Dalam artikel, kami akan menunjukkan cara menyelesaikan pecahan dengan contoh sederhana yang jelas. Mari kita pahami apa itu pecahan dan pertimbangkan memecahkan pecahan!

konsep pecahan diperkenalkan ke dalam kursus matematika mulai dari kelas 6 sekolah menengah.

Pecahan terlihat seperti: ±X / Y, di mana Y adalah penyebutnya, ini menunjukkan berapa banyak bagian yang dibagi, dan X adalah pembilangnya, itu menunjukkan berapa banyak bagian yang diambil. Untuk kejelasan, mari kita ambil contoh dengan kue:

Dalam kasus pertama, kue dipotong sama dan diambil setengahnya, mis. 1/2. Dalam kasus kedua, kue dipotong menjadi 7 bagian, dari mana diambil 4 bagian, mis. 4/7.

Jika bagian pembagian suatu bilangan dengan bilangan lainnya bukan bilangan bulat, maka ditulis sebagai pecahan.

Misalnya, ekspresi 4:2 \u003d 2 memberikan bilangan bulat, tetapi 4:7 tidak habis dibagi, jadi ekspresi ini ditulis sebagai pecahan 4/7.

Dengan kata lain pecahan adalah ekspresi yang menunjukkan pembagian dua angka atau ekspresi, dan yang ditulis dengan garis miring.

Jika pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, maka pecahan itu benar, jika sebaliknya, itu salah. Pecahan dapat berisi bilangan bulat.

Misalnya, 5 bilangan bulat 3/4.

Entri ini berarti bahwa untuk mendapatkan seluruh 6, satu bagian dari empat tidak cukup.

Jika Anda ingin mengingat cara menyelesaikan pecahan untuk kelas 6 sd Anda perlu memahami itu memecahkan pecahan pada dasarnya turun untuk memahami beberapa hal sederhana.

• Pecahan pada dasarnya adalah ekspresi untuk pecahan. Artinya, ekspresi numerik dari bagian apa nilai yang diberikan dari satu keseluruhan. Misalnya, pecahan 3/5 menyatakan bahwa jika kita membagi sesuatu yang utuh menjadi 5 bagian dan jumlah bagian atau bagian dari keseluruhan ini adalah tiga.
• Pecahan bisa kurang dari 1, misalnya 1/2 (atau intinya setengah), maka itu benar. Jika pecahan lebih besar dari 1, misalnya 3/2 (tiga bagian atau satu setengah), maka itu salah dan untuk menyederhanakan penyelesaian, lebih baik kita memilih seluruh bagian 3/2= 1 utuh 1 /2.
• Pecahan adalah bilangan yang sama dengan 1, 3, 10, dan genap 100, hanya saja bilangan tersebut tidak utuh, melainkan pecahan. Dengan mereka, Anda dapat melakukan semua operasi yang sama seperti dengan angka. Menghitung pecahan tidak lebih sulit, dan selanjutnya kami akan menunjukkan ini dengan contoh spesifik.

Cara menyelesaikan pecahan. Contoh.

Berbagai operasi aritmatika berlaku untuk pecahan.

Membawa pecahan ke penyebut yang sama

Misalnya, Anda perlu membandingkan pecahan 3/4 dan 4/5.

Untuk menyelesaikan masalah, pertama-tama kita mencari penyebut umum terendah, yaitu. bilangan terkecil yang habis dibagi tanpa sisa oleh masing-masing penyebut pecahan

Penyebut persekutuan terkecil(4.5) = 20

Kemudian penyebut kedua pecahan dikurangi menjadi penyebut persekutuan terkecil

Jawaban: 15/20

Penjumlahan dan pengurangan pecahan

Jika perlu untuk menghitung jumlah dua pecahan, mereka pertama-tama dibawa ke penyebut yang sama, kemudian pembilangnya ditambahkan, sedangkan penyebutnya tetap tidak berubah. Perbedaan pecahan dianggap dengan cara yang sama, satu-satunya perbedaan adalah pembilangnya dikurangi.

Misalnya, Anda perlu mencari jumlah pecahan 1/2 dan 1/3

Sekarang temukan perbedaan antara pecahan 1/2 dan 1/4

Perkalian dan pembagian pecahan

Di sini solusi pecahan sederhana, semuanya cukup sederhana di sini:

• Perkalian - pembilang dan penyebut pecahan dikalikan satu sama lain;
• Pembagian - pertama kita mendapatkan pecahan, kebalikan dari pecahan kedua, mis. tukar pembilang dan penyebutnya, setelah itu kita kalikan pecahan yang dihasilkan.

Sebagai contoh:

Tentang ini cara menyelesaikan pecahan, semua. Jika Anda memiliki pertanyaan tentang memecahkan pecahan, ada yang kurang jelas, tulis di komentar dan kami akan menjawabnya.

Jika Anda seorang guru, maka dimungkinkan untuk mengunduh presentasi untuk sekolah dasar (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) yang akan berguna.

Artikel ini adalah tampilan umum pada operasi dengan pecahan. Di sini kita merumuskan dan membenarkan aturan penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan kenaikan pangkat pecahan dari bentuk umum A/B , di mana A dan B adalah beberapa angka, ekspresi numerik atau ekspresi dengan variabel. Seperti biasa, kami akan menyediakan materi dengan contoh penjelasan dengan deskripsi solusi yang terperinci.

Navigasi halaman.

Aturan untuk melakukan operasi dengan pecahan numerik dari bentuk umum

Mari kita sepakati bahwa pecahan numerik umum adalah pecahan yang pembilang dan / atau penyebutnya tidak hanya dapat diwakili oleh bilangan asli, tetapi juga dengan bilangan lain atau ekspresi numerik. Untuk lebih jelasnya, berikut adalah beberapa contoh pecahan tersebut: .

