Persamaan nonlinier dengan dua hal yang tidak diketahui
Definisi 1. Biarkan A menjadi beberapa kumpulan pasangan angka (X; kamu) . Mereka mengatakan bahwa himpunan A diberikan fungsi numerik z dari dua variabel
x dan y , jika suatu aturan ditentukan dengan bantuan yang setiap pasangan bilangan dari himpunan A dikaitkan dengan bilangan tertentu. Menentukan fungsi numerik z dari dua variabel x dan y sering kali dilakukan menunjukkan
Jadi: Di mana (X , kamu) F
Di mana (X , kamu) = – fungsi apa pun selain fungsi ,
kapak+oleh+c
dimana a, b, c diberi nomor. Definisi 3. Menyelesaikan persamaan (2) X; kamu memanggil sepasang nomor (
) , yang rumusnya (2) merupakan persamaan sejati.
Contoh 1. Selesaikan persamaannya
Karena kuadrat suatu bilangan adalah non-negatif, maka dari rumus (4) maka bilangan x dan y yang tidak diketahui memenuhi sistem persamaan
penyelesaiannya adalah pasangan bilangan (6; 3).
Jawaban: (6; 3)
Contoh 2. Selesaikan persamaannya Oleh karena itu, solusi persamaan (6) adalah jumlah pasangan bilangan yang tak terhingga
(1 + kamu ; kamu) ,
baik
di mana y adalah bilangan apa pun.
linier Definisi 4.
Memecahkan sistem persamaan X; kamu memanggil sepasang nomor (
) , dengan mensubstitusikannya ke dalam setiap persamaan sistem ini, diperoleh persamaan yang benar.
Sistem dua persamaan, salah satunya linier, mempunyai bentuk(X , kamu)
G
Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan
Solusi. Mari kita nyatakan y yang tidak diketahui dari persamaan pertama sistem (7) melalui x yang tidak diketahui dan substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua sistem:
X 1 = - 1 , X 2 = 9 .
Memecahkan persamaan
kamu 1 = 8 - X 1 = 9 ,
kamu 2 = 8 - X 2 = - 1 .
Karena itu,
Sistem dua persamaan, salah satunya homogen
Sistem dua persamaan, salah satunya homogen, mempunyai bentuk Sistem dua persamaan, salah satunya linier, mempunyai bentuk(X , kamu) dimana a, b, c diberi bilangan, dan
– fungsi dua variabel x dan y.
Contoh 6. Selesaikan sistem persamaan
3X 2 + 2Solusi. Mari kita selesaikan persamaan homogennya - kamu 2 = 0 ,
3X 2 + 17Solusi. Mari kita selesaikan persamaan homogennya + 10kamu 2 = 0 ,
xy
.
memperlakukannya sebagai persamaan kuadrat terhadap x yang tidak diketahui: X = - 5kamu Dalam hal
5kamu 2 = - 20 ,
, dari persamaan kedua sistem (11) kita peroleh persamaannya
yang tidak mempunyai akar.
Dalam hal
,
dari persamaan kedua sistem (11) kita memperoleh persamaan kamu 1 = 3 , kamu 2 = - 3 . yang akarnya adalah bilangan
Menemukan untuk masing-masing nilai ini y nilai yang sesuai x, kita memperoleh dua solusi untuk sistem: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .
Jawaban: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)
Contoh penyelesaian sistem persamaan jenis lainnya
Contoh 8. Memecahkan sistem persamaan (MIPT)
Untuk menulis ulang sistem (12) dalam bentuk yang tidak diketahui baru, pertama-tama kita nyatakan yang tidak diketahui x dan y dalam bentuk u dan v. Dari sistem (13) berikut ini
Mari kita selesaikan sistem linier (14) dengan menghilangkan variabel x dari persamaan kedua sistem ini.
Untuk tujuan ini, kami melakukan transformasi berikut pada sistem (14).
Masalah 12. Selesaikan dalam bilangan bulat.
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
Larutan. Jika Anda mencoba menyelesaikan persamaan ini dengan menggunakan metode faktorisasi, maka ini merupakan pekerjaan yang cukup memakan waktu, sehingga persamaan ini dapat diselesaikan dengan metode yang lebih elegan. Anggap persamaannya sebagai relatif persegi HAI x 5x²+(8y-2+2=0 , )x+5y²+2y √ x1,2 = (1 – 4y ±√(1 – 4y)² - 5(5y² + 2y + 2))/5 = (1 – 4y ±
-9(y + 1)²)/5. Persamaan ini memiliki solusi ketika diskriminannya sama dengan nol, yaitu.–9(kamu + 1) = 0 , dari sini kamu = -1 . Jika kamu = -1 , Itu.
x =1
Menjawab.
Masalah 12. Masalah 13.
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
3(x² + xy + y²)= x + 8y Anggap persamaan tersebut sebagai persamaan kuadrat terhadap x 3x² + (3y - 1)x + 3y² - 8y = 0. Mari kita cari diskriminan dari persamaan tersebut
D = =(3у – 1)² - 4 * 3(3у² - 8у) = 9у² - 6у + 1 – 36у² + 96у = -27у² + 90у + 1. Diberikan persamaan pendidikan mempunyai akar,Jika D³ 0 , yaitu
–27у² + 90 kamu + 1³ 0(4)
(-45 + √2052)/ (-27) £ y £ (-45 -√2052)/ (-27) Karena kamu Z 0, 1, 2, 3 , maka kondisi (4) terpenuhi saja (0; 0) . Melalui nilai-nilai ini, kita menemukan bahwa persamaan dalam bilangan bulat memiliki solusi (1; 1) .
x =1
(0; 0) , (1; 1) .
Dan
Masalah 14. Selesaikan persamaannya
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
5x² - 2xy + 2y² - 2x – 2y + 1= 0. Anggap persamaan ini sebagai persamaan kuadrat terhadap X dengan koefisien bergantung pada
y, 5x² - 2(y + 1)x + 2y² – 2y + 1= 0. Mari kita temukan seperempat dari diskriminan.
H/4=(y+1)²-5(2y²-2y+1)=-(3y-2)² Oleh karena itu, persamaan tersebut hanya memiliki solusi jika-(3у – 2)² = 0 , ini menyiratkan kamu = ⅔, lalu kita temukan
x =1
(⅓; ⅔).
x = ⅓.
Metode residu.
Masalah 12. Masalah 15.
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
3ª = 1 + y² (0; 0) Sudah jelas itu
– solusi persamaan ini. Mari kita buktikan bahwa tidak ada solusi lain.
1) Mari kita pertimbangkan kasusnya:(5)
x О N, y О N Jika kamu = -1 x О N 3ª 3 dibagi dengan tanpa jejak, dan kamu² + 1 3 ketika dibagi 1 memberikan sisanya juga 2 , atau Anggap persamaan ini sebagai persamaan kuadrat terhadap. Melalui nilai-nilai ini, kita menemukan bahwa persamaan dalam bilangan bulat memiliki solusi . Oleh karena itu, persamaan (5) untuk nilai-nilai alam pada
mustahil. Anggap persamaan ini sebagai persamaan kuadrat terhadap 2)Jika – bilangan bulat negatif, kamu О Z, 0<3ª<1, Kemudian A 1+y²³0
x =1
dan kesetaraan (5) juga tidak mungkin. Oleh karena itu, (0; 0) adalah satu-satunya solusi. .
Soal 16
ì Buktikan bahwa sistem persamaan
î x² - y² = 7
z² - 2y² = 1
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat. Anggaplah sistem diaktifkan. Dari persamaan kedua z²=2у+1, yaitu z²– bilangan ganjil dan z -aneh artinya z=2m+1 . Kemudian y²+2m²+2m , Cara, kamu² - bilangan genap pada - bahkan,
y = 2n, n О Z. x²=8n³+7, yaitu x² - bilangan ganjil dan X - angka ganjil,
Mari kita gantikan nilainya Anggap persamaan ini sebagai persamaan kuadrat terhadap Dan . Oleh karena itu, persamaan (5) untuk nilai-nilai alam ke dalam persamaan pertama, kita dapatkan 2(k² + k - 2n³) = 3, yang tidak mungkin, karena ruas kiri habis dibagi 2 , tapi yang kanan tidak.
Artinya asumsi kami salah, yaitu. sistem tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat.
Metode keturunan tanpa batas.
Penyelesaian persamaan dengan metode penurunan tak terhingga berlangsung sesuai dengan skema berikut: dengan asumsi bahwa persamaan tersebut memiliki solusi, kita membangun beberapa proses tak terhingga, sedangkan berdasarkan makna masalahnya, proses ini harus berakhir pada sesuatu.
Seringkali metode keturunan tak terbatas digunakan dalam bentuk yang lebih sederhana. Dengan asumsi bahwa kita telah mencapai tujuan alamiah, kita melihat bahwa kita tidak dapat “berhenti”.
Soal 17.
Selesaikan dalam bilangan bulat 29x + 13y + 56z = 17 (6)
Mari kita nyatakan hal yang tidak diketahui dengan koefisien terkecil dalam hal sisa yang tidak diketahui.
y=(17-29x-56z)/13=(1-2x-4z)+(4-3x-4z)/13(7)
Mari kita tunjukkan (4-3x-4z)/13 = t1(8)
Dari (7) berikut ini t1 hanya dapat mengambil nilai integer. Dari (8) kita punya 13t1 + 3x + 4z = 14(9)
Kami memperoleh persamaan Diophantine baru, tetapi dengan koefisien lebih kecil dari pada (6). Mari kita terapkan pertimbangan yang sama pada (9): x=(4-13t1-4z)/3= =(1-4t1-z) + (1-t1-z)/3
(1-t1-z)/3 = t2, t2- utuh, 3t2+t1+z = 1(10)
Dalam (10) koefisien di bilangan ganjil dan– persamaan awal yang tidak diketahui sama dengan 1 - Ini adalah titik terakhir dari "keturunan". Sekarang kami secara konsisten berekspresi bilangan ganjil dan, X, kamu melalui t1. Melalui nilai-nilai ini, kita menemukan bahwa persamaan dalam bilangan bulat memiliki solusi t2.
ì z = -t1 – 3t2 + 1
í x = 1 – 4t1 + t1 + 3t2 = 1 +t2 = -t1 + 4t2
î y = 1 + 6t1 – 8t2 + 4t1 + 12t2 – 4 + t1= 11t1 + 4t2 - 3
Jadi, ì x = -3t1 + 4t2
í kamu = 11t1 + 4t2 - 3
î z = -t1 – 3t2 + 1
t1, t2- semua bilangan bulat – semua solusi bilangan bulat persamaan (6)
Masalah 18.
