) dan penyebut dengan penyebut (kita mendapatkan penyebut dari produk).

Rumus perkalian pecahan:

Sebagai contoh:

Sebelum melanjutkan dengan perkalian pembilang dan penyebut, perlu untuk memeriksa kemungkinan pengurangan pecahan. Jika Anda berhasil mengurangi pecahan, maka akan lebih mudah bagi Anda untuk terus melakukan perhitungan.

Pembagian pecahan biasa dengan pecahan.

Pembagian pecahan yang melibatkan bilangan asli.

Ini tidak menakutkan seperti kelihatannya. Seperti halnya penjumlahan, kita mengubah bilangan bulat menjadi pecahan dengan penyebut satuan. Sebagai contoh:

Perkalian pecahan campuran.

Aturan perkalian pecahan (campuran):

• mengubah pecahan campuran menjadi tidak wajar;
• mengalikan pembilang dan penyebut pecahan;
• kami mengurangi fraksi;
• jika kita mendapatkan pecahan biasa, maka kita ubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran.

Catatan! Untuk mengalikan pecahan campuran dengan pecahan campuran lainnya, Anda harus terlebih dahulu mengubahnya ke bentuk pecahan biasa, lalu mengalikannya sesuai dengan aturan perkalian pecahan biasa.

Cara kedua untuk mengalikan pecahan dengan bilangan asli.

Akan lebih mudah menggunakan metode kedua untuk mengalikan pecahan biasa dengan angka.

Catatan! Untuk mengalikan pecahan dengan bilangan asli, penyebut pecahan harus dibagi dengan bilangan ini, dan pembilangnya tidak berubah.

Dari contoh di atas, jelas bahwa opsi ini lebih mudah digunakan bila penyebut suatu pecahan dibagi tanpa sisa dengan bilangan asli.

Pecahan bertingkat.

Di sekolah menengah, pecahan tiga tingkat (atau lebih) sering ditemukan. Contoh:

Untuk membawa pecahan seperti itu ke bentuk biasanya, pembagian melalui 2 poin digunakan:

Catatan! Saat membagi pecahan, urutan pembagian sangat penting. Hati-hati, mudah bingung di sini.

Catatan, Sebagai contoh:

Saat membagi satu dengan pecahan apa pun, hasilnya akan menjadi pecahan yang sama, hanya terbalik:

Tips praktis perkalian dan pembagian pecahan:

1. Hal terpenting dalam bekerja dengan ekspresi pecahan adalah akurasi dan perhatian. Lakukan semua perhitungan dengan cermat dan akurat, terkonsentrasi dan jelas. Lebih baik menuliskan beberapa baris tambahan dalam draft daripada bingung dalam perhitungan di kepala Anda.

2. Dalam tugas dengan berbagai jenis pecahan - buka jenis pecahan biasa.

3. Kami mengurangi semua pecahan sampai tidak mungkin lagi untuk mengurangi.

4. Kami membawa ekspresi pecahan multi-level menjadi yang biasa, menggunakan pembagian melalui 2 poin.

5. Kami membagi unit menjadi pecahan dalam pikiran kami, cukup dengan membalik pecahan itu.

Dengan pecahan, Anda dapat melakukan semua tindakan, termasuk pembagian. Artikel ini menunjukkan pembagian pecahan biasa. Definisi akan diberikan, contoh akan dipertimbangkan. Mari kita membahas pembagian pecahan dengan bilangan asli dan sebaliknya. Pembagian pecahan biasa dengan bilangan campuran akan dipertimbangkan.

Pembagian pecahan biasa

Pembagian adalah kebalikan dari perkalian. Saat membagi, faktor yang tidak diketahui berada pada hasil kali yang diketahui dan faktor lain, di mana makna yang diberikan dipertahankan dengan pecahan biasa.

Jika perlu untuk membagi pecahan biasa a b dengan c d, maka untuk menentukan angka seperti itu, Anda perlu mengalikan dengan pembagi c d, ini pada akhirnya akan memberikan dividen a b. Mari kita mendapatkan angka dan menulisnya a b · d c , di mana d c adalah kebalikan dari c d angka. Persamaan dapat ditulis dengan menggunakan sifat-sifat perkalian, yaitu: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , di mana ekspresi a b d c adalah hasil bagi dari a b c d .

Dari sini kita peroleh dan rumuskan aturan pembagian pecahan biasa:

Definisi 1

Untuk membagi pecahan biasa a b dengan c d, perlu untuk mengalikan dividen dengan kebalikan dari pembagi.

Mari kita tulis aturan sebagai ekspresi: a b: c d = a b d c

Aturan pembagian direduksi menjadi perkalian. Untuk mematuhinya, Anda harus mahir dalam melakukan perkalian pecahan biasa.

Mari kita beralih ke pembagian pecahan biasa.

Contoh 1

Lakukan pembagian 9 7 dengan 5 3 . Tulislah hasilnya sebagai pecahan.

Keputusan

Angka 5 3 adalah kebalikan dari 3 5 . Anda harus menggunakan aturan untuk membagi pecahan biasa. Kami menulis ekspresi ini sebagai berikut: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.