Kita tahu aturan yang . Dengan aturan yang sama, Anda dapat melakukan operasi dengan pecahan dalam bentuk umum:

Alasan untuk aturan

Untuk membenarkan validitas aturan untuk melakukan tindakan dengan pecahan numerik umum, seseorang dapat mulai dari poin-poin berikut:

• batang pecahan pada dasarnya adalah tanda pembagian,
• pembagian dengan beberapa angka bukan nol dapat dianggap sebagai perkalian dengan kebalikan dari pembagi (ini segera menjelaskan aturan untuk membagi pecahan),
• sifat-sifat tindakan dengan bilangan real,
• dan pemahaman umum,

Mereka memungkinkan Anda untuk melakukan transformasi berikut yang membenarkan aturan untuk menambahkan, mengurangi pecahan dengan penyebut yang sama dan berbeda, serta aturan untuk mengalikan pecahan:

Contoh

Mari kita berikan contoh melakukan tindakan dengan pecahan bentuk umum sesuai dengan aturan yang dipelajari di paragraf sebelumnya. Katakanlah segera bahwa biasanya, setelah melakukan operasi dengan pecahan, pecahan yang dihasilkan memerlukan penyederhanaan, dan proses penyederhanaan pecahan seringkali lebih sulit daripada melakukan tindakan sebelumnya. Kami tidak akan membahas penyederhanaan pecahan (transformasi yang sesuai dibahas dalam artikel Transformasi pecahan), agar tidak terganggu dari topik yang menarik bagi kami.

Mari kita mulai dengan contoh penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama. Mari kita mulai dengan menjumlahkan pecahan dan . Jelas penyebutnya sama. Menurut aturan yang sesuai, kita menuliskan pecahan yang pembilangnya sama dengan jumlah pembilang dari pecahan aslinya, dan membiarkan penyebutnya sama, kita . Penambahan dilakukan, tinggal menyederhanakan pecahan yang dihasilkan: . Jadi, .

Dimungkinkan untuk melakukan keputusan dengan cara yang berbeda: pertama, membuat transisi ke pecahan biasa, dan kemudian melakukan penambahan. Dengan pendekatan ini, kita memiliki .

Sekarang kurangi dari pecahan pecahan . Penyebut pecahan sama, oleh karena itu, kami bertindak sesuai dengan aturan untuk mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama:

Mari kita beralih ke contoh penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda. Di sini kesulitan utama terletak pada membawa pecahan ke penyebut yang sama. Untuk pecahan bentuk umum, ini adalah topik yang agak luas, kami akan menganalisisnya secara rinci dalam artikel terpisah. pengurangan pecahan menjadi penyebut yang sama. Untuk saat ini, kami akan membatasi diri pada beberapa rekomendasi umum, karena saat ini kami lebih tertarik pada teknik melakukan tindakan dengan pecahan.

Secara umum, prosesnya mirip dengan pengurangan penyebut biasa dari pecahan biasa. Artinya, penyebut disajikan sebagai produk, kemudian semua faktor dari penyebut pecahan pertama diambil dan faktor yang hilang dari penyebut pecahan kedua ditambahkan ke dalamnya.

Ketika penyebut dari pecahan yang ditambahkan atau dikurangkan tidak memiliki faktor yang sama, maka logis untuk mengambil produk mereka sebagai penyebut yang sama. Mari kita ambil contoh.

Katakanlah kita perlu menjumlahkan pecahan dan 1/2. Di sini, sebagai penyebut yang sama, adalah logis untuk mengambil produk dari penyebut dari pecahan asli, yaitu . Dalam hal ini, faktor tambahan untuk pecahan pertama adalah 2 . Setelah pembilang dan penyebutnya dikalikan, maka bentuk pecahan akan menjadi . Dan untuk pecahan kedua, faktor tambahannya adalah ekspresi. Dengan bantuannya, pecahan 1/2 direduksi menjadi bentuk. Tetap menambahkan pecahan yang dihasilkan dengan penyebut yang sama. Berikut adalah ringkasan dari seluruh solusi:

Dalam kasus pecahan bentuk umum, kita tidak lagi berbicara tentang penyebut yang paling kecil, yang biasanya dikurangi dengan pecahan biasa. Meskipun dalam hal ini masih diinginkan untuk mengupayakan beberapa minimalis. Dengan ini kami ingin mengatakan bahwa tidak perlu segera mengambil produk dari penyebut dari pecahan asli sebagai penyebut yang sama. Misalnya, sama sekali tidak perlu mengambil penyebut yang sama dari pecahan dan produk . Di sini, sebagai penyebut yang sama, kita dapat mengambil .

Kami beralih ke contoh perkalian pecahan dari bentuk umum. Kalikan pecahan dan . Aturan untuk melakukan tindakan ini memberitahu kita untuk menuliskan pecahan yang pembilangnya adalah produk dari pembilang dari pecahan asli, dan penyebutnya adalah produk dari penyebutnya. Kita punya . Di sini, seperti dalam banyak kasus lain saat mengalikan pecahan, Anda dapat mengurangi pecahan: .

Aturan untuk membagi pecahan memungkinkan Anda untuk berpindah dari pembagian ke perkalian dengan kebalikannya. Di sini Anda perlu ingat bahwa untuk mendapatkan pecahan kebalikan dari pecahan yang diberikan, Anda perlu menukar pembilang dan penyebut pecahan ini. Berikut adalah contoh transisi dari pembagian pecahan biasa ke perkalian: . Tetap melakukan perkalian dan menyederhanakan pecahan yang dihasilkan (jika perlu, lihat transformasi ekspresi irasional):

Sebagai penutup informasi paragraf ini, kita ingat bahwa bilangan atau ekspresi numerik apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan dengan penyebut 1, oleh karena itu, penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian suatu bilangan dan pecahan dapat dianggap melakukan tindakan yang sesuai dengan pecahan yang salah satunya memiliki penyebut. Misalnya, mengganti ekspresi akar dari tiga pecahan, kita akan melanjutkan dari mengalikan pecahan dengan angka menjadi mengalikan dua pecahan: .

Melakukan operasi dengan pecahan yang mengandung variabel

Aturan dari bagian pertama artikel ini juga berlaku untuk melakukan operasi dengan pecahan yang mengandung variabel. Mari kita membenarkan yang pertama - aturan penambahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama, sisanya dibuktikan dengan cara yang persis sama.

Mari kita buktikan bahwa untuk setiap ekspresi A , C dan D (D identik bukan nol) kita memiliki persamaan pada kisaran nilai variabel yang dapat diterima.

Mari kita ambil beberapa set variabel dari ODZ. Biarkan ekspresi A , C dan D mengambil nilai a 0, c 0 dan d 0 untuk nilai-nilai variabel ini. Kemudian mensubstitusi nilai-nilai variabel dari himpunan yang dipilih ke dalam ekspresi mengubahnya menjadi jumlah (selisih) pecahan numerik dengan penyebut yang sama dari bentuk , yang, menurut aturan penambahan (pengurangan) pecahan numerik dengan penyebut yang sama, sama dengan . Tetapi mengganti nilai variabel dari himpunan yang dipilih ke dalam ekspresi mengubahnya menjadi pecahan yang sama. Ini berarti bahwa untuk kumpulan nilai variabel yang dipilih dari ODZ, nilai ekspresi dan adalah sama. Jelas bahwa nilai dari ekspresi ini akan sama untuk set nilai variabel lainnya dari ODZ, yang berarti bahwa ekspresi dan identik sama, yaitu persamaan yang dibuktikan benar. .