Selesaikan dalam bilangan bulat x³ - 3y³ - 9z³ = 0(11)
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
Terlihat bahwa ruas kiri persamaan (11) tidak dapat diubah apa pun. Oleh karena itu, mengeksplorasi karakter bilangan bulat x³=3(y³-z³). Nomor x³ banyak 3 , yang artinya nomor Anggap persamaan ini sebagai persamaan kuadrat terhadap banyak 3 D³ 0 x = 3x1(12) Substitusikan (12) ke (11) 27х1³-3у³-9z³=0, 9x1³-y³-3z³=0(13)
y³=3(3x1³-z³). Kemudian kamu³ banyak 3 , yang berarti . Oleh karena itu, persamaan (5) untuk nilai-nilai alam banyak 3 D³ 0 kamu=3kamu1(14). Substitusikan (14) ke (13) 9х1³ -27у1³ - 3z³=0. Dari persamaan ini berikut ini z³ banyak 3, dan maka dari itu bilangan ganjil dan banyak 3 , yaitu z=3z1.
Jadi, ternyata bilangan-bilangan yang memenuhi persamaan (11) adalah kelipatan tiga, berapa kali pun kita membaginya 3 , kita mendapatkan bilangan yang merupakan kelipatan tiga. Satu-satunya bilangan bulat yang memenuhi tiga. Satu-satunya bilangan bulat yang memenuhi kondisi ini adalah nol, yaitu solusi persamaan ini (0; 0; 0)
Memecahkan persamaan dalam bilangan bulat.
Persamaan tak tentu adalah persamaan yang mengandung lebih dari satu persamaan yang tidak diketahui. Yang kami maksud dengan satu solusi persamaan tak tentu adalah himpunan nilai-nilai yang tidak diketahui yang mengubah persamaan yang diberikan menjadi persamaan yang benar.
Untuk menyelesaikan persamaan bentuk bilangan bulat ah + oleh = C , Di mana A, B , C - bilangan bulat selain nol, kami menyajikan sejumlah ketentuan teoretis yang memungkinkan kami menetapkan aturan keputusan. Ketentuan ini juga didasarkan pada fakta-fakta yang sudah diketahui tentang teori keterbagian.
Teorema 1.Jika gcd (A, B ) = D , lalu ada bilangan bulat seperti itu Anggap persamaan ini sebagai persamaan kuadrat terhadap Dan . Oleh karena itu, persamaan (5) untuk nilai-nilai alam, bahwa kesetaraan berlaku ah + B kamu = D . (Persamaan ini disebut kombinasi linier atau representasi linier dari pembagi persekutuan terbesar dua bilangan berdasarkan bilangan itu sendiri.)
Pembuktian teorema ini didasarkan pada penggunaan persamaan algoritma Euclidean untuk mencari pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan (pembagi persekutuan terbesar dinyatakan dalam hasil bagi parsial dan sisa, dimulai dari persamaan terakhir dalam algoritma Euclidean).
Contoh.
Temukan representasi linier dari pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 1232 dan 1672.
Larutan.
1. Mari kita buat persamaan dari algoritma Euclidean:
1672 = 1232 ∙1 + 440,
1232 = 440 ∙ 2 + 352,
440 = 352 ∙ 1 + 88,
352 = 88 ∙ 4, mis. (1672.352) = 88.
2) Mari kita nyatakan 88 secara berurutan melalui hasil bagi dan sisa yang tidak lengkap, dengan menggunakan persamaan yang diperoleh di atas, dimulai dari akhir:
88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, mis. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).
Teorema 2. Jika persamaannya ah + B kamu = 1 , jika gcd (A, B ) = 1 , cukup membayangkan jumlahnya 1 sebagai kombinasi linier angka a dan B.
Validitas teorema ini mengikuti Teorema 1. Jadi, untuk mencari solusi bilangan bulat tunggal dari persamaan tersebut ah + B kamu = 1, jika gcd (a, b) = 1, bilangan 1 cukup direpresentasikan sebagai kombinasi bilangan linier A Dan V .
Contoh.
Temukan solusi bilangan bulat dari persamaan 15x + 37y = 1.
Larutan.
1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,
15 = 7 ∙ 2 + 1.
2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),
Teorema 3. Jika dalam Persamaan. ah + B y = c gcd(a, B ) = D >1 . Melalui nilai-nilai ini, kita menemukan bahwa persamaan dalam bilangan bulat memiliki solusi Dengan tidak habis dibagi D , maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi bilangan bulat.
Untuk membuktikan teorema tersebut, cukup dengan asumsi sebaliknya.
Contoh.
Temukan solusi bilangan bulat dari persamaan 16x - 34y = 7.
Larutan.
(16.34)=2; 7 tidak habis dibagi 2, persamaan tersebut tidak memiliki penyelesaian bilangan bulat
Teorema 4. Jika dalam Persamaan. ah + B y = c gcd(a, B ) = D >1 dan c D , maka itu benar
Saat membuktikan teorema, harus ditunjukkan bahwa solusi bilangan bulat sembarang persamaan pertama juga merupakan solusi persamaan kedua dan sebaliknya.
Teorema 5. Jika dalam Persamaan. ah + B y = c gcd(a, B ) = 1, maka semua solusi bilangan bulat persamaan ini terkandung dalam rumus:
T – bilangan bulat apa pun.
Saat membuktikan teorema, harus ditunjukkan, pertama, bahwa rumus di atas benar-benar memberikan solusi terhadap persamaan ini dan, kedua, bahwa rumus di atas memuat solusi bilangan bulat sembarang untuk persamaan ini.
Teorema di atas memungkinkan kita untuk menetapkan aturan berikut untuk menyelesaikan persamaan dalam bilangan bulat ah+ B y = c gcd(a, B ) = 1:
1) Solusi bilangan bulat untuk persamaan tersebut ditemukan ah + B kamu = 1 dengan mewakili 1 sebagai kombinasi angka linier A DanB (ada cara lain untuk mencari solusi lengkap persamaan ini, misalnya menggunakan pecahan lanjutan);
Rumus umum untuk solusi bilangan bulat dari soal yang diberikanMemberi T nilai bilangan bulat tertentu, Anda dapat memperoleh solusi parsial untuk persamaan ini: nilai absolut terkecil, positif terkecil (jika mungkin), dll.
Contoh.
Temukan solusi bilangan bulat untuk persamaan tersebut 407x - 2816 tahun = 33.
Larutan.
1. Kita sederhanakan persamaan ini menjadi 37x - 256y = 3.
2. Selesaikan persamaan 37x - 256y = 1.
256 = 37∙ 6 + 34,
37 = 34 ∙1 + 3,
34 = 3 ∙11 + 1.
1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =
37∙(-83) - 256∙(-12),
3. Bentuk umum semua solusi bilangan bulat persamaan ini:
x = -83∙3 - 256 ton = -249 - 256 ton,
y = -12∙3 - 37t = -36 - 37t.
Metode pencacahan menyeluruh dari semua kemungkinan nilai variabel,
termasuk dalam persamaan.
Tentukan himpunan semua pasangan bilangan asli yang merupakan solusi persamaan 49x + 51y = 602.
Larutan:
Mari kita nyatakan variabel x dari persamaan melalui y x =, karena x dan y adalah bilangan asli, maka x =602 - 51у ≥ 49, 51у≤553, 1≤у≤10.
Pencarian opsi secara lengkap menunjukkan bahwa solusi alami persamaan tersebut adalah x=5, y=7.
Jawaban: (5;7).
Menyelesaikan persamaan menggunakan metode faktorisasi.
Diophantus, bersama dengan persamaan linier, menganggap persamaan tak tentu kuadrat dan kubik. Memecahkannya biasanya sulit.
Mari kita pertimbangkan kasus di mana rumus selisih kuadrat atau metode faktorisasi lainnya dapat digunakan dalam persamaan.
Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat: x 2 + 23 = y 2
Larutan:
Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk: y 2 - x 2 = 23, (y - x)(y + x) = 23
Karena x dan y adalah bilangan bulat dan 23 adalah bilangan prima, maka kasus berikut mungkin terjadi:
Memecahkan sistem yang dihasilkan, kami menemukan:
(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)
Menyatakan satu variabel dalam variabel lain dan mengisolasi seluruh bagian pecahan.
Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat: x 2 + xy – y – 2 = 0.
Larutan:
Mari kita nyatakan y melalui x dari persamaan ini:
kamu(x - 1) =2 - x 2,
Pada pelajaran matematika kelas 7 kita pertama kali bertemu persamaan dengan dua variabel, tetapi mereka dipelajari hanya dalam konteks sistem persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui. Itulah sebabnya serangkaian masalah di mana kondisi tertentu diperkenalkan pada koefisien persamaan yang membatasinya tidak lagi terlihat. Selain itu, metode penyelesaian soal seperti “Menyelesaikan persamaan bilangan asli atau bilangan bulat” juga diabaikan, meskipun soal semacam ini semakin sering ditemukan pada materi Unified State Examination dan ujian masuk.
Persamaan manakah yang disebut persamaan dengan dua variabel?
Jadi misalnya persamaan 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, atau xy = 12 adalah persamaan dua variabel.
Perhatikan persamaan 2x – y = 1. Menjadi benar jika x = 2 dan y = 3, sehingga pasangan nilai variabel ini merupakan penyelesaian dari persamaan yang dimaksud.
Jadi, penyelesaian persamaan apa pun dengan dua variabel adalah himpunan pasangan terurut (x; y), nilai variabel yang mengubah persamaan ini menjadi persamaan numerik yang sebenarnya.
Persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui dapat:
A) punya satu solusi. Misalnya persamaan x 2 + 5y 2 = 0 mempunyai solusi unik (0; 0);
B) memiliki banyak solusi. Misalnya, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 mempunyai 4 penyelesaian: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) tidak punya solusi. Misalnya, persamaan x 2 + y 2 + 1 = 0 tidak mempunyai solusi;
G) mempunyai banyak solusi yang tak terhingga. Misalnya, x + y = 3. Penyelesaian persamaan ini adalah bilangan-bilangan yang jumlahnya sama dengan 3. Himpunan penyelesaian persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk (k; 3 – k), dimana k adalah sembarang real nomor.
Metode utama penyelesaian persamaan dua variabel adalah metode yang didasarkan pada pemfaktoran ekspresi, isolasi kuadrat lengkap, penggunaan sifat-sifat persamaan kuadrat, ekspresi terbatas, dan metode estimasi. Persamaan tersebut biasanya diubah menjadi suatu bentuk yang dapat diperoleh sistem untuk menemukan hal-hal yang tidak diketahui.
Faktorisasi
Contoh 1.
Selesaikan persamaan: xy – 2 = 2x – y.
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
Kami mengelompokkan suku-suku untuk tujuan faktorisasi:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Dari setiap tanda kurung kita ambil faktor persekutuannya:
kamu(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Kita mempunyai:
y = 2, x – bilangan real apa pun atau x = -1, y – bilangan real apa pun.
Dengan demikian, jawabannya semua pasangan bentuk (x; 2), x € R dan (-1; y), y € R.
Persamaan bilangan non-negatif dengan nol
Contoh 2.
Selesaikan persamaan: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
Pengelompokan:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Sekarang tiap tanda kurung bisa dijumlahkan menggunakan rumus selisih kuadrat.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Jumlah dua ekspresi non-negatif adalah nol hanya jika 3x – 2 = 0 dan 2y – 3 = 0.
