Di antara semua segitiga, ada dua jenis khusus: segitiga siku-siku dan segitiga sama kaki. Mengapa jenis segitiga ini begitu istimewa? Nah, pertama, segitiga seperti itu sangat sering menjadi aktor utama dalam tugas-tugas Unified State Examination bagian pertama. Dan kedua, masalah tentang segitiga siku-siku dan segitiga sama kaki jauh lebih mudah diselesaikan daripada masalah geometri lainnya. Anda hanya perlu mengetahui beberapa aturan dan properti. Semua yang paling menarik dibahas dalam topik yang sesuai, dan sekarang kita akan mempertimbangkan segitiga sama kaki. Dan pertama-tama, apa itu segitiga sama kaki. Atau, seperti yang dikatakan ahli matematika, apa definisi segitiga sama kaki?
Lihat seperti apa:
Seperti segitiga siku-siku, segitiga sama kaki memiliki nama khusus untuk sisi-sisinya. Dua sisi yang sama panjang disebut sisi, dan pihak ketiga dasar.
Dan sekali lagi, lihat gambarnya:
Tentu saja bisa seperti ini:
Jadi berhati-hatilah: sisi lateral - salah satu dari dua sisi yang sama dalam segitiga sama kaki, dan dasarnya adalah pihak ketiga.
Mengapa segitiga sama kaki begitu bagus? Untuk memahami ini, mari menggambar ketinggian ke alasnya. Apakah Anda ingat berapa ketinggian?
Apa yang terjadi? Dari satu segitiga sama kaki, ternyata dua segitiga siku-siku.
Ini sudah bagus, tetapi ini akan terjadi di segitiga mana pun yang paling "miring".
Apa perbedaan antara gambar untuk segitiga sama kaki? Lihat lagi:
Yah, pertama, tentu saja, tidak cukup bagi matematikawan aneh ini untuk sekadar melihat - mereka pasti harus membuktikannya. Dan kemudian tiba-tiba segitiga ini sedikit berbeda, dan kami akan menganggapnya sama.
Tapi jangan khawatir: dalam hal ini, membuktikan hampir semudah melihat.
Haruskah kita mulai? Perhatikan baik-baik, kami memiliki:
Dan maka dari itu,! Mengapa? Ya, kami hanya menemukan dan, dan dari teorema Pythagoras (mengingat pada saat yang sama bahwa)
Apa kamu yakin? Nah, sekarang kita punya
Dan di tiga sisi - tanda (ketiga) termudah dari persamaan segitiga.
Nah, segitiga sama kaki kita dibagi menjadi dua persegi panjang yang identik.
Lihat betapa menariknya? Ternyata:
Bagaimana kebiasaan para ahli matematika untuk membicarakan hal ini? Mari kita pergi secara berurutan:
(Kita ingat di sini bahwa median adalah garis yang ditarik dari titik yang membagi dua sisi, dan garis bagi adalah sudut.)
Nah, di sini kita membahas apa yang baik dapat dilihat jika diberikan segitiga sama kaki. Kami telah menyimpulkan bahwa dalam segitiga sama kaki, sudut di alasnya sama, dan tinggi, garis bagi, dan median yang ditarik ke alasnya sama.
Dan sekarang muncul pertanyaan lain: bagaimana mengenali segitiga sama kaki? Artinya, seperti yang dikatakan ahli matematika, apa yang tanda-tanda segitiga sama kaki?
Dan ternyata Anda hanya perlu "memutar" semua pernyataan sebaliknya. Ini, tentu saja, tidak selalu terjadi, tetapi segitiga sama kaki masih merupakan hal yang hebat! Apa yang terjadi setelah "pembalikan"?
Nah lihat di sini:
Jika tinggi dan median sama, maka:
Jika tinggi dan garis bagi sama, maka: 
Jika garis bagi dan median sama, maka:
Nah, jangan lupa dan gunakan:
- Jika sebuah segitiga sama kaki diberikan, jangan ragu untuk menggambar ketinggian, dapatkan dua segitiga siku-siku dan selesaikan masalah tentang segitiga siku-siku.
- Jika diberikan itu dua sudut sama besar, maka segitiga tepat sama kaki dan Anda dapat menggambar ketinggian dan .... (Rumah yang dibangun Jack ...).
- Jika ternyata tingginya dibagi dua oleh sisi, maka segitiga itu sama kaki dengan semua bonus berikutnya.
