Definisi barisan numerik diberikan. Contoh barisan yang meningkat tak terhingga, konvergen, dan divergen dipertimbangkan. Urutan yang berisi semua bilangan rasional dipertimbangkan.

Isi

Lihat juga:

Definisi

Urutan numerik ( x n )- ini adalah hukum (aturan), yang menurutnya, untuk setiap bilangan asli n = 1, 2, 3, . . . beberapa nomor x n ditugaskan.
Elemen x n disebut anggota ke-n atau elemen barisan.

Urutan dilambangkan sebagai anggota ke-n yang diapit dalam kurung kurawal: . Sebutan berikut juga dimungkinkan: . Mereka secara eksplisit menyatakan bahwa indeks n milik himpunan bilangan asli dan bahwa barisan itu sendiri memiliki jumlah anggota yang tak terbatas. Berikut adalah beberapa contoh urutan:
, , .

Dengan kata lain, barisan numerik adalah fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan asli. Jumlah elemen dalam barisan tidak terbatas. Di antara elemen, mungkin juga ada anggota yang memiliki nilai yang sama. Juga, barisan dapat dianggap sebagai kumpulan angka bernomor, yang terdiri dari jumlah anggota yang tak terbatas.

Kami terutama akan tertarik pada pertanyaan - bagaimana urutan berperilaku ketika n cenderung tak terhingga: . Materi ini disajikan di bagian Batas Urutan - teorema dasar dan sifat. Dan di sini kita akan melihat beberapa contoh urutan.

Contoh urutan

Contoh barisan yang meningkat tak terhingga

Mari kita pertimbangkan sebuah urutan. Istilah umum dari barisan ini adalah . Mari kita tuliskan beberapa istilah pertama:
.
Dapat dilihat bahwa dengan bertambahnya jumlah n, elemen meningkat tanpa batas ke arah nilai positif. Kita dapat mengatakan bahwa urutan ini cenderung : di .

Sekarang perhatikan barisan dengan istilah umum . Berikut adalah beberapa anggota pertamanya:
.
Seiring bertambahnya jumlah n, elemen-elemen dari barisan ini meningkat nilai absolutnya tanpa batas, tetapi tidak memiliki tanda yang konstan. Artinya, urutan ini cenderung : di .

Contoh barisan konvergen ke bilangan berhingga

Mari kita pertimbangkan sebuah urutan. Anggotanya biasa Istilah pertama adalah sebagai berikut:
.
Dapat dilihat bahwa dengan bertambahnya jumlah n, elemen-elemen dari barisan ini mendekati nilai limitnya a = 0 : pada . Jadi setiap istilah berikutnya lebih dekat ke nol dari yang sebelumnya. Dalam arti tertentu, kita dapat mengasumsikan bahwa ada nilai perkiraan untuk bilangan a = 0 dengan kesalahan. Jelas bahwa dengan bertambahnya n, kesalahan ini cenderung nol, yaitu dengan memilih n, kesalahan dapat dibuat kecil sewenang-wenang. Selain itu, untuk setiap kesalahan yang diberikan > 0 adalah mungkin untuk menentukan suatu bilangan N , sehingga untuk semua elemen dengan bilangan yang lebih besar dari N : , simpangan bilangan tersebut dari nilai batas a tidak akan melebihi kesalahan : .

Selanjutnya, perhatikan urutannya. Anggotanya biasa Berikut adalah beberapa anggota pertamanya:
.
Dalam barisan ini, suku-suku bernomor genap adalah nol. Anggota dengan n ganjil adalah . Oleh karena itu, ketika n bertambah, nilainya mendekati nilai batas a = 0 . Ini juga mengikuti dari fakta bahwa
.
Seperti pada contoh sebelumnya, kita dapat menentukan kesalahan kecil sewenang-wenang > 0 , yang memungkinkan untuk menemukan bilangan N sedemikian sehingga unsur-unsur dengan bilangan lebih besar dari N akan menyimpang dari nilai batas a = 0 dengan nilai yang tidak melebihi kesalahan yang ditentukan. Oleh karena itu, barisan ini konvergen ke nilai a = 0 : pada .

Contoh barisan divergen

Pertimbangkan barisan dengan istilah umum berikut:

Berikut adalah anggota pertamanya:


.
Terlihat bahwa suku-suku dengan bilangan genap:
,
konvergen ke nilai 1 = 0 . Anggota dengan nomor ganjil:
,
konvergen ke nilai 2 = 2 . Barisan itu sendiri, seiring bertambahnya n, tidak konvergen ke nilai apa pun.

