Petunjuk

Metode penambahan.
Anda perlu menulis dua secara ketat di bawah satu sama lain:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Dalam persamaan yang dipilih secara sewenang-wenang (dari sistem), masukkan angka 11 alih-alih "permainan" yang sudah ditemukan dan hitung yang tidak diketahui kedua:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Jawaban dari sistem persamaan ini: x=116, y=11.

cara grafis.
Ini terdiri dari penemuan praktis koordinat titik di mana garis-garis itu ditulis secara matematis dalam sistem persamaan. Anda harus menggambar grafik kedua garis secara terpisah dalam sistem koordinat yang sama. Tampilan umum: - y \u003d kx + b. Untuk membuat garis lurus, cukup mencari koordinat dua titik, dan x dipilih secara arbitrer.
Biarkan sistem diberikan: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
Garis lurus dibangun sesuai dengan yang pertama, untuk kenyamanan perlu dituliskan: y \u003d 2x-4. Temukan nilai (lebih mudah) untuk x, substitusikan ke persamaan, selesaikan, temukan y. Dua titik diperoleh, di mana garis lurus dibangun. (lihat gambar.)
x 0 1

y -4 -2
Garis lurus dibangun sesuai dengan persamaan kedua: y \u003d -3x + 1.
Juga membangun garis. (lihat gambar.)

1-5
Temukan koordinat titik potong dua garis yang dibangun pada grafik (jika garis tidak berpotongan, maka sistem persamaan tidak memiliki - jadi).

Video Terkait

Saran yang bermanfaat

Jika sistem persamaan yang sama diselesaikan dengan tiga cara yang berbeda, jawabannya akan sama (jika solusinya benar).

Sumber:

• Aljabar Kelas 8
• selesaikan persamaan dengan dua yang tidak diketahui secara online
• Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua

Sistem persamaan adalah kumpulan catatan matematika, yang masing-masing berisi sejumlah variabel tertentu. Ada beberapa cara untuk menyelesaikannya.

Anda akan perlu

• -Penggaris dan pensil;
• -Kalkulator.

Petunjuk

Pertimbangkan urutan penyelesaian sistem, yang terdiri dari persamaan linier berbentuk: a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2. Dimana x dan y adalah variabel yang tidak diketahui dan b,c adalah anggota bebas. Saat menerapkan metode ini, setiap sistem adalah koordinat titik-titik yang sesuai dengan setiap persamaan. Pertama, dalam setiap kasus, nyatakan satu variabel dalam istilah yang lain. Kemudian atur variabel x ke sejumlah nilai. Dua sudah cukup. Masukkan ke dalam persamaan dan temukan y. Bangun sistem koordinat, tandai titik yang diperoleh di atasnya dan gambar garis lurus melaluinya. Perhitungan serupa harus dilakukan untuk bagian lain dari sistem.

Sistem memiliki solusi unik jika garis yang dibangun berpotongan dan memiliki satu titik yang sama. Tidak konsisten jika mereka sejajar satu sama lain. Dan itu memiliki banyak solusi ketika garis bergabung satu sama lain.

Metode ini dianggap sangat jelas. Kerugian utama adalah bahwa yang tidak diketahui yang dihitung memiliki nilai perkiraan. Hasil yang lebih akurat diberikan oleh apa yang disebut metode aljabar.

Setiap solusi untuk sistem persamaan layak untuk diperiksa. Untuk melakukan ini, gantikan nilai yang diperoleh alih-alih variabel. Anda juga dapat menemukan solusinya dalam beberapa cara. Jika solusi sistemnya benar, maka semua orang harus menjadi sama.

Seringkali ada persamaan yang salah satu sukunya tidak diketahui. Untuk memecahkan persamaan, Anda perlu mengingat dan melakukan serangkaian tindakan tertentu dengan angka-angka ini.

Anda akan perlu

• - kertas;
• - Pena atau pensil.

Petunjuk

Bayangkan Anda memiliki 8 kelinci di depan Anda, dan Anda hanya memiliki 5 wortel. Pikirkan Anda perlu membeli lebih banyak wortel agar setiap kelinci mendapat wortel.

Mari kita nyatakan masalah ini dalam bentuk persamaan: 5 + x = 8. Mari kita substitusikan angka 3 dengan x. Memang, 5 + 3 = 8.

Ketika Anda mengganti angka untuk x, Anda melakukan operasi yang sama seperti mengurangkan 5 dari 8. Jadi, untuk menemukan tidak dikenal suku, kurangi suku yang diketahui dari jumlah.

Katakanlah Anda memiliki 20 kelinci dan hanya 5 wortel. Mari kita menulis. Persamaan adalah persamaan yang hanya berlaku untuk nilai-nilai tertentu dari huruf-huruf yang termasuk di dalamnya. Huruf-huruf yang nilainya ingin Anda temukan disebut. Tulis persamaan dengan satu yang tidak diketahui, sebut saja x. Saat menyelesaikan masalah kita tentang kelinci, persamaan berikut diperoleh: 5 + x = 20.

