Tanda-tanda kepemilikan sudah diketahui dari perjalanan planimetri. Tugas kita adalah mempertimbangkannya dalam kaitannya dengan proyeksi objek geometris.

Suatu titik termasuk dalam bidang jika itu termasuk dalam garis yang terletak di bidang itu.

Milik bidang lurus ditentukan oleh salah satu dari dua tanda:

a) sebuah garis melalui dua titik yang terletak pada bidang ini;

b) sebuah garis melalui suatu titik dan sejajar dengan garis-garis yang terletak pada bidang tersebut.

Menggunakan properti ini, kami akan memecahkan masalah sebagai contoh. Biarkan pesawat diberikan oleh segitiga ABC. Diperlukan untuk membangun proyeksi yang hilang D 1 poin D milik pesawat ini. Urutan konstruksinya adalah sebagai berikut (Gbr. 2.5).

Beras. 2.5. Untuk konstruksi proyeksi titik milik pesawat

Melalui titik D 2 kami melakukan proyeksi garis lurus d berbaring di pesawat  ABC memotong salah satu sisi segitiga dan titik TETAPI 2. Maka titik 1 2 termasuk ke dalam garis TETAPI 2 D 2 dan C 2 PADA 2. Oleh karena itu, seseorang dapat memperoleh proyeksi horizontal 1 1 ke C 1 PADA 1 pada jalur komunikasi. Dengan menghubungkan titik 1 1 dan TETAPI 1 , kami mendapatkan proyeksi horizontal d satu . Jelas bahwa intinya D 1 miliknya dan terletak pada garis koneksi proyeksi dengan titik D 2 .

Cukup sederhana untuk memecahkan masalah untuk menentukan apakah suatu titik atau garis lurus termasuk dalam bidang datar. pada gambar. 2.6 menunjukkan jalannya pemecahan masalah tersebut. Untuk kejelasan presentasi masalah, pesawat diatur oleh segitiga.

Beras. 2.6. Tugas untuk menentukan milik suatu titik dan bidang lurus.

Untuk menentukan apakah suatu titik termasuk E pesawat terbang  ABC, tarik garis lurus melalui proyeksi depan E 2 sebuah 2. Dengan asumsi bahwa garis a milik pesawat  ABC, buat proyeksi horizontalnya sebuah 1 di persimpangan titik 1 dan 2. Seperti yang Anda lihat (Gbr. 2.6, a), garis lurus sebuah 1 tidak melewati titik E satu . Oleh karena itu intinya E ABC.

Dalam masalah milik garis di bidang segitiga ABC(Gbr. 2.6, b), itu cukup untuk salah satu proyeksi garis lurus di 2 membangun yang lain di 1 * mengingat itu di ABC. Seperti yang kita lihat, di 1 * dan di 1 tidak cocok. Oleh karena itu, garis lurus di   ABC.

2.4. Garis tingkat pesawat

Definisi garis level diberikan sebelumnya. Garis tingkat yang termasuk dalam bidang tertentu disebut utama . Garis-garis ini (garis lurus) memainkan peran penting dalam memecahkan sejumlah masalah dalam geometri deskriptif.

Pertimbangkan konstruksi garis datar pada bidang yang ditentukan oleh segitiga (Gbr. 2.7).

Beras. 2.7. Konstruksi garis utama bidang yang ditentukan oleh segitiga

Kontur pesawat  ABC kita mulai dengan menggambar proyeksi depannya h 2 , yang diketahui sejajar dengan sumbu OH. Karena garis horizontal ini milik bidang yang diberikan, ia melewati dua titik pada bidang itu  ABC, yaitu, poin TETAPI dan 1. Memiliki proyeksi frontal TETAPI 2 dan 1 2 , di sepanjang jalur komunikasi kita mendapatkan proyeksi horizontal ( TETAPI 1 sudah ada) 1 1 . Dengan menghubungkan titik-titik TETAPI 1 dan 1 1 , kami memiliki proyeksi horizontal h 1 bidang horizontal  ABC. Proyeksi profil h 3 kontur bidang  ABC akan sejajar dengan sumbu OH a-prioritas.

depan pesawat  ABC dibangun dengan cara yang sama (Gbr. 2.7) dengan satu-satunya perbedaan bahwa gambarnya dimulai dengan proyeksi horizontal f 1 , karena diketahui sejajar dengan sumbu OX. Proyeksi profil f 3 bagian depan harus sejajar dengan sumbu OZ dan melewati proyeksi Dengan 3 , 2 3 poin yang sama Dengan dan 2.