Artinya x = 2/3 dan y = 3/2.
Jawaban: (2/3; 3/2).
Metode estimasi
Contoh 3.
Selesaikan persamaan: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
Di setiap tanda kurung kami memilih kotak lengkap:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Mari kita perkirakan 
arti ungkapan dalam tanda kurung.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 dan (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, maka ruas kiri persamaan selalu minimal 2. Kesetaraan dapat terjadi jika:
(x + 1) 2 + 1 = 1 dan (y – 2) 2 + 2 = 2, artinya x = -1, y = 2.
Jawaban: (-1; 2).
Mari berkenalan dengan metode lain untuk menyelesaikan persamaan dengan dua variabel derajat kedua. Metode ini terdiri dari memperlakukan persamaan sebagai persegi terhadap beberapa variabel.
Contoh 4.
Selesaikan persamaan: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
Mari selesaikan persamaan tersebut sebagai persamaan kuadrat untuk x. Mari kita cari diskriminannya:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Persamaan tersebut akan mempunyai solusi hanya jika D = 0, yaitu jika y = 4. Kita substitusikan nilai y ke dalam persamaan awal dan temukan bahwa x = 3.
Jawaban: (3; 4).
Seringkali dalam persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui, mereka menunjukkannya pembatasan variabel.
Contoh 5.
Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Ruas kanan persamaan yang dihasilkan jika dibagi 5 memberikan sisa 2. Oleh karena itu, x 2 tidak habis dibagi 5. Tetapi kuadrat dari a bilangan yang tidak habis dibagi 5 menghasilkan sisa 1 atau 4. Jadi persamaan tidak mungkin dan tidak ada penyelesaian.
Jawaban: tidak ada akar.
Contoh 6.
Selesaikan persamaan: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
Mari kita soroti kotak lengkap di setiap tanda kurung:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ruas kiri persamaan selalu lebih besar atau sama dengan 3. Persamaan dimungkinkan asalkan |x| – 2 = 0 dan y + 3 = 0. Jadi, x = ± 2, y = -3.
Jawaban: (2; -3) dan (-2; -3).
Contoh 7.
Untuk setiap pasangan bilangan bulat negatif (x;y) memenuhi persamaan
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, hitung jumlah (x + y). Harap sebutkan jumlah terkecil dalam jawaban Anda.
5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0
Mari kita pilih kotak lengkap:
(x 2 – 2xy + kamu 2) + (kamu 2 + 4kamu + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Karena x dan y bilangan bulat, maka kuadratnya juga bilangan bulat. Kita mendapatkan jumlah kuadrat dua bilangan bulat sama dengan 37 jika kita menjumlahkan 1 + 36. Oleh karena itu:
(x – y) 2 = 36 dan (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 dan (y + 2) 2 = 36.
Menyelesaikan sistem ini dan memperhitungkan bahwa x dan y negatif, kita menemukan solusi: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Jawaban: -17.
Jangan putus asa jika Anda kesulitan menyelesaikan persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui. Dengan sedikit latihan, Anda dapat menangani persamaan apa pun.
Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan dua variabel?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.
Pelajaran pertama gratis!
situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.
Ada banyak jalan setapak yang mengarah dari tepi hutan menuju semak belukar. Mereka berliku-liku, bertemu, menyimpang lagi, dan saling bersinggungan lagi. Saat berjalan, Anda hanya dapat melihat banyaknya jalan setapak ini, berjalan di sepanjang beberapa jalan tersebut dan menelusuri arahnya hingga ke kedalaman hutan. Untuk mempelajari hutan dengan serius, Anda harus mengikuti jalan setapak sampai terlihat sama sekali di antara dedaunan pinus dan semak-semak yang kering.
Oleh karena itu, saya ingin menulis sebuah proyek yang dapat dianggap sebagai deskripsi dari salah satu kemungkinan perjalanan di sepanjang tepi matematika modern.
Dunia sekitar, kebutuhan perekonomian nasional, dan seringkali kekhawatiran sehari-hari menimbulkan semakin banyak tugas baru bagi seseorang, yang penyelesaiannya tidak selalu jelas. Terkadang suatu pertanyaan tertentu memiliki banyak kemungkinan jawaban, sehingga menyulitkan penyelesaian masalah. Bagaimana memilih opsi yang tepat dan optimal?
Penyelesaian persamaan tak tentu berhubungan langsung dengan masalah ini. Persamaan seperti itu, yang mengandung dua atau lebih variabel, yang memerlukan penyelesaian semua bilangan bulat atau alami, telah dipertimbangkan sejak zaman kuno. Misalnya, matematikawan Yunani Pythagoras (abad IV SM). matematikawan Aleksandria Diophantus (abad II-III M) dan ahli matematika terbaik di zaman yang lebih dekat dengan kita - P. Fermat (abad XVII), L. Euler (abad XVIII), J. L. Lagrange (abad XVIII) dan lain-lain.
Berpartisipasi dalam kompetisi korespondensi Rusia > di Obninsk, Kompetisi Permainan Internasional > dan Olimpiade Distrik Federal Ural, saya sering menghadapi tugas seperti itu. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa solusi mereka kreatif. Masalah yang muncul saat menyelesaikan persamaan bilangan bulat disebabkan oleh kompleksitas dan fakta bahwa sedikitnya waktu yang dicurahkan untuk menyelesaikan persamaan tersebut di sekolah.
Diophantus menyajikan salah satu misteri tersulit dalam sejarah sains. Kita tidak tahu kapan dia hidup, atau pendahulunya yang pernah bekerja di bidang yang sama. Karya-karyanya bagaikan api yang berkilauan di tengah kegelapan yang tak tertembus.
Jangka waktu Diophantus bisa hidup adalah setengah milenium! Batas bawah ditentukan tanpa kesulitan: dalam bukunya tentang bilangan poligonal, Diophantus berulang kali menyebut ahli matematika Hypsicles dari Alexandria, yang hidup pada pertengahan abad ke-2. SM e.
Di sisi lain, dalam komentar Theon dari Alexandria kepada astronom terkenal Ptolemeus terdapat kutipan dari karya Diophantus. Theon hidup di pertengahan abad ke-4. N. e. Ini menentukan batas atas interval ini. Jadi, 500 tahun!
Sejarawan sains Prancis Paul Tannry, editor teks Diophantus terlengkap, mencoba mempersempit kesenjangan ini. Di perpustakaan Escurial ia menemukan kutipan surat dari Michael Psellus, seorang sarjana Bizantium abad ke-11. , di mana dikatakan bahwa Anatoly yang paling terpelajar, setelah mengumpulkan bagian paling penting dari ilmu ini, kita berbicara tentang pengenalan derajat yang tidak diketahui dan (penunjukannya), mendedikasikannya untuk temannya Diophantus. Anatoly dari Aleksandria sebenarnya mengarang, kutipannya dikutip dalam karya Iamblichus dan Eusenius yang masih ada. Namun Anatoly tinggal di Alexandria pada pertengahan abad ke-111 SM. e dan lebih tepatnya - sampai tahun 270, ketika ia menjadi uskup Laodacia. Artinya persahabatannya dengan Diophantus, yang oleh semua orang disebut Alexandria, pasti sudah terjadi sebelum ini. Jadi, jika matematikawan terkenal Aleksandria dan teman Anatoly yang bernama Diophantus adalah satu orang, maka masa hidup Diophantus adalah pertengahan abad ke-111 Masehi.
Namun tempat tinggal Diophantus terkenal - Alexandria, pusat pemikiran ilmiah dan dunia Helenistik.
Salah satu epigram Antologi Palatine masih bertahan hingga saat ini:
Abu Diophantus bersemayam di dalam makam: kagumi - dan batunya
Usia almarhum akan berbicara melalui seni bijaknya.
Atas kehendak para dewa, dia menjalani seperenam hidupnya sebagai seorang anak.
Dan saya bertemu jam setengah lima dengan bulu halus di pipi saya.
Baru hari ketujuh dia bertunangan dengan pacarnya.
Setelah menghabiskan lima tahun bersamanya, orang bijak itu menunggu putranya.
Putra kesayangan ayahnya hanya hidup separuh hidupnya.
Dia diambil dari ayahnya melalui kuburan awalnya.
Dua kali dalam dua tahun orang tuanya berduka atas kesedihan yang mendalam.
Di sini saya melihat batas hidup saya yang menyedihkan.
Dengan menggunakan metode penyelesaian persamaan modern, dimungkinkan untuk menghitung berapa tahun Diophantus hidup.
Biarkan Diophantus hidup x tahun. Mari buat dan selesaikan persamaannya:
Mari kalikan persamaan tersebut dengan 84 untuk menghilangkan pecahan:
Dengan demikian, Diophantus hidup selama 84 tahun.
Yang paling misterius adalah karya Diophantus. Enam dari tiga belas buku yang digabungkan menjadi > telah sampai kepada kita, gaya dan isi buku-buku ini sangat berbeda dari karya klasik kuno tentang teori bilangan dan aljabar, contohnya kita ketahui dari > Euclid, > lemma dari karya tersebut; Archimedes dan Apollonius. > tidak diragukan lagi merupakan hasil dari banyak penelitian yang masih belum diketahui sepenuhnya.
Kita hanya bisa menebak akarnya, dan mengagumi kekayaan serta keindahan metode dan hasilnya.
> Diophanta adalah kumpulan masalah (total 189) yang masing-masing ada solusinya. Masalah-masalah di dalamnya dipilih dengan cermat dan berfungsi untuk menggambarkan metode yang sangat spesifik dan dipikirkan dengan matang. Sebagaimana kebiasaan pada zaman dahulu, metode tidak dirumuskan dalam bentuk umum, tetapi diulang-ulang untuk menyelesaikan permasalahan serupa.
Biografi unik Diophantus diketahui secara pasti, yang menurut legenda, diukir di batu nisannya dan menimbulkan masalah teka-teki:
Teka-teki ini menjadi contoh masalah yang dipecahkan Diophantus. Dia berspesialisasi dalam memecahkan masalah bilangan bulat. Masalah seperti ini sekarang dikenal dengan nama masalah Diophantine.
Studi tentang persamaan Diophantine biasanya penuh dengan kesulitan besar.
Pada tahun 1900, pada Kongres Matematikawan Dunia di Paris, salah satu matematikawan terkemuka dunia, David Hilbert, mengidentifikasi 23 masalah dari berbagai bidang matematika. Salah satu permasalahan tersebut adalah masalah penyelesaian persamaan Diophantine. Masalahnya adalah sebagai berikut: apakah mungkin untuk menyelesaikan persamaan dengan sejumlah koefisien yang tidak diketahui dan bilangan bulat dengan cara tertentu - menggunakan suatu algoritma. Tugasnya adalah sebagai berikut: untuk persamaan tertentu, Anda perlu menemukan semua nilai bilangan bulat atau natural dari variabel yang termasuk dalam persamaan tersebut, yang kemudian berubah menjadi persamaan sejati. Diophantus menemukan banyak solusi berbeda untuk persamaan tersebut. Karena variasi persamaan Diophantine yang tak terbatas, tidak ada algoritma umum untuk menyelesaikannya, dan untuk hampir setiap persamaan kita harus menemukan teknik tersendiri.