Barisan dengan suku terdistribusi dalam interval (0;1)

Sekarang pertimbangkan urutan yang lebih menarik. Ambil segmen pada garis bilangan. Mari kita bagi menjadi dua. Kami mendapatkan dua segmen. Biarlah
.
Masing-masing segmen dibagi lagi menjadi dua. Kami mendapatkan empat segmen. Biarlah
.
Bagilah setiap segmen menjadi dua lagi. Mari kita ambil


.
Dll.

Akibatnya, kami memperoleh urutan yang elemen-elemennya didistribusikan dalam interval terbuka (0; 1) . Titik apa pun yang kita ambil dari interval tertutup , kita selalu dapat menemukan anggota barisan yang sewenang-wenang dekat dengan titik ini, atau bertepatan dengannya.

Kemudian dari barisan asal dapat dipilih suatu barisan yang akan konvergen ke titik sembarang dari interval . Artinya, seiring bertambahnya jumlah n, anggota barisan akan semakin dekat dan dekat dengan titik yang dipilih sebelumnya.

Misalnya untuk titik a = 0 Anda dapat memilih urutan berikut:
.
= 0 .

Untuk titik a = 1 pilih urutan berikut:
.
Anggota-anggota dari barisan ini konvergen ke nilai a = 1 .

Karena ada turunan yang konvergen ke nilai yang berbeda, deret asli itu sendiri tidak konvergen ke bilangan apa pun.

Barisan yang memuat semua bilangan rasional

Sekarang mari kita buat barisan yang memuat semua bilangan rasional. Selain itu, setiap bilangan rasional akan dimasukkan dalam urutan seperti itu berkali-kali.

Bilangan rasional r dapat direpresentasikan sebagai berikut:
,
di mana adalah bilangan bulat; - alami.
Kita perlu menetapkan ke setiap bilangan asli n sepasang bilangan p dan q sehingga setiap pasangan p dan q termasuk dalam barisan kita.

Untuk melakukan ini, gambar sumbu p dan q pada bidang. Kami menggambar garis kisi melalui nilai integer p dan q . Kemudian setiap simpul dari kisi-kisi ini akan sesuai dengan bilangan rasional. Seluruh himpunan bilangan rasional akan diwakili oleh himpunan node. Kita perlu menemukan cara untuk memberi nomor pada semua node sehingga kita tidak melewatkan satu node pun. Ini mudah dilakukan jika kita memberi nomor simpul sesuai dengan kotak yang pusatnya terletak di titik (0; 0) (Lihat gambar). Dalam hal ini, bagian bawah kotak dengan q < 1 kita tidak perlu. Oleh karena itu, mereka tidak ditampilkan dalam gambar.

Jadi, untuk sisi atas persegi pertama kita memiliki:
.
Selanjutnya, kami memberi nomor pada bagian atas kotak berikutnya:

.
Kami memberi nomor pada bagian atas kotak berikutnya:

.
Dll.

Dengan cara ini kita mendapatkan barisan yang berisi semua bilangan rasional. Dapat dilihat bahwa setiap bilangan rasional muncul dalam barisan ini berkali-kali. Memang, bersama dengan node , urutan ini juga akan menyertakan node , di mana adalah bilangan asli. Tetapi semua simpul ini sesuai dengan bilangan rasional yang sama.

Kemudian dari barisan yang telah kita bangun, kita dapat memilih suatu barisan (memiliki jumlah elemen tak hingga), yang semua elemennya sama dengan bilangan rasional yang telah ditentukan. Karena barisan yang telah kita bangun memiliki turunan yang konvergen ke bilangan yang berbeda, barisan tersebut tidak konvergen ke bilangan mana pun.

Kesimpulan

Di sini kami telah memberikan definisi yang tepat dari urutan numerik. Kami juga menyentuh masalah konvergensi, berdasarkan ide-ide intuitif. Definisi konvergensi yang tepat dibahas pada halaman Menentukan Batas Barisan. Properti dan teorema terkait diuraikan di halaman Batas Urutan - Teorema Dasar dan Properti.

Lihat juga:

Biarlah X (\gaya tampilan X) adalah salah satu himpunan bilangan real R (\displaystyle \mathbb (R) ), atau himpunan bilangan kompleks C (\displaystyle \mathbb (C) ). Kemudian urutannya ( x n ) n = 1 (\displaystyle \(x_(n)\)_(n=1)^(\infty )) mengatur elemen X (\gaya tampilan X) ditelepon urutan numerik.