Mari kita cari perbedaan antara 20 dan 5. Saat mengurangkan, jumlah pengurangannya dikurangi. Bilangan yang dikurangi disebut , dan hasil akhirnya disebut selisih. Jadi, x = 20 - 5; x = 15. Anda perlu membeli 15 wortel untuk kelinci.

Beri tanda centang: 5 + 15 = 20. Persamaannya benar. Tentu saja, dalam hal sederhana seperti itu, pemeriksaan tidak diperlukan. Namun, jika menyangkut persamaan dengan tiga angka, empat angka, dan seterusnya, sangat penting untuk memeriksa untuk benar-benar yakin dengan hasil pekerjaan Anda.

Video Terkait

Saran yang bermanfaat

Untuk menemukan minuend yang tidak diketahui, Anda perlu menambahkan pengurangan pada selisihnya.

Untuk menemukan pengurangan yang tidak diketahui, perlu untuk mengurangi perbedaan dari minuend.

Tip 4: Bagaimana menyelesaikan sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui

Sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui mungkin tidak memiliki solusi, meskipun jumlah persamaan cukup. Anda dapat mencoba menyelesaikannya dengan menggunakan metode substitusi atau menggunakan metode Cramer. Metode Cramer, selain memecahkan sistem, memungkinkan seseorang untuk mengevaluasi apakah sistem dapat dipecahkan sebelum menemukan nilai yang tidak diketahui.

Petunjuk

Metode substitusi terdiri dari secara berurutan satu yang tidak diketahui melalui dua lainnya dan mensubstitusikan hasil yang diperoleh ke dalam persamaan sistem. Biarkan sistem tiga persamaan diberikan dalam bentuk umum:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Nyatakan x dari persamaan pertama: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - dan substitusikan ke persamaan kedua dan ketiga, lalu nyatakan y dari persamaan kedua dan substitusikan ke persamaan ketiga. Anda akan mendapatkan ekspresi linier untuk z melalui koefisien persamaan sistem. Sekarang "kembali": masukkan z ke persamaan kedua dan temukan y, lalu masukkan z dan y ke persamaan pertama dan temukan x. Proses umumnya ditunjukkan pada gambar sampai z ditemukan. Selanjutnya, catatan dalam bentuk umum akan terlalu rumit, dalam praktiknya, menggantikan , Anda dapat dengan mudah menemukan ketiga yang tidak diketahui.

Metode Cramer terdiri dari menyusun matriks sistem dan menghitung determinan matriks ini, serta tiga matriks tambahan lainnya. Matriks sistem terdiri dari koefisien pada suku-suku persamaan yang tidak diketahui. Kolom yang berisi angka-angka di sisi kanan persamaan, kolom di sisi kanan. Itu tidak digunakan dalam sistem, tetapi digunakan saat menyelesaikan sistem.

Video Terkait

catatan

Semua persamaan dalam sistem harus memberikan informasi tambahan yang tidak bergantung pada persamaan lainnya. Jika tidak, sistem akan underdetermined dan tidak akan mungkin untuk menemukan solusi yang jelas.

Saran yang bermanfaat

Setelah menyelesaikan sistem persamaan, substitusikan nilai-nilai yang ditemukan ke dalam sistem asli dan periksa apakah mereka memenuhi semua persamaan.

Dengan sendirinya persamaan dengan tiga tidak dikenal memiliki banyak solusi, sehingga paling sering dilengkapi dengan dua persamaan atau kondisi lagi. Tergantung pada apa data awal, jalannya keputusan akan sangat tergantung.

Anda akan perlu

• - sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui.

Petunjuk

Jika dua dari tiga sistem hanya memiliki dua dari tiga yang tidak diketahui, coba nyatakan beberapa variabel dalam kaitannya dengan yang lain dan hubungkan ke persamaan dengan tiga tidak dikenal. Tujuan Anda dengan ini adalah untuk mengubahnya menjadi normal persamaan dengan yang tidak diketahui. Jika ya , solusi selanjutnya cukup sederhana - substitusikan nilai yang ditemukan ke persamaan lain dan temukan semua yang tidak diketahui lainnya.

Beberapa sistem persamaan dapat dikurangkan dari satu persamaan dengan persamaan lainnya. Lihat apakah mungkin untuk mengalikan salah satu dengan atau variabel sehingga dua yang tidak diketahui direduksi sekaligus. Jika ada kesempatan seperti itu, gunakan, kemungkinan besar, keputusan selanjutnya tidak akan sulit. Jangan lupa bahwa ketika mengalikan dengan sebuah angka, Anda harus mengalikan ruas kiri dan ruas kanan. Demikian pula, saat mengurangkan persamaan, ingatlah bahwa ruas kanan juga harus dikurangi.