Menjawab: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Saat mengurangi pecahan, Anda harus menyorot seluruh bagian jika pembilangnya lebih besar dari penyebutnya.

Contoh 2

Bagi 8 15: 24 65 . Tulislah jawabannya dalam bentuk pecahan.

Keputusan

Solusinya adalah beralih dari pembagian ke perkalian. Kami menulisnya dalam bentuk ini: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Pengurangan perlu dilakukan, dan ini dilakukan sebagai berikut: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9

Kami memilih bagian bilangan bulat dan mendapatkan 13 9 = 1 4 9 .

Menjawab: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Pembagian pecahan biasa dengan bilangan asli

Kami menggunakan aturan pembagian pecahan dengan bilangan asli: untuk membagi a b dengan bilangan asli n, Anda hanya perlu mengalikan penyebutnya dengan n. Dari sini kita mendapatkan ekspresi: a b: n = a b · n .

Aturan pembagian adalah konsekuensi dari aturan perkalian. Oleh karena itu, mewakili bilangan asli sebagai pecahan akan memberikan persamaan jenis ini: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.

Pertimbangkan pembagian pecahan ini dengan angka.

Contoh 3

Bagilah pecahan 1645 dengan angka 12.

Keputusan

Terapkan aturan untuk membagi pecahan dengan angka. Kami mendapatkan ekspresi seperti 16 45:12 = 16 45 12 .

Mari kita kurangi pecahannya. Didapatkan 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .

Menjawab: 16 45: 12 = 4 135 .

Pembagian bilangan asli dengan pecahan biasa

Aturan pembagiannya mirip tentang aturan pembagian bilangan asli dengan pecahan biasa: untuk membagi bilangan asli n dengan a b biasa, perlu untuk mengalikan bilangan n dengan kebalikan dari pecahan a b .

Berdasarkan aturan, kami memiliki n: a b \u003d n b a, dan berkat aturan mengalikan bilangan asli dengan pecahan biasa, kami mendapatkan ekspresi dalam bentuk n: a b \u003d n b a. Penting untuk mempertimbangkan pembagian ini dengan sebuah contoh.

Contoh 4

Bagi 25 dengan 15 28 .

Keputusan

Kita perlu berpindah dari pembagian ke perkalian. Kami menulis dalam bentuk ekspresi 25:15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Mari kita kurangi pecahan dan dapatkan hasilnya dalam bentuk pecahan 46 2 3 .

Menjawab: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Pembagian pecahan biasa dengan campuran bilangan

Saat membagi pecahan biasa dengan bilangan campuran, Anda dapat dengan mudah bersinar untuk membagi pecahan biasa. Anda perlu mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa.

Contoh 5

Bagilah pecahan 35 16 dengan 3 1 8 .

Keputusan

Karena 3 1 8 adalah bilangan campuran, mari kita nyatakan sebagai pecahan biasa. Maka kita mendapatkan 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Sekarang mari kita membagi pecahan. Didapatkan 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Menjawab: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Pembagian bilangan campuran dilakukan dengan cara yang sama seperti bilangan biasa.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Isi pelajaran

Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama

Penjumlahan pecahan terdiri dari dua jenis:

1. Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama
2. Penjumlahan pecahan dengan penyebut berbeda

Mari kita mulai dengan menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama. Semuanya sederhana di sini. Untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama, Anda perlu menambahkan pembilangnya, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah. Misalnya, mari kita menjumlahkan pecahan dan . Kami menambahkan pembilangnya, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah:

Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita memikirkan pizza yang dibagi menjadi empat bagian. Jika Anda menambahkan pizza ke pizza, Anda mendapatkan pizza:

Contoh 2 Tambahkan pecahan dan .

Jawabannya adalah pecahan biasa. Jika akhir tugas tiba, maka sudah biasa untuk menyingkirkan pecahan yang tidak tepat. Untuk menghilangkan pecahan yang tidak tepat, Anda harus memilih seluruh bagian di dalamnya. Dalam kasus kami, bagian bilangan bulat dialokasikan dengan mudah - dua dibagi dua sama dengan satu:

Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita memikirkan pizza yang dibagi menjadi dua bagian. Jika Anda menambahkan lebih banyak pizza ke pizza, Anda mendapatkan satu pizza utuh:

Contoh 3. Tambahkan pecahan dan .

Sekali lagi, tambahkan pembilangnya, dan biarkan penyebutnya tidak berubah:

Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita memikirkan pizza yang dibagi menjadi tiga bagian. Jika Anda menambahkan lebih banyak pizza ke pizza, Anda mendapatkan pizza:

Contoh 4 Temukan nilai ekspresi

Contoh ini diselesaikan dengan cara yang persis sama seperti yang sebelumnya. Pembilang harus ditambahkan dan penyebut tidak diubah:

Mari kita coba menggambarkan solusi kita menggunakan gambar. Jika Anda menambahkan pizza ke pizza dan menambahkan lebih banyak pizza, Anda mendapatkan 1 pizza utuh dan lebih banyak pizza.