Contoh penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan variabel

Ketika penyebut dari pecahan yang ditambahkan atau dikurangkan adalah sama, maka semuanya cukup sederhana - pembilangnya ditambahkan atau dikurangkan, dan penyebutnya tetap sama. Jelas bahwa pecahan yang diperoleh setelah ini disederhanakan jika perlu dan memungkinkan.

Perhatikan bahwa kadang-kadang penyebut pecahan berbeda hanya pada pandangan pertama, tetapi sebenarnya mereka adalah ekspresi yang sama, seperti, misalnya, dan , atau dan . Dan terkadang cukup menyederhanakan pecahan awal sehingga penyebutnya yang identik "muncul".

Contoh.

, b) , di) .

Keputusan.

a) Kita perlu mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama. Menurut aturan yang sesuai, kami membiarkan penyebutnya sama dan mengurangi pembilangnya, kami memiliki . Tindakan dilakukan. Tetapi Anda masih dapat membuka tanda kurung di pembilang dan membawa suku-suku serupa: .

b) Jelas, penyebut dari pecahan yang ditambahkan adalah sama. Oleh karena itu, kita tambahkan pembilangnya, dan biarkan penyebutnya tetap sama: . Penambahan selesai. Tetapi mudah untuk melihat bahwa pecahan yang dihasilkan dapat dikurangi. Memang, pembilang dari pecahan yang dihasilkan dapat dikurangi dengan kuadrat dari jumlah sebagai (lgx+2) 2 (lihat rumus perkalian yang disingkat), sehingga transformasi berikut terjadi: .

c) Pecahan dalam jumlah memiliki penyebut yang berbeda. Namun, dengan mengonversi salah satu pecahan, Anda dapat melanjutkan ke penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama. Kami menunjukkan dua solusi.

Cara pertama. Penyebut pecahan pertama dapat difaktorkan menggunakan rumus selisih kuadrat, dan kemudian mengurangi pecahan ini: . Dengan demikian, . Tidak ada salahnya untuk menghilangkan irasionalitas pada penyebut pecahan: .

Cara kedua. Mengalikan pembilang dan penyebut pecahan kedua (ekspresi ini tidak hilang untuk setiap nilai variabel x dari DPV untuk ekspresi asli) memungkinkan Anda untuk mencapai dua tujuan sekaligus: singkirkan irasionalitas dan lanjutkan ke penambahan pecahan dengan penyebut yang sama. Kita punya

Menjawab:

sebuah) , b) , di) .

Contoh terakhir membawa kita ke pertanyaan membawa pecahan ke penyebut yang sama. Di sana, kami hampir secara tidak sengaja menemukan penyebut yang sama, menyederhanakan salah satu pecahan yang ditambahkan. Tetapi dalam kebanyakan kasus, ketika menjumlahkan dan mengurangkan pecahan dengan penyebut yang berbeda, kita harus dengan sengaja membawa pecahan ke penyebut yang sama. Untuk melakukan ini, penyebut pecahan biasanya disajikan sebagai produk, semua faktor diambil dari penyebut pecahan pertama, dan faktor yang hilang dari penyebut pecahan kedua ditambahkan ke dalamnya.

Contoh.

Lakukan tindakan dengan pecahan: a) , b) , c) .

Keputusan.

a) Penyebut pecahan tidak perlu dilakukan apa-apa. Sebagai penyebut yang sama, kami mengambil produk . Dalam hal ini, faktor tambahan untuk pecahan pertama adalah ekspresi, dan untuk pecahan kedua - angka 3. Faktor tambahan ini membawa pecahan ke penyebut yang sama, yang selanjutnya memungkinkan kita untuk melakukan tindakan yang kita butuhkan, kita miliki

b) Dalam contoh ini, penyebut sudah disajikan sebagai produk, dan tidak diperlukan transformasi tambahan. Jelas, faktor-faktor dalam penyebut hanya berbeda dalam eksponen, oleh karena itu, sebagai penyebut yang sama, kami mengambil produk dari faktor-faktor dengan eksponen terbesar, yaitu, . Maka faktor tambahan untuk pecahan pertama adalah x 4 , dan untuk pecahan kedua - ln(x+1) . Sekarang kita siap untuk mengurangkan pecahan:

c) Dan dalam hal ini, untuk memulai, kita akan bekerja dengan penyebut pecahan. Rumus selisih kuadrat dan kuadrat jumlah memungkinkan Anda beralih dari jumlah asli ke ekspresi . Sekarang jelas bahwa pecahan ini dapat direduksi menjadi penyebut yang sama . Dengan pendekatan ini, solusinya akan terlihat seperti ini:

Menjawab:

sebuah)

b)

di)

Contoh perkalian pecahan dengan variabel

Perkalian pecahan menghasilkan pecahan yang pembilangnya adalah hasil kali pembilang dari pecahan asalnya, dan penyebutnya adalah hasil kali penyebutnya. Di sini, seperti yang Anda lihat, semuanya akrab dan sederhana, dan kami hanya dapat menambahkan bahwa pecahan yang diperoleh sebagai hasil dari tindakan ini sering berkurang. Dalam kasus ini, itu dikurangi, kecuali, tentu saja, perlu dan dibenarkan.

Artikel ini membahas tentang operasi pada pecahan. Aturan untuk penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian atau eksponensial dari pecahan bentuk A B akan dibentuk dan dibenarkan, di mana A dan B dapat berupa angka, ekspresi numerik atau ekspresi dengan variabel. Sebagai kesimpulan, contoh solusi dengan deskripsi terperinci akan dipertimbangkan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Aturan untuk melakukan operasi dengan pecahan numerik dari bentuk umum

Pecahan numerik dari bentuk umum memiliki pembilang dan penyebut, di mana ada bilangan asli atau ekspresi numerik. Jika kita menganggap pecahan seperti 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0, 8 , 1 2 2 , 1 - 2 3 + , 2 0 , 5 ln 3 , maka jelas bahwa pembilang dan penyebut tidak hanya dapat memiliki angka, tetapi juga ekspresi dari rencana yang berbeda.