Garis profil pesawat  ABC memiliki horizontal R 1 dan depan R 2 proyeksi sejajar dengan sumbu OY dan ons, dan proyeksi profil R 3 dapat diakses secara frontal menggunakan titik potong PADA dan 3 detik  ABC.

Saat membangun garis utama pesawat, Anda hanya perlu mengingat satu aturan: untuk menyelesaikan masalah, Anda harus selalu mendapatkan dua titik persimpangan dengan bidang yang diberikan. Konstruksi jalur utama yang terletak di bidang yang diberikan dengan cara yang berbeda tidak lebih sulit dari yang dibahas di atas. pada gambar. 2.8 menunjukkan konstruksi bidang horizontal dan frontal yang diberikan oleh dua garis berpotongan sebuah dan di.

Beras. 2.8. Konstruksi garis-garis utama pesawat diberikan dengan berpotongan garis lurus.

Titik dan garis adalah figur geometris utama pada bidang.

Definisi titik dan garis lurus tidak diperkenalkan dalam geometri; konsep-konsep ini dianggap pada tingkat konseptual intuitif.

Poin ditunjukkan dengan huruf kapital (kapital, besar) Latin: A, B, C, D, ...

Garis lurus dilambangkan dengan satu huruf latin (kecil), misalnya,

- garis lurus a.

Garis lurus terdiri dari jumlah titik yang tidak terbatas dan tidak memiliki awal atau akhir. Gambar tersebut hanya menggambarkan sebagian dari garis lurus, tetapi dapat dipahami bahwa garis itu membentang jauh tak terhingga di ruang angkasa, berlanjut tanpa batas di kedua arah.

Titik-titik yang terletak pada suatu garis dikatakan berada pada garis tersebut. Keanggotaan ditandai dengan tanda . Titik-titik di luar suatu garis dikatakan tidak termasuk ke dalam garis tersebut. Tanda "bukan milik" adalah .

Misalnya, titik B milik garis a (ditulis: B∈a),

titik F tidak termasuk dalam garis a, (mereka menulis: F∉a).

Sifat-sifat utama keanggotaan titik dan garis pada bidang:

Apapun garisnya, ada titik-titik yang termasuk dalam garis ini, dan titik-titik yang bukan milik garis itu.

Dimungkinkan untuk menggambar garis lurus melalui dua titik, dan hanya satu.

Garis juga dilambangkan dengan dua huruf latin besar, sesuai dengan nama titik yang terletak pada garis tersebut.

- garis lurus AB.

- baris ini bisa disebut MK atau MN atau NK.

Dua garis mungkin atau mungkin tidak berpotongan. Jika garis tidak berpotongan, mereka tidak memiliki titik yang sama. Jika garis berpotongan, mereka memiliki satu titik yang sama. Tanda penyeberangan - ∩ .

Misalnya, garis a dan b berpotongan di titik O

(menulis sebuah ∩ b=O).

Garis c dan d juga berpotongan, meskipun titik potongnya tidak ditunjukkan pada gambar.

Beras. 3.2Susunan garis bersama

Garis dalam ruang dapat menempati salah satu dari tiga posisi relatif satu sama lain:

1) sejajar;

2) berpotongan;

3) kawin silang.

Paraleldisebut garis lurus yang terletak pada bidang yang sama dan tidak mempunyai titik persekutuan.

Jika garis-garis itu sejajar satu sama lain, maka proyeksinya dengan nama yang sama pada CC juga sejajar (lihat Bagian 1.2).

berpotongandisebut garis lurus yang terletak pada bidang yang sama dan memiliki satu titik yang sama.

Untuk garis berpotongan di CC, proyeksi dengan nama yang sama berpotongan dengan proyeksi titik TETAPI. Selain itu, proyeksi frontal () dan horizontal () dari titik ini harus berada pada jalur komunikasi yang sama.

kawin silangdisebut garis lurus yang terletak pada bidang sejajar dan tidak memiliki titik persekutuan.

Jika garis-garis tersebut berpotongan, maka pada CC proyeksi mereka dengan nama yang sama dapat berpotongan, tetapi titik persimpangan dari proyeksi dengan nama yang sama tidak akan terletak pada jalur komunikasi yang sama.

pada gambar. 3,4 poin Dengan milik garis b, dan titik D- lurus sebuah. Titik-titik ini berada pada jarak yang sama dari bidang proyeksi frontal. Demikian pula titik-titik E dan F milik garis yang berbeda, tetapi berada pada jarak yang sama dari bidang proyeksi horizontal. Oleh karena itu, proyeksi frontal mereka bertepatan dengan CC.

