Pesawat Lobachevsky

Geometri Lobachevsky (geometri hiperbolik mendengarkan)) adalah salah satu geometri non-Euclidean, teori geometris yang didasarkan pada premis dasar yang sama seperti geometri Euclidean biasa, dengan pengecualian aksioma paralel, yang digantikan oleh aksioma paralel Lobachevsky.

Aksioma paralel Euclidean mengatakan:

melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, hanya ada satu garis yang terletak dengan garis tersebut pada bidang yang sama dan tidak memotongnya.

Dalam geometri Lobachevsky, aksioma berikut diterima sebagai gantinya:

melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, melewati sekurang-kurangnya dua garis yang terletak pada garis tersebut pada bidang yang sama dan tidak memotongnya.

Geometri Lobachevsky memiliki aplikasi yang luas baik dalam matematika maupun fisika. Signifikansi historisnya terletak pada kenyataan bahwa dengan konstruksinya Lobachevsky menunjukkan kemungkinan geometri yang berbeda dari Euclidean, yang menandai era baru dalam pengembangan geometri dan matematika pada umumnya.

Cerita

Upaya untuk membuktikan postulat kelima

Titik awal geometri Lobachevsky adalah postulat kelima Euclid, sebuah aksioma yang setara dengan aksioma paralel. Itu termasuk dalam daftar postulat dalam Elemen Euclid). Kompleksitas relatif dan non-intuitif dari formulasinya membangkitkan perasaan sifat sekundernya dan memunculkan upaya untuk menurunkannya dari postulat Euclid lainnya.

Di antara mereka yang mencoba membuktikannya adalah para ilmuwan berikut:

• matematikawan Yunani kuno Ptolemy (abad II), Proclus (abad V) (berdasarkan asumsi bahwa jarak antara dua yang paralel terbatas),
• Ibn al-Haytham dari Irak (akhir - awal abad) (berdasarkan asumsi bahwa ujung dari sebuah garis lurus yang bergerak tegak lurus menggambarkan garis lurus),
• Matematikawan Iran Omar Khayyam (paruh ke-2 - awal abad ke-12) dan Nasir ad-Din at-Tusi (abad XIII) (berdasarkan asumsi bahwa dua garis konvergen tidak dapat terus menyimpang tanpa persimpangan),
• Ahli matematika Jerman Clavius(),
• matematikawan Italia
  • Cataldi (untuk pertama kalinya pada 1603 ia menerbitkan sebuah karya yang sepenuhnya ditujukan untuk masalah paralel),
• Ahli matematika Inggris Wallis ( , diterbitkan pada ) (berdasarkan asumsi bahwa untuk setiap angka ada angka yang mirip dengannya, tetapi tidak sama dengannya),
• Ahli matematika Prancis Legendre () (didasarkan pada asumsi bahwa melalui setiap titik di dalam sudut lancip adalah mungkin untuk menggambar garis yang memotong kedua sisi sudut; ia juga memiliki upaya lain untuk membuktikannya).

Dalam upaya untuk membuktikan postulat kelima ini, matematikawan memperkenalkan beberapa pernyataan baru, yang bagi mereka tampak lebih jelas.

Upaya telah dilakukan untuk menggunakan bukti dengan kontradiksi:

• matematikawan Italia Saccheri () (setelah merumuskan pernyataan yang bertentangan dengan postulat, ia menyimpulkan sejumlah konsekuensi dan, secara keliru mengakui beberapa di antaranya sebagai kontradiktif, ia menganggap postulat itu terbukti),
• Matematikawan Jerman Lambert (tentang, diterbitkan dalam) (setelah melakukan penelitian, dia mengakui bahwa dia tidak dapat menemukan kontradiksi dalam sistem yang dia bangun).

Akhirnya, mulai muncul pemahaman bahwa adalah mungkin untuk membangun teori berdasarkan postulat yang berlawanan:

• Matematikawan Jerman F. Schweikart () dan Taurinus () (namun, mereka tidak menyadari bahwa teori semacam itu akan sama koherennya secara logis).

Pembuatan geometri non-Euclidean

Lobachevsky dalam karyanya "On the Principles of Geometry" (), karya cetak pertamanya tentang geometri non-Euclidean, dengan jelas menyatakan bahwa postulat V tidak dapat dibuktikan berdasarkan premis-premis geometri Euclidean lainnya, dan bahwa asumsi suatu postulat berlawanan dengan postulat Euclid memungkinkan seseorang untuk membangun geometri sama bermaknanya, seperti Euclid, dan bebas dari kontradiksi.

Secara bersamaan dan independen, Janos Bolyai sampai pada kesimpulan yang sama, dan Carl Friedrich Gauss sampai pada kesimpulan seperti itu lebih awal. Namun, tulisan Bolyai tidak menarik perhatian, dan ia segera meninggalkan subjek, sementara Gauss menahan diri dari penerbitan sama sekali, dan pandangannya hanya dapat dinilai dari beberapa surat dan entri buku harian. Misalnya, dalam sebuah surat tahun 1846 kepada astronom G. H. Schumacher, Gauss berbicara tentang karya Lobachevsky sebagai berikut:

Karya ini berisi dasar-dasar geometri yang harus terjadi dan, terlebih lagi, akan membentuk keseluruhan yang sangat konsisten, jika geometri Euclidean tidak benar ... Lobachevsky menyebutnya "geometri imajiner"; Anda tahu bahwa selama 54 tahun (sejak 1792) saya telah berbagi pandangan yang sama dengan beberapa perkembangannya, yang tidak ingin saya sebutkan di sini; demikian, saya tidak menemukan sesuatu yang benar-benar baru untuk diri saya sendiri dalam karya Lobachevsky. Namun dalam pengembangan subjek, penulis tidak mengikuti jalan yang saya ikuti sendiri; itu dilakukan dengan sangat baik oleh Lobachevsky dalam semangat geometris yang sesungguhnya. Saya menganggap diri saya berkewajiban untuk menarik perhatian Anda pada pekerjaan ini, yang pasti akan memberi Anda kesenangan yang luar biasa.