Persamaan Diophantine derajat 1 atau persamaan Diophantine linier dengan dua yang tidak diketahui adalah persamaan dengan bentuk: ax+by=c, dengan a,b,c adalah bilangan bulat, FPB(a,b)=1.
Saya akan memberikan rumusan teorema yang menjadi dasar penyusunan algoritma penyelesaian persamaan tak tentu derajat pertama dua variabel dalam bilangan bulat.
Teorema 1. Jika dalam suatu persamaan, maka persamaan tersebut mempunyai paling sedikit satu penyelesaian.
Bukti:
Kita dapat berasumsi bahwa >0. Setelah menyelesaikan persamaan x, kita mendapatkan: x = c-vua. Saya akan buktikan jika dalam rumus ini alih-alih y kita substitusikan semua bilangan asli yang kurang dari a dan 0, yaitu bilangan 0;1;2;3;. ;a-1, dan setiap kali Anda melakukan pembagian, semua sisanya akan berbeda. Memang, alih-alih y, saya akan mengganti angka m1 dan m2, lebih kecil dari a. Hasilnya, saya akan mendapatkan dua pecahan: c-bm1a dan c-bm2a. Setelah melakukan pembagian dan menyatakan hasil bagi yang tidak lengkap dengan q1 dan q2, dan sisanya dengan r1 dan r2, saya akan menemukan с-вm1а=q1+ r1а, с-вm2а= q2+ r2а.
Saya asumsikan sisa r1 dan r2 sama. Kemudian, dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama, saya mendapatkan: c-bm1a- c-bm2a = q1-q2, atau b(m1 - m2)a = q1-q2.
Karena q1-q2 adalah bilangan bulat, maka ruas kirinya harus bilangan bulat. Oleh karena itu, bm1 - m2 harus habis dibagi a, yaitu selisih dua bilangan asli yang masing-masing lebih kecil dari a, harus habis dibagi a, yang tidak mungkin. Artinya sisa r1 dan r2 sama. Artinya, semua residu berbeda.
Itu. Saya menerima berbagai saldo kurang dari a. Namun yang membedakan a dari bilangan asli yang tidak melebihi a adalah bilangan 0;1;2;3;. ;a-1. Oleh karena itu, di antara sisanya pasti akan ada satu dan hanya satu yang sama dengan nol. Nilai y, yang substitusinya ke dalam ekspresi (c-vu)a memberikan sisa 0, dan mengubah x=(c-vu)a menjadi bilangan bulat. Q.E.D.
Teorema 2. Jika dalam persamaan, dan c tidak habis dibagi, maka persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian bilangan bulat.
Bukti:
Misalkan d=PBB(a;b), sehingga a=md, b=nd, dimana m dan n adalah bilangan bulat. Maka persamaannya akan berbentuk: mdх+ ndу=с, atau d(mх+ nу)=с.
Dengan asumsi ada bilangan bulat x dan y yang memenuhi persamaan tersebut, saya menemukan bahwa koefisien c habis dibagi d. Kontradiksi yang dihasilkan membuktikan teorema tersebut.
Teorema 3. Jika dalam persamaan, dan, maka ekuivalen dengan persamaan di mana.
Teorema 4. Jika dalam suatu persamaan, maka semua solusi bilangan bulat persamaan tersebut terdapat dalam rumus:
di mana x0, y0 adalah solusi bilangan bulat dari persamaan tersebut, adalah bilangan bulat apa pun.
Teorema yang dirumuskan memungkinkan untuk membangun algoritma berikut untuk menyelesaikan persamaan bentuk bilangan bulat.
1. Tentukan pembagi persekutuan terbesar dari bilangan a dan b; jika c tidak habis dibagi, maka persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian bilangan bulat; jika dan kemudian
2. Bagilah suku persamaan dengan suku, sehingga diperoleh persamaan yang.
3. Temukan solusi bilangan bulat (x0, y0) dari persamaan tersebut dengan menyatakan 1 sebagai kombinasi linier angka dan;
4. Buatlah rumus umum untuk solusi bilangan bulat persamaan ini, dengan x0, y0 adalah solusi bilangan bulat persamaan tersebut, dan merupakan bilangan bulat apa pun.
2. 1 METODE PENURUNAN
Banyak yang didasarkan pada metode untuk menyelesaikan persamaan tak tentu. Misalnya saja trik menebak tanggal lahir.
Ajaklah temanmu untuk menebak hari ulang tahunnya dengan menjumlahkan angka-angka yang sama dengan hasil kali tanggal lahirnya dengan 12 dan jumlah bulan lahirnya dengan 31.
Untuk menebak tanggal lahir teman Anda, Anda perlu menyelesaikan persamaan: 12x + 31y = A.
Misalkan kita diberi bilangan 380, yaitu kita mempunyai persamaan 12x + 31y = 380. Untuk mencari x dan y, kita dapat beralasan seperti ini: bilangan 12x + 24y habis dibagi 12, maka menurut sifat-sifatnya dapat dibagi (Teorema 4.4), bilangan 7y dan 380 harus mempunyai sisa yang sama jika dibagi 12. Bilangan 380 jika dibagi 12 menghasilkan sisa 8, oleh karena itu 7y jika dibagi 12 juga harus menyisakan sisa 8, dan karena y adalah nomor bulannya, lalu 1
Persamaan yang kita selesaikan adalah persamaan Diophantine derajat 1 dengan dua persamaan yang tidak diketahui. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, metode keturunan dapat digunakan. Saya akan mempertimbangkan algoritma metode ini menggunakan persamaan spesifik 5x + 8y = 39.
1. Saya akan memilih yang tidak diketahui yang memiliki koefisien terkecil (dalam kasus kami adalah x), dan mengungkapkannya melalui yang tidak diketahui lainnya :. Saya akan menyorot seluruh bagiannya: Jelasnya, x akan menjadi bilangan bulat jika ekspresi tersebut ternyata bilangan bulat, yang selanjutnya akan terjadi jika bilangan 4 - 3y habis dibagi 5 tanpa sisa.
2. Saya akan memasukkan variabel bilangan bulat tambahan z sebagai berikut: 4 - 3y = 5z. Hasilnya, saya akan mendapatkan persamaan yang tipenya sama dengan persamaan aslinya, tetapi dengan koefisien yang lebih kecil. Saya akan menyelesaikannya sehubungan dengan variabel y :. Memilih seluruh bagian, saya mendapatkan:
Dengan alasan yang mirip dengan yang sebelumnya, saya memperkenalkan variabel baru u: 3u = 1 - 2z.
3. Saya akan menyatakan yang tidak diketahui dengan koefisien terkecil, dalam hal ini variabel z: =. Dengan mengharuskannya berupa bilangan bulat, saya mendapatkan: 1 - u = 2v, sehingga u = 1 - 2v. Tidak ada lagi pecahan, penurunan selesai.
4. Sekarang Anda memerlukan >. Saya akan menyatakan melalui variabel v terlebih dahulu z, kemudian y dan kemudian x: z = = = 3v - 1; = 3 - 5v.
5. Rumus x = 3+8v dan y = 3 - 5v, dengan v adalah bilangan bulat sembarang, mewakili solusi umum persamaan awal dalam bilangan bulat.
Komentar. Jadi, metode penurunan pertama-tama melibatkan ekspresi satu variabel secara berurutan dalam variabel lain hingga tidak ada pecahan yang tersisa dalam representasi variabel, dan kemudian secara berurutan sepanjang rantai persamaan untuk mendapatkan solusi umum persamaan tersebut.
2. 2 METODE SURVEI
Kelinci dan burung pegar duduk di dalam sangkar; mereka memiliki total 18 kaki. Cari tahu berapa banyak keduanya yang ada di dalam sel?
Izinkan saya membuat persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui, di mana x adalah jumlah kelinci, dan y adalah jumlah burung pegar:
4x + 2y = 18, atau 2x + y = 9.
Menjawab. 1) 1 kelinci dan 7 burung pegar; 2) 2 ekor kelinci dan 5 ekor burung pegar; 3) 3 ekor kelinci dan 3 ekor burung pegar; 4) 4 kelinci dan 1 burung pegar.
1. BAGIAN PRAKTIS
3. 1 Menyelesaikan persamaan linear dengan dua hal yang tidak diketahui
1. Selesaikan persamaan 407x - 2816y = 33 dalam bilangan bulat.
Saya akan menggunakan algoritma yang dikompilasi.
1. Dengan menggunakan algoritma Euclidean, saya akan mencari pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 407 dan 2816:
2816 = 407 6 + 374;
407 = 374 1 + 33;
374 = 33 11 + 11;
Jadi (407.2816) = 11, dengan 33 habis dibagi 11.
2. Bagi kedua ruas persamaan awal dengan 11, diperoleh persamaan 37x - 256y = 3, dan (37, 256) = 1
3. Dengan menggunakan algoritma Euclidean, saya akan mencari representasi linier dari angka 1 sampai dengan angka 37 dan 256.
256 = 37 6 + 34;
Saya akan menyatakan 1 dari persamaan terakhir, kemudian berturut-turut menaikkan persamaan tersebut saya akan menyatakan 3; 34 dan substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam ekspresi 1.
1 = 34 - 3 11 = 34 - (37 - 34 1) 11 = 34 12 - 37 11 = (256 - 37 6) 12 - 37 11 =
83 37 - 256 (- 12)
Jadi 37·(- 83) - 256·(- 12) = 1, maka pasangan bilangan x0 = - 83 dan y0 = - 12 merupakan penyelesaian persamaan 37x - 256y = 3.
4. Saya akan menuliskan rumus umum penyelesaian persamaan awal di mana t adalah bilangan bulat apa pun.
Menjawab. (-83c+bt; -12c-at), t Z.
Komentar. Dapat dibuktikan bahwa jika pasangan (x1,y1) merupakan solusi bilangan bulat dari persamaan di mana, maka semua solusi bilangan bulat persamaan tersebut dicari dengan menggunakan rumus: x=x1+bty=y1-at
2. Selesaikan persamaan 14x - 33y=32 dalam bilangan bulat.
Penyelesaian: x = (32 + 33y) : 14
(14 [. ] 2+ 5)y + (14 [. ] 2 + 4) = 14 [. ] 2 tahun + 5 tahun + 14[. ] 2 + 4 = 14(2y + 2) + 5y + 4; 2y + 2 = hal; p Z
Cari dari 1 hingga 13
Ketika y = 2; (5 [. ] 2 + 4): 14
Biarkan saya substitusikan y = 2 ke dalam persamaan awal
14x = 32 +33 [. ] 2
14x = 32 + 66 x = 98 : 14 = 7
Saya akan menemukan semua solusi bilangan bulat dari hasil bagi yang ditemukan:
14(x - 7) + 98 - 33 (y -2) - 66 = 32
14(x - 7) - 33(y - 2)=0
14(x - 7) = 33(y - 2) -> 14(x - 7) : 33 -> (x - 7): 33 -> x = 33k + 7; k Z
Biarkan saya substitusikan ke persamaan awal:
14(33k + 7) - 33y = 32
14. 33k + 98 - 33 tahun = 32 tahun = 14k + 2; x = 33k + 7, di mana k є Z. Rumus ini menentukan solusi umum persamaan awal.
