0 adalah akar dari perkalian kedua, yang berarti bahwa ketika melewatinya, tanda fungsi tidak berubah. Kita punya:

Kami mendapatkan x (−∞ 3)∪(3; +∞). Himpunan ini sepenuhnya terkandung dalam ODZ dari logaritma, yang berarti bahwa ini adalah jawabannya.

Transformasi pertidaksamaan logaritma

Seringkali ketidaksetaraan asli berbeda dari yang di atas. Ini mudah diperbaiki sesuai dengan aturan standar untuk bekerja dengan logaritma - lihat "Sifat dasar logaritma". Yaitu:

1. Setiap nomor dapat direpresentasikan sebagai logaritma dengan basis yang diberikan;
2. Jumlah dan selisih logaritma dengan basis yang sama dapat diganti dengan logaritma tunggal.

Secara terpisah, saya ingin mengingatkan Anda tentang kisaran nilai yang dapat diterima. Karena mungkin ada beberapa logaritma dalam pertidaksamaan asli, maka diperlukan untuk menemukan DPV dari masing-masingnya. Dengan demikian, skema umum untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma adalah sebagai berikut:

1. Temukan ODZ dari setiap logaritma yang termasuk dalam pertidaksamaan;
2. Kurangi pertidaksamaan ke standar menggunakan rumus penjumlahan dan pengurangan logaritma;
3. Selesaikan pertidaksamaan yang dihasilkan sesuai dengan skema di atas.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

Temukan domain definisi (ODZ) dari logaritma pertama:

Kami memecahkan dengan metode interval. Mencari angka nol pembilangnya:

3x 2 = 0;
x = 2/3.

Kemudian - nol penyebut:

x 1 = 0;
x = 1.

Kami menandai nol dan tanda pada panah koordinat:

Kami mendapatkan x (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Logaritma kedua dari ODZ akan sama. Jika Anda tidak percaya saya, Anda dapat memeriksa. Sekarang kita ubah logaritma kedua sehingga basisnya adalah dua:

Seperti yang Anda lihat, tiga kali lipat di pangkalan dan sebelum logaritma telah menyusut. Dapatkan dua logaritma dengan basis yang sama. Mari kita satukan:

log 2 (x 1) 2< 2;
log 2 (x 1) 2< log 2 2 2 .

Kami telah memperoleh ketidaksetaraan logaritmik standar. Kami menyingkirkan logaritma dengan rumus. Karena ada tanda kurang dari pada pertidaksamaan asli, ekspresi rasional yang dihasilkan juga harus lebih kecil dari nol. Kita punya:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x 1) 2 2 2)(2 1)< 0;
x 2 2x + 1 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x 3)(x + 1)< 0;
x (−1; 3).

Kami mendapat dua set:

1. ODZ: x (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Kandidat jawaban: x (−1; 3).

Tetap melewati set ini - kami mendapatkan jawaban sebenarnya:

Kami tertarik pada perpotongan himpunan, jadi kami memilih interval yang diarsir pada kedua panah. Kami mendapatkan x (−1; 2/3)∪(1; 3) - semua titik tertusuk.