Contoh

Operasi pada urutan

Lanjutan

selanjutnya urutan (x n) (\displaystyle (x_(n))) adalah urutannya (x n k) (\displaystyle (x_(n_(k))))), di mana (n k) (\displaystyle (n_(k)))) adalah barisan naik dari unsur-unsur himpunan bilangan asli.

Dengan kata lain, suatu barisan diperoleh dari suatu barisan dengan menghilangkan sejumlah elemen yang berhingga atau dapat dihitung.

Contoh

• Barisan bilangan prima merupakan turunan dari barisan bilangan asli.
• Barisan bilangan asli yang merupakan kelipatan dari adalah turunan dari barisan bilangan asli genap.

Properti

Titik batas urutan adalah titik di lingkungan mana pun yang memiliki banyak elemen dari barisan ini. Untuk barisan numerik konvergen, titik limit bertepatan dengan limit.

Batas urutan

Batas urutan adalah objek yang didekati oleh anggota barisan saat jumlahnya meningkat. Jadi, dalam ruang topologi arbitrer, limit suatu barisan adalah suatu elemen di lingkungan mana pun di mana semua anggota barisan itu berada, dimulai dari satu. Khususnya, untuk barisan numerik, limitnya adalah bilangan di lingkungan mana pun di mana semua anggota barisan itu berada, mulai dari satu.

Urutan dasar

Urutan dasar (barisan konvergen diri , Urutan Cauchy ) adalah urutan elemen ruang metrik , di mana, untuk setiap jarak yang telah ditentukan, ada elemen seperti itu, jarak dari mana ke salah satu elemen yang mengikutinya tidak melebihi yang diberikan. Untuk barisan numerik, konsep barisan fundamental dan barisan konvergen adalah ekuivalen, tetapi dalam kasus umum tidak demikian.

Matematika adalah ilmu yang membangun dunia. Baik ilmuwan maupun orang biasa - tidak ada yang bisa melakukannya tanpanya. Pertama, anak-anak kecil diajari berhitung, lalu menambah, mengurangi, mengalikan, dan membagi, di sekolah menengah, penunjukan huruf ikut bermain, dan di yang lebih besar tidak bisa lagi dihilangkan.

Tetapi hari ini kita akan berbicara tentang apa yang didasarkan pada semua matematika yang dikenal. Tentang komunitas angka yang disebut "batas urutan".

Apa itu barisan dan di mana batasnya?

Arti kata "urutan" tidak sulit untuk ditafsirkan. Ini adalah konstruksi sesuatu, di mana seseorang atau sesuatu berada dalam urutan atau antrian tertentu. Misalnya antrian tiket ke kebun binatang berurutan. Dan hanya ada satu! Jika, misalnya, Anda melihat antrian ke toko, ini adalah satu urutan. Dan jika satu orang tiba-tiba meninggalkan antrian ini, maka ini adalah antrian yang berbeda, urutan yang berbeda.

Kata "batas" juga mudah ditafsirkan - ini adalah akhir dari sesuatu. Namun, dalam matematika, batas barisan adalah nilai-nilai pada garis bilangan yang cenderung dimiliki oleh barisan bilangan. Mengapa berusaha dan tidak berakhir? Sederhana saja, garis bilangan tidak memiliki akhir, dan sebagian besar barisan, seperti sinar, hanya memiliki awal dan terlihat seperti ini:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Oleh karena itu definisi barisan adalah fungsi dari argumen natural. Dengan kata sederhana, itu adalah serangkaian anggota dari beberapa set.

Bagaimana urutan nomor dibangun?

Contoh paling sederhana dari barisan bilangan mungkin terlihat seperti ini: 1, 2, 3, 4, …n…

Dalam kebanyakan kasus, untuk tujuan praktis, urutan dibangun dari angka, dan setiap anggota berikutnya dari seri, sebut saja X, memiliki namanya sendiri. Sebagai contoh:

x 1 - anggota pertama dari urutan;

x 2 - anggota kedua dari urutan;

x 3 - anggota ketiga;

x n adalah anggota ke-n.

Dalam metode praktis, urutan diberikan oleh rumus umum di mana ada beberapa variabel. Sebagai contoh:

X n \u003d 3n, maka rangkaian angka itu sendiri akan terlihat seperti ini:

Perlu diingat bahwa dalam notasi umum barisan, Anda dapat menggunakan huruf Latin apa pun, dan bukan hanya X. Misalnya: y, z, k, dll.