Jika metode sebelumnya tidak membantu, gunakan metode umum untuk menyelesaikan persamaan apa pun dengan tiga tidak dikenal. Untuk melakukan ini, tulis ulang persamaan dalam bentuk a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Sekarang buat matriks koefisien di x (A), matriks yang tidak diketahui (X) dan matriks yang bebas (B). Perhatikan, mengalikan matriks koefisien dengan matriks yang tidak diketahui, Anda akan mendapatkan matriks, matriks anggota bebas, yaitu, A * X \u003d B.

Cari matriks A pangkat (-1) setelah menemukan , perhatikan bahwa itu tidak boleh sama dengan nol. Setelah itu, kalikan matriks yang dihasilkan dengan matriks B, sebagai hasilnya Anda akan mendapatkan matriks X yang diinginkan, yang menunjukkan semua nilainya.

Anda juga dapat menemukan solusi untuk sistem tiga persamaan menggunakan metode Cramer. Untuk melakukannya, cari determinan orde ketiga yang sesuai dengan matriks sistem. Kemudian secara berturut-turut temukan tiga determinan lagi 1, 2 dan 3, menggantikan nilai-nilai suku bebas sebagai ganti nilai-nilai kolom yang sesuai. Sekarang cari x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/.

Sumber:

• solusi persamaan dengan tiga yang tidak diketahui

Mulai memecahkan sistem persamaan, cari tahu apa persamaan ini. Metode penyelesaian persamaan linier dipelajari dengan baik. Persamaan nonlinier paling sering tidak diselesaikan. Hanya ada satu kasus khusus, yang masing-masing praktis bersifat individual. Oleh karena itu, studi tentang metode penyelesaian harus dimulai dengan persamaan linier. Persamaan seperti itu dapat diselesaikan bahkan secara algoritmik murni.

Petunjuk

Mulailah proses belajar dengan mempelajari cara menyelesaikan sistem dua persamaan linier dengan dua tidak diketahui X dan Y dengan eliminasi. a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). Koefisien persamaan ditunjukkan oleh indeks yang menunjukkan lokasinya. Jadi koefisien a21 menekankan fakta bahwa itu ditulis dalam persamaan kedua di tempat pertama. Dalam notasi yang diterima secara umum, sistem ini ditulis dengan persamaan yang terletak satu di bawah yang lain, bersama-sama dilambangkan dengan kurung kurawal di kanan atau kiri (untuk lebih jelasnya, lihat Gambar 1a).

Penomoran persamaan adalah arbitrer. Pilih yang paling sederhana, seperti variabel yang salah satu variabelnya didahului oleh faktor 1, atau setidaknya bilangan bulat. Jika ini adalah persamaan (1), maka nyatakan lebih lanjut, katakanlah, Y yang tidak diketahui dalam bentuk X (kasus eliminasi Y). Untuk melakukannya, ubah (1) ke bentuk a12*Y=b1-a11*X (atau a11*X=b1-a12*Y jika X dikecualikan)) lalu Y=(b1-a11*X)/a12 . Substitusikan yang terakhir ke dalam persamaan (2) tuliskan a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2. Selesaikan persamaan ini untuk X.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) atau X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
Menggunakan hubungan yang ditemukan antara Y dan X, akhirnya dapatkan yang kedua yang tidak diketahui Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21).

Jika sistem diberikan dengan koefisien numerik tertentu, maka perhitungannya akan kurang rumit. Di sisi lain, solusi umum memungkinkan untuk mempertimbangkan fakta bahwa, untuk yang tidak diketahui ditemukan, mereka persis sama. Ya, dan pembilangnya terlihat beberapa pola konstruksinya. Jika dimensi sistem persamaan lebih besar dari dua, maka metode eliminasi akan menghasilkan perhitungan yang sangat rumit. Untuk menghindarinya, solusi algoritmik murni telah dikembangkan. Yang paling sederhana adalah algoritma Cramer (rumus Cramer). Untuk harus mempelajari sistem umum persamaan n persamaan.

Sistem n persamaan aljabar linier dengan n yang tidak diketahui memiliki bentuk (lihat Gambar 1a). Di dalamnya, aij adalah koefisien sistem,
j – tidak diketahui, bi – anggota bebas (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Sistem seperti itu dapat ditulis secara ringkas dalam bentuk matriks AX=B. Di sini A adalah matriks koefisien sistem, X adalah matriks kolom yang tidak diketahui, B adalah matriks kolom suku bebas (lihat Gambar 1b). Menurut metode Cramer, setiap xi =∆i/∆ yang tidak diketahui (i=1,2…,n). Determinan dari matriks koefisien disebut determinan utama, dan i disebut bantu. Untuk setiap yang tidak diketahui, determinan bantu ditemukan dengan mengganti kolom ke-i dari determinan utama dengan kolom suku bebas. Metode Cramer untuk kasus sistem orde kedua dan ketiga disajikan secara rinci pada Gambar. 2.