Definisi 1

Ada aturan di mana tindakan dilakukan dengan pecahan biasa. Ini juga cocok untuk pecahan bentuk umum:

• Saat mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama, hanya pembilang yang ditambahkan, dan penyebutnya tetap sama, yaitu: a d ± c d \u003d a ± c d, nilai a, c dan d 0 adalah beberapa angka atau ekspresi numerik.
• Saat menjumlahkan atau mengurangkan pecahan dengan penyebut yang berbeda, perlu untuk mengurangi ke yang sama, dan kemudian menambah atau mengurangi pecahan yang dihasilkan dengan indikator yang sama. Secara harfiah terlihat seperti ini a b ± c d = a p ± c r s , dimana nilai a , b 0 , c , d 0 , p 0 , r 0 , s 0 adalah bilangan real, dan b p = d r = s. Ketika p = d dan r = b, maka a b ± c d = a d ± c d b d.
• Saat mengalikan pecahan, tindakan dilakukan dengan pembilang, setelah itu dengan penyebut, maka kita mendapatkan a b c d \u003d a c b d, di mana a, b 0, c, d 0 bertindak sebagai bilangan real.
• Saat membagi pecahan dengan pecahan, kami mengalikan yang pertama dengan kebalikan kedua, yaitu, kami menukar pembilang dan penyebut: a b: c d \u003d a b d c.

Alasan untuk aturan

Definisi 2

Ada poin matematika berikut yang harus Anda andalkan saat menghitung:

• batang pecahan berarti tanda pembagian;
• pembagian dengan angka diperlakukan sebagai perkalian dengan kebalikannya;
• penerapan properti tindakan dengan bilangan real;
• penerapan sifat dasar pecahan dan pertidaksamaan numerik.

Dengan bantuan mereka, Anda dapat membuat transformasi bentuk:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c rs ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

Contoh

Pada paragraf sebelumnya, dikatakan tentang tindakan dengan pecahan. Setelah itu pecahan perlu disederhanakan. Topik ini telah dibahas secara rinci di bagian konversi pecahan.

Pertama, perhatikan contoh penjumlahan dan pengurangan pecahan berpenyebut sama.

Contoh 1

Diberikan pecahan 8 2 , 7 dan 1 2 , 7 , maka menurut aturan perlu dijumlahkan pembilangnya dan ditulis ulang penyebutnya.

Keputusan

Kemudian kita mendapatkan pecahan dalam bentuk 8 + 1 2 , 7 . Setelah melakukan penjumlahan, kita mendapatkan pecahan berbentuk 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Jadi 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Menjawab: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Ada cara lain untuk menyelesaikannya. Pertama-tama, transisi dibuat ke bentuk pecahan biasa, setelah itu kami melakukan penyederhanaan. Ini terlihat seperti ini:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Contoh 2

Mari kita kurangi pecahan 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 dari bentuk 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

Karena penyebut yang sama diberikan, itu berarti bahwa kita menghitung pecahan dengan penyebut yang sama. Kami mengerti

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Ada beberapa contoh menghitung pecahan dengan penyebut yang berbeda. Poin penting adalah pengurangan ke penyebut yang sama. Tanpa ini, kita tidak akan dapat melakukan tindakan lebih lanjut dengan pecahan.

Prosesnya dari jarak jauh mengingatkan pada pengurangan menjadi penyebut yang sama. Artinya, pencarian dilakukan untuk pembagi persekutuan terkecil dalam penyebut, setelah itu faktor-faktor yang hilang ditambahkan ke pecahan.

Jika pecahan yang ditambahkan tidak memiliki faktor persekutuan, maka perkaliannya dapat menjadi satu.

Contoh 3

Perhatikan contoh penjumlahan pecahan 2 3 5 + 1 dan 1 2 .

Keputusan

Dalam hal ini, penyebut yang sama adalah produk dari penyebut. Kemudian kita dapatkan bahwa 2 · 3 5 + 1 . Kemudian, saat menetapkan faktor tambahan, kami memiliki bahwa ke pecahan pertama sama dengan 2, dan ke yang kedua 3 5 + 1. Setelah perkalian, pecahan direduksi menjadi bentuk 4 2 3 5 + 1. Pemeran umum 1 2 akan menjadi 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Kami menambahkan ekspresi pecahan yang dihasilkan dan mendapatkan itu

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Menjawab: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Ketika kita berurusan dengan pecahan dari bentuk umum, maka penyebut terkecil biasanya tidak demikian. Tidak menguntungkan untuk mengambil produk dari pembilang sebagai penyebut. Pertama, Anda perlu memeriksa apakah ada nomor yang nilainya kurang dari produk mereka.

Contoh 4

Perhatikan contoh 1 6 2 1 5 dan 1 4 2 3 5 ketika produk mereka sama dengan 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . Kemudian kita ambil 12 · 2 3 5 sebagai penyebut yang sama.

Perhatikan contoh perkalian pecahan dari bentuk umum.

Contoh 5

Untuk melakukan ini, perlu mengalikan 2 + 1 6 dan 2 · 5 3 · 2 + 1.

Keputusan

Mengikuti aturan, perlu untuk menulis ulang dan menulis produk pembilang sebagai penyebut. Kami mendapatkan bahwa 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Ketika pecahan dikalikan, pengurangan dapat dilakukan untuk menyederhanakannya. Kemudian 5 3 3 2 + 1 : 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Menggunakan aturan transisi dari pembagian ke perkalian dengan timbal balik, kita mendapatkan kebalikan dari yang diberikan. Untuk melakukan ini, pembilang dan penyebut dibalik. Mari kita lihat sebuah contoh:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Setelah itu, mereka harus melakukan perkalian dan menyederhanakan pecahan yang dihasilkan. Jika perlu, singkirkan irasionalitas dalam penyebut. Kami mengerti

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Menjawab: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Paragraf ini berlaku ketika angka atau ekspresi numerik dapat direpresentasikan sebagai pecahan dengan penyebut sama dengan 1, maka operasi dengan pecahan tersebut dianggap sebagai paragraf terpisah. Misalnya, ekspresi 1 6 7 4 - 1 3 menunjukkan bahwa akar dari 3 dapat diganti dengan ekspresi 3 1 lainnya. Maka catatan ini akan terlihat seperti perkalian dua pecahan dengan bentuk 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 .

Melakukan tindakan dengan pecahan yang mengandung variabel

Aturan yang dibahas dalam artikel pertama berlaku untuk operasi dengan pecahan yang mengandung variabel. Perhatikan aturan pengurangan jika penyebutnya sama.