Deret aritmatika sebagai bagian dari barisan

Sebelum mencari batas barisan, disarankan untuk mempelajari lebih dalam konsep barisan bilangan seperti itu, yang ditemui setiap orang ketika mereka berada di kelas menengah. Deret aritmatika adalah barisan bilangan yang selisih suku-suku bertetangganya tetap.

Tugas: “Biarkan a 1 \u003d 15, dan langkah perkembangan seri angka d \u003d 4. Bangun 4 anggota pertama dari baris ini"

Solusi: a 1 = 15 (berdasarkan syarat) adalah anggota pertama dari deret (deret angka).

dan 2 = 15+4=19 adalah anggota kedua dari progresi.

dan 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 adalah suku ketiga.

dan 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 adalah suku keempat.

Namun, dengan metode ini sulit untuk mencapai nilai yang besar, misalnya hingga 125. . Khusus untuk kasus seperti itu, formula yang nyaman untuk latihan diturunkan: a n \u003d a 1 + d (n-1). Dalam hal ini, a 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Jenis urutan

Sebagian besar urutannya tidak ada habisnya, perlu diingat seumur hidup. Ada dua jenis seri angka yang menarik. Yang pertama diberikan oleh rumus a n =(-1) n . Matematikawan sering menyebut urutan flasher ini. Mengapa? Mari kita periksa nomornya.

1, 1, -1 , 1, -1, 1, dll. Dengan contoh ini, menjadi jelas bahwa angka dalam barisan dapat dengan mudah diulang.

urutan faktorial. Mudah ditebak bahwa ada faktorial dalam rumus yang mendefinisikan barisan. Misalnya: dan n = (n+1)!

Maka urutannya akan terlihat seperti ini:

dan 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

dan 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24, dll.

Barisan yang diberikan oleh barisan aritmatika disebut menurun tak hingga jika pertidaksamaan -1 diamati untuk semua anggotanya

dan 3 \u003d - 1/8, dll.

Bahkan ada barisan yang terdiri dari angka yang sama. Jadi, dan n \u003d 6 terdiri dari jumlah enam yang tak terbatas.

Menentukan Batas Urutan

Batas barisan telah lama ada dalam matematika. Tentu saja, mereka pantas mendapatkan desain kompeten mereka sendiri. Jadi, saatnya mempelajari definisi limit barisan. Pertama, pertimbangkan limit untuk fungsi linier secara rinci:

1. Semua batas disingkat sebagai lim.
2. Entri batas terdiri dari singkatan lim, beberapa variabel yang cenderung ke angka tertentu, nol atau tak terhingga, serta fungsi itu sendiri.

Sangat mudah untuk memahami bahwa definisi limit suatu barisan dapat dirumuskan sebagai berikut: suatu bilangan tertentu, yang didekati oleh semua anggota barisan secara tak terhingga. Contoh sederhana: dan x = 4x+1. Kemudian urutannya sendiri akan terlihat seperti ini.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Dengan demikian, barisan ini akan meningkat tanpa batas, yang berarti batasnya sama dengan tak hingga sebagai x→∞, dan ini harus ditulis sebagai berikut:

Jika kita mengambil urutan yang sama, tetapi x cenderung ke 1, kita mendapatkan:

Dan rangkaian angka akan menjadi seperti ini: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, dll. Setiap kali Anda perlu mengganti angka lebih dan lebih dekat dengan satu (0,1, 0.2, 0.9, 0.986). Dari deret tersebut dapat diketahui bahwa limit dari fungsi tersebut adalah lima.

Dari bagian ini, perlu diingat apa batas barisan numerik, definisi dan metode untuk menyelesaikan tugas-tugas sederhana.

Notasi umum untuk limit barisan

Setelah menganalisis batas urutan numerik, definisi dan contohnya, kita dapat melanjutkan ke topik yang lebih kompleks. Secara mutlak semua limit barisan dapat dirumuskan dengan satu rumus, yang biasanya dianalisis pada semester pertama.

Jadi, apa arti dari kumpulan huruf, modul, dan tanda ketidaksetaraan ini?

adalah quantifier universal, menggantikan frasa "untuk semua", "untuk semuanya", dll.

adalah kuantor keberadaan, dalam hal ini berarti ada beberapa nilai N yang termasuk dalam himpunan bilangan asli.

Tongkat vertikal panjang yang mengikuti N berarti himpunan N yang diberikan adalah "sedemikian rupa". Dalam praktiknya, itu bisa berarti "sehingga", "seperti itu", dll.

Untuk mengkonsolidasikan materi, baca rumus dengan keras.