- Jika ternyata ketinggian membagi sudut ke lantai - juga sama kaki!
- Jika garis bagi membagi sisi menjadi dua atau median - sudut, maka ini juga terjadi hanya dalam segitiga sama kaki
Mari kita lihat bagaimana tampilannya dalam tugas.
Tugas 1(yang paling sederhana)
Dalam segitiga, sisi-sisinya sama besar, a. Mencari.
Kami memutuskan:
Pertama menggambar.
Apa dasarnya di sini? Tentu, .
Kita ingat bahwa jika, maka dan.
Gambar yang diperbarui:
Mari kita tentukan untuk. Berapa jumlah sudut segitiga? ?
Kita gunakan:
itu menjawab: .
Mudah, bukan? Aku bahkan tidak harus pergi tinggi.
Tugas 2(Juga tidak terlalu rumit, tetapi Anda perlu mengulangi temanya)
Dalam segitiga, Mencari.
Kami memutuskan:
Segitiga itu sama kaki! Kami menggambar ketinggian (ini adalah fokusnya, dengan bantuan yang semuanya akan diputuskan sekarang).
Sekarang "kami hapus dari kehidupan", kami hanya akan mempertimbangkan.
Jadi, di dalam kita memiliki:
Kami mengingat nilai tabular cosinus (baik, atau lihat lembar contekan ...)
Masih menemukan: .
Menjawab: .
Perhatikan bahwa kita di sini sangat diperlukan pengetahuan tentang segitiga siku-siku dan "tabular" sinus dan cosinus. Sangat sering ini terjadi: topik, "Segitiga Sama Kaki" dan teka-teki masuk dalam bundel, tetapi mereka tidak terlalu bersahabat dengan topik lain.
Segitiga sama kaki. tingkat menengah.
Ini dua sisi yang sama ditelepon sisi, sebuah sisi ketiga adalah alas segitiga sama kaki.
Perhatikan gambar: dan - sisi-sisinya, - alas segitiga sama kaki.
Mari kita lihat dalam satu gambar mengapa demikian. Gambarlah ketinggian dari suatu titik.
Ini berarti bahwa semua elemen yang bersesuaian adalah sama.
Semuanya! Dalam satu gerakan (tinggi) semua pernyataan terbukti sekaligus.
Dan Anda ingat: untuk memecahkan masalah segitiga sama kaki, seringkali sangat berguna untuk menurunkan tinggi ke dasar segitiga sama kaki dan membaginya menjadi dua segitiga siku-siku yang sama.
Tanda-tanda segitiga sama kaki
Pernyataan sebaliknya juga benar:
Hampir semua pernyataan ini dapat dibuktikan lagi "dalam satu gerakan".
1. Jadi, misalkan v sama dengan dan.
Mari kita ambil ketinggiannya. Kemudian
2. a) Sekarang biarkan dalam beberapa segitiga tinggi dan garis bagi yang sama.
2. b) Dan jika tinggi dan mediannya sama? Semuanya hampir sama, tidak ada yang lebih rumit!
 |
- dengan dua kaki |
2. c) Tetapi jika tidak ada ketinggian, yang diturunkan ke dasar segitiga sama kaki, maka tidak ada segitiga siku-siku awalnya. Dengan buruk!
Tetapi ada jalan keluar - bacalah di teori tingkat berikutnya, karena buktinya lebih rumit di sini, tetapi untuk saat ini ingatlah bahwa jika median dan garis bagi bertepatan, maka segitiga juga akan sama kaki, dan tingginya akan masih bertepatan dengan garis-bagi dan median ini.
Untuk meringkas:
- Jika segitiga sama kaki, maka sudut alasnya sama besar, dan tinggi, garis bagi, dan median yang ditarik ke alas adalah sama.
- Jika dalam suatu segitiga terdapat dua sudut yang sama besar, atau dua dari tiga garis (garis bagi, median, tinggi) bertepatan, maka segitiga tersebut adalah sama kaki.
Segitiga sama kaki. Deskripsi singkat dan rumus dasar
Segitiga sama kaki adalah segitiga yang memiliki dua sisi yang sama panjang.
Tanda-tanda segitiga sama kaki:
- Jika sebuah segitiga memiliki dua sudut yang sama besar, maka segitiga tersebut sama kaki.