Akibatnya, Lobachevsky bertindak sebagai propagandis pertama yang paling cerdas dan paling konsisten dari teori ini.

Meskipun geometri Lobachevsky berkembang sebagai teori spekulatif dan Lobachevsky sendiri menyebutnya "geometri imajiner", namun Lobachevsky-lah yang menganggapnya bukan sebagai permainan pikiran, tetapi sebagai kemungkinan teori hubungan spasial. Namun, bukti konsistensinya diberikan kemudian, ketika interpretasinya ditunjukkan, dan dengan demikian pertanyaan tentang makna sebenarnya, konsistensi logis, diselesaikan sepenuhnya.

Pernyataan geometri Lobachevsky

sudut bahkan lebih sulit.

model poincaré

Isi dari geometri Lobachevsky

Pensil garis sejajar dalam geometri Lobachevsky

Lobachevsky membangun geometrinya, mulai dari konsep geometri dasar dan aksiomanya, dan membuktikan teorema dengan metode geometri, mirip dengan yang dilakukan dalam geometri Euclid. Teori garis sejajar menjadi dasar, karena di sinilah perbedaan antara geometri Lobachevsky dan geometri Euclid dimulai. Semua teorema yang tidak bergantung pada aksioma paralel adalah umum untuk kedua geometri dan membentuk apa yang disebut geometri absolut, yang mencakup, misalnya, teorema tentang kesetaraan segitiga. Mengikuti teori paralel, bagian lain dibangun, termasuk trigonometri dan prinsip-prinsip geometri analitik dan diferensial.

Mari kita sajikan (dalam notasi modern) beberapa fakta geometri Lobachevsky yang membedakannya dari geometri Euclid dan ditetapkan oleh Lobachevsky sendiri.

Melalui titik P tidak berbaring pada garis yang diberikan. R(lihat gambar), ada tak terhingga banyak garis lurus yang tidak berpotongan R dan terletak dengannya di bidang yang sama; di antara mereka ada dua ekstrim x, kamu, yang disebut garis sejajar R dalam pengertian Lobachevsky. Dalam model Klein (Poincare) mereka diwakili oleh akord (busur lingkaran) yang memiliki akord (busur) R ujung yang sama (yang, menurut definisi model, dikecualikan, sehingga garis-garis ini tidak memiliki titik yang sama).

Sudut antara tegak lurus PB dari P pada R dan masing-masing paralel (disebut sudut paralelisme) saat titik dihilangkan P menurun dari garis lurus dari 90° ke 0° (dalam model Poincaré, sudut dalam pengertian biasa bertepatan dengan sudut dalam pengertian Lobachevsky, dan oleh karena itu fakta ini dapat dilihat langsung di atasnya). Paralel x di satu sisi (dan kamu berlawanan) secara asimtotik mendekati sebuah, dan di sisi lain, ia bergerak jauh darinya (dalam model, jarak sulit ditentukan, dan oleh karena itu fakta ini tidak terlihat secara langsung).

Untuk suatu titik yang terletak dari suatu garis lurus tertentu pada suatu jarak PB =(lihat gambar), Lobachevsky memberikan rumus untuk sudut paralelisme P(a) :

Di Sini q adalah beberapa konstanta yang terkait dengan kelengkungan ruang Lobachevsky. Ini dapat berfungsi sebagai satuan panjang absolut dengan cara yang sama seperti dalam geometri bola jari-jari bola menempati posisi khusus.

Jika garis-garis tersebut memiliki tegak lurus yang sama, maka mereka menyimpang tak terhingga di kedua sisinya. Untuk salah satu dari mereka dimungkinkan untuk mengembalikan tegak lurus yang tidak mencapai garis lainnya.

Dalam geometri Lobachevsky tidak ada segitiga yang sama tetapi tidak sama; segitiga dikatakan kongruen jika sudut-sudutnya sama besar.

Jumlah sudut dari setiap segitiga kurang dari dan dapat mendekati nol secara sewenang-wenang. Ini terlihat langsung dalam model Poincaré. Perbedaan \u003d - (α + + ) , di mana , , adalah sudut-sudut segitiga, sebanding dengan luasnya:

Dapat dilihat dari rumus bahwa ada luas maksimum segitiga, dan ini adalah bilangan berhingga: q 2 .

Garis yang sama jaraknya dari sebuah garis lurus bukanlah garis lurus, melainkan sebuah kurva khusus yang disebut dengan jarak yang sama, atau hipersiklus.

Batas lingkaran dengan jari-jari yang bertambah tak terhingga bukanlah garis lurus, tetapi kurva khusus yang disebut batas lingkaran, atau horocycle.

Batas bola dengan radius yang meningkat tak terbatas bukanlah bidang, tetapi permukaan khusus - batas bola, atau horosfer; sungguh luar biasa bahwa geometri Euclidean memegangnya. Ini melayani Lobachevsky sebagai dasar untuk derivasi rumus trigonometri.

Lingkarnya tidak sebanding dengan jari-jarinya, tetapi tumbuh lebih cepat. Secara khusus, dalam geometri Lobachevsky, bilangan tidak dapat didefinisikan sebagai rasio keliling lingkaran dengan diameternya.

Semakin kecil wilayah dalam ruang atau pada bidang Lobachevsky, semakin sedikit hubungan geometris di wilayah ini berbeda dari hubungan geometri Euclidean. Kita dapat mengatakan bahwa di daerah yang sangat kecil, geometri Euclidean terjadi. Misalnya, semakin kecil segitiga, semakin sedikit perbedaan jumlah sudutnya dari ; semakin kecil lingkaran, semakin sedikit rasio panjangnya terhadap jari-jarinya yang berbeda dari 2π, dll. Mengurangi luas secara formal setara dengan meningkatkan satuan panjang, oleh karena itu, dengan peningkatan tak terbatas dalam satuan panjang, rumus geometri Lobachevsky berubah menjadi rumus dari geometri Euclidean. Geometri Euclidean dalam pengertian ini merupakan kasus "pembatas" dari geometri Lobachevsky.

Aplikasi

• Lobachevsky sendiri menerapkan geometrinya pada perhitungan integral tertentu.
• Dalam teori fungsi variabel kompleks, geometri Lobachevsky membantu membangun teori fungsi automorfik. Hubungan dengan geometri Lobachevsky di sini merupakan titik awal penelitian Poincaré, yang menulis bahwa "geometri non-Euclidean adalah kunci untuk menyelesaikan seluruh masalah."
• Geometri Lobachevsky juga menemukan aplikasi dalam teori bilangan, dalam metode geometrisnya, disatukan dengan nama "geometri bilangan".
• Sebuah hubungan erat dibuat antara geometri Lobachevsky dan kinematika dari teori relativitas khusus (pribadi). Hubungan ini didasarkan pada fakta bahwa persamaan menyatakan hukum perambatan cahaya

saat membagi dengan t 2 , yaitu untuk kecepatan cahaya, memberikan - persamaan bola di ruang angkasa dengan koordinat v x , v kamu , v z- komponen kecepatan sepanjang sumbu X, pada, z(dalam "ruang kecepatan"). Transformasi Lorentz mempertahankan bola ini dan, karena linear, mengubah ruang kecepatan langsung menjadi garis lurus. Oleh karena itu, menurut model Klein, dalam ruang kecepatan di dalam bola berjari-jari dengan, yaitu, untuk kecepatan kurang dari kecepatan cahaya, geometri Lobachevsky terjadi.

• Geometri Lobachevsky menemukan aplikasi yang luar biasa dalam teori relativitas umum. Jika kita menganggap distribusi massa materi di Semesta seragam (perkiraan ini dapat diterima pada skala kosmik), maka ternyata dalam kondisi tertentu ruang memiliki geometri Lobachevsky. Dengan demikian, asumsi Lobachevsky tentang geometrinya sebagai kemungkinan teori ruang nyata dibenarkan.
• Menggunakan model Klein, bukti yang sangat sederhana dan singkat diberikan

Kita terbiasa berpikir bahwa geometri dunia yang diamati adalah Euclidean, yaitu. itu memenuhi hukum geometri yang dipelajari di sekolah. Sebenarnya, hal ini tidak benar. Dalam artikel ini, kami akan mempertimbangkan manifestasi dalam realitas geometri Lobachevsky, yang, pada pandangan pertama, murni abstrak.

Geometri Lobachevsky berbeda dari geometri Euclidean biasa di dalamnya, melalui titik yang tidak terletak pada garis tertentu, melewati setidaknya dua garis yang terletak dengan garis yang diberikan pada bidang yang sama dan tidak memotongnya. Ini juga disebut geometri hiperbolik.

1. Geometri Euclidean - hanya satu garis yang melalui titik putih, yang tidak memotong garis kuning
2. Geometri Riemann - dua garis berpotongan (tidak ada garis sejajar)
3. Geometri Lobachevsky - ada tak terhingga banyak garis lurus yang tidak memotong garis kuning dan melewati titik putih

Agar pembaca dapat memvisualisasikannya, mari kita jelaskan secara singkat model Klein. Dalam model ini, bidang Lobachevsky diwujudkan sebagai bagian dalam lingkaran berjari-jari satu, di mana titik-titik bidang adalah titik-titik lingkaran ini, dan garis-garisnya adalah tali busur. Tali busur adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Jarak antara dua titik sulit ditentukan, tetapi kita tidak membutuhkannya. Dari gambar di atas, menjadi jelas bahwa melalui titik P terdapat tak hingga banyak garis yang tidak memotong garis a. Dalam geometri Euclidean standar, hanya ada satu garis yang melalui titik P dan tidak memotong garis a. Garis ini sejajar.

Sekarang mari kita beralih ke hal utama - aplikasi praktis geometri Lobachevsky.

Sistem navigasi satelit (GPS dan GLONASS) terdiri dari dua bagian: konstelasi orbit 24-29 satelit yang ditempatkan secara merata di sekitar Bumi, dan segmen kontrol di Bumi, yang memastikan sinkronisasi waktu pada satelit dan penggunaan sistem koordinat tunggal. Satelit memiliki jam atom yang sangat akurat, dan penerima (navigator GPS) memiliki jam kuarsa biasa. Penerima juga memiliki informasi tentang koordinat semua satelit pada waktu tertentu. Satelit pada interval pendek mengirimkan sinyal yang berisi data pada waktu mulai transmisi. Setelah menerima sinyal dari setidaknya empat satelit, penerima dapat menyesuaikan jamnya dan menghitung jarak ke satelit ini menggunakan rumus ((waktu sinyal dikirim oleh satelit) - (waktu sinyal diterima dari satelit)) x (kecepatan cahaya) = (jarak ke satelit). Jarak yang dihitung juga dikoreksi sesuai dengan rumus yang ada di receiver. Selanjutnya, penerima menemukan koordinat titik persimpangan bola dengan pusat di satelit dan jari-jari sama dengan jarak yang dihitung ke mereka. Jelas, ini akan menjadi koordinat penerima.

Pembaca mungkin menyadari bahwa karena efek dalam Relativitas Khusus, karena kecepatan satelit yang tinggi, waktu di orbit berbeda dengan waktu di Bumi. Tetapi masih ada efek serupa dalam Teori Relativitas Umum, yang secara tepat berhubungan dengan geometri ruang-waktu non-Euclidean. Sekali lagi, kami tidak akan membahas detail matematika, karena mereka agak abstrak. Tetapi, jika kita berhenti memperhitungkan efek ini, maka dalam satu hari operasi, kesalahan urutan 10 km akan terakumulasi dalam pembacaan sistem navigasi.

Rumus geometri Lobachevsky juga digunakan dalam fisika energi tinggi, yaitu, dalam perhitungan akselerator partikel bermuatan. Ruang hiperbolik (yaitu, ruang di mana hukum geometri hiperbolik bekerja) juga ditemukan di alam itu sendiri. Mari kita berikan lebih banyak contoh:

Geometri Lobachevsky dapat dilihat pada struktur karang, dalam organisasi struktur seluler pada tumbuhan, pada arsitektur, pada beberapa bunga, dan sebagainya. Omong-omong, jika Anda ingat dalam edisi terakhir kita berbicara tentang segi enam di alam, dan, di alam hiperbolik, alternatifnya adalah segi enam, yang juga tersebar luas.

Terpilih Terima kasih!

Anda mungkin tertarik pada:

• 
  

”, yang didedikasikan untuk hubungan antara sains Rusia dan Inggris, matematikawan Valentina Kirichenko memberi tahu PostNauka tentang sifat revolusioner dari ide-ide Lobachevsky untuk geometri abad ke-19.

Garis paralel tidak berpotongan bahkan dalam geometri Lobachevsky. Di suatu tempat di film Anda sering dapat menemukan ungkapan: "Tetapi garis paralel Lobachevsky kami berpotongan." Kedengarannya bagus, tapi itu tidak benar. Nikolai Ivanovich Lobachevsky benar-benar datang dengan geometri yang tidak biasa di mana garis paralel berperilaku sangat berbeda dari apa yang biasa kita lakukan. Namun, mereka tidak berpotongan.

Kita terbiasa berpikir bahwa dua garis sejajar tidak mendekat atau surut. Artinya, titik mana pun pada garis pertama yang kita ambil, jaraknya ke garis kedua adalah sama, tidak bergantung pada titik tersebut. Tapi benarkah demikian? Dan mengapa demikian? Dan bagaimana ini bisa diverifikasi?

Jika kita berbicara tentang garis fisik, maka hanya sebagian kecil dari setiap garis yang tersedia untuk kita observasi. Dan mengingat kesalahan pengukuran, kami tidak dapat menarik kesimpulan pasti tentang bagaimana garis berperilaku sangat, sangat jauh dari kami. Pertanyaan serupa sudah muncul di antara orang Yunani kuno. Pada abad III SM, ahli geometri Yunani kuno Euclid dengan sangat akurat menyatakan sifat utama garis paralel, yang tidak dapat ia buktikan atau bantah. Oleh karena itu, ia menyebutnya sebagai postulat - pernyataan yang harus diambil dengan iman. Ini adalah postulat Euclid kelima yang terkenal: jika dua garis lurus pada sebuah bidang berpotongan dengan garis potong, sehingga jumlah sudut satu sisi internal kurang dari dua garis lurus, yaitu kurang dari 180 derajat, maka dengan cukup kelanjutan, kedua garis ini akan berpotongan, dan justru di sisi lain dari garis potong di mana jumlahnya kurang dari dua sudut siku-siku.

Kata kunci dalam postulat ini adalah "dengan kelanjutan yang cukup". Karena kata-kata inilah postulat tidak dapat diverifikasi secara empiris. Mungkin garis akan berpotongan di garis pandang. Mungkin setelah 10 kilometer atau di luar orbit Pluto, atau bahkan mungkin di galaksi lain.

Euclid menguraikan postulatnya dan hasil yang secara logis mengikutinya dalam buku terkenal "Awal". Kata Rusia "elemen" berasal dari judul Yunani kuno buku ini, dan kata "elemen" berasal dari judul Latin. Elemen Euclid adalah buku teks paling populer sepanjang masa. Dalam hal jumlah edisi, itu adalah yang kedua setelah Alkitab.

Saya terutama ingin mencatat edisi Inggris tahun 1847 yang luar biasa dengan infografis yang sangat visual dan indah. Alih-alih sebutan membosankan pada gambar, gambar berwarna digunakan di sana - tidak seperti di buku pelajaran geometri sekolah modern.

Sampai abad terakhir, "Awal" Euclid wajib dipelajari di semua program pendidikan yang menyiratkan kreativitas intelektual, yaitu, tidak hanya mempelajari kerajinan, tetapi sesuatu yang lebih intelektual. Ketidakjelasan postulat kelima Euclid menimbulkan pertanyaan alami: dapatkah dibuktikan, yaitu, disimpulkan secara logis dari asumsi Euclid lainnya? Banyak matematikawan mencoba melakukan ini, dari orang-orang sezaman Euclid hingga orang-orang sezaman dengan Lobachevsky. Sebagai aturan, mereka mengurangi postulat kelima menjadi pernyataan yang lebih demonstratif, yang lebih mudah dipercaya.