Ketidakpastian dan kepastian batas

Metode menemukan limit barisan, yang dibahas di atas, meskipun mudah digunakan, tidak begitu rasional dalam praktiknya. Coba temukan batas untuk fungsi ini:

Jika kita mengganti nilai x yang berbeda (setiap kali bertambah: 10, 100, 1000, dll.), maka kita mendapatkan di pembilangnya, tetapi juga di penyebutnya. Ternyata pecahan yang agak aneh:

Tapi benarkah demikian? Menghitung limit barisan numerik dalam hal ini tampaknya cukup mudah. Dimungkinkan untuk membiarkan semuanya apa adanya, karena jawabannya sudah siap, dan diterima dengan syarat yang wajar, tetapi ada cara lain khusus untuk kasus-kasus seperti itu.

Pertama, mari kita cari derajat tertinggi dalam pembilang pecahan - ini adalah 1, karena x dapat direpresentasikan sebagai x 1.

Sekarang mari kita cari derajat tertinggi dalam penyebutnya. Juga 1.

Bagilah pembilang dan penyebut dengan variabel hingga derajat tertinggi. Dalam hal ini, kita membagi pecahan dengan x 1.

Selanjutnya, mari kita cari nilai yang cenderung dimiliki oleh setiap suku yang mengandung variabel. Dalam hal ini, pecahan dianggap. Sebagai x→∞, nilai setiap pecahan cenderung nol. Saat membuat makalah secara tertulis, ada baiknya membuat catatan kaki berikut:

Ekspresi berikut diperoleh:

Tentu saja, pecahan yang mengandung x tidak menjadi nol! Tetapi nilainya sangat kecil sehingga cukup diperbolehkan untuk tidak memperhitungkannya dalam perhitungan. Faktanya, x tidak akan pernah sama dengan 0 dalam kasus ini, karena Anda tidak dapat membagi dengan nol.

Apa itu lingkungan?

Mari kita asumsikan bahwa profesor memiliki urutan yang kompleks, diberikan, jelas, oleh formula yang tidak kurang kompleks. Profesor menemukan jawabannya, tetapi apakah itu cocok? Lagi pula, semua orang membuat kesalahan.

Auguste Cauchy menemukan cara yang bagus untuk membuktikan batas barisan. Metodenya disebut operasi lingkungan.

Misalkan ada beberapa titik a, lingkungannya di kedua arah pada garis nyata sama dengan ("epsilon"). Karena variabel terakhir adalah jarak, nilainya selalu positif.

Sekarang mari kita tentukan beberapa barisan x n dan misalkan anggota kesepuluh dari barisan (x 10) termasuk dalam lingkungan a. Bagaimana cara menulis fakta ini dalam bahasa matematika?

Misalkan x 10 berada di sebelah kanan titik a, maka jarak x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Sekarang saatnya menjelaskan secara praktis rumus yang disebutkan di atas. Adalah adil untuk menyebut suatu bilangan sebagai titik akhir suatu barisan jika pertidaksamaan >0 berlaku untuk salah satu limitnya, dan seluruh lingkungan memiliki bilangan asli N, sehingga semua anggota barisan dengan bilangan yang lebih tinggi akan menjadi di dalam barisan |x n - a|< ε.

Dengan pengetahuan seperti itu, mudah untuk memecahkan batas-batas barisan, untuk membuktikan atau menyangkal jawaban yang siap.

Teorema

Teorema tentang batas barisan merupakan komponen penting dari teori, yang tanpanya praktik tidak mungkin dilakukan. Hanya ada empat teorema utama, mengingat yang mana, Anda dapat secara signifikan memfasilitasi proses pemecahan atau pembuktian:

1. Keunikan limit suatu barisan. Urutan apa pun hanya dapat memiliki satu batas atau tidak sama sekali. Contoh yang sama dengan antrian yang hanya dapat memiliki satu ujung.
2. Jika suatu barisan bilangan mempunyai limit, maka barisan bilangan tersebut dibatasi.
3. Batas jumlah (selisih, hasil kali) barisan sama dengan jumlah (selisih, hasil kali) dari batas-batasnya.
4. Batas hasil bagi dua barisan sama dengan hasil bagi batas jika dan hanya jika penyebutnya tidak hilang.

Bukti Urutan

Kadang-kadang diperlukan untuk memecahkan masalah invers, untuk membuktikan batas tertentu dari urutan numerik. Mari kita lihat sebuah contoh.

Buktikan bahwa limit barisan yang diberikan oleh rumus sama dengan nol.