- Jika dalam beberapa segitiga bertepatan:
sebuah) tinggi dan garis bagi atau
b) tinggi dan median atau
di) median dan garis bagi,
ditarik ke satu sisi, maka segitiga tersebut adalah sama kaki.
2/3 ARTIKEL SISA HANYA TERSEDIA UNTUK SISWA KAMU!
Menjadi siswa YouClever,
Siapkan OGE atau GUNAKAN dalam matematika dengan harga "secangkir kopi per bulan",
Dan juga dapatkan akses tak terbatas ke buku teks "YouClever", program pelatihan "100gia" (buku solusi), USE dan OGE percobaan tak terbatas, 6000 tugas dengan analisis solusi dan layanan YouClever dan 100gia lainnya.
Sejarawan pertama peradaban kita - orang Yunani kuno - menyebut Mesir sebagai tempat kelahiran geometri. Sulit untuk tidak setuju dengan mereka, mengetahui dengan akurasi luar biasa apa makam raksasa firaun didirikan. Susunan bersama bidang piramida, proporsinya, orientasi ke titik mata angin - tidak mungkin mencapai kesempurnaan seperti itu tanpa mengetahui dasar-dasar geometri.
Kata "geometri" dapat diterjemahkan sebagai "pengukuran bumi". Selain itu, kata "bumi" muncul bukan sebagai planet - bagian dari tata surya, tetapi sebagai pesawat. Penandaan area untuk pertanian, kemungkinan besar, adalah dasar asli dari ilmu bentuk geometris, jenis dan sifatnya.
Segitiga adalah figur spasial paling sederhana dari planimetri, yang hanya berisi tiga titik - simpul (tidak kurang). Fondasi fondasi, mungkin, adalah mengapa sesuatu yang misterius dan kuno tampaknya ada di dalamnya. Mata yang melihat semua di dalam segitiga adalah salah satu tanda okultisme paling awal yang diketahui, dan geografi distribusi dan kerangka waktunya sangat menakjubkan. Dari Mesir kuno, Sumeria, Aztec, dan peradaban lain hingga komunitas pecinta okultisme yang lebih modern yang tersebar di seluruh dunia.
Apa itu segitiga?
Segitiga sisik biasa adalah bangun geometris tertutup, terdiri dari tiga segmen dengan panjang yang berbeda dan tiga sudut, tidak ada yang lurus. Selain itu, ada beberapa jenis khusus.
Segitiga lancip memiliki semua sudut kurang dari 90 derajat. Dengan kata lain, semua sudut segitiga tersebut lancip.
Segitiga siku-siku, di mana anak-anak sekolah menangis setiap saat karena banyaknya teorema, memiliki satu sudut dengan nilai 90 derajat, atau, sebagaimana disebut juga, siku-siku.
Segitiga tumpul dibedakan oleh fakta bahwa salah satu sudutnya tumpul, yaitu nilainya lebih dari 90 derajat.
Segitiga sama sisi memiliki tiga sisi yang sama panjang. Dalam gambar seperti itu, semua sudut juga sama.
Dan akhirnya, dalam segitiga sama kaki dari tiga sisi, dua sama besar.
Fitur khas
Sifat-sifat segitiga sama kaki juga menentukan perbedaan utamanya yang utama - kesetaraan kedua sisi. Sisi yang sama ini biasanya disebut pinggul (atau, lebih sering, sisi), tetapi sisi ketiga disebut "dasar".
Pada gambar di bawah, a = b.
Tanda kedua dari segitiga sama kaki mengikuti dari teorema sinus. Karena sisi a dan b sama, maka sinus sudut-sudut yang berhadapan juga sama:
a/sin = b/sin , dari mana kita mendapatkan: sin = sin .
Dari persamaan sinus mengikuti persamaan sudut: = .
Jadi, tanda kedua dari segitiga sama kaki adalah persamaan dua sudut yang berdekatan dengan alasnya.
Tanda ketiga. Dalam segitiga, unsur-unsur seperti tinggi, garis bagi dan median dibedakan.
Jika dalam proses penyelesaian masalah ternyata dalam segitiga yang dipertimbangkan, dua elemen ini bertepatan: tinggi dengan garis-bagi; garis bagi dengan median; median dengan tinggi - kita pasti dapat menyimpulkan bahwa segitiga itu sama kaki.
Sifat geometris suatu bangun
1. Sifat-sifat segitiga sama kaki. Salah satu ciri khas gambar tersebut adalah persamaan sudut yang berdekatan dengan alas:
<ВАС = <ВСА.