Misalnya, pada abad ke-17, ahli matematika Inggris John Wallis mereduksi postulat kelima menjadi pernyataan berikut: ada dua segitiga yang sebangun tetapi tidak sama, yaitu dua segitiga yang sudutnya sama besar, tetapi ukurannya berbeda. Tampaknya, apa yang bisa lebih mudah? Mari kita ubah skalanya. Tetapi ternyata kemampuan untuk mengubah skala sambil mempertahankan semua sudut dan proporsi adalah properti eksklusif geometri Euclid, yaitu geometri di mana semua postulat Euclid, termasuk yang kelima, terpenuhi.

Pada abad ke-18, ilmuwan Skotlandia John Playfair merumuskan kembali postulat kelima dalam bentuk yang biasanya muncul dalam buku teks sekolah modern: dua garis yang saling berpotongan tidak dapat secara bersamaan sejajar dengan garis ketiga. Dalam bentuk inilah postulat kelima muncul dalam buku pelajaran sekolah modern.

Pada awal abad ke-19, banyak orang memiliki kesan bahwa membuktikan postulat kelima seperti menciptakan mesin gerak abadi - latihan yang sama sekali tidak berguna. Tetapi tidak ada yang berani menyarankan bahwa geometri Euclid bukanlah satu-satunya yang mungkin: otoritas Euclid terlalu besar. Dalam situasi seperti itu, penemuan Lobachevsky, di satu sisi, alami, dan di sisi lain, benar-benar revolusioner.

Lobachevsky mengganti postulat kelima dengan pernyataan yang langsung berlawanan. Aksioma Lobachevsky terdengar seperti ini: jika dari suatu titik yang tidak terletak pada garis lurus, mengeluarkan semua sinar yang memotong garis lurus ini, maka di sebelah kiri dan kanan sinar ini akan dibatasi oleh dua sinar pembatas yang tidak akan lagi bersilangan. garis lurus, tetapi akan menjadi lebih dekat dan lebih dekat dengannya. Selain itu, sudut antara sinar pembatas ini akan benar-benar kurang dari 180 derajat.

Langsung mengikuti dari aksioma Lobachevsky bahwa melalui titik yang tidak terletak pada garis tertentu, seseorang tidak dapat menggambar satu garis sejajar dengan yang diberikan, seperti dalam Euclid, tetapi sebanyak yang Anda suka. Tapi garis-garis ini akan berperilaku berbeda dari Euclid. Misalnya, jika kita memiliki dua garis sejajar, maka mereka pertama-tama dapat mendekati dan kemudian menjauh. Artinya, jarak dari suatu titik pada garis pertama ke garis kedua akan bergantung pada titik tersebut. Ini akan berbeda untuk poin yang berbeda.

Geometri Lobachevsky bertentangan dengan intuisi kita sebagian karena pada jarak kecil yang biasanya kita hadapi, ia sangat sedikit berbeda dari Euclidean. Demikian pula, kita melihat kelengkungan permukaan bumi. Ketika kita berjalan dari rumah ke toko, kita seolah-olah berjalan dalam garis lurus, dan Bumi itu datar. Tetapi jika kita terbang, katakanlah, dari Moskow ke Montreal, maka kita sudah memperhatikan bahwa pesawat terbang di sepanjang busur lingkaran, karena ini adalah jalur terpendek antara dua titik di permukaan bumi. Artinya, kita melihat bahwa Bumi lebih mirip bola sepak daripada kue dadar.

Geometri Lobachevsky juga dapat diilustrasikan dengan bantuan bola sepak, tetapi bukan yang biasa, tetapi yang hiperbolik. Bola sepak hiperbolik direkatkan seperti bola biasa. Hanya dalam bola biasa, segi enam putih direkatkan ke segi lima hitam, dan dalam bola hiperbolik, alih-alih segi lima, Anda perlu membuat segi enam dan juga merekatkannya dengan segi enam. Dalam hal ini, tentu saja, itu bukan bola, melainkan pelana. Dan di atas pelana ini geometri Lobachevsky terwujud.

Lobachevsky mencoba menceritakan tentang penemuannya pada tahun 1826 di Universitas Kazan. Namun teks laporan itu tidak bertahan. Pada tahun 1829 ia menerbitkan sebuah artikel tentang geometrinya di jurnal universitas. Hasil Lobachevsky tampaknya tidak berarti bagi banyak orang - bukan hanya karena mereka menghancurkan gambaran dunia yang biasa, tetapi karena mereka tidak disajikan dengan cara yang paling bisa dimengerti.

Namun, Lobachevsky juga memiliki publikasi di jurnal tingkat tinggi, seperti yang kita sebut hari ini. Misalnya, pada tahun 1836 ia menerbitkan sebuah artikel dalam bahasa Prancis berjudul "Imaginary Geometry" di jurnal terkenal Krell, dalam edisi yang sama dengan artikel-artikel matematikawan paling terkenal saat itu - Dirichlet, Steiner dan Jacobi. Dan pada tahun 1840, Lobachevsky menerbitkan sebuah buku kecil dan ditulis dengan sangat jelas berjudul Geometric Research on the Theory of Parallel Lines. Buku itu dalam bahasa Jerman dan diterbitkan di Jerman. Ada juga ulasan yang menghancurkan. Peninjau terutama mengejek ungkapan Lobachevsky: "Semakin jauh kita melanjutkan garis ke arah paralelisme mereka, semakin mereka mendekati satu sama lain." "Pernyataan ini saja," tulis pengulas, "sudah cukup mencirikan pekerjaan Tuan Lobachevsky dan membebaskan pengulas dari kebutuhan untuk mengevaluasi lebih lanjut."