Menurut aturan di atas, untuk sembarang barisan pertidaksamaan |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Mari kita nyatakan n dalam istilah "epsilon" untuk menunjukkan keberadaan bilangan tertentu dan membuktikan keberadaan limit barisan.

Pada tahap ini, penting untuk diingat bahwa "epsilon" dan "en" adalah bilangan positif dan tidak sama dengan nol. Sekarang Anda dapat melanjutkan transformasi lebih lanjut menggunakan pengetahuan tentang ketidaksetaraan yang diperoleh di sekolah menengah.

Dari mana ternyata n > -3 + 1/ε. Karena perlu diingat bahwa kita berbicara tentang bilangan asli, hasilnya dapat dibulatkan dengan memasukkannya ke dalam tanda kurung siku. Dengan demikian, terbukti bahwa untuk setiap nilai lingkungan "epsilon" dari titik a = 0, sebuah nilai ditemukan sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan awal terpenuhi. Dari sini kita dapat dengan aman menyatakan bahwa bilangan a adalah limit dari barisan yang diberikan. Q.E.D.

Dengan metode yang mudah digunakan, Anda dapat membuktikan batas barisan numerik, tidak peduli betapa rumitnya kelihatannya pada pandangan pertama. Hal utama adalah jangan panik saat melihat tugas.

Atau mungkin dia tidak ada?

Keberadaan batas urutan tidak diperlukan dalam praktek. Sangat mudah untuk menemukan rangkaian angka yang benar-benar tidak ada habisnya. Misalnya, flasher yang sama x n = (-1) n . jelas bahwa barisan yang hanya terdiri dari dua digit yang berulang secara siklis tidak dapat memiliki batas.

Cerita yang sama diulangi dengan barisan yang terdiri dari satu angka, pecahan, yang dalam perhitungannya memiliki ketidakpastian urutan apa pun (0/0, /∞, /0, dll.). Namun, harus diingat bahwa perhitungan yang salah juga terjadi. Terkadang memeriksa ulang solusi Anda sendiri akan membantu Anda menemukan batas suksesi.

urutan monoton

Di atas, kami mempertimbangkan beberapa contoh barisan, metode untuk menyelesaikannya, dan sekarang mari kita coba mengambil kasus yang lebih spesifik dan menyebutnya "urutan monoton".

Definisi: wajar untuk menyebut sembarang barisan naik secara monoton jika memenuhi pertidaksamaan ketat x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >xn+1.

Selain kedua kondisi tersebut, juga terdapat ketidaksetaraan non-ketat yang serupa. Dengan demikian, x n x n +1 (urutan tidak turun) dan x n x n +1 (urutan tidak naik).

Tetapi lebih mudah untuk memahami ini dengan contoh.

Barisan yang diberikan oleh rumus x n \u003d 2 + n membentuk barisan bilangan berikut: 4, 5, 6, dst. Ini adalah barisan yang naik secara monoton.

Dan jika kita mengambil x n \u003d 1 / n, maka kita mendapatkan deret: 1/3, , 1/5, dll. Ini adalah deret yang menurun secara monoton.

Batas barisan konvergen dan terbatas

Barisan berbatas adalah barisan yang memiliki limit. Barisan konvergen adalah barisan bilangan yang memiliki limit yang sangat kecil.

Jadi, limit suatu barisan berbatas adalah sembarang bilangan real atau kompleks. Ingatlah bahwa hanya ada satu batasan.

Limit barisan konvergen adalah besaran yang sangat kecil (nyata atau kompleks). Jika Anda menggambar diagram urutan, maka pada titik tertentu itu akan, seolah-olah, bertemu, cenderung berubah menjadi nilai tertentu. Oleh karena itu namanya - barisan konvergen.

Batas urutan monoton

Urutan seperti itu mungkin atau mungkin tidak memiliki batas. Pertama, berguna untuk memahami kapan itu, dari sini Anda bisa mulai saat membuktikan tidak adanya batas.

Di antara barisan monoton, konvergen dan divergen dibedakan. Konvergen - ini adalah barisan yang dibentuk oleh himpunan x dan memiliki batas nyata atau kompleks dalam himpunan ini. Divergen - barisan yang tidak memiliki batas dalam himpunannya (tidak nyata maupun kompleks).

Selain itu, barisan tersebut konvergen jika batas atas dan batas bawahnya konvergen dalam representasi geometrik.

Limit dari barisan konvergen dalam banyak kasus dapat sama dengan nol, karena setiap barisan infinitesimal memiliki limit yang diketahui (nol).