2. Sifat lain yang dibahas di atas: median, garis bagi, dan tinggi dalam segitiga sama kaki adalah sama jika dibangun dari atas ke alas.
3. Persamaan garis bagi yang ditarik dari simpul di pangkalan:
Jika AE adalah garis bagi sudut BAC dan CD adalah garis bagi sudut BCA, maka: AE = DC.
4. Sifat-sifat segitiga sama kaki juga memberikan persamaan ketinggian yang ditarik dari simpul-simpul di alasnya.
Jika kita membangun tinggi segitiga ABC (di mana AB = BC) dari simpul A dan C, maka segmen CD dan AE yang dihasilkan akan sama.
5. Median yang ditarik dari sudut-sudut di pangkalan juga akan menjadi sama.
Jadi, jika AE dan DC adalah median, yaitu AD = DB, dan BE = EC, maka AE = DC.
Tinggi segitiga sama kaki
Kesetaraan sisi dan sudut pada mereka memperkenalkan beberapa fitur dalam perhitungan panjang elemen gambar yang bersangkutan.
Tinggi dalam segitiga sama kaki membagi gambar menjadi 2 segitiga siku-siku simetris, yang sisi miringnya adalah sisi-sisinya. Ketinggian dalam hal ini ditentukan menurut teorema Pythagoras, sebagai kaki.
Sebuah segitiga dapat memiliki ketiga sisi yang sama, maka itu akan disebut sama sisi. Ketinggian dalam segitiga sama sisi ditentukan dengan cara yang sama, hanya untuk perhitungan itu cukup untuk mengetahui hanya satu nilai - panjang sisi segitiga ini.
Anda dapat menentukan ketinggian dengan cara lain, misalnya, mengetahui alas dan sudut yang berdekatan dengannya.
Median segitiga sama kaki
Jenis segitiga yang dipertimbangkan, karena fitur geometris, diselesaikan cukup sederhana dengan set minimum data awal. Karena median dalam segitiga sama kaki sama dengan tinggi dan garis bagi, algoritme untuk menentukannya tidak berbeda dengan urutan penghitungan elemen-elemen ini.
Misalnya, Anda dapat menentukan panjang median dengan sisi lateral yang diketahui dan nilai sudut di titik sudut.
Bagaimana cara menentukan keliling?
Karena gambar planimetri yang dipertimbangkan memiliki dua sisi yang selalu sama, untuk menentukan keliling cukup dengan mengetahui panjang alas dan panjang salah satu sisinya.
Pertimbangkan sebuah contoh ketika Anda perlu menentukan keliling segitiga dengan alas dan tinggi yang diketahui.
Keliling sama dengan jumlah alas dan dua kali panjang sisinya. Sisi lateral, pada gilirannya, ditentukan menggunakan teorema Pythagoras sebagai sisi miring dari segitiga siku-siku. Panjangnya sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat tinggi dan kuadrat setengah alasnya.
Luas segitiga sama kaki
Biasanya tidak menyebabkan kesulitan dan perhitungan luas segitiga sama kaki. Aturan universal untuk menentukan luas segitiga sebagai setengah produk alas dan tingginya berlaku, tentu saja, dalam kasus kami. Namun, sifat-sifat segitiga sama kaki sekali lagi membuat tugas menjadi lebih mudah.
Mari kita asumsikan bahwa kita mengetahui tinggi dan sudut yang berdekatan dengan alas. Anda perlu menentukan luas gambar. Anda bisa melakukannya dengan cara ini.
Karena jumlah sudut suatu segitiga adalah 180°, maka tidak sulit untuk menentukan besar sudutnya. Selanjutnya, dengan menggunakan proporsi yang dibuat menurut teorema sinus, panjang alas segitiga ditentukan. Semuanya, alas dan tinggi - data yang cukup untuk menentukan luas - tersedia.
Sifat-sifat lain dari segitiga sama kaki
Posisi pusat lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga sama kaki tergantung pada sudut sudut. Jadi, jika segitiga sama kaki adalah siku-siku, pusat lingkaran terletak di dalam gambar.
Pusat lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga sama kaki tumpul terletak di luarnya. Dan akhirnya, jika sudut pada titik sudut adalah 90°, pusatnya terletak tepat di tengah alas, dan diameter lingkaran melewati alas itu sendiri.
Untuk menentukan jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga sama kaki, cukup dengan membagi panjang sisi lateral dengan dua kali kosinus dari setengah sudut di titik sudut.
Sifat-sifat segitiga sama kaki menyatakan teorema berikut.
Teorema 1. Dalam segitiga sama kaki, sudut-sudut di alasnya sama besar.
Teorema 2. Dalam segitiga sama kaki, garis bagi yang ditarik ke alas adalah median dan tinggi.
Teorema 3. Dalam segitiga sama kaki, median yang ditarik ke alas adalah garis bagi dan tinggi.
Teorema 4. Dalam segitiga sama kaki, tinggi yang ditarik ke alas adalah garis bagi dan median.
Mari kita buktikan salah satunya, misalnya Teorema 2.5.
Bukti. Perhatikan segitiga sama kaki ABC dengan alas BC dan buktikan bahwa B = C. Misalkan AD adalah garis bagi segitiga ABC (Gbr. 1). Segitiga ABD dan ACD adalah sama sesuai dengan tanda pertama persamaan segitiga (AB = AC dengan syarat, AD adalah sisi yang sama, 1 = 2, karena AD adalah garis bagi). Dari persamaan segitiga-segitiga ini, B = C. Teorema terbukti.
Menggunakan Teorema 1, kami menetapkan teorema berikut.
Teorema 5. Kriteria ketiga untuk persamaan segitiga. Jika tiga sisi dari satu segitiga masing-masing sama dengan tiga sisi dari segitiga lain, maka segitiga tersebut sama besar (Gbr. 2).
Komentar. Kalimat-kalimat yang dibuat dalam contoh 1 dan 2 mengungkapkan sifat-sifat garis-bagi yang tegak lurus terhadap segmen. Ini mengikuti dari proposal ini bahwa garis-bagi tegak lurus dari sisi-sisi segitiga berpotongan di satu titik.
Contoh 1 Buktikan bahwa titik bidang yang berjarak sama dari ujung-ujung segmen terletak pada garis-bagi yang tegak lurus terhadap segmen ini.
Keputusan. Biarkan titik M berjarak sama dari ujung segmen AB (Gbr. 3), yaitu AM = VM.
Maka AMV adalah sama kaki. Mari kita tarik garis p melalui titik M dan titik tengah O segmen AB. Dengan konstruksi, segmen MO adalah median dari segitiga sama kaki AMB, dan oleh karena itu (Teorema 3), dan tingginya, yaitu, garis lurus MO, adalah garis-bagi tegak lurus terhadap segmen AB.
Contoh 2 Buktikan bahwa setiap titik dari garis-bagi yang tegak lurus suatu segmen berjarak sama dari ujung-ujungnya.
Keputusan. Biarkan p menjadi garis bagi tegak lurus segmen AB dan titik O menjadi titik tengah segmen AB (lihat Gambar 3).
Pertimbangkan titik sembarang M yang terletak pada garis p. Mari menggambar segmen AM dan VM. Segitiga AOM dan VOM adalah sama, karena sudutnya di simpul O lurus, kaki OM sama, dan kaki OA sama dengan kaki OB dengan syarat. Dari persamaan segitiga AOM dan BOM diperoleh bahwa AM = BM.
Contoh 3 Dalam segitiga ABC (lihat Gambar 4) AB \u003d 10 cm, BC \u003d 9 cm, AC \u003d 7 cm; pada segitiga DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
Bandingkan segitiga ABC dan DEF. Temukan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Keputusan. Segitiga ini sama dalam kriteria ketiga. Dengan demikian, sudut yang sama: A dan E (berhadapan dengan sisi yang sama BC dan FD), B dan F (berhadapan dengan sisi yang sama AC dan DE), C dan D (berhadapan dengan sisi yang sama AB dan EF).
Contoh 4 Pada gambar 5 AB = DC, BC = AD, B = 100 °.
Cari sudut D
Keputusan. Perhatikan segitiga ABC dan ADC. Mereka sama dalam fitur ketiga (AB = DC, BC = AD dengan kondisi dan sisi AC adalah umum). Dari persamaan segitiga tersebut diperoleh bahwa B = D, tetapi sudut B adalah 100 °, maka sudut D adalah 100 °.
Contoh 5 Pada segitiga ABC sama kaki dengan alas AC, sudut luar di titik sudut C adalah 123°. Tentukan sudut ABC. Berikan jawaban Anda dalam derajat.
Solusi video.