Ada dua kasus di mana sebuah titik terletak relatif terhadap sebuah bidang: sebuah titik mungkin atau mungkin tidak termasuk dalam bidang tersebut (Gbr. 3.5).

Tanda kepunyaan suatu titik dan bidang lurus:

Titik milik pesawatjika itu milik garis yang terletak di pesawat ini.

Garis itu milik pesawat, jika memiliki dua titik yang sama dengannya atau memiliki satu titik yang sama dengannya dan sejajar dengan garis lain yang terletak di bidang ini.

pada gambar. 3.5 menunjukkan bidang dan titik D dan E. Dot D milik pesawat, karena itu milik garis aku, yang memiliki dua titik yang sama dengan bidang ini - 1 dan TETAPI. Dot E bukan milik pesawat, karena Tidak mungkin untuk menggambar garis lurus melaluinya yang terletak di bidang yang diberikan.

pada gambar. 3.6 menunjukkan bidang dan garis lurus t berbaring di pesawat ini, karena memiliki kesamaan dengan itu 1 dan sejajar dengan garis sebuah.

Pada produk Cartesian , di mana M adalah himpunan titik, kami memperkenalkan hubungan 3-tempat d. Jika rangkap tiga titik (A, B, C) termasuk dalam relasi ini, maka kita akan mengatakan bahwa titik B terletak di antara titik A dan C dan menggunakan notasi: A-B-C. Relasi yang diperkenalkan harus memenuhi aksioma berikut:

Jika titik B terletak di antara titik A dan C, maka A, B, C adalah tiga titik berbeda pada garis yang sama, dan B terletak di antara C dan A.

Apapun titik A dan B, setidaknya ada satu titik C sedemikian rupa sehingga B terletak di antara A dan C.

Di antara tiga titik pada suatu garis, paling banyak ada satu yang terletak di antara dua titik lainnya.

Untuk merumuskan aksioma terakhir, keempat dari grup kedua, akan lebih mudah untuk memperkenalkan gagasan berikut.

Definisi 3.1. Segmen (menurut Hilbert) yang kami maksud adalah sepasang titik AB. Titik A dan B akan disebut ujung segmen, titik yang terletak di antara ujungnya - titik internal segmen, atau hanya titik segmen, dan titik garis AB, tidak terletak di antara ujung A dan B - titik eksternal segmen.

. (Aksioma Pasha) Misalkan A, B, dan C adalah tiga titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama, dan misalkan l adalah garis bidang ABC yang tidak melalui titik-titik tersebut. Kemudian, jika garis l melalui suatu titik pada ruas AB, maka garis tersebut mengandung salah satu titik pada ruas AC atau sebuah titik pada ruas BC.

Beberapa sifat geometris titik, garis, dan segmen mengikuti aksioma kelompok pertama dan kedua. Dapat dibuktikan bahwa setiap segmen memiliki setidaknya satu titik interior, di antara tiga titik garis selalu ada satu dan hanya satu yang terletak di antara dua lainnya, di antara dua titik garis selalu ada banyak titik, yang berarti ada adalah tak terhingga banyak titik pada garis . Dapat juga dibuktikan bahwa pernyataan aksioma Pasch juga berlaku untuk titik-titik yang terletak pada garis yang sama: jika titik-titik A, B dan C berada pada garis yang sama, maka garis l tidak melalui titik-titik tersebut dan memotong salah satu dari segmen, misalnya, AB di titik interior, kemudian berpotongan di titik interior baik segmen AC atau segmen BC. Perhatikan juga bahwa tidak mengikuti aksioma kelompok pertama dan kedua bahwa himpunan titik-titik suatu garis tidak dapat dihitung. Kami tidak akan menyajikan bukti dari pernyataan ini. Pembaca dapat berkenalan dengan mereka di manual, dan. Mari kita membahas lebih detail konsep geometri dasar, yaitu sinar, setengah bidang dan setengah ruang, yang diperkenalkan menggunakan aksioma keanggotaan dan keteraturan.

Pernyataan berikut ini benar:

Titik O dari garis l membagi himpunan titik-titik lain dari garis ini menjadi dua himpunan bagian yang tidak kosong sehingga untuk setiap dua titik A dan B yang termasuk dalam himpunan bagian yang sama, titik O adalah titik luar dari segmen AB, dan untuk setiap dua titik C dan D milik himpunan bagian yang berbeda, titik O adalah titik interior segmen CD.