Apa pun barisan konvergen yang Anda ambil, semuanya berbatas, tetapi jauh dari semua barisan berbatas konvergen.

Jumlah, selisih, hasil kali dua barisan konvergen juga merupakan barisan konvergen. Namun, hasil bagi juga dapat konvergen jika terdefinisi!

Berbagai tindakan dengan batasan

Batas urutan sama pentingnya (dalam banyak kasus) seperti angka dan angka: 1, 2, 15, 24, 362, dll. Ternyata beberapa operasi dapat dilakukan dengan batasan.

Pertama, seperti halnya angka dan angka, batas-batas barisan apa pun dapat ditambahkan dan dikurangkan. Berdasarkan teorema ketiga tentang limit barisan, persamaan berikut adalah benar: limit jumlah barisan sama dengan jumlah limitnya.

Kedua, berdasarkan teorema keempat tentang limit barisan, persamaan berikut ini benar: limit hasil kali jumlah barisan ke-n sama dengan hasil kali limitnya. Hal yang sama berlaku untuk pembagian: batas hasil bagi dua barisan sama dengan hasil bagi batasnya, asalkan batasnya tidak sama dengan nol. Lagi pula, jika batas urutan sama dengan nol, maka pembagian dengan nol akan menjadi, yang tidak mungkin.

Properti Nilai Urutan

Tampaknya batas deret numerik telah dianalisis secara rinci, tetapi frasa seperti angka "sangat kecil" dan "besar tak terhingga" disebutkan lebih dari satu kali. Jelasnya, jika ada barisan 1/x, di mana x→∞, maka pecahan tersebut kecil tak terhingga, dan jika barisan itu sama, tetapi limitnya cenderung nol (x→0), maka pecahan tersebut menjadi nilai besar tak terhingga . Dan nilai-nilai seperti itu memiliki karakteristiknya sendiri. Sifat-sifat limit suatu barisan yang memiliki nilai kecil atau besar yang berubah-ubah adalah sebagai berikut:

1. Jumlah dari sejumlah kuantitas kecil yang sewenang-wenang juga akan menjadi kuantitas kecil.
2. Jumlah dari sejumlah nilai besar akan menjadi nilai yang sangat besar.
3. Produk dari jumlah kecil yang sewenang-wenang adalah sangat kecil.
4. Produk dari bilangan besar yang sewenang-wenang adalah jumlah yang sangat besar.
5. Jika barisan asal cenderung bilangan tak hingga, maka kebalikannya akan sangat kecil dan cenderung nol.

Faktanya, menghitung limit suatu barisan bukanlah tugas yang sulit jika Anda mengetahui algoritma sederhana. Tetapi batasan urutan adalah topik yang membutuhkan perhatian dan ketekunan maksimal. Tentu saja, cukup dengan memahami esensi dari solusi dari ekspresi seperti itu. Mulai dari yang kecil, seiring waktu, Anda bisa mencapai ketinggian yang besar.

Urutan numerik disebut fungsi numerik yang didefinisikan pada himpunan bilangan asli .

Jika fungsi diberikan pada himpunan bilangan asli
, maka himpunan nilai fungsi akan dapat dihitung dan setiap angka
nomor cocok
. Dalam hal ini, kami mengatakan bahwa diberikan urutan numerik. Angka disebut elemen atau anggota suatu barisan, dan bilangan - umum atau -anggota urutan. Setiap elemen punya pengikut
. Ini menjelaskan penggunaan istilah "urutan".

Urutan biasanya ditentukan baik dengan mendaftar elemennya, atau dengan menunjukkan hukum yang digunakan untuk menghitung elemen dengan nomor , yaitu menunjukkan rumus anggota ke- .

Contoh.selanjutnya
dapat diberikan dengan rumus:
.

Biasanya barisan dilambangkan sebagai berikut: dst., di mana rumusnya anggota ke.

Contoh.selanjutnya
‑ini urutannya

Himpunan semua elemen barisan
dilambangkan
.

Biarlah
dan
- dua urutan.

Dengan ummah urutan
dan
panggil urutannya
, di mana
, yaitu..

R aznosti barisan ini disebut barisan
, di mana
, yaitu..

Jika sebuah dan ‑ konstanta, maka barisan
,
ditelepon kombinasi linear urutan
dan
, yaitu

kerja urutan
dan
panggil urutannya -anggota
, yaitu
.

Jika sebuah
, maka dapat ditentukan pribadi
.

Jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi barisan
dan
mereka disebut aljabarkomposisi.