Seperti yang Anda lihat, menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama tidaklah sulit. Cukup memahami aturan berikut:

1. Untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama, Anda perlu menambahkan pembilangnya, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah;

Penjumlahan pecahan dengan penyebut berbeda

Sekarang kita akan belajar cara menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang berbeda. Dalam menjumlahkan pecahan, penyebut pecahan tersebut harus sama. Tapi mereka tidak selalu sama.

Misalnya, pecahan dapat dijumlahkan karena memiliki penyebut yang sama.

Tetapi pecahan tidak dapat dijumlahkan sekaligus, karena pecahan tersebut memiliki penyebut yang berbeda. Dalam kasus seperti itu, pecahan harus direduksi menjadi penyebut (persamaan) yang sama.

Ada beberapa cara untuk mengecilkan pecahan berpenyebut sama. Hari ini kami hanya akan mempertimbangkan salah satunya, karena metode lainnya mungkin tampak rumit bagi pemula.

Inti dari metode ini terletak pada kenyataan bahwa pertama (KPK) dari penyebut kedua pecahan dicari. Kemudian KPK dibagi dengan penyebut pecahan pertama dan diperoleh faktor tambahan pertama. Mereka melakukan hal yang sama dengan pecahan kedua - KPK dibagi dengan penyebut pecahan kedua dan faktor tambahan kedua diperoleh.

Kemudian pembilang dan penyebut pecahan dikalikan dengan faktor tambahannya. Sebagai hasil dari tindakan ini, pecahan yang memiliki penyebut berbeda berubah menjadi pecahan yang memiliki penyebut yang sama. Dan kita sudah tahu cara menjumlahkan pecahan seperti itu.

Contoh 1. Tambahkan pecahan dan

Pertama-tama, kita cari kelipatan persekutuan terkecil dari kedua pecahan tersebut. Penyebut pecahan pertama adalah angka 3, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 2. Kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka ini adalah 6

KPK (2 dan 3) = 6

Sekarang kembali ke pecahan dan . Pertama, kita membagi KPK dengan penyebut pecahan pertama dan mendapatkan faktor tambahan pertama. KPK adalah angka 6, dan penyebut pecahan pertama adalah angka 3. Bagi 6 dengan 3, kita mendapatkan 2.

Angka 2 yang dihasilkan adalah faktor tambahan pertama. Kami menuliskannya ke pecahan pertama. Untuk melakukan ini, kami membuat garis miring kecil di atas pecahan dan menuliskan faktor tambahan yang ditemukan di atasnya:

Kami melakukan hal yang sama dengan pecahan kedua. Kami membagi KPK dengan penyebut pecahan kedua dan mendapatkan faktor tambahan kedua. KPK adalah angka 6, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 2. Bagi 6 dengan 2, kita mendapatkan 3.

Angka 3 yang dihasilkan adalah faktor tambahan kedua. Kami menulisnya ke pecahan kedua. Sekali lagi, kami membuat garis miring kecil di atas pecahan kedua dan menulis faktor tambahan yang ditemukan di atasnya:

Sekarang kita siap untuk menambahkan. Tetap mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan faktor tambahannya:

Perhatikan baik-baik apa yang telah kita capai. Kami sampai pada kesimpulan bahwa pecahan yang penyebutnya berbeda menjadi pecahan yang penyebutnya sama. Dan kita sudah tahu cara menjumlahkan pecahan seperti itu. Mari kita selesaikan contoh ini sampai akhir:

Dengan demikian contoh berakhir. Untuk menambahkan ternyata.

Mari kita coba menggambarkan solusi kita menggunakan gambar. Jika Anda menambahkan pizza ke pizza, Anda mendapatkan satu pizza utuh dan pizza keenam lainnya:

Pengurangan pecahan menjadi penyebut yang sama (sama) juga dapat digambarkan dengan menggunakan gambar. Membawa pecahan dan penyebut yang sama, kita mendapatkan pecahan dan . Kedua pecahan ini akan diwakili oleh irisan pizza yang sama. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa kali ini mereka akan dibagi menjadi bagian yang sama (dikurangi menjadi penyebut yang sama).

Gambar pertama menunjukkan pecahan (empat bagian dari enam) dan gambar kedua menunjukkan pecahan (tiga bagian dari enam). Menempatkan potongan-potongan ini bersama-sama kita mendapatkan (tujuh dari enam). Pecahan ini salah, jadi kami telah menyoroti bagian bilangan bulat di dalamnya. Hasilnya adalah (satu pizza utuh dan pizza keenam lainnya).

Perhatikan bahwa kami telah melukis contoh ini dengan terlalu banyak detail. Di lembaga pendidikan bukanlah kebiasaan untuk menulis dengan cara yang begitu rinci. Anda harus dapat dengan cepat menemukan KPK dari kedua penyebut dan faktor tambahannya, serta dengan cepat mengalikan faktor tambahan yang ditemukan oleh pembilang dan penyebut Anda. Saat di sekolah, kita harus menulis contoh ini sebagai berikut:

Tetapi ada juga sisi lain dari koin. Jika catatan rinci tidak dibuat pada tahap pertama belajar matematika, maka pertanyaan semacam itu "Dari mana angka itu berasal?", "Mengapa pecahan tiba-tiba berubah menjadi pecahan yang sama sekali berbeda? «.