Masing-masing himpunan bagian ini disebut balok garis l dengan titik asal di titik O. Sinar dilambangkan dengan h, l, k, …OA, OB, OC,…, di mana O adalah awal sinar, dan A, B, dan C adalah titik-titik sinar. Bukti dari pernyataan ini akan diberikan nanti, di Bagian 7, tetapi menggunakan aksioma yang berbeda dari ruang Euclidean tiga dimensi. Konsep sinar memungkinkan kita untuk mendefinisikan objek geometris yang paling penting - sudut.

Definisi 3.2.Yang dimaksud dengan sudut (menurut Hilbert) adalah sepasang sinar h dan k yang memiliki titik asal O yang sama dan tidak terletak pada satu garis lurus.

Titik O disebut titik sudut, dan sinar-sinar h dan k adalah sisi-sisinya. Untuk sudut, kita akan menggunakan notasi . Pertimbangkan konsep geometri dasar yang paling penting - konsep setengah bidang.

Teorema 3.1.Garis a yang terletak pada bidang a membagi himpunan titik-titik yang bukan merupakan bagian dari garis menjadi dua himpunan bagian yang tidak kosong, sehingga jika titik-titik A dan B merupakan himpunan bagian yang sama, maka ruas AB tidak mempunyai titik-titik persekutuan dengan garis l, dan jika titik A dan B B milik himpunan bagian yang berbeda, maka segmen AB memotong garis l di titik interiornya.

Bukti. Dalam pembuktiannya, kita akan menggunakan properti relasi ekivalensi berikut. Jika relasi biner diperkenalkan pada beberapa himpunan, yang merupakan relasi ekivalen, mis. memenuhi kondisi refleksivitas, simetri dan transitivitas, maka seluruh himpunan dibagi menjadi himpunan bagian yang tidak berpotongan - kelas kesetaraan, dan dua elemen apa pun termasuk dalam kelas yang sama jika dan hanya jika mereka setara.

Perhatikan himpunan titik-titik pada bidang yang tidak termasuk dalam garis a. Kita akan mengasumsikan bahwa dua titik A dan B berada dalam relasi biner d: AdB jika dan hanya jika tidak ada titik-titik interior pada segmen AB yang termasuk dalam garis a. Kami juga akan menghitung Mari kita katakan bahwa setiap titik berada dalam relasi biner d dengan dirinya sendiri. Mari kita tunjukkan bahwa untuk setiap titik A yang tidak termasuk dalam garis a, terdapat titik-titik yang berbeda dari A, baik yang ada maupun tidak berada bersamanya dalam relasi biner. Kami memilih titik P sewenang-wenang dari garis lurus a (lihat Gambar 6). Kemudian, menurut aksioma, terdapat titik B dari garis AP sehingga P-A-B. Garis AB memotong a di titik P yang bukan antara titik A dan B, jadi titik A dan B berhubungan dengan d. Menurut aksioma yang sama, terdapat titik C sedemikian rupa sehingga A-P-C. Oleh karena itu titik P terletak di antara A dan C, titik A dan C tidak berhubungan dengan d.

Mari kita buktikan bahwa relasi d adalah relasi ekivalen. Kondisi refleksivitas jelas dipenuhi berdasarkan definisi relasi biner d: AdA. Misalkan titik A dan B berhubungan dengan d. Maka tidak ada titik garis a pada ruas AB. Dari sini dapat disimpulkan bahwa tidak ada titik dari garis lurus a pada segmen BA, oleh karena itu BdA, hubungan simetri terpenuhi. Biarkan, akhirnya, diberikan tiga titik A, B dan C sedemikian rupa sehingga AdB dan BdC. Mari kita tunjukkan bahwa titik A dan C berada dalam relasi biner d. Misalkan sebaliknya, pada ruas AC terdapat titik P dari garis lurus a (Gbr. 7). Kemudian, berdasarkan aksioma , aksioma Pasch, garis a memotong segmen BC atau segmen AB (dalam Gambar 7, garis a memotong segmen BC). Kami telah sampai pada suatu kontradiksi, karena dari kondisi AdB dan BdC mengikuti bahwa garis a tidak memotong segmen-segmen ini. Dengan demikian, relasi d adalah relasi ekivalensi dan membagi himpunan titik-titik bidang yang bukan milik garis a ke dalam kelas-kelas ekivalensi.