Contoh.Pertimbangkan urutannya
dan
, di mana. Kemudian
, yaitu selanjutnya
memiliki semua elemen sama dengan nol.

,
, yaitu semua elemen produk dan hasil bagi adalah sama
.

Jika kita mencoret beberapa elemen dari barisan
sehingga ada jumlah elemen yang tersisa tak terbatas, maka kita mendapatkan urutan lain, yang disebut selanjutnya urutan
. Jika kita mencoret beberapa elemen pertama dari barisan
, maka barisan baru disebut sisa.

selanjutnya
terbatasdi atas(dari bawah) jika himpunan
dibatasi dari atas (dari bawah). Urutannya disebut terbatas jika dibatasi di atas dan di bawah. Suatu barisan dibatasi jika dan hanya jika salah satu dari sisa barisannya terbatas.

Barisan Konvergen

Mereka mengatakan itu selanjutnya
konvergen jika ada bilangan sedemikian rupa sehingga untuk setiap
ada seperti itu
, yang untuk setiap
, pertidaksamaan berikut berlaku:
.

Nomor ditelepon batas urutan
. Pada saat yang sama, mereka merekam
atau
.

Contoh.
.

Mari kita tunjukkan itu
. Setel nomor apa saja
. Ketidaksamaan
dilakukan untuk
, seperti yang
bahwa definisi konvergensi berlaku untuk bilangan
. Cara,
.

Dengan kata lain
berarti bahwa semua anggota barisan
dengan jumlah yang cukup besar berbeda sedikit dari nomor , yaitu mulai dari beberapa nomor
(ketika) elemen-elemen barisan berada dalam interval
, yang disebut -lingkungan intinya .

selanjutnya
, yang limitnya sama dengan nol (
, atau
pada
) disebut kecil sekali.

Seperti yang diterapkan pada infinitesimal, pernyataan berikut ini benar:

Jumlah dari dua infinitesimal adalah infinitesimal;

Produk dari sebuah infinitesimal dengan nilai yang dibatasi adalah sebuah infinitesimal.

Dalil .Agar urutannya
memiliki batas, perlu dan cukup bahwa
, di mana - konstan; - sangat kecil .

Sifat utama barisan konvergen:

Properti 3. dan 4. menggeneralisasi kasus sejumlah barisan konvergen.

Perhatikan bahwa ketika menghitung batas pecahan yang pembilang dan penyebutnya adalah kombinasi linier dari kekuatan , batas pecahan sama dengan batas rasio dari suku-suku tertinggi (yaitu, suku-suku yang mengandung pangkat terbesar pembilang dan penyebut).

selanjutnya
ditelepon:

Semua urutan seperti itu disebut membosankan.

Dalil . Jika urutannya
meningkat secara monoton dan dibatasi dari atas, kemudian konvergen dan batasnya sama dengan batas atas terbesarnya; jika barisan menurun dan terbatas di bawah, maka barisan tersebut konvergen ke batas bawah terbesarnya.

Jika suatu fungsi terdefinisi pada himpunan bilangan asli N, maka fungsi tersebut disebut barisan bilangan tak hingga. Biasanya, barisan numerik dilambangkan sebagai (Xn), di mana n termasuk dalam himpunan bilangan asli N.

Urutan numerik dapat diberikan dengan rumus. Misalnya, Xn=1/(2*n). Jadi, kami menetapkan untuk setiap bilangan asli n beberapa elemen tertentu dari barisan (Xn).

Jika sekarang berturut-turut kita ambil n sama dengan 1,2,3, …., kita dapatkan barisan (Xn): , , 1/6, …, 1/(2*n), …

Jenis urutan

Urutannya bisa terbatas atau tidak terbatas, meningkat atau menurun.

Urutan (Xn) memanggil terbatas jika ada dua bilangan m dan M sedemikian rupa sehingga untuk setiap n yang termasuk dalam himpunan bilangan asli, persamaan m<=Xn

Urutan (Xn), tidak terbatas, disebut barisan tak terbatas.

meningkat jika untuk semua bilangan bulat positif n persamaan berikut berlaku: X(n+1) > Xn. Dengan kata lain, setiap anggota barisan, mulai dari yang kedua, harus lebih besar dari anggota sebelumnya.

Barisan (Xn) disebut memudar, jika untuk semua bilangan bulat positif n persamaan berikut berlaku X(n+1)< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Contoh urutan

Mari kita periksa apakah barisan 1/n dan (n-1)/n menurun.

Jika barisan menurun, maka X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Jadi barisan (n-1)/n adalah meningkat.