Menjawab. (33k + 7; 14k + 2), k Z.
3. Selesaikan persamaan x - 3y = 15 dalam bilangan bulat.
Saya akan menemukan GCD(1,3)=1
Saya akan menentukan solusi tertentu: x=(15+3y):1 dengan menggunakan metode enumerasi, saya mencari nilai y=0 lalu x=(15+3 [. ] 0) =15
(15; 0) - solusi pribadi.
Semua solusi lain ditemukan menggunakan rumus: x=3k + 15, k є Z y=1k+0=k, k є Z untuk k=0, saya mendapatkan solusi tertentu (15;0)
Jawaban: (3k+15;k), k є Z.
4. Selesaikan persamaan 7x - y = 3 dalam bilangan bulat.
Saya akan menemukan GCD(7, -1)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x = (3+y):7
Dengan menggunakan metode brute force, kita mencari nilai y є y = 4, x = 1
Artinya (1;4) merupakan solusi khusus.
Saya mencari semua solusi lain menggunakan rumus: x = 1k + 1, k є Z y = 7k + 4, k є Z
Jawaban: (k+1;7k+4); k Z.
5. Selesaikan persamaan 15x+11 y = 14 bilangan bulat.
Saya akan menemukan FPB(15, -14)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x = (14 - 11y):15
Dengan menggunakan metode brute force, saya mencari nilai y є y = 4, x = -2
(-2;4) adalah solusi khusus.
Saya mencari semua solusi lain menggunakan rumus: x = -11k - 2, k є Z y =15k + 4, k є Z
Jawaban: (-11k-2; 15k+4); k Z.
6. Selesaikan persamaan 3x - 2y = 12 bilangan bulat.
Saya akan menemukan GCD(3; 2)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x = (12+2y):3
Dengan menggunakan metode brute force, saya mencari nilai y є y = 0, x = 4
(4;0) adalah solusi khusus.
Saya mencari semua solusi lain menggunakan rumus: x = 2k + 4, k є Z y = 3k, k є Z
Jawaban: (2k+4; 3k); k Z.
7. Selesaikan persamaan xy = x + y dalam bilangan bulat.
Saya punya xy - x - y + 1 = 1 atau (x - 1)(y - 1) = 1
Oleh karena itu x - 1 = 1, y - 1 = 1, maka x = 2, y = 2 atau x - 1 = - 1, y - 1 = - 1, maka x = 0, y = 0 penyelesaian lain dalam bilangan bulat diberikan persamaan tidak memiliki.
Menjawab. 0;0;(2;2).
8. Selesaikan persamaan 60x - 77y = 1 dalam bilangan bulat.
Biarkan saya menyelesaikan persamaan ini untuk x: x = (77y + 1) / 60 = (60y + (17y +1)) / 60 = y + (17y + 1) / 60.
Misalkan (17y + 1) / 60 = z, maka y = (60z - 1) / 17 = 3z + (9z - 1) / 17. Jika kita menyatakan (9z - 1) / 17 dengan t, maka z = (17t + 1) / 9 = 2t + (- t + 1) / 9. Terakhir, misalkan (- t + 1) / 9 = n, maka t = 1- 9n. Karena saya hanya menemukan solusi bilangan bulat untuk persamaan tersebut, z, t, n harus berupa bilangan bulat.
Jadi, z = 2 - 18n + 2 = 2 - 17n, sehingga y = 6 - 51n + 1 - 9n = 7 - 60n, x = 2 - 17n +7 - 60n = 9 - 77n. Jadi, jika x dan y adalah solusi bilangan bulat dari persamaan tertentu, maka terdapat bilangan bulat n sehingga x = 9 - 77n, y = 7 - 60n. Sebaliknya jika y = 9 - 77n, x = 7 - 60n, maka jelas x, y adalah bilangan bulat. Pemeriksaan menunjukkan bahwa mereka memenuhi persamaan awal.
Menjawab. (9 - 77n; 7 - 60n)); n Z.
9. Selesaikan persamaan 2x+11y =24 dalam bilangan bulat.
Saya akan menemukan GCD(2; 11)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x = (24-11y):2
Dengan menggunakan metode brute force, saya mencari nilai y є y = 0, x = 12
(12;0) adalah solusi khusus.
Saya mencari semua solusi lain menggunakan rumus: x = -11k + 12, k є Z y = 2k + 0=2k, k є Z
Jawaban:(-11k+12; 2k); k Z.
10. Selesaikan persamaan 19x - 7y = 100 dalam bilangan bulat.
Saya akan menemukan GCD(19, -7)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x = (100+7y):19
Dengan menggunakan metode brute force, saya mencari nilai y є y = 2, x = 6
(6;2) adalah solusi khusus.
Saya mencari semua solusi lain menggunakan rumus: x = 7k + 6, k є Z y = 19k + 2, k є Z
Jawaban:(7rb+6; 19rb+2); kє Z.
11. Selesaikan persamaan 24x - 6y = 144 dalam bilangan bulat
Saya akan mencari KPK(24, 6)=3.
Persamaan tersebut tidak mempunyai solusi karena FPB(24, 6)!=1.
Menjawab. Tidak ada solusi.
12. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat.
Saya mengubah rasio koefisien untuk yang tidak diketahui.
Pertama-tama, saya akan menyoroti seluruh bagian dari pecahan biasa;
Saya akan mengganti pecahan biasa dengan pecahan yang sama.
Lalu aku akan mengambilnya.
Saya akan melakukan transformasi yang sama dengan pecahan biasa yang diperoleh penyebutnya.
Sekarang pecahan aslinya akan berbentuk:
Mengulangi alasan yang sama untuk pecahan, saya mengerti.
Mengisolasi seluruh bagian dari pecahan biasa, saya sampai pada hasil akhir:
Saya mendapat ekspresi yang disebut pecahan lanjutan hingga atau pecahan lanjutan. Setelah membuang tautan terakhir dari pecahan lanjutan ini - seperlima, saya akan mengubah pecahan lanjutan baru yang dihasilkan menjadi pecahan sederhana dan menguranginya dari pecahan aslinya.
Saya akan mengurangi ekspresi yang dihasilkan menjadi penyebut yang sama dan membuangnya
Dari membandingkan persamaan yang dihasilkan dengan persamaan, maka persamaan tersebut akan menjadi solusi dan, menurut teorema, semua solusinya akan terkandung dalam,.
Menjawab. (9+52t; 22+127t), t Z.
Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa dalam kasus umum, untuk menemukan solusi persamaan, perlu untuk memperluas rasio koefisien yang tidak diketahui menjadi pecahan lanjutan, membuang mata rantai terakhirnya dan melakukan perhitungan serupa dengan yang dilakukan. keluar di atas.
13. Selesaikan persamaan 3xy + 2x + 3y = 0 dalam bilangan bulat.
3xy + 2x + 3y = 3y + 2x + 3y + 2 - 2 = 3y(x + 1) + 2(x + 1) - 2 =
=(x + 1)(3y + 2) - 2,
(x + 1)(3y + 2) = 2,
3y + 2 = 1 atau 3y + 1 = 2 atau 3y + 1 = -1 atau 3y + 1 = -2 x + 1 = 2, x + 1 =1, x + 1 = -2, x + 1 = -1 ; x = 2 atau x = 0 atau x = -3 atau x = -2 y cent z, y = 0, y = -1, y cent z.
Jawaban: (0;0);(-3;-1).
14. Selesaikan persamaan y - x - xy = 2 dalam bilangan bulat.
Penyelesaian: y - xy - x + 1 = 3, (y + 1)(1 - x) = 3,
3 = 1·3 = 3·1 = (-1)·(-3) = (-3)·(-1).
y+1 = 1 atau y+1 = 3 atau y+1 = -1 atau y+1 = -3
1 - x =3, 1 - x =1, 1 - x = -3, 1 - x = -1.
y = 0 atau y = 2 atau y = -2 atau y = -4 x = -2, x = 0, x = 4, x = 2
Jawaban: (-2;0);(0;2);(2;-4);(4;-2).
15. Selesaikan persamaan y + 4x + 2xy = 0 dalam bilangan bulat.
Penyelesaian: y + 4x + 2xy + 2 - 2 = 0, (2x + 1)(2 + y) = 2,
2 = 1∙2 = 2∙1 = (-2)∙(-1) = (-1)∙(-2).
2x + 1= 1 atau 2x + 1= 2 atau 2x + 1= -1 atau 2x + 1= -2
2 + kamu = 2, 2 + kamu = 1, 2 + kamu = -2, 2 + kamu = -1; y = 0 atau y = -1 atau y = -4 atau y = -3 x = 0, x sen Z, x = -1, x sen Z.
Jawaban: (-1;-4);(0;0).
16. Selesaikan persamaan 5x + 10y = 21 dalam bilangan bulat.
5(x + 2y) = 21, karena 21 != 5n, maka tidak ada akar-akarnya.
Menjawab. Tidak ada akar.
17. Selesaikan persamaan 3x + 9y = 51 bilangan asli.
3(x + 3y) = 3∙17, x = 17 - 3y, y = 1, x = 14; kamu = 2, x = 11; kamu = 3, x = 8; kamu = 4, x = 5; kamu = 5, x = 2; y = 6, x = -1, -1sen N.
Jawaban:(2;5);(5;4);(8;3);(11;2; (14:1).
18. Selesaikan persamaan 7x+5y=232 dalam bilangan bulat.
Saya akan menyelesaikan persamaan ini terhadap hal yang tidak diketahui di mana koefisien (modulo) terkecil ditemukan, yaitu, dalam hal ini terhadap y: y = 232-7x5.
Izinkan saya mengganti angka-angka tersebut dengan x ke dalam ekspresi ini: 0;1;2;3;4. Saya mendapatkan: x=0, y=2325=4625, x=1, y=232-75=45, x=2, y=232-145=43.6, x=3, y=232-215=42, 2 , x=4, y=232-285=40,8
Menjawab. (1;45).
19. Selesaikan persamaan 3x + 4y + 5xy = 6 dalam bilangan bulat.
Saya punya 3∙4 + 5∙6 = 42 = mn
Pembagi 42 : - +- (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42).
x = m - 45, y = n - 35 Ternyata dengan m = -1, -6, 14, -21 n = -42, -7, 3, -2 penyelesaiannya adalah: x = -1, -2 , 2, -5 tahun = -9, -2, 0, -1.
Jadi, persamaan ini memiliki 4 solusi dalam bilangan bulat dan tidak ada solusi dalam bilangan asli.
Menjawab. -1;-9;-2;-2;2;0;(-5;-1).
20. Selesaikan persamaan 8x+65y=81 dalam bilangan asli.
81⋮GCD(8;65)=>
8x=81-65y x=81-65y8=16+65-65y8=2+65(1-y)8.
Misalkan 1-y8=t, t Є Z. x=2+65t>0y=1-8t>0
65t>-2-8t>-1 t>-265 tt=0.
Pada t=0 x=2y=1
Menjawab. (2;1).
21. Temukan solusi bilangan bulat non-negatif dari persamaan 3x+7y=250.
250⋮GCD(3;7) =>persamaan tersebut dapat diselesaikan dalam bilangan bulat.
x=250-7y3=243+7-7y3=81+7(1-y)3.
Misalkan 1-y3=t, t Є Z.
x=81+7t>=0y=1-3t>=0
7t>=-81-3t>=-1 t>=-817t=-1147t t=-11;-10;. ;0.
x=81+7tу=1-3t t=-11 x=4y=34 t=-10 x=11y=31 t=-9 x=18y=28 t=-8 x=25y=25 t=- 7 x =32y=22 t=-6 x=39y=19 t=-5 x=46y=16 t=-4 x=53y=13 t=-3 x=60y=10 t=-2 x=67y= 7 t =-1 x=74y=4 t=0 x=81y=1
Menjawab. 11;31;18;28;25;25;32;22;39;19;46;16;53;13;60;10;67;7;74;4;81;1.
22. Selesaikan persamaan xy+x+y3=1988 dalam bilangan bulat.
Kalikan kedua ruas persamaan dengan 3. Kita peroleh:
3x+3xy+y=5964
3x+3xy+y+1=5965
(3х+1)+(3х+у)=5965
(3x+1) + y(3x+1)=5965
(3x+1)(y+1)=5965
5965=1∙5965 atau 5965=5965∙1 atau 5965=-1∙(-5965) atau 5965=-5965∙(-1) atau 5965=5∙1193 atau 5965=1193∙1 atau 5965=-5∙( -1193) atau 5965=-1193∙(-5)
1) 3x+1=1y+1=5965 2) 3x+1=5965y+1=1 x=0y=5964 x=1988y=0
3) 3x+1=5y+1=1193 4) 3x+1=1193y+1=5 penyelesaian dalam bilangan bulat tidak ada penyelesaian dalam bilangan bulat tidak
5) 3x+1=-1y+1=-5965 6) 3x+1=-5965y+1=-1 tidak ada solusi dalam bilangan bulat tidak ada solusi dalam bilangan bulat
7) 3x+1=-5y+1=-1193 8) 3x+1=-1193y+1=-5 x=-2y=1194 x=-398y=-6
Menjawab. 0;5964;1988;0;-2;-1194;(-398;-6).
3. 2 PEMECAHAN MASALAH
Ada beberapa jenis soal, yang paling sering adalah soal yang bersifat olimpiade, yang bermuara pada penyelesaian persamaan Diophantine. Contoh: a) Tugas menukarkan sejumlah uang pecahan tertentu.
b) Masalah yang melibatkan transfusi dan pemisahan benda.
1. Kami membeli 390 pensil warna dalam kotak berisi 7 dan 12 pensil. Berapa banyak kotak ini dan kotak lainnya yang Anda beli?
Saya akan tentukan: x kotak berisi 7 pensil, y kotak berisi 12 pensil.
Izinkan saya membuat persamaan: 7x + 12y = 390
Saya akan menemukan GCD(7, 12)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x = (390 - 12y):7
Dengan menggunakan metode brute force, saya mencari nilai y є y = 1, x = 54
(54;1) adalah solusi khusus.
Saya mencari semua solusi lain menggunakan rumus: x = -12k + 54, k є Z y = 7k + 1, k є Z
Saya menemukan banyak solusi untuk persamaan tersebut. Dengan mempertimbangkan kondisi soal, saya akan menentukan kemungkinan jumlah kedua kotak.
Menjawab. Anda dapat membeli: 54 kotak berisi 7 pensil dan 1 kotak berisi 12 pensil, atau 42 kotak berisi 7 pensil dan 8 kotak berisi 12 pensil, atau 30 kotak berisi 7 pensil dan 15 kotak berisi 12 pensil, atau 28 kotak berisi 7 pensil dan 22 pensil kotak berisi 12 pensil, atau 6 kotak berisi 7 pensil dan 29 kotak berisi 12 pensil.
2. Salah satu kaki segitiga siku-siku lebih besar 7 cm dari kaki lainnya, dan keliling segitiga adalah 30 cm. Tentukan semua sisi segitiga tersebut.
Saya akan menunjuk: x cm - satu kaki, (x+7) cm - kaki lainnya, y cm - sisi miring
Saya akan menyusun dan menyelesaikan persamaan Diophantine: x+(x+7)+y=30
Saya akan menemukan GCD(2; 1)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x = (23 - y):2
Dengan menggunakan metode brute force, saya mencari nilai y =1 y = 1, x = 11
(11;1) adalah solusi khusus.
Saya mencari semua solusi persamaan lainnya menggunakan rumus: x = -k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z k
Mengingat salah satu sisi suatu segitiga lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya, maka kita dapat menyimpulkan bahwa ada tiga segitiga dengan sisi 7, 9 dan 14; 6, 11 dan 13; 5, 13 dan 12. Berdasarkan kondisi soal, diberikan segitiga siku-siku. Ini adalah segitiga dengan sisi 5, 13 dan 12 (teorema Pythagoras berlaku).
Jawaban: Kaki yang satu 5 cm, yang lain 12 cm, sisi miring 13 cm.
3. Beberapa anak sedang memetik apel. Setiap anak laki-laki mengumpulkan 21 kg, dan anak perempuan mengumpulkan 15 kg. Total mereka mengumpulkan 174 kg. Berapa banyak anak laki-laki dan berapa banyak anak perempuan yang memetik apel?
Misalkan ada x laki-laki dan y perempuan, dengan x dan y adalah bilangan asli. Izinkan saya membuat persamaan:
Saya menyelesaikannya dengan metode seleksi: x
6 Hanya pada x = 4, bilangan tak diketahui kedua menerima nilai bilangan bulat positif (y = 6). Untuk nilai x lainnya, y akan berupa pecahan atau negatif. Oleh karena itu, masalah tersebut memiliki satu solusi unik.
Menjawab. 4 laki-laki dan 6 perempuan.
4. Apakah mungkin membuat satu set pensil senilai 3 rubel dan pulpen senilai 6 rubel senilai 20 rubel?
Misalkan banyaknya pensil dalam himpunan tersebut adalah x dan banyaknya pulpen adalah y.
Izinkan saya membuat persamaan:
Untuk bilangan bulat x dan y, ruas kiri persamaan harus habis dibagi 3; ruas kanannya tidak habis dibagi 3. Artinya tidak ada bilangan bulat x dan y yang memenuhi persamaan kita. Persamaan ini tidak dapat diselesaikan dengan bilangan bulat. Tidak mungkin membuat kumpulan seperti itu.
Menjawab. Tidak ada solusi.
5. Carilah bilangan asli yang bila dibagi 3 menyisakan sisa 2, dan bila dibagi 5 menyisakan sisa 3.
Saya akan menyatakan nomor yang diperlukan dengan x. Jika saya menyatakan hasil bagi x dengan 3 dengan y, dan hasil bagi pembagian dengan 5 dengan z, maka saya mendapatkan: x=3y+2x=5z+3
Menurut pengertian soal, x, y dan z pasti bilangan asli. Artinya kita perlu menyelesaikan sistem persamaan tak tentu dalam bilangan bulat.
Untuk sembarang bilangan bulat y dan z, x juga merupakan bilangan bulat. Saya mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua dan mendapatkan:
5z - 3y + 1 = 0.
Setelah menemukan semua bilangan bulat positif y dan z, saya akan segera mendapatkan semua nilai bilangan bulat positif x.
Dari persamaan ini saya menemukan:
Salah satu solusinya jelas: untuk z = 1 kita mendapatkan y = 2, dan x serta y adalah bilangan bulat. Solusi x = 8 sesuai dengan mereka.
Saya akan mencari solusi lain. Untuk melakukan ini, saya akan memperkenalkan u tambahan yang tidak diketahui, pengaturan z = 1 + u. Aku akan menerima:
5(1 + u) - 3y + 1 = 0, yaitu 5u = 3y - 6 atau 5u = 3(y - 2).
Ruas kanan persamaan terakhir habis dibagi 3 untuk sembarang bilangan bulat y. Artinya ruas kiri juga harus habis dibagi 3. Namun bilangan 5 koprima dengan bilangan 3; oleh karena itu kamu harus habis dibagi 3, yaitu berbentuk 3n, dimana n adalah bilangan bulat. Dalam hal ini, y akan sama
15n/3 + 2 = 5n + 2, yaitu juga bilangan bulat. Jadi, z = 1 + u = 1 + 3n, maka x = 5z + 3 = 8 + 15n.
Hasilnya bukan hanya satu, melainkan himpunan nilai x yang tak terhingga: x = 8 + 15n, dengan n adalah bilangan bulat (positif atau nol):
Menjawab. x=8+15n; n 0;1;2;.
6. Subyek membawa 300 batu mulia sebagai hadiah kepada Shah: dalam kotak kecil masing-masing berisi 15 buah dan dalam kotak besar - 40 buah. Berapa jumlah kotak-kotak ini dan kotak-kotak lainnya, jika diketahui jumlah kotak-kotak kecil lebih sedikit daripada kotak-kotak besar?
Izinkan saya menyatakan dengan x jumlah kotak kecil, dan dengan y jumlah kotak besar.
15x+40y=300. Aku akan memotongnya menjadi 5.
3x+8y=60 x=60-8y3 x=60-6y-2y3
X=20-2y-2y3
Agar nilai pecahan menjadi bilangan bulat, 2y harus kelipatan 3, yaitu 2y = 3c.
Saya akan mengekspresikan variabel y dan memilih seluruh bagian:
Z harus kelipatan 2, yaitu z=2u.
Saya akan menyatakan variabel x dan y dalam bentuk u:
X=20-2y-2y3
=20-2∙3u-2∙3u3
Saya akan menyusun dan menyelesaikan sistem ketidaksetaraan:
Saya akan menuliskan seluruh solusinya: 1; 2. Sekarang saya akan mencari nilai x dan y untuk u=1; 2.
1) x1=20-8∙1=20-8=12 y1=3∙1=3
2) x2=20-8∙2=20-16=4 y2=3∙2=6
Menjawab. 4 kotak kecil; 6 kotak besar.