Perlu dibuktikan bahwa A , C dan D (D tidak sama dengan nol) dapat berupa ekspresi apa pun, dan persamaan A D ± C D = A ± C D setara dengan rentang nilai validnya.

Hal ini diperlukan untuk mengambil satu set variabel ODZ. Kemudian A, C, D harus mengambil nilai yang sesuai a 0 , c 0 dan d0. Substitusi bentuk A D ± C D menghasilkan perbedaan bentuk a 0 d 0 ± c 0 d 0 , dimana, menurut aturan penjumlahan, kita memperoleh rumus bentuk a 0 ± c 0 d 0 . Jika kita mengganti ekspresi A ± C D , maka kita mendapatkan pecahan yang sama dalam bentuk a 0 ± c 0 d 0 . Dari sini kami menyimpulkan bahwa nilai terpilih yang memenuhi ODZ, A ± C D dan A D ± C D dianggap sama.

Untuk setiap nilai variabel, ekspresi ini akan sama, yaitu, mereka disebut identik sama. Ini berarti bahwa ekspresi ini dianggap sebagai persamaan yang dapat dibuktikan dari bentuk A D ± C D = A ± C D .

Contoh penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan variabel

Jika penyebutnya sama, maka pembilangnya hanya perlu dijumlahkan atau dikurangi. Pecahan ini dapat disederhanakan. Terkadang Anda harus bekerja dengan pecahan yang identik sama, tetapi pada pandangan pertama ini tidak terlihat, karena beberapa transformasi harus dilakukan. Misalnya, x 2 3 x 1 3 + 1 dan x 1 3 + 1 2 atau 1 2 sin 2 dan sin a cos a. Paling sering, penyederhanaan ekspresi asli diperlukan untuk melihat penyebut yang sama.

Contoh 6

Hitung: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 +xx+1 .

Keputusan

1. Untuk membuat perhitungan, Anda perlu mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama. Kemudian kita dapatkan bahwa x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Setelah itu, Anda dapat membuka tanda kurung dengan pengurangan istilah serupa. Kita peroleh bahwa x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Karena penyebutnya sama, pembilangnya tinggal dijumlahkan, sehingga penyebutnya: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Penambahan telah selesai. Dapat dilihat bahwa fraksi dapat dikurangi. Pembilangnya dapat dilipat menggunakan rumus jumlah kuadrat, maka kita peroleh (l g x + 2) 2 dari rumus perkalian yang disingkat. Kemudian kita mendapatkan itu
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Diberikan pecahan berbentuk x - 1 x - 1 + x x + 1 dengan penyebut yang berbeda. Setelah transformasi, Anda dapat melanjutkan ke penjumlahan.

Mari kita pertimbangkan solusi dua arah.

Metode pertama adalah bahwa penyebut pecahan pertama dikenai faktorisasi menggunakan kuadrat, dan dengan pengurangan berikutnya. Kami mendapatkan sebagian kecil dari bentuk

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Jadi x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Dalam hal ini, perlu untuk menghilangkan irasionalitas dalam penyebut.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Cara kedua adalah mengalikan pembilang dan penyebut pecahan kedua dengan x-1. Jadi, kita singkirkan irasionalitas dan lanjutkan ke penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama. Kemudian

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Menjawab: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

Dalam contoh terakhir, kami menemukan bahwa pengurangan ke penyebut yang sama tidak dapat dihindari. Untuk melakukan ini, Anda perlu menyederhanakan pecahan. Untuk menambah atau mengurangi, Anda selalu perlu mencari penyebut yang sama, yang terlihat seperti produk dari penyebut dengan penambahan faktor tambahan ke pembilangnya.

Contoh 7

Hitung nilai pecahan: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Keputusan

1. Penyebut tidak memerlukan perhitungan yang rumit, jadi Anda harus memilih produk mereka dalam bentuk 3 x 7 + 2 2, kemudian ke pecahan pertama x 7 + 2 2 dipilih sebagai faktor tambahan, dan 3 ke yang kedua. Saat mengalikan, kita mendapatkan pecahan dalam bentuk x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Dapat dilihat bahwa penyebut disajikan sebagai produk, yang berarti bahwa transformasi tambahan tidak diperlukan. Penyebut yang sama akan menjadi produk dari bentuk x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Dari sini x 4 adalah faktor tambahan untuk pecahan pertama, dan ln (x + 1) ke yang kedua. Kemudian kita kurangi dan dapatkan:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. Contoh ini masuk akal ketika bekerja dengan penyebut pecahan. Penting untuk menerapkan rumus untuk perbedaan kuadrat dan kuadrat jumlah, karena mereka akan memungkinkan untuk beralih ke ekspresi bentuk 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . Dapat dilihat bahwa pecahan direduksi menjadi penyebut yang sama. Kami mendapatkan bahwa cos x - x cos x + x 2 .

Kemudian kita mendapatkan itu

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

Menjawab:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Contoh perkalian pecahan dengan variabel

Dalam perkalian pecahan, pembilangnya dikalikan dengan pembilangnya dan penyebutnya dikalikan dengan penyebutnya. Kemudian Anda dapat menerapkan properti reduksi.

Contoh 8

Kalikan pecahan x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 dan 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Keputusan

Anda perlu melakukan perkalian. Kami mengerti

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 dosa (2 x - x)

Angka 3 dipindahkan ke tempat pertama untuk kenyamanan perhitungan, dan Anda dapat mengurangi pecahan dengan x 2, maka kami mendapatkan ekspresi formulir

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Menjawab: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x) .

Divisi

Pembagian pecahan mirip dengan perkalian, karena pecahan pertama dikalikan dengan kebalikan kedua. Jika kita ambil, misalnya, pecahan x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 dan dibagi dengan 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, maka ini dapat ditulis sebagai

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , kemudian ganti dengan hasil kali bentuk x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 dosa (2 x - x)

Eksponen

Mari kita lanjutkan untuk mempertimbangkan aksi dengan pecahan bentuk umum dengan eksponensial. Jika ada derajat dengan eksponen alami, maka tindakan tersebut dianggap sebagai perkalian pecahan identik. Tetapi disarankan untuk menggunakan pendekatan umum berdasarkan sifat-sifat kekuatan. Setiap ekspresi A dan C, di mana C tidak identik sama dengan nol, dan setiap r nyata pada ODZ untuk ekspresi bentuk A C r, persamaan A C r = A r C r adalah benar. Hasilnya adalah pecahan yang dipangkatkan. Misalnya, pertimbangkan:

x 0, 7 - ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0, 7 - ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Urutan operasi pecahan

Tindakan pada pecahan dilakukan sesuai dengan aturan tertentu. Dalam praktiknya, kita melihat bahwa suatu ekspresi dapat berisi beberapa pecahan atau ekspresi pecahan. Maka perlu untuk melakukan semua tindakan dalam urutan yang ketat: menaikkan pangkat, mengalikan, membagi, lalu menambah dan mengurangi. Jika ada tanda kurung, tindakan pertama dilakukan di dalamnya.