Tetapi buku itu juga memiliki satu pembaca yang tidak memihak. Itu Carl Friedrich Gauss, juga dikenal sebagai Raja Matematikawan, salah satu matematikawan terbesar dalam sejarah. Dia sangat menghargai buku Lobachevsky dalam salah satu suratnya. Tetapi ulasannya diterbitkan hanya setelah kematiannya, bersama dengan korespondensi lainnya. Dan saat itulah ledakan nyata geometri Lobachevsky dimulai.

Pada tahun 1866 bukunya diterjemahkan ke dalam bahasa Prancis, kemudian ke dalam bahasa Inggris. Selain itu, edisi bahasa Inggris dicetak ulang tiga kali karena popularitasnya yang luar biasa. Sayangnya, Lobachevsky tidak hidup sampai saat ini. Dia meninggal pada tahun 1856. Dan pada tahun 1868, sebuah buku Lobachevsky edisi Rusia muncul. Itu diterbitkan bukan sebagai buku, tetapi sebagai artikel di jurnal Mathematical Collection tertua di Rusia. Tapi kemudian majalah ini masih sangat muda, belum genap dua tahun. Tetapi terjemahan bahasa Rusia tahun 1945, yang dibuat oleh ahli geometri Rusia dan Soviet yang luar biasa, Veniamin Fedorovich Kagan, lebih dikenal.

Pada akhir abad ke-19, matematikawan dibagi menjadi dua kubu. Beberapa segera menerima hasil Lobachevsky dan mulai mengembangkan ide-idenya lebih lanjut. Dan yang lain tidak bisa melepaskan keyakinan bahwa geometri Lobachevsky menggambarkan sesuatu yang tidak ada, yaitu, geometri Euclid adalah satu-satunya yang benar dan tidak ada yang lain yang bisa. Sayangnya, yang terakhir termasuk ahli matematika, lebih dikenal sebagai penulis Alice in Wonderland, Lewis Carroll. Nama aslinya adalah Charles Dodgson. Pada tahun 1890, ia menerbitkan sebuah artikel berjudul "A New Theory of Parallels", di mana ia membela versi yang sangat ilustratif dari postulat kelima. Aksioma Lewis Carroll terdengar seperti ini: jika sebuah segi empat biasa tertulis dalam sebuah lingkaran, maka luas segiempat ini akan benar-benar lebih besar daripada luas salah satu segmen lingkaran yang terletak luar segi empat. Dalam geometri Lobachevsky aksioma ini tidak benar. Jika kita mengambil lingkaran yang cukup besar, maka tidak peduli segi empat apa yang kita tulis di dalamnya, tidak peduli berapa panjang sisi segi empat ini, luas segi empat akan dibatasi oleh konstanta fisik universal. Secara umum, keberadaan konstanta fisik dan ukuran panjang universal merupakan perbedaan yang menguntungkan antara geometri Lobachevsky dan geometri Euclid.

Tetapi Arthur Cayley, ahli matematika Inggris terkenal lainnya, pada tahun 1859, yaitu, hanya tiga tahun setelah kematian Lobachevsky, menerbitkan sebuah artikel yang kemudian membantu melegalkan postulat Lobachevsky. Menariknya, Cayley saat itu bekerja sebagai pengacara di London dan baru kemudian menerima gelar profesor di Cambridge. Faktanya, Cayley membangun model pertama geometri Lobachevsky, meskipun ia memecahkan, pada pandangan pertama, masalah yang sama sekali berbeda.

Dan ahli matematika Inggris lainnya yang luar biasa, yang bernama William Kingdon Clifford, sangat diilhami oleh ide-ide Lobachevsky. Dan khususnya, dia adalah orang pertama yang mengungkapkan gagasan, jauh sebelum penciptaan teori relativitas umum, bahwa gravitasi disebabkan oleh kelengkungan ruang. Clifford menilai kontribusi Lobachevsky terhadap sains dalam salah satu kuliahnya tentang filsafat sains: "Lobachevsky menjadi bagi Euclid seperti halnya Copernicus bagi Ptolemy." Jika sebelum Copernicus umat manusia percaya bahwa kita tahu segalanya tentang Semesta, sekarang jelas bagi kita bahwa kita hanya mengamati sebagian kecil dari Semesta. Demikian pula, sebelum Lobachevsky, umat manusia percaya bahwa hanya ada satu geometri - Euclidean, segala sesuatu tentangnya telah lama diketahui. Sekarang kita tahu bahwa ada banyak geometri, tetapi kita tahu jauh dari semuanya.

teorema geometri Lobachevsky

1. Konsep dasar geometri Lobachevsky

Dalam geometri Euclidean, menurut postulat kelima, pada bidang yang melalui sebuah titik R, berbaring di luar garis A A, hanya ada satu garis lurus B"B, tidak berpotongan A A. Lurus B"B" disebut paralel ke A"A Cukuplah untuk mensyaratkan bahwa paling banyak ada satu garis seperti itu, karena keberadaan garis yang tidak berpotongan dapat dibuktikan dengan menggambar garis-garis secara berurutan. PQA"A dan PBPQ. Dalam geometri Lobachevsky, aksioma paralelisme mensyaratkan bahwa melalui suatu titik R melewati lebih dari satu garis lurus yang tidak berpotongan A A.