7. Diberikan dua buah mobil Ural 5557, mobil tersebut dikirim dengan penerbangan Krasnoturinsk - Perm - Krasnoturinsk. Total dibutuhkan 4 ton solar dan 2 orang pengemudi untuk menyelesaikan penerbangan ini. Perlu diketahui biaya angkutan yaitu biaya 1 ton solar dan upah pengemudi yang melakukan penerbangan tersebut, jika diketahui total biaya yang dikeluarkan adalah 76.000 rubel.
Misalkan x rubel adalah biaya 1 ton bahan bakar diesel, dan x rubel adalah gaji pengemudi. Kemudian (4x + 2y) rubel dihabiskan untuk penerbangan. Dan sesuai dengan kondisi masalahnya, 76.000 rubel dihabiskan.
Saya mendapatkan persamaan:
Untuk mengatasi persamaan ini, metode brute force akan menjadi proses yang memakan banyak tenaga. Jadi saya akan menggunakan metode >.
Saya akan mengekspresikan variabel y melalui x: , pilih seluruh bagian, dan dapatkan: (1).
Agar nilai pecahan menjadi bilangan bulat, 2x harus merupakan kelipatan 4. Artinya, 2x = 4z, dengan z adalah bilangan bulat. Dari sini:
Saya akan mengganti nilai x ke dalam ekspresi (1):
Karena x, y 0, maka 19000 z 0, oleh karena itu, dengan memberikan nilai bilangan bulat z dari 0 hingga 19000, saya mendapatkan nilai x dan y berikut: z
Dari data riil biaya transportasi, diketahui 1 ton solar (x) berharga 18.000 rubel. , dan pembayaran untuk pengemudi yang melakukan penerbangan (y) adalah 10.000 rubel. (data diambil kira-kira). Dari tabel kita menemukan bahwa nilai x sama dengan 18000 dan nilai y sama dengan 10000 sesuai dengan nilai z sama dengan 9000, memang: ;.
8. Dalam berapa cara Anda dapat mengumpulkan sejumlah 27 rubel? , memiliki cukup banyak koin dua rubel dan lima rubel?
Izinkan saya menyatakan: x koin dua rubel dan y koin lima rubel
Saya akan membuat persamaan dengan memperhatikan kondisi soal 2x + 5y = 27.
Saya akan menemukan GCD(2;5)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x = (27-5y):2
Dengan menggunakan metode brute force, saya mencari nilai y є y = 1, x = 11
(11;1) adalah solusi khusus.
Semua solusi lain ditemukan menggunakan rumus: x = -5k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z
Persamaan ini memiliki banyak solusi. Mari temukan semua cara untuk mengumpulkan sejumlah 27 rubel dengan koin yang ditawarkan. k
Menjawab. Ada tiga cara untuk mengumpulkan jumlah ini jika Anda memiliki banyak koin dua rubel dan lima rubel.
9. Misalkan gurita dan bintang laut hidup dalam akuarium. Gurita mempunyai 8 kaki, dan bintang laut mempunyai 5 kaki. Jumlah anggota badannya adalah 39. Berapa banyak hewan yang ada di akuarium?
Misal x adalah banyaknya bintang laut, y adalah banyaknya gurita. Lalu semua gurita berkaki 8, dan semua bintang berkaki 5.
Izinkan saya membuat persamaan: 5x + 8y = 39.
Perlu diketahui bahwa jumlah hewan tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan bukan bilangan bulat atau negatif. Oleh karena itu, jika x adalah bilangan bulat non-negatif, maka y = (39 - 5x)/8 juga harus bilangan bulat dan non-negatif, dan oleh karena itu, persamaan 39 - 5x harus habis dibagi 8 tanpa a Sisanya. Pencarian opsi sederhana menunjukkan bahwa hal ini hanya mungkin terjadi jika x = 3, maka y = 3.
Jawaban: (3; 3).
10. Sebuah pabrik mebel memproduksi bangku berkaki tiga dan empat. Sang master membuat 18 kaki. Berapa banyak bangku yang dapat dibuat agar seluruh kakinya dapat digunakan?
Misalkan x adalah banyaknya bangku berkaki tiga dan y adalah banyaknya bangku berkaki empat. Maka, 3x + 4y = 18.
Saya punya, 4y =18 - 3x; kamu = 3(6 - x):4.
Saya mendapatkan: x = 2; y = 3 atau x = 6; kamu = 0.
Tidak ada solusi lain, karena x 6.
Menjawab. 2;3;(6;0).
11. Apakah bisa menampung 718 orang di kabin dengan 4 dan 8 tempat tidur, sehingga tidak ada kursi kosong di kabin?
Misalkan kabin dengan 4 tempat tidur adalah x, dan kabin dengan 8 tempat tidur adalah y, maka:
2(x + 2y) = 309
Menjawab. Itu dilarang.
12. Buktikan bahwa pada garis 124x + 216y = 515 tidak ada satu titik pun yang koordinatnya bilangan bulat.
FPB(124,216) = 4, 515 != 4n, artinya tidak ada penyelesaian bilangan bulat.
Menjawab. Tidak ada solusi.
13. Harga barangnya adalah 23 rubel, pembeli hanya memiliki 2 koin rubel, dan kasir memiliki 5 koin rubel. Apakah mungkin melakukan pembelian tanpa menukarkan uang terlebih dahulu?
Misal x adalah banyaknya koin 2 rubel, y adalah banyaknya koin 5 rubel, maka 2x - 5y = 23, dimana x,y є N.
Saya mendapatkan: 2x = 23 + 5y, dimana x =23 + 5y2 =11 + 2y + (1 + y)2 x akan menjadi bilangan bulat jika 1 + y2 adalah bilangan bulat.
1 + y2 = t, dimana t Euro Z, maka y = 2t - 1.
x = 11 + 2y + 1 + y2 = 11 + 4t - 2 + 1 + 2t-12 = 5t + 9.
Ke. x = 5t + 9, dan y = 2t - 1, dimana t z.
Masalahnya mempunyai banyak solusi bilangan bulat. Yang paling sederhana adalah untuk t = 1, x =14, y = 1, yaitu pembeli akan memberikan empat belas koin 2 rubel dan menerima satu koin 5 rubel sebagai kembaliannya.
Menjawab. Bisa.
14. Saat mengaudit buku dagang toko, salah satu entri ternyata berlumuran tinta dan tampak seperti ini:
> Mustahil untuk mengetahui jumlah meter yang terjual, namun tidak ada keraguan bahwa angka tersebut bukanlah pecahan; dalam hasil, hanya tiga digit terakhir yang dapat dibedakan, dan dimungkinkan juga untuk menetapkan bahwa ada tiga digit lain di depannya. Apakah mungkin memulihkan catatan menggunakan data ini?
Misalkan banyaknya meternya x, maka harga pokok barang dalam kopek adalah 4936x. Kami menyatakan total tiga digit yang diisi sebagai y, ini adalah jumlah ribuan kopeck, dan jumlah keseluruhan dalam kopeck akan dinyatakan sebagai berikut (1000y + 728).
Saya mendapatkan persamaan 4936x = 1000y + 728, saya membaginya dengan 8.
617x - 125y = 91, dimana x,y є z, x,y
125y = 617x - 91 y = 5x - 1 +34 - 8x125 = 5x - 1 + 2 17 - 4x125 =
5x - 1 + 2t, dimana t = 17 - 4x125, t Euro Z.
Dari persamaan t = (17 - 4x)/125 didapat x = 4 - 31t + 1 - t4 =
4 - 31t + t1, dimana t1 = 1 - t4, maka t = 1 - 4t1, a x = 125t1 - 27, y = 617t1 - 134.
Dengan syarat saya tahu itu 100
100 = 234/617 dan t1
Ini berarti 98 meter dijual seharga 4.837,28 rubel. Rekaman telah dipulihkan.
Menjawab. 98 meter dilepaskan.
15. Diperlukan untuk membeli 40 prangko untuk satu rubel - kopeck, 4-kopeck, dan 12-kopeck. Berapa prangko setiap denominasi yang dapat Anda beli?
Anda dapat membuat dua persamaan: x + 4y + 12z = 100 dan x + y + z = 40, dengan x adalah banyaknya mark, y adalah banyaknya mark 4 kopeck, z adalah banyaknya mark 12 kopeck . Saya mengurangi persamaan kedua dari persamaan pertama dan mendapatkan:
3y + 11z = 60, y = 60 - 11z3 = 20 - 11· z3.
Misal z3 = t, z = 3t, di mana t Euro Z. Lalu saya peroleh jika x + y + z = 40 dan z = 3t, dan y = 20 - 11t, x = 20 + 8t.
Karena x >= 0, y >= 0, z >= 0, maka 0
Maka, saya mendapatkan: t = 0, x = 20, y = 20, z = 0; t = 1, x = 28, y = 9, z = 3.
Jadi, pembelian prangko hanya dapat dilakukan dengan dua cara, dan jika syaratnya dibeli minimal satu prangko setiap pecahan, maka hanya dengan satu cara.
Menjawab. 28 tanda 1 kopeck, 9 tanda 4 kopeck dan 3 tanda 12 kopeck.
16. Seorang siswa diberi tugas sebanyak 20 soal. Untuk setiap pertanyaan yang diselesaikan dengan benar, dia menerima 8 poin; untuk setiap pertanyaan yang tidak terpecahkan, 5 poin dikurangi darinya. Untuk tugas yang tidak dia lakukan - 0 poin. Siswa tersebut mencetak total 13 poin. Berapa banyak masalah yang dia coba selesaikan?
Misalkan soal yang diselesaikan dengan benar adalah x, soal yang salah diselesaikan adalah y, dan soal yang tidak diselesaikan adalah z.
Maka x + y + z = 20, dan 8x - 5y = 13.
y = 8x - 135= x - 2 +3(x - 1)5 = x - 2 + 3t, dimana t = x - 15, dan x = 5t + 1.
Dengan kondisi x + y
Jawaban: siswa mengerjakan 13 soal, menyelesaikan 6 soal, dan gagal 7.
17. Ivanushka si Bodoh bertarung dengan Ular Gorynych, yang memiliki 2001 kepala. Mengayunkan pedangnya ke kiri, Ivan memotong 10 kepala, dan sebagai imbalannya 16 kepala tumbuh. Mengayunkan pedangnya ke kanan, dia memotong 15 kepala, dan 6 kepala tumbuh. Anda dapat mengayun dalam urutan apa pun, tetapi jika jumlahnya kurang dari 15 gol, maka hanya ke kiri, dan jika kurang dari 10, maka tidak sama sekali. Bisakah Ivanushka si Bodoh mengalahkan Serpent Gorynych?
Izinkan saya mengulangi masalahnya: apakah mungkin untuk memenggal kepala tahun 1986? Kemudian Ivan akan menebang 15 sisanya dengan satu pukulan ke kanan dan tidak ada yang baru yang tumbuh.
Misal x adalah banyaknya pukulan ke kanan, dan y adalah banyaknya pukulan ke kiri, maka 1986 - 9x + 6y = 0.
Saya membagi seluruh persamaan dengan 6, saya mengerti
3x - 2 tahun = 662.
kamu = 3x - 6622 = x - 331 + x2.
Misalkan x2 = t, maka x = 2t, dan y = 3t - 331.
Karena x >= 0, y >= 0, maka t >= 111, maka t = 111, x = 222, y = 2.
Saya mendapatkan: dengan memukul 220 kali ke kanan, Ivan memotong 1980 kepala dan Ular memiliki 21 kepala tersisa; lalu 2 pukulan ke kiri dan Ular itu menumbuhkan 12 kepala, sehingga totalnya menjadi 33; 2 pukulan berikutnya ke kanan menghilangkan 18 kepala Ular dan Ivan memotong 15 sisanya dengan pukulan terakhir ke kanan dan tidak ada kepala baru yang tumbuh.
Jawaban : 220 pukulan ke kanan, 2 pukulan ke kiri dan 3 pukulan lagi ke kanan.
18. Sisi-sisi sebuah dadu diberi nomor - 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dari 5 kubus tersebut, mereka membangun sebuah menara dan menghitung jumlah titik pada semua permukaan yang terlihat, setelah mengeluarkan kubus paling atas, jumlahnya berkurang 19, bilangan manakah yang merupakan rusuk atas kubus paling atas?
Jumlah titik pada satu kubus adalah 21.
Misal x adalah banyaknya titik pada tepi bawah kubus teratas, dan y adalah banyaknya titik pada tepi atas kubus berikutnya. Jika kubus paling atas dihilangkan, maka titik-titik pada 5 permukaan kubus paling atas hilang, yang jumlah titik-titiknya adalah (21 - x), dan permukaan tempat munculnya titik-titik tersebut, yang berarti jumlah titik-titiknya adalah berkurang sebesar (21 - x) - y, dan sesuai kondisi menjadi 19, maka :
(21 - x) - y = 19, x + y = 2.
Jadi y = 2 - x, dan dengan kondisi 1
19. Seseorang membeli 30 burung seharga 30 koin pecahan yang sama. Untuk setiap 3 burung pipit Anda membayar 1 koin, untuk 2 burung bullfinches - 1 koin, untuk 1 merpati - 2 koin. Berapa banyak burung dari setiap jenis yang ada di sana?
Misalkan ada x burung pipit, y bullfinches, dan z merpati. Maka sesuai kondisi x + y + z = 30 dan 13x + 12y + 2z = 30.
Didapatkan x + y + z = 30 dan 2x + 3y + 12z = 180, atau y + 10z = 120, y = 120 - 10z, dengan syarat x
Oleh karena itu pilihan berikut (0;20;10); (9;10;11); (18;0;12).
Jawaban: burung pipit - 0, bullfinches - 20, merpati - 10; burung pipit - 9, bullfinches - 10, merpati - 11; burung pipit - 18, bullfinches - 0, merpati - 12.
20. Temukan semua bilangan dua angka, yang masing-masing jika dikurangi 2, sama dengan lima kali hasil kali angka-angkanya.
Misalkan xy adalah bilangan dua digit yang diperlukan.
Untuk persamaan xy - 2 = 5xy, atau (10x + y) - 5xy = 2 S = 0 dan saya akan mencari semua solusi alami dari himpunan (x; 2).
Karena x adalah digit pertama dari dua digit angka, maka hanya dapat mengambil 9 nilai.
Itu. , angka yang dibutuhkan adalah: 12, 22, 32,. , 92.
Menjawab. 12; 22, 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92.
21. Sepotong kawat yang panjangnya 102 cm perlu dipotong-potong dengan panjang 15 cm dan 12 cm agar kawatnya terpakai seluruhnya. Bagaimana cara melakukannya?
Misal x adalah banyaknya bagian kawat yang panjangnya 15 cm, y adalah banyaknya bagian kawat yang panjangnya 12 cm.
15x+12y=102 /:3
4x+3y=34 x=34-4y5=6+4-4y5=6+4(1-y)5.
Misalkan 1-y5=t x=6+4t>0y=1-5t>0=> 4t>-6-5t>-1 => t>-1,5t t=0;-1.
Jika t=0, maka x=6y=1
Jika t=-1, maka x=2y=6
Menjawab. Masalahnya memiliki dua solusi:
1) 102=15∙6+12∙1; 2) 102=15∙2+12∙6.
22. Petya pada tahun 1987 sama umurnya dengan jumlah angka tahun kelahirannya. Pada tahun berapa dia dilahirkan?
Biarkan Petya lahir pada tahun 1919. Kemudian pada tahun 1987 ia berusia 1987-19xy, atau (1+9+x+y) tahun. Kami memiliki persamaan:
87-(10x+y)=10+x+y
77-11x=2y y=77-11x2=38-11x-12.
Mengingat x dan y adalah digit sistem bilangan desimal, kita mencarinya melalui pilihan: x=3, y=1.
Menjawab. Petya lahir pada tahun 1970.
23. Seseorang membeli barang senilai 19 rubel di toko. Dia hanya memiliki uang kertas 15-tiga rubel, sedangkan kasir hanya memiliki uang kertas 20-lima rubel. Bisakah saya membayar dan bagaimana caranya?
Masalahnya adalah menyelesaikan persamaan Diophantine dalam bilangan bulat positif: 3x - 5y = 19, di mana x
Karena x>0 dan y > 0 dan dengan mempertimbangkan kondisi soal, mudah untuk menetapkan bahwa 0
Ini menghasilkan 2 kemungkinan nilai: x
Menjawab. 1) 19=3∙8-1∙5 2) 19=3∙13-4∙5.
24. Apakah mungkin untuk menimbang 28 g suatu zat pada timbangan cangkir, yang hanya mempunyai 4 anak timbangan bermassa 3 g dan 7 anak timbangan bermassa 5 g?
Untuk melakukan ini, Anda perlu menyelesaikan persamaan:
x = 9 - 2(3y1 - 1) + y1 = 11-5y1.
Jadi x = 11 - 5 y1 y = 3 y1 - 1.
Berdasarkan kondisi soal, y1 tidak boleh diberi nilai negatif. Berikutnya adalah y1
Menjawab. 1 bobot dalam 3 g dan 5 bobot dalam 5 g.
25. Pembeli membeli di toko seharga 21 rubel. barang-barang. Tapi dia hanya punya uang kertas pecahan 5 rubel, sedangkan kasir punya 3 rubel. Anda ingin tahu apakah Anda bisa membayar ke kasir jika Anda punya uang dan bagaimana tepatnya?
Misalkan x adalah angka 5 - rubel, y - 3 - rubel.
Dengan syarat x > 0, y > 0, artinya.
Selain itu, t genap, jika tidak, baik x maupun y tidak akan bilangan bulat.
Pada t = 4, 6, 8,. kami memiliki: t
Menjawab. 6;3;8;8;12;13;15;18;18;23;21;28;24;33;27;38;(30;43).
26. Kertas berjumlah 110 lembar. Diperlukan untuk menjahit buku catatan masing-masing 8 lembar dan 10 lembar. Berapa banyak yang perlu Anda jahit?
Misal x banyaknya buku catatan 8 lembar, y banyaknya buku catatan 10 lembar.
Jadi t = 0 atau t = - 1
Menjawab. 5;7;(10;3).
27. Banyak metode kuno dalam menebak angka dan tanggal lahir didasarkan pada penyelesaian persamaan Diophantine. Misalnya, untuk menebak tanggal lahir (bulan dan hari) lawan bicara Anda, cukup dengan menanyakan jumlah yang diperoleh dari penjumlahan dua hasil perkalian: nomor tanggal (x) sebanyak 12 dan nomor bulan (y) sebanyak 31 .
Misalkan jumlah hasil kali yang dimaksud sama dengan 330. Tentukan tanggal lahirnya.
Mari selesaikan persamaan tak tentu: y = 2y1 + y2 = 2(2y2 + y3) + y2 = 5y2 + 2y3 = 5(2y3 - 6) + 2y3 = 12y3 - 30 x = 27 - 3(12y3 - 30) + 2y2 + y3 = 27 - 36y3 + 90 + 2(2y3 - 6) + y3 =
27 - 36y3 + 90 + 5y3 - 12 = 105 - 31y3 x = 12y3 - 30, y = 105 - 31y3
Jadi, tanggal lahir: tanggal 12 bulan ke-6.
28. Apakah mungkin mengumpulkan sejumlah 51 rubel dengan koin dua rubel dan lima rubel? Jika memungkinkan, ada berapa cara?
Misalkan ada x koin dua rubel, dan koin lima rubel.
Misalkan 1+y2=z
=> z = 1, 2, 3, 4, 5
Jawaban: 5 cara.
29. Apakah mungkin memasukkan dua ratus telur ke dalam kotak berisi 10 dan 12 buah? Jika memungkinkan, temukan semua cara tersebut.
Misalkan ada x kotak masing-masing 10 buah dan biarkan kotak tersebut masing-masing berisi 12 buah. Izinkan saya membuat persamaan: z = 1, 2, 3
Jawaban: 14;5;8;10;(2;15)
30. Bayangkan bilangan 257 sebagai jumlahan dua suku asli: a) salah satunya merupakan kelipatan 3, dan yang lainnya merupakan kelipatan 4; b) salah satunya merupakan kelipatan 5, dan yang lainnya merupakan kelipatan 8.
Jawaban: 1) 249 dan 8; 2) 225 dan 32.
Dalam soal-soal yang melibatkan persamaan tak tentu, saya menjumpai berbagai macam kasus: soal mungkin sama sekali tidak dapat dipecahkan (Soal 4), mungkin mempunyai jumlah solusi tak terhingga (Soal 2), mungkin mempunyai beberapa solusi pasti; khususnya, ia dapat memiliki satu solusi unik (Masalah 1).
KESIMPULAN
Tujuan yang saya tetapkan untuk diri saya sendiri telah tercapai. Mengerjakan proyek ini membangkitkan minat dan memikat saya. Pekerjaan ini menuntut saya tidak hanya pengetahuan matematika dan ketekunan tertentu, tetapi juga memberi saya kesempatan untuk merasakan kegembiraan yang luar biasa dari penemuan mandiri.
Persamaan Diophantine terdapat dalam tugas-tugas olimpiade, sehingga mengembangkan pemikiran logis, meningkatkan tingkat budaya matematika, dan menanamkan keterampilan dalam penelitian mandiri di bidang matematika.
Saat menyelesaikan persamaan dan masalah yang direduksi menjadi persamaan Diophantine, digunakan sifat-sifat bilangan prima, metode pemfaktoran polinomial, metode enumerasi, metode penurunan, dan algoritma Euclidean. Menurut saya, cara turun adalah yang paling sulit. Namun metode brute force ternyata lebih bagus bagi saya.
Saya memecahkan 54 masalah dalam pekerjaan saya.
Pekerjaan ini berkontribusi pada pemahaman yang lebih dalam tentang kurikulum sekolah dan memperluas wawasan saya.
Materi ini akan bermanfaat bagi siswa yang tertarik pada matematika. Dapat digunakan dalam beberapa pelajaran dan kegiatan ekstrakurikuler.