Untuk mempermudah menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang berbeda, Anda dapat menggunakan petunjuk langkah demi langkah berikut:

1. Cari KPK dari penyebut pecahan;
2. Bagi KPK dengan penyebut setiap pecahan dan dapatkan pengali tambahan untuk setiap pecahan;
3. Kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan faktor tambahannya;
4. Menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama;
5. Jika jawabannya ternyata pecahan biasa, maka pilih seluruh bagiannya;

Contoh 2 Temukan nilai ekspresi .

Mari kita gunakan petunjuk di atas.

Langkah 1. Cari KPK dari penyebut pecahan

Tentukan KPK dari penyebut kedua pecahan tersebut. Penyebut pecahan adalah bilangan 2, 3 dan 4

Langkah 2. Bagi KPK dengan penyebut setiap pecahan dan dapatkan pengali tambahan untuk setiap pecahan

Bagi KPK dengan penyebut pecahan pertama. KPK adalah angka 12, dan penyebut pecahan pertama adalah angka 2. Bagi 12 dengan 2, kita mendapatkan 6. Kita mendapat faktor tambahan pertama 6. Kita menuliskannya di atas pecahan pertama:

Sekarang kita bagi KPK dengan penyebut pecahan kedua. KPK adalah bilangan 12, dan penyebut pecahan kedua adalah bilangan 3. Bagi 12 dengan 3, kita peroleh 4. Kita peroleh faktor tambahan kedua 4. Kita tulis di atas pecahan kedua:

Sekarang kita bagi KPK dengan penyebut dari pecahan ketiga. KPK adalah angka 12, dan penyebut dari pecahan ketiga adalah angka 4. Bagi 12 dengan 4, kita mendapatkan 3. Kami mendapat faktor tambahan ketiga 3. Kami menuliskannya di atas pecahan ketiga:

Langkah 3. Kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan faktor tambahan Anda

Kami mengalikan pembilang dan penyebut dengan faktor tambahan kami:

Langkah 4. Jumlahkan pecahan yang penyebutnya sama

Kami sampai pada kesimpulan bahwa pecahan yang penyebutnya berbeda berubah menjadi pecahan yang penyebutnya sama (persamaan). Tetap menambahkan pecahan ini. Menjumlahkan:

Penambahan tidak muat pada satu baris, jadi kami memindahkan ekspresi yang tersisa ke baris berikutnya. Ini diperbolehkan dalam matematika. Ketika sebuah ekspresi tidak muat pada satu baris, itu dibawa ke baris berikutnya, dan perlu untuk menempatkan tanda sama dengan (=) di akhir baris pertama dan di awal baris baru. Tanda sama dengan pada baris kedua menunjukkan bahwa ini adalah kelanjutan dari ekspresi yang ada di baris pertama.

Langkah 5. Jika jawabannya ternyata pecahan biasa, maka pilih seluruh bagian di dalamnya

Jawaban kami adalah pecahan biasa. Kita harus memilih seluruh bagian itu. Kami menyoroti:

Mendapat jawaban

Pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama

Ada dua jenis pengurangan pecahan:

1. Pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama
2. Pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda

Pertama, mari kita belajar cara mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama. Semuanya sederhana di sini. Untuk mengurangkan pecahan lain dari satu pecahan, Anda perlu mengurangkan pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan membiarkan penyebutnya tetap sama.

Sebagai contoh, mari kita cari nilai dari ekspresi . Untuk menyelesaikan contoh ini, pembilang pecahan kedua harus dikurangi dengan pembilang pecahan pertama, dan penyebutnya tidak diubah. Mari kita lakukan:

Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita memikirkan pizza yang dibagi menjadi empat bagian. Jika Anda memotong pizza dari pizza, Anda mendapatkan pizza:

Contoh 2 Temukan nilai ekspresi .

Sekali lagi, dari pembilang pecahan pertama, kurangi pembilang pecahan kedua, dan biarkan penyebutnya tidak berubah:

Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita memikirkan pizza yang dibagi menjadi tiga bagian. Jika Anda memotong pizza dari pizza, Anda mendapatkan pizza:

Contoh 3 Temukan nilai ekspresi

Contoh ini diselesaikan dengan cara yang persis sama seperti yang sebelumnya. Dari pembilang pecahan pertama, Anda perlu mengurangkan pembilang pecahan yang tersisa:

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit dalam mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama. Cukup memahami aturan berikut:

1. Untuk mengurangkan pecahan lain dari satu pecahan, Anda perlu mengurangkan pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah;
2. Jika jawabannya ternyata pecahan biasa, maka Anda harus memilih seluruh bagian di dalamnya.

Pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda

Misalnya, pecahan dapat dikurangkan dari pecahan, karena pecahan ini memiliki penyebut yang sama. Tetapi pecahan tidak dapat dikurangkan dari pecahan, karena pecahan ini memiliki penyebut yang berbeda. Dalam kasus seperti itu, pecahan harus direduksi menjadi penyebut (persamaan) yang sama.