Mari kita periksa bahwa ada tepat dua kelas ekivalensi seperti itu. Untuk melakukan ini, cukup membuktikan bahwa jika titik A dan C dan B dan C tidak setara, maka titik A dan B pada gilirannya setara satu sama lain. Karena titik A dan C dan B dan C tidak berada dalam relasi ekivalen d, maka garis a memotong segmen AC dan BC di titik P dan Q (lihat Gambar 7). Tetapi kemudian, berdasarkan aksioma Pasha, garis ini tidak dapat memotong segmen AB. Oleh karena itu titik A dan B adalah ekuivalen satu sama lain. Teorema telah terbukti.

Masing-masing kelas ekivalensi yang didefinisikan dalam Teorema 3.2 disebut setengah bidang. Jadi, setiap garis lurus suatu bidang membaginya menjadi dua setengah bidang, yang melayaninya berbatasan.

Sama halnya dengan konsep setengah bidang, konsep setengah ruang diperkenalkan. Sebuah teorema dibuktikan, yang menyatakan bahwa setiap bidang ruang a membagi titik-titik ruang menjadi dua himpunan. Segmen, yang ujung-ujungnya merupakan titik-titik dari satu himpunan, tidak memiliki titik-titik yang sama dengan bidang a. Jika titik-titik ujung suatu segmen termasuk dalam himpunan yang berbeda, maka segmen tersebut memiliki titik interior bidang a. Bukti dari pernyataan ini mirip dengan bukti Teorema 3.2; kami tidak akan menyajikannya di sini.

Mari kita definisikan konsep titik interior suatu sudut. Biarkan sudut diberikan. Perhatikan garis OA yang memuat sinar OA, sisi dari sudut ini. Jelas bahwa titik-titik sinar OB berada pada setengah bidang a yang sama terhadap garis OA. Demikian pula, titik-titik sinar OA, sisi-sisi sudut yang diberikan, termasuk dalam setengah bidang b yang sama, yang batasnya adalah OB langsung (Gbr. 8). Titik-titik yang termasuk dalam perpotongan setengah bidang a dan b disebut poin internal sudut. Pada gambar 8, titik M adalah titik internal. Himpunan semua titik interior suatu sudut disebut wilayah dalam. Sinar yang titik sudutnya berimpit dengan titik sudut suatu sudut dan semua titiknya di dalam disebut balok internal sudut. Gambar 8 menunjukkan sinar dalam h dari sudut AOB.

Pernyataan berikut ini benar.

sepuluh. Jika sinar dengan asal di titik sudut mengandung setidaknya satu dari titik interiornya, maka itu adalah sinar interior sudut itu.

20 . Jika ujung-ujung segmen terletak pada dua sisi sudut yang berbeda, maka setiap titik interior segmen adalah titik interior sudut.

tiga puluh. Setiap sinar dalam suatu sudut memotong segmen yang ujungnya berada di sisi sudut.

Kami akan mempertimbangkan bukti dari pernyataan ini nanti, di Bagian 5. Dengan menggunakan aksioma kelompok kedua, kami mendefinisikan konsep garis putus-putus, segitiga, poligon, konsep bagian dalam poligon sederhana, dan membuktikan bahwa poligon membagi pesawat menjadi dua wilayah, internal dan eksternal sehubungan dengan itu.

Kelompok ketiga aksioma Hilbert dari ruang Euclidean tiga dimensi adalah apa yang disebut aksioma keselarasan. Misalkan S adalah himpunan segmen, A himpunan sudut. Pada produk Cartesian dan kami memperkenalkan hubungan biner, yang akan kami sebut hubungan kongruensi.

Perhatikan bahwa hubungan yang diperkenalkan dengan cara ini bukanlah hubungan dari objek utama dari aksiomatik yang dipertimbangkan, yaitu. titik garis dan bidang. Dimungkinkan untuk memperkenalkan kelompok aksioma ketiga hanya jika konsep segmen dan sudut didefinisikan, mis. kelompok pertama dan kedua aksioma Hilbert diperkenalkan.

Kami juga setuju untuk menyebut segmen atau sudut yang kongruen juga secara geometris sama atau hanya sama dengan segmen atau sudut, istilah "kongruen", dalam hal ini tidak menyebabkan kesalahpahaman, akan diganti dengan istilah "sama" dan dilambangkan dengan simbol "=".