Sistem adalah gabungan dari dua atau lebih persamaan, yang masing-masing memiliki dua atau lebih yang tidak diketahui. Ada dua cara utama untuk menyelesaikan sistem persamaan linier yang digunakan dalam kurikulum sekolah. Salah satunya disebut metode, yang lain adalah metode penambahan.

Bentuk standar sistem dua persamaan

Dalam bentuk standar, persamaan pertama adalah a1*x+b1*y=c1, persamaan kedua adalah a2*x+b2*y=c2, dan seterusnya. Misalnya, dalam kasus dua bagian sistem di kedua a1, a2, b1, b2, c1, c2 diberikan beberapa koefisien numerik yang disajikan dalam persamaan tertentu. Pada gilirannya, x dan y tidak diketahui yang nilainya perlu ditentukan. Nilai yang diinginkan mengubah kedua persamaan secara bersamaan menjadi persamaan yang sebenarnya.

Penyelesaian sistem dengan metode penjumlahan

Untuk menyelesaikan sistem, yaitu, untuk menemukan nilai x dan y yang akan mengubahnya menjadi persamaan sejati, Anda perlu melakukan beberapa langkah sederhana. Yang pertama adalah mengubah salah satu persamaan sedemikian rupa sehingga koefisien numerik untuk variabel x atau y dalam kedua persamaan bertepatan dalam nilai absolut, tetapi berbeda dalam tanda.

Misalnya, sistem yang terdiri dari dua persamaan diberikan. Yang pertama berbentuk 2x+4y=8, yang kedua berbentuk 6x+2y=6. Salah satu opsi untuk menyelesaikan tugas adalah dengan mengalikan persamaan kedua dengan faktor -2, yang akan menghasilkan bentuk -12x-4y=-12. Pilihan koefisien yang benar adalah salah satu tugas utama dalam proses penyelesaian sistem dengan metode penambahan, karena menentukan seluruh proses selanjutnya dari prosedur untuk menemukan yang tidak diketahui.

Sekarang perlu menambahkan dua persamaan sistem. Jelas, penghancuran bersama dari variabel-variabel dengan nilai yang sama tetapi koefisien tandanya berlawanan akan mengarah ke bentuk -10x=-4. Setelah itu, perlu untuk menyelesaikan persamaan sederhana ini, yang darinya jelas mengikuti bahwa x=0,4.

Langkah terakhir dalam proses penyelesaian adalah substitusi nilai yang ditemukan dari salah satu variabel ke dalam salah satu persamaan awal yang tersedia dalam sistem. Misalnya, dengan mengganti x=0,4 ke persamaan pertama, Anda bisa mendapatkan ekspresi 2*0,4+4y=8, dari mana y=1,8. Jadi, x=0,4 dan y=1,8 adalah akar dari sistem yang ditunjukkan pada contoh.

Untuk memastikan bahwa akar ditemukan dengan benar, akan berguna untuk memeriksa dengan mengganti nilai yang ditemukan ke dalam persamaan kedua dari sistem. Misalnya, dalam hal ini, persamaan bentuk 0.4 * 6 + 1.8 * 2 = 6 diperoleh, yang benar.

Video Terkait

Persamaan linier dengan dua variabel memiliki bentuk umum ax + by + c = 0. Di dalamnya, a, b dan c adalah koefisien - beberapa angka; dan x dan y adalah variabel - angka yang tidak diketahui dapat ditemukan.

Penyelesaian persamaan linear dua variabel adalah pasangan bilangan x dan y, dimana ax + by + c = 0 adalah persamaan sejati.

Persamaan linier tertentu dengan dua variabel (misalnya, 3x + 2y - 1 = 0) memiliki himpunan penyelesaian, yaitu himpunan pasangan bilangan yang persamaannya benar. Persamaan linier dengan dua variabel ditransformasikan menjadi fungsi linier berbentuk y = kx + m, yang merupakan garis lurus pada bidang koordinat. Koordinat semua titik yang terletak pada garis ini adalah solusi persamaan linear dua variabel.

Jika dua persamaan linier berbentuk ax + by + c = 0 diberikan dan diperlukan untuk menemukan nilai x dan y yang keduanya akan memiliki solusi, maka mereka mengatakan bahwa itu perlu menyelesaikan sistem persamaan. Sistem persamaan ditulis di bawah tanda kurung kurawal biasa. Contoh:

Suatu sistem persamaan tidak dapat memiliki solusi jika garis-garis yang merupakan grafik dari fungsi linier yang sesuai tidak berpotongan (yaitu, mereka sejajar satu sama lain). Untuk menyimpulkan bahwa tidak ada solusi, cukup dengan mentransformasikan kedua persamaan linier dengan dua variabel menjadi bentuk y = kx + m. Jika k adalah bilangan yang sama pada kedua persamaan, maka sistem tidak memiliki solusi.

Jika suatu sistem persamaan ternyata terdiri dari dua persamaan yang identik (yang mungkin tidak segera terlihat, tetapi setelah transformasi), maka ia memiliki jumlah solusi yang tak terbatas. Dalam hal ini, kita berbicara tentang ketidakpastian.

Dalam semua kasus lain, sistem memiliki satu solusi. Kesimpulan ini dapat ditarik dari fakta bahwa dua garis yang tidak sejajar hanya dapat berpotongan di satu titik. Titik perpotongan inilah yang akan terletak pada garis pertama dan kedua, yaitu, itu akan menjadi solusi dari persamaan pertama dan kedua. Oleh karena itu, untuk menjadi solusi sistem persamaan. Namun, perlu untuk menetapkan situasi ketika batasan tertentu dikenakan pada nilai x dan y (biasanya dengan kondisi masalah). Misalnya, x > 0, y > 0. Dalam hal ini, bahkan jika sistem persamaan memiliki solusi, tetapi tidak memenuhi kondisi, maka dapat disimpulkan bahwa sistem persamaan tidak memiliki solusi di bawah kondisi yang diberikan.

Ada tiga cara untuk menyelesaikan sistem persamaan:

1. metode seleksi. Sebagian besar waktu ini sangat sulit dilakukan.
2. Metode grafis. Ketika dua garis ditarik pada bidang koordinat (grafik fungsi persamaan yang sesuai) dan titik persimpangannya ditemukan. Metode ini dapat memberikan hasil yang tidak akurat jika koordinat titik persimpangan adalah bilangan pecahan.
3. Metode aljabar. Mereka serbaguna dan dapat diandalkan.

Kita sudah akrab dengan konsep persamaan linier dalam dua yang tidak diketahui. Persamaan dapat hadir dalam satu masalah baik secara individu maupun beberapa persamaan sekaligus. Dalam kasus seperti itu, persamaan digabungkan menjadi sistem persamaan.

Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan linear

Sistem persamaan adalah dua atau lebih persamaan yang perlu dicari semua penyelesaiannya. Biasanya, untuk menulis sistem persamaan, mereka ditulis dalam kolom dan menggambar satu kurung kurawal yang sama. Sistem persamaan linear ditulis di bawah ini.

(4x + 3y = 6
( 2x + y = 4

Catatan ini berarti bahwa sistem dua persamaan diberikan, dengan dua variabel. Jika ada tiga persamaan dalam sistem, maka itu akan menjadi sistem tiga persamaan. Dan untuk sejumlah persamaan.

Jika semua persamaan yang ada dalam sistem linier, maka mereka mengatakan bahwa sistem persamaan linier diberikan. Dalam contoh di atas, sistem dua persamaan linier baru saja disajikan. Seperti disebutkan di atas, sistem dapat memiliki solusi umum. Kami akan membahas istilah "solusi umum" di bawah ini.

Apa solusinya?

Penyelesaian sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui adalah pasangan bilangan (x,y) sedemikian rupa sehingga jika bilangan-bilangan ini disubstitusikan ke dalam persamaan sistem, maka setiap persamaan sistem tersebut menjadi persamaan sejati.

Misalnya, kita memiliki sistem dua persamaan linier. Solusi persamaan pertama adalah semua pasangan bilangan yang memenuhi persamaan ini.

Untuk persamaan kedua, solusinya adalah pasangan bilangan yang memenuhi persamaan ini. Jika ada pasangan bilangan yang memenuhi persamaan pertama dan kedua, maka pasangan bilangan ini akan menjadi solusi sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui.

Solusi grafis

Secara grafis, solusi persamaan linier adalah semua titik dari beberapa garis pada bidang.

Untuk sistem persamaan linier, kita akan memiliki beberapa garis (sesuai dengan jumlah persamaan). Dan solusi untuk sistem persamaan akan menjadi titik di mana SEMUA garis berpotongan. Jika tidak ada titik seperti itu, maka sistem tidak akan memiliki solusi. Titik di mana semua garis berpotongan milik masing-masing garis ini, sehingga solusinya disebut umum.

Omong-omong, memplot persamaan sistem dan menemukan titik persekutuannya adalah salah satu cara untuk menyelesaikan sistem persamaan. Metode ini disebut grafik.

Cara Lain untuk Menyelesaikan Persamaan Linier

Ada cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan dua variabel. Metode dasar untuk memecahkan sistem persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui.

Kami akan menganalisis dua jenis sistem penyelesaian persamaan:

1. Penyelesaian sistem dengan metode substitusi.
2. Penyelesaian sistem dengan penambahan (pengurangan) suku demi suku dari persamaan sistem.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan metode substitusi Anda harus mengikuti algoritma sederhana:
1. Kami mengungkapkan. Dari persamaan apa pun, kami menyatakan satu variabel.
2. Pengganti. Kami mengganti persamaan lain alih-alih variabel yang dinyatakan, nilai yang dihasilkan.
3. Kami memecahkan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel. Kami menemukan solusi untuk sistem.

Menyelesaikan sistem dengan penambahan suku demi suku (pengurangan) membutuhkan:
1. Pilih variabel yang koefisiennya sama.
2. Kami menambah atau mengurangi persamaan, sehingga kami mendapatkan persamaan dengan satu variabel.
3. Kami memecahkan persamaan linier yang dihasilkan. Kami menemukan solusi untuk sistem.

Penyelesaian sistem adalah titik potong grafik fungsi.

Mari kita pertimbangkan secara rinci solusi sistem menggunakan contoh.

Contoh 1:

Mari kita selesaikan dengan metode substitusi

Memecahkan sistem persamaan dengan metode substitusi

2x+5y=1 (1 persamaan)
x-10y=3 (persamaan ke-2)

1. Ekspres
Terlihat bahwa pada persamaan kedua terdapat variabel x dengan koefisien 1, maka ternyata variabel x paling mudah diekspresikan dari persamaan kedua.
x=3+10y

2. Setelah dinyatakan, kita substitusikan 3 + 10y ke persamaan pertama sebagai ganti variabel x.
2(3+10th)+5th=1

3. Kami memecahkan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel.
2(3+10y)+5y=1 (kurung terbuka)
6+20th+5y=1
25th=1-6
25th=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah titik potong dari grafik tersebut, oleh karena itu kita perlu mencari x dan y, karena titik potong tersebut terdiri dari x dan y. Mari kita cari x, pada paragraf pertama di mana kita menyatakan kita mensubstitusi y di sana.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Merupakan kebiasaan untuk menulis poin di tempat pertama, kami menulis variabel x, dan di tempat kedua variabel y.
Jawaban: (1; -0,2)

Contoh #2:

Mari kita selesaikan dengan penambahan suku demi suku (pengurangan).

Memecahkan sistem persamaan dengan metode penjumlahan

3x-2y=1 (1 persamaan)
2x-3y=-10 (persamaan ke-2)

1. Pilih sebuah variabel, misalkan kita memilih x. Dalam persamaan pertama, variabel x memiliki koefisien 3, dalam persamaan kedua - 2. Kita perlu membuat koefisiennya sama, untuk ini kita memiliki hak untuk mengalikan persamaan atau membaginya dengan angka berapa pun. Kami mengalikan persamaan pertama dengan 2, dan yang kedua dengan 3 dan mendapatkan koefisien total 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Dari persamaan pertama, kurangi persamaan kedua untuk menghilangkan variabel x. Selesaikan persamaan linier.
__6x-4y=2

5th=32 | :5
y=6.4

3. Temukan x. Kami mengganti y yang ditemukan di salah satu persamaan, katakanlah dalam persamaan pertama.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Titik potongnya adalah x=4.6; y=6.4
Jawaban: (4.6; 6.4)

Apakah Anda ingin mempersiapkan ujian secara gratis? Guru online gratis. Tidak bercanda.

Lebih dapat diandalkan daripada metode grafis yang dibahas dalam paragraf sebelumnya.

Metode Pergantian

Kami menggunakan metode ini di kelas 7 untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Algoritma yang dikembangkan di kelas 7 ini cukup cocok untuk menyelesaikan sistem dua persamaan (tidak harus linier) dengan dua variabel x dan y (tentu saja, variabel dapat dilambangkan dengan huruf lain, yang tidak masalah). Sebenarnya, kami menggunakan algoritma ini di paragraf sebelumnya, ketika masalah angka dua digit mengarah ke model matematika, yang merupakan sistem persamaan. Kami memecahkan sistem persamaan di atas dengan metode substitusi (lihat contoh 1 dari 4).

Algoritma untuk menggunakan metode substitusi ketika menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua variabel x, y.

1. Nyatakan y dalam bentuk x dari satu persamaan sistem.
2. Substitusikan ekspresi yang dihasilkan alih-alih y ke dalam persamaan lain dari sistem.
3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk x.
4. Substitusikan secara bergantian masing-masing akar persamaan yang ditemukan pada langkah ketiga alih-alih x ke dalam ekspresi y melalui x yang diperoleh pada langkah pertama.
5. Tuliskan jawaban dalam bentuk pasangan nilai (x;y) yang ditemukan berturut-turut pada langkah ketiga dan keempat.

4) Substitusikan secara bergantian setiap nilai y yang ditemukan ke dalam rumus x \u003d 5 - Zy. Jika kemudian
5) Pasangan (2; 1) dan solusi dari sistem persamaan yang diberikan.

Jawaban: (2; 1);

Metode penjumlahan aljabar

Metode ini, seperti metode substitusi, sudah tidak asing lagi bagi Anda dari kursus aljabar kelas 7, di mana metode ini digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Kami mengingat esensi metode dalam contoh berikut.

Contoh 2 Memecahkan sistem persamaan

Kami mengalikan semua suku persamaan pertama sistem dengan 3, dan membiarkan persamaan kedua tidak berubah:
Kurangi persamaan kedua sistem dari persamaan pertama:

Sebagai hasil penjumlahan aljabar dari dua persamaan sistem asal, diperoleh persamaan yang lebih sederhana dari persamaan pertama dan kedua dari sistem yang diberikan. Dengan persamaan yang lebih sederhana ini, kita berhak mengganti persamaan apa pun dari sistem yang diberikan, misalnya, yang kedua. Kemudian sistem persamaan yang diberikan akan digantikan oleh sistem yang lebih sederhana:

Sistem ini dapat diselesaikan dengan metode substitusi. Dari persamaan kedua, kita menemukan Substitusi ekspresi ini alih-alih y ke dalam persamaan pertama sistem, kita peroleh

Tetap mengganti nilai x yang ditemukan ke dalam rumus

Jika x = 2 maka

Jadi, kami telah menemukan dua solusi untuk sistem:

Metode untuk memperkenalkan variabel baru

Anda berkenalan dengan metode memperkenalkan variabel baru ketika memecahkan persamaan rasional dengan satu variabel dalam kursus aljabar kelas 8. Inti dari metode ini untuk menyelesaikan sistem persamaan adalah sama, tetapi dari sudut pandang teknis ada beberapa fitur yang akan kita bahas dalam contoh berikut.

Contoh 3 Memecahkan sistem persamaan

Mari kita perkenalkan variabel baru Kemudian persamaan pertama dari sistem dapat ditulis ulang dalam bentuk yang lebih sederhana: Mari selesaikan persamaan ini terhadap variabel t:

Kedua nilai ini memenuhi kondisi , dan karena itu merupakan akar dari persamaan rasional dengan variabel t. Tapi itu berarti baik dari mana kita menemukan bahwa x = 2y, atau
Jadi, dengan bantuan metode pengenalan variabel baru, kami seolah-olah dapat "meratakan" persamaan pertama dari sistem, yang penampilannya cukup kompleks, menjadi dua persamaan yang lebih sederhana:

x = 2 tahun; y - 2x.

Apa berikutnya? Dan kemudian masing-masing dari dua persamaan sederhana yang diperoleh harus dipertimbangkan secara bergantian dalam sistem dengan persamaan x 2 - y 2 \u003d 3, yang belum kita ingat. Dengan kata lain, masalahnya direduksi menjadi penyelesaian dua sistem persamaan:

Penting untuk menemukan solusi untuk sistem pertama, sistem kedua, dan memasukkan semua pasangan nilai yang dihasilkan dalam jawaban. Selesaikan sistem persamaan pertama:

Mari kita gunakan metode substitusi, terutama karena semuanya sudah siap di sini: kita substitusikan ekspresi 2y alih-alih x ke dalam persamaan kedua sistem. Mendapatkan

Karena x \u003d 2y, kami menemukan masing-masing x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. Dengan demikian, dua solusi untuk sistem yang diberikan diperoleh: (2; 1) dan (-2; -1). Selesaikan sistem persamaan kedua:

Mari kita gunakan metode substitusi lagi: kita substitusikan ekspresi 2x sebagai ganti y dalam persamaan kedua sistem. Mendapatkan

Persamaan ini tidak memiliki akar, yang berarti bahwa sistem persamaan tidak memiliki solusi. Jadi, hanya solusi dari sistem pertama yang harus dimasukkan dalam jawaban.

Jawaban: (2; 1); (-2;-1).

Metode pengenalan variabel baru dalam penyelesaian sistem dua persamaan dengan dua variabel digunakan dalam dua versi. Opsi pertama: satu variabel baru diperkenalkan dan digunakan hanya dalam satu persamaan sistem. Inilah yang terjadi pada contoh 3. Opsi kedua: dua variabel baru diperkenalkan dan digunakan secara bersamaan di kedua persamaan sistem. Ini akan menjadi kasus dalam contoh 4.

Contoh 4 Memecahkan sistem persamaan

Mari kita perkenalkan dua variabel baru:

Kami belajar itu kemudian

Ini akan memungkinkan kita untuk menulis ulang sistem yang diberikan dalam bentuk yang lebih sederhana, tetapi sehubungan dengan variabel baru a dan b:

Karena a \u003d 1, maka dari persamaan a + 6 \u003d 2 kita menemukan: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Jadi, untuk variabel a dan b, kami mendapat satu solusi:

Kembali ke variabel x dan y, kita memperoleh sistem persamaan

Kami menerapkan metode penambahan aljabar untuk menyelesaikan sistem ini:

Sejak itu dari persamaan 2x + y = 3 kita temukan:
Jadi, untuk variabel x dan y, kami mendapat satu solusi:

Mari kita akhiri bagian ini dengan diskusi teoretis yang singkat namun cukup serius. Anda telah memperoleh beberapa pengalaman dalam memecahkan berbagai persamaan: linier, kuadrat, rasional, irasional. Anda tahu bahwa ide utama untuk memecahkan persamaan adalah untuk secara bertahap berpindah dari satu persamaan ke persamaan lainnya, lebih sederhana tetapi setara dengan yang diberikan. Pada bagian sebelumnya, kami memperkenalkan gagasan kesetaraan untuk persamaan dengan dua variabel. Konsep ini juga digunakan untuk sistem persamaan.

Definisi.

Dua sistem persamaan dengan variabel x dan y disebut ekuivalen jika memiliki solusi yang sama atau jika kedua sistem tidak memiliki solusi.

Ketiga metode (substitusi, penambahan aljabar, dan pengenalan variabel baru) yang telah kita bahas di bagian ini sepenuhnya benar dari sudut pandang ekivalensi. Dengan kata lain, dengan menggunakan metode ini, kami mengganti satu sistem persamaan dengan yang lain, lebih sederhana, tetapi setara dengan sistem aslinya.

Metode grafis untuk memecahkan sistem persamaan

Kita telah mempelajari bagaimana menyelesaikan sistem persamaan dengan cara yang umum dan dapat diandalkan seperti metode substitusi, penjumlahan aljabar, dan pengenalan variabel baru. Dan sekarang mari kita ingat metode yang sudah Anda pelajari di pelajaran sebelumnya. Artinya, mari ulangi apa yang Anda ketahui tentang metode solusi grafis.

Metode penyelesaian sistem persamaan secara grafis adalah konstruksi grafik untuk setiap persamaan tertentu yang termasuk dalam sistem ini dan berada pada bidang koordinat yang sama, dan juga di mana diperlukan untuk menemukan titik potong dari grafik tersebut. . Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini adalah koordinat titik ini (x; y).

Harus diingat bahwa untuk sistem persamaan grafis adalah umum untuk memiliki satu solusi tunggal yang benar, atau sejumlah solusi tak terbatas, atau tidak memiliki solusi sama sekali.

Sekarang mari kita lihat lebih dekat masing-masing solusi ini. Jadi, sistem persamaan dapat memiliki solusi unik jika garis, yang merupakan grafik persamaan sistem, berpotongan. Jika garis-garis ini sejajar, maka sistem persamaan seperti itu sama sekali tidak memiliki solusi. Dalam kasus kebetulan grafik langsung dari persamaan sistem, maka sistem seperti itu memungkinkan Anda untuk menemukan banyak solusi.

Nah, sekarang mari kita lihat algoritma untuk menyelesaikan sistem dua persamaan dengan 2 tidak diketahui menggunakan metode grafis:

Pertama, pertama-tama kita buat grafik persamaan ke-1;
Langkah kedua adalah memplot grafik yang berhubungan dengan persamaan kedua;
Ketiga, kita perlu menemukan titik potong grafik.
Dan sebagai hasilnya, kami mendapatkan koordinat setiap titik persimpangan, yang akan menjadi solusi untuk sistem persamaan.

Mari kita lihat metode ini secara lebih rinci dengan sebuah contoh. Kami diberikan sistem persamaan yang harus diselesaikan:

Menyelesaikan Persamaan

1. Pertama, kita akan membuat grafik dari persamaan ini: x2+y2=9.

Tetapi perlu dicatat bahwa grafik persamaan ini akan menjadi lingkaran yang berpusat di titik asal, dan jari-jarinya akan sama dengan tiga.

2. Langkah selanjutnya adalah memplot persamaan seperti: y = x - 3.

Dalam hal ini, kita harus membuat garis dan mencari titik (0;−3) dan (3;0).

3. Mari kita lihat apa yang kita dapatkan. Kita lihat bahwa garis memotong lingkaran di dua titik A dan B.

Sekarang kita sedang mencari koordinat titik-titik tersebut. Kita lihat bahwa koordinat (3;0) berhubungan dengan titik A, dan koordinat (0;−3) berhubungan dengan titik B.

Dan apa yang kita dapatkan sebagai hasilnya?

Bilangan (3;0) dan (0;−3) yang diperoleh pada perpotongan garis lurus dengan lingkaran tepat merupakan solusi dari kedua persamaan sistem tersebut. Dan dari sini dapat disimpulkan bahwa angka-angka ini juga merupakan solusi dari sistem persamaan ini.

Artinya, jawaban dari solusi ini adalah angka: (3;0) dan (0;−3).