Contoh 9

Hitung 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Keputusan

Karena kita memiliki penyebut yang sama, maka 1 - x cos x dan 1 c o s x , tetapi tidak mungkin untuk mengurangi menurut aturan, pertama tindakan dalam tanda kurung dilakukan, setelah itu perkalian, dan kemudian penambahan. Kemudian, saat menghitung, kita mendapatkan itu

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Saat mengganti ekspresi ke dalam ekspresi aslinya, kita mendapatkan bahwa 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Saat mengalikan pecahan, kita memiliki: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Setelah melakukan semua substitusi, kita mendapatkan 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Sekarang Anda perlu bekerja dengan pecahan yang memiliki penyebut berbeda. Kita mendapatkan:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Menjawab: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Petunjuk

Pengurangan menjadi penyebut yang sama.

Biarkan pecahan a/b dan c/d diberikan.

Pembilang dan penyebut pecahan pertama dikalikan KPK / b

Pembilang dan penyebut pecahan kedua dikalikan KPK/d

Contoh ditunjukkan pada gambar.

Untuk membandingkan pecahan, mereka harus memiliki penyebut yang sama, lalu membandingkan pembilangnya. Misalnya, 3/4< 4/5, см. .

Penjumlahan dan pengurangan pecahan.

Untuk menemukan jumlah dua pecahan biasa, mereka harus direduksi menjadi penyebut yang sama, dan kemudian menambahkan pembilangnya, penyebutnya tidak berubah. Contoh penjumlahan pecahan 1/2 dan 1/3 ditunjukkan pada gambar.

Perbedaan pecahan ditemukan dengan cara yang sama, setelah menemukan penyebut yang sama, pembilang dari pecahan dikurangi, lihat gambar.

Saat mengalikan pecahan biasa, pembilang dan penyebutnya dikalikan bersama.

Untuk membagi dua pecahan, Anda memerlukan pecahan dari pecahan kedua, mis. ubah pembilang dan penyebutnya, lalu kalikan pecahan yang dihasilkan.

Video Terkait

Sumber:

• pecahan kelas 5 dengan contoh
• Tugas dasar untuk pecahan

Modul mewakili nilai absolut dari ekspresi. Tanda kurung digunakan untuk menandai modul. Nilai-nilai yang terkandung di dalamnya diambil modulo. Solusi dari modul ini adalah membuka tanda kurung sesuai dengan aturan tertentu dan menemukan himpunan nilai ekspresi. Dalam kebanyakan kasus, modul diperluas sedemikian rupa sehingga ekspresi submodul mengambil serangkaian nilai positif dan negatif, termasuk nol. Berdasarkan properti modul ini, persamaan dan ketidaksetaraan lebih lanjut dari ekspresi asli dikompilasi dan diselesaikan.

Petunjuk

Tuliskan persamaan awal dengan . Untuk itu, buka modul. Pertimbangkan setiap ekspresi submodul. Tentukan pada nilai apa dari jumlah yang tidak diketahui termasuk di dalamnya, ekspresi dalam kurung modular menghilang.

Untuk melakukan ini, samakan ekspresi submodul menjadi nol dan temukan persamaan yang dihasilkan. Tuliskan nilai yang ditemukan. Dengan cara yang sama, tentukan nilai variabel yang tidak diketahui untuk setiap modulus dalam persamaan yang diberikan.

Gambar garis bilangan dan plot nilai yang dihasilkan di atasnya. Nilai variabel dalam modul nol akan menjadi kendala dalam menyelesaikan persamaan modular.

Dalam persamaan asli, Anda perlu memperluas yang modular, mengubah tanda sehingga nilai variabel sesuai dengan yang ditampilkan pada garis bilangan. Selesaikan persamaan yang dihasilkan. Periksa nilai variabel yang ditemukan terhadap batasan yang ditetapkan oleh modul. Jika solusi memenuhi kondisi, itu benar. Akar yang tidak memenuhi batasan harus dibuang.

Demikian pula, perluas modul ekspresi asli, dengan mempertimbangkan tanda, dan hitung akar persamaan yang dihasilkan. Tuliskan semua akar yang diperoleh yang memenuhi pertidaksamaan kendala.

Bilangan pecahan memungkinkan Anda untuk menyatakan nilai tepat suatu besaran dengan cara yang berbeda. Dengan pecahan, Anda dapat melakukan operasi matematika yang sama dengan bilangan bulat: pengurangan, penambahan, perkalian, dan pembagian. Untuk mempelajari cara memutuskan pecahan, perlu untuk mengingat beberapa fitur mereka. Mereka tergantung pada jenisnya pecahan, kehadiran bagian bilangan bulat, penyebut yang sama. Beberapa operasi aritmatika setelah eksekusi memerlukan pengurangan bagian pecahan dari hasil.

Anda akan perlu

• - Kalkulator

Petunjuk

Perhatikan baik-baik angkanya. Jika ada desimal dan tidak beraturan di antara pecahan, terkadang lebih mudah untuk melakukan tindakan dengan desimal terlebih dahulu, dan kemudian mengubahnya menjadi bentuk yang salah. Bisakah kamu menerjemahkan? pecahan dalam bentuk ini awalnya, menulis nilai setelah titik desimal di pembilang dan menempatkan 10 di penyebut. Jika perlu, kurangi pecahan dengan membagi angka di atas dan di bawah dengan satu pembagi. Pecahan di mana seluruh bagian menonjol, mengarah ke bentuk yang salah dengan mengalikannya dengan penyebut dan menambahkan pembilang ke hasilnya. Nilai ini akan menjadi pembilang baru pecahan. Untuk mengekstrak seluruh bagian dari yang awalnya salah pecahan, bagi pembilang dengan penyebut. Tulis seluruh hasil dari pecahan. Dan sisa pembagian menjadi pembilang baru, penyebut pecahan sementara tidak berubah. Untuk pecahan dengan bagian bilangan bulat, dimungkinkan untuk melakukan tindakan secara terpisah, pertama untuk bilangan bulat dan kemudian untuk bagian pecahan. Misalnya, jumlah 1 2/3 dan 2 dapat dihitung:
- Mengubah pecahan ke bentuk yang salah:
- 1 2/3 + 2 = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Penjumlahan secara terpisah dari bagian bilangan bulat dan pecahan:
- 1 2/3 + 2 = (1+2) + (2/3 + ) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Untuk dengan nilai di bawah garis, temukan penyebut yang sama. Misalnya, untuk 5/9 dan 7/12, penyebutnya adalah 36. Untuk ini, pembilang dan penyebut dari yang pertama pecahan anda perlu mengalikan dengan 4 (akan menjadi 28/36), dan yang kedua - dengan 3 (akan menjadi 15/36). Sekarang Anda dapat melakukan perhitungan.