Penyebut yang sama ditemukan sesuai dengan prinsip yang sama yang kita gunakan saat menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang berbeda. Pertama-tama, cari KPK dari penyebut kedua pecahan tersebut. Kemudian KPK dibagi dengan penyebut pecahan pertama dan faktor tambahan pertama diperoleh, yang ditulis di atas pecahan pertama. Demikian pula, KPK dibagi dengan penyebut pecahan kedua dan faktor tambahan kedua diperoleh, yang ditulis di atas pecahan kedua.

Pecahan kemudian dikalikan dengan faktor tambahannya. Sebagai hasil dari operasi ini, pecahan yang penyebutnya berbeda menjadi pecahan yang penyebutnya sama. Dan kita sudah tahu cara mengurangkan pecahan seperti itu.

Contoh 1 Temukan nilai ekspresi:

Pecahan ini memiliki penyebut yang berbeda, jadi Anda harus membawanya ke penyebut yang sama (persamaan).

Pertama, kita cari KPK dari penyebut kedua pecahan. Penyebut pecahan pertama adalah angka 3, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 4. Kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka ini adalah 12

KPK (3 dan 4) = 12

Sekarang kembali ke pecahan dan

Mari kita cari faktor tambahan untuk pecahan pertama. Untuk melakukan ini, kita membagi KPK dengan penyebut pecahan pertama. KPK adalah angka 12, dan penyebut pecahan pertama adalah angka 3. Bagi 12 dengan 3, kita mendapatkan 4. Kita menulis empat di atas pecahan pertama:

Kami melakukan hal yang sama dengan pecahan kedua. Kami membagi KPK dengan penyebut pecahan kedua. KPK adalah angka 12, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 4. Bagi 12 dengan 4, kita mendapatkan 3. Tulis tiga kali lipat dari pecahan kedua:

Sekarang kita siap untuk pengurangan. Tetap mengalikan pecahan dengan faktor tambahannya:

Kami sampai pada kesimpulan bahwa pecahan yang penyebutnya berbeda menjadi pecahan yang penyebutnya sama. Dan kita sudah tahu cara mengurangkan pecahan seperti itu. Mari kita selesaikan contoh ini sampai akhir:

Mendapat jawaban

Mari kita coba menggambarkan solusi kita menggunakan gambar. Jika Anda memotong pizza dari pizza, Anda mendapatkan pizza.

Ini adalah versi rinci dari solusi. Berada di sekolah, kita harus menyelesaikan contoh ini dengan cara yang lebih singkat. Solusi seperti itu akan terlihat seperti ini:

Pengurangan pecahan dan ke penyebut yang sama juga dapat digambarkan dengan menggunakan gambar. Membawa pecahan ini ke penyebut yang sama, kita mendapatkan pecahan dan . Pecahan ini akan diwakili oleh irisan pizza yang sama, tetapi kali ini akan dibagi menjadi pecahan yang sama (dikurangi menjadi penyebut yang sama):

Gambar pertama menunjukkan pecahan (delapan dari dua belas), dan gambar kedua menunjukkan pecahan (tiga dari dua belas). Dengan memotong tiga bagian dari delapan bagian, kami mendapatkan lima bagian dari dua belas. Pecahan menggambarkan lima bagian ini.

Contoh 2 Temukan nilai ekspresi

Pecahan ini memiliki penyebut yang berbeda, jadi Anda harus terlebih dahulu membawanya ke penyebut yang sama (persamaan).

Tentukan KPK dari penyebut pecahan-pecahan tersebut.

Penyebut pecahan adalah bilangan 10, 3 dan 5. Kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan tersebut adalah 30

KPK(10, 3, 5) = 30

Sekarang kita menemukan faktor tambahan untuk setiap pecahan. Untuk melakukan ini, kita membagi KPK dengan penyebut setiap pecahan.

Mari kita cari faktor tambahan untuk pecahan pertama. KPK adalah bilangan 30, dan penyebut pecahan pertama adalah bilangan 10. Bagi 30 dengan 10, kita mendapatkan faktor tambahan pertama 3. Kita menuliskannya di atas pecahan pertama:

Sekarang kita menemukan faktor tambahan untuk pecahan kedua. Bagi KPK dengan penyebut pecahan kedua. KPK adalah angka 30, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 3. Bagi 30 dengan 3, kita mendapatkan faktor tambahan kedua 10. Kita tulis di atas pecahan kedua:

Sekarang kita menemukan faktor tambahan untuk pecahan ketiga. Bagi KPK dengan penyebut pecahan ketiga. KPK adalah angka 30, dan penyebut pecahan ketiga adalah angka 5. Bagi 30 dengan 5, kita mendapatkan faktor tambahan ketiga 6. Kami menuliskannya di atas pecahan ketiga:

Sekarang semuanya siap untuk pengurangan. Tetap mengalikan pecahan dengan faktor tambahannya:

Kami sampai pada kesimpulan bahwa pecahan yang penyebutnya berbeda berubah menjadi pecahan yang penyebutnya sama (persamaan). Dan kita sudah tahu cara mengurangkan pecahan seperti itu. Mari kita selesaikan contoh ini.

Kelanjutan contoh tidak akan muat pada satu baris, jadi kami memindahkan kelanjutan ke baris berikutnya. Jangan lupa tentang tanda sama dengan (=) di baris baru:

Jawabannya ternyata adalah pecahan yang benar, dan semuanya tampak cocok untuk kita, tetapi terlalu rumit dan jelek. Kita harus membuatnya lebih mudah. Apa yang bisa dilakukan? Anda dapat mengurangi pecahan ini.

Untuk mengurangi pecahan, Anda perlu membagi pembilang dan penyebutnya dengan (gcd) angka 20 dan 30.

Jadi, kami menemukan FPB dari angka 20 dan 30:

Sekarang kita kembali ke contoh kita dan membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan GCD yang ditemukan, yaitu dengan 10

Mendapat jawaban

Mengalikan pecahan dengan angka

Untuk mengalikan pecahan dengan angka, Anda perlu mengalikan pembilang dari pecahan yang diberikan dengan angka ini, dan membiarkan penyebutnya tetap sama.

Contoh 1. Kalikan pecahan dengan angka 1.

Kalikan pembilang pecahan dengan angka 1

Entri dapat dipahami sebagai mengambil setengah 1 kali. Misalnya, jika Anda mengambil pizza 1 kali, Anda mendapatkan pizza

Dari hukum perkalian, kita mengetahui bahwa jika perkalian dan pengali dipertukarkan, maka hasil kali tidak akan berubah. Jika ekspresi ditulis sebagai , maka hasil kali akan tetap sama dengan . Sekali lagi, aturan untuk mengalikan bilangan bulat dan pecahan berfungsi:

Entri ini dapat dipahami sebagai mengambil setengah dari unit. Misalnya, jika ada 1 pizza utuh dan kami mengambil setengahnya, maka kami akan memiliki pizza:

Contoh 2. Temukan nilai ekspresi

Kalikan pembilang pecahan dengan 4

Jawabannya adalah pecahan biasa. Mari kita ambil seluruh bagiannya:

Ekspresi dapat dipahami sebagai mengambil dua perempat 4 kali. Misalnya, jika Anda mengambil pizza 4 kali, Anda mendapatkan dua pizza utuh.

Dan jika kita menukar multiplicand dan multiplier di beberapa tempat, kita mendapatkan ekspresi. Ini juga akan sama dengan 2. Ungkapan ini dapat dipahami sebagai mengambil dua pizza dari empat pizza utuh:

Perkalian pecahan

Untuk mengalikan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebutnya. Jika jawabannya adalah pecahan biasa, Anda harus memilih seluruh bagian di dalamnya.

Contoh 1 Temukan nilai ekspresi .

Punya jawaban. Diinginkan untuk mengurangi fraksi ini. Pecahan tersebut dapat dikurangi dengan 2. Maka solusi akhirnya akan berbentuk sebagai berikut:

Ungkapan tersebut dapat dipahami sebagai mengambil pizza dari setengah pizza. Katakanlah kita memiliki setengah pizza:

Bagaimana cara mengambil dua pertiga dari setengah ini? Pertama, Anda perlu membagi setengah ini menjadi tiga bagian yang sama:

Dan ambil dua dari tiga bagian ini:

Kami akan mendapatkan pizza. Ingat seperti apa pizza yang dibagi menjadi tiga bagian:

Satu potong dari pizza ini dan dua potong yang kita ambil akan memiliki dimensi yang sama:

Dengan kata lain, kita berbicara tentang ukuran pizza yang sama. Oleh karena itu, nilai ekspresinya adalah

Contoh 2. Temukan nilai ekspresi

Kalikan pembilang pecahan pertama dengan pembilang pecahan kedua, dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua:

Jawabannya adalah pecahan biasa. Mari kita ambil seluruh bagiannya:

Contoh 3 Temukan nilai ekspresi

Kalikan pembilang pecahan pertama dengan pembilang pecahan kedua, dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua:

Jawabannya ternyata adalah pecahan yang benar, tetapi akan lebih baik jika dikurangi. Untuk mengurangi pecahan ini, Anda perlu membagi pembilang dan penyebut pecahan ini dengan pembagi persekutuan terbesar (PBK) dari angka 105 dan 450.

Jadi, mari kita cari KPK dari bilangan 105 dan 450:

Sekarang kita bagi pembilang dan penyebut dari jawaban kita terhadap PPB yang kita temukan sekarang, yaitu dengan 15

Mewakili bilangan bulat sebagai pecahan

Setiap bilangan bulat dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Misalnya, angka 5 dapat direpresentasikan sebagai . Dari sini, lima tidak akan mengubah artinya, karena ungkapan itu berarti "angka lima dibagi satu", dan ini, seperti yang Anda tahu, sama dengan lima:

Nomor terbalik

Sekarang kita akan berkenalan dengan topik yang sangat menarik dalam matematika. Ini disebut "bilangan terbalik".

Definisi. Balik ke angkasebuah adalah bilangan yang jika dikalikan dengansebuah memberikan satuan.

Mari kita substitusikan definisi ini sebagai ganti variabel sebuah nomor 5 dan coba baca definisinya:

Balik ke angka 5 adalah bilangan yang jika dikalikan dengan 5 memberikan satuan.

Apakah mungkin untuk menemukan angka yang, jika dikalikan dengan 5, menghasilkan satu? Ternyata Anda bisa. Mari kita nyatakan lima sebagai pecahan:

Kemudian kalikan pecahan ini dengan sendirinya, cukup tukar pembilang dan penyebutnya. Dengan kata lain, mari kita kalikan pecahan dengan dirinya sendiri, hanya terbalik:

Apa yang akan menjadi hasil dari ini? Jika kita terus memecahkan contoh ini, kita mendapatkan satu:

Ini berarti kebalikan dari angka 5 adalah angka, karena ketika 5 dikalikan satu, diperoleh satu.

Kebalikannya juga dapat ditemukan untuk bilangan bulat lainnya.

Anda juga dapat menemukan kebalikan dari pecahan lainnya. Untuk melakukan ini, cukup dengan membaliknya.

Pembagian pecahan dengan bilangan

Katakanlah kita memiliki setengah pizza:

Mari kita membaginya menjadi dua. Berapa banyak pizza yang akan didapat masing-masing?

Dapat dilihat bahwa setelah membagi setengah dari pizza, diperoleh dua bagian yang sama, yang masing-masing membentuk pizza. Jadi semua orang mendapat pizza.

Pembagian pecahan dilakukan secara resiprokal. Timbal balik memungkinkan Anda untuk mengganti pembagian dengan perkalian.

Untuk membagi pecahan dengan angka, Anda perlu mengalikan pecahan ini dengan kebalikan dari pembagi.

Dengan menggunakan aturan ini, kita akan menuliskan pembagian setengah pizza kita menjadi dua bagian.

Jadi, Anda perlu membagi pecahan dengan angka 2. Di sini dividen adalah pecahan dan pembagi adalah 2.

Untuk membagi pecahan dengan angka 2, Anda perlu mengalikan pecahan ini dengan kebalikan dari pembagi 2. Kebalikan dari pembagi 2 adalah pecahan. Jadi, Anda perlu mengalikannya dengan

Pecahan adalah satu atau lebih bagian dari keseluruhan, yang biasanya dianggap sebagai satu kesatuan (1). Seperti halnya bilangan asli, Anda dapat melakukan semua operasi aritmatika dasar dengan pecahan (penambahan, pengurangan, pembagian, perkalian), untuk ini Anda perlu mengetahui fitur bekerja dengan pecahan dan membedakan jenisnya. Ada beberapa jenis pecahan: desimal dan biasa, atau sederhana. Setiap jenis pecahan memiliki kekhasannya sendiri, tetapi setelah Anda benar-benar mengetahui cara menanganinya sekali, Anda akan dapat menyelesaikan contoh apa pun dengan pecahan, karena Anda akan mengetahui prinsip dasar untuk melakukan perhitungan aritmatika dengan pecahan. Mari kita lihat contoh cara membagi pecahan dengan bilangan bulat menggunakan berbagai jenis pecahan.

Bagaimana cara membagi pecahan dengan bilangan asli?
Pecahan biasa atau sederhana disebut, ditulis dalam bentuk rasio angka seperti itu, di mana pembagian (pembilang) ditunjukkan di bagian atas pecahan, dan pembagi (penyebut) dari pecahan ditunjukkan di bawah. Bagaimana cara membagi pecahan seperti itu dengan bilangan bulat? Mari kita lihat sebuah contoh! Katakanlah kita perlu membagi 8/12 dengan 2.

Untuk melakukan ini, kita harus melakukan serangkaian tindakan:
Jadi, jika kita dihadapkan dengan tugas membagi pecahan dengan bilangan bulat, skema solusinya akan terlihat seperti ini:

Demikian pula, Anda dapat membagi pecahan biasa (sederhana) dengan bilangan bulat.

Bagaimana cara membagi desimal dengan bilangan bulat?
Pecahan desimal adalah pecahan yang diperoleh dengan membagi satuan menjadi sepuluh, seribu, dan seterusnya. Operasi aritmatika dengan pecahan desimal cukup sederhana.

Perhatikan contoh cara membagi pecahan dengan bilangan bulat. Katakanlah kita perlu membagi pecahan desimal 0,925 dengan bilangan asli 5.

Ringkasnya, mari kita fokus pada dua poin utama yang penting saat melakukan operasi pembagian pecahan desimal dengan bilangan bulat:

• untuk membagi pecahan desimal dengan bilangan asli, pembagian menjadi kolom digunakan;
  
• koma ditempatkan di pribadi ketika pembagian bagian bilangan bulat dari dividen selesai.
  

Dengan menerapkan aturan sederhana ini, Anda selalu dapat dengan mudah membagi desimal atau pecahan apa pun dengan bilangan bulat.

Terakhir kali kita belajar cara menjumlahkan dan mengurangkan pecahan (lihat pelajaran "Penjumlahan dan pengurangan pecahan"). Momen tersulit dalam tindakan tersebut adalah membawa pecahan ke penyebut yang sama.

Sekarang saatnya berurusan dengan perkalian dan pembagian. Kabar baiknya adalah bahwa operasi ini bahkan lebih mudah daripada penjumlahan dan pengurangan. Untuk memulainya, pertimbangkan kasus yang paling sederhana, ketika ada dua pecahan positif tanpa bagian bilangan bulat yang dibedakan.

Untuk mengalikan dua pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebutnya secara terpisah. Angka pertama akan menjadi pembilang pecahan baru, dan yang kedua akan menjadi penyebutnya.

Untuk membagi dua pecahan, Anda perlu mengalikan pecahan pertama dengan detik "terbalik".

Penamaan:

Dari definisi berikut bahwa pembagian pecahan dikurangi menjadi perkalian. Untuk membalik pecahan, cukup tukar pembilang dan penyebutnya. Oleh karena itu, seluruh pelajaran yang akan kita bahas terutama tentang perkalian.

Sebagai hasil dari perkalian, pecahan yang dikurangi dapat muncul (dan sering kali memang muncul) - tentu saja, itu harus dikurangi. Jika, setelah semua pengurangan, pecahan itu ternyata salah, seluruh bagian harus dibedakan di dalamnya. Tapi yang pasti tidak akan terjadi dengan perkalian adalah pengurangan ke penyebut yang sama: tidak ada metode silang, faktor maksimum dan kelipatan persekutuan terkecil.

Menurut definisi kita memiliki:

Perkalian pecahan dengan bagian bilangan bulat dan pecahan negatif

Jika ada bagian bilangan bulat dalam pecahan, mereka harus dikonversi menjadi yang tidak tepat - dan baru kemudian dikalikan sesuai dengan skema yang diuraikan di atas.

Jika ada minus pada pembilang suatu pecahan, pada penyebut atau di depannya, dapat dikeluarkan dari perkalian atau dihilangkan sama sekali menurut aturan berikut:

1. Plus kali minus memberi minus;
2. Dua negatif membuat afirmatif.

Sampai sekarang, aturan-aturan ini hanya ditemui ketika menjumlahkan dan mengurangkan pecahan negatif, ketika diperlukan untuk menyingkirkan seluruh bagian. Untuk suatu produk, mereka dapat digeneralisasi untuk "membakar" beberapa minus sekaligus:

1. Kami mencoret minus berpasangan sampai benar-benar hilang. Dalam kasus ekstrem, satu minus dapat bertahan - yang tidak menemukan kecocokan;
2. Jika tidak ada minus yang tersisa, operasi selesai - Anda dapat mulai mengalikan. Jika minus terakhir tidak dicoret, karena tidak menemukan pasangan, kami mengeluarkannya dari batas perkalian. Anda mendapatkan pecahan negatif.

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Kami menerjemahkan semua pecahan menjadi pecahan yang tidak tepat, dan kemudian kami menghilangkan minus di luar batas perkalian. Apa yang tersisa dikalikan menurut aturan biasa. Kita mendapatkan:

Izinkan saya mengingatkan Anda sekali lagi bahwa minus yang muncul sebelum pecahan dengan bagian bilangan bulat yang disorot merujuk secara khusus ke seluruh pecahan, dan bukan hanya ke bagian bilangan bulatnya (ini berlaku untuk dua contoh terakhir).

Perhatikan juga angka negatif: ketika dikalikan, mereka diapit dalam tanda kurung. Ini dilakukan untuk memisahkan tanda minus dari tanda perkalian dan membuat seluruh notasi lebih akurat.

Mengurangi pecahan dengan cepat

Perkalian adalah operasi yang sangat melelahkan. Angka-angka di sini cukup besar, dan untuk menyederhanakan tugas, Anda dapat mencoba mengurangi pecahan lebih banyak lagi sebelum perkalian. Memang, pada dasarnya, pembilang dan penyebut pecahan adalah faktor biasa, dan oleh karena itu, mereka dapat direduksi menggunakan sifat dasar pecahan. Lihatlah contoh-contohnya:

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Menurut definisi kita memiliki:

Dalam semua contoh, angka-angka yang telah dikurangi dan yang tersisa ditandai dengan warna merah.

Harap dicatat: dalam kasus pertama, pengganda dikurangi sepenuhnya. Unit tetap di tempatnya, yang, secara umum, dapat dihilangkan. Pada contoh kedua, tidak mungkin untuk mencapai pengurangan total, tetapi jumlah total perhitungan masih menurun.

Namun, dalam hal apapun jangan gunakan teknik ini saat menjumlahkan dan mengurangkan pecahan! Ya, terkadang ada angka serupa yang ingin Anda kurangi. Di sini, lihat:

Anda tidak bisa melakukan itu!

Kesalahan terjadi karena fakta bahwa ketika menambahkan pecahan, jumlah muncul di pembilang pecahan, dan bukan produk angka. Oleh karena itu, tidak mungkin untuk menerapkan sifat utama pecahan, karena sifat ini secara khusus berhubungan dengan perkalian bilangan.

Tidak ada alasan lain untuk mengurangi pecahan, jadi solusi yang benar untuk masalah sebelumnya terlihat seperti ini:

Solusi yang benar:

Seperti yang Anda lihat, jawaban yang benar ternyata tidak begitu indah. Secara umum, berhati-hatilah.