Garis yang tidak berpotongan mengisi bagian pensil dengan titik sudut R, terletak di dalam sepasang sudut vertikal TPU dan U "PT", terletak simetris terhadap tegak lurus P.Q. Garis-garis yang membentuk sisi-sisi sudut vertikal memisahkan garis-garis yang berpotongan dari yang tidak berpotongan dan juga tidak berpotongan. Garis batas ini disebut sejajar di titik P dengan garis lurus A A masing-masing dalam dua arah: T "T paralel A A ke arah A A, sebuah uu" paralel A A ke arah A A". Garis lain yang tidak berpotongan disebut garis divergen dengan A A.

Injeksi , 0< R bentuk dengan tegak lurus pQ, QPT=QPU"=, ditelepon sudut paralelisme segmen PQ=a dan dilambangkan dengan . Pada a=0 sudut =/2; dengan bertambahnya sebuah sudut berkurang sehingga untuk setiap diberikan, 0<sebuah. Ketergantungan ini disebut Fungsi Lobachevsky :

P(a)=2artg (),

di mana ke-- beberapa konstanta yang mendefinisikan segmen yang nilainya tetap. Ini disebut jari-jari kelengkungan ruang Lobachevsky. Seperti geometri bola, ada himpunan tak terbatas dari ruang Lobachevsky, berbeda dalam besarnya ke.

Dua garis lurus yang berbeda dalam sebuah bidang membentuk sepasang salah satu dari tiga jenis.

garis berpotongan . Jarak dari titik-titik satu garis ke garis lain meningkat tanpa batas sebagai titik bergerak menjauh dari perpotongan garis. Jika garis tidak tegak lurus, maka masing-masing diproyeksikan secara ortogonal ke yang lain ke dalam segmen terbuka dengan ukuran terbatas.

Garis sejajar . Di pesawat, melalui titik tertentu, ada satu garis lurus sejajar dengan garis lurus yang diberikan dalam arah yang diberikan pada yang terakhir. Paralel di satu titik R mempertahankan pada masing-masing titiknya sifat sejajar dengan garis yang sama dalam arah yang sama. Paralelisme adalah timbal balik (jika sebuah||b ke arah tertentu, maka b||sebuah dalam arah yang sesuai) dan transitivitas (jika sebuah||b dan dengan || b dalam satu arah, maka a||c dalam arah yang sesuai). Dalam arah paralelisme, yang paralel mendekati tanpa batas, dalam arah yang berlawanan mereka menjauh tanpa batas (dalam arti jarak dari titik bergerak satu garis lurus ke garis lurus lainnya). Proyeksi ortogonal dari satu garis ke garis lainnya adalah setengah garis terbuka.

Garis divergen . Mereka memiliki satu tegak lurus umum, segmen yang memberikan jarak minimum. Di kedua sisi tegak lurus, garis-garis divergen tanpa batas. Setiap baris diproyeksikan ke yang lain ke dalam segmen terbuka dengan ukuran terbatas.

Tiga jenis garis sesuai pada bidang dengan tiga jenis pensil garis, yang masing-masing menutupi seluruh bidang: balok jenis pertama adalah himpunan semua garis yang melalui satu titik ( Tengah balok); balok jenis ke-2 adalah himpunan semua garis yang tegak lurus satu garis ( basis balok); balok jenis ke-3 adalah himpunan semua garis yang sejajar dengan satu garis pada arah tertentu, termasuk garis ini.

Lintasan ortogonal dari garis lurus balok ini membentuk analog dari lingkaran bidang Euclidean: lingkaran dalam arti yang tepat; sama jauh , atau garis setara jarak (jika Anda tidak mempertimbangkan alasnya), yang cekung ke arah alasnya; garis batas , atau sepeda motor, itu dapat dianggap sebagai lingkaran dengan pusat yang jauh tak terhingga. Garis batas adalah kongruen. Mereka tidak tertutup dan cekung ke arah paralelisme. Dua garis batas yang dihasilkan oleh satu bundel adalah konsentris (segmen yang sama dipotong pada garis lurus bundel). Rasio panjang busur konsentris yang tertutup di antara dua garis lurus balok berkurang ke arah paralelisme sebagai fungsi eksponensial dari jarak X antara busur:

s" / s=e.

Masing-masing analog lingkaran dapat meluncur dengan sendirinya, yang memunculkan tiga jenis gerakan satu parameter bidang: rotasi di sekitar pusatnya sendiri; rotasi di sekitar pusat ideal (satu lintasan adalah alasnya, sisanya berjarak sama); rotasi di sekitar pusat yang jauh tak terhingga (semua lintasan adalah garis batas).

Rotasi analog lingkaran di sekitar garis lurus pensil pembangkit mengarah ke analog bola: bola yang tepat, permukaan jarak yang sama, dan horosfer, atau marginal permukaan .

Pada bola, geometri lingkaran besar adalah geometri bola biasa; pada permukaan dengan jarak yang sama - geometri yang berjarak sama, yang merupakan planimetri Lobachevsky, tetapi dengan nilai yang lebih besar ke; pada permukaan batas, geometri Euclidean dari garis batas.

Hubungan antara panjang busur dan tali busur dari garis batas dan hubungan trigonometri Euclidean pada permukaan batas memungkinkan untuk menurunkan hubungan trigonometri pada bidang, yaitu rumus trigonometri untuk segitiga bujursangkar.

2. Beberapa teorema geometri Lobachevsky

Teorema 1. Jumlah sudut setiap segitiga kurang dari 2d.

Perhatikan dulu segitiga siku-siku ABC (Gbr. 2). Sisi-Nya a, b, c digambarkan masing-masing sebagai segmen Euclidean yang tegak lurus terhadap garis dan, busur lingkaran Euclidean dengan pusat M dan busur lingkaran Euclidean dengan pusat N. Injeksi Dengan--lurus. Injeksi TETAPI sama dengan sudut antara garis singgung lingkaran b dan dengan pada intinya TETAPI, atau, yang sama, sudut antara jari-jari tidak dan MA lingkaran ini. Akhirnya, B = BMN.

Mari kita membangun sebuah segmen BN seperti pada diameter lingkaran Euclidean q; dia memiliki dengan lingkar dengan satu titik umum PADA, karena diameternya adalah jari-jari lingkaran dengan. Oleh karena itu, intinya TETAPI terletak di luar lingkaran yang dibatasi oleh lingkaran q, karena itu,

A = MAN< MBN.

Oleh karena itu, karena persamaan MBN+B = d kita punya:

A + B< d; (1)

jadi A+B+C< 2d, что и требовалось доказать.

Perhatikan bahwa, dengan gerakan hiperbolik yang tepat, segitiga siku-siku dapat diposisikan sehingga salah satu kakinya terletak pada Euclidean tegak lurus terhadap garis. dan; oleh karena itu, metode yang kami gunakan untuk menurunkan pertidaksamaan (1) berlaku untuk setiap segitiga siku-siku.

Jika diberikan segitiga miring, maka kita membaginya dengan salah satu tingginya menjadi dua segitiga siku-siku. Jumlah sudut lancip dari segitiga siku-siku ini sama dengan jumlah sudut segitiga miring yang diberikan. Oleh karena itu, dengan mempertimbangkan ketidaksetaraan (1) , kita menyimpulkan bahwa teorema ini berlaku untuk sembarang segitiga.

Teorema 2 . Jumlah sudut suatu segiempat kurang dari 4d.

Untuk membuktikannya, cukup membagi segiempat dengan diagonalnya menjadi dua segitiga.

Teorema 3 . Dua garis divergen memiliki satu dan hanya satu garis tegak lurus yang sama.

Biarkan salah satu dari garis lurus divergen ini digambarkan pada peta sebagai tegak lurus Euclidean R ke garis lurus dan pada intinya M, yang lainnya dalam bentuk setengah lingkaran Euclidean q berpusat pada dan, dan R dan q tidak memiliki titik yang sama (Gbr. 3). Susunan dua garis hiperbolik yang berbeda pada peta selalu dapat dicapai dengan gerak hiperbolik yang benar.

Ayo belanja dari M tangen euclidean M N ke q dan jelaskan dari pusat M radius M N setengah lingkaran euclidean m. Sudah jelas itu m--garis hiperbolik berpotongan dan R dan q pada sudut yang tepat. Karena itu, m menggambarkan pada peta tegak lurus umum yang diperlukan dari garis lurus divergen yang diberikan.

Dua garis divergen tidak dapat memiliki dua tegak lurus yang sama, karena dalam kasus ini akan ada segi empat dengan empat sudut siku-siku, yang bertentangan dengan Teorema 2.

. Teorema 4. Proyeksi persegi panjang dari sisi sudut lancip ke sisi lainnya adalah segmen(dan bukan setengah garis, seperti dalam geometri Euclid).

Validitas teorema jelas dari Gambar. 4, di mana segmennya AB ada proyeksi persegi panjang dari sisi AB sudut lancip ANDA di sisinya SEBAGAI.

Pada gambar yang sama, busur DE Lingkaran Euclidean dengan pusat M adalah tegak lurus terhadap garis hiperbolik AC. Garis tegak lurus ini tidak berpotongan dengan miring AB. Oleh karena itu, asumsi bahwa garis tegak lurus dan garis miring pada garis yang sama selalu berpotongan bertentangan dengan aksioma paralelisme Lobachevsky; itu setara dengan aksioma paralelisme Euclid.

Teorema 5. Jika tiga sudut segitiga ABC masing-masing sama besar dengan tiga sudut segitiga A, B, C, maka segitiga-segitiga ini kongruen.

Asumsikan kebalikannya dan sisihkan, masing-masing, pada sinar AB dan AC segmen AB \u003d A "B", AC \u003d A "C". Jelas segitiga. ABC dan A"B"C sama di dua sisi dan sudut di antara mereka. Dot B tidak cocok dengan PADA, dot C tidak cocok dengan Dengan, karena dalam salah satu kasus ini persamaan segitiga ini akan terjadi, yang bertentangan dengan asumsi.

Pertimbangkan kemungkinan berikut.

a) Titik B terletak di antara TETAPI dan PADA, dot Dengan-- di antara TETAPI dan Dengan(Gbr. 5); dalam gambar ini dan berikutnya, garis hiperbolik secara konvensional digambarkan sebagai garis Euclidean). Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa jumlah sudut segi empat SSNE adalah sama dengan 4d, yang tidak mungkin karena Teorema 2.

6) Poin PADA berada diantara TETAPI dan PADA, dot Dengan-- di antara TETAPI dan Dengan(Gbr. 6). Dilambangkan dengan D titik potong segmen matahari dan SM Sebagai C=C" dan C" \u003d C, kemudian C = Dengan , yang tidak mungkin, karena sudut C di luar segitiga CCD.

Kasus-kasus lain yang mungkin diperlakukan sama.

Teorema tersebut terbukti karena asumsi yang dibuat telah menimbulkan kontradiksi.

Dari Teorema 5 dapat disimpulkan bahwa dalam geometri Lobachevsky tidak ada segitiga yang serupa dengan segitiga yang diberikan, tetapi tidak sama dengannya.