Jika Anda akan menghitung jumlah atau selisih pecahan, pertama-tama tuliskan penyebut yang sama di bawah garis. Lakukan tindakan yang diperlukan antara pembilang, dan tulis hasilnya di atas baris baru pecahan. Dengan demikian, pembilang barunya adalah selisih atau jumlah pembilang dari pecahan semula.

Untuk menghitung produk pecahan, kalikan pembilang pecahan dan tulis hasilnya sebagai pengganti pembilang akhir pecahan. Lakukan hal yang sama untuk penyebutnya. Saat membagi satu pecahan tulis satu pecahan di pecahan lainnya, lalu kalikan pembilangnya dengan penyebut pecahan kedua. Pada saat yang sama, penyebut yang pertama pecahan dikalikan dengan pembilang detik. Pada saat yang sama, semacam pembalikan detik pecahan(pembagi). Pecahan terakhir adalah hasil perkalian pembilang dan penyebut kedua pecahan. Mudah untuk dipelajari pecahan, ditulis dalam kondisi dalam bentuk "berlantai empat" pecahan. Jika itu memisahkan dua pecahan, tulis ulang dengan pembatas ":", dan lanjutkan dengan pembagian normal.

Untuk mendapatkan hasil akhir, kurangi pecahan yang dihasilkan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan satu bilangan bulat, yang terbesar dalam hal ini. Dalam hal ini, harus ada bilangan bulat di atas dan di bawah garis.

catatan

Jangan melakukan aritmatika dengan pecahan yang penyebutnya berbeda. Pilih suatu bilangan sedemikian rupa sehingga bila pembilang dan penyebut setiap pecahan dikalikan, maka penyebut kedua pecahan tersebut adalah sama.

Saran yang bermanfaat

Saat menulis angka pecahan, dividen ditulis di atas garis. Besaran ini disebut pembilang pecahan. Di bawah garis, pembagi, atau penyebut, dari pecahan ditulis. Misalnya, satu setengah kilogram beras dalam bentuk pecahan akan ditulis sebagai berikut: 1 kg beras. Jika penyebut suatu pecahan adalah 10, maka disebut pecahan desimal. Dalam hal ini, pembilang (dividen) ditulis di sebelah kanan seluruh bagian dipisahkan dengan koma: 1,5 kg beras. Untuk memudahkan perhitungan, pecahan seperti itu selalu dapat ditulis dalam bentuk yang salah: 1 2/10 kg kentang. Untuk menyederhanakan, Anda dapat mengurangi nilai pembilang dan penyebut dengan membaginya dengan satu bilangan bulat. Dalam contoh ini, pembagian dengan 2. Hasilnya adalah 1 1/5 kg kentang. Pastikan bahwa angka-angka yang akan Anda gunakan untuk melakukan aritmatika memiliki bentuk yang sama.

Petunjuk

Klik sekali pada item menu "Sisipkan", lalu pilih item "Simbol". Ini adalah salah satu cara termudah untuk memasukkan pecahan untuk mengirim pesan. Ini terdiri sebagai berikut. Set karakter siap memiliki pecahan. Jumlah mereka biasanya kecil, tetapi jika Anda perlu menulis , bukan 1/2 dalam teks, maka opsi ini akan menjadi yang terbaik untuk Anda. Selain itu, jumlah karakter pecahan mungkin bergantung pada font. Misalnya, untuk font Times New Roman, ada fraksi yang sedikit lebih sedikit daripada Arial yang sama. Variasikan font untuk menemukan opsi terbaik dalam hal ekspresi sederhana.

Klik pada item menu "Sisipkan" dan pilih sub-item "Objek". Anda akan melihat jendela dengan daftar objek yang memungkinkan untuk dimasukkan. Pilih di antara mereka Microsoft Persamaan 3.0. Aplikasi ini akan membantu Anda mengetik pecahan. Dan tidak hanya pecahan, tetapi juga ekspresi matematika kompleks yang berisi berbagai fungsi trigonometri dan elemen lainnya. Klik dua kali pada objek ini dengan tombol kiri mouse. Anda akan melihat jendela yang berisi banyak simbol.

Untuk mencetak pecahan, pilih simbol yang mewakili pecahan dengan pembilang dan penyebut kosong. Klik sekali dengan tombol kiri mouse. Menu tambahan akan muncul, menentukan skema pecahan. Mungkin ada beberapa opsi. Pilih yang paling cocok untuk Anda dan klik sekali dengan tombol kiri mouse.

Tindakan dengan pecahan. Pada artikel ini, kami akan menganalisis contoh, semuanya terperinci dengan penjelasan. Kami akan mempertimbangkan pecahan biasa. Di masa depan, kami akan menganalisis desimal. Saya sarankan untuk menonton secara keseluruhan dan belajar secara berurutan.

1. Jumlah pecahan, selisih pecahan.

Aturan: ketika menambahkan pecahan dengan penyebut yang sama, hasilnya adalah pecahan - penyebutnya tetap sama, dan pembilangnya akan sama dengan jumlah pembilang pecahan.

Aturan: ketika menghitung selisih pecahan dengan penyebut yang sama, kami mendapatkan pecahan - penyebutnya tetap sama, dan pembilang kedua dikurangi dari pembilang pecahan pertama.

Notasi formal jumlah dan selisih pecahan yang penyebutnya sama:

Contoh (1):

Jelas bahwa ketika pecahan biasa diberikan, maka semuanya sederhana, tetapi jika dicampur? Tidak ada yang rumit...

Pilihan 1- Anda dapat mengubahnya menjadi yang biasa dan kemudian menghitungnya.

pilihan 2- Anda dapat "bekerja" secara terpisah dengan bagian bilangan bulat dan pecahan.

Contoh (2):

Lagi:

Dan jika selisih dua pecahan campuran diberikan dan pembilang pecahan pertama lebih kecil dari pembilang kedua? Bisa juga dengan dua cara.

Contoh (3):

* Diterjemahkan ke dalam pecahan biasa, hitung selisihnya, ubah pecahan biasa yang dihasilkan menjadi pecahan campuran.

* Dibagi menjadi bagian bilangan bulat dan pecahan, didapat tiga, kemudian disajikan 3 sebagai jumlah dari 2 dan 1, dengan unit yang disajikan sebagai 11/11, kemudian temukan perbedaan antara 11/11 dan 7/11 dan hitung hasilnya. Arti dari transformasi di atas adalah mengambil (memilih) suatu satuan dan menyajikannya sebagai pecahan dengan penyebut yang kita butuhkan, kemudian dari pecahan ini kita sudah dapat mengurangi yang lain.

Contoh lain:

Kesimpulan: ada pendekatan universal - untuk menghitung jumlah (selisih) pecahan campuran dengan penyebut yang sama, mereka selalu dapat dikonversi menjadi yang tidak tepat, kemudian melakukan tindakan yang diperlukan. Setelah itu, jika hasilnya kita mendapatkan pecahan biasa, kita terjemahkan ke dalam pecahan campuran.

Di atas, kita melihat contoh pecahan yang penyebutnya sama. Bagaimana jika penyebutnya berbeda? Dalam hal ini, pecahan direduksi menjadi penyebut yang sama dan tindakan yang ditentukan dilakukan. Untuk mengubah (mengubah) pecahan, digunakan sifat utama pecahan.

Pertimbangkan contoh sederhana:

Dalam contoh ini, kita langsung melihat bagaimana salah satu pecahan dapat dikonversi untuk mendapatkan penyebut yang sama.

Jika kita menentukan cara untuk mengurangi pecahan menjadi satu penyebut, maka yang ini akan disebut METODE SATU.

Artinya, segera ketika "mengevaluasi" pecahan, Anda perlu mencari tahu apakah pendekatan seperti itu akan berhasil - kami memeriksa apakah penyebut yang lebih besar dapat dibagi dengan yang lebih kecil. Dan jika dibagi, maka kita melakukan transformasi - kita mengalikan pembilang dan penyebutnya sehingga penyebut kedua pecahan menjadi sama.

Sekarang lihat contoh-contoh ini:

Pendekatan ini tidak berlaku untuk mereka. Ada cara lain untuk mengurangi pecahan ke penyebut yang sama, pertimbangkan mereka.

Metode KEDUA.

Kalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut kedua, dan pembilang dan penyebut pecahan kedua dengan penyebut pertama:

*Faktanya, kita akan mengubah bentuk pecahan jika penyebutnya sama. Selanjutnya, kita menggunakan aturan penjumlahan malu-malu dengan penyebut yang sama.

Contoh:

*Metode ini bisa disebut universal, dan selalu berhasil. Satu-satunya negatif adalah bahwa setelah perhitungan, mungkin ada pecahan yang perlu dikurangi lebih lanjut.

Pertimbangkan sebuah contoh:

Terlihat bahwa pembilang dan penyebutnya habis dibagi 5:

Metode KETIGA.

Temukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari penyebutnya. Ini akan menjadi penyebut yang sama. Nomor apa ini? Ini adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi masing-masing bilangan.

Lihat, ini ada dua angka: 3 dan 4, ada banyak angka yang habis dibagi - ini adalah 12, 24, 36, ... Yang terkecil adalah 12. Atau 6 dan 15, 30, 60, 90 adalah dibagi oleh mereka .... Terkecil 30. Pertanyaan - bagaimana menentukan kelipatan persekutuan terkecil ini?

Ada algoritma yang jelas, tetapi seringkali ini dapat dilakukan segera tanpa perhitungan. Misalnya, sesuai dengan contoh di atas (3 dan 4, 6 dan 15), tidak diperlukan algoritma, kami mengambil angka besar (4 dan 15), menggandakannya dan melihat bahwa mereka dapat dibagi dengan angka kedua, tetapi pasangan angka bisa yang lain, seperti 51 dan 119.

Algoritma. Untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan, Anda harus:

- dekomposisi setiap angka menjadi faktor SEDERHANA

- tuliskan dekomposisi LEBIH BESAR dari mereka

- kalikan dengan faktor HILANG dari angka lain

Pertimbangkan contoh:

50 dan 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

dalam perluasan jumlah yang lebih besar, satu lima hilang

=> KPK(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 dan 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

dalam perluasan jumlah yang lebih besar, dua dan tiga hilang

=> KPK(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan prima sama dengan perkaliannya

Pertanyaan! Dan mengapa berguna untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil, karena Anda dapat menggunakan metode kedua dan cukup mengurangi pecahan yang dihasilkan? Ya, Anda bisa, tetapi itu tidak selalu nyaman. Lihat apa penyebut untuk angka 48 dan 72 jika Anda cukup mengalikannya 48∙72 = 3456. Setuju bahwa lebih menyenangkan untuk bekerja dengan angka yang lebih kecil.

Pertimbangkan contoh:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

dalam perluasan angka yang lebih besar, tiga kali lipat hilang

=> KPK(51,119) = 3∙7∙17

Dan sekarang kita terapkan cara pertama:

* Lihatlah perbedaan dalam perhitungan, dalam kasus pertama ada minimum, dan yang kedua Anda harus bekerja secara terpisah pada selembar kertas, dan bahkan pecahan yang Anda dapatkan perlu dikurangi. Menemukan KPK sangat menyederhanakan pekerjaan.

Contoh lainnya:

* Pada contoh kedua, sudah jelas bahwa bilangan terkecil yang habis dibagi 40 dan 60 adalah 120.

TOTAL! ALGORITMA PERHITUNGAN UMUM!

- kami membawa pecahan ke pecahan biasa, jika ada bagian bilangan bulat.

- kita membawa pecahan ke penyebut yang sama (pertama kita melihat untuk melihat apakah satu penyebut habis dibagi dengan yang lain, jika itu habis dibagi, maka kita kalikan pembilang dan penyebut dari pecahan lain ini; jika tidak habis dibagi, kita bertindak menggunakan metode lain yang ditunjukkan di atas).

- setelah menerima pecahan dengan penyebut yang sama, kami melakukan tindakan (penambahan, pengurangan).

- jika perlu, kami mengurangi hasilnya.

- jika perlu, pilih seluruh bagian.

2. Hasil kali pecahan.

Aturannya sederhana. Saat mengalikan pecahan, pembilang dan penyebutnya dikalikan:

Contoh: